TEOREMA BESAR FERMAT - pernyataan Pierre Fermat (pengacara Prancis dan ahli matematika paruh waktu) bahwa persamaan Diophantine X n + Y n \u003d Z n, dengan eksponen n>2, di mana n = bilangan bulat, tidak memiliki solusi positif bilangan bulat. Teks penulis: "Tidak mungkin menguraikan sebuah kubus menjadi dua kubus, atau bi-persegi menjadi dua bi-kuadrat, atau secara umum kekuatan yang lebih besar dari dua menjadi dua kekuatan dengan eksponen yang sama."

"Fermat dan teoremanya", Amadeo Modigliani, 1920

Pierre datang dengan teorema ini pada tanggal 29 Maret 1636. Dan setelah sekitar 29 tahun, dia meninggal. Tapi di situlah semuanya dimulai. Bagaimanapun, seorang ahli matematika Jerman yang kaya bernama Wolfskel mewariskan seratus ribu mark kepada orang yang menyajikan bukti lengkap teorema Fermat! Tetapi kegembiraan di sekitar teorema terhubung tidak hanya dengan ini, tetapi juga dengan kegembiraan matematika profesional. Fermat sendiri mengisyaratkan kepada komunitas matematika bahwa dia tahu buktinya - sesaat sebelum kematiannya, pada tahun 1665, dia meninggalkan entri berikut di margin buku Diophantus of Alexandria "Arithmetic": "Saya punya bukti yang sangat menakjubkan, tetapi itu terlalu besar untuk ditempatkan di ladang."

Petunjuk inilah (ditambah, tentu saja, hadiah uang tunai) yang membuat matematikawan tidak berhasil menghabiskan tahun-tahun terbaik mereka untuk mencari bukti (menurut ilmuwan Amerika, matematikawan profesional saja menghabiskan 543 tahun untuk ini secara total).

Di beberapa titik (pada tahun 1901), bekerja pada teorema Fermat memperoleh ketenaran yang meragukan dari "pekerjaan yang mirip dengan pencarian mesin gerak abadi" (bahkan ada istilah yang menghina - "fermatists"). Dan tiba-tiba, pada tanggal 23 Juni 1993, pada konferensi matematika tentang teori bilangan di Cambridge, profesor matematika Inggris dari Universitas Princeton (New Jersey, AS) Andrew Wiles mengumumkan bahwa dia akhirnya membuktikan Fermat!

Buktinya, bagaimanapun, tidak hanya rumit, tetapi juga jelas keliru, seperti yang ditunjukkan Wiles oleh rekan-rekannya. Tetapi Profesor Wiles bermimpi membuktikan teorema sepanjang hidupnya, jadi tidak mengherankan bahwa pada Mei 1994 ia menyajikan versi bukti yang baru dan lebih baik kepada komunitas ilmiah. Tidak ada harmoni, keindahan di dalamnya, dan itu masih sangat rumit - fakta bahwa matematikawan telah menganalisis bukti ini selama setahun penuh (!) Untuk memahami apakah itu tidak salah, berbicara sendiri!

Namun pada akhirnya, bukti Wiles ternyata benar. Tetapi ahli matematika tidak memaafkan Pierre Fermat karena petunjuknya dalam Aritmatika, dan, pada kenyataannya, mereka mulai menganggapnya pembohong. Faktanya, orang pertama yang mempertanyakan integritas moral Fermat adalah Andrew Wiles sendiri, yang mengatakan bahwa "Fermat tidak mungkin memiliki bukti seperti itu. Ini adalah bukti abad kedua puluh." Kemudian, di antara para ilmuwan lain, pendapat menjadi lebih kuat bahwa Fermat "tidak dapat membuktikan teoremanya dengan cara lain, dan Fermat tidak dapat membuktikannya dengan cara yang Wiles lakukan, karena alasan-alasan objektif."

Faktanya, Fermat, tentu saja, bisa membuktikannya, dan beberapa saat kemudian bukti ini akan dibuat ulang oleh para analis dari New Analytical Encyclopedia. Tapi - apa "alasan objektif" ini?
Faktanya, hanya ada satu alasan seperti itu: pada tahun-tahun ketika Fermat hidup, dugaan Taniyama tidak dapat muncul, di mana Andrew Wiles membangun buktinya, karena fungsi modular yang digunakan oleh dugaan Taniyama ditemukan hanya pada akhir abad ke-19. .

Bagaimana Wiles sendiri membuktikan teorema? Pertanyaannya tidak menganggur - ini penting untuk memahami bagaimana Fermat sendiri dapat membuktikan teoremanya. Wiles membangun buktinya pada bukti dugaan Taniyama yang diajukan pada tahun 1955 oleh matematikawan Jepang berusia 28 tahun Yutaka Taniyama.

Dugaannya terdengar seperti ini: "setiap kurva elips sesuai dengan bentuk modular tertentu." Kurva eliptik yang sudah lama dikenal memiliki bentuk dua dimensi (berada pada bidang datar), sedangkan fungsi modular berbentuk empat dimensi. Artinya, hipotesis Taniyama menggabungkan konsep yang sama sekali berbeda - kurva datar sederhana dan bentuk empat dimensi yang tak terbayangkan. Fakta menghubungkan angka-angka dimensi yang berbeda dalam hipotesis tampak tidak masuk akal bagi para ilmuwan, itulah sebabnya pada tahun 1955 hal itu tidak dianggap penting.

Namun, pada musim gugur 1984, "hipotesis Taniyama" tiba-tiba diingat kembali, dan tidak hanya diingat, tetapi kemungkinan buktinya dikaitkan dengan bukti teorema Fermat! Ini dilakukan oleh ahli matematika Saarbrücken Gerhard Frey, yang mengatakan kepada komunitas ilmiah bahwa "jika ada yang bisa membuktikan dugaan Taniyama, maka Teorema Terakhir Fermat akan terbukti."

Apa yang dilakukan Frey? Dia mengubah persamaan Fermat menjadi persamaan kubik, kemudian menarik perhatian pada fakta bahwa kurva eliptik yang diperoleh dengan mengubah persamaan Fermat menjadi persamaan kubik tidak dapat berbentuk modular. Namun, dugaan Taniyama menyatakan bahwa setiap kurva elips bisa menjadi modular! Dengan demikian, kurva elips yang dibangun dari persamaan Fermat tidak dapat ada, yang berarti tidak mungkin ada solusi yang lengkap dan teorema Fermat, yang berarti benar. Nah, pada tahun 1993, Andrew Wiles hanya membuktikan dugaan Taniyama, dan karenanya teorema Fermat.

Namun, teorema Fermat dapat dibuktikan jauh lebih sederhana, berdasarkan multidimensi yang sama yang dioperasikan oleh Taniyama dan Frey.

Pertama-tama, mari kita perhatikan kondisi yang ditentukan oleh Pierre Fermat sendiri - n>2. Mengapa kondisi ini diperlukan? Ya, hanya untuk fakta bahwa untuk n=2 teorema Pythagoras biasa X 2 +Y 2 =Z 2 menjadi kasus khusus dari teorema Fermat, yang memiliki banyak solusi bilangan bulat - 3,4,5; 5,12,13; 7.24.25; 8,15,17; 12,16,20; 51.140.149 dan seterusnya. Jadi, teorema Pythagoras merupakan pengecualian dari teorema Fermat.

Tetapi mengapa tepatnya dalam kasus n=2 pengecualian seperti itu terjadi? Semuanya jatuh ke tempatnya jika Anda melihat hubungan antara derajat (n=2) dan dimensi gambar itu sendiri. Segitiga Pythagoras adalah bangun datar dua dimensi. Tidak mengherankan, Z (yaitu, sisi miring) dapat dinyatakan dalam kaki (X dan Y), yang dapat berupa bilangan bulat. Ukuran sudut (90) memungkinkan untuk mempertimbangkan sisi miring sebagai vektor, dan kaki adalah vektor yang terletak pada sumbu dan berasal dari titik asal. Dengan demikian, adalah mungkin untuk menyatakan vektor dua dimensi yang tidak terletak pada sumbu mana pun dalam bentuk vektor yang terletak pada sumbu tersebut.

Sekarang, jika kita pergi ke dimensi ketiga, dan karenanya ke n=3, untuk menyatakan vektor tiga dimensi, tidak akan ada informasi yang cukup tentang dua vektor, dan oleh karena itu akan mungkin untuk menyatakan Z dalam persamaan Fermat melalui setidaknya tiga suku (tiga vektor masing-masing terletak pada tiga sumbu sistem koordinat).

Jika n=4, maka harus ada 4 suku, jika n=5, maka harus ada 5 suku, dan seterusnya. Dalam hal ini, akan ada lebih dari cukup seluruh solusi. Misalnya, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 dan seterusnya (Anda dapat memilih contoh lain untuk n=3, n=4 dan seterusnya).

Apa yang mengikuti dari semua ini? Dari sini dapat disimpulkan bahwa teorema Fermat memang tidak memiliki solusi lengkap untuk n>2 - tetapi hanya karena persamaan itu sendiri salah! Dengan keberhasilan yang sama, seseorang dapat mencoba untuk menyatakan volume paralelepiped dalam hal panjang kedua sisinya - tentu saja, ini tidak mungkin (seluruh solusi tidak akan pernah ditemukan), tetapi hanya karena untuk menemukan volume paralelepiped , Anda perlu mengetahui panjang ketiga rusuknya.

Ketika matematikawan terkenal David Gilbert ditanya apa tugas paling penting untuk sains sekarang, dia menjawab "menangkap lalat di sisi jauh bulan." Untuk pertanyaan yang masuk akal "Siapa yang membutuhkannya?" dia menjawab seperti ini: "Tidak ada yang membutuhkannya. Tapi pikirkan berapa banyak tugas penting dan kompleks yang perlu Anda selesaikan untuk menyelesaikannya."

Dengan kata lain, Fermat (seorang pengacara di tempat pertama!) memainkan lelucon hukum yang lucu di seluruh dunia matematika, berdasarkan rumusan masalah yang salah. Dia, pada kenyataannya, menyarankan agar ahli matematika menemukan jawaban mengapa seekor lalat tidak bisa hidup di sisi lain Bulan, dan di margin Aritmatika dia hanya ingin menulis bahwa tidak ada udara di Bulan, mis. tidak ada solusi bilangan bulat dari teoremanya untuk n>2 hanya karena setiap nilai n harus sesuai dengan sejumlah suku tertentu di sisi kiri persamaannya.

Tapi apakah itu hanya lelucon? Tidak semuanya. Kejeniusan Fermat justru terletak pada kenyataan bahwa ia sebenarnya orang pertama yang melihat hubungan antara derajat dan dimensi angka matematika - yaitu, yang benar-benar setara, jumlah suku di sisi kiri persamaan. Arti dari teoremanya yang terkenal adalah untuk tidak hanya mendorong dunia matematika pada gagasan hubungan ini, tetapi juga untuk memulai bukti keberadaan hubungan ini - dapat dipahami secara intuitif, tetapi belum dibuktikan secara matematis.

Fermat, tidak seperti orang lain, memahami bahwa membangun hubungan antara objek yang tampaknya berbeda sangat bermanfaat tidak hanya dalam matematika, tetapi juga dalam sains apa pun. Hubungan seperti itu menunjukkan beberapa prinsip mendalam yang mendasari kedua objek dan memungkinkan pemahaman yang lebih dalam tentang mereka.

