Kita sudah tahu bahwa probabilitas adalah ukuran numerik dari kemungkinan terjadinya peristiwa acak, yaitu. suatu peristiwa yang mungkin atau mungkin tidak terjadi di bawah serangkaian kondisi tertentu. Ketika kumpulan kondisi berubah, probabilitas kejadian acak dapat berubah. Sebagai syarat tambahan, kita dapat mempertimbangkan terjadinya peristiwa lain. Jadi, jika himpunan kondisi di mana peristiwa acak terjadi TETAPI, tambahkan satu lagi, yang terdiri dari terjadinya peristiwa acak PADA, maka peluang terjadinya peristiwa TETAPI akan disebut bersyarat.

Peluang bersyarat dari kejadian APeluang terjadinya peristiwa A jika peristiwa B telah terjadi. Probabilitas bersyarat dilambangkan (A).

Contoh 16 Sebuah kotak berisi 7 bola putih dan 5 bola hitam, hanya berbeda warnanya. Eksperimen tersebut terdiri dari fakta bahwa satu bola diambil secara acak dan, tanpa menurunkannya kembali, bola lain dikeluarkan. Berapa peluang terambilnya bola kedua berwarna hitam jika bola pertama yang terambil berwarna putih?

Keputusan.

Kami memiliki dua acara acak: acara TETAPI- bola pertama yang diambil berwarna putih, PADA– bola yang ditarik kedua berwarna hitam. A dan B adalah peristiwa yang tidak kompatibel, mari kita gunakan definisi klasik tentang probabilitas. Banyaknya hasil dasar saat pengambilan bola pertama adalah 12, dan banyaknya hasil yang diinginkan untuk mendapatkan bola putih adalah 7. Oleh karena itu, peluang P(A) = 7/12.

Jika bola pertama berwarna putih, maka peluang kejadian bersyarat PADA- penampakan bola hitam kedua (dengan asumsi bola pertama berwarna putih) sama dengan (PADA)= 5/11, karena ada 11 bola tersisa sebelum bola kedua diambil, 5 di antaranya berwarna hitam.

Perhatikan bahwa peluang munculnya bola hitam pada pengambilan kedua tidak akan bergantung pada warna bola pertama yang diambil jika, setelah mengambil bola pertama, kita memasukkannya kembali ke dalam kotak.

Pertimbangkan dua kejadian acak A dan B. Biarkan probabilitas P(A) dan (B) diketahui. Tentukan peluang terjadinya kejadian A dan kejadian B, yaitu produk dari acara ini.

Teorema perkalian peluang. Probabilitas produk dari dua peristiwa sama dengan produk dari probabilitas salah satu dari mereka dengan probabilitas bersyarat yang lain, dihitung dengan syarat bahwa peristiwa pertama terjadi:

P (A × B) \u003d P (A) × (B) .

Karena untuk menghitung probabilitas suatu produk, tidak masalah yang mana dari peristiwa yang dipertimbangkan TETAPI dan PADA adalah yang pertama, dan yang kedua, maka Anda dapat menulis:

P(A×B) = P(A) × (B) = P(B) × (A).

Teorema dapat diperluas ke produk dari n peristiwa:

P (A 1 A 2. A p) \u003d P (A x) P (A 2 / A 1) .. P (A p / A 1 A 2 ... A p-1).

Contoh 17. Untuk kondisi contoh sebelumnya, hitung peluang terambilnya dua bola: a) bola putih pertama, dan bola hitam kedua; b.dua bola hitam

Keputusan.

a) Dari contoh sebelumnya, kita mengetahui peluang terambilnya bola putih terlebih dahulu dan bola hitam kedua dari kotak, asalkan bola putih diambil terlebih dahulu. Untuk menghitung peluang kedua peristiwa yang terjadi bersama-sama, kami menggunakan teorema perkalian peluang: P (A × B) \u003d P (A) × (B) \u003d .

b) Demikian pula, kami menghitung peluang terambilnya dua bola hitam. Peluang terambilnya bola hitam terlebih dahulu . Peluang terambilnya bola hitam untuk kedua kalinya, asalkan kita tidak memasukkan bola hitam pertama yang ditarik kembali ke dalam kotak (ada 4 bola hitam yang tersisa, dan jumlah total bola adalah 11). Probabilitas yang dihasilkan dapat dihitung dengan menggunakan rumus P (A × B) \u003d P (A) × (B) 0,152.

Teorema perkalian peluang memiliki bentuk yang lebih sederhana jika kejadian A dan B saling bebas.

Suatu kejadian B dikatakan bebas dari kejadian A jika peluang kejadian B tidak berubah apakah kejadian A terjadi atau tidak. Jika kejadian B tidak tergantung pada kejadian A, maka kondisionalnya (B) sama dengan probabilitas biasa P(B):

Ternyata kalau acaranya PADA akan menjadi acara independen TETAPI, maka acara TETAPI akan independen dari PADA, yaitu (A)=P(A).

Mari kita buktikan. Substitusikan persamaan dari definisi independensi acara PADA dari acara TETAPI ke dalam teorema perkalian probabilitas: P (A × B) \u003d P (A) × (B) \u003d P (A) × (B). Tapi di sisi lain P(A×B)= P(B) × (A). Cara P(A) × (B)= P(B) × (A) dan (A)=P(A).

Dengan demikian, sifat independensi (atau ketergantungan) peristiwa selalu saling menguntungkan dan definisi berikut dapat diberikan: dua peristiwa disebut mandiri jika terjadinya salah satunya tidak mengubah kemungkinan terjadinya yang lain.

Perlu dicatat bahwa independensi peristiwa didasarkan pada independensi sifat fisik asalnya. Ini berarti bahwa kumpulan faktor acak yang mengarah ke satu atau lain hasil pengujian satu dan peristiwa acak lainnya berbeda. Jadi, misalnya, memukul target oleh satu penembak tidak memengaruhi dengan cara apa pun (kecuali, tentu saja, Anda menemukan alasan eksotis) kemungkinan mengenai target oleh penembak kedua. Dalam praktiknya, peristiwa independen sangat umum, karena hubungan sebab akibat dari fenomena dalam banyak kasus tidak ada atau tidak signifikan.

Teorema perkalian peluang untuk kejadian bebas. Probabilitas produk dari dua peristiwa independen sama dengan produk dari probabilitas dari peristiwa ini: P(A×B) = P(A) × P(B).

Akibat wajar berikut mengikuti dari teorema perkalian probabilitas untuk peristiwa independen.

Jika kejadian A dan B tidak sesuai dan P(A)¹0, P(B)¹0, maka keduanya saling bergantung.

Mari kita buktikan ini dengan kontradiksi. Mari kita asumsikan bahwa peristiwa yang tidak kompatibel TETAPI dan PADA mandiri. Kemudian P(A×B) = P(A)×P(B). Dan sejak P(A)¹0, P(B)¹0, yaitu acara TETAPI dan PADA bukan tidak mungkin, maka P(A×B)¹0. Tapi, di sisi lain, acara TETAPIž PADA tidak mungkin sebagai produk dari peristiwa yang tidak kompatibel (ini telah dibahas di atas). Cara P(A×B)=0. mendapat kontradiksi. Jadi, asumsi awal kita salah. Acara TETAPI dan PADA- bergantung.

