Inti dari metode koordinat untuk memecahkan masalah geometris

Inti dari pemecahan masalah menggunakan metode koordinat adalah untuk memperkenalkan sistem koordinat yang nyaman bagi kita dalam satu kasus atau lainnya dan menulis ulang semua data yang menggunakannya. Setelah itu, semua besaran atau pembuktian yang tidak diketahui ditahan menggunakan sistem ini. Cara memasukkan koordinat titik dalam sistem koordinat apa pun telah kami bahas di artikel lain - kami tidak akan membahasnya di sini.

Mari kita perkenalkan asersi utama yang digunakan dalam metode koordinat.

Pernyataan 1: Koordinat vektor akan ditentukan oleh perbedaan antara koordinat yang sesuai dari akhir vektor ini dan awalnya.

Pernyataan 2: Koordinat titik tengah segmen akan didefinisikan sebagai setengah jumlah koordinat yang sesuai dari batas-batasnya.

Pernyataan 3: Panjang vektor $\overline(δ)$ dengan koordinat tertentu $(δ_1,δ_2,δ_3)$ akan ditentukan oleh rumus

$|\overline(δ)|=\sqrt(δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2)$

Pernyataan 4: Jarak antara dua titik yang diberikan oleh koordinat $(δ_1,δ_2,δ_3)$ dan $(β_1,β_2,β_3)$ akan ditentukan oleh rumus

$d=\sqrt((δ_1-β_1)^2+(δ_2-β_2)^2+(δ_3-β_3)^2)$

Skema untuk memecahkan masalah geometris menggunakan metode koordinat

Untuk menyelesaikan masalah geometris menggunakan metode koordinat, yang terbaik adalah menggunakan skema ini:

Analisis apa yang diberikan dalam masalah:

• Tetapkan sistem koordinat yang paling tepat untuk tugas tersebut;
• Secara matematis, kondisi masalah, pertanyaan masalah ditulis, gambar dibangun untuk masalah ini.

1. Tuliskan semua data masalah dalam koordinat sistem koordinat yang dipilih.

2. Menyusun relasi-relasi yang diperlukan dari kondisi permasalahan, dan juga menghubungkan relasi-relasi tersebut dengan apa yang perlu ditemukan (dibuktikan dalam permasalahan).
3. Hasil yang diperoleh diterjemahkan ke dalam bahasa geometri.

Contoh soal yang diselesaikan dengan metode koordinat

Tugas berikut dapat dipilih sebagai tugas utama yang mengarah ke metode koordinat (solusinya tidak akan diberikan di sini):

1. Tugas untuk menemukan koordinat vektor di ujung dan awal.
2. Tugas yang terkait dengan pembagian segmen dalam hal apa pun.
3. Buktikan bahwa tiga titik terletak pada garis yang sama atau bahwa empat titik terletak pada bidang yang sama.
4. Tugas untuk menemukan jarak antara dua titik yang diberikan.
5. Soal mencari volume dan luas bangun datar.

Hasil pemecahan masalah pertama dan keempat disajikan oleh kami sebagai pernyataan utama di atas dan cukup sering digunakan untuk menyelesaikan masalah lain dengan menggunakan metode koordinat.

Contoh tugas untuk menerapkan metode koordinat

Contoh 1

Hitunglah sisi sebuah piramida beraturan yang tingginya $3$ cm jika sisi alasnya $4$ cm.

Mari kita diberikan piramida biasa $ABCDS$, yang tingginya $SO$. Mari kita perkenalkan sistem koordinat, seperti pada Gambar 1.

Karena titik $A$ adalah pusat dari sistem koordinat yang telah kita bangun, maka

Karena titik $B$ dan $D$ masing-masing milik sumbu $Ox$ dan $Oy$, maka

$B=(4,0,0)$, $D=(0,4,0)$

Karena titik $C$ termasuk dalam bidang $Oxy$, maka

Karena piramida beraturan, maka $O$ adalah titik tengah segmen $$. Menurut pernyataan 2, kita mendapatkan:

$O=(\frac(0+4)(2),\frac(0+4)(2),\frac(0+0)(2))=(2,2,0)$

Karena tingginya $SO$

Tes pelajaran dalam geometri di kelas 11

Subjek: " Metode koordinat dalam ruang”.