Sebagai contoh, awalnya fisikawan menganggap listrik dan magnet sebagai fenomena yang sama sekali tidak berhubungan, dan pada abad ke-19, para ahli teori dan peneliti menyadari bahwa listrik dan magnet sangat erat hubungannya. Hasilnya adalah pemahaman yang lebih dalam tentang listrik dan magnet. Arus listrik menghasilkan medan magnet, dan magnet dapat menginduksi listrik pada konduktor yang dekat dengan magnet. Hal ini menyebabkan penemuan dinamo dan motor listrik. Akhirnya ditemukan bahwa cahaya adalah hasil dari osilasi harmonik terkoordinasi dari medan magnet dan listrik.

Matematika waktu Fermat terdiri dari pulau-pulau pengetahuan di lautan kebodohan. Geometer mempelajari bentuk di satu pulau, dan matematikawan mempelajari probabilitas dan peluang di pulau lain. Bahasa geometri sangat berbeda dari bahasa teori probabilitas, dan terminologi aljabar asing bagi mereka yang hanya berbicara tentang statistik. Sayangnya, matematika zaman kita terdiri dari pulau-pulau yang kira-kira sama.

Farm adalah yang pertama menyadari bahwa semua pulau ini saling berhubungan. Dan teoremanya yang terkenal - TEOREMA BESAR Fermat - adalah konfirmasi yang sangat baik untuk ini.

Untuk bilangan bulat n lebih besar dari 2, persamaan x n + y n = z n tidak memiliki solusi bukan-nol dalam bilangan asli.

Anda mungkin ingat dari hari-hari sekolah Anda teorema Pythagoras: kuadrat sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya. Anda mungkin juga ingat segitiga siku-siku klasik dengan sisi-sisi yang panjangnya berhubungan sebagai 3: 4: 5. Untuk itu, teorema Pythagoras terlihat seperti ini:

Ini adalah contoh penyelesaian persamaan Pythagoras umum dalam bilangan bulat bukan nol untuk n= 2. Teorema Terakhir Fermat (juga disebut "Teorema Terakhir Fermat" dan "Teorema Terakhir Fermat") adalah pernyataan bahwa, untuk nilai n> 2 persamaan bentuk x n + y n = z n tidak memiliki solusi bukan nol dalam bilangan asli.

Sejarah Teorema Terakhir Fermat sangat menghibur dan instruktif, dan tidak hanya untuk matematikawan. Pierre de Fermat berkontribusi pada pengembangan berbagai bidang matematika, tetapi bagian utama dari warisan ilmiahnya diterbitkan hanya secara anumerta. Faktanya adalah bahwa matematika untuk Fermat adalah sesuatu seperti hobi, bukan pekerjaan profesional. Dia berkorespondensi dengan ahli matematika terkemuka pada masanya, tetapi tidak berusaha untuk mempublikasikan karyanya. Tulisan-tulisan ilmiah Fermat banyak ditemukan dalam bentuk surat-menyurat pribadi dan catatan-catatan yang terpisah-pisah, seringkali dibuat di pinggir-pinggir berbagai buku. Itu ada di margin (dari volume kedua Aritmatika Yunani kuno oleh Diophantus. - Catatan. Penerjemah) tak lama setelah kematian ahli matematika, keturunannya menemukan rumusan teorema terkenal dan catatan tambahan:

« Saya menemukan bukti yang benar-benar luar biasa tentang ini, tetapi margin ini terlalu sempit untuknya.».

Sayangnya, tampaknya, Fermat tidak pernah repot-repot menuliskan "bukti ajaib" yang dia temukan, dan keturunannya tidak berhasil mencarinya selama lebih dari tiga abad. Dari semua warisan ilmiah Fermat yang berbeda, yang mengandung banyak pernyataan mengejutkan, Teorema Besarlah yang dengan keras kepala menolak solusi.

Siapa pun yang tidak mengambil bukti Teorema Terakhir Fermat - semuanya sia-sia! Matematikawan Prancis hebat lainnya, René Descartes (René Descartes, 1596-1650), menyebut Fermat sebagai "pembual", dan matematikawan Inggris John Wallis (John Wallis, 1616-1703) menyebutnya "orang Prancis sialan". Fermat sendiri, bagaimanapun, meninggalkan bukti teorema untuk kasus ini n= 4. Dengan bukti untuk n= 3 diselesaikan oleh ahli matematika Swiss-Rusia besar abad ke-18 Leonard Euler (1707–83), setelah itu, setelah gagal menemukan bukti untuk n> 4, bercanda menawarkan untuk menggeledah rumah Fermat untuk menemukan kunci barang bukti yang hilang. Pada abad ke-19, metode baru teori bilangan memungkinkan pembuktian pernyataan untuk banyak bilangan bulat dalam 200, tetapi, sekali lagi, tidak untuk semua.

Pada tahun 1908 hadiah sebesar DM 100.000 ditetapkan untuk tugas ini. Dana hadiah itu diwariskan kepada industrialis Jerman Paul Wolfskehl, yang, menurut legenda, hampir bunuh diri, tetapi begitu terbawa oleh Teorema Terakhir Fermat sehingga dia berubah pikiran tentang kematian. Dengan munculnya mesin tambahan, dan kemudian komputer, bar nilai n mulai naik lebih tinggi dan lebih tinggi - hingga 617 pada awal Perang Dunia II, hingga 4001 pada tahun 1954, hingga 125.000 pada tahun 1976. Pada akhir abad ke-20, komputer laboratorium militer paling kuat di Los Alamos (New Mexico, AS) diprogram untuk memecahkan masalah Fermat di latar belakang (mirip dengan mode screen saver komputer pribadi). Jadi, adalah mungkin untuk menunjukkan bahwa teorema ini benar untuk nilai yang sangat besar x, y, z dan n, tetapi ini tidak dapat berfungsi sebagai bukti yang tepat, karena salah satu dari nilai berikut n atau tiga kali lipat bilangan asli bisa menyangkal teorema secara keseluruhan.

Akhirnya, pada tahun 1994, matematikawan Inggris Andrew John Wiles (Andrew John Wiles, b. 1953), saat bekerja di Princeton, menerbitkan bukti Teorema Terakhir Fermat, yang, setelah beberapa modifikasi, dianggap lengkap. Pembuktian membutuhkan lebih dari seratus halaman majalah dan didasarkan pada penggunaan peralatan modern matematika yang lebih tinggi, yang belum dikembangkan di era Fermat. Lalu, apa maksud Fermat dengan meninggalkan pesan di pinggir buku bahwa dia telah menemukan bukti? Sebagian besar matematikawan yang telah saya ajak bicara mengenai hal ini telah menunjukkan bahwa selama berabad-abad telah ada lebih dari cukup bukti yang salah dari Teorema Terakhir Fermat, dan kemungkinan Fermat sendiri menemukan bukti serupa tetapi gagal melihat kesalahan dalam dia. Namun, ada kemungkinan masih ada bukti singkat dan elegan dari Teorema Terakhir Fermat, yang belum ditemukan oleh siapa pun. Hanya satu hal yang dapat dikatakan dengan pasti: hari ini kita tahu dengan pasti bahwa teorema itu benar. Kebanyakan ahli matematika, saya pikir, akan setuju sepenuh hati dengan Andrew Wiles, yang berkomentar tentang buktinya, "Sekarang akhirnya pikiran saya damai."

Minat Fermat dalam matematika muncul entah bagaimana secara tak terduga dan pada usia yang cukup matang. Pada tahun 1629, terjemahan Latin dari karya Pappus, yang berisi ringkasan singkat hasil Apollonius tentang sifat-sifat irisan kerucut, jatuh ke tangannya. Fermat, seorang poliglot, seorang ahli hukum dan filologi kuno, tiba-tiba memutuskan untuk sepenuhnya mengembalikan jalan pemikiran ilmuwan terkenal itu. Dengan keberhasilan yang sama, seorang pengacara modern dapat mencoba untuk mereproduksi secara independen semua bukti dari monograf dari masalah, katakanlah, topologi aljabar. Namun, perusahaan yang tidak terpikirkan dimahkotai dengan kesuksesan. Selain itu, mempelajari konstruksi geometris orang dahulu, ia membuat penemuan yang luar biasa: untuk menemukan maksimum dan minimum area gambar, gambar yang cerdik tidak diperlukan. Itu selalu mungkin untuk membuat dan memecahkan beberapa persamaan aljabar sederhana, yang akarnya menentukan ekstrem. Dia datang dengan algoritma yang akan menjadi dasar dari kalkulus diferensial.

Dia dengan cepat pindah. Dia menemukan kondisi yang cukup untuk keberadaan maxima, belajar menentukan titik belok, menarik garis singgung ke semua kurva yang diketahui dari orde kedua dan ketiga. Beberapa tahun lagi, dan dia menemukan metode aljabar murni baru untuk menemukan kuadratur untuk parabola dan hiperbola dengan urutan arbitrer (yaitu, integral dari fungsi bentuk y p = Cx q dan y p x q \u003d C), menghitung luas, volume, momen inersia benda-benda revolusi. Itu adalah terobosan nyata. Merasa ini, Fermat mulai mencari komunikasi dengan otoritas matematika saat itu. Dia percaya diri dan merindukan pengakuan.

Pada tahun 1636 ia menulis surat pertama kepada Pendeta Marin Mersenne: “Bapa Suci! Saya sangat berterima kasih kepada Anda atas kehormatan yang telah Anda berikan kepada saya dengan memberi saya harapan bahwa kita akan dapat berbicara secara tertulis; ...Saya akan sangat senang mendengar dari Anda tentang semua risalah dan buku baru tentang Matematika yang telah muncul dalam lima atau enam tahun terakhir. ... Saya juga menemukan banyak metode analisis untuk berbagai masalah, baik numerik maupun geometris, yang analisis Vieta tidak mencukupi. Semua ini akan saya bagikan kepada Anda kapan pun Anda mau, dan terlebih lagi, tanpa arogansi apa pun, yang darinya saya lebih bebas dan lebih jauh dari orang lain mana pun di dunia.

Siapa Pastor Mersenne? Ini adalah seorang biarawan Fransiskan, seorang ilmuwan dengan bakat sederhana dan organisator yang luar biasa, yang selama 30 tahun memimpin lingkaran matematika Paris, yang menjadi pusat sejati sains Prancis. Selanjutnya, lingkaran Mersenne, dengan dekrit Louis XIV, akan diubah menjadi Akademi Ilmu Pengetahuan Paris. Mersenne tanpa lelah melakukan korespondensi besar, dan selnya di biara Ordo Minim di Royal Square adalah semacam "kantor pos untuk semua ilmuwan Eropa, dari Galileo hingga Hobbes." Korespondensi kemudian menggantikan jurnal ilmiah, yang muncul jauh kemudian. Pertemuan di Mersenne berlangsung setiap minggu. Inti lingkaran itu terdiri dari ilmuwan alam paling cemerlang pada masa itu: Robertville, Pascal Father, Desargues, Midorge, Hardy dan, tentu saja, Descartes yang terkenal dan diakui secara universal. Rene du Perron Descartes (Cartesius), seorang bangsawan, dua perkebunan keluarga, pendiri Cartesianisme, "bapak" geometri analitik, salah satu pendiri matematika baru, serta teman dan kawan Mersenne di Jesuit College. Pria luar biasa ini akan menjadi mimpi buruk Fermat.