Contoh 18. Sekarang mari kita kembali ke masalah yang belum terpecahkan dari dua penembak yang menembak pada target yang sama. Ingatlah bahwa jika peluang mengenai sasaran oleh penembak pertama adalah 0,8, dan penembak kedua adalah 0,7, maka perlu untuk menemukan peluang mengenai sasaran.

Acara TETAPI dan PADA- memukul target, masing-masing, oleh penembak pertama dan kedua - bersama, oleh karena itu, untuk menemukan probabilitas jumlah peristiwa TETAPI + PADA- mengenai target dengan setidaknya satu penembak - Anda harus menggunakan rumus: P(A+B) \u003d P (A) + P (B)–P(Až PADA). Acara TETAPI dan PADA mandiri, oleh karena itu P(A × B) = P(A) × P(B).

Jadi, P(A+B) \u003d P (A) + P (B) - P(A) × P(B).

P(A+B)= 0,8 + 0,7 - 0,8 × 0,7 = 0,94.

Contoh 19.

Dua tembakan independen ditembakkan ke target yang sama. Probabilitas memukul dengan tembakan pertama adalah 0,6, dan dengan yang kedua - 0,8. Temukan peluang mengenai sasaran dengan dua tembakan.

1) Tunjukkan pukulan pada tembakan pertama sebagai sebuah peristiwa
A 1 , dengan yang kedua - sebagai kejadian A 2 .

Menekan target melibatkan setidaknya satu pukulan: baik hanya pada tembakan pertama, atau hanya pada tembakan kedua, atau keduanya pada tembakan pertama dan kedua. Oleh karena itu, dalam soal tersebut diperlukan untuk menentukan peluang jumlah dua kejadian gabungan A 1 dan A 2:

P (A 1 + A 2) \u003d P (A 1) + P (A 2) -P (A 1 A 2).

2) Karena peristiwanya independen, maka P (A 1 A 2) \u003d P (A 1) P (A 2).

3) Kami mendapatkan: P (A 1 + A 2) \u003d 0,6 + 0,8 - 0,6 0,8 \u003d 0,92.
Jika kejadiannya tidak sesuai, maka P(A B) = 0 dan P(A + B) = P(A) + P(B).

Contoh 20.

Sebuah guci berisi 2 bola putih, 3 merah dan 5 bola biru dengan ukuran yang sama. Berapa peluang bahwa sebuah bola yang diambil secara acak dari guci akan berwarna (bukan putih)?

1) Misalkan kejadian A adalah keluarnya bola merah dari guci,
acara B - ekstraksi bola biru. Maka kejadian (A+B)
adalah ekstraksi bola berwarna dari guci.

2) P(A) = 3/10, P(B) = 5/10.

3) Peristiwa A dan B tidak cocok, karena hanya
satu bola. Maka: P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,3 + 0,5 = 0,8.

Contoh 21.

Sebuah guci berisi 7 bola putih dan 3 bola hitam. Berapa peluang: 1) terambilnya bola putih dari guci (peristiwa A); 2) menarik bola putih dari guci setelah mengeluarkan satu bola putih darinya (acara B); 3) mengeluarkan bola putih dari guci setelah mengeluarkan satu bola darinya, yaitu bola hitam (peristiwa C)?

1) (А) = = 0,7 (lihat probabilitas klasik).

2) P B (A) = = 0, (6).

3) P C (A) = | = 0,(7).

Contoh 22.

Mekanisme ini dirakit dari tiga bagian yang identik dan dianggap tidak dapat dioperasikan jika ketiga bagian tersebut rusak. Ada 15 bagian yang tersisa di bengkel perakitan, 5 di antaranya tidak standar (cacat). Berapa probabilitas bahwa mekanisme yang dirakit dari bagian-bagian yang tersisa yang diambil secara acak tidak dapat dioperasikan?

1) Menunjukkan peristiwa yang diinginkan melalui A, pilihan bagian non-standar pertama melalui A 1, yang kedua melalui A 2, yang ketiga melalui A 3

2) Peristiwa A akan terjadi jika peristiwa A 1 dan peristiwa A 2 dan peristiwa A 3 terjadi, mis.

A \u003d A 1 A 2 A 3,

karena "dan" logis sesuai dengan produk (lihat bagian "Aljabar Proposisional. Operasi Logika").

3) Kejadian A 1, A 2, A 3 saling bergantung, maka P (A 1 A 2 A 3) =
\u003d P (A 1) P (A 2 / A 1) P (A 3 / A 1 A 2).

4) P (A 1) \u003d, P (A 2 / A 1) \u003d, P (A 3 / A 1 A 2) \u003d. Kemudian

P (A 1 A 2 A 3) \u003d 0,022.

Untuk kejadian bebas: P(A B) = P(A) P(B).

Berdasarkan uraian di atas, kriteria independensi dua kejadian A dan B:

P (A) \u003d P B (A) \u003d P (A), P (B) \u003d P A (B) \u003d P (B).

Contoh 23.

Peluang mengenai sasaran oleh penembak pertama (peristiwa A) adalah 0,9, dan peluang mengenai sasaran oleh penembak kedua (peristiwa B) adalah 0,8. Berapa probabilitas bahwa target akan terkena setidaknya satu penembak?

1) Biarkan C menjadi acara yang menarik bagi kita; peristiwa sebaliknya adalah bahwa kedua panah meleset.

3) Sejak saat menembak satu penembak tidak mengganggu yang lain, peristiwa dan independen.

Kami memiliki: () = () () = =(1 - 0.9) (1 - 0.8) =

0,1 0,2 = 0,02.

4) P(C) = 1 -P() = 1 -0,02 = 0,98.

Rumus Probabilitas Total

Misalkan peristiwa A dapat terjadi sebagai akibat dari manifestasi satu dan hanya satu peristiwa i (i = 1,2,... n) dari beberapa kelompok lengkap peristiwa yang tidak kompatibel H 1 , H 2,… H n . Peristiwa-peristiwa kelompok ini biasanya disebut hipotesis.

Rumus Probabilitas Total. Probabilitas suatu kejadian A sama dengan jumlah perkalian berpasangan dari probabilitas semua hipotesis yang membentuk grup lengkap dan probabilitas bersyarat yang sesuai dari kejadian A:

P(A) = , dimana = 1.

Contoh 24.

Ada 3 guci yang identik. Guci pertama berisi 2 bola putih dan 1 bola hitam, wadah kedua berisi 3 bola putih dan 1 bola hitam, dan wadah ketiga berisi 2 bola putih dan 2 bola hitam. 1 bola dipilih dari sebuah guci yang dipilih secara acak. Berapa probabilitas bahwa dia akan menjadi putih?

Semua guci dianggap sama, oleh karena itu, peluang memilih guci ke-i adalah

(H i) = 1/3, di mana i = 1, 2, 3.

2) Peluang terambilnya bola putih dari guci pertama: (A) = .

Peluang terambilnya bola putih dari guci kedua: (A) = .

Peluang terambilnya bola putih dari guci ketiga: (A) = .

3) Probabilitas yang diinginkan:

P(A) = =0.63(8)

Contoh 25.

