Temukan sudut antara bidang yang diberikan oleh koordinat titik-titik. Bagaimana cara mencari sudut antara dua bidang?

Dalil

Sudut antar bidang tidak tergantung pada pilihan bidang potong.

Bukti.

Misalkan ada dua bidang dan yang berpotongan di sepanjang garis c. gambarlah bidang tegak lurus garis c. Kemudian bidang memotong bidang dan masing-masing sepanjang garis a dan b. Sudut antara bidang dan sama dengan sudut antara garis a dan b.
Ambil bidang potong lainnya `, tegak lurus terhadap c. Kemudian bidang ` akan memotong bidang dan masing-masing sepanjang garis a` dan b`.
Dengan translasi sejajar, titik perpotongan bidang dengan garis c akan menuju ke titik perpotongan bidang ` dengan garis c. dalam hal ini, dengan sifat terjemahan paralel, garis a akan menuju ke garis a`, b - ke garis b`. maka sudut antara garis a dan b, a` dan b` sama besar. Teorema telah terbukti.

Artikel ini berisi uraian tentang sudut antara bidang dan cara menemukannya. Pertama, definisi sudut antara dua bidang diberikan dan ilustrasi grafis diberikan. Setelah itu, prinsip pencarian sudut antara dua bidang yang berpotongan dengan metode koordinat dianalisis, diperoleh rumus yang memungkinkan untuk menghitung sudut antara bidang yang berpotongan menggunakan koordinat yang diketahui dari vektor normal bidang-bidang ini. Sebagai kesimpulan, solusi terperinci dari masalah tipikal ditampilkan.

Navigasi halaman.

Sudut antara pesawat - definisi.

Saat menyajikan materi, kami akan menggunakan definisi dan konsep yang diberikan dalam artikel bidang dalam ruang dan garis lurus dalam ruang.

Mari kita berikan argumen yang akan memungkinkan kita untuk secara bertahap mendekati definisi sudut antara dua bidang yang berpotongan.

Mari kita diberikan dua pesawat berpotongan dan . Pesawat-pesawat ini berpotongan dalam garis lurus, yang kami tunjukkan dengan huruf c. Buatlah bidang yang melalui titik M lurus c dan tegak lurus terhadap garis c. Dalam hal ini, pesawat akan memotong pesawat dan . Kami menunjukkan garis di mana pesawat berpotongan dan sebagai sebuah, tetapi garis lurus di mana pesawat berpotongan dan bagaimana b. Jelas langsung. sebuah dan b berpotongan di suatu titik M.

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa sudut antara garis berpotongan sebuah dan b tidak tergantung pada lokasi titik M pada garis lurus c yang dilalui pesawat.

Buatlah bidang yang tegak lurus terhadap garis c dan berbeda dengan pesawat. Bidang tersebut berpotongan dengan bidang-bidang dan sepanjang garis lurus, yang kita nyatakan sebuah 1 dan b 1 masing-masing.

Ini mengikuti dari metode membangun pesawat bahwa garis-garis sebuah dan b tegak lurus garis c, dan langsung sebuah 1 dan b 1 tegak lurus garis c. Sejak lurus sebuah dan sebuah 1 c, maka keduanya sejajar. Demikian juga, lurus b dan b 1 terletak pada bidang yang sama dan tegak lurus terhadap garis c jadi mereka sejajar. Dengan demikian, dimungkinkan untuk melakukan transfer paralel dari bidang ke bidang, di mana garis lurus sebuah 1 bertepatan dengan garis sebuah, dan garis lurus b dengan garis lurus b 1. Jadi, sudut antara dua garis yang berpotongan sebuah 1 dan b 1 sama dengan sudut antara garis berpotongan sebuah dan b.

Ini membuktikan bahwa sudut antara garis berpotongan sebuah dan b terletak pada bidang yang berpotongan dan tidak bergantung pada pilihan titik M yang dilalui pesawat. Oleh karena itu, adalah logis untuk mengambil sudut ini sebagai sudut antara dua bidang yang berpotongan.

Sekarang Anda dapat menyuarakan definisi sudut antara dua bidang yang berpotongan dan .

Definisi.

Sudut antara dua garis yang berpotongan c pesawat dan adalah sudut antara dua garis yang berpotongan sebuah dan b, di mana bidang-bidang dan berpotongan dengan bidang yang tegak lurus terhadap garis c.

Definisi sudut antara dua bidang dapat diberikan sedikit berbeda. Jika pada garis lurus dengan, di mana pesawat dan berpotongan, tandai sebuah titik M dan menggambar garis lurus melaluinya sebuah dan b, tegak lurus garis c dan berbaring di pesawat dan masing-masing, maka sudut antara garis sebuah dan b adalah sudut antara bidang dan . Biasanya, dalam praktiknya, konstruksi semacam itu dilakukan untuk mendapatkan sudut antara bidang.

Karena sudut antara garis yang berpotongan tidak melebihi , maka dari definisi yang disuarakan dapat disimpulkan bahwa ukuran derajat sudut antara dua bidang yang berpotongan dinyatakan dengan bilangan real dari interval . Dalam hal ini, bidang yang berpotongan disebut tegak lurus jika sudut antara keduanya sembilan puluh derajat. Sudut antara bidang paralel tidak ditentukan sama sekali, atau dianggap sama dengan nol.