Mersenne menganggap hasil Fermat cukup menarik untuk membawa provinsial ke klub elitnya. Peternakan segera melakukan korespondensi dengan banyak anggota lingkaran dan benar-benar tertidur dengan surat-surat dari Mersenne sendiri. Selain itu, ia mengirim manuskrip yang sudah selesai ke pengadilan para pakar: "Pengantar tempat datar dan padat", dan setahun kemudian - "Metode menemukan maxima dan minima" dan "Jawaban untuk pertanyaan B. Cavalieri". Apa yang dijelaskan Fermat benar-benar baru, tetapi sensasinya tidak terjadi. Orang-orang sezamannya tidak gentar. Mereka tidak mengerti banyak, tetapi mereka menemukan indikasi yang jelas bahwa Fermat meminjam ide algoritma maksimalisasi dari risalah Johannes Kepler dengan judul lucu "The New Stereometry of Wine Barrels". Memang, dalam penalaran Kepler ada frasa seperti "Volume angka terbesar jika, di kedua sisi tempat nilai terbesar, penurunannya pada awalnya tidak sensitif." Tetapi gagasan peningkatan kecil fungsi di dekat ekstrem sama sekali tidak ada di udara. Pikiran analitis terbaik saat itu tidak siap untuk manipulasi dengan jumlah kecil. Faktanya adalah bahwa pada saat itu aljabar dianggap semacam aritmatika, yaitu matematika kelas dua, alat improvisasi primitif yang dikembangkan untuk kebutuhan praktik dasar ("hanya pedagang yang menghitung dengan baik"). Tradisi ditentukan untuk mematuhi metode pembuktian geometris murni, yang berasal dari matematika kuno. Fermat adalah orang pertama yang memahami bahwa jumlah yang sangat kecil dapat ditambahkan dan dikurangi, tetapi agak sulit untuk menggambarkannya sebagai segmen.

Butuh waktu hampir satu abad bagi Jean d'Alembert untuk mengakui dalam Encyclopedia-nya yang terkenal: Fermat adalah penemu kalkulus baru. Dengan dia kita bertemu aplikasi diferensial pertama untuk menemukan garis singgung. Pada akhir abad ke-18, Joseph Louis Comte de Lagrange berbicara lebih jelas lagi: “Tetapi para ahli geometri - sezaman dengan Fermat - tidak memahami kalkulus jenis baru ini. Mereka hanya melihat kasus-kasus khusus. Dan penemuan ini, yang muncul sesaat sebelum Geometri Descartes, tetap tidak membuahkan hasil selama empat puluh tahun. Lagrange mengacu pada 1674, ketika "Kuliah" Isaac Barrow diterbitkan, yang membahas metode Fermat secara rinci.

Antara lain, dengan cepat menjadi jelas bahwa Fermat lebih cenderung untuk merumuskan masalah baru daripada dengan rendah hati memecahkan masalah yang diajukan oleh meter. Di era duel, pertukaran tugas antar pundit secara umum diterima sebagai bentuk klarifikasi masalah terkait rantai komando. Namun, Farm jelas tidak tahu ukurannya. Setiap suratnya adalah tantangan yang berisi lusinan masalah kompleks yang belum terpecahkan, dan tentang topik yang paling tidak terduga. Berikut adalah contoh gayanya (ditujukan kepada Frenicle de Bessy): “Item, persegi terkecil apa yang, ketika dikurangi 109 dan ditambahkan menjadi satu, akan menghasilkan persegi? Jika Anda tidak mengirimkan saya solusi umumnya, kirimkan saya hasil bagi dua angka ini, yang saya pilih kecil agar tidak membuat Anda sangat sulit. Setelah saya mendapatkan jawaban Anda, saya akan menyarankan beberapa hal lain kepada Anda. Jelas tanpa reservasi khusus bahwa dalam proposal saya diperlukan untuk menemukan bilangan bulat, karena dalam kasus bilangan pecahan ahli aritmatika yang paling tidak signifikan dapat mencapai tujuan. Fermat sering mengulangi dirinya sendiri, merumuskan pertanyaan yang sama beberapa kali, dan secara terbuka menggertak, mengklaim bahwa ia memiliki solusi yang luar biasa elegan untuk masalah yang diajukan. Tidak ada kesalahan langsung. Beberapa dari mereka diperhatikan oleh orang-orang sezaman, dan beberapa pernyataan berbahaya menyesatkan pembaca selama berabad-abad.

Lingkaran Mersenne bereaksi cukup. Hanya Robertville, satu-satunya anggota lingkaran yang memiliki masalah dengan asal usul, yang mempertahankan nada ramah huruf. Gembala yang baik Pastor Mersenne mencoba berunding dengan "Toulouse kurang ajar". Tapi Farm tidak bermaksud membuat alasan: “Bapa Yang Mulia! Anda menulis kepada saya bahwa penyajian masalah saya yang mustahil telah membuat marah dan dingin Tuan Saint-Martin dan Frenicle, dan inilah alasan penghentian surat mereka. Namun, saya ingin membalas kepada mereka bahwa apa yang tampaknya mustahil pada awalnya sebenarnya tidak demikian dan ada banyak masalah yang, seperti yang dikatakan Archimedes ... ”, dll.

Namun, Farm tidak jujur. Frenicle-lah yang mengiriminya masalah menemukan segitiga siku-siku dengan sisi-sisi bilangan bulat yang luasnya sama dengan kuadrat bilangan bulat. Dia mengirimkannya, meskipun dia tahu bahwa masalahnya jelas tidak memiliki solusi.

Posisi paling bermusuhan terhadap Fermat diambil oleh Descartes. Dalam suratnya kepada Mersenne tertanggal 1938 kita membaca: “karena saya mengetahui bahwa ini adalah orang yang sama yang sebelumnya mencoba menyangkal “Dioptri” saya, dan karena Anda memberi tahu saya bahwa dia mengirimkannya setelah dia membaca “Geometri” saya dan terkejut bahwa saya tidak menemukan hal yang sama, yaitu (karena saya punya alasan untuk menafsirkannya) mengirimkannya dengan tujuan memasuki persaingan dan menunjukkan bahwa dia tahu lebih banyak tentang itu daripada saya, dan karena lebih banyak surat Anda, saya mengetahui bahwa dia memiliki reputasi sebagai ahli geometri yang sangat berpengetahuan, maka saya menganggap diri saya berkewajiban untuk menjawabnya. Descartes nantinya akan dengan sungguh-sungguh menunjuk jawabannya sebagai “ujian kecil Matematika melawan Pak Fermat”.

Sangat mudah untuk memahami apa yang membuat marah ilmuwan terkemuka itu. Pertama, dalam penalaran Fermat, sumbu koordinat dan representasi angka berdasarkan segmen terus muncul - perangkat yang dikembangkan secara komprehensif oleh Descartes dalam "Geometri" yang baru saja diterbitkannya. Fermat memiliki ide untuk mengganti gambar dengan perhitungannya sendiri, dalam beberapa hal bahkan lebih konsisten daripada Descartes. Kedua, Fermat dengan cemerlang menunjukkan keefektifan metodenya dalam menemukan minima pada contoh masalah jalur terpendek berkas cahaya, menyempurnakan dan melengkapi Descartes dengan "Dioptrik" -nya.

Manfaat Descartes sebagai pemikir dan inovator sangat besar, tetapi mari kita buka "Ensiklopedia Matematika" modern dan lihat daftar istilah yang terkait dengan namanya: "Koordinat Cartesian" (Leibniz, 1692), "Lembar Cartesian", "Descartes oval". Tak satu pun dari argumennya tercatat dalam sejarah sebagai Teorema Descartes. Descartes terutama seorang ideologis: dia adalah pendiri sekolah filosofis, dia membentuk konsep, meningkatkan sistem penunjukan huruf, tetapi ada beberapa teknik khusus baru dalam warisan kreatifnya. Sebaliknya, Pierre Fermat menulis sedikit, tetapi pada setiap kesempatan dia dapat menemukan banyak trik matematika yang cerdas (lihat ibid. "Teorema Fermat", "Prinsip Fermat", "Metode Fermat untuk keturunan tak terbatas"). Mereka mungkin benar-benar iri satu sama lain. Tabrakan pun tak terhindarkan. Dengan mediasi Jesuit dari Mersenne, pecahlah perang yang berlangsung selama dua tahun. Namun, Mersenne ternyata tepat sebelum sejarah di sini juga: pertempuran sengit antara dua raksasa, ketegangan mereka, secara halus, polemik berkontribusi pada pemahaman konsep-konsep kunci dari analisis matematis.

Fermat adalah orang pertama yang kehilangan minat dalam diskusi. Rupanya, dia berbicara langsung dengan Descartes dan tidak pernah lagi menyinggung lawannya. Dalam salah satu karya terakhirnya, "Sintesis untuk pembiasan", naskah yang dikirimnya ke de la Chaumbra, Fermat menyebutkan "Descartes yang paling terpelajar" melalui kata dan dengan segala cara yang mungkin menekankan prioritasnya dalam masalah optik. Sementara itu, manuskrip inilah yang memuat deskripsi "prinsip Fermat" yang terkenal, yang memberikan penjelasan lengkap tentang hukum pemantulan dan pembiasan cahaya. Curtseys ke Descartes dalam karya tingkat ini sama sekali tidak perlu.

Apa yang terjadi? Mengapa Fermat, mengesampingkan kesombongan, pergi ke rekonsiliasi? Membaca surat-surat Fermat pada tahun-tahun itu (1638 - 1640), orang dapat mengasumsikan hal yang paling sederhana: selama periode ini, minat ilmiahnya berubah secara dramatis. Dia meninggalkan cycloid yang modis, tidak lagi tertarik pada garis singgung dan area, dan selama 20 tahun lupa tentang metodenya untuk menemukan maksimum. Memiliki manfaat besar dalam matematika kontinu, Fermat sepenuhnya membenamkan dirinya dalam matematika diskrit, meninggalkan gambar geometris yang penuh kebencian kepada lawan-lawannya. Angka adalah gairah barunya. Faktanya, seluruh "Teori Bilangan", sebagai disiplin matematika independen, lahir sepenuhnya dari kehidupan dan karya Fermat.

<…>Setelah kematian Fermat, putranya Samuel diterbitkan pada tahun 1670 salinan Aritmatika milik ayahnya dengan judul "Enam buku aritmatika oleh Diophantus Alexandrian dengan komentar oleh L. G. Basche dan komentar oleh P. de Fermat, Senator Toulouse." Buku itu juga memuat beberapa surat Descartes dan teks lengkap A New Discovery in the Art of Analysis karya Jacques de Bigly, berdasarkan surat-surat Fermat. Publikasi itu sukses luar biasa. Dunia cerah yang belum pernah terjadi sebelumnya terbuka di hadapan para spesialis yang tercengang. Tak terduga, dan yang paling penting, aksesibilitas, sifat demokratis hasil teori bilangan Fermat memunculkan banyak tiruan. Pada saat itu, hanya sedikit orang yang memahami cara menghitung luas parabola, tetapi setiap siswa dapat memahami rumusan Teorema Terakhir Fermat. Perburuan nyata dimulai untuk surat-surat ilmuwan yang tidak diketahui dan hilang. Sampai akhir abad XVII. Setiap kata-katanya yang ditemukan diterbitkan dan diterbitkan ulang. Namun sejarah perkembangan ide Fermat yang bergejolak baru saja dimulai.

