Aljabar dan awal analisis matematika

Diferensiasi fungsi eksponensial dan logaritma

Disusun oleh:

sekolah menengah MOU guru matematika 203 CHETs

kota Novosibirsk

Vidutova T.V.

Nomor e. Fungsi y=e x, sifat-sifatnya, grafik, diferensiasi

1. Mari kita buat grafik untuk berbagai basis a: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (Opsi 2) (Opsi 1) "width="640"

Perhatikan fungsi eksponensial y = a x, dimana 1.

Mari kita membangun untuk basis yang berbeda sebuah grafik:

1. y=2 x

3. y=10 x

2. y=3 x

(Pilihan 2)

(1 opsi)

1) Semua grafik melalui titik (0; 1);

2) Semua graf memiliki asimtot mendatar y = 0

pada X  ∞;

3) Semuanya diputar dengan tonjolan ke bawah;

4) Mereka semua memiliki garis singgung di semua titiknya.

Gambarlah garis singgung grafik fungsi tersebut y=2 x pada intinya X= 0 dan ukur sudut yang dibentuk oleh garis singgung sumbu X

Dengan bantuan konstruksi yang tepat dari garis singgung grafik, dapat dilihat bahwa jika alasnya sebuah Fungsi eksponensial y = a x alas berangsur-angsur bertambah dari 2 menjadi 10, maka sudut antara garis singgung dengan grafik fungsi di titik X= 0 dan sumbu x secara bertahap meningkat dari 35' menjadi 66,5'.

Oleh karena itu, ada dasarnya sebuah, dengan sudut yang bersesuaian adalah 45'. Dan arti ini sebuah disimpulkan antara 2 dan 3, karena pada sebuah= 2 sudutnya adalah 35', dengan sebuah= 3 sama dengan 48'.

Dalam analisis matematis, terbukti bahwa basis ini ada, biasanya dilambangkan dengan huruf e.

Ditentukan bahwa e - bilangan irasional, yaitu pecahan desimal non-periodik tak terbatas:

e = 2,7182818284590… ;

Dalam praktiknya, biasanya diasumsikan bahwa e ≈ 2,7.

Sifat-sifat grafik dan fungsi y = e x :

1) D(f) = (- ∞; + ∞);

3) meningkat;

4) tidak dibatasi dari atas, dibatasi dari bawah

5) tidak memiliki yang terbesar atau terkecil

nilai-nilai;

6) terus menerus;

7) E(f) = (0; + ∞);

8) cembung ke bawah;

9) dapat dibedakan.

Fungsi y = e x ditelepon eksponen .

Dalam analisis matematis, terbukti bahwa fungsi y = e x memiliki turunan di sembarang titik X :

(e x ) = e x

(e 5x )" = 5e 5x

(e x-3 )" = e x-3

(e -4x+1 )" = -4e -4x-1

Contoh 1 . Gambarlah garis singgung grafik fungsi di titik x=1.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = mantan

Menjawab:

Contoh 2 .

x = 3.

Contoh 3 .

Selidiki fungsi untuk ekstrem

x=0 dan x=-2

X= -2 - poin maksimum

X= 0 – poin minimum

Jika basis logaritma adalah bilangan e, lalu mereka mengatakan bahwa diberikan logaritma natural . Untuk logaritma natural, notasi khusus telah diperkenalkan ln (l - logaritma, n - alami).

Grafik dan sifat-sifat fungsi y = ln x

Sifat fungsi y = lnx:

1) D(f) = (0; + ∞);

2) tidak genap maupun ganjil;

3) bertambah (0; + );

4) tidak terbatas;

5) tidak memiliki nilai terbesar maupun terkecil;

6) terus menerus;

7) E (f) = (- ∞; + ∞);

8) atas cembung;

9) dapat dibedakan.

0 rumus diferensiasi "width="640" valid

Dalam proses analisis matematis, terbukti bahwa untuk nilai apa pun x0 rumus diferensiasi valid

Contoh 4:

Hitunglah nilai turunan suatu fungsi di suatu titik x = -1.

