Definisi.

Ini adalah segi enam, yang alasnya adalah dua persegi yang sama, dan sisi-sisinya adalah persegi panjang yang sama.

rusuk samping adalah sisi persekutuan dari dua sisi yang bersebelahan

Tinggi Prisma adalah ruas garis yang tegak lurus alas prisma

Diagonal Prisma- segmen yang menghubungkan dua simpul dari basis yang tidak memiliki wajah yang sama

Bidang diagonal- bidang yang melalui diagonal prisma dan sisi-sisinya

Bagian diagonal- batas-batas perpotongan prisma dan bidang diagonal. Bagian diagonal prisma segi empat beraturan adalah persegi panjang

Bagian tegak lurus (bagian ortogonal)- ini adalah perpotongan prisma dan bidang yang ditarik tegak lurus terhadap sisi-sisinya

Unsur-unsur prisma segi empat beraturan

Gambar tersebut menunjukkan dua prisma segi empat biasa, yang ditandai dengan huruf yang sesuai:

• Basa ABCD dan A 1 B 1 C 1 D 1 sama besar dan sejajar
• Sisi muka AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C dan CC 1 D 1 D yang masing-masing berbentuk persegi panjang
• Permukaan lateral - jumlah luas semua sisi sisi prisma
• Permukaan total - jumlah luas semua alas dan permukaan samping (jumlah luas permukaan samping dan alas)
• Rusuk samping AA 1 , BB 1 , CC 1 dan DD 1 .
• Diagonal B 1 D
• Basis diagonal BD
• Bagian diagonal BB 1 D 1 D
• Bagian tegak lurus A 2 B 2 C 2 D 2 .

Sifat-sifat prisma segi empat beraturan

• Basis adalah dua persegi yang sama
• Basisnya sejajar satu sama lain
• Sisi-sisinya berbentuk persegi panjang.
• Sisi wajah sama satu sama lain
• Wajah samping tegak lurus dengan alas
• Tulang rusuk lateral sejajar satu sama lain dan sama besar
• Penampang tegak lurus terhadap semua rusuk sisi dan sejajar dengan alas
• Sudut Bagian Tegak Lurus - Kanan
• Bagian diagonal prisma segi empat beraturan adalah persegi panjang
• Tegak lurus (bagian ortogonal) sejajar dengan alas

Rumus prisma segi empat beraturan

Petunjuk untuk memecahkan masalah

Saat memecahkan masalah pada topik " prisma segi empat beraturan" menyiratkan bahwa:

Prisma yang benar- sebuah prisma yang alasnya terletak poligon beraturan, dan sisi-sisinya tegak lurus terhadap bidang alasnya. Artinya, prisma segi empat biasa berisi di alasnya kotak. (lihat di atas sifat-sifat prisma segi empat beraturan) Catatan. Ini adalah bagian dari pelajaran dengan tugas-tugas dalam geometri (bagian geometri padat - prisma). Berikut adalah tugas-tugas yang menyebabkan kesulitan dalam menyelesaikannya. Jika Anda perlu menyelesaikan masalah dalam geometri, yang tidak ada di sini - tulis di forum. Untuk menunjukkan tindakan mengekstraksi akar kuadrat dalam memecahkan masalah, simbol digunakan√ .

Tugas.

Pada sebuah prisma segi empat beraturan, luas alasnya 144 cm2 dan tingginya 14 cm. Hitunglah diagonal prisma tersebut dan luas permukaan totalnya.

Keputusan.
Segi empat beraturan adalah persegi.
Dengan demikian, sisi alasnya akan sama dengan

√144 = 12cm.
Dimana diagonal alas prisma segi empat beraturan sama dengan
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Diagonal prisma beraturan membentuk segitiga siku-siku dengan diagonal alas dan tinggi prisma. Dengan demikian, menurut teorema Pythagoras, diagonal prisma segi empat beraturan yang diberikan akan sama dengan:
((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Menjawab: 22 cm

Tugas

Hitunglah luas permukaan prisma segi empat beraturan jika diagonalnya 5 cm dan diagonal sisi sisinya 4 cm.