Toko menerima penjualan produk dari tiga pabrik, bagian relatifnya adalah: I - 50%, II - 30%, III - 20%. Untuk produk pabrik, perkawinannya masing-masing: I - 2%, P - 2%, III - 5%. Berapa probabilitas bahwa produk dari produk ini, yang dibeli secara acak di sebuah toko, akan berkualitas baik (peristiwa A)?

1) Tiga hipotesis berikut dimungkinkan di sini: H 1 , H 2, H 3 -
barang yang dibeli dikerjakan, masing-masing, di pabrik I, II, III; sistem hipotesis ini selesai.

Probabilitas: P(H 1) = 0,5; P (H 2) \u003d 0,3; P (H 3) \u003d 0.2.

2) Peluang bersyarat yang sesuai untuk kejadian A adalah: (A) = 1-0,02 = 0,98; (A)=1-0,03=0,97; (A) == 1-0,05 = 0,95.

3) Menurut rumus probabilitas total, kami memiliki: P (A) \u003d 0,5 0,98 + + 0,3 0,97 + 0,2 0,95 \u003d 0,971.

Rumus probabilitas posterior (rumus Bayes)

Pertimbangkan situasinya.

Ada kelompok lengkap hipotesis yang tidak konsisten H 1 , H 2, … H n , yang probabilitasnya (i = 1, 2, ... n) diketahui sebelum eksperimen (probabilitas apriori). Eksperimen (pengujian) dilakukan, sebagai akibatnya kemunculan peristiwa A terdaftar, dan diketahui bahwa hipotesis kami mengaitkan probabilitas tertentu dengan peristiwa ini (i = 1, 2, ... n). Berapa probabilitas hipotesis ini setelah eksperimen (probabilitas a posteriori)?

Jawaban untuk pertanyaan serupa diberikan oleh rumus probabilitas posterior (rumus Bayes):

, di mana i=1,2, ...p.

Contoh 26.

Probabilitas mengenai pesawat terbang dalam satu tembakan untuk sistem rudal pertama (peristiwa A) adalah 0,2, dan untuk yang kedua (peristiwa B) - 0,1. Masing-masing kompleks menembakkan satu tembakan, dan satu pukulan di pesawat terdaftar (peristiwa C). Berapa probabilitas bahwa tembakan yang berhasil adalah milik sistem rudal pertama?

Keputusan.

1) Sebelum eksperimen, ada empat hipotesis yang mungkin:

H 1 \u003d A B - pesawat ditabrak oleh kompleks 1 dan pesawat ditabrak oleh kompleks ke-2 (produk sesuai dengan logika "dan"),

H 2 \u003d A B - pesawat ditabrak oleh kompleks 1 dan pesawat tidak ditabrak oleh kompleks ke-2,

H 3 \u003d A B - pesawat tidak terpengaruh oleh kompleks 1 dan pesawat dipengaruhi oleh kompleks ke-2,

H 4 = A B - pesawat tidak terpengaruh oleh kompleks 1 dan pesawat tidak terpengaruh oleh kompleks ke-2.

Hipotesis ini membentuk kelompok peristiwa yang lengkap.

2) Probabilitas yang sesuai (dengan aksi kompleks yang independen):

P (H 1) \u003d 0,2 0,1 \u003d 0,02;

P(H 2) = 0,2 (1-0,1) = 0,18;

P (H 3) \u003d (1-0,2) 0,1 \u003d 0,08;

P (H 4) \u003d (1-0,2) (1-0,1) \u003d 0,72.

3) Karena hipotesis membentuk kelompok peristiwa yang lengkap, persamaan = 1 harus berlaku.

Kami memeriksa: P (H 1) + P (H 2) + P (H 3) + P (H 4) \u003d 0,02 + 0,18 + + 0,08 + 0,72 \u003d 1, dengan demikian, hipotesis kelompok yang dipertimbangkan benar.

4) Probabilitas bersyarat untuk kejadian C yang diamati berdasarkan hipotesis ini adalah: (C) = 0, karena menurut kondisi masalah, satu pukulan telah didaftarkan, dan hipotesis H 1 mengasumsikan dua pukulan:

(C)=1; (C) = 1.

(C) = 0, karena sesuai dengan kondisi masalah, satu pukulan dicatat, dan hipotesis H 4 mengasumsikan tidak adanya pukulan. Oleh karena itu, hipotesis H 1 dan H 4 dibatalkan.

5) Probabilitas hipotesis H 2 dan H 3 dihitung dengan menggunakan rumus Bayes:

0,7, 0,3.

Jadi, dengan probabilitas sekitar 70% (0,7), dapat dikatakan bahwa tembakan yang berhasil adalah milik sistem rudal pertama.

5.4. variabel acak. Hukum distribusi variabel acak diskrit

Cukup sering, dalam praktiknya, tes semacam itu dipertimbangkan, sebagai akibatnya sejumlah tertentu diperoleh secara acak. Misalnya, saat melempar dadu, sejumlah poin dari 1 hingga 6 jatuh, saat mengambil 6 kartu dari setumpuk, Anda bisa mendapatkan dari 0 hingga 4 ace. Untuk jangka waktu tertentu (misalnya, sehari atau sebulan), sejumlah kejahatan terdaftar di kota, sejumlah kecelakaan lalu lintas terjadi. Sebuah tembakan dilepaskan dari pistol. Kisaran proyektil juga mengambil nilai acak.

Dalam semua tes ini, kita dihadapkan dengan apa yang disebut variabel acak.

Suatu nilai numerik yang mengambil satu atau lain nilai sebagai hasil dari pelaksanaan tes secara acak disebut variabel acak.

Konsep variabel acak memainkan peran yang sangat penting dalam teori probabilitas. Jika teori probabilitas "klasik" mempelajari sebagian besar peristiwa acak, maka teori probabilitas modern terutama membahas variabel acak.

Selanjutnya, kami akan menunjukkan variabel acak dengan huruf Latin besar X, Y, Z, dll., Dan nilainya yang mungkin dengan huruf kecil yang sesuai x, y, z. Misalnya, jika variabel acak memiliki tiga kemungkinan nilai, maka kita akan menyatakannya sebagai berikut: , , .

Jadi, contoh variabel acak dapat:

1) jumlah poin yang dilempar pada permukaan atas dadu:

2) jumlah kartu As, saat mengambil 6 kartu dari setumpuk;

3) jumlah kejahatan yang terdaftar per hari atau bulan;

4) jumlah pukulan tepat sasaran dengan empat tembakan pistol;

5) jarak yang akan ditempuh proyektil saat ditembakkan dari meriam;

6) tinggi badan orang yang diambil secara acak.

Dapat dilihat bahwa pada contoh pertama, variabel acak dapat mengambil salah satu dari enam kemungkinan nilai: 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Pada contoh kedua dan keempat, banyaknya nilai yang mungkin dari variabel acak adalah lima: 0, 1, 2, 3, 4 Pada contoh ketiga, nilai variabel acak dapat berupa bilangan asli apa pun (secara teoritis) atau 0. Pada contoh kelima dan keenam, variabel acak dapat mengambil sembarang nilai dari interval tertentu ( sebuah, b).