1

Ivliev Yu.A.

Artikel ini dikhususkan untuk deskripsi kesalahan matematika mendasar yang dibuat dalam proses pembuktian Teorema Terakhir Fermat pada akhir abad ke-20. Kesalahan yang terdeteksi tidak hanya mendistorsi arti sebenarnya dari teorema, tetapi juga menghambat pengembangan pendekatan aksiomatik baru untuk mempelajari kekuatan bilangan dan deret bilangan asli.

Pada tahun 1995, sebuah artikel diterbitkan yang ukurannya mirip dengan sebuah buku dan melaporkan bukti Teorema Besar (Terakhir) Fermat (WTF) yang terkenal (untuk sejarah teorema dan upaya untuk membuktikannya, lihat, misalnya, ). Setelah peristiwa ini, banyak artikel ilmiah dan buku sains populer muncul yang mempromosikan bukti ini, tetapi tidak satu pun dari karya ini mengungkapkan kesalahan matematika mendasar di dalamnya, yang merayap bahkan bukan karena kesalahan penulis, tetapi karena beberapa optimisme aneh yang mencengkeram. pikiran matematikawan yang menangani masalah ini dan pertanyaan terkait. Aspek psikologis dari fenomena ini telah diselidiki. Ini juga memberikan analisis rinci dari pengawasan yang terjadi, yang tidak bersifat khusus, tetapi merupakan hasil dari pemahaman yang salah tentang sifat-sifat pangkat bilangan bulat. Seperti ditunjukkan dalam , masalah Fermat berakar pada pendekatan aksiomatik baru untuk mempelajari sifat-sifat ini, yang belum diterapkan dalam sains modern. Tapi bukti yang salah menghalangi jalannya, memberikan teori nomor pedoman palsu dan peneliti terkemuka masalah Fermat jauh dari solusi langsung dan memadai. Pekerjaan ini dikhususkan untuk menghilangkan hambatan ini.

1. Anatomi kesalahan yang dibuat selama pembuktian WTF

Dalam proses penalaran yang sangat panjang dan membosankan, pernyataan asli Fermat dirumuskan ulang dalam bentuk korespondensi antara persamaan Diophantine derajat ke-p dan kurva eliptik orde ke-3 (lihat Teorema 0.4 dan 0.5 in ). Perbandingan semacam itu memaksa penulis bukti kolektif de facto untuk mengumumkan bahwa metode dan penalaran mereka mengarah pada solusi akhir dari masalah Fermat (ingat bahwa WTF tidak memiliki bukti yang diakui untuk kasus pangkat bilangan bulat arbitrer hingga tahun 90-an abad terakhir). Tujuan dari pertimbangan ini adalah untuk menetapkan ketidaktepatan matematis dari perbandingan di atas dan, sebagai hasil dari analisis, untuk menemukan kesalahan mendasar dalam pembuktian yang disajikan dalam .

a) Di mana dan apa yang salah?

Jadi, mari kita lihat teksnya, di mana pada hal.448 dikatakan bahwa setelah "ide cerdas" dari G. Frey (G. Frey), kemungkinan untuk membuktikan WTF telah terbuka. Pada tahun 1984, G. Frey menyarankan dan

K.Ribet kemudian membuktikan bahwa kurva elips putatif mewakili solusi bilangan bulat hipotetis dari persamaan Fermat,

y2 = x(x + kamu p)(x - v p) (1)

tidak dapat bersifat modular. Namun, A.Wiles dan R.Taylor membuktikan bahwa setiap kurva elips semistabil yang didefinisikan di atas bidang bilangan rasional adalah modular. Hal ini menyebabkan kesimpulan tentang ketidakmungkinan solusi bilangan bulat dari persamaan Fermat dan, akibatnya, validitas pernyataan Fermat, yang dalam notasi A. Wiles ditulis sebagai Teorema 0,5: biarkan ada kesetaraan

kamu p+ v p+ w p = 0 (2)

di mana kamu, v, w- bilangan rasional, eksponen bilangan bulat p 3; maka (2) terpenuhi hanya jika uvw = 0 .

Sekarang, tampaknya, kita harus kembali dan mempertimbangkan secara kritis mengapa kurva (1) apriori dianggap sebagai eliptik dan apa hubungan sebenarnya dengan persamaan Fermat. Mengantisipasi pertanyaan ini, A. Wiles mengacu pada karya Y. Hellegouarch, di mana ia menemukan cara untuk mengasosiasikan persamaan Fermat (mungkin diselesaikan dalam bilangan bulat) dengan kurva orde ke-3 hipotetis. Tidak seperti G. Frey, I. Allegouches tidak menghubungkan kurvanya dengan bentuk-bentuk modular, tetapi metodenya untuk memperoleh persamaan (1) digunakan untuk lebih memajukan pembuktian A. Wiles.

Mari kita lihat lebih dekat pekerjaan. Penulis melakukan penalarannya dalam hal geometri proyektif. Menyederhanakan beberapa notasinya dan membawanya ke garis , kami menemukan bahwa kurva Abelian

Y 2 = X(X - p)(X + p) (3)

persamaan Diophantine dibandingkan

x p+ kamu p+ z p = 0 (4)

di mana x, y, z adalah bilangan bulat yang tidak diketahui, p adalah eksponen bilangan bulat dari (2), dan solusi persamaan Diophantine (4) p , p , p digunakan untuk menulis kurva Abelian (3).

Sekarang, untuk memastikan bahwa ini adalah kurva elips orde ke-3, perlu untuk mempertimbangkan variabel X dan Y dalam (3) pada bidang Euclidean. Untuk melakukan ini, kami menggunakan aturan aritmatika kurva eliptik yang terkenal: jika ada dua titik rasional pada kurva aljabar kubik dan garis yang melewati titik-titik ini memotong kurva ini pada satu titik lagi, maka yang terakhir juga rasional titik. Persamaan hipotetis (4) secara formal mewakili hukum penambahan titik pada garis lurus. Jika kita membuat perubahan variabel x p = A, kamu p=B, z p = C dan arahkan garis lurus yang diperoleh sepanjang sumbu X pada (3), maka akan memotong kurva derajat ke-3 di tiga titik: (X = 0, Y = 0), (X = p , Y = 0 ), (X = - p , Y = 0), yang tercermin dalam notasi kurva Abelian (3) dan notasi serupa (1). Namun, apakah kurva (3) atau (1) benar-benar elips? Jelas tidak, karena segmen garis Euclidean, ketika menambahkan titik padanya, diambil pada skala non-linier.

Kembali ke sistem koordinat linier ruang Euclidean, alih-alih (1) dan (3) kami memperoleh rumus yang sangat berbeda dari rumus untuk kurva eliptik. Misalnya, (1) dapat berbentuk berikut:

2p = p (ξ p + kamu p)(ξ p - v p) (5)

di mana p = x, p = y, dan seruan untuk (1) dalam hal ini untuk derivasi WTF tampaknya ilegal. Terlepas dari kenyataan bahwa (1) memenuhi beberapa kriteria kelas kurva eliptik, itu tidak memenuhi kriteria paling penting untuk menjadi persamaan derajat ke-3 dalam sistem koordinat linier.

b) Klasifikasi kesalahan

Jadi, sekali lagi kita kembali ke awal pertimbangan dan mengikuti bagaimana kesimpulan tentang kebenaran WTF itu dibuat. Pertama, diasumsikan bahwa ada solusi persamaan Fermat dalam bilangan bulat positif. Kedua, solusi ini secara sewenang-wenang dimasukkan ke dalam bentuk aljabar dari bentuk yang diketahui (kurva bidang derajat 3) dengan asumsi bahwa kurva eliptik yang diperoleh ada (asumsi kedua yang tidak diverifikasi). Ketiga, karena dibuktikan dengan metode lain bahwa kurva beton yang dibangun adalah non-modular, itu berarti tidak ada. Kesimpulan berikut dari ini: tidak ada solusi bilangan bulat dari persamaan Fermat dan, oleh karena itu, WTF benar.

Ada satu mata rantai yang lemah dalam argumen-argumen ini, yang, setelah pemeriksaan terperinci, ternyata merupakan kesalahan. Kesalahan ini dibuat pada tahap kedua dari proses pembuktian, ketika diasumsikan bahwa solusi hipotetis persamaan Fermat juga merupakan solusi dari persamaan aljabar derajat ketiga yang menggambarkan kurva eliptik dari bentuk yang diketahui. Dengan sendirinya, asumsi seperti itu akan dibenarkan jika kurva yang ditunjukkan memang berbentuk elips. Namun, seperti yang dapat dilihat dari item 1a), kurva ini disajikan dalam koordinat non-linier, yang membuatnya "ilusi", yaitu. tidak benar-benar ada dalam ruang topologi linier.

Sekarang kita perlu mengklasifikasikan kesalahan yang ditemukan dengan jelas. Itu terletak pada kenyataan bahwa apa yang perlu dibuktikan diberikan sebagai argumen pembuktian. Dalam logika klasik, kesalahan ini dikenal sebagai "lingkaran setan". Dalam hal ini, solusi bilangan bulat dari persamaan Fermat dibandingkan (tampaknya, mungkin unik) dengan kurva eliptik fiktif, tidak ada, dan kemudian semua pathos dari penalaran lebih lanjut membuktikan bahwa kurva eliptik spesifik dari bentuk ini, diperoleh dari solusi hipotetis persamaan Fermat, tidak ada.

Bagaimana bisa terjadi kesalahan mendasar seperti itu dalam pekerjaan matematika yang serius? Mungkin, ini terjadi karena fakta bahwa sosok geometris "ilusi" jenis ini sebelumnya tidak dipelajari dalam matematika. Memang, siapa yang bisa tertarik, misalnya, dalam lingkaran fiktif yang diperoleh dari persamaan Fermat dengan mengubah variabel x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C? Bagaimanapun, persamaannya C 2 = A 2 + B 2 tidak memiliki solusi bilangan bulat untuk bilangan bulat x, y, z dan n 3 . Dalam sumbu koordinat non-linier X dan Y, lingkaran seperti itu akan dijelaskan oleh persamaan yang terlihat sangat mirip dengan bentuk standar:

Y 2 \u003d - (X - A) (X + B),

dimana A dan B bukan lagi variabel, melainkan bilangan konkret yang ditentukan oleh substitusi di atas. Tetapi jika angka A dan B diberikan bentuk aslinya, yang terdiri dari karakter kekuatannya, maka heterogenitas notasi pada faktor-faktor di sisi kanan persamaan segera menarik perhatian. Tanda ini membantu membedakan ilusi dari kenyataan dan bergerak dari koordinat non-linier ke linier. Sebaliknya, jika kita menganggap bilangan sebagai operator ketika membandingkannya dengan variabel, seperti pada contoh (1), maka keduanya harus merupakan besaran yang homogen, yaitu. harus memiliki derajat yang sama.

