biografi Emmy neter. Emmy Noether, wanita yang menemukan aljabar umum

Menurut ahli matematika hidup yang paling kompeten, Ny. Noether adalah jenius matematika kreatif paling signifikan (perempuan) yang pernah lahir.

Albert Einstein

Amalia Emmy Noether (23 Maret 1882 - 14 April 1935) adalah seorang matematikawan Jerman yang luar biasa.

Emmy Noether lahir di Erlangen, anak tertua dari empat bersaudara Yahudi. Orang tuanya, ahli matematika Max Noether dan Ida Amalia Kaufman, berasal dari keluarga saudagar kaya.

Noether awalnya belajar bahasa, berencana untuk menjadi guru bahasa Inggris dan Prancis. Untuk tujuan ini, ia memperoleh izin untuk menghadiri kuliah di Universitas Erlangen, tempat ayahnya bekerja, pada awalnya sebagai sukarelawan (1900), dan sejak 1904, ketika pendidikan wanita diizinkan, ia secara resmi terdaftar. Namun, di universitas, kuliah matematika menarik Emmy lebih dari yang lain. Ia menjadi mahasiswa matematikawan Paul Gordan, di bawah bimbingannya ia mempertahankan disertasinya tentang teori invarian pada tahun 1907.

Sudah pada tahun 1915, Noether berkontribusi pada pengembangan Teori Relativitas Umum; Einstein, dalam sepucuk surat kepada pemimpin dunia matematikawan David Hilbert, menyatakan kekagumannya atas "pemikiran matematika yang berwawasan luas" dari Noether.

Pada tahun 1916, Noether pindah ke Göttingen, di mana matematikawan terkenal David Hilbert dan Felix Klein terus mengerjakan teori relativitas, dan mereka membutuhkan pengetahuan Noether di bidang teori invarian. Hilbert memiliki dampak besar pada Noether, membuatnya menjadi pendukung metode aksiomatik. Dia mencoba membuat Noether menjadi Privatdozent di Universitas Göttingen, tetapi semua usahanya gagal karena prasangka para profesor, terutama di bidang humaniora.

Karier eksternal Emmy Noether adalah paradoks dan akan selamanya menjadi contoh kelambanan yang keterlaluan dan ketidakmampuan untuk mengatasi prasangka dari pihak birokrasi akademik dan birokrasi Prusia. Gelar privatdocent nya pada tahun 1919 hanya karena ketekunan Hilbert dan Klein, setelah mengatasi perlawanan ekstrim dari kalangan universitas reaksioner. Tantangan formal utama adalah jenis kelamin kandidat: “Bagaimana seorang wanita dapat diizinkan menjadi seorang Privatdozent: lagi pula, setelah menjadi seorang Privatdozent, dia dapat menjadi profesor dan anggota Senat Universitas; Bolehkah seorang wanita masuk ke Senat?" Pernyataan terkenal Hilbert mengikuti pernyataan ini: "Tuan-tuan, Senat bukan pemandian, mengapa seorang wanita tidak bisa masuk ke sana!"

Periode paling bermanfaat dari aktivitas ilmiah Noether dimulai sekitar tahun 1920, ketika ia menciptakan arah yang sama sekali baru dalam aljabar abstrak. Sejak 1922 ia telah bekerja sebagai profesor di Universitas Göttingen, mengepalai sekolah ilmiah yang berwibawa dan berkembang pesat.

Jika Emma Noether adalah seorang pria, dia pasti akan diundang ke jabatan profesor oleh universitas-universitas terbaik di negeri ini. Dia juga harus puas dengan gelar "profesor luar biasa" dari Universitas Göttingen, yang dia terima pada 6 April 1922, ketika dia sudah berusia empat puluh tahun. Pada saat ini, dia sudah dianggap sebagai pendiri aljabar modern di antara para spesialis, dia berhasil meletakkan landasan di beberapa bidang ilmiah penting. Dekrit yang mengangkat Emma Noether ke jabatan profesor luar biasa secara khusus menetapkan bahwa dia tidak berhak atas hak istimewa apa pun yang diberikan oleh seorang pegawai negeri.

Orang-orang sezaman menggambarkan Noether sebagai wanita yang sangat cerdas, menawan, dan ramah. Feminitasnya dimanifestasikan tidak secara lahiriah, tetapi dalam kepedulian yang menyentuh bagi murid-muridnya, kesiapannya yang konstan untuk membantu mereka dan rekan-rekannya. Di antara teman-temannya yang setia adalah ilmuwan terkenal di dunia: Hilbert, Hermann Weyl, Edmund Landau, matematikawan Belanda L. Brouwer, matematikawan Soviet P.S. Alexander, P.S. Uryson dan banyak lainnya.

Pada tahun 1924-1925, sekolah Emmy Noether membuat salah satu akuisisi yang paling cemerlang: Barthel Leendert van der Waerden, lulusan dari Amsterdam, menjadi muridnya. Dia kemudian di tahun ke-22, dan ini adalah salah satu bakat matematika muda paling cemerlang di Eropa. Van der Waerden dengan cepat menguasai teori-teori Emmy Noether, melengkapinya dengan hasil-hasil baru yang signifikan, dan, tidak seperti orang lain, berkontribusi pada penyebaran ide-idenya. Kursus tentang teori umum cita-cita yang diberikan oleh van der Waerden pada tahun 1927 di Göttingen adalah sukses luar biasa. Ide-ide Emmy Noether, yang dengan cemerlang diuraikan oleh van der Waerden, menaklukkan opini publik matematika, pertama di Göttingen dan kemudian di pusat-pusat matematika terkemuka lainnya di Eropa.

Pada dasarnya, karya-karya Noether berhubungan dengan aljabar, di mana mereka berkontribusi pada penciptaan arah baru, yang dikenal sebagai aljabar abstrak. Noether memberikan kontribusi yang menentukan untuk bidang ini (bersama dengan Emil Artin dan muridnya van der Waerden).

Istilah "cincin Noetherian", "modul Noetherian", teorema normalisasi dan teorema dekomposisi ideal Lasker-Noether sekarang menjadi dasar.

Noether memberikan kontribusi besar untuk fisika matematika, di mana teorema dasar fisika teoretis (diterbitkan pada tahun 1918) dinamai menurut namanya, menghubungkan hukum kekekalan dengan simetri sistem (misalnya, homogenitas waktu memerlukan hukum kekekalan energi). Pendekatan yang bermanfaat ini adalah dasar dari seri buku terkenal "Fisika Teoritis" oleh Landau-Lifshitz. Teorema Noether sangat penting dalam teori medan kuantum, di mana hukum kekekalan yang timbul dari keberadaan kelompok simetri tertentu biasanya menjadi sumber utama informasi tentang sifat-sifat objek yang diteliti.

Gagasan dan pandangan ilmiah Noether memiliki dampak besar pada banyak ilmuwan, matematikawan, dan fisikawan. Dia membesarkan sejumlah siswa yang menjadi ilmuwan kelas dunia dan melanjutkan arah baru yang ditemukan oleh Noether.

Noether menganut pandangan sosial demokrat. Selama 10 tahun hidupnya ia berkolaborasi dengan ahli matematika dari USSR; pada tahun akademik 1928-1929, dia datang ke Uni Soviet dan mengajar di Universitas Moskow, di mana dia mempengaruhi L.S. Pontryagin dan terutama di P.S. Alexandrov, yang sudah sering mengunjungi Göttingen sebelumnya.

Sejak 1927, pengaruh ide-ide Emmy Noether pada matematika modern telah berkembang sepanjang waktu, dan secara paralel, ketenaran ilmiah dari penulis ide-ide ini juga meningkat. Jika pada tahun 1923-1925 dia harus membuktikan pentingnya teori yang dia kembangkan, maka pada tahun 1932, pada kongres matematika internasional di Zurich, dia dimahkotai dengan capai kesuksesan paling cemerlang. Noether, bersama dengan muridnya Emil Artin, menerima Penghargaan Ackermann-Thöbner untuk pencapaiannya dalam matematika. Laporan tinjauan besar yang dia baca di kongres ini adalah kemenangan nyata dari arah yang dia wakili, dan dia tidak hanya bisa dengan kepuasan batin, tetapi juga dengan kesadaran akan pengakuan tanpa syarat dan lengkap, melihat kembali jalan matematis yang telah dia tempuh. Kongres Zurich adalah titik tertinggi dari posisi ilmiah internasionalnya. Beberapa bulan kemudian, sebuah bencana pecah atas budaya Jerman, dan khususnya atas pusat budaya yang telah menjadi Universitas Göttingen selama berabad-abad.

Pada tahun 1933, Hitler berkuasa di Jerman dan pemerintah Jerman mengesahkan Undang-Undang Kepegawaian. Gagasan di balik undang-undang ini sederhana: "Keluar dari non-Arya!" Para guru di Jerman adalah pegawai negeri, dan gagasan tentang mereka hanyalah: "Siswa Arya harus diajar oleh profesor Arya."

Emmy Noether termasuk di antara enam profesor pertama yang dilarang kuliah oleh Kementerian Prusia dan dikirim cuti tanpa batas di bawah undang-undang terkenal yang memprakarsai pembersihan besar-besaran staf pengajar.

Secara pribadi, Noether menerima makalah resmi yang ditandatangani oleh kepala Kementerian Sains, Seni, dan Pendidikan Publik Prusia pada April 1933. Itu ditulis dalam teks biasa: "Sesuai dengan paragraf 3 Kode Pegawai Negeri 7 April 1933, saya mencabut hak Anda untuk mengajar di Universitas Göttingen."

