Kami terus mempertimbangkan tugas-tugas yang termasuk dalam ujian dalam matematika. Kami telah mempelajari masalah di mana kondisi diberikan dan diperlukan untuk menemukan jarak antara dua titik atau sudut yang diberikan.

Piramida adalah polihedron yang alasnya adalah poligon, sisi-sisi lainnya adalah segitiga, dan mereka memiliki simpul yang sama.

Piramida beraturan adalah piramida yang dasarnya terletak poligon beraturan, dan puncaknya diproyeksikan ke tengah alasnya.

Piramida segi empat biasa - alasnya adalah bujur sangkar. Bagian atas piramida diproyeksikan pada titik persimpangan diagonal alas (persegi).

ML - apotema
MLO - sudut dihedral di dasar piramida
MCO - sudut antara tepi lateral dan bidang dasar piramida

Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan tugas untuk memecahkan piramida yang benar. Diperlukan untuk menemukan elemen apa pun, luas permukaan lateral, volume, tinggi. Tentu saja, Anda perlu mengetahui teorema Pythagoras, rumus luas permukaan lateral piramida, rumus mencari volume piramida.

Di dalam artikel « » disajikan formula yang diperlukan untuk memecahkan masalah dalam stereometri. Jadi tugasnya adalah:

SABCD dot HAI- pusat dasarS puncak, JADI = 51, AC= 136. Temukan sisi sisinyaSC.

Dalam hal ini, alasnya adalah persegi. Ini berarti bahwa diagonal AC dan BD adalah sama, mereka berpotongan dan membagi dua di titik persimpangan. Perhatikan bahwa dalam piramida biasa, ketinggian yang diturunkan dari puncaknya melewati pusat dasar piramida. Jadi SO adalah tinggi dan segitigaSOCpersegi panjang. Maka dengan teorema Pythagoras:

Cara mengambil akar dari bilangan besar.

Jawaban: 85

Putuskan sendiri:

Dalam piramida segi empat biasa SABCD dot HAI- pusat dasar S puncak, JADI = 4, AC= 6. Cari sisi samping SC.

Dalam piramida segi empat biasa SABCD dot HAI- pusat dasar S puncak, SC = 5, AC= 6. Tentukan panjang segmen JADI.

Dalam piramida segi empat biasa SABCD dot HAI- pusat dasar S puncak, JADI = 4, SC= 5. Tentukan panjang segmen AC.

SABC R- tengah tulang rusuk SM, S- atas. Diketahui bahwa AB= 7, dan SR= 16. Cari luas permukaan lateral.

Luas permukaan sisi piramida segitiga beraturan sama dengan setengah produk keliling alas dan apotema (apotema adalah ketinggian sisi sisi piramida biasa yang ditarik dari atas):

Atau Anda dapat mengatakan ini: luas permukaan lateral piramida sama dengan jumlah luas ketiga permukaan samping. Wajah-wajah lateral dalam piramida segitiga beraturan adalah segitiga-segitiga dengan luas yang sama. Pada kasus ini:

Jawaban: 168

Putuskan sendiri:

Dalam piramida segitiga biasa SABC R- tengah tulang rusuk SM, S- atas. Diketahui bahwa AB= 1, dan SR= 2. Temukan luas permukaan samping.

Dalam piramida segitiga biasa SABC R- tengah tulang rusuk SM, S- atas. Diketahui bahwa AB= 1, dan luas permukaan lateral adalah 3. Temukan panjang segmen SR.

Dalam piramida segitiga biasa SABC L- tengah tulang rusuk SM, S- atas. Diketahui bahwa TL= 2, dan luas permukaan lateral adalah 3. Tentukan panjang segmen AB.

Dalam piramida segitiga biasa SABC M. Luas segitiga ABC adalah 25, volume piramida adalah 100. Hitung panjang segmennya NONA.

Dasar piramida adalah segitiga sama sisi. Jadi Madalah pusat alas, danNONA- ketinggian piramida biasaSABC. Volume Piramida SABC sama: periksa solusi

Dalam piramida segitiga biasa SABC median alas berpotongan di suatu titik M. Luas segitiga ABC adalah 3, NONA= 1. Temukan volume piramida.

Dalam piramida segitiga biasa SABC median alas berpotongan di suatu titik M. Volume piramida adalah 1, NONA= 1. Hitung luas segitiga ABC.

Mari kita selesaikan dengan ini. Seperti yang Anda lihat, tugas diselesaikan dalam satu atau dua langkah. Di masa depan, kami akan mempertimbangkan dengan Anda masalah lain dari bagian ini, di mana badan-badan revolusi diberikan, jangan lewatkan!

Aku harap kamu berhasil!

Hormat kami, Alexander Krutitskikh.

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu situs ini di jejaring sosial.

pengantar

Ketika kami mulai mempelajari angka-angka stereometrik, kami menyentuh topik "Piramida". Kami menyukai tema ini karena piramida sangat sering digunakan dalam arsitektur. Dan karena profesi masa depan kami sebagai arsitek, terinspirasi oleh sosok ini, kami pikir dia akan mampu mendorong kami untuk proyek-proyek besar.

Kekuatan struktur arsitektur, kualitasnya yang paling penting. Mengaitkan kekuatan, pertama, dengan bahan dari mana mereka dibuat, dan, kedua, dengan fitur solusi desain, ternyata kekuatan struktur secara langsung berkaitan dengan bentuk geometris yang mendasarinya.

Dengan kata lain, kita berbicara tentang sosok geometris yang dapat dianggap sebagai model dari bentuk arsitektur yang sesuai. Ternyata bentuk geometris juga menentukan kekuatan struktur arsitektural.

Piramida Mesir telah lama dianggap sebagai struktur arsitektur yang paling tahan lama. Seperti yang Anda ketahui, mereka memiliki bentuk piramida segi empat biasa.

Bentuk geometris inilah yang memberikan stabilitas terbesar karena area dasar yang besar. Di sisi lain, bentuk piramida memastikan bahwa massa berkurang ketika ketinggian di atas tanah meningkat. Kedua sifat inilah yang membuat piramida stabil, dan karenanya kuat dalam kondisi gravitasi.

Tujuan proyek: belajar sesuatu yang baru tentang piramida, memperdalam pengetahuan dan menemukan aplikasi praktis.

Untuk mencapai tujuan ini, perlu untuk menyelesaikan tugas-tugas berikut:

Pelajari informasi sejarah tentang piramida

Pertimbangkan piramida sebagai sosok geometris

Temukan aplikasi dalam kehidupan dan arsitektur

Temukan persamaan dan perbedaan antara piramida yang terletak di berbagai belahan dunia

Bagian teoretis

Informasi sejarah

Awal dari geometri piramida diletakkan di Mesir kuno dan Babel, tetapi secara aktif dikembangkan di Yunani kuno. Yang pertama menetapkan volume piramida sama dengan adalah Democritus, dan Eudoxus dari Cnidus membuktikannya. Ahli matematika Yunani kuno Euclid mensistematisasikan pengetahuan tentang piramida dalam volume XII "Awal" -nya, dan juga mengeluarkan definisi pertama piramida: sosok tubuh yang dibatasi oleh bidang yang menyatu dari satu bidang pada satu titik.