Pemahaman tentang pangkat bilangan sebagai operator juga memungkinkan untuk melihat bahwa perbandingan persamaan Fermat dengan kurva eliptik ilusi tidak ambigu. Ambil, misalnya, salah satu faktor di ruas kanan (5) dan kembangkan menjadi faktor linier p dengan memasukkan bilangan kompleks r sedemikian rupa sehingga r p = 1 (lihat misalnya ):

p + kamu p = (ξ + kamu)(ξ + r kamu)(ξ + r 2 kamu)...(ξ + r p-1 kamu) (6)

Kemudian bentuk (5) dapat direpresentasikan sebagai penguraian menjadi faktor prima dari bilangan kompleks sesuai dengan jenis identitas aljabar (6), namun, keunikan dekomposisi seperti itu dalam kasus umum dipertanyakan, yang pernah ditunjukkan oleh Kummer .

2. Kesimpulan

Ini mengikuti dari analisis sebelumnya bahwa apa yang disebut aritmatika kurva eliptik tidak mampu menjelaskan di mana mencari bukti WTF. Setelah bekerja, omong-omong, pernyataan Fermat, yang diambil sebagai prasasti artikel ini, mulai dianggap sebagai lelucon sejarah atau lelucon praktis. Namun pada kenyataannya ternyata bukan Fermat yang bercanda, melainkan para ahli yang berkumpul pada simposium matematika di Oberwolfach di Jerman pada tahun 1984, di mana G. Frey menyuarakan ide jenakanya. Konsekuensi dari pernyataan ceroboh seperti itu membawa matematika secara keseluruhan ke ambang kehilangan kepercayaan publiknya, yang dijelaskan secara rinci dan yang tentu menimbulkan pertanyaan tentang tanggung jawab lembaga ilmiah kepada masyarakat sebelum sains. Pemetaan persamaan Fermat ke kurva Frey (1) adalah "kunci" dari seluruh bukti Wiles sehubungan dengan teorema Fermat, dan jika tidak ada korespondensi antara kurva Fermat dan kurva eliptik modular, maka tidak ada bukti juga.

Akhir-akhir ini ada berbagai laporan Internet bahwa beberapa matematikawan terkemuka akhirnya menemukan bukti teorema Fermat Wiles, memberinya alasan dalam bentuk perhitungan ulang "minimal" dari titik-titik bilangan bulat dalam ruang Euclidean. Namun, tidak ada inovasi yang dapat membatalkan hasil klasik yang telah diperoleh manusia dalam matematika, khususnya, fakta bahwa meskipun bilangan urut apa pun bertepatan dengan pasangan kuantitatifnya, ia tidak dapat menggantikannya dalam operasi membandingkan bilangan satu sama lain, dan karenanya dengan pasti mengikuti kesimpulan bahwa kurva Frey (1) awalnya tidak eliptik, yaitu tidak menurut definisi.

BIBLIOGRAFI:

1. Ivliev Yu.A. Rekonstruksi bukti asli Teorema Terakhir Fermat - Jurnal Ilmiah Bersatu (bagian "Matematika"). April 2006 No. 7 (167) hal.3-9, lihat juga Pratsi dari International Academy of Informatization cabang Luhansk. Kementerian Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Ukraina. Universitas Nasional Shidnoukrainian dinamai. V. Dahl. 2006 No.2 (13) hal.19-25.
2. Ivliev Yu.A. Penipuan ilmiah terbesar abad ke-20: "bukti" Teorema Terakhir Fermat - Ilmu alam dan teknik (bagian "Sejarah dan metodologi matematika"). Agustus 2007 No. 4 (30) hlm. 34-48.
3. Teorema terakhir Edwards G. (Edwards H.M.) Fermat. Pengenalan genetik untuk teori bilangan aljabar. Per. dari bahasa Inggris. ed. B.F. Skubenko. M.: Mir 1980, 484 hal.
4. Hellegouarch Y. Points d'ordre 2p h sur les courbes elliptiques - Acta Arithmetica. 1975 XXVI hal.253-263.
5. Wiles A. Kurva eliptik modular dan Teorema Terakhir Fermat - Sejarah Matematika. Mei 1995 v.141 Seri kedua No. 3 hal.443-551.

Tautan bibliografi

Ivliev Yu.A. BUKTI SALAH WILES TERHADAP TEOREMA BESAR FERMAT // Riset Fundamental. - 2008. - No. 3. - H. 13-16;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=2763 (tanggal akses: 25/09/2019). Kami menyampaikan kepada Anda jurnal-jurnal yang diterbitkan oleh penerbit "Academy of Natural History"

Pierre de Fermat, membaca "Aritmatika" Diophantus dari Alexandria dan merenungkan masalahnya, memiliki kebiasaan menuliskan hasil refleksinya dalam bentuk komentar singkat di margin buku. Terhadap masalah kedelapan Diophantus di margin buku, Fermat menulis: " Sebaliknya, tidak mungkin untuk menguraikan baik kubus menjadi dua kubus, atau bi-persegi menjadi dua bi-kuadrat, dan, secara umum, tidak ada derajat yang lebih besar dari kuadrat menjadi dua pangkat dengan eksponen yang sama. Saya telah menemukan bukti yang benar-benar luar biasa tentang ini, tetapi margin ini terlalu sempit untuk itu.» / E.T.Bell "Pencipta Matematika". M., 1979, hal.69/. Saya memberikan kepada Anda bukti dasar teorema pertanian, yang dapat dipahami oleh siswa sekolah menengah mana pun yang menyukai matematika.

Mari kita bandingkan komentar Fermat tentang masalah Diophantine dengan rumusan modern teorema agung Fermat, yang berbentuk persamaan.
« persamaan

x n + y n = z n(di mana n adalah bilangan bulat yang lebih besar dari dua)

tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif»

Komentar berada dalam hubungan logis dengan tugas, mirip dengan hubungan logis predikat dengan subjek. Apa yang ditegaskan oleh masalah Diophantus, sebaliknya, ditegaskan oleh komentar Fermat.

Komentar Fermat dapat diartikan sebagai berikut: jika persamaan kuadrat dengan tiga tidak diketahui memiliki jumlah solusi yang tak terbatas pada himpunan semua tiga kali lipat dari bilangan Pythagoras, maka, sebaliknya, persamaan dengan tiga tidak diketahui dalam derajat lebih besar dari kuadrat

Bahkan tidak ada petunjuk hubungannya dengan masalah Diophantine dalam persamaan. Pernyataannya membutuhkan bukti, tetapi tidak memiliki kondisi yang karenanya tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif.

Varian dari bukti persamaan yang saya ketahui direduksi menjadi algoritma berikut.

1. Persamaan teorema Fermat diambil sebagai kesimpulannya, yang validitasnya diverifikasi dengan bantuan bukti.
2. Persamaan yang sama disebut awal persamaan yang pembuktiannya harus dilanjutkan.

Hasilnya adalah tautologi: Jika suatu persamaan tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif, maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif.". Pembuktian tautologi itu jelas salah dan tidak ada artinya. Tapi itu dibuktikan dengan kontradiksi.

• Sebuah asumsi dibuat yang merupakan kebalikan dari yang dinyatakan oleh persamaan yang akan dibuktikan. Seharusnya tidak bertentangan dengan persamaan asli, tetapi memang demikian. Membuktikan apa yang diterima tanpa bukti, dan menerima tanpa bukti apa yang perlu dibuktikan, tidak masuk akal.
• Berdasarkan asumsi yang diterima, operasi dan tindakan matematika yang benar-benar benar dilakukan untuk membuktikan bahwa itu bertentangan dengan persamaan asli dan salah.

Oleh karena itu, selama 370 tahun sekarang, bukti persamaan Teorema Terakhir Fermat tetap menjadi impian yang mustahil bagi para ahli dan pecinta matematika.

Saya mengambil persamaan sebagai kesimpulan dari teorema, dan masalah kedelapan Diophantus dan persamaannya sebagai kondisi teorema.

“Jika persamaan x 2 + y 2 = z 2 (1) memiliki himpunan tak hingga solusi pada himpunan semua tiga kali lipat dari bilangan Pythagoras, maka, sebaliknya, persamaan x n + y n = z n , di mana n > 2 (2) tidak memiliki solusi pada himpunan bilangan bulat positif."

Bukti.

TETAPI) Semua orang tahu bahwa persamaan (1) memiliki jumlah solusi tak terbatas pada himpunan semua tiga kali lipat bilangan Pythagoras. Mari kita buktikan bahwa tidak ada tiga kali lipat bilangan Pythagoras, yang merupakan solusi persamaan (1), yang merupakan solusi persamaan (2).

Berdasarkan hukum keterbalikan persamaan, sisi persamaan (1) dipertukarkan. bilangan phytagoras (z, x, y) dapat diartikan sebagai panjang sisi segitiga siku-siku, dan persegi (x2, y2, z2) dapat diartikan sebagai luas bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring dan kakinya.

Kami mengalikan kuadrat persamaan (1) dengan ketinggian yang berubah-ubah h :

z 2 j = x 2 j + y 2 j (3)

Persamaan (3) dapat diartikan sebagai persamaan volume paralelepiped dengan jumlah volume dua paralelepiped.

Biarkan ketinggian tiga paralelepipeds h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

Volume kubus didekomposisi menjadi dua volume dari dua paralelepiped. Kami membiarkan volume kubus tidak berubah, dan mengurangi ketinggian paralelepiped pertama menjadi x dan ketinggian paralelepiped kedua akan dikurangi menjadi kamu . Volume sebuah kubus lebih besar dari jumlah volume dua kubus:

z 3 > x 3 + y 3 (5)

Pada himpunan tiga kali lipat dari bilangan Pythagoras ( x, y, z ) pada n=3 tidak ada solusi untuk persamaan (2). Akibatnya, pada himpunan semua tiga kali lipat dari bilangan Pythagoras, tidak mungkin untuk menguraikan kubus menjadi dua kubus.

Biarkan dalam persamaan (3) ketinggian tiga paralelepipeds h = z2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

Volume paralelepiped didekomposisi menjadi jumlah volume dua paralelepiped.
Kami meninggalkan sisi kiri persamaan (6) tidak berubah. Di sisi kanannya tingginya z2 kurangi menjadi X pada suku pertama dan sampai pada 2 dalam istilah kedua.

Persamaan (6) berubah menjadi pertidaksamaan:

Volume parallelepiped didekomposisi menjadi dua volume dua parallelepiped.

Kami meninggalkan sisi kiri persamaan (8) tidak berubah.
Di sisi kanan ketinggian zn-2 kurangi menjadi xn-2 pada suku pertama dan dikurangi menjadi y n-2 dalam istilah kedua. Persamaan (8) berubah menjadi pertidaksamaan:

z n > x n + y n

(9)

Pada himpunan tiga kali lipat bilangan Pythagoras, tidak mungkin ada solusi tunggal persamaan (2).

Akibatnya, pada himpunan semua tiga kali lipat dari bilangan Pythagoras untuk semua n > 2 persamaan (2) tidak memiliki solusi.