Jika variabel acak dapat mengambil himpunan nilai yang terbatas atau dapat dihitung, maka itu disebut diskrit(didistribusikan secara diskrit).

Kontinu Variabel acak adalah variabel acak yang dapat mengambil semua nilai dari beberapa interval hingga atau tak terbatas.

Untuk menentukan variabel acak, tidak cukup dengan membuat daftar nilai yang mungkin. Misalnya, dalam contoh kedua dan ketiga, variabel acak dapat mengambil nilai yang sama: 0, 1, 2, 3, dan 4. Namun, probabilitas yang digunakan variabel acak ini untuk mengambil nilainya akan sangat berbeda. Oleh karena itu, untuk menentukan variabel acak diskrit, selain daftar semua nilai yang mungkin, kita juga harus menunjukkan probabilitasnya.

Korespondensi antara nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitasnya disebut hukum distribusi variabel acak diskrit. , …, =

Poligon distribusi, serta deret distribusi, sepenuhnya mencirikan variabel acak. Ini adalah salah satu bentuk hukum distribusi.

Contoh 27. Sebuah koin dilempar secara acak. Buatlah baris dan poligon untuk distribusi jumlah lambang yang jatuh.

Nilai acak yang sama dengan jumlah lambang yang jatuh dapat mengambil dua nilai: 0 dan 1. Nilai 1 sesuai dengan peristiwa - hilangnya lambang, nilai 0 - hilangnya ekor. Probabilitas mendapatkan lambang dan mendapatkan ekor adalah sama dan sama. Itu. probabilitas dengan mana variabel acak mengambil nilai 0 dan 1 adalah sama. Seri distribusi memiliki bentuk:

X
p

Juga akan ada tugas untuk solusi independen, di mana Anda dapat melihat jawabannya.

Pernyataan umum masalah: probabilitas beberapa peristiwa diketahui, tetapi probabilitas peristiwa lain yang terkait dengan peristiwa ini perlu dihitung. Dalam masalah ini, ada kebutuhan untuk operasi probabilitas seperti penambahan dan perkalian probabilitas.

Misalnya, dua tembakan dilepaskan saat berburu. Peristiwa A- memukul bebek dari tembakan pertama, acara B- Pukulan dari tembakan kedua. Maka jumlah kejadian A dan B- pukulan dari tembakan pertama atau kedua atau dari dua tembakan.

Tugas dari jenis yang berbeda. Beberapa kejadian diberikan, misalnya sebuah koin dilempar tiga kali. Diperlukan untuk menemukan peluang bahwa salah satu dari tiga kali lambang akan rontok, atau bahwa lambang akan rontok setidaknya sekali. Ini adalah masalah perkalian.

Penambahan probabilitas peristiwa yang tidak kompatibel

Penjumlahan peluang digunakan ketika diperlukan untuk menghitung peluang kombinasi atau jumlah logis dari peristiwa acak.

Jumlah acara A dan B menunjuk A + B atau A ∪ B. Jumlah dua kejadian adalah kejadian yang terjadi jika dan hanya jika paling sedikit satu kejadian terjadi. Ini berarti bahwa A + B- suatu peristiwa yang terjadi jika dan hanya jika suatu peristiwa terjadi selama pengamatan A atau acara B, atau pada saat yang sama A dan B.

Jika acara A dan B saling tidak konsisten dan probabilitasnya diberikan, probabilitas bahwa salah satu dari peristiwa ini akan terjadi sebagai hasil dari satu percobaan dihitung menggunakan penambahan probabilitas.

Teorema penjumlahan peluang. Probabilitas bahwa salah satu dari dua peristiwa yang saling bertentangan akan terjadi sama dengan jumlah peluang dari peristiwa-peristiwa ini:

Misalnya, dua tembakan dilepaskan saat berburu. Peristiwa TETAPI– memukul bebek dari tembakan pertama, acara PADA– pukulan dari tembakan kedua, event ( TETAPI+ PADA) - pukulan dari tembakan pertama atau kedua atau dari dua tembakan. Jadi jika dua peristiwa TETAPI dan PADA adalah peristiwa yang tidak kompatibel, maka TETAPI+ PADA- terjadinya setidaknya satu dari peristiwa ini atau dua peristiwa.

Contoh 1 Sebuah kotak berisi 30 bola dengan ukuran yang sama: 10 merah, 5 biru, dan 15 putih. Hitung peluang terambilnya bola berwarna (bukan putih) tanpa melihat.

Keputusan. Mari kita asumsikan bahwa acara TETAPI– “bola merah diambil”, dan acara PADA- "Bola biru diambil." Kemudian acaranya adalah “diambil bola berwarna (bukan putih). Tentukan peluang suatu kejadian TETAPI:

dan acara PADA:

Acara TETAPI dan PADA- saling bertentangan, karena jika diambil satu bola, maka bola yang berbeda warna tidak dapat diambil. Oleh karena itu, kami menggunakan penambahan probabilitas:

Teorema penambahan peluang untuk beberapa kejadian yang tidak sesuai. Jika kejadian-kejadian tersebut merupakan himpunan kejadian yang lengkap, maka jumlah peluangnya sama dengan 1:

Jumlah peluang kejadian yang berlawanan juga sama dengan 1:

Kejadian-kejadian yang berlawanan membentuk suatu himpunan kejadian yang lengkap, dan peluang terjadinya himpunan kejadian yang lengkap adalah 1.

Probabilitas kejadian yang berlawanan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil. p dan q. Secara khusus,

dari mana rumus berikut untuk probabilitas peristiwa yang berlawanan mengikuti:

Contoh 2 Target di dasbor dibagi menjadi 3 zona. Probabilitas penembak tertentu akan menembak target di zona pertama adalah 0,15, di zona kedua - 0,23, di zona ketiga - 0,17. Tentukan peluang penembak mengenai sasaran dan peluang penembak meleset dari sasaran.

Solusi: Temukan peluang penembak mengenai sasaran:

Temukan probabilitas bahwa penembak meleset dari sasaran:

Tugas yang lebih sulit di mana Anda perlu menerapkan penambahan dan perkalian probabilitas - di halaman "Berbagai tugas untuk penambahan dan perkalian probabilitas" .

Penjumlahan peluang kejadian bersama-sama

Dua peristiwa acak dikatakan bersama jika terjadinya satu peristiwa tidak menghalangi terjadinya peristiwa kedua dalam pengamatan yang sama. Misalnya, saat melempar dadu, peristiwa TETAPI dianggap sebagai kemunculan angka 4, dan peristiwa PADA- menjatuhkan nomor genap. Karena angka 4 adalah bilangan genap, maka kedua kejadian tersebut kompatibel. Dalam praktiknya, ada tugas untuk menghitung probabilitas terjadinya salah satu peristiwa yang saling terkait.