Salah satu tragedi terbesar dari semua yang dialami budaya manusia sejak zaman renaisans terjadi, sebuah tragedi yang beberapa tahun lalu tampak luar biasa dan tidak mungkin terjadi di Eropa abad ke-20. Salah satu dari banyak korbannya adalah sekolah aljabar Göttingen yang didirikan oleh Emmy Noether: pemimpinnya dikeluarkan dari tembok universitas; kehilangan hak untuk mengajar, Emmy Noether harus beremigrasi dari Jerman.

Adik Emmy, ahli matematika berbakat Fritz Noether, berangkat ke Uni Soviet, di mana ia ditembak pada September 1941 karena "sentimen anti-Soviet."

Bahkan setelah meninggalkan Jerman, Emma Noether tidak menunjukkan jejak kepahitan atau permusuhan terhadap orang-orang yang menghancurkan hidupnya. Dia ternyata menjadi salah satu dari sedikit emigran yang, pada tahun berikutnya setelah kepergiannya, berani kembali: pada musim panas 1934, dia memutuskan untuk menghabiskan beberapa waktu di lingkungan Göttingen yang hijau, tempat dia bekerja. baik semua tahun terakhir.

Dalam emigrasi, Emma menghadapi kesulitan yang sama seperti kebanyakan ilmuwan lain yang datang ke luar negeri pada usia dewasa. Tapi dia berhasil menemukan pekerjaan dengan relatif cepat. Dia menerima posisi mengajar di perguruan tinggi kecil Amerika Bryn Mawr di Pennsylvania dan melakukan penelitian di Institute for Advanced Study di Princeton.

Setelah menetap sendiri, dia segera mulai merawat rekan-rekannya yang kurang beruntung di pengasingan. Bersama dengan Hermann Weyl, ia mengorganisir "Dana untuk Matematikawan Jerman" khusus, di mana para ilmuwan yang telah menemukan pekerjaan harus memotong sebagian kecil dari gaji mereka. Beasiswa dibayarkan dari dana yang terkumpul kepada mereka yang sangat membutuhkan dukungan.

Dan di Amerika, tidak semua orang memahami skala kepribadiannya sebagai ilmuwan dan pribadi. Catatan Komite Darurat Daggen menyimpan entri yang dibuat pada 21 Maret 1935, tiga minggu sebelum kematian tak terduga dari ilmuwan brilian itu: “Kemarin ada diskusi dengan presiden Bryn Mawr College tentang nasib Emmy Noether. Dia mengatakan bahwa Emma Noether terlalu eksentrik dan sulit untuk beradaptasi dengan kondisi Amerika untuk mendapatkan kontrak permanen dengannya, tetapi dia akan tetap kuliah selama dua tahun lagi.

Sayangnya, Emma tidak diizinkan bekerja di perguruan tinggi selama dua tahun ini: pada 14 April 1935, setelah operasi medis yang gagal untuk mengangkat tumor kanker, dia meninggal.

Dalam pidatonya, Presiden Moscow Mathematical Society P.S. Alexandrov, pada pertemuan masyarakat pada tanggal 5 September 1935, memulai dengan kata-kata berikut:

Pada tanggal 14 April tahun ini di kota kecil Bryn Mawr (AS, Pennsylvania), setelah operasi pembedahan, Emmy Noether, salah satu matematikawan terbesar di zaman kita, mantan profesor di Universitas Göttingen, meninggal pada usia 53 tahun. . Meninggalnya Emmy Noether bukan hanya kehilangan besar bagi matematika,Ini adalah kehilangan yang tragis dalam arti kata yang sebenarnya. Di puncak kekuatan kreatifnya, matematikawan wanita terhebat yang pernah ada meninggal, dia meninggal, diusir dari tanah airnya, terputus dari sekolahnya, yang telah dia ciptakan selama bertahun-tahun dan merupakan salah satu sekolah matematika paling cemerlang di Eropa, dia meninggal terputus dari kerabatnya, yang ternyata tersebar di berbagai negara berdasarkan barbarisme politik yang sama yang dia sendiri harus beremigrasi dari Jerman. Masyarakat Matematika Moskow hari ini dengan sedih membungkuk di hadapan salah satu anggotanya yang paling menonjol, yang terus-menerus selama lebih dari sepuluh tahun memelihara hubungan erat dari interaksi ilmiah yang konstan, simpati yang tulus dan persahabatan yang ramah dengan masyarakat, dengan matematika Moskow dan dengan matematikawan dari Uni Soviet ...

Nama Emmy Noether diambil dari:

kawah di bulan
asteroid
jalan di kampung halaman Noether, Erlangen
sekolah tempat dia belajar di Erlangen.
Program Jerman untuk mendukung ilmuwan muda berprestasi: Program Emmy Noether.

Objek matematika berikut menyandang nama Noether:

Cincin Noetherian
modul lain
teorema Noether
Teorema Lasker-Noether
Teorema Skolem-Noether
ruang utara
Skema Noetherian
tidak ada masalah
lemma Noether.

Berdasarkan bahan dari Wikipedia dan situs: berkovich-zametki.com dan turtle-t.livejournal.com, serta artikel oleh P.S. Aleksandrov, "Untuk mengenang Emmy Noether" (Usp.

Amalia (Emmy) Noether, ratu tanpa mahkota

Menurut ahli matematika hidup yang paling terkemuka, Emmy Noether adalah jenius matematika kreatif terbesar yang muncul di dunia sejak pendidikan tinggi dibuka untuk wanita.

Albert Einstein

Einstein benar dan Emmy Noether (1882–1935) , dengan siapa dia tidak pernah bekerja sama di Institut Studi Lanjutan di Princeton (walaupun dia pantas mendapatkannya lebih dari siapa pun), adalah ahli matematika yang luar biasa - mungkin ahli matematika wanita terhebat sepanjang masa. Dan Einstein tidak sendirian dalam pandangan ini: Norbert Wiener menempatkan Noether setara dengan pemenang Hadiah Nobel dua kali Marie Curie, yang juga seorang ahli matematika yang hebat.

Selain itu, Emmy Noether menjadi objek dari sejumlah lelucon buruk - mari kita ingat setidaknya frasa abadi dari bahasa Edmund Landau yang melampaui batas: "Saya dapat percaya pada kejeniusan matematikanya, tetapi saya tidak dapat bersumpah bahwa ini adalah seorang wanita." Emmy memang berpenampilan maskulin, dan selain itu, dia tidak terlalu memikirkan penampilannya, terutama saat kelas atau debat ilmiah.

Menurut saksi mata, dia lupa menata rambutnya, membersihkan pakaiannya, mengunyah makanannya dengan seksama, dan dibedakan oleh banyak fitur lain yang membuatnya tidak terlalu feminin di mata rekan-rekan Jerman yang baik. Emmy juga menderita miopia parah, itulah sebabnya dia memakai kacamata jelek dengan kacamata tebal dan tampak seperti burung hantu. Untuk ini harus ditambahkan kebiasaan mengenakan (untuk alasan kenyamanan) topi pria dan koper kulit yang diisi dengan kertas, seperti agen asuransi. Hermann Weyl sendiri, seorang mahasiswa Emmy dan pengagum bakat matematikanya, cukup seimbang mengungkapkan pendapat umum tentang mentor dengan kata-kata: "Rahmat tidak berdiri di buaiannya."

Potret Emmy Noether di masa muda.

Transformasi menjadi angsa yang cantik

Emmy Noether dilahirkan dalam masyarakat di mana wanita, bisa dikatakan, dibelenggu tangan dan kaki. Pada saat itu, Kaiser Wilhelm II yang sangat berkuasa, seorang pecinta resepsi dan upacara yang khidmat, memerintah di Jerman. Dia datang ke kota, turun dengan anggun dari kereta, dan kemudian walikota setempat berpidato. Semua pekerjaan kotor dilakukan oleh Kanselir Besi Bismarck. Dia adalah kepala negara dan masyarakat yang sebenarnya, inspirasi dari struktur konservatifnya, yang mencegah pendidikan perempuan (pendidikan universal dianggap sebagai tanda sosialisme yang dibenci). Model seorang wanita adalah istri Kaisar, Ratu Augusta Victoria. Kredo hidupnya adalah empat K: Kaiser, lebih ramah(anak-anak), Kirche(gereja), K?che(dapur) - versi tambahan dari tiga K dari trilogi rakyat " Ramah, Kirche, K?che". Dalam lingkungan seperti itu, wanita diberi peran yang jelas: di tangga sosial mereka berada di bawah pria dan satu langkah di atas hewan peliharaan. Jadi, perempuan tidak bisa mengenyam pendidikan. Sebenarnya, pendidikan wanita tidak sepenuhnya dilarang - untuk tanah air Goethe dan Beethoven, ini akan terlalu berlebihan. Mengatasi banyak kendala, perempuan bisa belajar, tetapi tidak memenuhi syarat untuk memegang posisi. Hasilnya sama, tetapi permainannya lebih halus. Beberapa guru, yang menunjukkan semangat ideologis khusus, menolak untuk memulai kelas jika setidaknya satu wanita hadir di antara hadirin. Situasinya cukup berbeda, misalnya, di Prancis, di mana kebebasan dan liberalisme mendominasi.

Emmy lahir di kota kecil Erlangen dari keluarga pengajar kelas menengah ke atas. Erlangen menempati tempat yang tidak biasa dalam sejarah matematika - itu adalah tempat kelahiran kecil pencipta apa yang disebut geometri sintetis Christian von Staudt (1798–1867) Selain itu, di Erlangen jenius muda Felix Klein (1849–1925) menerbitkan program Erlangennya yang terkenal, di mana ia mengklasifikasikan geometri dari sudut pandang teori grup.

