diturunkan dari definisinya. Dan jadi logaritma dari angka b dengan alasan sebuah didefinisikan sebagai eksponen yang angkanya harus dinaikkan sebuah untuk mendapatkan nomornya b(logaritma hanya ada untuk bilangan positif).

Dari rumusan ini maka perhitungannya x = log a b, setara dengan menyelesaikan persamaan kapak = b. Sebagai contoh, log 2 8 = 3 karena 8 = 2 3 . Rumusan logaritma memungkinkan untuk membenarkan bahwa jika b=a c, maka logaritma dari bilangan tersebut b dengan alasan sebuah sama dengan dengan. Jelas juga bahwa topik logaritma berkaitan erat dengan topik pangkat suatu bilangan.

Dengan logaritma, seperti halnya angka apa pun, Anda dapat melakukan operasi penjumlahan, pengurangan dan mengubah dalam setiap cara yang mungkin. Tetapi mengingat fakta bahwa logaritma bukanlah bilangan biasa, aturan khusus mereka sendiri berlaku di sini, yang disebut sifat dasar.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma.

Ambil dua logaritma dengan basis yang sama: log x dan log a y. Kemudian hapus dimungkinkan untuk melakukan operasi penambahan dan pengurangan:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

Dari teorema logaritma hasil bagi satu lagi properti logaritma dapat diperoleh. Diketahui bahwa log sebuah 1 = 0, oleh karena itu,

catatan sebuah 1 /b= log sebuah 1 - log a b= -log a b.

Jadi ada persamaan:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritma dari dua bilangan yang saling timbal balik atas dasar yang sama akan berbeda satu sama lain hanya dalam tanda. Jadi:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Apa itu logaritma?

Perhatian!
Ada tambahan
materi di Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Apa itu logaritma? Bagaimana cara menyelesaikan logaritma? Pertanyaan-pertanyaan ini membingungkan banyak lulusan. Secara tradisional, topik logaritma dianggap kompleks, tidak dapat dipahami, dan menakutkan. Terutama - persamaan dengan logaritma.

Ini sama sekali tidak benar. Sangat! Tidak percaya? Bagus. Sekarang, selama 10 - 20 menit Anda:

1. Pahami apa itu logaritma.

2. Belajar memecahkan seluruh kelas persamaan eksponensial. Bahkan jika Anda belum pernah mendengar tentang mereka.

3. Belajar menghitung logaritma sederhana.

Selain itu, untuk ini Anda hanya perlu mengetahui tabel perkalian, dan bagaimana suatu bilangan dipangkatkan ...

Saya merasa Anda ragu ... Yah, jaga waktu! Pergi!

Pertama, selesaikan persamaan berikut dalam pikiran Anda:

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Fokus artikel ini adalah logaritma. Di sini kita akan memberikan definisi logaritma, menunjukkan notasi yang diterima, memberikan contoh logaritma, dan berbicara tentang logaritma natural dan desimal. Setelah itu, perhatikan identitas logaritma dasar.

Navigasi halaman.

Definisi logaritma

Konsep logaritma muncul ketika memecahkan masalah dalam arti tertentu terbalik, ketika Anda perlu menemukan eksponen dari nilai derajat yang diketahui dan basis yang diketahui.

Tapi cukup basa-basi, saatnya menjawab pertanyaan “apa itu logaritma”? Mari kita berikan definisi yang tepat.

Definisi.

Logaritma b ke basis a, di mana a>0 , a≠1 dan b>0 adalah eksponen yang Anda perlukan untuk menaikkan angka a untuk mendapatkan b sebagai hasilnya.

Pada tahap ini, kami mencatat bahwa kata yang diucapkan "logaritma" harus segera menimbulkan dua pertanyaan berikutnya: "berapa nomor" dan "berdasarkan apa." Dengan kata lain, tidak ada logaritma, tetapi hanya ada logaritma suatu bilangan di suatu basis.

Kami akan segera memperkenalkan notasi logaritma: logaritma dari angka b ke basis a biasanya dilambangkan sebagai log a b . Logaritma dari bilangan b ke basis e dan logaritma ke basis 10 masing-masing memiliki sebutan khusus lnb dan lgb, yaitu, mereka menulis bukan log e b , tetapi lnb , dan bukan log 10 b , tetapi lgb .