Makam para firaun Mesir. Yang terbesar dari mereka - piramida Cheops, Khafre dan Mikerin di El Giza pada zaman kuno dianggap sebagai salah satu dari Tujuh Keajaiban Dunia. Pendirian piramida, di mana orang-orang Yunani dan Romawi sudah melihat monumen kebanggaan raja dan kekejaman yang belum pernah terjadi sebelumnya, yang membuat seluruh rakyat Mesir melakukan konstruksi yang tidak masuk akal, adalah tindakan pemujaan yang paling penting dan seharusnya diungkapkan, tampaknya, identitas mistik negara dan penguasanya. Penduduk negara bekerja pada pembangunan makam di bagian tahun bebas dari pekerjaan pertanian. Sejumlah teks memberikan kesaksian tentang perhatian dan perhatian yang diberikan oleh raja-raja itu sendiri (walaupun di kemudian hari) untuk pembangunan makam mereka dan para pembangunnya. Juga diketahui tentang penghargaan kultus khusus yang ternyata adalah piramida itu sendiri.

Konsep dasar

Piramida Disebut polihedron, yang alasnya adalah poligon, dan wajah yang tersisa adalah segitiga yang memiliki simpul yang sama.

Apotema- ketinggian sisi sisi piramida biasa, ditarik dari atasnya;

Wajah samping- segitiga konvergen di atas;

Iga samping- sisi umum dari sisi samping;

puncak piramida- titik yang menghubungkan tepi samping dan tidak terletak di bidang alas;

Tinggi- segmen tegak lurus yang ditarik melalui bagian atas piramida ke bidang alasnya (ujung segmen ini adalah bagian atas piramida dan alas tegak lurus);

Bagian diagonal piramida- bagian piramida yang melewati bagian atas dan diagonal alas;

Basis- poligon yang bukan milik puncak piramida.

Sifat utama dari piramida yang benar

Tepi samping, wajah samping, dan apotema masing-masing sama besar.

Sudut dihedral pada alasnya sama besar.

Sudut dihedral pada sisi-sisinya sama besar.

Setiap titik ketinggian berjarak sama dari semua simpul dasar.

Setiap titik ketinggian berjarak sama dari semua sisi sisi.

Rumus dasar piramida

Luas permukaan lateral dan penuh piramida.

Luas permukaan lateral piramida (penuh dan terpotong) adalah jumlah luas semua permukaan sampingnya, luas permukaan total adalah jumlah luas semua permukaannya.

Teorema: Luas permukaan lateral piramida biasa sama dengan setengah produk keliling alas dan apotema piramida.

p- perimeter dasar;

h- apotema.

Area permukaan lateral dan penuh dari piramida terpotong.

p1, p 2 - perimeter dasar;

h- apotema.

R- total luas permukaan piramida terpotong biasa;

sisi S- area permukaan lateral piramida terpotong biasa;

S1 + S2- daerah dasar

Volume Piramida

Membentuk Skala volume digunakan untuk piramida jenis apa pun.

H adalah ketinggian piramida.

Sudut piramida

Sudut-sudut yang dibentuk oleh sisi muka dan alas piramid disebut sudut dihedral pada alas piramid.

Sudut dihedral dibentuk oleh dua garis tegak lurus.

Untuk menentukan sudut ini, Anda sering perlu menggunakan teorema tiga tegak lurus.

Sudut yang dibentuk oleh sisi samping dan proyeksinya pada bidang alas disebut sudut antara tepi lateral dan bidang alas.

Sudut yang dibentuk oleh dua sisi sisi disebut sudut dihedral di tepi lateral piramida.

Sudut yang dibentuk oleh dua sisi sisi salah satu muka piramida disebut sudut di puncak piramida.

Bagian dari piramida

Permukaan piramida adalah permukaan polihedron. Masing-masing mukanya merupakan bidang, sehingga bagian piramida yang diberikan oleh bidang potong adalah garis putus-putus yang terdiri dari garis-garis lurus yang terpisah.

Bagian diagonal

Bagian piramida oleh bidang yang melalui dua sisi lateral yang tidak terletak pada permukaan yang sama disebut bagian diagonal piramida.

Bagian paralel

Dalil:

Jika piramida dilintasi oleh bidang yang sejajar dengan alasnya, maka tepi samping dan tinggi piramida dibagi oleh bidang ini menjadi bagian-bagian yang proporsional;

Bagian dari bidang ini adalah poligon yang mirip dengan alasnya;

Area bagian dan alas saling terkait sebagai kuadrat jaraknya dari atas.

Jenis-jenis piramida

Piramida yang benar- sebuah piramida, yang alasnya berupa poligon biasa, dan bagian atas piramida diproyeksikan ke tengah alasnya.

Di piramida yang benar:

1. rusuk samping sama besar

2. sisi sisinya sama

3. apotema sama

4. sudut dihedral pada alasnya sama besar

5. sudut dihedral pada sisi-sisinya sama besar

6. setiap titik ketinggian berjarak sama dari semua simpul dasar

7. setiap titik ketinggian berjarak sama dari semua sisi sisi

Piramida terpotong- bagian piramida yang tertutup antara alasnya dan bidang potong yang sejajar dengan alasnya.

Bagian dasar dan bagian yang sesuai dari piramida terpotong disebut dasar piramida terpotong.

Garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik di suatu alas ke bidang alas lainnya disebut ketinggian piramida terpotong.

tugas

nomor 1. Pada piramida segi empat beraturan, titik O adalah pusat alas, SO=8 cm, BD=30 cm.Temukan sisi samping SA.

Penyelesaian masalah

nomor 1. Dalam piramida biasa, semua wajah dan tepinya sama.

Mari kita pertimbangkan OSB: OSB-persegi panjang, karena.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Piramida dalam arsitektur

Piramida - struktur monumental dalam bentuk piramida geometris biasa biasa, di mana sisi-sisinya bertemu pada satu titik. Sesuai dengan fungsinya, piramida pada zaman dahulu merupakan tempat pemakaman atau pemujaan. Basis piramida bisa berbentuk segitiga, segi empat, atau poligonal dengan jumlah simpul yang berubah-ubah, tetapi versi yang paling umum adalah alas segi empat.

Sejumlah besar piramida diketahui, dibangun oleh berbagai budaya Dunia Kuno, terutama sebagai kuil atau monumen. Piramida terbesar adalah piramida Mesir.

Di seluruh bumi Anda dapat melihat struktur arsitektur dalam bentuk piramida. Bangunan piramida mengingatkan pada zaman kuno dan terlihat sangat indah.

Piramida Mesir adalah monumen arsitektur terbesar Mesir Kuno, di antaranya salah satu dari "Tujuh Keajaiban Dunia" adalah piramida Cheops. Dari kaki ke atas mencapai 137,3 m, dan sebelum kehilangan puncak, tingginya 146,7 m.

Bangunan stasiun radio di ibu kota Slovakia, menyerupai piramida terbalik, dibangun pada tahun 1983. Selain kantor dan tempat layanan, ada ruang konser yang cukup luas di dalam volume, yang memiliki salah satu organ terbesar di Slovakia .

Louvre, yang "sesunyi dan megah seperti piramida" telah mengalami banyak perubahan selama berabad-abad sebelum menjadi museum terbesar di dunia. Itu lahir sebagai benteng, didirikan oleh Philip Augustus pada tahun 1190, yang segera berubah menjadi kediaman kerajaan. Pada tahun 1793 istana ini menjadi museum. Koleksi diperkaya melalui warisan atau pembelian.

Definisi

Piramida adalah polihedron yang terdiri dari poligon \(A_1A_2...A_n\) dan \(n\) segitiga dengan simpul yang sama \(P\) (tidak terletak pada bidang poligon) dan sisi-sisi yang berhadapan berhadapan dengan sisi-sisi poligon.
Penunjukan: \(PA_1A_2...A_n\) .
Contoh: piramida segi lima \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Segitiga \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) dll. ditelepon wajah samping piramida, segmen \(PA_1, PA_2\), dll. - rusuk samping, poligon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – dasar, titik \(P\) – puncak.