Target: Periksa pengetahuan teoritis siswa, keterampilan dan kemampuan mereka untuk menerapkan pengetahuan ini dalam memecahkan masalah dengan cara vektor, koordinat vektor.

Tugas:

1 .Menciptakan kondisi untuk kontrol (pengendalian diri, kontrol bersama) dari asimilasi pengetahuan dan keterampilan.

2. Kembangkan pemikiran matematis, ucapan, perhatian.

3. Untuk mempromosikan aktivitas, mobilitas, kemampuan berkomunikasi, budaya umum siswa.

Formulir perilaku: bekerja dalam kelompok.

Peralatan dan sumber informasi: layar, proyektor multimedia, spreadsheet, kartu kredit, tes.

Selama kelas

1. Momen mobilisasi.

Pelajaran menggunakan CSR; siswa dibagi menjadi 3 kelompok dinamis, di mana siswa dengan tingkat yang dapat diterima, optimal dan mahir. Setiap kelompok memiliki koordinator yang mengelola pekerjaan seluruh kelompok.

2 . Penentuan nasib sendiri siswa atas dasar antisipasi.

Tugas:penetapan tujuan sesuai skema: ingat-belajar-dapat.

Tes masuk - Isi bagian yang kosong (pada hasil cetakan)

tes masuk

Isi yang kosong…

1.Tiga garis tegak lurus berpasangan ditarik melalui sebuah titik di ruang angkasa

kami, pada masing-masing dari mereka, arah dan unit pengukuran segmen dipilih,

kemudian mereka mengatakan bahwa sudah diatur ………. di ruang hampa.

2. Garis lurus dengan arah yang dipilih pada mereka disebut ……………..,

dan kesamaan mereka adalah ………. .

3. Dalam sistem koordinat persegi panjang, setiap titik M ruang dikaitkan dengan tiga kali lipat angka yang menyebutnya ………………..

4. Koordinat titik dalam ruang disebut ………………..

5. Vektor yang panjangnya sama dengan satu disebut …………..

6. Vektor sayakamukdisebut………….

7. Peluang xkamuz dalam dekomposisi sebuah= xsaya + kamuj + zk ditelepon

……………… vektor sebuah .

8. Setiap koordinat penjumlahan dua vektor atau lebih sama dengan ……………..

9. Setiap koordinat selisih dua buah vektor sama dengan ……………….

10. Setiap koordinat hasil kali vektor dan suatu bilangan sama dengan………………..

11.Setiap koordinat vektor sama dengan …………….

12. Setiap koordinat tengah ruas sama dengan……………….

13. Panjang vektor sebuah { xkamuz) dihitung dengan rumus ………………………

14. Jarak antar titik M 1(x 1 ; kamu 1; z 1) dan M 2 (x 2; kamu 2 ; z2) dihitung dengan rumus …………………

15. Hasil kali skalar dua buah vektor disebut………………..

16. Hasil kali skalar dari vektor bukan nol sama dengan nol………………..

17. Produk titik dari vektorsebuah{ x 1; kamu 1; z 1} b { x 2 ; kamu 2 ; z 2) di dinyatakan dengan rumus………………

Verifikasi timbal balik dari tes masuk. Jawaban untuk tugas-tugas tes di layar.

Kriteria evaluasi:

1-2 kesalahan - "5"

3-4 kesalahan - "4"

5-6 kesalahan - "3"

Dalam kasus lain - "2"

3. Melakukan pekerjaan. (untuk kartu).

Setiap kartu berisi dua tugas: No 1 - teoritis dengan bukti, No 2 termasuk tugas.

Jelaskan tingkat kesulitan tugas-tugas yang termasuk dalam pekerjaan tersebut. Kelompok melakukan satu tugas, tetapi memiliki 2 bagian. Koordinator kelompok mengelola pekerjaan seluruh kelompok. Diskusi informasi yang sama dengan beberapa mitra meningkatkan tanggung jawab tidak hanya untuk kesuksesan sendiri, tetapi juga untuk hasil kerja kolektif, yang memiliki efek positif pada iklim mikro dalam tim.

KARTU #1

1. Turunkan rumus yang menyatakan koordinat tengah segmen dalam bentuk koordinat ujungnya.

2. Tugas: 1) Poin A (-3; 1; 2) dan B (1; -1; 2) diberikan

Menemukan:

a) koordinat titik tengah segmen AB

b) koordinat dan panjang vektor AB

2) Diketahui kubus ABCDA1 B1 C1 D1. Dengan menggunakan metode koordinat, cari sudutnya

antara garis AB1 dan A1 D.

KARTU #2

Turunkan rumus untuk menghitung panjang vektor dari koordinatnya.

Tugas: 1) Poin yang diberikan M(-4; 7; 0),N(0; -1; 2). Tentukan jarak dari titik asal koordinat ke tengah segmen MN.

→ → → → →

2) Data vektor sebuah dan b. Menemukan b(a+b), jika a(-2;3;6),b=6i-8k

KARTU #3

Turunkan rumus untuk menghitung jarak antara titik dengan koordinat yang diberikan.

Tugas: 1) Poin A(2;1;-8), B(1;-5;0), C(8;1;-4) diberikan.

Buktikan bahwa ABC adalah sama kaki dan tentukan panjang garis tengah segitiga yang menghubungkan titik tengah sisi-sisinya.

2) Hitung sudut antara garis lurus AB dan SD jika A(1;1;0),

B(3;-1;2), D(0;1;0).

KARTU#4

Turunkan rumus untuk kosinus sudut antara vektor bukan nol dengan koordinat yang diberikan.

Tugas: 1) Koordinat tiga titik jajar genjang ABCD diberikan:

A(-6;-;4;0), B(6;-6;2), C(10;0;4). Tentukan koordinat titik D.

2) Tentukan sudut antara garis AB dan CD, jika A (1; 1; 2), B (0; 1; 1), C (2; -2; 2), D (2; -3; 1) .

KARTU#5

Beri tahu kami cara menghitung sudut antara dua garis di ruang angkasa menggunakan vektor arah garis-garis ini. →→

Tugas: 1) Menemukan produk skalar vektorsebuah dan b, jika:

→ → → ^ →

a) | sebuah| =4; | b| =√3 (sebuahb)=30◦

b) sebuah {2 ;-3; 1}, b = 3 saya +2 k

2) Poin A(0;4;0), B(2;0;0), C(4;0;4) dan D(2;4;4) diberikan. Buktikan bahwa ABCD adalah belah ketupat.

4. Memeriksa pekerjaan kelompok dinamis pada kartu.

Kami mendengarkan pidato perwakilan kelompok. Hasil kerja kelompok dievaluasi oleh guru dengan partisipasi siswa.

5. Refleksi. Nilai untuk kredit.

Tes akhir dengan pilihan jawaban (dalam cetakan).

1) Vektor diberikan sebuah {2 ;-4 ;3} b(-3; ; 1). Temukan koordinat vektor

→ 2

c = sebuah+ b

a) (-5; 3 ; 4); b) (-1; -3.5; 4) c) (5; -4 ; 2) d) (-1; 3.5; -4)

2) Vektor diberikan sebuah(4; -3; 5) dan b(-3; 1; 2). Temukan koordinat vektor

C=2 sebuah – 3 b

a) (7;-2;3); b) (11; -7; 8); c) (17; -9; 4); d) (-1; -3; 4).

→ → → → → →

3) Hitung produk skalar vektorm dan n, jika m = sebuah + 2 b- c

→ → → → →^ → → → → →

n= 2 sebuah - b jika | sebuah|=2 , ‌| b |=3, (sebuahb)=60 °, c ┴ sebuah , c ┴ b.

a)-1; b) -27; dalam 1; d) 35.

4) Panjang vektor sebuah { xkamuz) sama dengan 5. Tentukan koordinat vektor a jikax=2, z=-√5

a) 16; b) 4 atau -4; pukul 9; d) 3 atau -3.

5) Tentukan luas ABC jika A(1;-1;3); B(3;-1;1) dan C(-1;1;-3).

a) 4√3; b) 3; c) 2√3; d) 8.

Uji validasi silang. Kode respons untuk menguji tugas di layar: 1(b); 2(c);

3(a); 4(b); 5 (c).

Kriteria evaluasi:

Semuanya benar - "5"

1 kesalahan - "4"

2 kesalahan - "3"

Dalam kasus lain - "2"

tabel pengetahuan siswa

Mengerjakan

kartu-kartu

terakhir

uji

Nilai kredit

tugas

teori

praktek

1 grup

2 grup

3 grup

Evaluasi persiapan siswa menghadapi ujian.

Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google (akun) dan masuk: https://accounts.google.com

Teks slide:

Sistem koordinat persegi panjang di ruang angkasa. Koordinat vektor.

Sistem koordinat persegi panjang

Jika tiga garis tegak lurus berpasangan ditarik melalui sebuah titik dalam ruang, arah dipilih pada masing-masing dari mereka dan unit pengukuran segmen dipilih, maka mereka mengatakan bahwa sistem koordinat persegi panjang diatur dalam ruang

Garis lurus, dengan arah yang dipilih padanya, disebut sumbu koordinat, dan titik bersamanya disebut titik asal koordinat. Biasanya dilambangkan dengan huruf O. Sumbu koordinat dilambangkan sebagai berikut: Sapi, Oy, O z - dan memiliki nama: sumbu absis, sumbu y, sumbu aplikasi.

Seluruh sistem koordinat dilambangkan dengan Oxy z . Bidang-bidang yang melalui sumbu koordinat Ox dan Oy, Oy dan O z , O z dan Ox masing-masing disebut bidang koordinat dan dilambangkan dengan Oxy, Oy z , O z x.

Titik O membagi masing-masing sumbu koordinat menjadi dua balok. Sinar yang arahnya berimpit dengan arah sumbu disebut semi-sumbu positif, dan sinar lainnya disebut semi-sumbu negatif.

Dalam sistem koordinat persegi panjang, setiap titik M ruang dikaitkan dengan tiga kali lipat angka, yang disebut koordinatnya.

Angka tersebut menunjukkan enam titik A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0) , F(0; 0; -3).

Koordinat vektor

Setiap vektor dapat didekomposisi menjadi vektor koordinat, yaitu, direpresentasikan dalam bentuk di mana koefisien ekspansi x, y, z ditentukan secara unik.

Koefisien x, y dan z dalam pemuaian vektor dalam bentuk vektor koordinat disebut koordinat vektor dalam sistem koordinat yang diberikan.

Pertimbangkan aturan yang memungkinkan kita untuk menemukan koordinat jumlah dan perbedaannya, serta koordinat produk dari vektor tertentu dengan nomor tertentu, menggunakan koordinat vektor-vektor ini.

sepuluh. Setiap koordinat jumlah dua atau lebih vektor sama dengan jumlah koordinat yang bersesuaian dari vektor-vektor tersebut. Dengan kata lain, jika a (x 1, y 1, z 1) dan b (x 2, y 2, z 2 ) diberikan vektor, maka vektor a + b memiliki koordinat (x 1 + x 2, y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ).

20 . Setiap koordinat selisih dua vektor sama dengan selisih koordinat yang bersesuaian dari vektor-vektor tersebut. Dengan kata lain, jika a (x 1, y 1, z 1) dan b (x 2 y 2; z 2) diberikan vektor, maka vektor a - b memiliki koordinat (x 1 - x 2, y 1 - y 2, z 1 - z 2 ).

tiga puluh. Setiap koordinat hasil kali vektor dengan suatu bilangan sama dengan hasil kali koordinat vektor yang bersesuaian dengan bilangan tersebut. Dengan kata lain, jika a (x; y; x) adalah vektor tertentu, adalah bilangan tertentu, maka vektor a memiliki koordinat (αx; y; z).

Pada topik: perkembangan metodologis, presentasi dan catatan

Handout didaktik "Satu set catatan untuk siswa tentang topik "Metode koordinat dalam ruang" untuk melakukan pelajaran dalam bentuk kuliah. Geometri kelas 10-11....

Tujuan pelajaran: Untuk menguji pengetahuan, keterampilan, dan kemampuan siswa tentang topik "Menggunakan metode koordinat dalam ruang untuk menyelesaikan tugas C2 USE." Hasil pendidikan yang direncanakan: Siswa mendemonstrasikan: ...

Metode koordinat adalah cara yang sangat efisien dan serbaguna untuk menemukan sudut atau jarak antara objek stereometrik di ruang angkasa. Jika tutor matematika Anda berkualifikasi tinggi, maka dia harus mengetahui hal ini. Jika tidak, saya akan menyarankan bagian "C" untuk mengganti tutor. Persiapan saya untuk ujian matematika C1-C6 biasanya mencakup analisis algoritma dasar dan rumus yang dijelaskan di bawah ini.