Bagian atas halaman

Mencari sudut antara dua bidang yang berpotongan.

Biasanya, ketika mencari sudut antara dua bidang yang berpotongan, pertama-tama Anda harus melakukan konstruksi tambahan untuk melihat garis berpotongan, yang sudutnya sama dengan sudut yang diinginkan, dan kemudian menghubungkan sudut ini dengan data asli menggunakan tanda sama dengan, kesamaan tanda, teorema kosinus atau definisi sinus, kosinus dan garis singgung sudut. Dalam pelajaran geometri di sekolah menengah, ada masalah serupa.

Sebagai contoh, mari kita berikan solusi untuk masalah C2 dari Unified State Examination dalam matematika untuk tahun 2012 (kondisinya sengaja diubah, tetapi ini tidak mempengaruhi prinsip penyelesaian). Di dalamnya, hanya perlu menemukan sudut antara dua bidang yang berpotongan.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, di mana AB=3, AD = 2, AA 1 = 7 dan titik E membagi sisi AA 1 dalam suatu hubungan 4 ke 3 , hitung dari titik TETAPI ABC dan tempat tidur 1.

Pertama, mari kita membuat gambar.

Mari kita lakukan konstruksi tambahan untuk "melihat" sudut antara bidang.

Pertama, kita tentukan garis lurus di mana bidang-bidang berpotongan ABC dan Tempat tidur 1. Dot PADA adalah salah satu poin umum mereka. Temukan titik persekutuan kedua dari bidang-bidang ini. Langsung DA dan D 1 E berbaring di pesawat yang sama TAMBAHKAN 1, dan mereka tidak paralel, dan, oleh karena itu, berpotongan. Di sisi lain, lurus DA terletak di pesawat ABC, dan garis lurus D 1 E- di pesawat Tempat tidur 1, maka titik potong garis DA dan D 1 E akan menjadi titik yang sama dari pesawat ABC dan Tempat tidur 1. Jadi mari kita lanjutkan lurus DA dan D 1 E sebelum mereka berpotongan, kami menunjukkan titik persimpangan mereka dengan huruf F. Kemudian bf- garis di mana pesawat berpotongan ABC dan Tempat tidur 1.

Tetap membangun dua garis lurus yang terletak di pesawat ABC dan Tempat tidur 1 masing-masing, melewati satu titik pada garis bf dan tegak lurus terhadap garis bf, - sudut antara garis-garis ini, menurut definisi, akan sama dengan sudut yang diinginkan antara bidang ABC dan Tempat tidur 1. Ayo lakukan.

Dot TETAPI adalah proyeksi titik E ke pesawat ABC. Gambarlah garis yang memotong garis tegak lurus BF pada intinya M. Kemudian garis SAYA adalah proyeksi garis lurus MAKAN ke pesawat ABC, dan oleh teorema tiga tegak lurus.

Jadi, sudut yang diinginkan antara bidang ABC dan Tempat tidur 1 adalah sama dengan .

Sinus, cosinus atau tangen dari sudut ini (dan karenanya sudut itu sendiri) dapat kita tentukan dari segitiga siku-siku AEM jika diketahui panjang kedua sisinya. Dari kondisinya mudah untuk menemukan panjangnya AE: sejak titik E membagi sisi AA 1 dalam suatu hubungan 4 ke 3 , hitung dari titik TETAPI, dan panjang sisi AA 1 adalah sama dengan 7 , kemudian AE = 4. Mari kita cari panjang lainnya SAYA.

Untuk melakukan ini, pertimbangkan segitiga siku-siku ABF sudut kanan TETAPI, di mana SAYA adalah tingginya. Dengan kondisi AB=2. Panjang sisi AF kita dapat menemukan dari kesamaan segitiga siku-siku DD 1F dan AEF:

Dengan teorema Pythagoras dari segitiga ABF Temukan . Panjang SAYA temukan melalui luas segitiga ABF: pada salah satu sisi luas segitiga ABF sama dengan , di sisi lain , dari mana .

Jadi dari segitiga siku-siku AEM kita punya .

Maka sudut yang diinginkan antara bidang ABC dan Tempat tidur 1 sama (perhatikan bahwa ).

Dalam beberapa kasus, untuk menemukan sudut antara dua bidang yang berpotongan, akan lebih mudah untuk mengatur sistem koordinat persegi panjang oxyz dan menggunakan metode koordinat. Mari kita berhenti di atasnya.

Mari kita atur tugas: untuk menemukan sudut antara dua bidang yang berpotongan dan . Mari kita menunjukkan sudut yang diinginkan sebagai .

Kami berasumsi bahwa dalam sistem koordinat persegi panjang yang diberikan oxyz kita tahu koordinat vektor normal dari bidang yang berpotongan dan atau memiliki kesempatan untuk menemukannya. Membiarkan menjadi vektor normal pesawat , dan menjadi vektor normal pesawat . Mari kita tunjukkan bagaimana mencari sudut antara bidang-bidang yang berpotongan dan melalui koordinat vektor-vektor normal bidang-bidang ini.