Ayah Emmy, Max Noether, mengajar matematika di Universitas Erlangen. Kecerdasannya diwarisi oleh putranya Fritz, yang mengabdikan hidupnya untuk matematika terapan, dan putrinya Emmy, yang menyerupai itik jelek dari dongeng Andersen - tidak ada yang bisa membayangkan ketinggian ilmiah apa yang akan dia capai. Di masa kecil dan remaja, Emmy tidak berbeda dari teman-temannya: dia sangat suka menari, jadi dia rela menghadiri semua perayaan. Pada saat yang sama, gadis itu tidak menunjukkan minat yang besar pada musik, yang membedakannya dari ahli matematika lain, yang sering menyukai musik dan bahkan memainkan instrumen yang berbeda. Emmy menganut Yudaisme - pada saat itu keadaan ini tidak penting, tetapi itu memengaruhi nasibnya di masa depan. Dengan pengecualian sesekali kejeniusan, pendidikan Emmy tidak berbeda dengan rekan-rekannya: dia tahu cara memasak dan mengatur rumah tangga, menunjukkan keberhasilan dalam belajar bahasa Prancis dan Inggris, dan dia diramalkan akan berkarir sebagai guru bahasa. Yang mengejutkan semua orang, Emmy memilih matematika.

Fasad Kollegienhaus - salah satu bangunan tertua Universitas Erlangen.

Balapan tanpa akhir

Emmy memiliki semua yang dia butuhkan untuk mengabdikan dirinya pada pekerjaan pilihannya: dia tahu matematika, keluarganya dapat mengalokasikan dana untuk hidupnya (walaupun sangat sedikit), dan kenalan pribadi dengan rekan-rekan ayahnya memungkinkannya mengandalkan fakta bahwa belajar di sekolah universitas tidak akan menjadi tak tertahankan. Untuk melanjutkan studinya, Emmy harus menjadi siswa - dia dilarang menghadiri kelas sebagai siswa penuh. Dia berhasil menyelesaikan studinya dan lulus ujian yang memberinya hak untuk menerima gelar doktor. Emmy memilih invarian aljabar bentuk kuadrat terner sebagai topik disertasinya. Guru disiplin ini adalah Paul Gordan (1837–1912) , yang sezaman disebut raja teori invarian; dia adalah teman lama ayah Noether dan pendukung matematika konstruktif. Dalam pencariannya untuk invarian aljabar, Gordan berubah menjadi bulldog nyata: dia berpegang teguh pada invarian dan tidak membuka rahangnya sampai dia memilihnya di antara seluk-beluk perhitungan yang terkadang tampak tak berujung. Tidak terlalu sulit untuk menjelaskan apa itu invarian dan bentuk aljabar, tetapi konsep-konsep ini tidak menarik bagi aljabar modern, jadi kita tidak akan membahasnya secara lebih rinci.

Dalam disertasi doktoralnya yang berjudul "Tentang Definisi Sistem Formal Bentuk Biquadratic Terner", diberikan 331 invarian bentuk biquadratic terner yang ditemukan oleh Emmy. Pekerjaan itu membuatnya mendapatkan gelar doktor dan memberinya banyak latihan dalam senam matematika. Emmy sendiri kemudian, dengan kritik diri sendiri, menyebut kerja keras ini sebagai omong kosong. Ia menjadi doktor sains wanita kedua di Jerman setelah Sofia Kovalevskaya.

Emmy mendapat posisi mengajar di Erlangen, di mana dia bekerja selama delapan tahun tanpa gaji. Terkadang dia mendapat kehormatan untuk menggantikan ayahnya sendiri - kesehatannya melemah saat itu. Paul Gordan pensiun dan digantikan oleh Ernst Fischer, yang lebih modern dan akrab dengan Emmy. Fischer-lah yang memperkenalkannya pada karya-karya Hilbert.

Untungnya, wawasan, pikiran, dan pengetahuan Noether diperhatikan oleh dua orang terkenal dari Universitas Göttingen, "universitas paling matematika di dunia." Tokoh-tokoh ini adalah Felix Klein dan David Gilbert (1862–1943) . Saat itu tahun 1915, Perang Dunia Pertama sedang berlangsung. Baik Klein maupun Hilbert sangat liberal dalam pendidikan wanita (dan partisipasi mereka dalam pekerjaan penelitian) dan merupakan spesialis tingkat tertinggi. Mereka membujuk Emmy untuk meninggalkan Erlangen dan pindah bersama mereka di Göttingen untuk bekerja sama. Pada saat itu, ide-ide fisika revolusioner Albert Einstein sedang booming, dan Emmy adalah seorang ahli aljabar dan invarian lainnya, yang merupakan perangkat matematika yang sangat berguna dari teori Einstein (kita akan kembali ke pembahasan invarian nanti).

Semua ini akan lucu jika tidak terlalu menyedihkan - bahkan dukungan dari otoritas semacam itu tidak membantu Emmy mengatasi perlawanan Dewan Akademik Universitas Göttingen, yang anggotanya dapat mendengar pernyataan dalam semangat: “Apa yang akan kami tentara heroik mengatakan ketika mereka kembali ke tanah air mereka, dan di auditorium, apakah mereka harus duduk di depan seorang wanita yang akan berbicara kepada mereka dari mimbar?” Hilbert, yang hadir pada percakapan seperti itu, keberatan dengan marah: “Saya tidak mengerti bagaimana jenis kelamin kandidat mencegahnya terpilih sebagai Privatdozent. Bagaimanapun, ini adalah universitas, bukan pemandian pria!

Tapi Emmy tidak pernah terpilih sebagai Privatdozent. Dewan Akademik menyatakan perang nyata padanya. Konflik segera berakhir, Republik Weimar diproklamasikan, dan situasi wanita membaik: mereka mendapat hak untuk memilih, Emmy dapat mengambil posisi profesor (tetapi tanpa gaji), tetapi hanya pada tahun 1922, dengan upaya keras, dia akhirnya mulai menerima uang untuk pekerjaannya. Emmy kesal karena pekerjaannya yang memakan waktu sebagai editor Annals of Mathematics tidak dihargai.

Pada tahun 1918 teorema sensasional Noether diterbitkan. Banyak yang menyebutnya demikian, meskipun Emmy membuktikan banyak teorema lain, termasuk yang sangat penting. Noether akan pantas mendapatkan keabadian bahkan jika dia meninggal sehari setelah teorema itu diterbitkan pada tahun 1918, meskipun dia sebenarnya telah menemukan buktinya tiga tahun sebelumnya. Teorema ini bukan milik aljabar abstrak dan terletak di antarmuka antara fisika dan matematika, lebih tepatnya, milik mekanika. Sayangnya, untuk menjelaskannya dalam bahasa yang dapat dipahami pembaca, bahkan jika dalam bentuk yang disederhanakan, kita tidak dapat melakukannya tanpa matematika dan fisika yang lebih tinggi.

Berbicara sederhana, tanpa simbol dan persamaan, teorema Noether dalam formulasi paling umum mengatakan: "Jika sistem fisik memiliki simetri kontinu, maka ada kuantitas yang sesuai di dalamnya yang mempertahankan nilainya dari waktu ke waktu."

Konsep simetri kontinu dalam fisika yang lebih tinggi dijelaskan dengan bantuan kelompok Lie. Kami tidak akan masuk ke rincian dan mengatakan bahwa dalam fisika, simetri dipahami sebagai setiap perubahan dalam sistem fisik sehubungan dengan jumlah fisik dalam sistem yang invarian. Perubahan ini, melalui transformasi kontinu secara matematis, harus mempengaruhi koordinat sistem, dan kuantitas yang dipertimbangkan harus tetap tidak berubah sebelum dan sesudah transformasi.

Dari mana istilah "simetri" berasal? Itu milik bahasa fisik murni dan digunakan karena mirip artinya dengan istilah "simetri" dalam matematika. Bayangkan rotasi ruang yang membentuk grup simetri. Jika kita menerapkan salah satu dari rotasi ini ke sistem koordinat, kita mendapatkan sistem koordinat yang berbeda. Perubahan koordinat akan dijelaskan dengan persamaan kontinu. Menurut teorema Noether, jika suatu sistem invarian terhadap simetri kontinu seperti itu (dalam hal ini, rotasi), maka secara otomatis ia memiliki hukum kekekalan untuk satu atau beberapa besaran fisis lainnya. Dalam kasus kami, setelah melakukan perhitungan yang diperlukan, kami dapat memastikan bahwa nilai ini akan menjadi momentum sudut.

Kami tidak akan membahas topik ini dan memberikan beberapa jenis simetri, kelompok simetri, dan jumlah fisik terkait yang akan dipertahankan.

Teorema ini telah menerima banyak penghargaan, termasuk dari Einstein, yang menulis kepada Hilbert:

« Kemarin saya menerima artikel yang sangat menarik dari Ibu Noether tentang konstruksi invarian. Saya terkesan bahwa hal-hal seperti itu dapat dipertimbangkan dari sudut pandang yang begitu umum. Tidak ada salahnya bagi penjaga tua di Göttingen jika mereka dikirim untuk dilatih oleh Madame Noether. Sepertinya dia tahu perdagangannya dengan baik».