Sudut antara garis a dan b

Sudut antara garis dalam ruang adalah sudut antara setiap garis berpotongan yang sejajar dengannya. Sudut ini sama dengan sudut antara vektor arah garis-garis ini (atau melengkapinya dengan 180 derajat).

Algoritma apa yang digunakan guru matematika untuk mencari sudut?

1) Pilih sembarang vektor dan memiliki arah garis a dan b (sejajar dengan mereka).
2) Kami menentukan koordinat vektor dan dengan koordinat awal dan akhir yang sesuai (koordinat awal harus dikurangi dari koordinat akhir vektor).
3) Kami mengganti koordinat yang ditemukan ke dalam rumus:
. Untuk menemukan sudut itu sendiri, Anda perlu menemukan busur kosinus dari hasilnya.

Normal ke pesawat

Normal suatu bidang adalah sembarang vektor yang tegak lurus terhadap bidang tersebut.
Bagaimana menemukan yang normal? Untuk menemukan koordinat normal, cukup mengetahui koordinat tiga titik M, N dan K yang terletak di bidang yang diberikan. Dengan menggunakan koordinat ini, kami menemukan koordinat vektor dan dan mengharuskan kondisi dan dipenuhi. Menyamakan produk skalar vektor menjadi nol, kami membuat sistem persamaan dengan tiga variabel, dari mana kami dapat menemukan koordinat normal.

Catatan guru matematika : Tidak perlu menyelesaikan sistem sepenuhnya, karena cukup memilih setidaknya satu normal. Untuk melakukan ini, Anda dapat mengganti angka apa pun (misalnya, satu) alih-alih salah satu koordinatnya yang tidak diketahui dan menyelesaikan sistem dua persamaan dengan dua sisa yang tidak diketahui. Jika tidak memiliki solusi, maka ini berarti bahwa dalam keluarga normal tidak ada satu pun yang memiliki unit untuk variabel yang dipilih. Kemudian ganti satu variabel lain (koordinat lain) dan selesaikan sistem baru. Jika Anda meleset lagi, maka normal Anda akan memiliki unit pada koordinat terakhir, dan itu akan menjadi sejajar dengan beberapa bidang koordinat (dalam hal ini, mudah untuk menemukannya tanpa sistem).

Katakanlah kita diberi garis dan bidang dengan koordinat vektor arah dan normal
Sudut antara garis lurus dan bidang dihitung menggunakan rumus berikut:

Membiarkan dan menjadi dua normal untuk pesawat yang diberikan. Maka cosinus sudut antara bidang sama dengan modulus cosinus sudut antara normal:

Persamaan bidang di luar angkasa

Titik-titik yang memenuhi persamaan membentuk bidang dengan normal . Koefisien bertanggung jawab atas jumlah deviasi (pergeseran paralel) antara dua bidang dengan normal yang sama. Untuk menulis persamaan bidang, pertama-tama Anda harus menemukan normalnya (seperti dijelaskan di atas), dan kemudian mengganti koordinat titik mana pun pada bidang, bersama dengan koordinat normal yang ditemukan, ke dalam persamaan dan menemukan koefisien .

Untuk menggunakan metode koordinat, Anda perlu mengetahui rumus dengan baik. Ada tiga di antaranya:

Pada pandangan pertama, ini terlihat mengancam, tetapi hanya sedikit latihan - dan semuanya akan bekerja dengan baik.

Tugas. Tentukan kosinus sudut antara vektor a = (4; 3; 0) dan b = (0; 12; 5).

Keputusan. Karena kita diberi koordinat vektor, kita substitusikan ke dalam rumus pertama:

Tugas. Tulis persamaan untuk bidang yang melalui titik M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) dan K = (2; 1; 0), jika diketahui tidak melalui asal.

Keputusan. Persamaan umum bidang: Ax + By + Cz + D = 0, tetapi karena bidang yang diinginkan tidak melewati titik asal - titik (0; 0; 0) - maka kita tetapkan D = 1. Karena bidang ini lewat melalui titik M, N dan K, maka koordinat titik-titik tersebut harus mengubah persamaan menjadi persamaan numerik yang benar.

Mari kita substitusikan koordinat titik M = (2; 0; 1) sebagai ganti x, y dan z. Kita punya:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 2A + C + 1 = 0;

Demikian pula untuk titik N = (0; 1; 1) dan K = (2; 1; 0) diperoleh persamaan:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 2A + B + 1 = 0;

Jadi kami memiliki tiga persamaan dan tiga yang tidak diketahui. Kami membuat dan menyelesaikan sistem persamaan:

Kita dapatkan bahwa persamaan bidang memiliki bentuk: 0.25x 0.5y 0.5z + 1 = 0.

Tugas. Bidang diberikan oleh persamaan 7x 2y + 4z + 1 = 0. Temukan koordinat vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang diberikan.

Keputusan. Menggunakan rumus ketiga, kita mendapatkan n = (7; 2; 4) - itu saja!

Perhitungan koordinat vektor

Tetapi bagaimana jika tidak ada vektor dalam masalah - hanya ada titik-titik yang terletak pada garis lurus, dan diperlukan untuk menghitung sudut antara garis-garis lurus ini? Sederhana saja: mengetahui koordinat titik - awal dan akhir vektor - Anda dapat menghitung koordinat vektor itu sendiri.

Untuk menemukan koordinat vektor, perlu untuk mengurangi koordinat awal dari koordinat ujungnya.

Teorema ini bekerja sama di bidang dan di ruang angkasa. Ekspresi “kurangi koordinat” berarti bahwa koordinat x dari titik lain dikurangi dari koordinat x dari satu titik, maka hal yang sama harus dilakukan dengan koordinat y dan z. Berikut beberapa contohnya:

Tugas. Ada tiga titik dalam ruang, yang diberikan oleh koordinatnya: A = (1; 6; 3), B = (3; 1; 7) dan C = (− 4; 3; 2). Tentukan koordinat vektor AB, AC dan BC.

Perhatikan vektor AB: awal mulanya di titik A, dan ujungnya di titik B. Oleh karena itu, untuk mencari koordinatnya, perlu mengurangi koordinat titik A dari koordinat titik B:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

Demikian pula, awal vektor AC masih sama dengan titik A, tetapi ujungnya adalah titik C. Oleh karena itu, kami memiliki:
AC = ( 4 1; 3 6; 2 3) = ( 5; 3; 5).

Akhirnya, untuk menemukan koordinat vektor BC, perlu untuk mengurangi koordinat titik B dari koordinat titik C:
BC = (− 4 3; 3 (− 1); 2 7) = (− 7; 4; 9).

Jawaban: AB = (2; 7; 4); AC = (−5;−3;−5); SM = (−7; 4; 9)

Perhatikan perhitungan koordinat vektor terakhir BC: banyak orang melakukan kesalahan ketika bekerja dengan angka negatif. Ini berlaku untuk variabel y: titik B memiliki koordinat y = 1, dan titik C memiliki y = 3. Kita mendapatkan tepat 3 (− 1) = 4, dan bukan 3 1, seperti yang dipikirkan banyak orang. Jangan membuat kesalahan bodoh seperti itu!

Menghitung Vektor Arah untuk Garis Lurus

Jika Anda membaca soal C2 dengan cermat, Anda akan terkejut menemukan bahwa tidak ada vektor di sana. Hanya ada garis lurus dan bidang.

Mari kita mulai dengan garis lurus. Semuanya sederhana di sini: pada setiap garis setidaknya ada dua titik yang berbeda dan, sebaliknya, setiap dua titik yang berbeda mendefinisikan satu garis...

Adakah yang mengerti apa yang tertulis di paragraf sebelumnya? Saya sendiri tidak memahaminya, jadi saya akan menjelaskannya lebih sederhana: dalam soal C2, garis selalu diberikan oleh sepasang titik. Jika kita memperkenalkan sistem koordinat dan mempertimbangkan sebuah vektor dengan awal dan akhir pada titik-titik ini, kita mendapatkan apa yang disebut vektor pengarah untuk garis lurus:

Mengapa vektor ini dibutuhkan? Maksudnya adalah bahwa sudut antara dua garis lurus adalah sudut antara vektor arah mereka. Dengan demikian, kami bergerak dari garis lurus yang tidak dapat dipahami ke vektor tertentu, yang koordinatnya mudah dihitung. Seberapa mudah? Lihatlah contoh-contohnya:

Tugas. Garis AC dan BD 1 digambar dalam kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Tentukan koordinat vektor arah garis-garis tersebut.