Sekarang Anda dapat membawa: .
Dan catatannya tidak masuk akal, karena yang pertama ada angka negatif di bawah tanda logaritma, yang kedua - angka negatif di pangkalan, dan yang ketiga - angka negatif di bawah tanda logaritma dan satu kesatuan di pangkalan.

Sekarang mari kita bicara tentang aturan membaca logaritma. Entri log a b dibaca sebagai "logaritma dari b ke basis a". Misalnya, log 2 3 adalah logaritma dari tiga ke basis 2, dan merupakan logaritma dari dua bilangan bulat dua pertiga basis dari akar kuadrat dari lima. Logaritma ke basis e disebut logaritma natural, dan notasi lnb dibaca sebagai "logaritma natural dari b". Sebagai contoh, ln7 adalah logaritma natural dari tujuh, dan kita akan membacanya sebagai logaritma natural dari pi. Logaritma ke basis 10 juga memiliki nama khusus - logaritma desimal, dan notasi lgb dibaca sebagai "logaritma desimal b". Misalnya, lg1 adalah logaritma desimal dari satu, dan lg2.75 adalah logaritma desimal dari dua koma tujuh puluh lima perseratus.

Penting untuk membahas secara terpisah kondisi a>0, a≠1 dan b>0, di mana definisi logaritma diberikan. Mari kita jelaskan dari mana batasan ini berasal. Untuk melakukan ini, kita akan dibantu oleh persamaan bentuk, yang disebut , yang langsung mengikuti dari definisi logaritma yang diberikan di atas.

Mari kita mulai dengan a≠1 . Karena satu sama dengan satu pangkat apa pun, persamaan hanya dapat berlaku untuk b=1, tetapi log 1 1 dapat berupa bilangan real apa pun. Untuk menghindari ambiguitas ini, a≠1 diterima.

Mari kita buktikan kelayakan kondisi a>0 . Dengan a=0, menurut definisi logaritma, kita akan memiliki persamaan , yang hanya mungkin dengan b=0 . Tetapi kemudian log 0 0 dapat berupa bilangan real apa pun yang bukan nol, karena nol hingga pangkat apa pun yang bukan nol adalah nol. Ambiguitas ini dapat dihindari dengan kondisi a≠0 . Dan untuk<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Akhirnya, kondisi b>0 mengikuti pertidaksamaan a>0 , karena , dan nilai derajat dengan basis positif a selalu positif.

Sebagai kesimpulan dari paragraf ini, kami mengatakan bahwa definisi logaritma yang disuarakan memungkinkan Anda untuk segera menunjukkan nilai logaritma ketika angka di bawah tanda logaritma adalah tingkat basis tertentu. Memang, definisi logaritma memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa jika b=a p , maka logaritma dari bilangan b ke basis a sama dengan p . Artinya, persamaan log a a p = p benar. Sebagai contoh, kita mengetahui bahwa 2 3 =8 , maka log 2 8=3 . Kami akan berbicara lebih banyak tentang ini di artikel.

Hari ini kita akan berbicara tentang rumus logaritma dan memberikan demonstrasi contoh solusi.

Dengan sendirinya, mereka menyiratkan pola solusi sesuai dengan sifat dasar logaritma. Sebelum menerapkan rumus logaritma ke solusi, kami ingatkan untuk Anda, pertama-tama semua properti:

Sekarang, berdasarkan rumus (properti) ini, kami menunjukkan contoh penyelesaian logaritma.

Contoh penyelesaian logaritma berdasarkan rumus.

Logaritma bilangan positif b pada basis a (dilambangkan log a b) adalah eksponen di mana a harus dinaikkan untuk mendapatkan b, dengan b > 0, a > 0, dan 1.

Menurut definisi log a b = x, yang ekivalen dengan a x = b, maka log a a x = x.

logaritma, contoh:

log 2 8 = 3, karena 2 3 = 8

log 7 49 = 2 karena 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, karena 5 -1 = 1/5

logaritma desimal adalah logaritma biasa, yang basisnya adalah 10. Dilambangkan sebagai lg.

log 10 100 = 2 karena 10 2 = 100

logaritma natural- juga logaritma logaritma biasa, tetapi dengan basis e (e \u003d 2,71828 ... - bilangan irasional). Disebut sebagai ln.