Memperoleh "bukti pasca keajaiban", tetapi hanya untuk kembar tiga bilangan phytagoras. Ini kekurangan bukti dan alasan penolakan P. Fermat darinya.

b) Mari kita buktikan bahwa persamaan (2) tidak memiliki solusi pada himpunan tiga kali lipat dari bilangan non-Pythagoras, yang merupakan keluarga dari tiga kali lipat bilangan Pythagoras yang diambil secara sewenang-wenang z=13, x=12, y=5 dan keluarga dari rangkap tiga bilangan bulat positif z=21, x=19, y=16

Kedua kembar tiga angka adalah anggota keluarga mereka:

	(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1)	(10)
	(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1)	(11)

Banyaknya anggota keluarga (10) dan (11) sama dengan setengah hasil kali 13 dengan 12 dan 21 dengan 20, yaitu 78 dan 210.

Setiap anggota keluarga (10) berisi z = 13 dan variabel X dan pada 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1

Setiap anggota keluarga (11) berisi z = 21 dan variabel X dan pada , yang mengambil nilai integer 21 > x >0 , 21 > y > 0 . Variabel menurun secara berurutan sebesar 1 .

Kelipatan tiga bilangan dari barisan (10) dan (11) dapat direpresentasikan sebagai barisan pertidaksamaan derajat ketiga:

	13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
	21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

dan dalam bentuk pertidaksamaan derajat keempat:

	13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
	21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

Kebenaran setiap ketidaksetaraan diverifikasi dengan menaikkan angka ke pangkat ketiga dan keempat.

Kubus bilangan yang lebih besar tidak dapat diuraikan menjadi dua kubus dengan bilangan yang lebih kecil. Lebih kecil atau lebih besar dari jumlah pangkat tiga dari dua bilangan yang lebih kecil.

Bi-kuadrat dari bilangan yang lebih besar tidak dapat diuraikan menjadi dua bi-kuadrat dari bilangan yang lebih kecil. Ini bisa lebih kecil atau lebih besar dari jumlah kuadrat dua angka yang lebih kecil.

Saat eksponen meningkat, semua pertidaksamaan, kecuali pertidaksamaan paling kiri, memiliki arti yang sama:

Pertidaksamaan, semuanya memiliki arti yang sama: derajat dari bilangan yang lebih besar lebih besar dari jumlah derajat dari dua bilangan yang lebih kecil dengan pangkat yang sama:

	13n > 12n + 12n ; 13n > 12n + 11n ;…; 13n > 7n + 4n ;…; 13n > 1n + 1n	(12)
	21n > 20n + 20n ; 21n > 20n + 19n ;…; ;…; 21n > 1n + 1n	(13)

Suku paling kiri dari barisan (12) (13) adalah pertidaksamaan terlemah. Kebenarannya menentukan kebenaran semua ketidaksetaraan berikutnya dari urutan (12) untuk n > 8 dan urutan (13) untuk n > 14 .

Tidak boleh ada kesetaraan di antara mereka. Triple sembarang bilangan bulat positif (21,19,16) bukanlah solusi untuk persamaan (2) dari Teorema Terakhir Fermat. Jika tripel sembarang bilangan bulat positif bukan merupakan solusi persamaan, maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi pada himpunan bilangan bulat positif, yang harus dibuktikan.

DENGAN) Komentar Fermat tentang masalah Diophantus menyatakan bahwa tidak mungkin untuk terurai " secara umum, tidak ada kekuatan yang lebih besar dari kuadrat, dua kekuatan dengan eksponen yang sama».

mencium kekuatan yang lebih besar dari bujur sangkar tidak dapat benar-benar didekomposisi menjadi dua kekuatan dengan eksponen yang sama. aku tidak mencium kekuatan yang lebih besar dari kuadrat dapat didekomposisi menjadi dua kekuatan dengan eksponen yang sama.

Setiap rangkap tiga bilangan bulat positif yang dipilih secara acak (z, x, y) mungkin milik keluarga, yang masing-masing anggotanya terdiri dari jumlah yang konstan z dan dua angka kurang dari z . Setiap anggota keluarga dapat direpresentasikan dalam bentuk pertidaksamaan, dan semua pertidaksamaan yang dihasilkan dapat direpresentasikan sebagai barisan pertidaksamaan:

z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1n + 1n

(14)

Urutan pertidaksamaan (14) dimulai dengan pertidaksamaan yang ruas kirinya lebih kecil dari ruas kanannya dan diakhiri dengan pertidaksamaan yang ruas kanannya lebih kecil dari ruas kirinya. Dengan meningkatnya eksponen n > 2 jumlah pertidaksamaan di ruas kanan barisan (14) bertambah. Dengan eksponen n=k semua pertidaksamaan di sisi kiri barisan berubah maknanya dan mengambil arti pertidaksamaan di sisi kanan pertidaksamaan barisan (14). Sebagai hasil dari peningkatan eksponen semua pertidaksamaan, ruas kiri lebih besar dari ruas kanan:

z k > (z-1) k + (z-1) k ; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; zk > 2k + 1k ; zk > 1k + 1k

(15)

Dengan peningkatan lebih lanjut dalam eksponen n>k tidak ada ketidaksetaraan yang mengubah maknanya dan tidak berubah menjadi persamaan. Atas dasar ini, dapat dikatakan bahwa setiap rangkap tiga bilangan bulat positif yang diambil secara sewenang-wenang (z, x, y) pada n > 2 , z > x , z > y

Dalam rangkap tiga bilangan bulat positif z bisa menjadi bilangan asli yang besar dan sewenang-wenang. Untuk semua bilangan asli tidak lebih besar dari z , Teorema Terakhir Fermat terbukti.

D) Tidak peduli seberapa besar jumlahnya z , dalam deret bilangan asli sebelumnya ada himpunan bilangan bulat yang besar tetapi berhingga, dan setelahnya ada himpunan bilangan bulat tak terhingga.

Mari kita buktikan bahwa seluruh himpunan tak hingga dari bilangan asli lebih besar dari z , bentuk tiga kali lipat angka yang bukan solusi untuk persamaan Teorema Terakhir Fermat, misalnya, rangkap tiga bilangan bulat positif (z+1,x,y) , di mana z + 1 > x dan z + 1 > y untuk semua nilai eksponen n > 2 bukan solusi untuk persamaan Teorema Terakhir Fermat.

Triple bilangan bulat positif yang dipilih secara acak (z + 1, x, y) mungkin milik keluarga tiga kali lipat angka, yang masing-masing anggotanya terdiri dari angka konstan z + 1 dan dua angka X dan pada , mengambil nilai yang berbeda, lebih kecil z + 1 . Anggota keluarga dapat direpresentasikan sebagai ketidaksetaraan yang sisi kiri konstannya kurang dari, atau lebih besar dari, sisi kanan. Pertidaksamaan dapat diurutkan sebagai urutan pertidaksamaan:

Dengan peningkatan lebih lanjut dalam eksponen n>k hingga tak terhingga, tidak ada pertidaksamaan pada deret (17) yang berubah makna dan tidak menjadi persamaaan. Pada barisan (16), pertidaksamaan yang terbentuk dari tiga bilangan bulat positif yang diambil secara acak (z + 1, x, y) , bisa di sisi kanannya dalam bentuk (z + 1) n > x n + y n atau berada di sisi kirinya dalam bentuk (z+1)n< x n + y n .

Bagaimanapun, rangkap tiga bilangan bulat positif (z + 1, x, y) pada n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y pada barisan (16) adalah pertidaksamaan dan tidak dapat berupa persamaan, yaitu, tidak dapat menjadi solusi persamaan Teorema Terakhir Fermat.

Sangat mudah dan sederhana untuk memahami asal mula urutan pertidaksamaan kekuasaan (16), di mana pertidaksamaan terakhir ruas kiri dan pertidaksamaan pertama ruas kanan merupakan pertidaksamaan dari arti yang berlawanan. Sebaliknya, tidak mudah dan sulit bagi anak sekolah, siswa SMA, dan siswa SMA untuk memahami bagaimana barisan pertidaksamaan (17) terbentuk dari barisan pertidaksamaan (16), di mana semua pertidaksamaan memiliki arti yang sama.

Pada barisan (16), menaikkan derajat pertidaksamaan bilangan bulat sebesar 1 akan mengubah pertidaksamaan terakhir di ruas kiri menjadi pertidaksamaan pertama yang berlawanan artinya di ruas kanan. Dengan demikian, jumlah pertidaksamaan pada ruas kesembilan dari barisan berkurang, sedangkan jumlah pertidaksamaan pada ruas kanan bertambah. Antara ketidaksetaraan kekuatan terakhir dan pertama dari makna yang berlawanan, ada kesetaraan kekuatan tanpa gagal. Derajatnya tidak boleh bilangan bulat, karena hanya ada bilangan bukan bilangan bulat di antara dua bilangan asli yang berurutan. Persamaan pangkat suatu derajat bukan bilangan bulat, menurut syarat teorema, tidak dapat dianggap sebagai solusi persamaan (1).

Jika pada barisan (16) kita terus menaikkan derajat sebesar 1 satuan, maka pertidaksamaan terakhir ruas kirinya akan berubah menjadi pertidaksamaan pertama lawan arti ruas kanan. Akibatnya, tidak akan ada ketimpangan di sisi kiri dan hanya ketimpangan di sisi kanan, yang akan menjadi urutan peningkatan ketimpangan kekuasaan (17). Peningkatan lebih lanjut dalam derajat bilangan bulatnya sebesar 1 unit hanya memperkuat ketidaksetaraan kekuatannya dan secara kategoris mengecualikan kemungkinan munculnya kesetaraan dalam derajat bilangan bulat.

Oleh karena itu, secara umum, tidak ada pangkat bilangan bulat dari bilangan asli (z+1) dari barisan pertidaksamaan pangkat (17) yang dapat diuraikan menjadi dua pangkat bilangan bulat dengan eksponen yang sama. Oleh karena itu, persamaan (1) tidak memiliki solusi pada himpunan bilangan asli tak hingga, yang harus dibuktikan.

Oleh karena itu, Teorema Terakhir Fermat terbukti secara umum:

• di bagian A) untuk semua kembar tiga (z, x, y) Bilangan Pythagoras (Penemuan Fermat adalah bukti yang benar-benar ajaib),
• di bagian C) untuk semua anggota keluarga dari triple apa pun (z, x, y) bilangan pythagoras,
• di bagian C) untuk semua kembar tiga angka (z, x, y) , bukan bilangan besar z
• di bagian D) untuk semua tiga kali lipat angka (z, x, y) deret bilangan alami.

Perubahan dilakukan pada 05.09.2010

Teorema mana yang dapat dan tidak dapat dibuktikan dengan kontradiksi?

Kamus Penjelasan Istilah Matematika mendefinisikan bukti dengan kontradiksi dari teorema yang berlawanan dengan teorema terbalik.

“Pembuktian dengan kontradiksi adalah metode pembuktian teorema (kalimat), yang terdiri dari pembuktian bukan teorema itu sendiri, tetapi padanannya (ekuivalen), kebalikan dari teorema (berlawanan dengan kebalikannya). Pembuktian dengan kontradiksi digunakan bila teorema langsung sulit dibuktikan, tetapi kebalikannya lebih mudah. Ketika membuktikan dengan kontradiksi, kesimpulan teorema digantikan oleh negasinya, dan dengan penalaran seseorang sampai pada negasi dari kondisi, yaitu. ke kontradiksi, ke kebalikannya (kebalikan dari apa yang diberikan; pengurangan absurditas ini membuktikan teorema.