Pujian itu memang layak diterima: Teorema Noether memainkan peran non-sepele dalam memecahkan masalah dalam teori relativitas umum. Teorema ini, menurut banyak ahli, adalah fundamental, dan beberapa bahkan menyamakannya dengan teorema Pythagoras yang terkenal.

Maju cepat ke dunia eksperimen yang sederhana dan mudah dipahami, dijelaskan Karl Popper (1902–1994) , dan misalkan kita telah membuat teori baru yang menjelaskan beberapa fenomena fisik. Menurut teorema Noether, jika ada semacam simetri dalam teori kita (cukup masuk akal untuk mengasumsikan hal seperti itu), maka sejumlah besaran yang dapat diukur akan tetap berada dalam sistem. Dengan cara ini, kita dapat menentukan apakah teori kita benar atau tidak.

DALIL TIDAK ADA

Sistem fisik dalam mekanika didefinisikan menggunakan istilah yang cukup kompleks, termasuk konsep seperti tindakan, yang dapat dianggap sebagai produk dari energi yang dilepaskan dan waktu yang dihabiskan untuk penyerapannya. Perilaku sistem fisik dalam bahasa matematika dijelaskan oleh Lagrangiannya L, yang merupakan fungsional (fungsi fungsi) dari bentuk

di mana q- posisi, q?- kecepatan (titik di atas dalam notasi Newton menunjukkan turunan dari q), t- waktu. perhatikan itu q- posisi dalam sistem koordinat umum, yang belum tentu Cartesian.

Tindakan TETAPI dalam bahasa matematika dinyatakan dengan integral sepanjang lintasan yang dipilih oleh sistem:

Prinsip tindakan terkecil, yang memainkan peran penting dalam fisika abad ke-19, menyatakan bahwa sistem fisik bergerak menurut hukum upaya terkecil, oleh karena itu, jika kita menggunakan bahasa analisis matematis, tindakan A pasti bernilai ekstrem. , yaitu minimum atau maksimum, sehingga turunan pertamanya harus sama dengan nol.

Sebuah ilustrasi yang baik bernilai seribu kata, jadi inilah contoh yang dijelaskan dengan sempurna di banyak buku dan di Internet. Teorema Noether dalam contoh ini dinyatakan sebagai berikut: "Mari kita asumsikan bahwa sistem partikel memiliki beberapa simetri, yaitu Lagrangiannya L invarian di bawah perubahan dalam beberapa variabel s maka dL/ds= 0. Maka ada properti sistem Dengan, yang akan disimpan: DC/dt = 0

Pertimbangkan sistem fisik yang terdiri dari dua pegas dengan koefisien elastisitas ke 12 dan ke 23 Mari kita perkenalkan notasi:

Sekarang perhatikan simetri (dalam perumusan teorema, ini dilambangkan dengan s). Karena hukum elastisitas selalu terpenuhi, kita dapat mengasumsikan bahwa s = t, yaitu, waktu, dan simetri Lagrangian, yang disebutkan dalam formulasi asli, memanifestasikan dirinya sebagai berikut:

Mari kita lakukan beberapa transformasi aljabar:

Mari kita ubah urutan anggota:

Kami telah memperoleh kuantitas yang dilestarikan Dengan- itu diberikan dalam tanda kurung. Sebagai q? = X?, kita punya

Jumlah (dengan tanda minus) energi kinetik dan potensial, yaitu energi total sistem, adalah konstan. Kami telah menerima hukum kekekalan energi.

Aljabar dan banyak lagi aljabar. Dan aljabar apa!

Kami menyela cerita kami tentang Emmy dengan fakta bahwa dia menetap di Göttingen, di sebelah Klein dan Hilbert, dua matematikawan terkenal di dunia. Gilbert yang cerdas menemukan cara untuk mengatasi rintangan dari guru yang paling lamban dan konservatif: dia menyelenggarakan kursus dengan namanya sendiri, tetapi Emmy menggantikannya di kelas setiap saat, dan para simpatisan hanya bisa menggertakkan gigi mereka.

Emmy dibedakan oleh penampilannya yang luar biasa - dia dapat dibandingkan dengan mobil yang remnya gagal. Pada tahun 1920, dia memutuskan untuk mengikuti jalan baru. Perlahan-lahan, tapi pasti, Emmy mulai lebih memperhatikan pertanyaan aljabar murni: pertama, cincin dan ideal pada cincin, kemudian struktur yang lebih kompleks, khususnya, berbagai aljabar. Dia sangat menguasai topik itu sehingga dia pantas mendapatkan gelar "Lord of the Rings." Hasil penting untuk pengembangan aljabar seperti teorema Lasker-Noether (1921) dan lemma normalisasi (1926) termasuk dalam era ini. Pada tahun 1927, teorema isomorfismenya sudah ada.

Kemudian, segera, Emmy beralih ke topik yang lebih kompleks, khususnya aljabar. Pada tahun 1931, teorema Albert-Brauer-Hasse-Noether tentang aljabar berdimensi hingga dirumuskan. Pada tahun 1933, Emmy Noether kembali memperoleh hasil penting terkait aljabar, yang disebut teorema Skolem-Noether. Kami tidak memberikan formulasi rinci dari teorema ini, karena mereka menyebutkan istilah dan objek matematika yang sangat abstrak yang hanya tersedia untuk spesialis.

Emmy diikuti di mana-mana oleh kerumunan siswa yang nyata - berisik, sulit diatur, tetapi sangat cerdas. Ini adalah "anak-anak Noether" yang mendengarkan kata-katanya. Mereka menemaninya berjalan-jalan dan sering berenang di kolam renang kota, tempat Emmy berenang dan menyelam seperti lumba-lumba. Banyak "anak-anak Noether" kemudian menjadi ahli matematika yang hebat berkat ide-ide yang mereka pelajari dari mentor mereka, meskipun bakat pedagogisnya, bisa dikatakan, tidak standar: dia memperlakukan murid-muridnya seperti induk ayam bagi ayam - dia selalu ketat dan menuntut. dan bukan dia tidak minggir dari mereka. Bagi banyak orang, dia lebih mirip ayam jantan daripada ayam, dan mereka memanggilnya, menunjukkan rasa hormat pada pikirannya dan sedikit takut-takut, dalam jenis kelamin maskulin - Der Noether.

"Anak-anak tidak ada».

Untuk memahami betapa penasarannya rombongan "anak-anak Noether", sebuah kasus anekdot dari zaman Nazi Jerman akan membantu. Natasha Artin-Braunschweig, istri Emil Artina (1898–1962) , menceritakan bagaimana mereka pernah turun ke metro Hamburg: para siswa tidak ketinggalan di belakang Noether dan mengikutinya seperti anak-anak di belakang Pied Piper of Hamelin. Begitu mereka naik kereta, Emmy mulai mendiskusikan topik matematika dengan Emil Artin, semakin meninggikan suaranya dan tidak memperhatikan penumpang lain. Dalam pidato Noether, kata-kata "fuhrer" dan "ideal" terus-menerus terdengar - membuat Natasha sangat ketakutan, yang takut mereka akan ditahan oleh Gestapo.

Namun, "anak-anak" mana pun dapat dengan mudah menjelaskan kepada Gestapo yang menakutkan bahwa kata-kata ini hanyalah istilah aljabar yang tidak bersalah dari teori cincin. Pada saat itu, Nazi memasang pengawasan yang merajalela, mereka ikut campur dalam kehidupan pribadi orang-orang dan secara harfiah mengepung universitas. Salah satu siswa Emmy, yang Yahudi dan karena itu tidak dapat kuliah, datang untuk belajar di rumahnya dalam bentuk anggota regu penyerang untuk menghindari kecurigaan. Emmy pasifis memahami apa yang terjadi dengan kerendahan hati.

Dia terlibat dalam bagian aljabar paling modern. Dari waktu ke waktu, Emmy beralih ke topologi, khususnya bekerja sama dengan Pavel Sergeevich Alexandrov (1896–1982) . Keistimewaan Noether adalah studi rinci tentang struktur aljabar, yang tujuannya adalah untuk membuang sifat-sifat khusus mereka dan mempertimbangkannya dengan cara yang paling umum. Emmy menikmati otoritas tak terbatas, dan murid-murid datang kepadanya dari seluruh Eropa. Salah satu diantara mereka, Barthel van der Waerden (1903–1996) , yang kemudian menjadi terkenal sebagai penulis "Aljabar Modern", sebuah buku yang menjadi kanon selama beberapa generasi (dari buku ini, halaman-halaman yang dihiasi dengan simbol-simbol tipe Gotik yang tidak dapat dipahami, saya juga pelajari), menulis dalam Obituari Emmy Noether:

« Bagi Emmy Noether, hubungan antara bilangan, fungsi, dan operasi menjadi jelas, dapat digeneralisasikan, dan berguna hanya setelah dipisahkan dari objek tertentu dan direduksi menjadi hubungan konseptual umum.».

Inilah yang ditulis Einstein:

« Matematika teoretis adalah sejenis puisi ide-ide logis. Tujuannya adalah untuk mencari ide-ide paling umum yang menggambarkan jangkauan maksimum yang mungkin dari hubungan formal dengan cara yang sederhana, logis dan umum. Di jalan menuju keindahan logis ini, kami menemukan formula yang memungkinkan kami untuk lebih memahami hukum alam.».

Struktur aljabar dasar

Baca bagian ini tentang dasar-dasar aljabar abstrak dengan cermat, jika tidak, Anda tidak akan memahami apa pun yang dikatakan di bagian berikut. Bagian ini luas tetapi sederhana karena hanya berisi definisi.