Diinginkan untuk mengingat rumus atau sifat logaritma, karena kita akan membutuhkannya nanti saat menyelesaikan logaritma, persamaan logaritma, dan pertidaksamaan. Mari kita bekerja melalui setiap formula lagi dengan contoh.

• Identitas logaritma dasar
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritma produk sama dengan jumlah logaritma
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Logaritma hasil bagi sama dengan selisih logaritma
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Sifat-sifat derajat suatu bilangan logaritma dan basis logaritma

  Eksponen bilangan logaritma log a b m = mlog a b

  Eksponen basis logaritma log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  jika m = n, kita mendapatkan log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Transisi ke yayasan baru
  log a b = log c b / log c a,

  jika c = b, kita mendapatkan log b b = 1

  maka log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Seperti yang Anda lihat, rumus logaritma tidak serumit kelihatannya. Sekarang, setelah mempertimbangkan contoh penyelesaian logaritma, kita dapat beralih ke persamaan logaritmik. Kami akan mempertimbangkan contoh penyelesaian persamaan logaritmik secara lebih rinci dalam artikel: "". Jangan lewatkan!

Jika Anda masih memiliki pertanyaan tentang solusinya, tulis di komentar artikel.

Catatan: memutuskan untuk mendapatkan pendidikan studi kelas lain di luar negeri sebagai pilihan.

Kami terus mempelajari logaritma. Pada artikel ini kita akan berbicara tentang perhitungan logaritma, proses ini disebut logaritma. Pertama, kita akan berurusan dengan perhitungan logaritma menurut definisi. Selanjutnya, pertimbangkan bagaimana nilai logaritma ditemukan menggunakan propertinya. Setelah itu, kita akan membahas perhitungan logaritma melalui nilai-nilai logaritma lain yang awalnya diberikan. Terakhir, mari belajar bagaimana menggunakan tabel logaritma. Seluruh teori diberikan dengan contoh-contoh dengan solusi rinci.

Navigasi halaman.

Menghitung logaritma menurut definisi

Dalam kasus yang paling sederhana, adalah mungkin untuk melakukan dengan cepat dan mudah menemukan logaritma menurut definisi. Mari kita lihat lebih dekat bagaimana proses ini terjadi.

Esensinya adalah untuk mewakili angka b dalam bentuk a c , di mana, menurut definisi logaritma, angka c adalah nilai logaritma. Artinya, menurut definisi, menemukan logaritma sesuai dengan rantai persamaan berikut: log a b=log a a c =c .

Jadi, perhitungan logaritma, menurut definisi, turun untuk menemukan angka c sehingga a c \u003d b, dan angka c itu sendiri adalah nilai logaritma yang diinginkan.

Mengingat informasi dari paragraf sebelumnya, ketika angka di bawah tanda logaritma diberikan oleh beberapa derajat dasar logaritma, maka Anda dapat segera menunjukkan apa yang sama dengan logaritma - itu sama dengan eksponen. Mari kita tunjukkan contoh.

Contoh.

Cari log 2 2 3 , dan juga hitung logaritma natural dari e 5.3 .

Keputusan.

Definisi logaritma memungkinkan kita untuk langsung mengatakan bahwa log 2 2 3 = 3 . Memang, angka di bawah tanda logaritma sama dengan basis 2 pangkat 3.

Demikian pula, kami menemukan logaritma kedua: jalur 5.3 =5.3.

Menjawab:

log 2 2 3 = 3 dan jalur 5.3 =5.3 .

Jika angka b di bawah tanda logaritma tidak diberikan sebagai pangkat dari basis logaritma, maka Anda perlu mempertimbangkan dengan cermat apakah mungkin untuk membuat representasi angka b dalam bentuk a c . Seringkali representasi ini cukup jelas, terutama ketika angka di bawah tanda logaritma sama dengan basis pangkat 1, atau 2, atau 3, ...

Contoh.

Hitung logaritma log 5 25 , dan .

Keputusan.