Karena panjang rusuk kubus tidak ditentukan dalam kondisi, kita menetapkan AB = 1. Mari kita memperkenalkan sistem koordinat dengan titik asal di titik A dan sumbu x, y, z diarahkan sepanjang garis AB, AD dan AA 1, masing-masing. Segmen satuan sama dengan AB = 1.

Sekarang mari kita cari koordinat vektor arah untuk garis lurus AC. Kita membutuhkan dua poin: A = (0; 0; 0) dan C = (1; 1; 0). Dari sini kita mendapatkan koordinat vektor AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - ini adalah vektor arah.

Sekarang mari kita berurusan dengan garis lurus BD 1 . Ini juga memiliki dua poin: B = (1; 0; 0) dan D 1 = (0; 1; 1). Kita mendapatkan vektor arah BD 1 = (0 1; 1 0; 1 0) = (− 1; 1; 1).

Jawaban: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

Tugas. Pada prisma segitiga beraturan ABCA 1 B 1 C 1 , semua rusuknya sama dengan 1, ditarik garis lurus AB 1 dan AC 1 . Tentukan koordinat vektor arah garis-garis tersebut.

Mari kita perkenalkan sistem koordinat: titik asal berada di titik A, sumbu x berimpit dengan AB, sumbu z berimpit dengan AA 1 , sumbu y membentuk bidang OXY dengan sumbu x, yang berimpit dengan ABC pesawat terbang.

Pertama, mari kita berurusan dengan garis lurus AB 1 . Semuanya sederhana di sini: kami memiliki poin A = (0; 0; 0) dan B 1 = (1; 0; 1). Kita mendapatkan vektor arah AB 1 = (1 0; 0 0; 1 0) = (1; 0; 1).

Sekarang mari kita cari vektor arah untuk AC 1 . Semuanya sama - satu-satunya perbedaan adalah bahwa titik C 1 memiliki koordinat irasional. Jadi, A = (0; 0; 0), jadi kita punya:

Jawaban: AB 1 = (1; 0; 1);

Catatan kecil tapi sangat penting tentang contoh terakhir. Jika awal vektor bertepatan dengan asal, perhitungannya sangat disederhanakan: koordinat vektor sama dengan koordinat akhir. Sayangnya, ini hanya berlaku untuk vektor. Misalnya, ketika bekerja dengan pesawat, keberadaan asal koordinat pada mereka hanya memperumit perhitungan.

Perhitungan vektor normal untuk pesawat

Vektor normal bukanlah vektor yang bekerja dengan baik, atau yang terasa baik. Menurut definisi, vektor normal (normal) pada suatu bidang adalah vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang diberikan.

Dengan kata lain, normal adalah vektor yang tegak lurus terhadap sembarang vektor pada bidang tertentu. Tentunya Anda telah menemukan definisi seperti itu - namun, alih-alih vektor, ini tentang garis lurus. Namun, tepat di atas ditunjukkan bahwa dalam masalah C2, seseorang dapat beroperasi dengan objek yang sesuai - bahkan garis lurus, bahkan vektor.

Biarkan saya mengingatkan Anda sekali lagi bahwa setiap bidang didefinisikan dalam ruang dengan persamaan Ax + By + Cz + D = 0, di mana A, B, C dan D adalah beberapa koefisien. Tanpa mengurangi keumuman solusi, kita dapat mengasumsikan D = 1 jika bidang tidak melewati titik asal, atau D = 0 jika melewati titik asal. Bagaimanapun, koordinat vektor normal ke bidang ini adalah n = (A; B; C).

Jadi, pesawat juga bisa berhasil diganti dengan vektor - normal yang sama. Setiap bidang didefinisikan dalam ruang oleh tiga titik. Bagaimana menemukan persamaan bidang (dan karenanya normal), telah kita bahas di awal artikel. Namun, proses ini menyebabkan masalah bagi banyak orang, jadi saya akan memberikan beberapa contoh lagi:

Tugas. Bagian A 1 BC 1 digambar dalam kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Tentukan vektor normal untuk bidang pada bagian ini jika titik asalnya berada di titik A dan sumbu x, y, dan z masing-masing berimpit dengan rusuk AB, AD, dan AA1.