Tinggi Piramida adalah tegak lurus yang dijatuhkan dari puncak piramida ke bidang alasnya.

Piramida dengan segitiga di alasnya disebut segi empat.

Piramida disebut benar, jika alasnya adalah poligon beraturan dan salah satu kondisi berikut terpenuhi:

\((a)\) tepi sisi piramida adalah sama;

\((b)\) ketinggian piramida melewati pusat lingkaran berbatas dekat alas;

\((c)\) rusuk sisi miring ke bidang alas dengan sudut yang sama.

\((d)\) permukaan sisi miring ke bidang alas dengan sudut yang sama.

tetrahedron biasa adalah piramida segitiga, semua wajah yang segitiga sama sisi.

Dalil

Kondisi \((a), (b), (c), (d)\) adalah ekuivalen.

Bukti

Gambarlah tinggi piramida \(PH\) . Biarkan \(\alpha\) menjadi bidang dasar piramida.

1) Mari kita buktikan bahwa \((a)\) menyiratkan \((b)\) . Biarkan \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Karena \(PH\perp \alpha\) , maka \(PH\) tegak lurus terhadap setiap garis yang terletak di bidang ini, sehingga segitiga siku-siku. Jadi segitiga-segitiga ini sama pada kaki yang sama \(PH\) dan sisi miring \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Jadi \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Artinya titik-titik \(A_1, A_2, ..., A_n\) berada pada jarak yang sama dari titik \(H\) , sehingga terletak pada lingkaran yang sama dengan jari-jari \(A_1H\) . Lingkaran ini, menurut definisi, dibatasi di sekitar poligon \(A_1A_2...A_n\) .

2) Mari kita buktikan bahwa \((b)\) menyiratkan \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) persegi panjang dan sama dengan dua kaki. Oleh karena itu, sudut mereka juga sama, oleh karena itu, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) Mari kita buktikan bahwa \((c)\) menyiratkan \((a)\) .

Mirip dengan titik pertama, segitiga \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) persegi panjang dan sepanjang kaki dan sudut akut. Ini berarti bahwa sisi miringnya juga sama, yaitu \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Mari kita buktikan bahwa \((b)\) menyiratkan \((d)\) .

Karena dalam poligon beraturan, pusat lingkaran berbatas dan bertulisan bertepatan (secara umum, titik ini disebut pusat poligon beraturan), kemudian \(H\) adalah pusat lingkaran bertulisan. Mari menggambar garis tegak lurus dari titik \(H\) ke sisi alas: \(HK_1, HK_2\), dll. Ini adalah jari-jari lingkaran tertulis (menurut definisi). Kemudian, menurut TTP, (\(PH\) adalah tegak lurus bidang, \(HK_1, HK_2\), dll. adalah proyeksi tegak lurus ke sisi) miring \(PK_1, PK_2\), dll. tegak lurus ke sisi \(A_1A_2, A_2A_3\), dll. masing-masing. Jadi, menurut definisi \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\) sama dengan sudut antara sisi-sisi dan alasnya. Karena segitiga \(PK_1H, PK_2H, ...\) sama besar (sama siku-siku pada dua kaki), maka besar sudut \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\) adalah sama.

5) Mari kita buktikan bahwa \((d)\) menyiratkan \((b)\) .

Demikian pula dengan titik keempat, segitiga \(PK_1H, PK_2H, ...\) adalah sama (sepanjang kaki dan sudut lancip), yang berarti bahwa segmen \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) adalah sama. Oleh karena itu, menurut definisi, \(H\) adalah pusat lingkaran yang tertulis di alasnya. Tapi sejak untuk poligon beraturan, pusat lingkaran bertulis dan berbatas bertepatan, maka \(H\) adalah pusat lingkaran berbatas. Chtd.

Konsekuensi

Sisi-sisi sisi piramida beraturan adalah segitiga sama kaki.

Definisi

Ketinggian sisi sisi piramida biasa, yang ditarik dari puncaknya, disebut pendewaan.
Apotema dari semua sisi lateral piramida beraturan adalah sama satu sama lain dan juga merupakan median dan garis bagi.

Catatan penting

1. Ketinggian piramida segitiga beraturan jatuh ke titik persimpangan ketinggian (atau garis bagi, atau median) alasnya (alasnya adalah segitiga beraturan).

2. Ketinggian piramida segi empat beraturan jatuh ke titik perpotongan diagonal alasnya (alasnya berbentuk bujur sangkar).

3. Ketinggian piramida heksagonal beraturan jatuh ke titik perpotongan diagonal alasnya (alasnya adalah segi enam beraturan).

4. Tinggi piramida tegak lurus terhadap setiap garis lurus yang terletak di dasarnya.

Definisi

Piramida disebut persegi panjang jika salah satu sisi lateralnya tegak lurus terhadap bidang alas.

Catatan penting

1. Untuk piramida segi empat, sisi yang tegak lurus alasnya adalah tinggi piramida. Artinya, \(SR\) adalah tingginya.

2. Karena \(SR\) tegak lurus terhadap sembarang garis dari alas, maka \(\segitiga SRM, \segitiga SRP\) adalah segitiga siku-siku.

3. Segitiga \(\segitiga SRN, \SRK segitiga\) juga berbentuk persegi panjang.
Artinya, segitiga apa pun yang dibentuk oleh tepi ini dan diagonal yang keluar dari titik sudut tepi ini, yang terletak di alasnya, akan siku-siku.

\[(\Large(\text(Volume dan luas permukaan piramida))))\]

Dalil

Volume piramida sama dengan sepertiga dari produk luas alas dan tinggi piramida: \

Konsekuensi

Misalkan \(a\) adalah sisi alasnya, \(h\) adalah tinggi piramida.

1. Volume piramida segitiga beraturan adalah \(V_(\text(segitiga siku-siku pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Volume piramida segi empat beraturan adalah \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Volume piramida segi enam beraturan adalah \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Volume tetrahedron beraturan adalah \(V_(\text(tetra kanan.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Dalil

Luas permukaan lateral piramida biasa sama dengan setengah produk keliling alas dan apotema.

\[(\Large(\text(Piramida terpotong))))\]

Definisi

Pertimbangkan piramida arbitrer \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Mari kita menggambar bidang yang sejajar dengan dasar piramida melalui titik tertentu yang terletak di tepi samping piramida. Bidang ini akan membagi piramida menjadi dua polihedra, salah satunya adalah piramida (\(PB_1B_2...B_n\) ), dan yang lainnya disebut piramida terpotong(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Piramida terpotong memiliki dua alas - poligon \(A_1A_2...A_n\) dan \(B_1B_2...B_n\) , yang mirip satu sama lain.

Ketinggian piramida terpotong adalah tegak lurus yang ditarik dari beberapa titik alas atas ke bidang alas bawah.

Catatan penting

1. Semua sisi sisi piramida terpotong adalah trapesium.

2. Segmen yang menghubungkan pusat-pusat dasar piramida terpotong biasa (yaitu, piramida yang diperoleh dari bagian piramida biasa) adalah ketinggian.

Hipotesa: kami percaya bahwa kesempurnaan bentuk piramida adalah karena hukum matematika yang tertanam dalam bentuknya.

Target: setelah mempelajari piramida sebagai benda geometris, untuk menjelaskan kesempurnaan bentuknya.

Tugas:

1. Berikan definisi matematis dari piramida.

2. Pelajari piramida sebagai benda geometris.

3. Pahami pengetahuan matematika apa yang diletakkan orang Mesir di piramida mereka.

Pertanyaan pribadi:

1. Apa yang dimaksud dengan piramida sebagai benda geometris?

2. Bagaimana bentuk unik piramida dapat dijelaskan secara matematis?

3. Apa yang menjelaskan keajaiban geometris piramida?

4. Apa yang menjelaskan kesempurnaan bentuk piramida?

Definisi piramida.