Mari kita tunjukkan garis di mana pesawat berpotongan dan sebagai c. Melalui titik M pada garis lurus c gambarlah bidang yang tegak lurus terhadap garis c. Bidang memotong bidang dan sepanjang garis lurus sebuah dan b masing-masing, langsung sebuah dan b berpotongan di suatu titik M. Menurut definisi, sudut antara bidang yang berpotongan dan sama dengan sudut antara garis yang berpotongan sebuah dan b.

Sisihkan dari intinya M di pesawat adalah vektor normal dan dari pesawat dan . Vektor terletak pada garis yang tegak lurus dengan garis sebuah, dan vektor berada pada garis yang tegak lurus dengan garis b. Jadi, pada bidang, vektornya adalah vektor normal garis sebuah, - vektor garis normal b.

Dalam artikel Menemukan sudut antara garis yang berpotongan, kami memperoleh rumus yang memungkinkan Anda menghitung kosinus sudut antara garis yang berpotongan menggunakan koordinat vektor normal. Jadi cosinus sudut antara garis sebuah dan b, dan, akibatnya, cosinus sudut antara bidang yang berpotongan dan ditemukan oleh rumus , Dimana dan adalah vektor normal dari pesawat dan, masing-masing. Kemudian sudut antara bidang yang berpotongan dihitung sebagai .

Mari selesaikan contoh sebelumnya menggunakan metode koordinat.

Diberikan parallelepiped persegi panjang ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, di mana AB=3, AD = 2, AA 1 = 7 dan titik E membagi sisi AA 1 dalam suatu hubungan 4 ke 3 , hitung dari titik TETAPI. Cari sudut antar bidang ABC dan tempat tidur 1.

Karena sisi-sisi dari sebuah paralelepiped persegi panjang pada satu titik adalah tegak lurus berpasangan, akan lebih mudah untuk memperkenalkan sistem koordinat persegi panjang oxyz seperti ini: mulai gabungkan dengan bagian atas Dengan, dan sumbu koordinat Sapi, Oy dan Ons kirim sekitar CD, CB dan CC 1 masing-masing.

Sudut antar bidang ABC dan Tempat tidur 1 dapat ditemukan melalui koordinat vektor-vektor normal bidang-bidang ini dengan rumus , di mana dan adalah vektor-vektor normal bidang-bidang tersebut ABC dan Tempat tidur 1 masing-masing. Mari kita tentukan koordinat vektor normal.

Sejak pesawat ABC bertepatan dengan bidang koordinat oxy, maka vektor normalnya adalah vektor koordinat , yaitu .

Sebagai vektor bidang normal Tempat tidur 1 kita dapat mengambil produk silang dari vektor dan , pada gilirannya, koordinat vektor dan dapat ditemukan melalui koordinat titik PADA, E dan D1(yang ditulis dalam artikel koordinat vektor melalui koordinat titik awal dan akhir), dan koordinat titik PADA, E dan D1 dalam sistem koordinat yang diperkenalkan, kami menentukan dari kondisi masalah.

Jelas sekali, . Karena , maka kami menemukan koordinat titik (jika perlu, lihat artikel pembagian segmen dalam rasio tertentu). Kemudian dan Oxyz adalah persamaan dan .

Ketika kami mempelajari persamaan umum garis lurus, kami menemukan bahwa koefisien TETAPI, PADA dan Dengan adalah koordinat yang sesuai dari vektor normal pesawat. Jadi, dan adalah vektor normal dari bidang dan, masing-masing.

Kami mengganti koordinat vektor normal bidang ke dalam rumus untuk menghitung sudut antara dua bidang yang berpotongan:

Kemudian . Karena sudut antara dua bidang yang berpotongan tidak tumpul, maka dengan menggunakan identitas trigonometri dasar kita menemukan sinus sudut:.

Kursus video "Dapatkan A" mencakup semua topik yang diperlukan untuk keberhasilan ujian matematika dengan 60-65 poin. Sepenuhnya semua tugas 1-13 dari Profil GUNAKAN dalam matematika. Juga cocok untuk lulus PENGGUNAAN Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus ujian dengan 90-100 poin, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!

Kursus persiapan untuk ujian untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan bagian 1 ujian matematika (12 soal pertama) dan soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Bersatu, dan baik siswa seratus poin maupun seorang humanis tidak dapat melakukannya tanpa mereka.

Semua teori yang diperlukan. Solusi cepat, jebakan, dan rahasia ujian. Semua tugas yang relevan bagian 1 dari tugas Bank FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya sesuai dengan persyaratan USE-2018.

Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.

Ratusan tugas ujian. Masalah teks dan teori probabilitas. Algoritma pemecahan masalah yang sederhana dan mudah diingat. Geometri. Teori, bahan referensi, analisis semua jenis tugas USE. Stereometri. Trik licik untuk memecahkan, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal - ke tugas 13. Memahami alih-alih menjejalkan. Penjelasan visual dari konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunan. Dasar untuk memecahkan masalah kompleks dari bagian ke-2 ujian.

Navigasi halaman.