Teorema penjumlahan peluang kejadian bersama. Probabilitas bahwa salah satu kejadian bersama akan terjadi sama dengan jumlah probabilitas dari kejadian-kejadian ini, dari mana probabilitas terjadinya umum dari kedua kejadian dikurangkan, yaitu produk dari probabilitas. Rumus peluang kejadian gabungan adalah sebagai berikut:

Karena peristiwa TETAPI dan PADA cocok, acara TETAPI+ PADA terjadi jika salah satu dari tiga kemungkinan peristiwa terjadi: atau AB. Menurut teorema penambahan kejadian yang tidak kompatibel, kami menghitung sebagai berikut:

Peristiwa TETAPI terjadi jika salah satu dari dua peristiwa yang tidak kompatibel terjadi: atau AB. Namun, peluang terjadinya satu peristiwa dari beberapa peristiwa yang tidak sesuai sama dengan jumlah peluang semua peristiwa ini:

Demikian pula:

Mengganti ekspresi (6) dan (7) ke dalam ekspresi (5), kami memperoleh rumus probabilitas untuk kejadian gabungan:

Saat menggunakan rumus (8), harus diperhitungkan bahwa peristiwa TETAPI dan PADA dapat:

• saling independen;
• saling bergantung.

Rumus peluang kejadian yang saling bebas:

Rumus peluang kejadian saling bergantung:

Jika acara TETAPI dan PADA tidak konsisten, maka kebetulan mereka adalah kasus yang mustahil dan, dengan demikian, P(AB) = 0. Rumus peluang keempat untuk kejadian yang tidak sesuai adalah sebagai berikut:

Contoh 3 Dalam balap mobil, saat mengemudi di mobil pertama, kemungkinan menang, saat mengemudi di mobil kedua. Mencari:

• probabilitas bahwa kedua mobil akan menang;
• probabilitas bahwa setidaknya satu mobil akan menang;

1) Peluang mobil pertama menang tidak bergantung pada hasil mobil kedua, jadi kejadiannya TETAPI(mobil pertama menang) dan PADA(mobil kedua menang) - acara independen. Tentukan peluang kedua mobil menang:

2) Temukan peluang bahwa salah satu dari dua mobil akan menang:

Tugas yang lebih sulit di mana Anda perlu menerapkan penambahan dan perkalian probabilitas - di halaman "Berbagai tugas untuk penambahan dan perkalian probabilitas" .

Selesaikan sendiri masalah penjumlahan probabilitas, lalu lihat solusinya

Contoh 4 Dua koin dilempar. Peristiwa A- hilangnya lambang pada koin pertama. Peristiwa B- hilangnya lambang pada koin kedua. Tentukan peluang suatu kejadian C = A + B .

perkalian probabilitas

Perkalian probabilitas digunakan ketika probabilitas produk logis dari peristiwa yang akan dihitung.

Dalam hal ini, kejadian acak harus independen. Dua kejadian dikatakan saling bebas jika terjadinya satu kejadian tidak mempengaruhi peluang terjadinya kejadian kedua.

Teorema perkalian peluang untuk kejadian bebas. Probabilitas terjadinya dua peristiwa independen secara bersamaan TETAPI dan PADA sama dengan produk dari probabilitas kejadian-kejadian ini dan dihitung dengan rumus:

Contoh 5 Uang logam dilempar tiga kali berturut-turut. Hitunglah peluang bahwa lambang itu akan rontok sebanyak tiga kali.

Keputusan. Peluang bahwa lambang akan jatuh pada lemparan pertama sebuah koin, kedua kalinya, dan ketiga kalinya. Temukan probabilitas bahwa lambang akan rontok semua tiga kali:

Selesaikan masalah untuk mengalikan probabilitas sendiri, dan kemudian lihat solusinya

Contoh 6 Ada sebuah kotak dengan sembilan bola tenis baru. Tiga bola diambil untuk permainan, setelah permainan mereka dimasukkan kembali. Saat memilih bola, mereka tidak membedakan antara bola yang dimainkan dan yang belum dimainkan. Berapa peluang bahwa setelah tiga permainan tidak akan ada bola yang belum dimainkan di dalam kotak?

Contoh 7 32 huruf alfabet Rusia ditulis pada kartu alfabet yang dipotong. Lima kartu diambil secara acak satu demi satu dan diletakkan di atas meja sesuai urutan kemunculannya. Tentukan peluang bahwa huruf-huruf tersebut akan membentuk kata "akhir".

Contoh 8 Dari setumpuk kartu penuh (52 lembar), empat kartu dikeluarkan sekaligus. Temukan peluang bahwa keempat kartu ini memiliki jenis yang sama.

Contoh 9 Masalah yang sama seperti pada contoh 8, tetapi setiap kartu dikembalikan ke dek setelah ditarik.

Tugas yang lebih kompleks, di mana Anda perlu menerapkan penambahan dan perkalian probabilitas, serta menghitung produk dari beberapa peristiwa, di halaman "Berbagai tugas untuk penambahan dan perkalian probabilitas" .

Probabilitas bahwa setidaknya satu dari peristiwa yang saling bebas akan terjadi dapat dihitung dengan mengurangkan produk dari peluang dari peristiwa yang berlawanan dari 1, yaitu, dengan rumus.

Biarlah TETAPI dan PADA adalah dua peristiwa yang dipertimbangkan dalam tes ini. Dalam hal ini, terjadinya salah satu peristiwa dapat mempengaruhi kemungkinan terjadinya yang lain. Misalnya, terjadinya suatu peristiwa TETAPI dapat mempengaruhi acara PADA atau sebaliknya. Untuk memperhitungkan ketergantungan beberapa peristiwa pada peristiwa lain, konsep probabilitas bersyarat diperkenalkan.

Definisi. Jika peluang suatu kejadian PADA terletak di bawah kondisi bahwa acara TETAPI terjadi, maka peluang kejadian yang dihasilkan PADA ditelepon probabilitas bersyarat acara PADA. Simbol berikut digunakan untuk menunjukkan probabilitas bersyarat seperti itu: R TETAPI ( PADA) atau R(PADA / TETAPI).

Catatan 2. Berbeda dengan probabilitas bersyarat, probabilitas "tidak bersyarat" juga dipertimbangkan, ketika setiap kondisi untuk terjadinya beberapa peristiwa PADA hilang.

Contoh. Sebuah guci berisi 5 bola, 3 di antaranya berwarna merah dan 2 berwarna biru. Pada gilirannya, satu bola diambil darinya dengan pengembalian dan tanpa pengembalian. Tentukan peluang bersyarat terambilnya bola merah untuk kedua kalinya, asalkan yang pertama kali diambil adalah: a) bola merah; b) bola biru.

Biarkan acara TETAPI menggambar bola merah untuk pertama kalinya, dan kejadiannya PADA– mengeluarkan bola merah untuk kedua kalinya. Jelas bahwa R(TETAPI) = 3 / 5; kemudian dalam hal bola yang dikeluarkan untuk pertama kali dikembalikan ke guci, R(PADA)=3/5. Jika bola yang diambil tidak dikembalikan, peluang terambilnya bola merah adalah R(PADA) tergantung pada bola mana yang diambil pertama kali - merah (event TETAPI) atau biru (peristiwa). Kemudian dalam kasus pertama R TETAPI ( PADA) = 2 / 4, dan di detik ( PADA) = 3 / 4.