PIRAMIDA (dari piramida Yunani, genus n. pyramidos) - polihedron, yang dasarnya adalah poligon, dan wajah yang tersisa adalah segitiga dengan simpul umum (gambar). Menurut jumlah sudut alasnya, piramida adalah segitiga, segi empat, dll.

PIRAMIDA - struktur monumental yang memiliki bentuk geometris piramida (kadang-kadang juga berbentuk tangga atau menara). Makam raksasa firaun Mesir kuno pada milenium ke-3-2 SM disebut piramida. e., serta alas kuil Amerika kuno (di Meksiko, Guatemala, Honduras, Peru) yang terkait dengan kultus kosmologis.

Ada kemungkinan bahwa kata Yunani "piramida" berasal dari ekspresi Mesir per-em-us, yaitu, dari istilah yang berarti ketinggian piramida. Ahli Mesir Kuno terkemuka Rusia V. Struve percaya bahwa bahasa Yunani “puram…j” berasal dari bahasa Mesir kuno “p"-mr”.

Dari sejarah. Setelah mempelajari materi dalam buku teks "Geometri" oleh penulis Atanasyan. Butuzova dan lain-lain, kami belajar bahwa: Sebuah polihedron terdiri dari n-gon A1A2A3 ... Sebuah dan n segitiga RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 disebut piramida. Poligon A1A2A3 ... An adalah dasar piramida, dan segitiga RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 adalah wajah lateral piramida, P adalah puncak piramida, segmen RA1, RA2, .. ., RAN adalah tepi lateral.

Namun, definisi piramida seperti itu tidak selalu ada. Misalnya, ahli matematika Yunani kuno, penulis risalah teoretis tentang matematika yang telah sampai kepada kita, Euclid, mendefinisikan piramida sebagai sosok padat yang dibatasi oleh bidang yang bertemu dari satu bidang ke satu titik.

Tetapi definisi ini telah dikritik di zaman kuno. Jadi Heron mengusulkan definisi piramida berikut: "Ini adalah sosok yang dibatasi oleh segitiga yang konvergen pada satu titik dan alasnya adalah poligon."

Kelompok kami, membandingkan definisi ini, sampai pada kesimpulan bahwa mereka tidak memiliki rumusan yang jelas tentang konsep "fondasi".

Kami mempelajari definisi ini dan menemukan definisi Adrien Marie Legendre, yang pada tahun 1794 dalam karyanya "Elements of Geometry" mendefinisikan piramida sebagai berikut: "Piramida adalah sosok tubuh yang dibentuk oleh segitiga yang konvergen pada satu titik dan berakhir pada sisi yang berbeda dari sebuah dasar datar.”

Tampaknya bagi kita bahwa definisi terakhir memberikan gambaran yang jelas tentang piramida, karena mengacu pada fakta bahwa alasnya datar. Definisi lain dari piramida muncul dalam buku teks abad ke-19: "piramida adalah sudut padat yang berpotongan dengan bidang."

Piramida sebagai tubuh geometris.

Itu. Piramida adalah polihedron, salah satu wajah (alas) adalah poligon, wajah lainnya (sisi) adalah segitiga yang memiliki satu simpul yang sama (bagian atas piramida).

Garis tegak lurus yang ditarik dari puncak piramida ke bidang alas disebut tinggih piramida.

Selain piramida sewenang-wenang, ada piramida kanan, yang dasarnya adalah poligon beraturan dan piramida terpotong.

Pada gambar - piramida PABCD, ABCD - alasnya, PO - tinggi.

Luas permukaan penuh Piramida disebut jumlah luas semua wajahnya.

Penuh = Sisi + Basis, di mana samping adalah jumlah luas sisi-sisinya.

volume piramida ditemukan sesuai dengan rumus:

V=1/3Sbase h, di mana Sosn. - daerah dasar h- tinggi.

Sumbu piramida beraturan adalah garis lurus yang memuat ketinggiannya.
Apotema ST - ketinggian sisi sisi piramida biasa.

Luas sisi muka piramida biasa dinyatakan sebagai berikut: Sisi. = 1/2P h, di mana P adalah keliling alas, h- ketinggian sisi wajah (apotema piramida biasa). Jika piramida dilintasi oleh bidang A'B'C'D' yang sejajar dengan alasnya, maka:

1) tepi samping dan tinggi dibagi oleh bidang ini menjadi bagian-bagian yang proporsional;

2) di bagian tersebut diperoleh poligon A'B'C'D', mirip dengan alasnya;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Dasar piramida terpotong adalah poligon serupa ABCD dan A`B`C`D`, sisi sisinya adalah trapesium.

Tinggi piramida terpotong - jarak antara pangkalan.

Volume terpotong piramida ditemukan dengan rumus:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Luas permukaan lateral piramida terpotong biasa dinyatakan sebagai berikut: Sisi = (P+P') h, di mana P dan P' adalah keliling alas, h- tinggi dari sisi wajah (sebutan dari biasa terpotong oleh pesta

Bagian-bagian piramida.

Bagian piramida menurut bidang yang melewati puncaknya adalah segitiga.

Bagian yang melalui dua sisi lateral yang tidak berdekatan dari piramida disebut bagian diagonal.

Jika bagian tersebut melewati suatu titik pada sisi tepi dan sisi alasnya, maka sisi tersebut akan menjadi jejaknya pada bidang alas piramid.

Suatu bagian yang melewati suatu titik yang terletak pada muka piramida, dan suatu jejak tertentu dari bagian tersebut pada bidang alasnya, maka konstruksinya harus dilakukan sebagai berikut:

temukan titik persimpangan bidang wajah yang diberikan dan jejak bagian piramida dan tentukan;

membangun garis lurus yang melewati titik tertentu dan titik persimpangan yang dihasilkan;

· Ulangi langkah ini untuk wajah berikutnya.

, yang sesuai dengan rasio kaki segitiga siku-siku 4:3. Rasio kaki ini sesuai dengan segitiga siku-siku yang terkenal dengan sisi 3:4:5, yang disebut segitiga "sempurna", "suci" atau "Mesir". Menurut sejarawan, segitiga "Mesir" diberi makna magis. Plutarch menulis bahwa orang Mesir membandingkan sifat alam semesta dengan segitiga "suci"; mereka secara simbolis menyamakan kaki vertikal dengan suami, alas dengan istri, dan sisi miring dengan apa yang lahir dari keduanya.

Untuk segitiga 3:4:5, persamaannya benar: 32 + 42 = 52, yang menyatakan teorema Pythagoras. Bukankah teorema inilah yang ingin diabadikan oleh para imam Mesir dengan mendirikan piramida berdasarkan segitiga 3:4:5? Sulit untuk menemukan contoh yang lebih baik untuk menggambarkan teorema Pythagoras, yang dikenal orang Mesir jauh sebelum penemuannya oleh Pythagoras.

Dengan demikian, pencipta piramida Mesir yang cerdik berusaha untuk mengesankan keturunan jauh dengan kedalaman pengetahuan mereka, dan mereka mencapai ini dengan memilih sebagai "ide geometris utama" untuk piramida Cheops - segitiga siku-siku "emas", dan untuk piramida Khafre - segitiga "suci" atau "Mesir".

Sangat sering, dalam penelitian mereka, para ilmuwan menggunakan sifat-sifat piramida dengan proporsi Bagian Emas.