Sudut antara pesawat - definisi.

Mari kita berikan argumen yang akan memungkinkan kita untuk secara bertahap mendekati definisi sudut antara dua bidang yang berpotongan.

Mari kita diberikan dua pesawat berpotongan dan . Pesawat-pesawat ini berpotongan dalam garis lurus, yang dilambangkan dengan huruf c. Mari kita buat sebuah bidang yang melalui titik M dari garis c dan tegak lurus terhadap garis c. Dalam hal ini, pesawat akan memotong pesawat dan . Tunjukkan garis di mana bidang-bidang berpotongan dan sebagai a, dan garis di mana bidang-bidang berpotongan dan sebagai b. Jelasnya, garis a dan b berpotongan di titik M.

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa sudut antara garis berpotongan a dan b tidak bergantung pada lokasi titik M pada garis c yang dilalui pesawat.

Mari kita buat sebuah bidang yang tegak lurus terhadap garis c dan berbeda dengan bidang tersebut . Bidang tersebut berpotongan dengan bidang dan sepanjang garis lurus, yang masing-masing dilambangkan dengan a 1 dan b 1 .

Dari cara pembuatan bidang maka garis a dan b tegak lurus terhadap garis c, dan garis a 1 dan b 1 tegak lurus terhadap garis c. Karena garis a dan a 1 terletak pada bidang yang sama dan tegak lurus terhadap garis c, maka keduanya sejajar. Demikian pula, garis b dan b 1 terletak pada bidang yang sama dan tegak lurus terhadap garis c, maka mereka sejajar. Dengan demikian, dimungkinkan untuk melakukan perpindahan paralel dari bidang ke bidang, di mana garis a 1 bertepatan dengan garis a, dan garis b dengan garis b 1. Oleh karena itu, sudut antara dua garis berpotongan a 1 dan b 1 sama dengan sudut antara garis berpotongan a dan b .

Ini membuktikan bahwa sudut antara garis berpotongan a dan b terletak pada bidang yang berpotongan dan tidak bergantung pada pilihan titik M yang dilalui bidang tersebut. Oleh karena itu, adalah logis untuk mengambil sudut ini sebagai sudut antara dua bidang yang berpotongan.

Sekarang Anda dapat menyuarakan definisi sudut antara dua bidang yang berpotongan dan .

Definisi.

Sudut antara dua bidang yang berpotongan pada garis lurus dan adalah sudut antara dua garis yang berpotongan a dan b, yang sepanjang garis tersebut berpotongan dan berpotongan dengan bidang yang tegak lurus terhadap garis c.

Definisi sudut antara dua bidang dapat diberikan sedikit berbeda. Jika pada garis c, di mana bidang-bidang berpotongan, tandai titik M dan buat garis melaluinya a dan b, tegak lurus terhadap garis c dan terletak pada bidang masing-masing dan, maka sudut antara garis a dan b adalah sudut antara bidang dan. Biasanya, dalam praktiknya, konstruksi semacam itu dilakukan untuk mendapatkan sudut antara bidang.

Mencari sudut antara dua bidang yang berpotongan.

Contoh.

Keputusan.

Pertama, mari kita membuat gambar.

Mari kita lakukan konstruksi tambahan untuk "melihat" sudut antara bidang.

Pertama, mari kita tentukan garis lurus di mana bidang ABC dan BED 1 berpotongan. Titik B adalah salah satu poin umum mereka. Temukan titik persekutuan kedua dari bidang-bidang ini. Garis DA dan D 1 E terletak pada bidang yang sama ADD 1, dan mereka tidak sejajar, dan oleh karena itu, berpotongan. Di sisi lain, garis DA terletak pada bidang ABC, dan garis D 1 E terletak pada bidang BED 1, oleh karena itu, titik potong garis DA dan D 1 E akan menjadi titik persekutuan dari bidang ABC dan TEMPAT TIDUR 1. Jadi, kita lanjutkan garis DA dan D 1 E sampai berpotongan, kita nyatakan titik potongnya dengan huruf F. Maka BF adalah garis lurus di mana bidang ABC dan BED 1 berpotongan.

Tetap membangun dua garis yang terletak di bidang ABC dan BED 1, masing-masing, melewati satu titik pada garis BF dan tegak lurus terhadap garis BF - sudut antara garis-garis ini, menurut definisi, akan sama dengan sudut yang diinginkan antara garis pesawat ABC dan BED 1 . Ayo lakukan.

Dot A adalah proyeksi titik E pada bidang ABC. Gambarlah garis yang memotong siku-siku garis BF di titik M. Maka garis AM adalah proyeksi garis EM ke bidang ABC, dan oleh teorema tiga tegak lurus.

Jadi, sudut yang diinginkan antara bidang ABC dan BED 1 adalah .

Kita dapat menentukan sinus, cosinus, atau tangen dari sudut ini (dan karenanya sudut itu sendiri) dari segitiga siku-siku AEMjika kita mengetahui panjang kedua sisinya. Dari kondisi mudah untuk menemukan panjang AE: karena titik E membagi sisi AA 1 dalam kaitannya dengan 4 hingga 3, dihitung dari titik A, dan panjang sisi AA 1 adalah 7, maka AE \u003d 4. Mari kita cari panjang AM.