Teorema perkalian peluang kejadian, salah satunya terjadi di bawah kondisi yang lain

Probabilitas produk dari dua peristiwa sama dengan produk dari probabilitas salah satu dari mereka dengan probabilitas bersyarat yang lain, ditemukan dengan asumsi bahwa peristiwa pertama terjadi:

R(A B) = R(TETAPI) ∙ R TETAPI ( PADA) . (1.7)

Bukti. Memang, mari n- jumlah total hasil tes yang kemungkinannya sama dan tidak sesuai (dasar). Biarkan saja n 1 - jumlah hasil yang mendukung acara TETAPI, yang terjadi di awal, dan m- jumlah hasil di mana peristiwa itu terjadi PADA dengan asumsi bahwa peristiwa TETAPI telah datang. Dengan demikian, m adalah jumlah hasil yang mendukung acara tersebut PADA. Kemudian kita mendapatkan:

Itu. probabilitas produk dari beberapa peristiwa sama dengan produk dari probabilitas salah satu peristiwa ini dengan probabilitas bersyarat yang lain, dan probabilitas bersyarat dari setiap peristiwa berikutnya dihitung dengan asumsi bahwa semua peristiwa sebelumnya telah terjadi.

Contoh. Ada 4 master olahraga dalam tim yang terdiri dari 10 atlet. Dengan pengundian, 3 atlet dipilih dari tim. Berapa peluang bahwa semua atlet yang terpilih adalah master olahraga?

Keputusan. Mari kita mengurangi masalah ke model "guci", yaitu. Misalkan ada 4 bola merah dan 6 bola putih dalam sebuah guci berisi 10 bola. 3 bola diambil secara acak dari guci ini (pilihan S= 3). Biarkan acara TETAPI terdiri dari mengekstrak 3 bola. Masalah tersebut dapat diselesaikan dengan dua cara: dengan skema klasik dan dengan rumus (1.9).

Metode pertama berdasarkan rumus kombinatorik:

Metode kedua (dengan rumus (1.9)). Dari guci diambil 3 bola secara berurutan tanpa pengembalian. Biarlah TETAPI 1 - bola yang ditarik pertama berwarna merah, TETAPI 2 - bola yang ditarik kedua berwarna merah, TETAPI 3 - bola yang ditarik ketiga berwarna merah. Biarkan juga acaranya TETAPI berarti ketiga bola yang diambil berwarna merah. Kemudian: TETAPI = TETAPI 1 ∙ (TETAPI 2 / TETAPI 1) ∙ TETAPI 3 / (TETAPI 1 ∙ TETAPI 2), yaitu

Contoh. Biarkan dari set kartu a, a, r, b, o, t kartu diambil satu per satu. Berapa peluang terambil kata “ Pekerjaan” ketika secara berurutan melipatnya menjadi satu baris dari kiri ke kanan?

Biarlah PADA- acara di mana kata yang dideklarasikan diperoleh. Kemudian dengan rumus (1.9) kita peroleh:

R(PADA) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

Teorema perkalian probabilitas mengambil bentuknya yang paling sederhana ketika produk dibentuk oleh peristiwa-peristiwa yang tidak bergantung satu sama lain.

Definisi. Peristiwa PADA ditelepon mandiri dari acara TETAPI jika probabilitasnya tidak berubah terlepas dari apakah peristiwa itu terjadi TETAPI atau tidak. Dua peristiwa disebut bebas (dependen) jika terjadinya salah satunya tidak mengubah (mengubah) peluang terjadinya yang lain. Jadi, untuk acara independen p(B/A) = R(PADA) atau = R(PADA), dan untuk kejadian dependen R(PADA/A)

Produk dari dua peristiwa dan sebutkan peristiwa yang terdiri dari terjadinya bersama dari peristiwa-peristiwa ini.

Produk dari beberapa acara sebutkan peristiwa yang terdiri dari kejadian bersama dari semua peristiwa ini.

Misalnya, penampilan lambang dalam tiga kali pelemparan koin secara bersamaan.

Probabilitas Bersyarat

Probabilitas Bersyarat disebut probabilitas terjadinya suatu peristiwa, dihitung dengan asumsi bahwa peristiwa tersebut telah terjadi:

Contoh. Sebuah guci berisi 3 bola putih dan 3 bola hitam. Satu bola dikeluarkan dari guci dua kali, tanpa mengembalikannya kembali. Tentukan peluang terambilnya bola putih pada percobaan (kejadian) kedua jika terambil bola hitam pada percobaan (kejadian) pertama ).

Keputusan. Setelah tes pertama, ada 5 bola tersisa di guci, 3 di antaranya berwarna putih.

Probabilitas bersyarat yang diperlukan

Probabilitas Bersyarat peristiwa, asalkan peristiwa itu telah terjadi, menurut definisi, sama dengan

Teorema perkalian peluang

Dalil. Probabilitas terjadinya bersama dari dua peristiwa sama dengan produk dari probabilitas salah satu dari mereka dengan probabilitas bersyarat yang lain, dihitung dengan asumsi bahwa peristiwa pertama telah terjadi:

Bukti. Dengan definisi probabilitas bersyarat,

Komentar. . Suatu peristiwa setara dengan suatu peristiwa. Karena itu,

dan. (***)

Konsekuensi. Probabilitas terjadinya bersama dari beberapa peristiwa sama dengan produk dari probabilitas salah satunya dengan probabilitas bersyarat dari semua yang lain, dan probabilitas setiap peristiwa berikutnya dihitung dengan asumsi bahwa semua peristiwa sebelumnya telah muncul ( dalam hal terjadinya tiga peristiwa:

Urutan di mana acara berada dapat dipilih dalam urutan apa pun.

Contoh. Sebuah guci berisi 5 bola putih, 4 hitam, dan 3 biru. Satu bola diambil secara acak tanpa mengembalikannya, kemudian diambil bola kedua dan ketiga. Temukan probabilitas bahwa pada percobaan pertama sebuah bola putih (peristiwa) muncul, pada yang kedua - hitam (peristiwa) dan pada yang ketiga - biru (peristiwa).

Keputusan. Peluang munculnya bola putih pada percobaan pertama

Peluang munculnya bola hitam pada percobaan kedua, dihitung dengan asumsi bola putih muncul pada percobaan pertama (probabilitas bersyarat)

Peluang munculnya bola biru pada percobaan ketiga, dihitung dengan asumsi bahwa bola putih muncul pada percobaan pertama dan bola hitam pada percobaan kedua (probabilitas bersyarat)

Probabilitas yang diinginkan

Institusi Pendidikan "Negara Belarusia

akademi pertanian"

Departemen Matematika Tinggi

PENAMBAHAN DAN PERGANDAAN PROBABILITAS. UJI INDEPENDEN BERULANG

Kuliah untuk mahasiswa Fakultas Manajemen Pertanahan

pembelajaran jarak jauh

Gorki, 2012

Penjumlahan dan perkalian peluang. Ulang

tes mandiri

1. Penambahan probabilitas

Jumlah dua kejadian bersama TETAPI dan PADA disebut peristiwa Dengan, terdiri dari terjadinya setidaknya satu dari peristiwa TETAPI atau PADA. Demikian pula, jumlah beberapa kejadian bersama adalah kejadian yang terdiri dari terjadinya setidaknya satu dari kejadian ini.