Sangat mudah untuk melihat bahwa 25=5 2 , ini memungkinkan Anda untuk menghitung logaritma pertama: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Kami melanjutkan ke perhitungan logaritma kedua. Suatu bilangan dapat direpresentasikan sebagai pangkat 7: (lihat jika perlu). Karena itu, .

Mari kita tulis ulang logaritma ketiga dalam bentuk berikut. Sekarang Anda bisa melihatnya , dari mana kita menyimpulkan bahwa . Oleh karena itu, dengan definisi logaritma .

Secara singkat, solusinya dapat ditulis sebagai berikut:

Menjawab:

log 5 25=2 , dan .

Ketika bilangan asli yang cukup besar berada di bawah tanda logaritma, maka tidak ada salahnya untuk menguraikannya menjadi faktor prima. Seringkali membantu untuk mewakili angka seperti beberapa kekuatan dasar logaritma, dan oleh karena itu, untuk menghitung logaritma ini dengan definisi.

Contoh.

Cari nilai logaritmanya.

Keputusan.

Beberapa properti logaritma memungkinkan Anda untuk segera menentukan nilai logaritma. Sifat-sifat ini termasuk sifat logaritma satu dan sifat logaritma bilangan yang sama dengan basis: log 1 1=log a a 0 =0 dan log a a=log a a 1 =1 . Artinya, ketika angka 1 atau angka a berada di bawah tanda logaritma, sama dengan basis logaritma, maka dalam kasus ini logaritmanya masing-masing adalah 0 dan 1.

Contoh.

Apa logaritma dan lg10 ?

Keputusan.

Karena , itu mengikuti dari definisi logaritma .

Dalam contoh kedua, angka 10 di bawah tanda logaritma bertepatan dengan basisnya, sehingga logaritma desimal dari sepuluh sama dengan satu, yaitu, lg10=lg10 1 =1 .

Menjawab:

Dan lg10=1 .

Perhatikan bahwa menghitung logaritma menurut definisi (yang telah kita bahas di paragraf sebelumnya) menyiratkan penggunaan log kesetaraan a a p =p , yang merupakan salah satu sifat logaritma.

Dalam praktiknya, ketika angka di bawah tanda logaritma dan basis logaritma dengan mudah direpresentasikan sebagai kekuatan beberapa angka, sangat mudah untuk menggunakan rumus , yang sesuai dengan salah satu sifat logaritma. Pertimbangkan contoh menemukan logaritma, yang menggambarkan penggunaan rumus ini.

Contoh.

Hitung logaritma dari .

Keputusan.

Menjawab:

.

Sifat-sifat logaritma yang tidak disebutkan di atas juga digunakan dalam perhitungan, tetapi kita akan membicarakannya dalam paragraf berikut.

Menemukan logaritma dalam hal logaritma lain yang diketahui

Informasi dalam paragraf ini melanjutkan topik penggunaan sifat-sifat logaritma dalam perhitungannya. Tetapi di sini perbedaan utamanya adalah bahwa sifat-sifat logaritma digunakan untuk menyatakan logaritma asli dalam bentuk logaritma lain, yang nilainya diketahui. Mari kita ambil contoh untuk klarifikasi. Katakanlah kita tahu bahwa log 2 3≈1.584963 , maka kita dapat menemukan, misalnya, log 2 6 dengan melakukan sedikit transformasi menggunakan sifat-sifat logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Dalam contoh di atas, kita cukup menggunakan properti logaritma produk. Namun, jauh lebih sering Anda harus menggunakan gudang properti logaritma yang lebih luas untuk menghitung logaritma asli dalam hal yang diberikan.

Contoh.

Hitung logaritma dari 27 hingga basis 60 jika diketahui log 60 2=a dan log 60 5=b .

Keputusan.

Jadi kita perlu mencari log 60 27 . Sangat mudah untuk melihat bahwa 27=3 3 , dan logaritma asli, karena sifat dari logaritma derajat, dapat ditulis ulang menjadi 3·log 60 3 .