Dalam kamus ensiklopedis matematika, diberikan definisi Bagian Emas berikut - ini adalah pembagian harmonik, pembagian dalam rasio ekstrim dan rata-rata - pembagian segmen AB menjadi dua bagian sedemikian rupa sehingga sebagian besar AC-nya adalah rata-rata proporsional antara seluruh segmen AB dan bagian kecilnya CB.

Temuan aljabar dari bagian Emas dari suatu segmen AB = mengurangi untuk memecahkan persamaan a: x = x: (a - x), di mana x kira-kira sama dengan 0,62a. Rasio x dapat dinyatakan sebagai pecahan 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, di mana 2, 3, 5, 8, 13, 21 adalah bilangan Fibonacci.

Konstruksi geometris bagian Emas segmen AB dilakukan sebagai berikut: pada titik B tegak lurus AB dipulihkan, segmen BE \u003d 1/2 AB diletakkan di atasnya, A dan E terhubung, DE \ u003d BE ditunda dan, akhirnya, AC \u003d AD, maka persamaan AB terpenuhi: CB = 2: 3.

Rasio emas sering digunakan dalam karya seni, arsitektur, dan ditemukan di alam. Contoh nyata adalah patung Apollo Belvedere, Parthenon. Selama konstruksi Parthenon, rasio tinggi bangunan dengan panjangnya digunakan dan rasio ini adalah 0,618. Benda-benda di sekitar kita juga memberikan contoh Rasio Emas, misalnya, penjilidan banyak buku memiliki rasio lebar dan panjang mendekati 0,618. Mempertimbangkan susunan daun pada batang tanaman yang sama, orang dapat melihat bahwa di antara setiap dua pasang daun, yang ketiga terletak di tempat Rasio Emas (slide). Masing-masing dari kita "memakai" Rasio Emas dengan kita "di tangan kita" - ini adalah rasio jari-jari.

Berkat penemuan beberapa papirus matematika, para ahli Mesir Kuno telah mempelajari sesuatu tentang sistem kalkulus dan ukuran Mesir kuno. Tugas-tugas yang terkandung di dalamnya diselesaikan oleh juru tulis. Salah satu yang paling terkenal adalah Papirus Matematika Rhind. Dengan mempelajari teka-teki ini, ahli Mesir Kuno mempelajari bagaimana orang Mesir kuno menangani berbagai besaran yang muncul ketika menghitung ukuran berat, panjang, dan volume, yang sering menggunakan pecahan, serta bagaimana mereka menangani sudut.

Orang Mesir kuno menggunakan metode menghitung sudut berdasarkan rasio tinggi ke dasar segitiga siku-siku. Mereka menyatakan setiap sudut dalam bahasa gradien. Gradien kemiringan dinyatakan sebagai rasio bilangan bulat, yang disebut "seked". Dalam Mathematics in the Time of the Pharaohs, Richard Pillins menjelaskan: “Seked dari piramida biasa adalah kemiringan salah satu dari empat wajah segitiga ke bidang alas, diukur dengan jumlah ke-n unit horizontal per unit ketinggian vertikal. . Dengan demikian, satuan ukuran ini setara dengan kotangen modern kita untuk sudut kemiringan. Oleh karena itu, kata Mesir "seked" terkait dengan kata modern kita "gradien".

Kunci numerik piramida terletak pada rasio tingginya dengan alasnya. Secara praktis, ini adalah cara termudah untuk membuat templat yang diperlukan untuk terus-menerus memeriksa sudut kemiringan yang benar selama konstruksi piramida.

Ahli Mesir Kuno akan dengan senang hati meyakinkan kita bahwa setiap firaun sangat ingin mengekspresikan individualitasnya, karena itu perbedaan sudut kemiringan untuk setiap piramida. Tapi mungkin ada alasan lain. Mungkin mereka semua ingin mewujudkan asosiasi simbolis berbeda yang tersembunyi dalam proporsi berbeda. Namun, sudut piramida Khafre (berdasarkan segitiga (3:4:5) muncul dalam tiga masalah yang disajikan oleh piramida di Papirus Matematika Rhind). Jadi sikap ini dikenal baik oleh orang Mesir kuno.

Agar adil bagi ahli Mesir Kuno yang mengklaim bahwa orang Mesir kuno tidak mengetahui segitiga 3:4:5, katakanlah panjang sisi miring 5 tidak pernah disebutkan. Tetapi masalah matematika tentang piramida selalu diselesaikan berdasarkan sudut seked - rasio tinggi ke alas. Karena panjang sisi miring tidak pernah disebutkan, disimpulkan bahwa orang Mesir tidak pernah menghitung panjang sisi ketiga.

Rasio tinggi-dasar yang digunakan dalam piramida Giza tidak diragukan lagi diketahui oleh orang Mesir kuno. Ada kemungkinan bahwa rasio ini untuk setiap piramida dipilih secara sewenang-wenang. Namun, ini bertentangan dengan pentingnya simbolisme numerik di semua jenis seni rupa Mesir. Sangat mungkin bahwa hubungan seperti itu sangat penting, karena mereka mengekspresikan ide-ide keagamaan tertentu. Dengan kata lain, seluruh kompleks Giza tunduk pada desain yang koheren, dirancang untuk mencerminkan semacam tema ilahi. Ini akan menjelaskan mengapa para desainer memilih sudut yang berbeda untuk tiga piramida.

Dalam Rahasia Orion, Bauval dan Gilbert menyajikan bukti yang meyakinkan tentang hubungan piramida Giza dengan konstelasi Orion, khususnya dengan bintang-bintang Sabuk Orion. Konstelasi yang sama hadir dalam mitos Isis dan Osiris, dan di sana adalah alasan untuk mempertimbangkan setiap piramida sebagai gambar salah satu dari tiga dewa utama - Osiris, Isis dan Horus.

KEAJAIBAN "GEOMETRI".

Di antara piramida megah Mesir, tempat khusus ditempati oleh Piramida Agung Firaun Cheops (Khufu). Sebelum melanjutkan ke analisis bentuk dan ukuran piramida Cheops, kita harus mengingat sistem pengukuran apa yang digunakan orang Mesir. Orang Mesir memiliki tiga satuan panjang: "hasta" (466 mm), sama dengan tujuh "telapak tangan" (66,5 mm), yang, pada gilirannya, sama dengan empat "jari" (16,6 mm).

Mari kita menganalisis ukuran piramida Cheops (Gbr. 2), mengikuti alasan yang diberikan dalam buku luar biasa dari ilmuwan Ukraina Nikolai Vasyutinskiy "Proporsi Emas" (1990).

Sebagian besar peneliti setuju bahwa panjang sisi dasar piramida, misalnya, GF adalah sama dengan L\u003d 233,16 m Nilai ini hampir sama persis dengan 500 "hasta". Kepatuhan penuh dengan 500 "hasta" akan terjadi jika panjang "hasta" dianggap sama dengan 0,4663 m.

Tinggi Piramida ( H) diperkirakan oleh para peneliti berbeda dari 146,6 hingga 148,2 m. Dan tergantung pada ketinggian piramida yang diterima, semua rasio elemen geometrisnya berubah. Apa alasan perbedaan perkiraan ketinggian piramida? Faktanya adalah, secara tegas, piramida Cheops terpotong. Platform atasnya saat ini berukuran sekitar 10 10 m, dan seabad yang lalu berukuran 6 6 m. Jelas bahwa puncak piramida dibongkar, dan tidak sesuai dengan aslinya.

Memperkirakan ketinggian piramida, perlu memperhitungkan faktor fisik seperti "draft" struktur. Untuk waktu yang lama, di bawah pengaruh tekanan kolosal (mencapai 500 ton per 1 m2 permukaan bawah), ketinggian piramida menurun dibandingkan dengan ketinggian aslinya.