Sebagai contoh:

Sumber daya internet:

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

Topik pelajaran: “Diferensiasi fungsi eksponensial dan logaritma. Antiturunan dari fungsi eksponensial "dalam tugas UNT

Target : untuk mengembangkan keterampilan siswa dalam menerapkan pengetahuan teoritis pada topik “Diferensiasi fungsi eksponensial dan logaritma. Sebuah antiturunan dari fungsi eksponensial” untuk memecahkan masalah UNT.

tugas

Pendidikan: untuk mensistematisasikan pengetahuan teoritis siswa, untuk mengkonsolidasikan keterampilan memecahkan masalah tentang topik ini.

Mengembangkan: mengembangkan memori, pengamatan, berpikir logis, pidato matematika siswa, perhatian, harga diri dan keterampilan pengendalian diri.

Pendidikan: memajukan:

pembentukan sikap tanggung jawab siswa terhadap pembelajaran;

pengembangan minat berkelanjutan dalam matematika;

menciptakan motivasi intrinsik yang positif untuk belajar matematika.

Metode pengajaran: verbal, visual, praktis.

Bentuk pekerjaan: individu, frontal, berpasangan.

Selama kelas

Epigraf: "Pikiran tidak hanya terdiri dari pengetahuan, tetapi juga kemampuan untuk menerapkan pengetahuan dalam praktik" Aristoteles (slide 2)

I. Momen organisasi.

II. Memecahkan teka-teki silang. (slide 3-21)

Ahli matematika Prancis abad ke-17 Pierre Fermat mendefinisikan garis ini sebagai "garis lurus yang paling dekat dengan kurva di lingkungan kecil suatu titik."

Garis singgung

Fungsi yang diberikan oleh rumus y = log sebuah x.

logaritma

Fungsi yang diberikan oleh rumus y = sebuah X.

Demonstrasi

Dalam matematika, konsep ini digunakan ketika menemukan kecepatan titik material dan kemiringan garis singgung grafik fungsi pada titik tertentu.

Turunan

Apa nama fungsi F (x) untuk fungsi f (x), jika kondisi F "(x) \u003d f (x) dipenuhi untuk sembarang titik dari interval I.

anti turunan

Apa nama hubungan antara X dan Y, di mana setiap elemen X dikaitkan dengan satu elemen Y.

Turunan perpindahan

Kecepatan

Fungsi yang diberikan oleh rumus y \u003d e x.

Eksponen

Jika fungsi f(x) dapat direpresentasikan sebagai f(x)=g(t(x)), maka fungsi ini disebut…

AKU AKU AKU. Dikte matematika (slide 22)

1. Tuliskan rumus turunan dari fungsi eksponensial. ( sebuah x)" = sebuah x ln sebuah

2. Tuliskan rumus turunan dari eksponen. (e x)" = e x

3. Tuliskan rumus turunan dari logaritma natural. (lnx)"=

4. Tuliskan rumus turunan dari fungsi logaritma. (catatan sebuah x)"=

5. Tuliskan bentuk umum antiturunan dari fungsi f(x) = sebuah X. F(x)=

6. Tuliskan bentuk umum antiturunan dari fungsi f(x) =, x≠0. F(x)=ln|x|+C

Periksa pekerjaan (jawaban pada slide 23).

IV. Pemecahan masalah UNT (simulator)

A) No. 1,2,3,6,10,36 di papan tulis dan di buku catatan (slide 24)

B) Bekerja berpasangan No. 19.28 (simulator) (slide 25-26)

V. 1. Menemukan kesalahan: (slide 27)

1) f (x) \u003d 5 e - 3x, f "(x) \u003d - 3 e - 3x

2) f (x) \u003d 17 2x, f "(x) \u003d 17 2x ln17

3) f(x)= log 5 (7x+1),f "(x)=

4) f (x) \u003d ln (9 - 4x), f "(x) \u003d
.