Pembuktian dengan kontradiksi sangat sering digunakan dalam matematika. Pembuktian dengan kontradiksi didasarkan pada hukum bagian tengah yang dikecualikan, yang terdiri dari fakta bahwa dari dua pernyataan (pernyataan) A dan A (negasi dari A), salah satunya benar dan yang lain salah./ Kamus penjelasan istilah matematika: Panduan untuk guru / O. V. Manturov [dan lainnya]; ed. V. A. Ditkina.- M.: Enlightenment, 1965.- 539 hal.: ill.-C.112/.

Tidaklah lebih baik untuk menyatakan secara terbuka bahwa metode pembuktian dengan kontradiksi bukanlah metode matematika, meskipun digunakan dalam matematika, itu adalah metode logis dan termasuk logika. Apakah sah untuk mengatakan bahwa pembuktian dengan kontradiksi "digunakan ketika teorema langsung sulit dibuktikan", padahal sebenarnya itu digunakan jika, dan hanya jika, tidak ada penggantinya.

Karakteristik hubungan antara teorema langsung dan teorema invers juga perlu mendapat perhatian khusus. Teorema invers untuk teorema tertentu (atau teorema tertentu) adalah teorema di mana kondisinya adalah kesimpulannya, dan kesimpulannya adalah kondisi dari teorema yang diberikan. Teorema ini dalam kaitannya dengan teorema kebalikan disebut teorema langsung (awal). Pada saat yang sama, teorema kebalikan dari teorema kebalikan akan menjadi teorema yang diberikan; oleh karena itu, teorema langsung dan teorema invers disebut saling invers. Jika teorema langsung (yang diberikan) benar, maka teorema kebalikannya tidak selalu benar. Misalnya, jika segiempat adalah belah ketupat, maka diagonal-diagonalnya saling tegak lurus (teorema langsung). Jika diagonal dalam segi empat saling tegak lurus, maka segi empat adalah belah ketupat - ini tidak benar, yaitu, teorema kebalikannya tidak benar./ Kamus penjelasan istilah matematika: Panduan untuk guru / O. V. Manturov [dan lainnya]; ed. V. A. Ditkina.- M.: Enlightenment, 1965.- 539 hal.: ill.-C.261 /.

Karakterisasi hubungan antara teorema langsung dan invers ini tidak memperhitungkan fakta bahwa kondisi teorema langsung dianggap sebagai diberikan, tanpa bukti, sehingga kebenarannya tidak dijamin. Kondisi teorema invers tidak diambil seperti yang diberikan, karena ini adalah kesimpulan dari teorema langsung yang terbukti. Kebenarannya dikonfirmasi oleh bukti teorema langsung. Perbedaan logis esensial antara kondisi teorema langsung dan teorema terbalik ini ternyata menentukan dalam pertanyaan teorema mana yang dapat dan mana yang tidak dapat dibuktikan dengan metode logis dari kebalikannya.

Mari kita asumsikan bahwa ada teorema langsung dalam pikiran, yang dapat dibuktikan dengan metode matematika biasa, tetapi itu sulit. Kami merumuskannya dalam bentuk umum dalam bentuk singkat sebagai berikut: dari TETAPI Sebaiknya E . Simbol TETAPI memiliki nilai kondisi teorema yang diberikan, diterima tanpa bukti. Simbol E adalah kesimpulan dari teorema yang akan dibuktikan.

Kami akan membuktikan teorema langsung dengan kontradiksi, logis metode. Metode logis membuktikan teorema yang memiliki bukan matematika kondisi, dan logis kondisi. Hal ini dapat diperoleh jika kondisi matematis dari teorema dari TETAPI Sebaiknya E , melengkapi dengan kondisi sebaliknya dari TETAPI jangan lakukan itu E .

Akibatnya, kondisi kontradiktif logis dari teorema baru diperoleh, yang mencakup dua bagian: dari TETAPI Sebaiknya E dan dari TETAPI jangan lakukan itu E . Kondisi yang dihasilkan dari teorema baru sesuai dengan hukum logis dari tengah yang dikecualikan dan sesuai dengan bukti teorema dengan kontradiksi.

Menurut hukum, satu bagian dari kondisi kontradiktif itu salah, bagian lain benar, dan yang ketiga dikecualikan. Pembuktian dengan kontradiksi memiliki tugas dan tujuannya sendiri untuk menetapkan dengan tepat bagian mana dari dua bagian kondisi teorema yang salah. Segera setelah bagian yang salah dari kondisi ditentukan, akan ditetapkan bahwa bagian lainnya adalah bagian yang benar, dan yang ketiga dikecualikan.

Menurut kamus penjelasan istilah matematika, "bukti adalah penalaran, di mana kebenaran atau kepalsuan dari setiap pernyataan (penilaian, pernyataan, teorema) ditetapkan". Bukti kebalikan ada diskusi dalam perjalanan yang ditetapkan kepalsuan(absurditas) dari kesimpulan yang mengikuti dari Salah kondisi teorema yang dibuktikan.

Diberikan: dari TETAPI Sebaiknya E dan dari TETAPI jangan lakukan itu E .

Membuktikan: dari TETAPI Sebaiknya E .

Bukti: Kondisi logis teorema mengandung kontradiksi yang membutuhkan penyelesaiannya. Kontradiksi kondisi harus menemukan penyelesaiannya dalam bukti dan hasilnya. Hasilnya ternyata salah jika alasannya sempurna dan sempurna. Alasan untuk kesimpulan yang salah dengan alasan yang benar secara logis hanya dapat menjadi kondisi yang kontradiktif: dari TETAPI Sebaiknya E dan dari TETAPI jangan lakukan itu E .

Tidak ada bayangan keraguan bahwa satu bagian dari kondisi itu salah, dan yang lainnya dalam hal ini benar. Kedua bagian dari kondisi memiliki asal yang sama, diterima seperti yang diberikan, diasumsikan, sama-sama mungkin, sama-sama dapat diterima, dll. Dalam penalaran logis, tidak ada satu pun fitur logis yang ditemukan yang akan membedakan satu bagian dari kondisi dari lainnya. Oleh karena itu, dalam kadar yang sama, dari TETAPI Sebaiknya E dan mungkin dari TETAPI jangan lakukan itu E . Penyataan dari TETAPI Sebaiknya E mungkin Salah, maka pernyataan dari TETAPI jangan lakukan itu E akan benar. Penyataan dari TETAPI jangan lakukan itu E mungkin salah, maka pernyataan tersebut dari TETAPI Sebaiknya E akan benar.

Oleh karena itu, tidak mungkin membuktikan teorema langsung dengan metode kontradiksi.

Sekarang kita akan membuktikan teorema langsung yang sama dengan metode matematika biasa.

Diberikan: TETAPI .

Membuktikan: dari TETAPI Sebaiknya E .

Bukti.

1. Dari TETAPI Sebaiknya B

2. Dari B Sebaiknya PADA (menurut teorema yang telah dibuktikan sebelumnya)).

3. Dari PADA Sebaiknya G (sesuai dengan teorema yang telah dibuktikan sebelumnya).

4. Dari G Sebaiknya D (sesuai dengan teorema yang telah dibuktikan sebelumnya).

5. Dari D Sebaiknya E (sesuai dengan teorema yang telah dibuktikan sebelumnya).

Berdasarkan hukum transitivitas, dari TETAPI Sebaiknya E . Teorema langsung dibuktikan dengan metode biasa.

Biarkan teorema langsung terbukti memiliki teorema kebalikan yang benar: dari E Sebaiknya TETAPI .

Mari kita buktikan dengan biasa matematis metode. Pembuktian teorema invers dapat dinyatakan dalam bentuk simbolik sebagai algoritma operasi matematika.

Diberikan: E

Membuktikan: dari E Sebaiknya TETAPI .

Bukti.

1. Dari E Sebaiknya D

2. Dari D Sebaiknya G (dengan teorema invers yang telah dibuktikan sebelumnya).

3. Dari G Sebaiknya PADA (dengan teorema invers yang telah dibuktikan sebelumnya).

4. Dari PADA jangan lakukan itu B (kebalikannya tidak benar). Itu sebabnya dari B jangan lakukan itu TETAPI .

Dalam situasi ini, tidak masuk akal untuk melanjutkan pembuktian matematis dari teorema invers. Alasan situasinya logis. Tidak mungkin mengganti teorema invers yang salah dengan apa pun. Oleh karena itu, teorema invers ini tidak dapat dibuktikan dengan metode matematika biasa. Semua harapan adalah untuk membuktikan teorema terbalik ini dengan kontradiksi.

Untuk membuktikannya dengan kontradiksi, diperlukan untuk mengganti kondisi matematisnya dengan kondisi kontradiktif logis, yang dalam artinya mengandung dua bagian - salah dan benar.

Teorema terbalik klaim: dari E jangan lakukan itu TETAPI . Kondisinya E , dari mana mengikuti kesimpulan TETAPI , adalah hasil pembuktian teorema langsung dengan metode matematika biasa. Kondisi ini harus dipertahankan dan dilengkapi dengan pernyataan dari E Sebaiknya TETAPI . Sebagai hasil dari penambahan, diperoleh kondisi kontradiktif dari teorema invers baru: dari E Sebaiknya TETAPI dan dari E jangan lakukan itu TETAPI . Berdasarkan ini secara logis kondisi kontradiktif, teorema kebalikan dapat dibuktikan dengan logis penalaran saja, dan hanya, logis metode yang berlawanan. Dalam pembuktian dengan kontradiksi, setiap tindakan dan operasi matematis berada di bawah tindakan logis dan oleh karena itu tidak dihitung.

Di bagian pertama dari pernyataan kontradiktif dari E Sebaiknya TETAPI kondisi E dibuktikan dengan pembuktian teorema langsung. Di bagian kedua dari E jangan lakukan itu TETAPI kondisi E diasumsikan dan diterima tanpa bukti. Salah satunya salah dan yang lainnya benar. Diperlukan untuk membuktikan mana di antara mereka yang salah.

Kita buktikan dengan yang benar logis penalaran dan menemukan bahwa hasilnya adalah kesimpulan yang salah dan tidak masuk akal. Alasan untuk kesimpulan logis yang salah adalah kondisi logis yang kontradiktif dari teorema, yang berisi dua bagian - salah dan benar. Bagian yang salah hanya bisa menjadi pernyataan dari E jangan lakukan itu TETAPI , di mana E diterima tanpa bukti. Ini yang membedakannya dengan E pernyataan dari E Sebaiknya TETAPI , yang dibuktikan dengan bukti teorema langsung.

Oleh karena itu, pernyataan tersebut benar: dari E Sebaiknya TETAPI , yang harus dibuktikan.

Kesimpulan: hanya teorema kebalikan yang dibuktikan dengan metode logis dari kebalikannya, yang memiliki teorema langsung yang dibuktikan dengan metode matematika dan yang tidak dapat dibuktikan dengan metode matematika.