Ada banyak struktur aljabar dasar yang dianggap sebagai himpunan dengan satu atau lebih operasi. Kami membatasi diri untuk mempertimbangkan struktur di mana dua operasi didefinisikan, Hai dan . Operasi ini sering + dan . Terkadang apa yang disebut hukum ketiga komposisi eksternal diperlukan ( sebuah terkadang lebih), tetapi kami hanya akan mempertimbangkan kasus yang paling sederhana. Alih-alih terus-menerus menggunakan kata "adalah elemen", kami akan menggantinya dengan simbol

Grup adalah himpunan elemen TETAPI dengan operasi o yang didefinisikan di atasnya yang memenuhi tiga kondisi berikut:

1) ada elemen netral n seperti yang n tentang sebuah = sebuah tentang n = sebuah untuk siapa saja sebuah

2) untuk masing-masing sebuah

TETAPI ada elemen terbalik sebuah-1 sedemikian rupa sehingga sebuah tentang sebuah -1 = sebuah-1 tentang sebuah = n;

3) untuk apa saja a, b, c

TETAPI properti associativity memegang, yang menurutnya ( sebuah tentang b) tentang dengan= sebuah tentang ( b tentang dengan).

Suatu grup disebut komutatif, atau Abelian (untuk menghormati matematikawan Norwegia Niels Henrik Abel), jika untuk sembarang a, b

TETAPI operasi yang telah kita definisikan adalah komutatif, yaitu relasi sebuah tentang b = b tentang sebuah.

Jika operasi penjumlahan (+) didefinisikan pada grup, maka elemen invers sebuah, dilambangkan - sebuah dan disebut berlawanan. Elemen netral dalam hal ini dilambangkan dengan 0.

Jika operasi perkalian () didefinisikan pada grup, maka elemen invers sebuah, dilambangkan dengan 1/ sebuah. Unsur netral dalam hal ini dilambangkan 1.

4) untuk apa saja a, b, c

Dan itu adil ( a b) dengan = sebuah (b c).

Operasi o dan terkait satu sama lain dengan sifat distributif terhadap:

5) sebuah (b tentang dengan) = (a b) tentang ( sebuah c).

Ring adalah grup komutatif di mana satu operasi lagi didefinisikan yang memiliki sifat asosiatif:

Contoh cincin adalah bilangan asli

Bilangan bulat

Angka rasional

bilangan asli

Dan bilangan kompleks

(terlepas dari aritmatika modal yang ditentukan untuk mereka). Polinomial juga membentuk cincin.

Operasi di dunia cincin tentang memiliki komutatifitas yang mirip dengan operasi penjumlahan, sehingga dilambangkan dengan tanda +. Operasi (untuk penyederhanaan, kita akan menganggap bahwa ia juga memiliki komutatifitas) dilambangkan dengan simbol · , seperti perkalian.

Subgrup atau subring TETAPI akan menjadi subset apa pun yang akan tetap menjadi grup atau dering jika operasinya dibatasi tentang atau subset ini. Yang ideal adalah subring khusus: subring ini PADA

TETAPI sedemikian rupa sehingga pekerjaan apa pun b PADA dan elemen lain yang dimiliki PADA atau tidak, akan menjadi milik PADA. Cita-cita bisa ditambah dan dikalikan. Hasil penjumlahan dan perkalian cita-cita juga akan menjadi cita-cita. Konsep ideal muncul sebagai generalisasi dari konsep bilangan. Untuk dua ideal yang diberikan Saya dan J kita punya:

Tentukan idealnya AKU J agak lebih sulit. Ini adalah ideal yang dihasilkan oleh semua karya hu, di mana X

aku, kamu J. Perpotongan dari semua ideal yang mengandung produk serupa disebut ideal yang dihasilkan.

Area integritas disebut ring TETAPI, di mana untuk operasi · tidak ada yang disebut pembagi nol. Dengan kata lain, tidak ada elemen di cincin ini sebuah dan b seperti yang ab = ba= 0.

Dalam hal ini, cincin TETAPI komutatif dan mengandung elemen identitas, yaitu elemen netral yang didefinisikan untuk operasi, yang memainkan peran unit:

sebuah 1 = sebuah.

Sekarang pertimbangkan area integritas TETAPI tanpa 0. Dilambangkan dengan TETAPI* = TETAPI|(0). Jika operasi · menentukan pada TETAPI* kelompok komutatif, maka TETAPI disebut lapangan. Jika sebuah TETAPI* tidak komutatif, maka TETAPI disebut tubuh. Jangan takut dengan kesulitan seperti itu: jika cincinnya TETAPI tentu saja, maka itu komutatif oleh teorema Wedderburn yang terkenal. Jika cincin TETAPI tak terhingga, maka ada kebebasan bagi para aljabar.

Mari kita pertimbangkan A-modul - jenis paling langka dari dunia aljabar modern. Untuk mendefinisikan modul-A kiri, kita membutuhkan cincin dengan identitas TETAPI dan grup komutatif M. Tindakan dengan elemen a, b

TETAPI dan elemen M (M N M) didefinisikan sebagai berikut:

1. (ab)m= sebuah(bm)

2. (sebuah + b) n = saya + bm

3. sebuah(m + n) = saya + sebuah

4. 1m = m.

Modul-A yang tepat didefinisikan dengan cara yang sama; modul komutatif (atau hanya modul-A) adalah modul yang berada di kanan dan kiri secara bersamaan. Jika A adalah medan, maka modul A disebut ruang vektor. Jika operasi perkalian didefinisikan untuk vektor-vektor ruang vektor, kita memiliki "aljabar". Di sinilah kita akan berhenti. Meskipun definisi yang kami berikan bersifat dasar, sangat mungkin bahwa pembaca tidak akan menyebut bagian ini sebagai dasar.

Beberapa kata tentang aljabar, ideal, dan cincin Noetherian

Sebagian besar karya ilmiah Emmy Noether dikhususkan untuk cincin dan cita-cita - struktur aljabar, tempat dia bekerja selama bertahun-tahun. Mengapa Noether memberi mereka perhatian seperti itu?

Banyak objek yang bekerja dengan matematikawan adalah cincin: misalnya, cincin adalah himpunan bilangan bulat

Dan ekstensi berturut-turutnya adalah ,

Cincin juga polinomial dari satu variabel dengan koefisien dari cincin di atas

[X]. Demikian pula, cincin adalah polinomial dari beberapa variabel

Serta deret konvergen - singkatnya, lebih banyak lagi.

Tapi apa cita-cita dan mengapa mereka mendapatkan nama yang begitu romantis? Mari kita membuat penyimpangan kecil ke dalam sejarah matematika. Pertimbangkan sebagai contoh bilangan bulat kuadrat

[?-5] atau

Yang mirip. Ini adalah kumpulan angka seperti sebuah + b?-5, di mana sebuah dan b- bilangan bulat. Dengan kata lain,

[?-5] adalah sebuah cincin (lihat), tapi di sini, secara matematis, kita memasuki zona terlarang. Kita terbiasa dengan sifat-sifat standar pembagian dan fakta bahwa faktorisasi suatu bilangan menjadi faktor prima selalu unik. Misalnya, perhatikan angka 21. Kami memiliki 21 = 3 7 dan di sinilah faktorisasi berakhir: 21 dapat difaktorkan menjadi faktor prima dengan cara yang unik, dan faktor-faktor ini adalah 3 dan 7. Pernyataan ini mengikuti dari teorema utama aritmatika: di set

Penguraian bilangan apa pun menjadi faktor prima adalah unik. Di lokasi syuting

[?-5] pernyataan ini tidak berlaku lagi: di sini kita dapat memfaktorkan 21 menjadi faktor prima dengan dua cara:

3 7 \u003d (4 + ?-5) (4 - ?-5) \u003d 21.

Pada himpunan ini, penguraian menjadi faktor-faktor prima tidak lagi menjadi satu-satunya, yang, dengan ketidaksenangan terbesarnya, diperhatikan oleh Ernst Kummer (1810–1893) . Pernyataan ini, yang tampaknya tidak terlalu penting dan ditulis hanya dalam satu baris, menghalangi para aljabar abad XIX untuk membuktikan teorema Fermat dan memberi mereka banyak masalah.

Untuk memperbaiki situasi dan mengatasi masalah, Kummer sendiri memperkenalkan bilangan ideal. Mereka tidak terlalu berguna, karena mereka bukan lagi milik

[?-5], tetapi ke cincin lain yang lebih besar. Ini bukan angka genap - hari ini kita akan menyebutnya kumpulan angka yang setara satu sama lain. Matematikawan pada waktu itu tidak menyadari konsep faktor himpunan dan homomorfisme yang saat ini diterima secara umum, dan hanya Richard Dedekind (1831–1916) . Dia diikuti oleh aljabar lain yang membersihkan daerah itu dan memulai penggalian. Emmy Noether menempati tempat penting di antara mereka.

Cita-cita memiliki fitur luar biasa lainnya - kita berbicara tentang rantai cita-cita. Kami tidak akan mengikuti Noether dan mencoba menjelaskan konsep abstrak, tetapi kami akan membatasi diri untuk memberikan satu contoh yang sangat sederhana - cita-cita cincin bilangan bulat

Di dunia ini (ini adalah area integritas, yaitu cincin "baik"), teorema utama aritmatika mengatur pertunjukan: untuk semua angka, dekomposisi menjadi faktor prima adalah unik, dan tidak ada yang mengganggu harmoni. Cita-cita di dunia ini akan banyak sekali n

Terdiri dari kelipatan bilangan bulat n. Jumlah cita-cita seperti itu, serta angka-angka itu sendiri, akan sangat besar. Jumlah dan produk ideal didefinisikan dengan sangat sederhana:

Ideal, yang merupakan kumpulan angka, dan angka biasa berperilaku dengan cara yang sama, difaktorkan dengan cara yang sama, dan setara dari sudut pandang aritmatika. Mereka setara bahkan dalam aspek yang sulit seperti keterbagian. Memang, " b dibagi dengan sebuah» untuk cita-cita dapat dinyatakan sebagai b

Kejeniusan Noether terletak pada kenyataan bahwa dia membangun rantai cita-cita, disatukan oleh fungsi keanggotaan

Yang mencerminkan keterpecahan mereka satu sama lain.