Jumlah dua kejadian yang saling lepas TETAPI dan PADA disebut peristiwa Dengan, terdiri dari kejadian atau peristiwa TETAPI, atau acara PADA. Demikian pula, jumlah dari beberapa peristiwa yang tidak kompatibel adalah peristiwa yang terdiri dari terjadinya salah satu dari peristiwa ini.

Teorema penjumlahan peluang kejadian yang tidak kompatibel adalah valid: peluang jumlah dua kejadian yang tidak sesuai sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut , yaitu . Teorema ini dapat diperluas ke sejumlah peristiwa yang tidak kompatibel.

Dari teorema ini berikut:

jumlah peluang kejadian membentuk kelompok lengkap sama dengan satu;

jumlah peluang kejadian yang berlawanan sama dengan satu, yaitu
.

Contoh 1 . Sebuah kotak berisi 2 bola putih, 3 merah, dan 5 bola biru. Bola dikocok dan diambil satu secara acak. Berapa peluang terambilnya bola berwarna?

Keputusan . Mari kita tunjukkan peristiwa:

A=(bola warna dihilangkan);

B= (bola putih terambil);

C= (bola merah terambil);

D= (bola biru dihilangkan).

Kemudian A= C+ D. Sejak peristiwa C, D tidak kompatibel, maka kami menggunakan teorema penambahan peluang kejadian yang tidak kompatibel: .

Contoh 2 . Sebuah guci berisi 4 bola putih dan 6 bola hitam. Dari guci tersebut diambil 3 bola secara acak. Berapa probabilitas bahwa mereka semua memiliki warna yang sama?

Keputusan . Mari kita tunjukkan peristiwa:

A\u003d (bola dengan warna yang sama dikeluarkan);

B\u003d (bola putih dikeluarkan);

C= (bola hitam dikeluarkan).

Sebagai A= B+ C dan acara PADA dan Dengan tidak kompatibel, maka dengan teorema penambahan peluang kejadian yang tidak kompatibel
. Probabilitas Peristiwa PADA adalah sama dengan
, di mana
4,

. Pengganti k dan n ke dalam rumus dan dapatkan
Demikian pula, kami menemukan probabilitas suatu peristiwa Dengan:
, di mana
,
, yaitu
. Kemudian
.

Contoh 3 . Dari setumpuk 36 kartu, 4 kartu diambil secara acak. Temukan probabilitas bahwa akan ada setidaknya tiga kartu As di antara mereka.

Keputusan . Mari kita tunjukkan peristiwa:

A\u003d (di antara kartu yang ditarik setidaknya ada tiga kartu As);

B\u003d (di antara kartu yang ditarik ada tiga kartu As);

C= (di antara kartu yang ditarik ada empat ace).

Sebagai A= B+ C, dan acara PADA dan Dengan tidak konsisten, maka
. Mari kita cari peluang kejadiannya PADA dan Dengan:

,
. Oleh karena itu, peluang bahwa di antara kartu yang diambil paling sedikit terdapat tiga kartu As adalah sama dengan

0.0022.

1. perkalian probabilitas

kerja dua acara TETAPI dan PADA disebut peristiwa Dengan, yang terdiri dari terjadinya bersama dari peristiwa-peristiwa ini:
. Definisi ini meluas ke sejumlah peristiwa yang terbatas.

Kedua peristiwa tersebut disebut mandiri jika probabilitas terjadinya salah satunya tidak tergantung pada apakah peristiwa lainnya terjadi atau tidak. Acara , , … , ditelepon mandiri secara kolektif , jika probabilitas terjadinya masing-masing tidak tergantung pada apakah peristiwa lain terjadi atau tidak terjadi.

Contoh 4 . Dua anak panah menembak sasaran. Mari kita tunjukkan peristiwa:

A=(Penembak pertama mengenai target);

B= (penembak kedua mengenai sasaran).

Jelas, kemungkinan mengenai sasaran oleh penembak pertama tidak tergantung pada apakah penembak kedua mengenai atau meleset, dan sebaliknya. Oleh karena itu, peristiwa TETAPI dan PADA mandiri.

Teorema perkalian peluang kejadian bebas adalah valid: peluang hasil kali dua kejadian bebas sama dengan hasil kali peluang kejadian-kejadian tersebut : .

Teorema ini juga berlaku untuk n peristiwa yang independen secara agregat: .

Contoh 5 . Dua penembak menembak sasaran yang sama. Probabilitas memukul penembak pertama adalah 0,9, dan yang kedua adalah 0,7. Kedua penembak melepaskan satu tembakan pada saat yang bersamaan. Tentukan probabilitas bahwa akan ada dua hit pada target.

Keputusan . Mari kita tunjukkan peristiwa:

A

B

C=(kedua panah akan mengenai target).

Sebagai
, dan acara TETAPI dan PADA mandiri, maka
, yaitu .

Acara TETAPI dan PADA ditelepon bergantung jika probabilitas terjadinya salah satunya tergantung pada apakah peristiwa lainnya terjadi atau tidak. Peluang suatu kejadian TETAPI asalkan acara PADA itu sudah ada di sini, itu disebut probabilitas bersyarat dan dilambangkan
atau
.

Contoh 6 . Sebuah guci berisi 4 bola putih dan 7 bola hitam. Bola diambil dari guci. Mari kita tunjukkan peristiwa:

A=(bola putih dibuang);

B= (bola hitam dihilangkan).

Sebelum Anda mulai menggambar bola dari guci
. Satu bola diambil dari guci dan ternyata menjadi hitam. Maka peluang kejadian TETAPI setelah acara PADA akan berbeda, sama . Artinya peluang suatu kejadian TETAPI tergantung acara PADA, yaitu peristiwa ini akan tergantung.

Teorema perkalian peluang kejadian dependen adalah valid: probabilitas produk dari dua peristiwa dependen sama dengan produk dari probabilitas salah satu dari mereka dengan probabilitas bersyarat yang lain, dihitung dengan asumsi bahwa peristiwa pertama telah terjadi, yaitu atau .

Contoh 7 . Sebuah guci berisi 4 bola putih dan 8 bola merah. Dua bola diambil secara acak darinya. Tentukan peluang terambilnya kedua bola berwarna hitam.

Keputusan . Mari kita tunjukkan peristiwa:

A=(bola hitam diambil lebih dulu);

B= (sebuah bola hitam diambil kedua).

Acara TETAPI dan PADA tergantung karena
, sebuah
. Kemudian
.

Contoh 8 . Tiga anak panah menembak target secara independen satu sama lain. Probabilitas mengenai target untuk penembak pertama adalah 0,5, untuk yang kedua - 0,6 dan untuk yang ketiga - 0,8. Temukan probabilitas bahwa dua pukulan akan terjadi jika setiap penembak menembakkan satu tembakan.

Keputusan . Mari kita tunjukkan peristiwa:

A=(akan ada dua hit pada target);

B=(penembak pertama mengenai target);

C=(Penembak kedua akan mengenai target);

D=(penembak ketiga akan mengenai target);

=(Penembak pertama tidak akan mengenai target);

=(Penembak kedua tidak akan mengenai target);

=(Penembak ketiga tidak akan mengenai target).