Berapa ketinggian asli piramida? Ketinggian ini dapat dibuat ulang jika Anda menemukan "ide geometris" dasar piramida.

Gambar 2.

Pada tahun 1837, kolonel Inggris G. Wise mengukur sudut kemiringan wajah piramida: ternyata sama dengan sebuah= 51°51". Nilai ini masih diakui oleh sebagian besar peneliti saat ini. Nilai sudut yang ditunjukkan sesuai dengan garis singgung (tg sebuah), sama dengan 1.27306. Nilai ini sesuai dengan rasio ketinggian piramida AC ke setengah dari dasarnya CB(Gbr.2), yaitu AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Dan di sini para peneliti mendapat kejutan besar!.png" width="25" height="24">= 1,272. Membandingkan nilai ini dengan nilai tg sebuah= 1.27306, kita melihat bahwa nilai-nilai ini sangat dekat satu sama lain. Jika kita ambil sudut sebuah\u003d 51 ° 50", yaitu, untuk menguranginya hanya dengan satu menit busur, maka nilainya sebuah akan menjadi sama dengan 1,272, yaitu akan bertepatan dengan nilai . Perlu dicatat bahwa pada tahun 1840 G. Wise mengulangi pengukurannya dan menjelaskan bahwa nilai sudut sebuah=51°50".

Pengukuran ini membawa peneliti ke hipotesis yang sangat menarik berikut ini: segitiga ASV dari piramida Cheops didasarkan pada hubungan AC / CB = = 1,272!

Pertimbangkan sekarang segitiga siku-siku ABC, di mana rasio kaki AC / CB= (Gbr.2). Jika sekarang panjang sisi persegi panjang ABC dilambangkan dengan x, kamu, z, dan juga memperhitungkan bahwa rasio kamu/x= , maka, sesuai dengan teorema Pythagoras, panjangnya z dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Jika menerima x = 1, kamu= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Gambar 3 Segitiga siku-siku "emas".

Segitiga siku-siku yang sisi-sisinya berhubungan sebagai t:emas" segitiga siku-siku.

Kemudian, jika kita mengambil hipotesis bahwa "ide geometris" utama piramida Cheops adalah segitiga siku-siku "emas", dari sini mudah untuk menghitung "desain" tinggi piramida Cheops. Ini sama dengan:

H \u003d (L / 2) \u003d 148,28 m.

Mari kita turunkan beberapa hubungan lain untuk piramida Cheops, yang mengikuti dari hipotesis "emas". Secara khusus, kami menemukan rasio area luar piramida dengan area alasnya. Untuk melakukan ini, kami mengambil panjang kaki CB per satuan, yaitu: CB= 1. Kemudian panjang sisi alas piramida GF= 2, dan luas alasnya EFGH akan sama dengan SEFGH = 4.

Sekarang mari kita hitung luas sisi sisi piramida Cheops SD. Karena tingginya AB segi tiga AEF adalah sama dengan t, maka luas sisi samping akan sama dengan SD = t. Maka luas total keempat sisi sisi piramida akan sama dengan 4 t, dan rasio total area luar piramida dengan area dasar akan sama dengan rasio emas! Itulah apa itu - rahasia geometris utama piramida Cheops!

Kelompok "keajaiban geometris" piramida Cheops mencakup sifat-sifat nyata dan dibuat-buat dari hubungan antara berbagai dimensi dalam piramida.

Sebagai aturan, mereka diperoleh untuk mencari beberapa "konstanta", khususnya, angka "pi" (angka Ludolf), sama dengan 3,14159...; basis logaritma natural "e" (bilangan Napier) sama dengan 2,71828...; angka "F", jumlah "bagian emas", sama, misalnya 0,618 ... dst.

Anda dapat memberi nama, misalnya: 1) Properti Herodotus: (Tinggi) 2 \u003d 0,5 st. utama x Apotema; 2) Properti V. Harga: Tinggi: 0,5 st. osn \u003d Akar kuadrat dari "Ф"; 3) Properti M. Eist: Keliling alas: 2 Tinggi = "Pi"; dalam interpretasi yang berbeda - 2 sdm. utama : Tinggi = "Pi"; 4) Properti G. Reber: Jari-jari lingkaran tertulis: 0,5 st. utama = "F"; 5) Properti K. Kleppish: (St. main.) 2: 2 (st. main. x Apothem) \u003d (st. main. W. Apothem) \u003d 2 (st. main. x Apothem) : (( 2 st. Apotema X utama) + (st. utama) 2). Dll. Anda dapat menemukan banyak properti seperti itu, terutama jika Anda menghubungkan dua piramida yang berdekatan. Misalnya, sebagai "Sifat A. Arefiev" dapat disebutkan bahwa perbedaan antara volume piramida Cheops dan piramida Khafre sama dengan dua kali volume piramida Menkaure...

Banyak ketentuan menarik, khususnya tentang pembangunan piramida menurut "bagian emas" diatur dalam buku-buku D. Hambidge "Simetri Dinamis dalam Arsitektur" dan M. Geek "Estetika Proporsi dalam Alam dan Seni". Ingatlah bahwa "bagian emas" adalah pembagian segmen dalam rasio seperti itu, ketika bagian A berkali-kali lebih besar dari bagian B, berapa kali A lebih kecil dari seluruh segmen A + B. Rasio A / B adalah sama dengan angka "Ф" == 1.618. .. Penggunaan "bagian emas" ditunjukkan tidak hanya di masing-masing piramida, tetapi di seluruh kompleks piramida di Giza.

Hal yang paling aneh, bagaimanapun, adalah bahwa piramida Cheops yang sama "tidak bisa" mengandung begitu banyak properti yang luar biasa. Mengambil properti tertentu satu per satu, Anda dapat "menyesuaikan" itu, tetapi mereka tidak cocok sekaligus - mereka tidak bertepatan, mereka saling bertentangan. Oleh karena itu, jika, misalnya, ketika memeriksa semua properti, pada awalnya diambil satu sisi dasar piramida (233 m), maka ketinggian piramida dengan properti yang berbeda juga akan berbeda. Dengan kata lain, ada "keluarga" piramida tertentu, secara lahiriah mirip dengan Cheops, tetapi sesuai dengan sifat yang berbeda. Perhatikan bahwa tidak ada yang sangat ajaib dalam sifat "geometris" - banyak yang muncul secara otomatis, dari sifat-sifat gambar itu sendiri. Sebuah "keajaiban" harus dianggap hanya sesuatu yang jelas mustahil bagi orang Mesir kuno. Ini, khususnya, termasuk keajaiban "kosmik", di mana pengukuran piramida Cheops atau kompleks piramida di Giza dibandingkan dengan beberapa pengukuran astronomi dan angka "genap" ditunjukkan: satu juta kali, satu miliar kali lebih sedikit, dan segera. Mari kita pertimbangkan beberapa hubungan "kosmik".

Salah satu pernyataannya adalah ini: "jika kita membagi sisi dasar piramida dengan panjang tahun yang tepat, kita mendapatkan tepat 10 juta sumbu bumi." Hitung: bagi 233 dengan 365, kita mendapatkan 0,638. Jari-jari bumi adalah 6378 km.

Pernyataan lain sebenarnya kebalikan dari yang sebelumnya. F. Noetling menunjukkan bahwa jika Anda menggunakan "siku Mesir" yang ditemukan olehnya, maka sisi piramida akan sesuai dengan "durasi tahun matahari yang paling akurat, dinyatakan dalam sepersejuta hari terdekat" - 365.540.903.777 .