Karena hubungan keterbagian apa pun cepat atau lambat berakhir dengan angka tertentu, cepat atau lambat rantai cita-cita apa pun juga akan berakhir. Rantai cita-cita yang "baik" harus berakhir, yaitu, mereka terbatas. Cincin di mana tidak ada rantai cita-cita yang tak terbatas disebut cincin Noetherian. Cincin inilah yang menjadi perhatian khusus Emmy dalam penelitiannya.

Kemudian, ahli aljabar membuktikan kesetaraan pernyataan berikut.

1. Cincin TETAPI adalah Noetherian (dengan kata lain, peningkatan rantai cita-cita di atasnya adalah terbatas).

2. Setiap ideal pada TETAPI dihasilkan secara terbatas.

3. Seperangkat cita-cita di TETAPI mengandung ideal terbesar.

Pada tahun 1999, Australian Mathematical Foundation memproduksi T-shirt yang menampilkan rantai yang terus meningkat untuk ukuran 18 . yang ideal

Di lokasi syuting

Ukuran kaos yang terbatas menghalangi kami untuk menggunakan contoh lain. Rantai cita-cita berikut digambarkan pada T-shirt:

Seperti yang diharapkan, rantai ini terbatas, dan cincinnya

Apakah Noetherian. Omong-omong, Hilbert membuktikan bahwa jika ring A adalah Noetherian, maka ring polinomial juga akan Noetherian. TETAPI[X].

DALIL EMMI DAN PEMAIN Catur

Ahli ilmu aljabar Emanuel Lasker (1868–1941) adalah seorang matematikawan dan juara catur dunia yang luar biasa. Dia mempertimbangkan secara rinci cita-cita biasa, sederhana dan utama. Kami tidak akan mempelajari aljabar abstrak terlalu dalam dan mempertimbangkan cincin TETAPI, yang juga merupakan daerah integritas. Perkiraan ideal pada cincin ini disebut ideal Saya, berbeda dari cincin aslinya TETAPI, di mana ab

Saya dan sebuah Saya ada n seperti yang b n Saya. (Pada n= 1 ideal ini disebut sederhana.) Lasker menggambarkan kelas cincin yang sangat luas (sekarang disebut cincin Lasker) berdasarkan satu sifat menarik dari ideal mereka. Setiap ideal dapat direpresentasikan sebagai perpotongan dari sejumlah ideal primer yang terbatas.

Emmy Noether membuktikan teorema yang sekarang dikenal sebagai teorema Noether-Lasker, yang berbunyi sebagai berikut:

"Setiap domain integritas Noetherian adalah cincin Lasker."

Teorema ini, terkait dengan aljabar abstrak, menghubungkan dua konsep yang tampaknya sangat jauh - rantai cita-cita yang terbatas dan persimpangan cita-cita primer. Anda mungkin tidak memperhatikan (dan, pada kenyataannya, Anda seharusnya tidak meminta maaf untuk ini sama sekali) bahwa jika kita menerapkan teorema Lasker-Noether ke ring

Kemudian kita mendapatkan teorema dasar aritmatika: bilangan bulat apa pun dapat direpresentasikan sebagai produk faktor prima dengan cara yang unik. Istilah "cincin Noetherian", yang digunakan di mana-mana saat ini, diperkenalkan oleh matematikawan besar Prancis Claude Chevalley (1909–1984) , salah satu pendiri grup Bourbaki.

Akhir dari cerita

Tak perlu dikatakan, sudah di tahun 1930-an, Emmy Noether menikmati rasa hormat yang luar biasa di antara para matematikawan. Contohnya adalah partisipasinya dalam Kongres Internasional tahun 1932. Tahun berikutnya, Nazi berkuasa di Jerman, dan dengan tekad besar, yang hanya bisa dibandingkan dengan kebodohan mereka sendiri, mereka mulai mengeluarkan semua guru Yahudi dari universitas. Emmy juga menderita anti-Semitisme. Teman-teman dan kenalannya memprotes dengan sia-sia - dia dan banyak rekannya (Thomas Mann, Albert Einstein, Stefan Zweig, Sigmund Freud, Max Born, dan lainnya) terpaksa berhenti mengajar di Jerman dan meninggalkan negara itu (seperti yang kemudian menjadi jelas, tidak semua orang memiliki kesempatan seperti itu ) untuk menyebarkan ide-ide jahat mereka di antara anggota ras non-Arya lainnya. Apa sebenarnya yang dilihat Nazi sebagai berbahaya dalam aljabar modern, kita tidak akan pernah tahu. Kemungkinan besar, Nazi sendiri tidak tahu jawaban atas pertanyaan ini.

Saudara laki-laki Emmy, Fritz, pindah ke Tomsk, dan Emmy sendiri, yang selama beberapa waktu bersandar baik ke Oxford atau Moskow (dia memiliki simpati tertentu untuk revolusi sosialis di Uni Soviet), berakhir di Amerika Serikat melalui upaya Rockefeller Dasar.

Banyak buku telah ditulis tentang anti-Semitisme dan penyebarannya. Akan berguna untuk mengatakan bahwa sebelum masuknya Amerika Serikat ke dalam Perang Dunia II, anti-Semitisme mendapatkan momentum di beberapa universitas yang dianggap sebagai kuil pengetahuan dan benteng liberalisme, khususnya di Universitas Princeton di New Jersey. Karena alasan inilah keluarga jutawan dan dermawan Yahudi, Bamberger, menyumbangkan beberapa juta dolar kepada Institute for Advanced Study di Princeton, sebuah lembaga yang benar-benar netral yang bebas dari prasangka semacam itu. Sumbangan ini pada akhirnya membantu lembaga ini menjadi lembaga penelitian model. Di Princeton, para ilmuwan menetaskan gagasan, dibayar semata-mata untuk karya ilmiah, dan dibebaskan dari mengajar. Lembaga ini menjadi surga bagi banyak emigran Eropa yang seluruhnya atau setengah Yahudi. Di antara mereka adalah Einstein, Weyl, von Neumann dan Gödel. Meskipun Emmy Noether mengajar di institut dan mengadakan seminar, dan prestasinya dalam matematika lebih dari cukup, dia tidak pernah menjadi karyawan penuh Princeton - hanya karena dia seorang wanita. Tempat kerja utama Noether adalah Bryn Mawr College yang terletak di dekat New Jersey di Pennsylvania - perguruan tinggi wanita terbaik di dunia. Emmy terkadang lupa bahwa dia sedang berada di Amerika, dan di tengah perdebatan tentang matematika, dia melontarkan kata-kata kasar dalam bahasa Jerman.

Hanya dua tahun setelah tiba di Amerika, dokter menemukan Emmy menderita kanker rahim. Dia menjalani operasi yang sangat baik, tetapi meninggal karena emboli. Menariknya, di antara longsoran obituari, satu, ditandatangani oleh van der Waerden, diterbitkan di Jerman tanpa banyak masalah - sensor Nazi pasti tidak pandai aljabar.

Sebuah kawah di sisi jauh Bulan dan asteroid 7001 juga dinamai Emmy Noether.

Dari buku Mary Stuart penulis Zweig Stefan

3. Janda ratu sekaligus ratu (Juli 1560 - Agustus 1561) Tidak ada yang begitu tajam mengubah garis kehidupan Mary Stuart ke arah yang tragis, seperti kemudahan berbahaya yang dengannya nasib mengangkatnya ke puncak kekuasaan duniawi. Pendakiannya yang cepat menyerupai lepas landas

Dari buku Memoirs 1942-1943 pengarang Mussolini Benito

BAB XIII Dewan Mahkota dan Penyerahan Saat itu pukul 7 malam pada tanggal 8 September ketika berita gencatan senjata datang; orang mendengarkan semua siaran radio. Sejak saat itu, keamanan saya diperkuat dan penjaga di pintu saya berdiri bahkan di malam hari. Kepala penjaga tampak sangat khawatir.

Dari buku Life of Pushkin. Jilid 1. 1799-1824 pengarang Tyrkova-Williams Ariadna Vladimirovna

Dari buku Great Novels pengarang Burda Boris Oskarovich

FRANZ JOSEPH VON HABSBURG DAN AMALIA EUGENE ELIZABETH VON WITTELSBACH Caesar dan Sissi Setiap intervensi aktif orang tua dalam kehidupan pasangan muda berbahaya - praktis tidak ada pengecualian. Jika orang tua mengatakan dan melakukan hal yang salah,

Dari buku Marie Antoinette penulis Lever Evelyn

Dari buku Catatan algojo, atau Rahasia politik dan sejarah Prancis, buku 2 penulis Sanson Henri

Bab VII Ratu Bahkan dengan simpati terbesar untuk revolusi, dengan antusias, tidak ada cara untuk melihat dengan tenang, tanpa rasa malu, pada nasib dan penderitaan mantan ratu Prancis. Pada tahun tertentu wanita malang ini kehilangan mahkota dan kebebasannya; kapak algojo

Dari buku Di Langit Cina. 1937–1940 [Kenangan pilot sukarelawan Soviet] pengarang Chudodeev Yuri Vladimirovich

Dari buku Past and Future penulis Aznavour Charles

Amalia Saya selalu menikmati bekerja di Belgia, baik itu Wallonia, Brussel atau Antwerpen. Saya suka publik negara ini yang "mengadopsi" Anda tanpa upacara apa pun. Saya suka belut mereka di hijau, bir mereka yang enak adalah negara yang menyenangkan dan saya senang ketika saya kadang-kadang

Dari buku Churchill-Marlborough. Sarang Mata-mata pengarang Greig Olga Ivanovna

BAB 5 BAGAIMANA KEBIJAKAN MAHKOTA INGGRIS DI INDIA MEMPERKAYA CHURCHILLS Segala sesuatu yang berkaitan dengan kehidupan dan karya Winston Churchill disajikan oleh banyak sejarawan dengan kata-kata muluk, bernafas dari pentingnya sosok dan kekaguman atas tindakan politik ini

Dari buku Pushkin dan 113 wanita penyair. Semua urusan cinta penggaruk besar pengarang Schegolev Pavel Eliseevich

Riznich Amalia Amalia Riznich (1802–1825) - putri bankir Wina Ripp, seorang Serbia dari Vojvodina, istri (sejak 1820) seorang pedagang Odessa, salah satu direktur bank komersial Ivan (Jovan) Stepanovich Riznich, juga seorang Serbia. Nama lengkapnya adalah Amalia-Rosalia-Sophia-Elizabetta Ripp. Suaminya,

Dari buku Fiction Lovers Club, 1976-1977 pengarang Fialkovsky Konrad

1977, No. 5 Robert Sherman Towns EMMY CHALLENGE Pic. Valeria Karaseva Emmy tinggal - kami semua menggunakan kata itu - di sebuah ruangan besar yang pernah menjadi gudang senjata untuk layanan pelatihan perwira cadangan universitas. Dinding dicat ulang dengan warna abu-abu pucat

Dari buku Famous Beauties penulis Muromov Igor

Dari buku karya Rudolf Nureyev. Jenius yang marah penulis Dollfus Arian

Bab 6. Ratu Margot Kami menjadi satu tubuh, satu jiwa. Rudolf Nureyev Salah satu duet balet terbaik Rudolf Nureyev - Margot Fontaine tidak akan pernah bisa terbentuk. Pertama kali seorang pemuda Rusia memintanya untuk berdansa dengannya, prima Inggris

Dari buku Kehidupan dan Kematian Benito Mussolini pengarang Ilyinsky Mikhail Mikhailovich

Dari buku Churchill dan Misteri Kuno Konspirasi Reptil pengarang Greig Olga Ivanovna

Dari buku penulis

Bab 5. Bagaimana kebijakan Kerajaan Inggris di India memperkaya Churchills Segala sesuatu yang menyangkut kehidupan dan karya Winston Churchill disajikan oleh banyak sejarawan dengan kata-kata muluk, bernafas dari pentingnya sosok dan kekaguman atas tindakan politik ini

Matematikawan Jerman terkemuka, "ahli matematika wanita terbesar yang pernah ada."

Lahir di keluarga matematikawan Max Noether di Erlangen. Dia belajar di Universitas Erlangen, tempat ayahnya bekerja, pada awalnya sebagai sukarelawan, sejak 1904, ketika pendidikan wanita diizinkan, dia secara resmi terdaftar. Dia adalah mahasiswa matematikawan Paul Gordan, di bawah bimbingannya dia mempertahankan disertasinya tentang teori invarian pada tahun 1907.

Saya tidak mengerti mengapa jenis kelamin kandidat menjadi argumen yang menentang pemilihannya sebagai Privatdozent. Bagaimanapun, ini adalah universitas, bukan pemandian pria!

Namun, Noether, tanpa memegang jabatan apa pun, sering memberi kuliah untuk Hilbert. Hanya setelah berakhirnya Perang Dunia I dia dapat menjadi seorang Privatdozent pada tahun 1919, kemudian (1922) menjadi profesor supernumerary.

Orang-orang sezaman menggambarkan Noether sebagai wanita yang tidak terlalu cantik, tetapi sangat cerdas, menawan, dan ramah. Feminitasnya dimanifestasikan tidak secara lahiriah, tetapi dalam kepedulian yang menyentuh bagi murid-muridnya, kesiapannya yang konstan untuk membantu mereka dan rekan-rekannya. Di antara teman-temannya yang setia adalah ilmuwan terkenal di dunia: Hilbert, Hermann Weyl, Edmund Landau, matematikawan Belanda L. Brouwer, matematikawan Soviet P. S. Aleksandrov, P. S. Uryson dan banyak lainnya.

Noether menganut pandangan sosial demokrat. Selama 10 tahun hidupnya ia berkolaborasi dengan ahli matematika dari USSR; pada tahun akademik 1928/29, dia mengajar di Universitas Moskow, di mana dia mempengaruhi L. S. Pontryagin dan terutama P. S. Aleksandrov, yang telah sering mengunjungi Göttingen sebelumnya. P. S. Alexandrov mengenang:

Ceramah Emmy Noether tentang teori umum cita-cita adalah puncak dari semua yang saya dengar musim panas itu di Göttingen... Tentu saja, Dedekind meletakkan awal teori, tetapi hanya permulaan: teori cita-cita dalam semua kekayaan ide dan faktanya, sebuah teori yang memiliki dampak besar pada matematika modern , adalah ciptaan Emmy Noether. Saya bisa menilai ini karena saya tahu baik karya Dedekind maupun karya utama Noether tentang teori ideal.

Ceramah Noether memikat saya dan Urysohn. Mereka tidak brilian dalam bentuk, tetapi mereka menaklukkan kami dengan kekayaan konten mereka. Kami terus-menerus melihat Emmy Noether dalam suasana santai dan berbicara banyak dengannya, baik tentang topik teori cita-cita maupun topik pekerjaan kami, yang langsung menarik minatnya.

Perkenalan kami, yang dimulai dengan jelas musim panas ini, semakin mendalam pada musim panas berikutnya, dan kemudian, setelah kematian Urysohn, berubah menjadi persahabatan matematis dan pribadi yang mendalam yang terjalin antara Emmy Noether dan saya sampai akhir hayatnya. Manifestasi terakhir dari persahabatan ini di pihak saya adalah pidato untuk mengenang Emmy Noether pada pertemuan Konferensi Topologi Internasional Moskow pada Agustus 1935.

1932: Noether, bersama dengan Emil Artin, menerima Penghargaan Ackermann-Töbner untuk pencapaiannya dalam matematika.

Setelah Nazi berkuasa pada tahun 1933, Noether, sebagai seorang Yahudi, harus beremigrasi ke Amerika Serikat, di mana ia menjadi guru di perguruan tinggi wanita di Bryn Mawr (Pennsylvania) dan profesor tamu di Institute for Advanced Studies di Princeton. . Adik Emmy, ahli matematika berbakat Fritz Noether, berangkat ke Uni Soviet, di mana ia ditembak pada September 1941 karena "sentimen anti-Soviet."

Terlepas dari pencapaian matematika yang cemerlang, kehidupan pribadi Noether tidak berhasil. Menjadi wanita jelek, dia tidak pernah menikah. Tidak diakui, diasingkan, kesepian di negeri asing, tampaknya, seharusnya merusak karakternya. Namun, dia hampir selalu tampak tenang dan baik hati. Hermann Weil bahkan menulis dengan senang hati.

Emmy Noether meninggal pada tahun 1935 setelah operasi yang gagal untuk mengangkat tumor kanker.

Akademisi P. S. Alexandrov menulis:

Jika perkembangan matematika saat ini tidak diragukan lagi berlangsung di bawah tanda aljabar, penetrasi konsep aljabar dan metode aljabar ke dalam teori matematika yang paling beragam, maka ini menjadi mungkin hanya setelah karya Emmy Noether.

Einstein, dalam catatan kematiannya, menempatkan Noether di antara jenius kreatif terbesar dalam matematika.

Kegiatan ilmiah

Pada dasarnya, karya-karya Noether berhubungan dengan aljabar, di mana mereka berkontribusi pada penciptaan arah baru, yang dikenal sebagai aljabar abstrak. Noether memainkan peran yang menentukan dalam bidang ini (bersama dengan Emil Artin dan muridnya B. L. van der Waerden). Hermann Weil menulis:

Sebagian besar isi dari volume kedua Aljabar Modern van der Waerden (sekarang hanya Aljabar) pastilah karya Emmy Noether.

Istilah "cincin Noetherian", "modul Noetherian", teorema normalisasi dan teorema dekomposisi ideal Lasker-Noether sekarang menjadi dasar.

Noether memiliki pengaruh besar pada aljabarisasi topologi, menunjukkan bahwa apa yang disebut. "Angka Betty" hanyalah jajaran kelompok homologi.

Ide-ide dan pandangan ilmiah Noether memiliki dampak besar pada banyak matematikawan dan fisikawan. Dia membesarkan sejumlah siswa yang menjadi ilmuwan kelas dunia dan melanjutkan arah baru yang ditemukan oleh Noether.