Karena pesawat tidak melewati titik asal, persamaannya terlihat seperti ini: Ax + By + Cz + 1 = 0, mis. koefisien D \u003d 1. Karena bidang ini melewati titik A 1, B dan C 1, koordinat titik-titik ini mengubah persamaan bidang menjadi persamaan numerik yang benar.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 C + 1 = 0 C = 1;

Demikian pula untuk titik B = (1; 0; 0) dan C 1 = (1; 1; 1) diperoleh persamaan:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 A + 1 = 0 A = 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 A + B + C + 1 = 0;

Tetapi koefisien A = 1 dan C = 1 sudah kita ketahui, jadi tinggal mencari koefisien B:
B = 1 A C = 1 + 1 + 1 = 1.

Kami mendapatkan persamaan bidang: - A + B - C + 1 = 0, Oleh karena itu, koordinat vektor normal adalah n = (- 1; 1; - 1).

Tugas. Bagian AA 1 C 1 C digambar dalam kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Temukan vektor normal untuk bidang bagian ini jika titik asalnya di titik A, dan sumbu x, y dan z berimpit dengan tepi AB, AD dan AA 1 berturut-turut.

Dalam hal ini, pesawat melewati titik asal, sehingga koefisien D \u003d 0, dan persamaan bidang terlihat seperti ini: Ax + By + Cz \u003d 0. Karena pesawat melewati titik A 1 dan C, koordinat titik-titik ini mengubah persamaan bidang menjadi persamaan numerik yang benar.

Mari kita substitusikan koordinat titik A 1 = (0; 0; 1) sebagai ganti x, y dan z. Kita punya:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 C = 0;

Demikian pula untuk titik C = (1; 1; 0) kita mendapatkan persamaan:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 A + B = 0 A = B;

Misalkan B = 1. Maka A = B = 1, dan persamaan seluruh bidang adalah: A + B = 0. Oleh karena itu, koordinat vektor normalnya adalah n = (− 1; 1; 0).

Secara umum, dalam masalah di atas perlu untuk menyusun sistem persamaan dan menyelesaikannya. Akan ada tiga persamaan dan tiga variabel, tetapi dalam kasus kedua salah satunya akan bebas, yaitu. mengambil nilai sewenang-wenang. Itulah sebabnya kami berhak menempatkan B = 1 - tanpa mengurangi keumuman solusi dan kebenaran jawaban.

Sangat sering dalam masalah C2 diperlukan untuk bekerja dengan titik-titik yang membagi segmen menjadi dua. Koordinat titik-titik tersebut mudah dihitung jika koordinat ujung segmen diketahui.

Jadi, biarkan segmen diberikan ujungnya - titik A \u003d (x a; y a; z a) dan B \u003d (x b; y b; z b). Kemudian koordinat tengah segmen - kami menyatakannya dengan titik H - dapat ditemukan dengan rumus:

Dengan kata lain, koordinat tengah segmen adalah rata-rata aritmatika dari koordinat ujung-ujungnya.

Tugas. Kubus satuan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ditempatkan pada sistem koordinat sehingga sumbu x, y dan z masing-masing berarah sepanjang rusuk AB, AD dan AA 1, dan titik asal berimpit dengan titik A. Titik K adalah titik tengah tepi A 1 B satu . Temukan koordinat titik ini.

Karena titik K adalah tengah segmen A 1 B 1 , koordinatnya sama dengan rata-rata aritmatika dari koordinat ujungnya. Mari kita tuliskan koordinat ujungnya: A 1 = (0; 0; 1) dan B 1 = (1; 0; 1). Sekarang mari kita cari koordinat titik K:

Tugas. Kubus satuan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ditempatkan pada sistem koordinat sehingga sumbu x, y dan z masing-masing diarahkan sepanjang rusuk AB, AD dan AA 1, dan titik asal berimpit dengan titik A. Tentukan koordinat dari titik L di mana mereka memotong diagonal alun-alun A 1 B 1 C 1 D 1 .

Dari perjalanan planimetri diketahui bahwa titik potong diagonal-diagonal sebuah persegi berjarak sama dari semua simpulnya. Secara khusus, A 1 L = C 1 L, mis. titik L adalah titik tengah segmen A 1 C 1 . Tapi A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), jadi kita punya:

Jawaban: L = (0,5; 0,5; 1)