VI. Presentasi siswa.

Prasasti: “Ilmu adalah hal yang sangat berharga sehingga tidak memalukan untuk mendapatkannya dari sumber mana pun” Thomas Aquinas (slide 28)

VII. Pekerjaan Rumah No. 19,20 hal.116

VIII. Tes (tugas cadangan) (slide 29-32)

IX. Ringkasan pelajaran.

“Jika Anda ingin berpartisipasi dalam kehidupan besar, isi kepala Anda dengan matematika selagi bisa. Dia kemudian akan memberi Anda bantuan besar sepanjang hidup Anda ”M. Kalinin (slide 33)

Biarlah
(1)
adalah fungsi terdiferensiasi dari x . Pertama, kami akan mempertimbangkannya pada himpunan nilai x di mana y mengambil nilai positif: . Berikut ini, kami akan menunjukkan bahwa semua hasil yang diperoleh juga berlaku untuk nilai negatif dari .

Dalam beberapa kasus, untuk menemukan turunan dari fungsi (1), akan lebih mudah untuk mengambil logaritma terlebih dahulu
,
lalu hitung turunannya. Kemudian, menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks,
.
Dari sini
(2) .

Turunan logaritma suatu fungsi disebut turunan logaritma:
.

Turunan logaritma dari fungsi y = f(x) adalah turunan dari logaritma natural dari fungsi ini: (log f(x))′.

Kasus nilai y negatif

Sekarang perhatikan kasus ketika variabel dapat mengambil nilai positif dan negatif. Dalam hal ini, ambil logaritma dari modulus dan temukan turunannya:
.
Dari sini
(3) .
Artinya, dalam kasus umum, Anda perlu menemukan turunan dari logaritma modulus fungsi.

Membandingkan (2) dan (3) kami memiliki:
.
Artinya, hasil formal dari menghitung turunan logaritma tidak bergantung pada apakah kita mengambil modulo atau tidak. Oleh karena itu, ketika menghitung turunan logaritmik, kita tidak perlu khawatir tentang tanda apa yang dimiliki fungsi tersebut.

Situasi ini dapat diklarifikasi dengan bantuan bilangan kompleks. Biarkan, untuk beberapa nilai x , menjadi negatif: . Jika kita hanya mempertimbangkan bilangan real, maka fungsinya tidak terdefinisi. Namun, jika kita memasukkan bilangan kompleks ke dalam pertimbangan, kita mendapatkan yang berikut:
.
Artinya, fungsi dan berbeda dengan konstanta kompleks:
.
Karena turunan suatu konstanta adalah nol, maka
.

Sifat turunan logaritma

Dari pertimbangan tersebut dapat disimpulkan bahwa turunan logaritmik tidak berubah jika fungsi dikalikan dengan konstanta arbitrer :
.
Memang, melamar sifat logaritma, rumus jumlah turunan dan turunan dari konstanta, kita punya:

.

Penerapan turunan logaritma

Lebih mudah untuk menggunakan turunan logaritmik dalam kasus di mana fungsi asli terdiri dari produk pangkat atau fungsi eksponensial. Dalam hal ini, operasi logaritma mengubah produk fungsi menjadi jumlah mereka. Ini menyederhanakan perhitungan turunan.

Contoh 1

Cari turunan dari suatu fungsi:
.

Keputusan

Kami mengambil logaritma dari fungsi aslinya:
.

Diferensiasi terhadap x .
Dalam tabel turunan kami menemukan:
.
Kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks.
;
;
;
;
(P1.1) .
Mari kita kalikan dengan:

.

Jadi, kami menemukan turunan logaritmik:
.
Dari sini kita menemukan turunan dari fungsi aslinya:
.

Catatan

Jika kita hanya ingin menggunakan bilangan real, maka kita harus mengambil logaritma dari modulus fungsi aslinya:
.
Kemudian
;
.
Dan kami mendapatkan rumus (A1.1). Karena itu, hasilnya tidak berubah.