Sekarang mari kita lihat bagaimana log 60 3 dapat dinyatakan dalam logaritma yang diketahui. Properti logaritma dari angka yang sama dengan basis memungkinkan Anda untuk menulis log kesetaraan 60 60=1 . Sebaliknya, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Dengan demikian, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Karena itu, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Akhirnya, kami menghitung logaritma asli: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Menjawab:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Secara terpisah, perlu disebutkan arti rumus untuk transisi ke basis baru dari logaritma bentuk . Ini memungkinkan Anda untuk berpindah dari logaritma dengan basis apa pun ke logaritma dengan basis tertentu, yang nilainya diketahui atau dimungkinkan untuk menemukannya. Biasanya, dari logaritma asli, menurut rumus transisi, mereka beralih ke logaritma di salah satu basis 2, e atau 10, karena untuk basis ini ada tabel logaritma yang memungkinkan penghitungan nilainya dengan derajat tertentu akurasi. Di bagian selanjutnya, kami akan menunjukkan bagaimana ini dilakukan.

Tabel logaritma, kegunaannya

Untuk perkiraan perhitungan nilai logaritma, seseorang dapat menggunakan tabel logaritma. Tabel logaritma basis 2, tabel logaritma natural, dan tabel logaritma desimal adalah yang paling umum digunakan. Saat bekerja dalam sistem bilangan desimal, akan lebih mudah untuk menggunakan tabel logaritma ke basis sepuluh. Dengan bantuannya, kita akan belajar menemukan nilai-nilai logaritma.

Tabel yang disajikan memungkinkan, dengan akurasi sepersepuluh ribu, untuk menemukan nilai logaritma desimal angka dari 1.000 hingga 9.999 (dengan tiga tempat desimal). Kami akan menganalisis prinsip menemukan nilai logaritma menggunakan tabel logaritma desimal menggunakan contoh spesifik - lebih jelas. Mari temukan lg1,256 .

Di kolom kiri tabel logaritma desimal kami menemukan dua digit pertama dari angka 1.256, yaitu, kami menemukan 1.2 (angka ini dilingkari dengan warna biru untuk kejelasan). Digit ketiga dari angka 1.256 (angka 5) terdapat pada baris pertama atau terakhir di sebelah kiri garis ganda (angka ini dilingkari merah). Digit keempat dari angka asli 1.256 (angka 6) terdapat pada baris pertama atau terakhir di sebelah kanan garis ganda (angka ini dilingkari dengan warna hijau). Sekarang kita menemukan angka-angka dalam sel tabel logaritma di persimpangan baris yang ditandai dan kolom yang ditandai (angka-angka ini disorot dalam warna oranye). Jumlah angka yang ditandai memberikan nilai yang diinginkan dari logaritma desimal hingga tempat desimal keempat, yaitu, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Apakah mungkin, dengan menggunakan tabel di atas, untuk menemukan nilai logaritma desimal dari angka yang memiliki lebih dari tiga digit setelah titik desimal, dan juga melampaui batas dari 1 hingga 9,999? Ya kamu bisa. Mari kita tunjukkan bagaimana ini dilakukan dengan sebuah contoh.

Mari kita hitung lg102.76332 . Pertama, Anda perlu menulis nomor dalam bentuk standar: 102.76332=1.0276332 10 2 . Setelah itu, mantissa harus dibulatkan ke tempat desimal ketiga, kita punya 1.0276332 10 2 1.028 10 2, sedangkan logaritma desimal asli kira-kira sama dengan logaritma dari angka yang dihasilkan, yaitu, kita mengambil lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Sekarang terapkan properti logaritma: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Akhirnya, kami menemukan nilai logaritma lg1.028 menurut tabel logaritma desimal lg1.028≈0,0086+0,0034=0,012. Akibatnya, seluruh proses penghitungan logaritma terlihat seperti ini: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

Sebagai kesimpulan, perlu dicatat bahwa menggunakan tabel logaritma desimal, Anda dapat menghitung nilai perkiraan logaritma apa pun. Untuk melakukan ini, cukup menggunakan rumus transisi untuk pergi ke logaritma desimal, menemukan nilainya dalam tabel, dan melakukan perhitungan yang tersisa.

Sebagai contoh, mari kita hitung log 2 3 . Menurut rumus untuk transisi ke basis baru dari logaritma, kami memiliki . Dari tabel logaritma desimal kami menemukan lg3≈0.4771 dan lg2≈0.3010. Dengan demikian, .

Bibliografi.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan Analisis Awal: Buku Ajar untuk Kelas 10-11 Institusi Pendidikan Umum.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik).