Kami mengundang Anda ke pelajaran tentang cara menyelesaikan persamaan dengan pecahan Kemungkinan besar, Anda telah menemukan persamaan seperti itu di masa lalu, jadi dalam pelajaran ini kita harus mengulang dan merangkum informasi yang Anda ketahui.

Lebih banyak pelajaran di situs

Persamaan pecahan-rasional adalah persamaan di mana ada pecahan rasional, yaitu variabel dalam penyebut. Kemungkinan besar, Anda telah berurusan dengan persamaan seperti itu di masa lalu, jadi dalam pelajaran ini kami akan mengulangi dan merangkum informasi yang Anda ketahui.

Pertama, saya mengusulkan untuk merujuk ke pelajaran sebelumnya dari topik ini - ke pelajaran "Memecahkan persamaan kuadrat." Dalam pelajaran itu, contoh penyelesaian persamaan rasional pecahan dipertimbangkan. Pikirkan itu

Penyelesaian persamaan ini dilakukan dalam beberapa tahap:

• Transformasi persamaan yang mengandung pecahan rasional.
• Transisi ke seluruh persamaan dan penyederhanaannya;
• Penyelesaian persamaan kuadrat.

Hal ini diperlukan untuk melalui 2 tahap pertama ketika memecahkan persamaan pecahan-rasional. Tahap ketiga adalah opsional, karena persamaan yang diperoleh sebagai hasil dari penyederhanaan mungkin tidak persegi, tetapi linier; menyelesaikan persamaan linear jauh lebih mudah. Ada langkah penting lainnya dalam menyelesaikan persamaan rasional pecahan. Ini akan terlihat ketika menyelesaikan persamaan berikutnya.

apa yang harus dilakukan terlebih dahulu? - Tentu saja, bawa pecahan ke penyebut yang sama. Dan sangat penting untuk menemukan dengan tepat paling sedikit penyebut umum, jika tidak, lebih lanjut, dalam proses penyelesaian, persamaan akan menjadi rumit. Di sini kita perhatikan bahwa penyebut pecahan terakhir dapat difaktorkan pada dan y+2. Perkalian inilah yang akan menjadi penyebut umum dalam persamaan ini. Sekarang Anda perlu menentukan faktor tambahan untuk setiap pecahan. Sebaliknya, untuk pecahan terakhir, faktor seperti itu tidak diperlukan, karena penyebutnya sama dengan yang umum. Sekarang, ketika semua pecahan memiliki penyebut yang sama, Anda dapat melanjutkan ke seluruh persamaan, yang terdiri dari beberapa pembilang. Tapi satu komentar harus dibuat, bahwa nilai yang ditemukan dari yang tidak diketahui tidak dapat menghilangkan penyebutnya. Ini adalah ODZ: y≠0, y≠2. Ini melengkapi yang pertama dari tahap solusi yang dijelaskan sebelumnya dan melanjutkan ke yang kedua - kami menyederhanakan seluruh persamaan yang dihasilkan. Untuk melakukan ini, kami membuka tanda kurung, mentransfer semua suku ke satu bagian persamaan dan memberikan yang serupa. Lakukan sendiri dan periksa apakah perhitungan saya benar, di mana persamaan diperoleh 3 tahun 2 - 12 tahun = 0. Persamaan ini kuadrat, ditulis dalam bentuk standar, dan salah satu koefisiennya sama dengan nol.

T.Kosyakova,
sekolah N№ 80, Krasnodar

Penyelesaian persamaan kuadrat dan pecahan-rasional yang mengandung parameter

Pelajaran 4

Topik pelajaran:

Tujuan pelajaran: untuk membentuk kemampuan menyelesaikan persamaan pecahan-rasional yang mengandung parameter.

Jenis pelajaran: pengenalan materi baru.

1. (Lisan.) Selesaikan persamaan:

Contoh 1. Selesaikan Persamaan

Keputusan.

Temukan nilai yang tidak valid sebuah:

Menjawab. Jika sebuah jika sebuah = – 19 , maka tidak ada akar.

Contoh 2. Selesaikan Persamaan

Keputusan.

Temukan nilai parameter yang tidak valid sebuah :

10 – sebuah = 5, sebuah = 5;

10 – sebuah = sebuah, sebuah = 5.

Menjawab. Jika sebuah sebuah = 5 sebuah № 5 , kemudian x=10– sebuah .

Contoh 3. Berapa nilai parameternya b persamaan Memiliki:

a.dua akar b) satu-satunya akar?

Keputusan.

1) Temukan nilai parameter yang tidak valid b :

x= b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 atau b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 atau b = – 2.

2) Memecahkan persamaan x2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

sebuah)

Tidak termasuk nilai parameter yang tidak valid b , kita mendapatkan bahwa persamaan memiliki dua akar, jika b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, tapi ini adalah nilai parameter yang tidak valid b ; jika b 2 –1=0 , yaitu b=1 atau.

Jawaban: a) jika b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , kemudian dua akar; b) jika b=1 atau b=-1 , maka satu-satunya akar.

kerja mandiri

Pilihan 1

Selesaikan persamaan:

pilihan 2

Selesaikan persamaan:

jawaban

DALAM 1. dan jika sebuah=3 , maka tidak ada akar; jika b) jika jika sebuah № 2 , maka tidak ada akar.

DALAM 2. Jika sebuah sebuah=2 , maka tidak ada akar; jika sebuah=0 , maka tidak ada akar; jika
b) jika sebuah=– 1 , maka persamaan kehilangan maknanya; jika tidak ada akar;
jika

Pekerjaan rumah.

Selesaikan persamaan:

Jawaban: a) Jika sebuah № –2 , kemudian x= sebuah ; jika sebuah=–2 , maka tidak ada solusi; b) jika sebuah № –2 , kemudian x=2; jika sebuah=–2 , maka tidak ada solusi; c) jika sebuah=–2 , kemudian x- nomor apa pun selain 3 ; jika sebuah № –2 , kemudian x=2; d) jika sebuah=–8 , maka tidak ada akar; jika sebuah=2 , maka tidak ada akar; jika

Pelajaran 5

Topik pelajaran:"Solusi Persamaan Pecahan-Rasional yang Mengandung Parameter".

Tujuan Pelajaran:

belajar menyelesaikan persamaan dengan kondisi tidak baku;
asimilasi sadar oleh siswa konsep aljabar dan hubungan di antara mereka.

Jenis pelajaran: sistematisasi dan generalisasi.

Memeriksa pekerjaan rumah.

Contoh 1. Selesaikan Persamaan

a) relatif terhadap x; b) relatif terhadap y.

Keputusan.

a) Temukan nilai yang tidak valid kamu: y=0, x=y, y2=y2 –2y,

y=0– nilai parameter tidak valid kamu.

Jika sebuah kamu№ 0 , kemudian x=y-2; jika y=0, maka persamaan kehilangan artinya.

b) Temukan nilai parameter yang tidak valid x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– nilai parameter tidak valid x; y(2+x-y)=0, y=0 atau y=2+x;

y=0 tidak memenuhi syarat y(y–x)№ 0 .

Jawaban: a) jika y=0, maka persamaan kehilangan maknanya; jika kamu№ 0 , kemudian x=y-2; b) jika x=0 x№ 0 , kemudian y=2+x .

Contoh 2. Untuk berapa nilai bilangan bulat dari parameter a yang merupakan akar dari persamaan termasuk dalam interval

D = (3 sebuah + 2) 2 – 4sebuah(sebuah+ 1) 2 = 9 sebuah 2 + 12sebuah + 4 – 8sebuah 2 – 8sebuah,

D = ( sebuah + 2) 2 .

Jika sebuah sebuah № 0 atau sebuah № – 1 , kemudian

Menjawab: 5 .

Contoh 3. Temukan relatif x seluruh solusi persamaan

Menjawab. Jika sebuah y=0, maka persamaan tersebut tidak masuk akal; jika y=–1, kemudian x- bilangan bulat apa pun selain nol; jika y# 0, y# – 1, maka tidak ada solusi.

Contoh 4 Selesaikan Persamaan dengan parameter sebuah dan b .

Jika sebuah sebuah№ - b , kemudian

Menjawab. Jika sebuah a = 0 atau b= 0 , maka persamaan kehilangan maknanya; jika sebuah№ 0,b№ 0, a=-b , kemudian x- angka apa pun selain nol; jika sebuah№ 0,b№ 0,a№ -b kemudian x=-a, x=-b .

Contoh 5. Buktikan bahwa untuk sembarang nilai bukan nol dari parameter n, persamaan memiliki akar tunggal sama dengan - n .

Keputusan.

yaitu x=-n, yang harus dibuktikan.

Pekerjaan rumah.

1. Temukan seluruh solusi persamaan

2. Berapa nilai parameternya? c persamaan Memiliki:
a.dua akar b) satu-satunya akar?

3. Temukan semua akar bilangan bulat dari persamaan jika sebuah HAI N .

4. Selesaikan persamaan 3xy - 5x + 5y = 7: a) relatif kamu; b) relatif x .

1. Persamaan dipenuhi oleh bilangan bulat yang sama dengan nilai x dan y selain nol.
2. a) Kapan
b) di atau
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Jika maka tidak ada akar; jika
b) jika tidak ada akar; jika

Uji

Pilihan 1

1. Tentukan jenis persamaan 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 di: a) c=-3; b) c=2 ; di) c=4 .

2. Selesaikan persamaan: a) x 2 –bx=0; b) cx 2 –6x+1=0; di)

3. Selesaikan persamaan 3x-xy-2y=1:

a) relatif x ;
b) relatif kamu .

nx 2 - 26x + n \u003d 0, mengetahui bahwa parameter n hanya mengambil nilai integer.

5. Untuk berapa nilai b persamaan tersebut? Memiliki:

a.dua akar
b) satu-satunya akar?

pilihan 2

1. Tentukan jenis persamaan 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 di: a) c=-4 ; b) c=7 ; di) c=1 .

2. Selesaikan persamaan: a) y2 +cy=0 ; b) ny2 –8y+2=0; di)

3. Selesaikan persamaan 6x-xy+2y=5:

a) relatif x ;
b) relatif kamu .

4. Temukan akar bilangan bulat dari persamaan nx 2 -22x+2n=0 , mengetahui bahwa parameter n hanya mengambil nilai integer.

5. Untuk apa nilai parameter a persamaan? Memiliki:

a.dua akar
b) satu-satunya akar?

jawaban

DALAM 1. 1. a) persamaan linier;
b) persamaan kuadrat tidak lengkap; c) persamaan kuadrat.
2. a) Jika b=0, kemudian x=0; jika b#0, kemudian x=0, x=b;
b) jika cО (9;+Ґ ), maka tidak ada akar;
c) jika sebuah=–4 , maka persamaan kehilangan maknanya; jika sebuah№ –4 , kemudian x=- sebuah .
3. a) Jika y=3, maka tidak ada akar; jika);
b) sebuah=–3, sebuah=1.

Tugas tambahan

Selesaikan persamaan:

literatur

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. Tentang parameter dari awal. - Guru, No. 2/1991, hal. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Kondisi yang diperlukan dalam tugas dengan parameter. – Kvant, No. 11/1991, hal. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Memecahkan masalah yang mengandung parameter. Bagian 2. - M., Perspektif, 1990, hlm. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Lima ratus empat belas tugas dengan parameter. -Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Tugas dengan parameter. - M., Pendidikan, 1986.

persamaan pecahan. ODZ.

Perhatian!
Ada tambahan
materi di Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Kami terus menguasai persamaan. Kita sudah tahu bagaimana bekerja dengan persamaan linear dan kuadrat. Tampilan terakhir tetap ada persamaan pecahan. Atau mereka juga disebut jauh lebih solid - persamaan rasional pecahan. Ini sama.

persamaan pecahan.

Sesuai dengan namanya, persamaan ini tentu mengandung pecahan. Tapi bukan hanya pecahan, tapi pecahan yang memiliki tidak diketahui penyebutnya. Setidaknya dalam satu. Sebagai contoh:

Biarkan saya mengingatkan Anda, jika dalam penyebut saja angka, ini adalah persamaan linier.

Bagaimana memutuskan persamaan pecahan? Pertama-tama, singkirkan pecahan! Setelah itu, persamaan, paling sering, berubah menjadi linier atau kuadrat. Dan kemudian kita tahu apa yang harus dilakukan... Dalam beberapa kasus, itu bisa berubah menjadi identitas, seperti 5=5 atau ekspresi yang salah, seperti 7=2. Tapi ini jarang terjadi. Di bawah ini saya akan menyebutkannya.

Tapi bagaimana cara menghilangkan pecahan!? Sangat sederhana. Menerapkan semua transformasi identik yang sama.

Kita perlu mengalikan seluruh persamaan dengan ekspresi yang sama. Sehingga semua penyebut berkurang! Semuanya akan segera menjadi lebih mudah. Saya jelaskan dengan sebuah contoh. Katakanlah kita perlu menyelesaikan persamaan:

Bagaimana mereka diajarkan di sekolah dasar? Kami mentransfer semuanya dalam satu arah, menguranginya menjadi penyebut yang sama, dll. Lupakan betapa buruknya mimpi itu! Inilah yang perlu Anda lakukan saat menambahkan atau mengurangi ekspresi pecahan. Atau bekerja dengan ketidaksetaraan. Dan dalam persamaan, kami segera mengalikan kedua bagian dengan ekspresi yang akan memberi kami kesempatan untuk mengurangi semua penyebut (yaitu, pada dasarnya, dengan penyebut yang sama). Dan apa ekspresi ini?

Di sisi kiri, untuk mengurangi penyebut, Anda perlu mengalikan dengan x+2. Dan di sebelah kanan, diperlukan perkalian dengan 2. Jadi, persamaan harus dikalikan dengan 2(x+2). Kami mengalikan:

Ini adalah perkalian pecahan biasa, tetapi saya akan menulis secara rinci:

Harap dicatat bahwa saya belum membuka tanda kurung. (x + 2)! Jadi, secara keseluruhan, saya menulisnya:

Di sisi kiri, itu dikurangi seluruhnya (x+2), dan di sebelah kanan 2. Sesuai kebutuhan! Setelah dikurangi kita dapatkan linier persamaan:

Siapa pun dapat memecahkan persamaan ini! x = 2.

Mari kita selesaikan contoh lain, yang sedikit lebih rumit:

Jika kita ingat bahwa 3 = 3/1, dan 2x = 2x/ 1 dapat ditulis:

Dan sekali lagi kami menyingkirkan apa yang tidak kami sukai - dari pecahan.

Kita melihat bahwa untuk mengurangi penyebut dengan x, pecahan perlu dikalikan dengan (x - 2). Dan unit bukanlah halangan bagi kami. Nah, mari kita perbanyak. Semua sisi kiri dan semua sisi kanan:

Tanda kurung lagi (x - 2) Saya tidak mengungkapkan. Saya bekerja dengan braket secara keseluruhan, seolah-olah itu adalah satu nomor! Ini harus selalu dilakukan, jika tidak, tidak akan ada yang dikurangi.

Dengan perasaan kepuasan yang mendalam, kami memotong (x - 2) dan kita mendapatkan persamaan tanpa pecahan, dalam penggaris!

Dan sekarang kita membuka tanda kurung:

Kami memberikan yang serupa, mentransfer semuanya ke sisi kiri dan mendapatkan:

Tapi sebelum itu, kita akan belajar memecahkan masalah lain. Untuk kepentingan. Omong-omong, garu itu!

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Kami terus berbicara tentang solusi persamaan. Dalam artikel ini, kami akan fokus pada persamaan rasional dan prinsip-prinsip untuk memecahkan persamaan rasional dengan satu variabel. Pertama, mari kita cari tahu jenis persamaan apa yang disebut rasional, berikan definisi persamaan rasional bilangan bulat dan rasional pecahan, dan berikan contohnya. Selanjutnya, kita akan memperoleh algoritme untuk menyelesaikan persamaan rasional, dan, tentu saja, mempertimbangkan solusi dari contoh tipikal dengan semua penjelasan yang diperlukan.

Navigasi halaman.

Berdasarkan definisi yang terdengar, kami memberikan beberapa contoh persamaan rasional. Misalnya, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , adalah semua persamaan rasional.

Dari contoh-contoh yang ditunjukkan, dapat dilihat bahwa persamaan rasional, serta persamaan jenis lain, dapat berupa satu variabel, atau dengan dua, tiga, dll. variabel. Dalam paragraf berikut, kita akan berbicara tentang menyelesaikan persamaan rasional dalam satu variabel. Memecahkan persamaan dengan dua variabel dan jumlah mereka yang besar patut mendapat perhatian khusus.

Selain membagi persamaan rasional dengan jumlah variabel yang tidak diketahui, mereka juga dibagi menjadi bilangan bulat dan pecahan. Mari kita berikan definisi yang sesuai.

Definisi.

Persamaan rasional disebut utuh, jika kedua bagian kiri dan kanannya adalah ekspresi rasional bilangan bulat.

Definisi.

Jika setidaknya salah satu bagian dari persamaan rasional adalah ekspresi pecahan, maka persamaan tersebut disebut rasional fraksional(atau rasional fraksional).

Jelas bahwa persamaan bilangan bulat tidak mengandung pembagian dengan variabel; sebaliknya, persamaan rasional pecahan harus mengandung pembagian oleh variabel (atau variabel dalam penyebut). Jadi 3 x+2=0 dan (x+y) (3 x 2 1)+x=−y+0,5 adalah seluruh persamaan rasional, kedua bagiannya adalah ekspresi bilangan bulat. A dan x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 adalah contoh persamaan rasional pecahan.

Sebagai penutup paragraf ini, mari kita perhatikan fakta bahwa persamaan linier dan persamaan kuadrat yang diketahui saat ini adalah persamaan rasional keseluruhan.

Memecahkan seluruh persamaan

Salah satu pendekatan utama untuk menyelesaikan seluruh persamaan adalah pengurangannya menjadi setara persamaan aljabar. Ini selalu dapat dilakukan dengan melakukan transformasi setara berikut dari persamaan:

• pertama, ekspresi dari sisi kanan persamaan bilangan bulat asli dipindahkan ke sisi kiri dengan tanda yang berlawanan untuk mendapatkan nol di sisi kanan;
• setelah itu, di sisi kiri persamaan, dihasilkan bentuk standar.

Hasilnya adalah persamaan aljabar yang setara dengan seluruh persamaan asli. Jadi dalam kasus paling sederhana, solusi seluruh persamaan direduksi menjadi solusi persamaan linier atau kuadrat, dan dalam kasus umum - ke solusi persamaan aljabar derajat n. Untuk kejelasan, mari kita menganalisis solusi dari contoh.

Contoh.

Temukan akar dari seluruh persamaan 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Keputusan.

Mari kita kurangi solusi seluruh persamaan ini menjadi solusi persamaan aljabar ekivalen. Untuk melakukan ini, pertama, kami mentransfer ekspresi dari sisi kanan ke kiri, sebagai hasilnya kami sampai pada persamaan 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. Dan, kedua, kami mengubah ekspresi yang terbentuk di sisi kiri menjadi polinomial dari bentuk standar dengan melakukan hal yang diperlukan: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 5 x−6. Jadi, solusi persamaan bilangan bulat asli direduksi menjadi solusi persamaan kuadrat x 2 5·x−6=0 .

Hitung diskriminannya D=(−5) 2 4 1 (−6)=25+24=49, itu positif, yang berarti bahwa persamaan tersebut memiliki dua akar real, yang kita temukan dengan rumus akar-akar persamaan kuadrat:

Untuk benar-benar yakin, mari kita lakukan memeriksa akar yang ditemukan dari persamaan. Pertama, kami memeriksa akar 6, menggantinya dengan variabel x dalam persamaan bilangan bulat asli: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, yang sama, 63=63 . Ini adalah persamaan numerik yang valid, jadi x=6 memang akar persamaan. Sekarang kita periksa root 1 , kita punya 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, dimana, 0=0 . Untuk x=−1, persamaan asli juga berubah menjadi persamaan numerik sejati, oleh karena itu, x=−1 juga merupakan akar persamaan.

Menjawab:

6 , −1 .

Di sini juga harus dicatat bahwa istilah "kekuatan seluruh persamaan" dikaitkan dengan representasi seluruh persamaan dalam bentuk persamaan aljabar. Kami memberikan definisi yang sesuai:

Definisi.

Derajat seluruh persamaan sebut derajat persamaan aljabar yang setara dengannya.

Menurut definisi ini, seluruh persamaan dari contoh sebelumnya memiliki derajat kedua.

Yang ini bisa menyelesaikan dengan solusi seluruh persamaan rasional, jika bukan untuk satu tapi .... Seperti diketahui, solusi persamaan aljabar dengan derajat yang lebih tinggi dari yang kedua dikaitkan dengan kesulitan yang signifikan, dan untuk persamaan dengan derajat yang lebih tinggi dari yang keempat, tidak ada rumus umum untuk akar sama sekali. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan seluruh persamaan derajat ketiga, keempat, dan yang lebih tinggi, seseorang sering kali harus menggunakan metode penyelesaian lain.

Dalam kasus seperti itu, terkadang pendekatan untuk menyelesaikan seluruh persamaan rasional didasarkan pada metode faktorisasi. Pada saat yang sama, algoritma berikut diikuti:

• pertama mereka berusaha untuk memiliki nol di sisi kanan persamaan, untuk ini mereka mentransfer ekspresi dari sisi kanan seluruh persamaan ke kiri;
• kemudian, ekspresi yang dihasilkan di sisi kiri disajikan sebagai produk dari beberapa faktor, yang memungkinkan Anda untuk pergi ke serangkaian persamaan yang lebih sederhana.

Algoritma di atas untuk menyelesaikan seluruh persamaan melalui faktorisasi memerlukan penjelasan rinci menggunakan contoh.

Contoh.

Selesaikan seluruh persamaan (x 2 1) (x 2 10 x+13)= 2 x (x 2 10 x+13) .

Keputusan.

Pertama, seperti biasa, kita pindahkan ekspresi dari ruas kanan ke ruas kiri persamaan, jangan lupa ubah tandanya, kita peroleh (x 2 1) (x 2 10 x+13) 2 x (x 2 10 x+13)=0 . Cukup jelas di sini bahwa tidak disarankan untuk mengubah ruas kiri persamaan yang dihasilkan menjadi polinomial bentuk standar, karena ini akan memberikan persamaan aljabar derajat keempat bentuk x 4 12 x 3 +32 x 2 16 x−13=0, yang solusinya sulit.

Di sisi lain, jelas bahwa x 2 10·x+13 dapat ditemukan di sisi kiri persamaan yang dihasilkan, sehingga mewakilinya sebagai produk. Kita punya (x 2 10 x+13) (x 2 2 x−1)=0. Persamaan yang dihasilkan ekuivalen dengan seluruh persamaan semula, dan persamaan tersebut, pada gilirannya, dapat diganti dengan dua persamaan kuadrat x 2 −10·x+13=0 dan x 2 2·x−1=0 . Menemukan akar-akarnya menggunakan rumus akar yang diketahui melalui diskriminan tidaklah sulit, akar-akarnya sama. Mereka adalah akar yang diinginkan dari persamaan asli.

Menjawab:

Ini juga berguna untuk menyelesaikan seluruh persamaan rasional. metode untuk memperkenalkan variabel baru. Dalam beberapa kasus, ini memungkinkan seseorang untuk melewati persamaan yang derajatnya lebih rendah dari derajat persamaan bilangan bulat aslinya.

Contoh.

Tentukan akar real dari persamaan rasional (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Keputusan.

Mengurangi seluruh persamaan rasional ini menjadi persamaan aljabar, secara halus, bukanlah ide yang sangat baik, karena dalam kasus ini kita akan menemukan kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan derajat keempat yang tidak memiliki akar rasional. Karena itu, Anda harus mencari solusi lain.

Sangat mudah untuk melihat di sini bahwa Anda dapat memasukkan variabel baru y dan mengganti ekspresi x 2 +3 x dengannya. Penggantian seperti itu membawa kita ke seluruh persamaan (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , yang, setelah mentransfer ekspresi 2 (y−4) ke sisi kiri dan transformasi selanjutnya dari ekspresi yang terbentuk di sana, direduksi menjadi persamaan y 2 +4 y+3=0 . Akar persamaan ini y=−1 dan y=−3 mudah ditemukan, misalnya, mereka dapat ditemukan berdasarkan teorema kebalikan dari teorema Vieta.

Sekarang mari kita beralih ke bagian kedua dari metode memasukkan variabel baru, yaitu membuat substitusi terbalik. Setelah melakukan substitusi terbalik, kita memperoleh dua persamaan x 2 +3 x=−1 dan x 2 +3 x=−3 , yang dapat ditulis ulang sebagai x 2 +3 x+1=0 dan x 2 +3 x+3 =0 . Menurut rumus akar persamaan kuadrat, kita menemukan akar persamaan pertama. Dan persamaan kuadrat kedua tidak memiliki akar real, karena diskriminannya negatif (D=3 2 4 3=9−12=−3 ).

Menjawab:

Secara umum, ketika kita berhadapan dengan persamaan bilangan bulat derajat tinggi, kita harus selalu siap untuk mencari metode non-standar atau teknik buatan untuk menyelesaikannya.

Penyelesaian persamaan rasional fraksional

Pertama, akan berguna untuk memahami bagaimana menyelesaikan persamaan rasional fraksional dari bentuk , di mana p(x) dan q(x) adalah ekspresi bilangan bulat rasional. Dan kemudian kami akan menunjukkan cara mengurangi solusi dari persamaan rasional fraksional yang tersisa menjadi solusi persamaan bentuk yang ditunjukkan.

Salah satu pendekatan untuk memecahkan persamaan didasarkan pada pernyataan berikut: pecahan numerik u / v, di mana v adalah bilangan bukan-nol (jika tidak, kita akan menemukan , yang tidak ditentukan), adalah nol jika dan hanya jika pembilangnya adalah nol, maka adalah, jika dan hanya jika u=0 . Berdasarkan pernyataan ini, solusi persamaan direduksi menjadi pemenuhan dua kondisi p(x)=0 dan q(x)≠0 .

Kesimpulan ini sesuai dengan yang berikut: algoritma untuk memecahkan persamaan rasional fraksional. Menyelesaikan persamaan rasional pecahan berbentuk

• selesaikan seluruh persamaan rasional p(x)=0 ;
• dan periksa apakah kondisi q(x)≠0 terpenuhi untuk setiap akar yang ditemukan, while
• jika benar, maka akar ini adalah akar dari persamaan awal;
• jika tidak, maka akar ini asing, yaitu, itu bukan akar dari persamaan asli.

Mari kita menganalisis contoh penggunaan algoritme bersuara saat menyelesaikan persamaan rasional pecahan.

Contoh.

Temukan akar persamaan.

Keputusan.

Ini adalah persamaan rasional fraksional dari bentuk , di mana p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 2=0 .

Menurut algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional fraksional semacam ini, pertama-tama kita harus menyelesaikan persamaan 3·x−2=0 . Ini adalah persamaan linier yang akarnya adalah x=2/3 .

Tetap memeriksa akar ini, yaitu, untuk memeriksa apakah memenuhi kondisi 5·x 2 2≠0 . Kami mengganti angka 2/3 alih-alih x ke dalam ekspresi 5 x 2 2, kami mendapatkan . Kondisi terpenuhi, jadi x=2/3 adalah akar dari persamaan awal.

Menjawab:

2/3 .

Solusi persamaan rasional pecahan dapat didekati dari posisi yang sedikit berbeda. Persamaan ini ekuivalen dengan seluruh persamaan p(x)=0 pada variabel x dari persamaan awal. Artinya, Anda bisa mengikuti ini algoritma untuk memecahkan persamaan rasional fraksional :

• selesaikan persamaan p(x)=0 ;
• temukan variabel ODZ x ;
• ambil akar yang termasuk dalam wilayah nilai yang dapat diterima - mereka adalah akar yang diinginkan dari persamaan rasional fraksional asli.

Sebagai contoh, mari kita selesaikan persamaan rasional pecahan menggunakan algoritma ini.

Contoh.

Memecahkan persamaan.

Keputusan.

Pertama, kita selesaikan persamaan kuadrat x 2 2·x−11=0 . Akarnya dapat dihitung menggunakan rumus akar untuk koefisien kedua genap, kita peroleh D 1 =(−1) 2 1 (−11)=12, dan .

Kedua, kami menemukan ODZ dari variabel x untuk persamaan asli. Ini terdiri dari semua angka yang x 2 +3 x≠0 , yang sama dengan x (x+3)≠0 , dari mana x≠0 , x≠−3 .

Tetap memeriksa apakah akar yang ditemukan pada langkah pertama termasuk dalam ODZ. Jelas ya. Oleh karena itu, persamaan rasional fraksional asli memiliki dua akar.

Menjawab:

Perhatikan bahwa pendekatan ini lebih menguntungkan daripada yang pertama jika ODZ mudah ditemukan, dan terutama bermanfaat jika akar persamaan p(x)=0 adalah irasional, misalnya , atau rasional, tetapi dengan pembilang dan/atau penyebut, misalnya 127/1101 dan -31/59 . Hal ini disebabkan fakta bahwa dalam kasus seperti itu, memeriksa kondisi q(x)≠0 akan membutuhkan upaya komputasi yang signifikan, dan lebih mudah untuk mengecualikan akar asing dari ODZ.

Dalam kasus lain, saat menyelesaikan persamaan, terutama jika akar persamaan p(x)=0 adalah bilangan bulat, akan lebih menguntungkan untuk menggunakan yang pertama dari algoritma di atas. Artinya, disarankan untuk segera menemukan akar seluruh persamaan p(x)=0 , dan kemudian memeriksa apakah kondisi q(x)≠0 terpenuhi untuk mereka, dan tidak menemukan ODZ, dan kemudian menyelesaikan persamaan p(x)=0 pada ODZ ini. Hal ini disebabkan fakta bahwa dalam kasus seperti itu biasanya lebih mudah untuk melakukan pemeriksaan daripada menemukan ODZ.

Pertimbangkan solusi dari dua contoh untuk menggambarkan nuansa yang ditentukan.

Contoh.

Temukan akar persamaan.

Keputusan.

Pertama kita cari akar dari seluruh persamaan (2 x−1) (x−6) (x 2 5 x+14) (x+1)=0, disusun menggunakan pembilang pecahan. Ruas kiri persamaan ini adalah produk, dan ruas kanan adalah nol, oleh karena itu, menurut metode penyelesaian persamaan melalui faktorisasi, persamaan ini setara dengan himpunan empat persamaan 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tiga dari persamaan ini linier dan satu kuadrat, kita dapat menyelesaikannya. Dari persamaan pertama kita temukan x=1/2, dari persamaan kedua - x=6, dari persamaan ketiga - x=7, x=−2, dari persamaan keempat - x=−1.

Dengan akar yang ditemukan, cukup mudah untuk memeriksanya untuk melihat apakah penyebut pecahan di sisi kiri persamaan asli tidak hilang, dan tidak mudah untuk menentukan ODZ, karena ini harus menyelesaikan sebuah persamaan aljabar derajat kelima. Oleh karena itu, kami akan menolak untuk menemukan ODZ demi memeriksa akarnya. Untuk melakukan ini, kami menggantinya secara bergantian sebagai ganti variabel x dalam ekspresi x 5 15 x 4 +57 x 3 13 x 2 +26 x+112, diperoleh setelah substitusi, dan bandingkan dengan nol: (1/2) 5 15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 15 6 4 +57 6 3 13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 15 7 4 +57 7 3 13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 15 (−2) 4 +57 (−2) 3 13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 15 (−1) 4 +57 (−1) 3 13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Jadi, 1/2, 6 dan 2 adalah akar-akar yang diinginkan dari persamaan rasional fraksional asli, dan 7 dan 1 adalah akar-akar asing.

Menjawab:

1/2 , 6 , −2 .

Contoh.

Temukan akar-akar persamaan rasional pecahan.

Keputusan.

Pertama kita cari akar persamaan (5x2 7x−1)(x−2)=0. Persamaan ini ekuivalen dengan dua persamaan: kuadrat 5·x 2 7·x−1=0 dan linear x−2=0 . Menurut rumus akar persamaan kuadrat, kita menemukan dua akar, dan dari persamaan kedua kita memiliki x=2.

Memeriksa apakah penyebut tidak hilang pada nilai x yang ditemukan agak tidak menyenangkan. Dan untuk menentukan kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel x dalam persamaan aslinya cukup sederhana. Oleh karena itu, kami akan bertindak melalui ODZ.

Dalam kasus kita, ODZ dari variabel x dari persamaan rasional pecahan asli terdiri dari semua bilangan, kecuali bilangan yang memenuhi syarat x 2 +5·x−14=0. Akar persamaan kuadrat ini adalah x=−7 dan x=2, dari sini kita menyimpulkan tentang ODZ: ODZ terdiri dari semua x sehingga .

Tetap memeriksa apakah akar yang ditemukan dan x=2 termasuk dalam wilayah nilai yang dapat diterima. Akar - milik, oleh karena itu, mereka adalah akar dari persamaan asli, dan x=2 bukan milik, oleh karena itu, itu adalah akar asing.

Menjawab:

Juga akan berguna untuk membahas secara terpisah kasus-kasus di mana suatu bilangan ada dalam pembilangnya dalam bentuk persamaan rasional pecahan, yaitu, ketika p (x) diwakili oleh suatu bilangan. Di mana

• jika angka ini berbeda dari nol, maka persamaan tidak memiliki akar, karena pecahan adalah nol jika dan hanya jika pembilangnya nol;
• jika angka ini nol, maka akar persamaannya adalah angka apa pun dari ODZ.

Contoh.

Keputusan.

Karena ada bilangan bukan nol pada pembilang pecahan di sisi kiri persamaan, untuk tidak ada x dapat nilai pecahan ini sama dengan nol. Oleh karena itu, persamaan ini tidak memiliki akar.

Menjawab:

tidak ada akar.

Contoh.

Memecahkan persamaan.

Keputusan.

Pembilang pecahan di ruas kiri persamaan rasional pecahan ini adalah nol, jadi nilai pecahan ini adalah nol untuk setiap x yang masuk akal. Dengan kata lain, solusi persamaan ini adalah sembarang nilai x dari DPV variabel ini.

Tetap menentukan kisaran nilai yang dapat diterima ini. Ini mencakup semua nilai x yang x 4 +5 x 3 0. Solusi dari persamaan x 4 +5 x 3 \u003d 0 adalah 0 dan 5, karena persamaan ini setara dengan persamaan x 3 (x + 5) \u003d 0, dan, pada gilirannya, setara dengan kombinasi dari dua persamaan x 3 \u003d 0 dan x +5=0 , dari mana akar-akar ini terlihat. Oleh karena itu, rentang nilai yang dapat diterima yang diinginkan adalah x , kecuali untuk x=0 dan x=−5 .

Jadi, persamaan rasional fraksional memiliki banyak solusi, yang merupakan bilangan apa pun kecuali nol dan minus lima.

Menjawab:

Akhirnya, saatnya berbicara tentang menyelesaikan persamaan rasional fraksional arbitrer. Mereka dapat ditulis sebagai r(x)=s(x) , di mana r(x) dan s(x) adalah ekspresi rasional, dan setidaknya salah satunya adalah pecahan. Ke depan, kami mengatakan bahwa solusi mereka direduksi menjadi penyelesaian persamaan bentuk yang sudah akrab bagi kami.

Diketahui bahwa perpindahan suku dari satu bagian persamaan ke bagian lain yang berlawanan tanda menghasilkan persamaan yang ekivalen, sehingga persamaan r(x)=s(x) ekuivalen dengan persamaan r(x)−s (x)=0 .

Kita juga tahu bahwa any bisa identik sama dengan ekspresi ini. Jadi, kita selalu dapat mengubah ekspresi rasional di ruas kiri persamaan r(x)−s(x)=0 menjadi pecahan rasional yang identik dengan bentuk .

Jadi, kita beralih dari persamaan rasional pecahan asli r(x)=s(x) ke persamaan , dan solusinya, seperti yang kita temukan di atas, direduksi menjadi penyelesaian persamaan p(x)=0 .

Tetapi di sini perlu untuk mempertimbangkan fakta bahwa ketika mengganti r(x)−s(x)=0 dengan , dan kemudian dengan p(x)=0 , rentang nilai yang diizinkan dari variabel x dapat diperluas .

Oleh karena itu, persamaan asli r(x)=s(x) dan persamaan p(x)=0 , yang kita dapatkan, mungkin tidak setara, dan dengan menyelesaikan persamaan p(x)=0 , kita dapat memperoleh akar yang akan menjadi akar asing dari persamaan asli r(x)=s(x) . Dimungkinkan untuk mengidentifikasi dan tidak memasukkan akar asing dalam jawaban, baik dengan memeriksa, atau dengan memeriksa milik mereka ke ODZ dari persamaan asli.

Kami merangkum informasi ini dalam algoritma untuk memecahkan persamaan rasional pecahan r(x)=s(x). Untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan r(x)=s(x) , kita harus

• Dapatkan nol di sebelah kanan dengan memindahkan ekspresi dari sisi kanan dengan tanda yang berlawanan.
• Lakukan tindakan dengan pecahan dan polinomial di sisi kiri persamaan, sehingga mengubahnya menjadi bentuk pecahan rasional.
• Selesaikan persamaan p(x)=0 .
• Identifikasi dan singkirkan akar-akar asing, yang dilakukan dengan mensubstitusinya ke dalam persamaan asli atau dengan memeriksa kepemilikannya pada ODZ dari persamaan asli.

Untuk kejelasan yang lebih besar, kami akan menunjukkan seluruh rantai penyelesaian persamaan rasional pecahan:
.

Mari kita lihat solusi dari beberapa contoh dengan penjelasan rinci tentang solusi untuk memperjelas blok informasi yang diberikan.

Contoh.

Memecahkan persamaan rasional pecahan.

Keputusan.

Kami akan bertindak sesuai dengan algoritma solusi yang baru saja diperoleh. Dan pertama-tama kita mentransfer istilah dari sisi kanan persamaan ke sisi kiri, sebagai hasilnya kita lolos ke persamaan .

Pada langkah kedua, kita perlu mengubah ekspresi rasional pecahan di ruas kiri persamaan yang dihasilkan ke dalam bentuk pecahan. Untuk melakukan ini, kami melakukan pengurangan pecahan rasional ke penyebut yang sama dan menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan: . Jadi kita sampai pada persamaan.

Pada langkah berikutnya, kita perlu menyelesaikan persamaan 2·x−1=0 . Cari x=−1/2 .

Tetap memeriksa apakah angka yang ditemukan 1/2 adalah akar asing dari persamaan asli. Untuk melakukan ini, Anda dapat memeriksa atau menemukan variabel ODZ x dari persamaan asli. Mari kita tunjukkan kedua pendekatan tersebut.

Mari kita mulai dengan cek. Kami mengganti angka 1/2 alih-alih variabel x ke dalam persamaan asli, kami mendapatkan , yang sama, 1=−1. Substitusi memberikan persamaan numerik yang benar, oleh karena itu, x=−1/2 adalah akar dari persamaan aslinya.

Sekarang kita akan menunjukkan bagaimana langkah terakhir dari algoritma dilakukan melalui ODZ. Rentang nilai yang dapat diterima dari persamaan asli adalah himpunan semua bilangan, kecuali untuk 1 dan 0 (untuk x=−1 dan x=0, penyebut pecahan hilang). Akar x=−1/2 yang ditemukan pada langkah sebelumnya termasuk dalam ODZ, oleh karena itu, x=−1/2 adalah akar dari persamaan aslinya.

Menjawab:

−1/2 .

Mari kita pertimbangkan contoh lain.

Contoh.

Temukan akar persamaan.

Keputusan.

Kita perlu memecahkan persamaan rasional fraksional, mari kita lihat semua langkah algoritmanya.

Pertama, kita pindahkan suku dari ruas kanan ke kiri, kita peroleh .

Kedua, kami mengubah ekspresi yang terbentuk di sisi kiri: . Akibatnya, kita sampai pada persamaan x=0 .

Akarnya jelas - nol.

Pada langkah keempat, masih mencari tahu apakah akar yang ditemukan bukan akar luar untuk persamaan rasional fraksional asli. Ketika disubstitusikan ke persamaan asli, ekspresi diperoleh. Jelas, itu tidak masuk akal, karena mengandung pembagian dengan nol. Dari mana kita menyimpulkan bahwa 0 adalah akar asing. Oleh karena itu, persamaan asli tidak memiliki akar.

7 , yang mengarah ke persamaan . Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa ekspresi penyebut ruas kiri harus sama dengan ruas kanan, yaitu . Sekarang kita kurangi dari kedua bagian triple: . Dengan analogi, dari mana, dan selanjutnya.

Pemeriksaan menunjukkan bahwa kedua akar yang ditemukan adalah akar dari persamaan rasional pecahan asli.

Menjawab:

Bibliografi.

• Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Aljabar: Kelas 9: buku teks. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2009. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Pertama-tama, untuk mempelajari cara bekerja dengan pecahan rasional tanpa kesalahan, Anda perlu mempelajari rumus untuk perkalian yang disingkat. Dan bukan hanya untuk belajar - mereka harus dikenali bahkan ketika sinus, logaritma, dan akar bertindak sebagai suku.

Namun, alat utamanya adalah faktorisasi pembilang dan penyebut pecahan rasional. Ini dapat dicapai dengan tiga cara berbeda:

1. Sebenarnya, menurut rumus perkalian yang disingkat: mereka memungkinkan Anda untuk menciutkan polinomial menjadi satu atau lebih faktor;
2. Dengan memfaktorkan suatu trinomial kuadrat menjadi faktor-faktor melalui diskriminan. Metode yang sama memungkinkan untuk memverifikasi bahwa suatu trinomial tidak dapat difaktorkan sama sekali;
3. Metode pengelompokan adalah alat yang paling kompleks, tetapi itu satu-satunya yang berfungsi jika dua yang sebelumnya tidak berhasil.

Seperti yang mungkin Anda tebak dari judul video ini, kita akan berbicara tentang pecahan rasional lagi. Secara harfiah beberapa menit yang lalu, saya menyelesaikan pelajaran dengan siswa kelas sepuluh, dan di sana kami menganalisis ekspresi ini dengan tepat. Oleh karena itu, pelajaran ini akan ditujukan khusus untuk siswa sekolah menengah.

Pasti banyak yang sekarang bertanya-tanya: “Mengapa siswa kelas 10-11 belajar hal-hal sederhana seperti pecahan rasional, karena ini dilakukan di kelas 8?”. Tapi itulah masalahnya, kebanyakan orang hanya "melewati" topik ini. Di kelas 10-11, mereka tidak lagi mengingat bagaimana perkalian, pembagian, pengurangan, dan penambahan pecahan rasional dari kelas 8 dilakukan, dan berdasarkan pengetahuan sederhana inilah selanjutnya, struktur yang lebih kompleks dibangun, seperti menyelesaikan persamaan logaritma, trigonometri dan banyak ekspresi kompleks lainnya, jadi praktis tidak ada yang bisa dilakukan di sekolah menengah tanpa pecahan rasional.

Rumus untuk memecahkan masalah

Mari kita turun ke bisnis. Pertama-tama, kita membutuhkan dua fakta - dua set rumus. Pertama-tama, Anda perlu mengetahui rumus untuk perkalian yang disingkat:

• $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ adalah selisih kuadrat;
• $((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \kanan))^(2))$ adalah kuadrat dari jumlah atau selisih ;
• $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \kanan)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \kanan)$ adalah jumlah kubus;
• $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \kanan)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \kanan)$ adalah selisih kubus.

Dalam bentuknya yang murni, mereka tidak ditemukan dalam contoh apa pun dan dalam ekspresi yang sangat serius. Oleh karena itu, tugas kita adalah belajar melihat konstruksi yang jauh lebih kompleks di bawah huruf $a$ dan $b$, misalnya, logaritma, akar, sinus, dll. Itu hanya bisa dipelajari melalui latihan terus-menerus. Oleh karena itu, pemecahan pecahan rasional mutlak diperlukan.

Rumus kedua yang cukup jelas adalah faktorisasi trinomial persegi:

$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ adalah akar.

Kami telah berurusan dengan bagian teoretis. Tetapi bagaimana menyelesaikan pecahan rasional nyata, yang dianggap di kelas 8? Sekarang kita akan berlatih.

Tugas 1

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(3))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Mari kita coba menerapkan rumus di atas untuk menyelesaikan pecahan rasional. Pertama-tama, saya ingin menjelaskan mengapa faktorisasi diperlukan sama sekali. Faktanya adalah bahwa pada pandangan pertama pada bagian pertama dari tugas, saya ingin mengurangi kubus dengan kuadrat, tetapi ini sama sekali tidak mungkin, karena mereka adalah istilah dalam pembilang dan penyebut, tetapi tidak ada faktor .

Apa sebenarnya singkatan itu? Pengurangan adalah penggunaan aturan dasar untuk bekerja dengan ekspresi seperti itu. Sifat utama pecahan adalah kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama selain "nol". Dalam hal ini, ketika kami mengurangi, maka, sebaliknya, kami membagi dengan angka yang sama selain "nol". Namun, kita harus membagi semua suku dalam penyebut dengan bilangan yang sama. Anda tidak bisa melakukan itu. Dan kita berhak untuk mengurangi pembilang dengan penyebut hanya jika keduanya difaktorkan. Ayo lakukan.

Sekarang Anda perlu melihat berapa banyak istilah dalam elemen tertentu, sesuai dengan ini, cari tahu rumus mana yang perlu Anda gunakan.

Mari kita ubah setiap ekspresi menjadi kubus yang tepat:

Mari kita tulis ulang pembilangnya:

\[((\kiri(3a \kanan))^(3))-((\kiri(4b \kanan))^(3))=\kiri(3a-4b \kanan)\kiri(((\kiri (3a \kanan))^(2))+3a\cdot 4b+((\kiri(4b \kanan))^(2)) \kanan)\]

Mari kita lihat penyebutnya. Kami memperluasnya sesuai dengan rumus selisih kuadrat:

\[((b)^(2))-4=((b)^(2))-((2)^(2))=\kiri(b-2 \kanan)\kiri(b+2 \ Baik)\]

Sekarang mari kita lihat bagian kedua dari ekspresi:

Pembilang:

Masih berurusan dengan penyebut:

\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \kanan))^(2))\]

Mari kita tulis ulang seluruh konstruksi, dengan mempertimbangkan fakta di atas:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \kanan))(\kiri(b-2 \kanan)\kiri(b+2 \kanan))\cdot \frac(((\kiri(b+2 \kanan))^(2)))( ((\left(3a \kanan))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \kanan))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Nuansa perkalian pecahan rasional

Kesimpulan utama dari konstruksi ini adalah sebagai berikut:

• Tidak semua polinomial dapat difaktorkan.
• Bahkan jika didekomposisi, perlu hati-hati melihat formula khusus untuk perkalian yang disingkat.

Untuk melakukan ini, pertama-tama, kita perlu memperkirakan berapa banyak suku yang ada (jika ada dua, maka yang dapat kita lakukan hanyalah memperluasnya dengan jumlah selisih kuadrat, atau dengan jumlah atau selisih kubus; dan jika ada tiga dari mereka, maka ini , uniknya, baik kuadrat jumlah atau kuadrat selisih). Sering terjadi baik pembilang maupun penyebutnya tidak memerlukan faktorisasi sama sekali, bisa linier, atau diskriminannya negatif.

Tugas #2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Secara umum, skema untuk menyelesaikan masalah ini tidak berbeda dari yang sebelumnya - hanya akan ada lebih banyak tindakan, dan mereka akan menjadi lebih beragam.

Mari kita mulai dengan pecahan pertama: lihat pembilangnya dan buat kemungkinan transformasinya:

Sekarang mari kita lihat penyebutnya:

Dengan pecahan kedua: tidak ada yang bisa dilakukan di pembilang sama sekali, karena ini adalah ekspresi linier, dan tidak mungkin untuk menghilangkan faktor apa pun darinya. Mari kita lihat penyebutnya:

\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\left(x-2 \kanan ))^(2))\]

Kami pergi ke pecahan ketiga. Pembilang:

Mari kita berurusan dengan penyebut pecahan terakhir:

Mari kita tulis ulang ekspresi dengan mempertimbangkan fakta di atas:

\[\frac(3\kiri(1-2x \kanan))(2\kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan))\cdot \frac(2x+1)((( \left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \kanan))(\kiri(2x-1 \kanan)\kiri(2x+1 \kanan))=\]

\[=\frac(-3)(2\left(2-x \right))=-\frac(3)(2\left(2-x \right))=\frac(3)(2\left (x-2 \kanan))\]

Nuansa solusi

Seperti yang Anda lihat, tidak semuanya dan tidak selalu bersandar pada rumus perkalian yang disingkat - terkadang cukup dengan mengurung konstanta atau variabel. Namun, ada juga situasi sebaliknya, ketika ada begitu banyak istilah atau mereka dibangun sedemikian rupa sehingga rumus untuk perkalian yang disingkat umumnya tidak mungkin. Dalam hal ini, alat universal datang membantu kami, yaitu metode pengelompokan. Inilah yang sekarang akan kita terapkan dalam masalah berikutnya.