Untuk melakukan ini, pertimbangkan segitiga siku-siku ABF dengan sudut siku-siku A, di mana AM adalah tingginya. Dengan syarat AB=2. Kita dapat mencari panjang sisi AF dari kesejajaran segitiga siku-siku DD 1 F dan AEF :

Dengan teorema Pythagoras, dari segitiga ABF kita temukan . Kami menemukan panjang AM melalui luas segitiga ABF: di satu sisi, luas segitiga ABF sama dengan , di sisi lain , di mana .

Jadi, dari segitiga siku-siku AEM kita dapatkan .

Maka sudut yang diinginkan antara bidang ABC dan BED 1 adalah (perhatikan bahwa ).

Menjawab:

Dalam beberapa kasus, untuk menemukan sudut antara dua bidang yang berpotongan, lebih mudah untuk menentukan Oxyz dan menggunakan metode koordinat. Mari kita berhenti di atasnya.

Mari kita atur tugas: untuk menemukan sudut antara dua bidang yang berpotongan dan . Mari kita menunjukkan sudut yang diinginkan sebagai .

Kita akan berasumsi bahwa dalam sistem koordinat persegi panjang tertentu Oxyz kita mengetahui koordinat vektor normal dari bidang yang berpotongan dan atau mungkin untuk menemukannya. Biarlah - vektor normal bidang, sebuah adalah vektor normal pesawat. Mari kita tunjukkan bagaimana mencari sudut antara bidang-bidang yang berpotongan dan melalui koordinat vektor-vektor normal bidang-bidang ini.

Mari kita menunjukkan garis di mana pesawat berpotongan dan sebagai c . Melalui titik M pada garis c kita menggambar sebuah bidang yang tegak lurus terhadap garis c. Bidang memotong bidang dan sepanjang garis a dan b, masing-masing, garis a dan b berpotongan di titik M. Menurut definisi, sudut antara bidang yang berpotongan dan sama dengan sudut antara garis berpotongan a dan b.

Mari kita kesampingkan dari titik M pada bidang vektor-vektor normal dan bidang-bidang dan . Dalam hal ini, vektor terletak pada garis yang tegak lurus garis a, dan vektor terletak pada garis yang tegak lurus garis b. Jadi, dalam vektor bidang - vektor normal lurus a , adalah vektor normal garis b .

Di dalam artikel mencari sudut antara garis berpotongan kami telah memperoleh rumus yang memungkinkan kami menghitung kosinus sudut antara garis yang berpotongan menggunakan koordinat vektor normal. Jadi, kosinus sudut antara garis a dan b, dan, akibatnya, dan cosinus sudut antara bidang yang berpotongan dan ditemukan oleh rumus , dimana dan adalah vektor normal dari pesawat dan, masing-masing. Kemudian dihitung sebagai .

Mari selesaikan contoh sebelumnya menggunakan metode koordinat.

Contoh.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 persegi panjang sejajar diberikan, di mana AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 dan titik E membagi sisi AA 1 dalam rasio 4 banding 3, dihitung dari titik A . Tentukan sudut antara bidang ABC dan BED 1.

Keputusan.

Karena sisi-sisi dari sebuah paralelepiped persegi panjang pada satu titik adalah tegak lurus berpasangan, akan lebih mudah untuk memperkenalkan sistem koordinat persegi panjang Oxyz sebagai berikut: awal sejajar dengan titik C, dan sumbu koordinat Ox, Oy dan Oz diarahkan sepanjang sisi CD, CB dan CC1 masing-masing.

Sudut antara bidang ABC dan BED 1 dapat dicari melalui koordinat vektor-vektor normal bidang-bidang tersebut dengan menggunakan rumus , dimana dan adalah vektor-vektor normal masing-masing bidang ABC dan BED 1. Mari kita tentukan koordinat vektor normal.

\(\blacktriangleright\) Sudut dihedral adalah sudut yang dibentuk oleh dua setengah bidang dan garis lurus \(a\) , yang merupakan batas bersamanya.

\(\blacktriangleright\) Untuk mencari sudut antara bidang \(\xi\) dan \(\pi\) , Anda perlu mencari sudut linier pedas atau lurus) dari sudut dihedral yang dibentuk oleh bidang \(\xi\) dan \(\pi\) :

Langkah 1: biarkan \(\xi\cap\pi=a\) (garis perpotongan bidang). Pada bidang \(\xi\) kita menandai titik sembarang \(F\) dan menggambar \(FA\perp a\) ;

Langkah 2: menggambar \(FG\perp \pi\) ;

Langkah 3: menurut TTP (\(FG\) - tegak lurus, \(FA\) - miring, \(AG\) - proyeksi) kita memiliki: \(AG\perp a\) ;

Langkah 4: Sudut \(\angle FAG\) disebut sudut linier dari sudut dihedral yang dibentuk oleh bidang \(\xi\) dan \(\pi\) .

Perhatikan bahwa segitiga \(AG\) adalah segitiga siku-siku.
Perhatikan juga bahwa bidang \(AFG\) yang dibangun dengan cara ini tegak lurus terhadap kedua bidang \(\xi\) dan \(\pi\) . Oleh karena itu, dapat dikatakan dengan cara lain: sudut antar bidang\(\xi\) dan \(\pi\) adalah sudut antara dua garis yang berpotongan \(c\in \xi\) dan \(b\in\pi\) , membentuk bidang yang tegak lurus \(\xi\ ), dan \(\pi\) .

Tugas 1 #2875

Tingkat tugas: Lebih sulit daripada ujian

Diberikan piramida segi empat, semua tepinya sama, dan alasnya persegi. Cari \(6\cos \alpha\) , di mana \(\alpha\) adalah sudut antara sisi-sisi yang bersebelahan.

Biarkan \(SABCD\) menjadi sebuah piramida (\(S\) adalah sebuah simpul) yang sisi-sisinya sama dengan \(a\) . Oleh karena itu, semua sisi sisi adalah segitiga sama sisi. Cari sudut antara wajah \(SAD\) dan \(SCD\) .

Mari menggambar \(CH\perp SD\) . Sebagai \(\triangle SAD=\triangle SCD\), maka \(AH\) juga akan menjadi tinggi \(\triangle SAD\) . Oleh karena itu, menurut definisi, \(\angle AHC=\alpha\) adalah sudut dihedral linier antara wajah \(SAD\) dan \(SCD\) .
Karena alasnya persegi, maka \(AC=a\sqrt2\) . Perhatikan juga bahwa \(CH=AH\) adalah tinggi segitiga sama sisi dengan sisi \(a\) , maka \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Kemudian dengan teorema kosinus dari \(\triangle AHC\) : \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Jawaban: -2

Tugas 2 #2876

Tingkat tugas: Lebih sulit daripada ujian

Bidang \(\pi_1\) dan \(\pi_2\) berpotongan dengan sudut yang kosinusnya sama dengan \(0,2\) . Bidang \(\pi_2\) dan \(\pi_3\) berpotongan tegak lurus, dan garis perpotongan bidang \(\pi_1\) dan \(\pi_2\) sejajar dengan garis perpotongan pesawat \(\pi_2\) dan \(\ pi_3\) . Cari sinus sudut antara bidang \(\pi_1\) dan \(\pi_3\) .

Biarkan garis perpotongan \(\pi_1\) dan \(\pi_2\) menjadi garis \(a\) , garis perpotongan \(\pi_2\) dan \(\pi_3\) menjadi garis \ (b\) , dan garis potong \(\pi_3\) dan \(\pi_1\) adalah garis lurus \(c\) . Karena \(a\parallel b\) , maka \(c\parallel a\parallel b\) (menurut teorema dari bagian referensi teoritis “Geometri dalam ruang” \(\rightarrow\) “Pengantar stereometri, paralelisme").

Tandai titik \(A\dalam a, B\dalam b\) sehingga \(AB\perp a, AB\perp b\) (ini dimungkinkan karena \(a\parallel b\) ). Perhatikan \(C\in c\) sehingga \(BC\perp c\) , maka \(BC\perp b\) . Kemudian \(AC\perp c\) dan \(AC\perp a\) .
Memang, karena \(AB\perp b, BC\perp b\) , maka \(b\) tegak lurus terhadap bidang \(ABC\) . Karena \(c\parallel a\parallel b\) , maka garis \(a\) dan \(c\) juga tegak lurus terhadap bidang \(ABC\) , dan dengan demikian setiap garis dari bidang ini, khususnya, garis \ (AC\) .

Oleh karena itu berikut ini \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)\). Ternyata \(\segitiga ABC\) adalah persegi panjang, yang artinya \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]

Jawaban: 0.2

Tugas 3 #2877

Tingkat tugas: Lebih sulit daripada ujian

Garis-garis yang diberikan \(a, b, c\) berpotongan di satu titik, dan sudut di antara keduanya sama dengan \(60^\circ\) . Temukan \(\cos^(-1)\alpha\) , di mana \(\alpha\) adalah sudut antara bidang yang dibentuk oleh garis \(a\) dan \(c\) dan bidang yang dibentuk oleh garis \(b\ ) dan \(c\) . Berikan jawaban Anda dalam derajat.

Biarkan garis berpotongan di titik \(O\) . Karena sudut antara keduanya sama dengan \(60^\circ\) , maka ketiga garis tidak dapat terletak pada bidang yang sama. Mari kita tandai sebuah titik \(A\) pada garis \(a\) dan menggambar \(AB\perp b\) dan \(AC\perp c\) . Kemudian \(\segitiga AOB=\segitiga AOC\) sebagai persegi panjang di sisi miring dan sudut lancip. Oleh karena itu \(OB=OC\) dan \(AB=AC\) .
Mari kita lakukan \(AH\perp (BOC)\) . Kemudian dengan teorema tiga tegak lurus \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Karena \(AB=AC\) , maka \(\segitiga AHB=\segitiga AHC\) sebagai persegi panjang di sepanjang sisi miring dan kaki. Oleh karena itu, \(HB=HC\) . Jadi, \(OH\) adalah garis bagi sudut \(BOC\) (karena titik \(H\) berjarak sama dari sisi sudut).