Menjawab

Contoh 2

Menggunakan turunan logaritma, cari turunan dari suatu fungsi
.

Keputusan

Logaritma:
(P2.1) .
Bedakan terhadap x :
;
;

;
;
;
.

Mari kita kalikan dengan:
.
Dari sini kita mendapatkan turunan logaritmik:
.

Turunan dari fungsi asal:
.

Catatan

Di sini fungsi aslinya adalah non-negatif: . Ini didefinisikan di . Jika kita tidak berasumsi bahwa logaritma dapat ditentukan untuk nilai negatif argumen, maka rumus (A2.1) harus ditulis sebagai berikut:
.
Sejauh

dan
,
itu tidak akan mempengaruhi hasil akhir.

Menjawab

Contoh 3

Cari turunannya
.

Keputusan

Diferensiasi dilakukan dengan menggunakan turunan logaritma. logaritma, mengingat:
(P3.1) .

Dengan mendiferensiasikan, kita mendapatkan turunan logaritmik.
;
;
;
(P3.2) .

Karena , maka

.

Catatan

Mari kita lakukan perhitungan tanpa mengasumsikan bahwa logaritma dapat didefinisikan untuk nilai negatif dari argumen. Untuk melakukan ini, ambil logaritma dari modulus fungsi aslinya:
.
Maka alih-alih (A3.1) kita memiliki:
;

.
Dibandingkan dengan (A3.2) kita melihat bahwa hasilnya tidak berubah.

Saat membedakan fungsi pangkat eksponensial atau ekspresi pecahan yang rumit, akan lebih mudah untuk menggunakan turunan logaritmik. Pada artikel ini, kita akan melihat contoh penerapannya dengan solusi terperinci.

Presentasi lebih lanjut menyiratkan kemampuan untuk menggunakan tabel turunan, aturan diferensiasi dan pengetahuan tentang rumus turunan dari fungsi kompleks.

Turunan rumus turunan logaritma.

Pertama, kita bawa logaritma ke basis e, sederhanakan bentuk fungsi menggunakan sifat-sifat logaritma, dan kemudian cari turunan dari fungsi yang diberikan secara implisit:

Sebagai contoh, mari kita cari turunan dari fungsi pangkat eksponensial x ke pangkat x.

Logaritma memberikan . Menurut sifat-sifat logaritma. Membedakan kedua bagian persamaan akan menghasilkan:

Menjawab: .

Contoh yang sama dapat diselesaikan tanpa menggunakan turunan logaritma. Anda dapat membuat beberapa transformasi dan beralih dari membedakan fungsi pangkat eksponensial ke menemukan turunan dari fungsi kompleks:

Contoh.

Tentukan turunan dari suatu fungsi .

Keputusan.

Dalam contoh ini, fungsi adalah pecahan dan turunannya dapat ditemukan menggunakan aturan diferensiasi. Tetapi karena ekspresi yang rumit, ini akan membutuhkan banyak transformasi. Dalam kasus seperti itu, lebih masuk akal untuk menggunakan rumus untuk turunan logaritmik . Mengapa? Anda akan mengerti sekarang.

Mari kita temukan dulu. Dalam transformasi, kita akan menggunakan sifat-sifat logaritma (logaritma pecahan sama dengan selisih logaritma, dan logaritma produk sama dengan jumlah logaritma, dan derajat ekspresi di bawah tanda logaritma juga dapat diambil sebagai koefisien di depan logaritma):

Transformasi ini telah membawa kami ke ekspresi yang cukup sederhana, yang turunannya mudah ditemukan:

Kami mengganti hasil yang diperoleh ke dalam rumus untuk turunan logaritmik dan mendapatkan jawabannya:

Untuk mengkonsolidasikan materi, kami memberikan beberapa contoh lagi tanpa penjelasan terperinci.

Contoh.

Tentukan turunan dari fungsi pangkat eksponensial