Tugas #3

\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a )^(2))-((b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Mari kita lihat bagian pertama:

\[((a)^(2))+ab=a\kiri(a+b \kanan)\]

\[=5\kiri(a-b \kanan)-\kiri(a-b \kanan)\kiri(a+b \kanan)=\kiri(a-b \kanan)\kiri(5-1\kiri(a+b \kanan) ) )\kanan)=\]

\[=\kiri(a-b \kanan)\kiri(5-a-b \kanan)\]

Mari kita tulis ulang ekspresi aslinya:

\[\frac(a\kiri(a+b \kanan))(\kiri(a-b \kanan)\kiri(5-a-b \kanan))\cdot \frac(((a)^(2))-( (b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Sekarang mari kita berurusan dengan braket kedua:

\[((a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \kanan)-((b)^(2))=\]

\[=((\kiri(a-5 \kanan))^(2))-((b)^(2))=\kiri(a-5-b \kanan)\kiri(a-5+b \Baik)\]

Karena dua elemen tidak dapat dikelompokkan, kami mengelompokkan tiga. Tetap hanya berurusan dengan penyebut pecahan terakhir:

\[((a)^(2))-((b)^(2))=\kiri(a-b \kanan)\kiri(a+b \kanan)\]

Sekarang mari kita tulis ulang seluruh struktur kita:

\[\frac(a\kiri(a+b \kanan))(\kiri(a-b \kanan)\kiri(5-a-b \kanan))\cdot \frac(\kiri(a-5-b \kanan) \kiri(a-5+b \kanan))(\kiri(a-b \kanan)\kiri(a+b \kanan))=\frac(a\kiri(b-a+5 \kanan))((( \kiri(a-b \kanan))^(2)))\]

Masalahnya terpecahkan, dan tidak ada lagi yang bisa disederhanakan di sini.

Nuansa solusi

Kami menemukan pengelompokan dan mendapatkan alat lain yang sangat kuat yang memperluas kemungkinan faktorisasi. Tapi masalahnya adalah bahwa dalam kehidupan nyata tidak ada yang akan memberi kita contoh halus seperti itu di mana ada beberapa pecahan yang hanya perlu difaktorkan ke pembilang dan penyebut, dan kemudian, jika memungkinkan, kurangi mereka. Ekspresi nyata akan jauh lebih rumit.

Kemungkinan besar, selain perkalian dan pembagian, akan ada pengurangan dan penambahan, semua jenis tanda kurung - secara umum, Anda harus memperhitungkan urutan tindakan. Tetapi yang terburuk adalah bahwa ketika mengurangkan dan menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang berbeda, mereka harus direduksi menjadi satu yang sama. Untuk melakukan ini, masing-masing dari mereka perlu didekomposisi menjadi faktor, dan kemudian fraksi ini akan diubah: berikan yang serupa dan banyak lagi. Bagaimana melakukannya dengan benar, cepat, dan pada saat yang sama mendapatkan jawaban yang benar-benar tepat? Inilah yang akan kita bicarakan sekarang dengan menggunakan contoh konstruksi berikut.

Tugas #4

\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \kanan)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \kanan)\]

Mari kita tulis pecahan pertama dan coba selesaikan secara terpisah:

\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]

\[=\frac(\left(x+3 \kanan)\left(((x)^(2))-3x+9 \kanan))(x)\]

Mari kita beralih ke yang kedua. Mari kita hitung diskriminan penyebutnya:

Itu tidak memfaktorkan, jadi kami menulis yang berikut:

\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\kiri(x+3 \kanan)\kiri(((x)^(2))-3x+9 \kanan))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\left(x+3 \kanan)\left(((x)^(2))-3x+9 \kanan)) \]

Kami menulis pembilangnya secara terpisah:

\[((x)^(2))-2x+12=0\]

Oleh karena itu, polinomial ini tidak dapat difaktorkan.

Maksimal yang bisa kita lakukan dan dekomposisi, sudah kita lakukan.

Secara total, kami menulis ulang konstruksi asli kami dan mendapatkan:

\[\frac(\left(x+3 \kanan)\left((((x)^(2))-3x+9 \kanan))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\left(x+3 \kanan)\left(((x)^(2))-3x+9 \kanan))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]

Semuanya, tugas diselesaikan.

Sejujurnya, itu bukan tugas yang sulit: semuanya mudah diperhitungkan di sana, persyaratan serupa diberikan dengan cepat, dan semuanya dikurangi dengan indah. Jadi sekarang mari kita coba menyelesaikan masalah dengan lebih serius.

Tugas nomor 5

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \kanan)\]

Pertama, mari kita berurusan dengan kurung pertama. Dari awal, kami memfaktorkan penyebut pecahan kedua secara terpisah:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x) ^(2))+2x+4 \kanan)\]

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]

\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\ kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(2))+8-\left(((x)^(2))+2x+4 \right))( \kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)) =\frac(((\kiri(x-2 \kanan))^(2)))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Sekarang mari kita bekerja dengan pecahan kedua:

\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2 )))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ kiri(x-2 \kanan))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))=\]

\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]

Kami kembali ke desain asli kami dan menulis:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))=\frac(1)(x+2)\]

Poin-poin penting

Sekali lagi, fakta kunci dari video tutorial hari ini:

1. Anda perlu hafal rumus-rumus untuk perkalian yang dipersingkat - dan tidak hanya tahu, tetapi dapat melihat dalam ekspresi-ekspresi yang akan Anda temui dalam masalah nyata. Aturan yang bagus dapat membantu kita dalam hal ini: jika ada dua suku, maka ini adalah selisih kuadrat, atau selisih atau jumlah kubus; jika tiga, itu hanya bisa menjadi kuadrat dari jumlah atau selisihnya.
2. Jika konstruksi apa pun tidak dapat diuraikan menggunakan rumus perkalian yang disingkat, maka rumus standar untuk memfaktorkan trinomial menjadi faktor atau metode pengelompokan akan membantu kita.
3. Jika sesuatu tidak berhasil, perhatikan dengan cermat ekspresi aslinya - dan apakah ada transformasi yang diperlukan dengannya sama sekali. Mungkin cukup dengan mengeluarkan pengganda dari braket, dan ini sering kali hanya konstanta.
4. Dalam ekspresi kompleks di mana Anda perlu melakukan beberapa tindakan berturut-turut, jangan lupa untuk membawa penyebut yang sama, dan hanya setelah itu, ketika semua pecahan direduksi menjadi itu, pastikan untuk membawa yang sama di pembilang baru, dan kemudian faktorkan lagi pembilang baru - ada kemungkinan - akan dikurangi.

Itu saja yang ingin saya sampaikan hari ini tentang pecahan rasional. Jika ada yang tidak jelas, masih banyak video tutorial di situs, serta banyak tugas untuk solusi independen. Jadi tetaplah bersama kami!