Pernyataan P. Smith: "Ketinggian piramida persis sepersejuta jarak dari Bumi ke Matahari." Meskipun ketinggian 146,6 m biasanya diambil, Smith menganggapnya sebagai 148,2 m Menurut pengukuran radar modern, sumbu semi-utama orbit bumi adalah 149,597.870 + 1,6 km. Ini adalah jarak rata-rata dari Bumi ke Matahari, tetapi pada perihelion jaraknya 5.000.000 kilometer lebih sedikit daripada di aphelion.

Pernyataan penasaran terakhir:

"Bagaimana menjelaskan bahwa massa piramida Cheops, Khafre, dan Menkaure saling terkait, seperti massa planet Bumi, Venus, Mars?" Mari kita hitung. Massa dari tiga piramida terkait sebagai: Khafre - 0,835; Cheops - 1.000; Mikerin - 0,0915. Rasio massa ketiga planet: Venus - 0,815; Tanah - 1.000; Mars - 0,108.

Jadi, terlepas dari skeptisisme, mari kita perhatikan harmoni yang terkenal dari konstruksi pernyataan: 1) ketinggian piramida, sebagai garis "pergi ke luar angkasa" - sesuai dengan jarak dari Bumi ke Matahari; 2) sisi dasar piramida yang paling dekat "dengan substrat", yaitu, ke Bumi, bertanggung jawab atas jari-jari bumi dan sirkulasi bumi; 3) volume piramida (baca - massa) sesuai dengan rasio massa planet yang paling dekat dengan Bumi. Sebuah "sandi" serupa dapat dilacak, misalnya, dalam bahasa lebah, dianalisis oleh Karl von Frisch. Namun, kami menahan diri untuk tidak mengomentari ini untuk saat ini.

BENTUK PIRAMIDA

Bentuk piramida yang terkenal tetrahedral tidak langsung muncul. Orang Skit membuat penguburan dalam bentuk bukit tanah - gundukan. Orang Mesir membangun "bukit" dari batu - piramida. Ini terjadi untuk pertama kalinya setelah penyatuan Mesir Hulu dan Hilir, pada abad ke-28 SM, ketika pendiri dinasti III, Firaun Djoser (Zoser), menghadapi tugas memperkuat persatuan negara.

Dan di sini, menurut sejarawan, "konsep baru pendewaan" tsar memainkan peran penting dalam memperkuat kekuatan pusat. Meskipun pemakaman kerajaan dibedakan oleh kemegahan yang lebih besar, mereka pada prinsipnya tidak berbeda dari makam bangsawan istana, mereka adalah struktur yang sama - mastaba. Di atas ruangan dengan sarkofagus yang berisi mumi, sebuah bukit persegi panjang dari batu-batu kecil dituangkan, di mana sebuah bangunan kecil dari balok-balok batu besar kemudian ditempatkan - "mastaba" (dalam bahasa Arab - "bangku"). Di situs mastaba pendahulunya, Sanakht, Firaun Djoser mendirikan piramida pertama. Itu dilangkahi dan merupakan tahap transisi yang terlihat dari satu bentuk arsitektur ke bentuk arsitektur lainnya, dari mastaba ke piramida.

Dengan cara ini, firaun "dibesarkan" oleh orang bijak dan arsitek Imhotep, yang kemudian dianggap sebagai pesulap dan diidentifikasi oleh orang Yunani dengan dewa Asclepius. Seolah-olah enam mastaba didirikan berturut-turut. Selain itu, piramida pertama menempati area seluas 1125 x 115 meter, dengan perkiraan ketinggian 66 meter (menurut ukuran Mesir - 1000 "telapak tangan"). Pada awalnya, arsitek berencana untuk membangun mastaba, tetapi tidak lonjong, tetapi denah persegi. Kemudian diperluas, tetapi karena ekstensi dibuat lebih rendah, dua langkah terbentuk, seolah-olah.

Situasi ini tidak memuaskan sang arsitek, dan di atas platform mastaba datar yang besar, Imhotep menempatkan tiga lagi, secara bertahap menurun menuju puncak. Makam itu berada di bawah piramida.

Beberapa piramida berundak lainnya diketahui, tetapi kemudian para pembangun melanjutkan untuk membangun piramida tetrahedral yang lebih dikenal. Namun, mengapa tidak berbentuk segitiga atau, katakanlah, segi delapan? Jawaban tidak langsung diberikan oleh fakta bahwa hampir semua piramida berorientasi sempurna ke empat titik mata angin, dan karenanya memiliki empat sisi. Selain itu, piramida adalah "rumah", cangkang ruang pemakaman segi empat.

Tapi apa yang menyebabkan sudut kemiringan wajah? Dalam buku "The Principle of Proportions" seluruh bab dikhususkan untuk ini: "Apa yang bisa menentukan sudut piramida." Secara khusus, ditunjukkan bahwa "gambar yang menarik piramida besar Kerajaan Lama adalah segitiga dengan sudut siku-siku di bagian atas.

Di luar angkasa, itu adalah semi-oktahedron: piramida di mana tepi dan sisi alasnya sama, wajah-wajahnya adalah segitiga sama sisi.Pertimbangan tertentu diberikan tentang hal ini dalam buku-buku Hambidge, Geek, dan lainnya.

Apa keuntungan dari sudut semioktahedron? Menurut deskripsi para arkeolog dan sejarawan, beberapa piramida runtuh karena beratnya sendiri. Yang dibutuhkan adalah "sudut daya tahan", sudut yang paling dapat diandalkan secara energi. Murni secara empiris, sudut ini dapat diambil dari sudut vertex di tumpukan pasir kering yang runtuh. Tetapi untuk mendapatkan data yang akurat, Anda perlu menggunakan model. Mengambil empat bola yang terpasang kuat, Anda harus meletakkan yang kelima di atasnya dan mengukur sudut kemiringan. Namun, di sini Anda dapat membuat kesalahan, oleh karena itu, perhitungan teoretis membantu: Anda harus menghubungkan pusat bola dengan garis (secara mental). Di pangkalan, Anda mendapatkan persegi dengan sisi yang sama dengan dua kali jari-jari. Persegi hanya akan menjadi dasar piramida, yang panjang ujungnya juga akan sama dengan dua kali jari-jarinya.

Jadi pengepakan bola tipe 1:4 yang padat akan memberi kita semi-oktahedron biasa.

Namun, mengapa banyak piramida, yang condong ke bentuk yang serupa, tidak mempertahankannya? Mungkin piramida semakin tua. Bertentangan dengan pepatah terkenal:

"Segala sesuatu di dunia takut pada waktu, dan waktu takut pada piramida", bangunan piramida harus menua, mereka dapat dan harus terjadi tidak hanya proses pelapukan eksternal, tetapi juga proses "penyusutan" internal , dari mana piramida bisa menjadi lebih rendah. Penyusutan juga dimungkinkan karena, seperti yang ditemukan oleh karya D. Davidovits, orang Mesir kuno menggunakan teknologi pembuatan balok dari kepingan kapur, dengan kata lain, dari "beton". Proses inilah yang dapat menjelaskan alasan penghancuran piramida Medum, yang terletak 50 km selatan Kairo. Umurnya 4600 tahun, dimensi alasnya 146 x 146 m, tingginya 118 m. “Mengapa begitu dimutilasi?” tanya V. Zamarovsky. “Referensi biasa tentang efek destruktif waktu dan “penggunaan batu untuk bangunan lain” tidak cocok di sini.