Perhatikan bahwa dengan cara ini kita juga telah membangun sudut linier dari sudut dihedral yang dibentuk oleh bidang yang dibentuk oleh garis \(a\) dan \(c\) dan bidang yang dibentuk oleh garis \(b\) dan \( c\) . Ini adalah sudut \(ACH\) .

Mari kita temukan sudut ini. Karena kita memilih titik \(A\) secara sembarang, maka mari kita pilih sehingga \(OA=2\) . Kemudian dalam persegi panjang \(\triangle AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Karena \(OH\) adalah garis bagi, maka \(\angle HOC=30^\circ\) , oleh karena itu, dalam persegi panjang \(\triangle HOC\) : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Kemudian dari persegi panjang \(\triangle ACH\) : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Jawaban: 3

Tugas 4 #2910

Tingkat tugas: Lebih sulit daripada ujian

Bidang \(\pi_1\) dan \(\pi_2\) berpotongan di sepanjang garis \(l\) , yang berisi titik \(M\) dan \(N\) . Segmen \(MA\) dan \(MB\) tegak lurus terhadap garis \(l\) dan terletak pada bidang \(\pi_1\) dan \(\pi_2\), dan \(MN = 15 \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Temukan \(3\cos\alpha\) , di mana \(\alpha\) adalah sudut antara bidang \(\pi_1\) dan \(\pi_2\) .

Segitiga \(AMN\) siku-siku, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\) , dari mana \ Segitiga \(BMN\) siku-siku, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) , dari mana \ Kami menulis teorema kosinus untuk segitiga \(AMB\): \ Kemudian \ Karena sudut \(\alpha\) antara bidang adalah sudut lancip, dan \(\angle AMB\) ternyata tumpul, maka \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Kemudian \

Jawaban: 1.25

Tugas 5 #2911

Tingkat tugas: Lebih sulit daripada ujian

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) adalah jajar genjang, \(ABCD\) adalah persegi dengan sisi \(a\) , titik \(M\) adalah alas dari garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik \(A_1\) ke bidang \ ((ABCD)\) , selain itu, \(M\) adalah titik potong diagonal-diagonal persegi \(ABCD\) . Diketahui bahwa \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Tentukan sudut antara bidang \((ABCD)\) dan \((AA_1B_1B)\) . Berikan jawaban Anda dalam derajat.

Kami membangun \(MN\) tegak lurus terhadap \(AB\) seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Karena \(ABCD\) adalah persegi dengan sisi \(a\) dan \(MN\perp AB\) dan \(BC\perp AB\) , maka \(MN\parallel BC\) . Karena \(M\) adalah titik potong diagonal-diagonal persegi, maka \(M\) adalah titik tengah \(AC\) , oleh karena itu, \(MN\) adalah garis tengah dan \(MN=\frac12BC=\frac(1)(2)a\).
\(MN\) adalah proyeksi \(A_1N\) pada bidang \((ABCD)\) , dan \(MN\) tegak lurus \(AB\) , maka, dengan teorema tiga tegak lurus, \( A_1N\) tegak lurus \(AB \) dan sudut antara bidang \((ABCD)\) dan \((AA_1B_1B)\) adalah \(\angle A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

Jawaban: 60

Tugas 6 #1854

Tingkat tugas: Lebih sulit daripada ujian

Dalam bujur sangkar \(ABCD\) : \(O\) adalah titik potong diagonal; \(S\) tidak berada pada bidang persegi, \(SO \perp ABC\) . Tentukan sudut antara bidang \(ASD\) dan \(ABC\) jika \(SO = 5\) dan \(AB = 10\) .

Segitiga siku-siku \(\triangle SAO\) dan \(\triangle SDO\) sama besar pada dua sisi dan sudut di antara mereka (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = LAKUKAN\) , karena \(O\) adalah titik potong diagonal persegi, \(SO\) adalah sisi persekutuan) \(\Panah kanan\) \(AS = SD\) \(\Panah kanan\) \(\segitiga ASD\) adalah sama kaki. Titik \(K\) adalah titik tengah \(AD\) , kemudian \(SK\) adalah tinggi dalam segitiga \(\segitiga ASD\) , dan \(OK\) adalah tinggi dalam segitiga \ (AOD\) \(\ Panah Kanan\) bidang \(SOK\) tegak lurus terhadap bidang \(ASD\) dan \(ABC\) \(\Panah Kanan\) \(\sudut SKO\) adalah sudut linier yang sama dengan sudut dihedral yang diperlukan.

Dalam \(\segitiga SKO\) : \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = JADI\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) adalah segitiga siku-siku sama kaki \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .

Jawaban: 45

Tugas 7 #1855

Tingkat tugas: Lebih sulit daripada ujian

Dalam bujur sangkar \(ABCD\) : \(O\) adalah titik potong diagonal; \(S\) tidak berada pada bidang persegi, \(SO \perp ABC\) . Tentukan sudut antara bidang \(ASD\) dan \(BSC\) jika \(SO = 5\) dan \(AB = 10\) .