Sesuai dengan contoh
,
,
,

,
,
. Karena , maka dengan menggunakan teorema penjumlahan untuk peluang kejadian yang tidak kompatibel dan teorema untuk mengalikan peluang kejadian independen, kita mendapatkan:

Biarkan acara
membentuk kelompok lengkap peristiwa dari beberapa percobaan, dan peristiwa TETAPI hanya dapat terjadi dengan salah satu dari peristiwa ini. Jika peluang dan peluang bersyarat dari suatu kejadian diketahui TETAPI, maka peluang kejadian A dihitung dengan rumus:

Atau
. Rumus ini disebut rumus probabilitas total , dan acara
hipotesis .

Contoh 9 . Jalur perakitan menerima 700 suku cadang dari mesin pertama dan 300 suku cadang dari yang kedua. Mesin pertama memberikan 0,5% penolakan, dan yang kedua - 0,7%. Tentukan peluang barang yang diambil cacat.

Keputusan . Mari kita tunjukkan peristiwa:

A=(barang yang diambil akan cacat);

= (bagian dibuat pada mesin pertama);

= (bagian dibuat pada mesin kedua).

Probabilitas bahwa bagian itu dibuat pada mesin pertama adalah
. Untuk mesin kedua
. Dengan syarat, peluang mendapatkan suku cadang cacat yang dibuat pada mesin pertama adalah sama dengan
. Untuk mesin kedua, probabilitas ini sama dengan
. Kemudian probabilitas bahwa bagian yang diambil akan rusak dihitung dengan rumus probabilitas total

Jika suatu peristiwa diketahui telah terjadi sebagai akibat dari suatu pengujian TETAPI, maka peluang terjadinya peristiwa tersebut dengan hipotesis
, adalah sama dengan
, di mana
- total probabilitas acara TETAPI. Rumus ini disebut rumus Bayes dan memungkinkan Anda untuk menghitung probabilitas kejadian
setelah diketahui bahwa peristiwa itu TETAPI telah tiba.

Contoh 10 . Bagian dari jenis yang sama untuk mobil diproduksi di dua pabrik dan pergi ke toko. Pabrik pertama menghasilkan 80% dari jumlah total bagian, dan yang kedua - 20%. Produksi pabrik pertama mengandung 90% bagian standar, dan yang kedua - 95%. Pembeli membeli satu bagian dan ternyata standar. Temukan probabilitas bahwa bagian ini dibuat di pabrik kedua.

Keputusan . Mari kita tunjukkan peristiwa:

A=(membeli bagian standar);

= (bagian dibuat di pabrik pertama);

= (bagian dibuat di pabrik kedua).

Sesuai dengan contoh
,
,
dan
. Hitung peluang total suatu kejadian TETAPI: 0,91. Probabilitas bahwa suku cadang diproduksi di pabrik kedua dihitung dengan menggunakan rumus Bayes:

.

Tugas untuk pekerjaan mandiri

Probabilitas mengenai target untuk penembak pertama adalah 0,8, untuk yang kedua - 0,7 dan untuk yang ketiga - 0,9. Para penembak melepaskan satu tembakan. Temukan probabilitas bahwa setidaknya ada dua pukulan pada target.

Bengkel tersebut menerima 15 traktor. Diketahui bahwa 6 di antaranya perlu mengganti mesin, dan sisanya - untuk mengganti komponen individual. Tiga traktor dipilih secara acak. Tentukan peluang bahwa tidak lebih dari dua traktor yang dipilih memerlukan penggantian mesin.

Pabrik beton menghasilkan panel, 80% di antaranya memiliki kualitas terbaik. Temukan probabilitas bahwa dari tiga panel yang dipilih secara acak, setidaknya dua akan memiliki nilai tertinggi.

Tiga pekerja merakit bantalan. Probabilitas bahwa bantalan yang dirakit oleh pekerja pertama memiliki kualitas tertinggi adalah 0,7, yang kedua - 0,8, dan yang ketiga - 0,6. Untuk kontrol, satu bantalan diambil secara acak dari yang dirakit oleh masing-masing pekerja. Temukan probabilitas bahwa setidaknya dua dari mereka memiliki kualitas tertinggi.

Probabilitas menang pada tiket lotere edisi pertama adalah 0,2, yang kedua - 0,3 dan yang ketiga - 0,25. Ada satu tiket untuk setiap edisi. Temukan probabilitas bahwa setidaknya dua tiket akan menang.

Akuntan melakukan perhitungan menggunakan tiga buku referensi. Probabilitas bahwa data yang menarik baginya ada di direktori pertama adalah 0,6, di direktori kedua - 0,7, dan di direktori ketiga - 0,8. Temukan probabilitas bahwa data yang menarik bagi akuntan terdapat dalam tidak lebih dari dua direktori.

Tiga mesin membuat bagian. Otomaton pertama menghasilkan bagian dengan kualitas tertinggi dengan probabilitas 0,9, yang kedua dengan probabilitas 0,7, dan yang ketiga dengan probabilitas 0,6. Satu item diambil secara acak dari setiap mesin. Temukan probabilitas bahwa setidaknya dua dari mereka memiliki kualitas tertinggi.

Jenis suku cadang yang sama diproses pada dua mesin. Probabilitas pembuatan bagian non-standar untuk mesin pertama adalah 0,03, untuk yang kedua - 0,02. Bagian yang diproses ditumpuk di satu tempat. Di antara mereka, 67% berasal dari mesin pertama, dan sisanya dari mesin kedua. Bagian yang diambil secara acak ternyata menjadi standar. Temukan probabilitas bahwa itu dibuat pada mesin pertama.

Bengkel menerima dua kotak dengan jenis kapasitor yang sama. Kotak pertama berisi 20 kapasitor, 2 di antaranya rusak. Di kotak kedua ada 10 kapasitor, 3 di antaranya rusak. Kapasitor dipindahkan ke satu kotak. Tentukan peluang bahwa sebuah kapasitor yang diambil secara acak dari kotak adalah baik.

Pada tiga mesin, jenis suku cadang yang sama dibuat, yang diumpankan ke konveyor umum. Di antara semua detail, 20% dari mesin pertama, 30% dari yang kedua dan 505 dari yang ketiga. Probabilitas pembuatan suku cadang standar pada mesin pertama adalah 0,8, pada mesin kedua - 0,6 dan pada mesin ketiga - 0,7. Bagian yang diambil adalah standar. Temukan probabilitas bahwa bagian ini dibuat pada mesin ketiga.

Picker menerima 40% suku cadang dari pabrik untuk perakitan TETAPI, dan sisanya - dari pabrik PADA. Probabilitas bahwa bagian dari pabrik TETAPI- kualitas tertinggi, sama dengan 0,8, dan dari pabrik PADA– 0.9. Pemetik secara acak mengambil satu bagian dan itu bukan kualitas tertinggi. Temukan probabilitas bahwa bagian ini berasal dari pabrik PADA.

10 siswa dari kelompok pertama dan 8 siswa dari kelompok kedua dipilih untuk mengikuti kompetisi olahraga siswa. Probabilitas bahwa seorang siswa dari kelompok pertama akan masuk ke tim nasional akademi adalah 0,8, dan dari yang kedua - 0,7. Seorang siswa yang dipilih secara acak dipilih untuk tim nasional. Tentukan peluang bahwa dia berasal dari kelompok pertama.