Kesimpulan yang diperoleh memperoleh kepentingan yang luar biasa dalam kaitannya dengan metode pembuktian dengan kontradiksi teorema besar Fermat. Sebagian besar upaya untuk membuktikannya tidak didasarkan pada metode matematika biasa, tetapi pada metode logis untuk membuktikan dengan kontradiksi. Bukti Teorema Besar Fermat Wiles tidak terkecuali.

Dmitry Abrarov dalam artikelnya "Teorema Fermat: Fenomena Bukti Wiles" menerbitkan komentar tentang bukti Teorema Terakhir Fermat oleh Wiles. Menurut Abrarov, Wiles membuktikan Teorema Terakhir Fermat dengan bantuan temuan luar biasa oleh matematikawan Jerman Gerhard Frey (lahir 1944) yang menghubungkan solusi potensial untuk persamaan Fermat x n + y n = z n , di mana n > 2 , dengan persamaan lain yang sama sekali berbeda. Persamaan baru ini diberikan oleh kurva khusus (disebut kurva elips Frey). Kurva Frey diberikan oleh persamaan yang sangat sederhana:
.

“Justru Frey yang membandingkan setiap solusi (a, b, c) Persamaan Fermat, yaitu, angka yang memenuhi hubungan a n + b n = c n kurva di atas. Dalam hal ini, Teorema Terakhir Fermat akan mengikuti."(Kutipan dari: Abrarov D. "Teorema Fermat: fenomena pembuktian Wiles")

Dengan kata lain, Gerhard Frey menyarankan bahwa persamaan Teorema Terakhir Fermat x n + y n = z n , di mana n > 2 , memiliki solusi dalam bilangan bulat positif. Solusi yang sama, dengan asumsi Frey, adalah solusi dari persamaannya
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , yang diberikan oleh kurva eliptiknya.

Andrew Wiles menerima penemuan Frey yang luar biasa ini dan, dengan bantuannya, melalui matematis metode membuktikan bahwa temuan ini, yaitu kurva eliptik Frey, tidak ada. Oleh karena itu, tidak ada persamaan dan penyelesaiannya yang diberikan oleh kurva elips yang tidak ada.Oleh karena itu, Wiles seharusnya menyimpulkan bahwa tidak ada persamaan Teorema Terakhir Fermat dan Teorema Fermat itu sendiri. Namun, ia mengambil kesimpulan yang lebih sederhana bahwa persamaan Teorema Terakhir Fermat tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif.

Ini mungkin fakta yang tak terbantahkan bahwa Wiles menerima asumsi yang secara langsung berlawanan makna dengan apa yang dinyatakan oleh Teorema Terakhir Fermat. Ini mewajibkan Wiles untuk membuktikan Teorema Terakhir Fermat dengan kontradiksi. Mari kita ikuti teladannya dan lihat apa yang terjadi dari contoh ini.

Teorema Terakhir Fermat menyatakan bahwa persamaan x n + y n = z n , di mana n > 2 , tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif.

Menurut metode logis pembuktian dengan kontradiksi, pernyataan ini dipertahankan, diterima sebagai diberikan tanpa bukti, dan kemudian dilengkapi dengan pernyataan yang berlawanan artinya: persamaan x n + y n = z n , di mana n > 2 , memiliki solusi dalam bilangan bulat positif.

Pernyataan yang dihipotesiskan juga diterima sebagai diberikan, tanpa bukti. Kedua pernyataan tersebut, dilihat dari sudut pandang hukum dasar logika, sama-sama dapat diterima, sama dalam hak dan sama-sama mungkin. Dengan penalaran yang benar, diperlukan untuk menetapkan mana di antara mereka yang salah, untuk kemudian menetapkan bahwa pernyataan lainnya benar.

Penalaran yang benar berakhir dengan kesimpulan yang salah dan tidak masuk akal, penyebab logisnya hanya dapat menjadi kondisi kontradiktif dari teorema yang dibuktikan, yang mengandung dua bagian dari makna yang berlawanan secara langsung. Mereka adalah penyebab logis dari kesimpulan yang absurd, hasil pembuktian dengan kontradiksi.

Namun, dalam proses penalaran yang benar secara logis, tidak ditemukan satu tanda pun yang memungkinkan untuk menetapkan pernyataan mana yang salah. Ini bisa menjadi pernyataan: persamaan x n + y n = z n , di mana n > 2 , memiliki solusi dalam bilangan bulat positif. Atas dasar yang sama, itu bisa menjadi pernyataan: persamaan x n + y n = z n , di mana n > 2 , tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif.

Sebagai hasil dari penalaran, hanya ada satu kesimpulan: Teorema Terakhir Fermat tidak dapat dibuktikan dengan kontradiksi.

Akan menjadi masalah yang sangat berbeda jika Teorema Terakhir Fermat adalah teorema terbalik yang memiliki teorema langsung yang dibuktikan dengan metode matematika biasa. Dalam hal ini dapat dibuktikan dengan kontradiksi. Dan karena itu adalah teorema langsung, pembuktiannya tidak harus didasarkan pada metode logis untuk membuktikan dengan kontradiksi, tetapi pada metode matematika biasa.

Menurut D. Abrarov, Akademisi V. I. Arnold, matematikawan Rusia kontemporer paling terkenal, bereaksi terhadap bukti Wiles "secara aktif skeptis". Akademisi menyatakan: "ini bukan matematika nyata - matematika nyata adalah geometris dan memiliki hubungan yang kuat dengan fisika."

Dengan kontradiksi, tidak mungkin untuk membuktikan bahwa persamaan Teorema Terakhir Fermat tidak memiliki solusi, atau memiliki solusi. Kesalahan Wiles bukanlah matematis, tetapi logis - penggunaan bukti dengan kontradiksi di mana penggunaannya tidak masuk akal dan tidak membuktikan Teorema Terakhir Fermat.

Teorema Terakhir Fermat tidak dibuktikan dengan bantuan metode matematika biasa, jika diberikan: persamaan x n + y n = z n , di mana n > 2 , tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif, dan jika diperlukan untuk membuktikan di dalamnya: persamaan x n + y n = z n , di mana n > 2 , tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif. Dalam bentuk ini, tidak ada teorema, tetapi tautologi tanpa makna.

Catatan. Bukti BTF saya dibahas di salah satu forum. Salah satu peserta di Trotil, seorang ahli teori bilangan, membuat pernyataan otoritatif berikut berjudul: "Penceritaan kembali singkat tentang apa yang dilakukan Mirgorodsky." Saya mengutipnya kata demi kata:

« TETAPI. Dia membuktikan bahwa jika z 2 \u003d x 2 + y , kemudian z n > x n + y n . Ini adalah fakta yang terkenal dan cukup jelas.

PADA. Dia mengambil dua rangkap tiga - Pythagoras dan non-Pythagoras dan menunjukkan dengan enumerasi sederhana bahwa untuk keluarga rangkap tiga yang spesifik dan spesifik (78 dan 210 buah) BTF dilakukan (dan hanya untuk itu).

DENGAN. Dan kemudian penulis menghilangkan fakta bahwa dari < di tingkat berikutnya mungkin = , tidak hanya > . Contoh tandingan sederhana adalah transisi n=1 di n=2 dalam rangkap tiga Pythagoras.

D. Poin ini tidak memberikan kontribusi apa pun yang penting untuk bukti BTF. Kesimpulan: BTF belum terbukti.”

Saya akan mempertimbangkan kesimpulannya poin demi poin.

TETAPI. Di dalamnya, BTF terbukti untuk seluruh himpunan tak hingga dari tiga kali lipat bilangan Pythagoras. Terbukti dengan metode geometris, yang, seperti yang saya yakini, tidak saya temukan, tetapi ditemukan kembali. Dan itu dibuka, seperti yang saya yakini, oleh P. Fermat sendiri. Fermat mungkin memikirkan hal ini ketika dia menulis:

"Saya telah menemukan bukti yang benar-benar luar biasa tentang ini, tetapi margin ini terlalu sempit untuk itu." Asumsi saya ini didasarkan pada fakta bahwa dalam masalah Diophantine, di mana, di margin buku, tulis Fermat, kita berbicara tentang solusi untuk persamaan Diophantine, yang merupakan tiga kali lipat dari bilangan Pythagoras.

Himpunan tak hingga tiga kali lipat dari bilangan Pythagoras adalah solusi untuk persamaan Diophatian, dan dalam teorema Fermat, sebaliknya, tidak ada solusi yang dapat menjadi solusi untuk persamaan teorema Fermat. Dan bukti Fermat yang benar-benar ajaib memiliki kaitan langsung dengan fakta ini. Kemudian, Fermat dapat memperluas teoremanya ke himpunan semua bilangan asli. Pada himpunan semua bilangan asli, BTF tidak termasuk dalam "kumpulan teorema yang sangat indah". Ini adalah asumsi saya, yang tidak dapat dibuktikan atau disangkal. Itu bisa diterima dan ditolak.

PADA. Dalam paragraf ini, saya membuktikan bahwa kedua keluarga dari triple bilangan Pythagoras yang diambil secara sewenang-wenang dan keluarga dari triple bilangan non-Pythagoras yang diambil secara sewenang-wenang terpenuhi. Ini adalah tautan yang perlu, tetapi tidak cukup dan perantara dalam bukti saya BTF. Contoh-contoh yang saya ambil dari keluarga tiga kali lipat bilangan Pythagoras dan keluarga dari tiga kali lipat bilangan non-Pythagoras memiliki arti contoh spesifik yang mengandaikan dan tidak mengecualikan keberadaan contoh lain yang serupa.

Pernyataan Trotil bahwa saya "ditunjukkan dengan pencacahan sederhana bahwa untuk keluarga rangkap tiga yang spesifik dan spesifik (78 dan 210 buah) BTF terpenuhi (dan hanya untuk itu) tidak berdasar. Dia tidak dapat menyangkal fakta bahwa saya juga dapat mengambil contoh lain dari rangkap tiga Pythagoras dan non-Pythagoras untuk mendapatkan keluarga tertentu dari satu dan tiga lainnya.

Berapapun pasangan rangkap tiga yang saya ambil, pemeriksaan kesesuaiannya untuk pemecahan masalah dapat dilakukan, menurut pendapat saya, hanya dengan metode "pencacahan sederhana". Metode lain apa pun tidak saya ketahui dan tidak diperlukan. Jika dia tidak menyukai Trotil, maka dia seharusnya menyarankan metode lain, yang tidak dia sukai. Tanpa menawarkan imbalan apa pun, tidak benar mengutuk “pencacahan sederhana”, yang dalam hal ini tidak tergantikan.

DENGAN. Saya menghilangkan = antara< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 \u003d x 2 + y (1), di mana derajat n > 2 — utuh nomor positif. Dari persamaan antara pertidaksamaan berikut ini wajib pertimbangan persamaan (1) dengan nilai derajat yang bukan bilangan bulat n > 2 . menghitung trotil wajib pertimbangan kesetaraan antara ketidaksetaraan, sebenarnya mempertimbangkan diperlukan dalam pembuktian BTF, pertimbangan persamaan (1) dengan bukan bilangan bulat nilai derajat n > 2 . Saya melakukan ini untuk diri saya sendiri dan menemukan persamaan (1) dengan bukan bilangan bulat nilai derajat n > 2 memiliki solusi dari tiga bilangan: z, (z-1), (z-1) dengan eksponen non-integer.