Segitiga siku-siku \(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) dan \(\triangle SOC\) sama besar pada dua sisi dan sudut di antara mereka (\(SO \perp ABC \) \(\Panah Kanan\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\) , karena \(O\) adalah titik potong diagonal persegi, \(SO\) adalah sisi persekutuan) \(\Panah kanan\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Panah Kanan\) \(\triangle ASD\) dan \(\triangle BSC\) adalah sama kaki. Titik \(K\) adalah titik tengah \(AD\) , kemudian \(SK\) adalah tinggi dalam segitiga \(\segitiga ASD\) , dan \(OK\) adalah tinggi dalam segitiga \ (AOD\) \(\Panah kanan\) bidang \(SOK\) tegak lurus terhadap bidang \(ASD\) . Titik \(L\) adalah titik tengah \(BC\) , kemudian \(SL\) adalah tinggi dalam segitiga \(\segitiga BSC\) , dan \(OL\) adalah tinggi dalam segitiga \ (BOC\) \(\Panah kanan\) bidang \(SOL\) (alias bidang \(SOK\) ) tegak lurus terhadap bidang \(BSC\) . Jadi, kita peroleh bahwa \(\angle KSL\) adalah sudut linier yang sama dengan sudut dihedral yang diinginkan.

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Panah Kanan\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) - ketinggian dalam segitiga sama kaki, yang dapat ditemukan menggunakan teorema Pythagoras: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Dapat dilihat bahwa \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) untuk segitiga \(\triangle KSL\) invers teorema Pythagoras berlaku \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) adalah segitiga siku-siku \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90^\ lingkar\) .

Jawaban: 90

Mempersiapkan siswa untuk ujian dalam matematika, sebagai suatu peraturan, dimulai dengan pengulangan rumus dasar, termasuk yang memungkinkan Anda menentukan sudut antara bidang. Terlepas dari kenyataan bahwa bagian geometri ini cukup tercakup dalam kerangka kurikulum sekolah, banyak lulusan perlu mengulang materi dasar. Memahami cara menemukan sudut antara bidang, siswa sekolah menengah akan dapat dengan cepat menghitung jawaban yang benar dalam menyelesaikan masalah dan mengandalkan untuk mendapatkan nilai yang layak berdasarkan ujian negara bagian terpadu.

Nuansa utama

Agar pertanyaan tentang bagaimana menemukan sudut dihedral tidak menimbulkan kesulitan, kami sarankan Anda mengikuti algoritme solusi yang akan membantu Anda mengatasi tugas-tugas ujian.

Pertama, Anda perlu menentukan garis di mana pesawat berpotongan.

Kemudian pada garis ini Anda harus memilih sebuah titik dan menggambar dua garis tegak lurus padanya.

Langkah selanjutnya adalah mencari fungsi trigonometri sudut dihedral yang dibentuk oleh garis tegak lurus. Paling mudah untuk melakukan ini dengan bantuan segitiga yang dihasilkan, yang sudutnya merupakan bagiannya.

Jawabannya adalah nilai sudut atau fungsi trigonometrinya.

Persiapan untuk ujian ujian bersama dengan Shkolkovo adalah kunci kesuksesan Anda

Dalam proses belajar menjelang kelulusan, banyak siswa dihadapkan pada masalah menemukan definisi dan rumus yang memungkinkan Anda menghitung sudut antara 2 bidang. Buku teks sekolah tidak selalu tersedia tepat pada saat dibutuhkan. Dan untuk menemukan formula yang diperlukan dan contoh penerapannya yang benar, termasuk untuk menemukan sudut antara pesawat di Internet online, terkadang Anda perlu menghabiskan banyak waktu.

Portal matematika "Shkolkovo" menawarkan pendekatan baru untuk mempersiapkan ujian negara. Kelas di situs web kami akan membantu siswa mengidentifikasi bagian yang paling sulit untuk diri mereka sendiri dan mengisi kesenjangan dalam pengetahuan.

Kami telah menyiapkan dan mempresentasikan dengan jelas semua materi yang diperlukan. Definisi dan rumus dasar disajikan di bagian "Referensi Teoretis".

Untuk mengasimilasi materi dengan lebih baik, kami juga menyarankan untuk berlatih latihan yang sesuai. Banyak pilihan tugas dengan berbagai tingkat kerumitan, misalnya, disajikan di bagian Katalog. Semua tugas berisi algoritme terperinci untuk menemukan jawaban yang benar. Daftar latihan di situs ini terus ditambah dan diperbarui.

Berlatih dalam memecahkan masalah di mana diperlukan untuk menemukan sudut antara dua bidang, siswa memiliki kesempatan untuk menyimpan tugas apa pun secara online ke "Favorit". Berkat ini, mereka akan dapat kembali kepadanya beberapa kali dan mendiskusikan kemajuan solusinya dengan guru atau tutor sekolah.

Sudut antara pesawat - definisi.

Mencari sudut antara dua bidang yang berpotongan.

Sudut antara pesawat - definisi.

Mencari sudut antara dua bidang yang berpotongan.

Nuansa utama

Persiapan untuk ujian ujian bersama dengan Shkolkovo adalah kunci kesuksesan Anda

ARTIKEL TERKAIT