Lagi pula, sebagian besar balok dan pelat yang menghadap masih tetap di tempatnya, di reruntuhan di kakinya."Seperti yang akan kita lihat, sejumlah ketentuan membuat orang berpikir bahwa piramida Cheops yang terkenal juga" menyusut ". , pada semua gambar kuno piramida menunjuk ...

Bentuk piramid juga dapat dihasilkan dengan imitasi: beberapa pola alami, "kesempurnaan ajaib", katakanlah, beberapa kristal dalam bentuk segi delapan.

Kristal semacam itu bisa berupa kristal berlian dan emas. Sejumlah besar tanda "berpotongan" untuk konsep-konsep seperti Firaun, Matahari, Emas, Berlian adalah ciri khasnya. Di mana-mana - mulia, cemerlang (brilian), hebat, tanpa cacat, dan sebagainya. Kesamaan itu bukan kebetulan.

Kultus matahari, seperti yang Anda tahu, adalah bagian penting dari agama Mesir kuno. “Tidak peduli bagaimana kita menerjemahkan nama piramida terbesar,” salah satu buku teks modern mengatakan, “Sky Khufu” atau “Sky Khufu”, itu berarti raja adalah matahari. Jika Khufu, dalam kecemerlangan kekuatannya, membayangkan dirinya sebagai matahari kedua, maka putranya Jedef-Ra menjadi raja Mesir pertama yang mulai menyebut dirinya "putra Ra", yaitu putra raja Matahari. Matahari dilambangkan oleh hampir semua orang sebagai "logam surya", emas. "Cakram besar emas cerah" - begitulah orang Mesir menyebut siang hari kita. Orang Mesir mengenal emas dengan sangat baik, mereka tahu bentuk aslinya, di mana kristal emas dapat muncul dalam bentuk segi delapan.

Sebagai "contoh bentuk", "batu matahari" - berlian - juga menarik di sini. Nama berlian datang hanya dari dunia Arab, "almas" - yang paling sulit, paling sulit, tidak bisa dihancurkan. Orang Mesir kuno mengenal berlian dan khasiatnya yang cukup baik. Menurut beberapa penulis, mereka bahkan menggunakan pipa perunggu dengan pemotong berlian untuk pengeboran.

Afrika Selatan sekarang menjadi pemasok utama berlian, tetapi Afrika Barat juga kaya akan berlian. Wilayah Republik Mali bahkan disebut "Tanah Berlian" di sana. Sementara itu, di wilayah Malilah Dogon hidup, yang dengannya para pendukung hipotesis paleovisit menaruh banyak harapan (lihat di bawah). Berlian tidak bisa menjadi alasan kontak orang Mesir kuno dengan wilayah ini. Namun, dengan satu atau lain cara, adalah mungkin bahwa justru dengan menyalin oktahedron berlian dan kristal emas, orang Mesir kuno mendewakan firaun, "tidak dapat dihancurkan" seperti berlian dan "cemerlang" seperti emas, putra-putra Matahari, sebanding hanya dengan ciptaan alam yang paling indah.

Kesimpulan:

Setelah mempelajari piramida sebagai benda geometris, berkenalan dengan elemen dan sifat-sifatnya, kami yakin akan validitas pendapat tentang keindahan bentuk piramida.

Sebagai hasil dari penelitian kami, kami sampai pada kesimpulan bahwa orang Mesir, setelah mengumpulkan pengetahuan matematika yang paling berharga, mewujudkannya dalam piramida. Oleh karena itu, piramida benar-benar merupakan ciptaan alam dan manusia yang paling sempurna.

BIBLIOGRAFI

"Geometri: Prok. untuk 7 - 9 sel. pendidikan umum institusi \, dll. - Edisi ke-9 - M .: Pendidikan, 1999

Sejarah matematika di sekolah, M: "Pencerahan", 1982

Geometri kelas 10-11, M: "Pencerahan", 2000

Peter Tompkins "Rahasia Piramida Agung Cheops", M: "Centropoligraph", 2005

sumber daya internet

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Di sini dikumpulkan informasi dasar tentang piramida dan rumus serta konsep terkait. Semuanya dipelajari dengan tutor matematika dalam persiapan untuk ujian.

Pertimbangkan sebuah pesawat, poligon berbaring di dalamnya dan titik S tidak terletak di dalamnya. Hubungkan S ke semua simpul poligon. Polihedron yang dihasilkan disebut piramida. Segmen disebut tepi lateral. Poligon disebut alas, dan titik S disebut puncak piramida. Tergantung pada jumlah n, piramida disebut segitiga (n=3), segi empat (n=4), pentagonal (n=5) dan seterusnya. Nama alternatif untuk piramida segitiga - segi empat. Tinggi piramida adalah tegak lurus yang ditarik dari puncaknya ke bidang dasar.

Piramida disebut benar jika poligon beraturan, dan alas tinggi piramida (alas tegak lurus) adalah pusatnya.

komentar guru:
Jangan bingung konsep "piramida biasa" dan "tetrahedron biasa". Dalam piramida biasa, tepi samping tidak harus sama dengan tepi alas, tetapi dalam tetrahedron biasa, semua 6 tepinya sama. Ini dia definisinya. Sangat mudah untuk membuktikan bahwa persamaan menyiratkan bahwa pusat P dari poligon dengan alas tinggi, jadi tetrahedron beraturan adalah piramida beraturan.

Apa itu apotema?
Apotema piramida adalah tinggi sisi mukanya. Jika piramida itu teratur, maka semua apotemanya sama. Kebalikannya tidak benar.

Guru matematika tentang terminologinya: bekerja dengan piramida adalah 80% dibangun melalui dua jenis segitiga:
1) Mengandung apotema SK dan tinggi SP
2) Berisi tepi lateral SA dan proyeksinya PA

Untuk menyederhanakan referensi ke segitiga-segitiga ini, lebih mudah bagi tutor matematika untuk menyebutkan yang pertama dari mereka apothemik, dan kedua kosta. Sayangnya, Anda tidak akan menemukan istilah ini di buku teks mana pun, dan guru harus memperkenalkannya secara sepihak.

rumus volume piramida:
1) , di mana adalah luas dasar piramida, dan adalah tinggi piramida
2) , di mana adalah jari-jari bola yang tertulis, dan merupakan luas permukaan total piramida.
3) , di mana MN adalah jarak dari dua sisi yang bersilangan, dan merupakan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh titik tengah dari empat sisi yang tersisa.

Properti Dasar Tinggi Piramida:

Titik P (lihat gambar) bertepatan dengan pusat lingkaran bertulisan di dasar piramida jika salah satu dari kondisi berikut terpenuhi:
1) Semua apotema sama
2) Semua sisi samping memiliki kemiringan yang sama ke arah alas
3) Semua apotema memiliki kemiringan yang sama terhadap ketinggian piramida
4) Ketinggian piramida sama miring ke semua sisi

komentar guru matematika: perhatikan bahwa semua titik disatukan oleh satu properti umum: dengan satu atau lain cara, wajah samping berpartisipasi di mana-mana (apotema adalah elemennya). Oleh karena itu, tutor dapat menawarkan formulasi yang kurang tepat, tetapi lebih nyaman untuk menghafal: titik P bertepatan dengan pusat lingkaran tertulis, dasar piramida, jika ada informasi yang sama tentang wajah lateralnya. Untuk membuktikannya, cukup ditunjukkan bahwa semua segitiga apotema adalah sama.

Titik P bertepatan dengan pusat lingkaran berbatas dekat dasar piramida, jika salah satu dari tiga kondisi ini benar:
1) Semua sisi sisinya sama
2) Semua rusuk samping sama-sama condong ke arah alas
3) Semua rusuk samping memiliki kemiringan yang sama terhadap ketinggian