Matematikawan Emmy Noether adalah seorang jenius yang memprakarsai pendekatan baru dalam fisika

Teorema Noether dalam fisika teoretis sama dengan seleksi alam dalam biologi. Jika Anda menulis persamaan yang merangkum semua yang kita ketahui tentang fisika teoretis, persamaan itu akan memiliki nama Feynman, Schrödinger, Maxwell, dan Dirac di salah satu ujungnya. Tetapi jika Anda menulis nama Noether di sisi lain persamaan, itu akan menggantikan semuanya.

Emmy Noether lahir di Bavaria pada tahun 1882. Dia menghadiri sekolah asrama dan menerima diploma yang memberikan hak untuk mengajar bahasa - Prancis dan Inggris. Namun, gadis itu segera menyadari bahwa matematika, yang dipelajari ayah dan saudara lelakinya di Universitas Erlangen, lebih menarik baginya. Wanita tidak diizinkan masuk ke perguruan tinggi, tetapi Emmy lulus ujian masuk dengan nilai A plus dan hanya mengikuti kuliah sebagai sukarelawan sampai universitas mulai menerima anak perempuan untuk belajar. Dan Noether bisa mendapatkan gelar Ph.D.

Gadis itu mulai terlibat dalam pekerjaan penelitian dan, bisa dikatakan, menemukan aljabar umum. Disiplin ini mempelajari sistem aljabar (algebraic structure) dan mereduksinya menjadi bentuk yang paling abstrak. Tujuan Noether adalah untuk memahami bagaimana ide-ide matematika berkorelasi satu sama lain dan untuk membangun struktur matematika umum. Dia tidak pernah mengklaim telah menemukan sesuatu yang revolusioner, tetapi karyanya adalah pendekatan baru dalam matematika.

Saat Noether sedang menulis karya terobosannya di Universitas Erlangen, dia tidak memiliki posisi maupun gaji. Satu-satunya hal yang bisa dia lakukan adalah menggantikan ayahnya dalam kuliah matematika dari waktu ke waktu ketika dia sakit.

Tujuh tahun kemudian, matematikawan David Hilbert dan Felix Klein mengundang Noether untuk bekerja dengan mereka di Universitas Göttingen. Mereka menginginkan seorang wanita untuk memecahkan masalah kekekalan energi dalam teori relativitas umum Einstein. Dalam upaya untuk melakukan ini, Emmy merumuskan teorema Noether, sehingga membuat salah satu kontribusi paling signifikan untuk fisika teoretis.

Einstein berbicara tentang teorema sebagai contoh "pemikiran matematis yang jernih". Selain itu, teorema ini memiliki rumusan sederhana: setiap simetri kontinu dari sistem fisik sesuai dengan hukum kekekalan tertentu. Dengan simetri berarti bahwa proses fisik - atau deskripsi matematisnya - tetap sama ketika ada aspek instalasi yang berubah.

Misalnya, pendulum ideal yang berayun bolak-balik tanpa batas adalah simetris dalam waktu. Berdasarkan teorema Noether, segala sesuatu yang memiliki simetri waktu menghemat energi. Dengan demikian, bandul tidak kehilangan energi. Jika sistem memiliki simetri rotasi - yaitu, ia bekerja dengan cara yang sama, terlepas dari orientasi dalam ruang - maka momentum sudut kekal di dalamnya. Ini berarti bahwa jika objek awalnya berputar, maka ia akan terus berputar tanpa batas. Stabilitas yang kita lihat di orbit planet-planet adalah konsekuensi dari simetri yang bekerja bersama - kekekalan energi dan momentum sudut benda.

Teorema Noether memungkinkan kita untuk membuat hubungan yang mendalam antara hasil eksperimen dan deskripsi matematika dasar fisika mereka. Berpikir tentang fisika dalam hal ini membentuk dasar dari jenis lompatan teoretis yang membuat fisikawan secara teoritis memprediksi Higgs boson jauh sebelum partikel tersebut dapat dideteksi oleh penelitian LHC. Simetri sangat mendasar bagi fisika sehingga Model Standar fisika partikel sering dinamai menurut kelompok simetrinya: U(1)×SU(2)×SU(3).

Tentu saja, bagus bahwa Noether membuat revolusi radikal dalam fisika - tetapi pada saat yang sama dia terus bekerja tanpa bayaran, sering mengajar untuk Hilbert dan menjadi asistennya. Pada tahun 1922, 4 tahun setelah penerbitan teoremanya, wanita itu menerima status asisten profesor lepas, dan mereka mulai memberinya gaji kecil. Emmy mengajar di seluruh Eropa.

Ketika Nazi berkuasa, Noether kehilangan pekerjaan karena dia orang Yahudi. Dia harus beremigrasi ke Amerika, di mana dia menjadi profesor tamu di perguruan tinggi wanita di Bryn Mawr. Selain itu, Emmy Noether memberikan kuliah mingguan di Princeton. Di Bryn Mawr, Noether pertama kali mulai bekerja dengan matematikawan wanita. Sungguh tragis dia hanya diberi waktu 2 tahun untuk menikmatinya. Noether meninggal pada tahun 1935 pada usia 53 tahun setelah operasi yang gagal untuk mengangkat tumor kanker.

Banyak fisikawan dan matematikawan hebat saat itu, termasuk Einstein, memuji Emmy. Di eranya, para pakar bekerja keras untuk menjauhkan wanita dari sains. Tapi Noether mengatasi aturan ini (mungkin dengan dukungan Einstein).

Bahkan hari ini dalam matematika dan fisika, kita dapat mengamati asimetri dalam sikap terhadap ilmuwan perempuan dan laki-laki (ini disebut "efek Matilda dalam sains"). Seperti yang dikatakan Noether, sekali simetri rusak, ada sesuatu yang hilang.

Katie Mack
Wanita yang menemukan aljabar abstrak // Majalah Cosmos
Terjemahan: Katyusha Shutova

Komentar: 0

Alexey Levin

Tepat seratus tahun yang lalu, dalam sebuah seminar di Gottingen Mathematical Society, sebuah teorema dipresentasikan yang akhirnya menjadi alat terpenting dalam fisika matematis dan teoretis. Ini menghubungkan setiap simetri kontinu dari sistem fisik dengan hukum kekekalan tertentu (misalnya, jika proses dalam sistem partikel yang terisolasi tidak berubah terhadap pergeseran waktu, maka hukum kekekalan energi terpenuhi dalam sistem ini). Emmy Noether membuktikan teorema ini - dan hasil ini, bersama dengan karya paling penting tentang aljabar abstrak yang mengikutinya, sepatutnya memungkinkan banyak orang untuk menganggap Noether sebagai wanita terhebat dalam sejarah matematika.

Alexey Levin

Pada Juli 1918, lingkaran ilmiah Göttingen mempelajari tentang bukti teorema matematika yang ditakdirkan untuk menjadi alat fisika fundamental paling serbaguna dan efektif di zaman modern. Kuliah ini dikhususkan untuk teorema itu sendiri dan perannya dalam kemajuan fisika teoretis, dan untuk kepribadian dan kehidupan penulisnya yang sangat tidak standar, ahli matematika hebat Emmy Noether. Perhatian khusus akan diberikan pada hubungan Noether dengan Rusia kontemporer dan sejarah Rusia di abad ke-19.

Emil Akhmedov

Pengamatan apa yang mendasari teori relativitas khusus? Bagaimana postulat bahwa kecepatan cahaya tidak bergantung pada kerangka acuan diturunkan? Apa teorema Noether tentang? Dan apakah ada fenomena yang bertentangan dengan SRT? Doktor Ilmu Fisika dan Matematika Emil Akhmedov berbicara tentang ini.

Emil Akhmedov

Bagaimana hukum fisika berubah dalam kerangka acuan yang berbeda? Apa arti fisis dari kelengkungan ruang? Dan bagaimana cara kerja Sistem Pemosisian Global? Emil Akhmedov, Doktor Ilmu Fisika dan Matematika, berbicara tentang sistem referensi non-inersia, kovarians, dan makna fisik kelengkungan ruang.

Emil Akhmedov

Doktor Ilmu Fisika dan Matematika Emil Akhmedov berbicara tentang transformasi Lorentz, teori relativitas khusus, paradoks kembar dan paradoks bar dan gudang.

Dmitry Kazakov

Bagaimana tiga generasi quark ditemukan? Teori apa yang menjelaskan interaksi partikel? Sifat apa yang dimiliki quark? Doktor Ilmu Fisika dan Matematika Dmitry Kazakov berbicara tentang jenis partikel elementer, teori grup, dan penemuan tiga generasi quark.

Ivan Losev

Formalisme mekanika klasik (Hamilton) yang diterima secara umum menyiratkan bahwa yang dapat diamati membentuk aljabar Poisson, dan evolusi sistem diberikan oleh persamaan Hamilton. Dalam formalisme mekanika kuantum konvensional, yang dapat diamati adalah operator self-adjoint dalam ruang Hilbert, dan evolusi diberikan oleh persamaan Heisenberg. Kedua persamaan serupa, tetapi sifat yang dapat diamati sama sekali berbeda. Ini memperumit transisi baik dari klasik ke kuantum dan sebaliknya. Untuk alasan ini, formalisme yang lebih sederhana (dan lebih aljabar) untuk mekanika kuantum diusulkan di mana aljabar kuantum yang dapat diamati menjadi deformasi dari aljabar klasik. Saya akan mulai dengan menjelaskan kemunculan braket Poisson dan persamaan Hamilton menggunakan contoh sistem potensial. Kemudian saya akan berbicara tentang deformasi aljabar dan menjelaskan mengapa formalisme deformasi dengan mudah memberikan bagian ke batas semiklasik.

Kegiatan ilmiah

ARTIKEL TERKAIT