Keputusan.
Karena alas prisma segi empat beraturan adalah persegi, maka sisi alasnya (dilambangkan dengan a) ditemukan oleh teorema Pythagoras:

A2 + a2 = 5 2
2a 2 = 25
a = 12,5

Ketinggian sisi muka (dilambangkan sebagai h) kemudian akan sama dengan:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
jam 2 + 12,5 = 16
j 2 \u003d 3.5
h = 3,5

Luas permukaan total akan sama dengan jumlah luas permukaan lateral dan dua kali luas alas

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * 3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 51,46 cm 2.

Jawaban: 25 + 10√7 51,46 cm 2.

Jenis pekerjaan: 8
Tema: Prisma

Kondisi

Dalam prisma segitiga beraturan ABCA_1B_1C_1, sisi alasnya adalah 4 , dan sisi-sisinya adalah 10 . Cari luas penampang prisma oleh bidang yang melalui titik tengah rusuk AB, AC, A_1B_1 dan A_1C_1.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Perhatikan gambar berikut.

Segmen MN adalah garis tengah segitiga A_1B_1C_1, jadi MN = \frac12 B_1C_1=2. Juga, KL=\frac12BC=2. Selain itu, MK = NL = 10. Hal ini menunjukkan bahwa MNLK segiempat adalah jajar genjang. Karena MK\parallel AA_1, maka MK\perp ABC dan MK\perp KL. Oleh karena itu, MNLK segi empat adalah persegi panjang. S_(MNLK) = MK\cdot KL= 10\cdot 2 = 20.

Menjawab

Jenis pekerjaan: 8
Tema: Prisma

Kondisi

Volume prisma segi empat beraturan ABCDA_1B_1C_1D_1 adalah 24 . Titik K adalah bagian tengah tepi CC_1 . Tentukan volume piramida KBCD.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Menurut kondisinya, KC adalah tinggi piramida KBCD . CC_1 adalah tinggi prisma ABCDA_1B_1C_1D_1 .

Karena K adalah titik tengah CC_1 , maka KC=\frac12CC_1. Misal CC_1=H , maka KC=\frac12H. Perhatikan juga bahwa S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). Kemudian, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). Karena itu, V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 8
Tema: Prisma

Kondisi

Hitunglah luas permukaan sisi prisma segi enam beraturan yang sisi alasnya 6 dan tingginya 8.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Luas permukaan lateral prisma ditemukan dengan rumus sisi S. = P utama. · h = 6a\cdot h, di mana P utama. dan h berturut-turut adalah keliling alas dan tinggi prisma, sama dengan 8 , dan a adalah sisi segi enam beraturan, sama dengan 6 . Oleh karena itu, sisi S. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 8
Tema: Prisma

Kondisi

Air dituangkan ke dalam bejana yang berbentuk seperti prisma segitiga biasa. Ketinggian air mencapai 40 cm. Pada ketinggian berapakah ketinggian air jika dituangkan ke dalam bejana lain yang bentuknya sama, yang sisi alasnya dua kali lipat dari yang pertama? Nyatakan jawaban Anda dalam sentimeter.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Misalkan a adalah sisi alas bejana pertama, maka 2 a adalah sisi alas bejana kedua. Dengan syarat, volume cairan V di bejana pertama dan kedua adalah sama. Dilambangkan dengan H tingkat di mana cairan telah naik di bejana kedua. Kemudian V = \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40, dan, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. Dari sini \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4H, H = 10.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 8
Tema: Prisma

Kondisi

Dalam prisma heksagonal biasa ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 semua tepinya adalah 2 . Tentukan jarak antara titik A dan E_1 .

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Segitiga AEE_1 siku-siku, karena tepi EE_1 tegak lurus dengan bidang alas prisma, sudut AEE_1 akan menjadi sudut siku-siku.

Kemudian dengan teorema Pythagoras AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Cari AE dari segitiga AFE menggunakan teorema kosinus. Setiap sudut dalam segi enam beraturan adalah 120^(\circ). Kemudian AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\kiri (-\frac12 \kanan).

Jadi, AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 8
Tema: Prisma

Kondisi

Hitunglah luas permukaan sisi prisma lurus yang alasnya berbentuk belah ketupat dengan diagonal-diagonalnya sama dengan 4\sqrt5 dan 8 , dan sisi sisi sama dengan 5 .

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Luas permukaan lateral prisma lurus ditemukan dengan rumus sisi S. = P utama. · h = 4a\cdot h, di mana P utama. dan h, masing-masing, keliling alas dan tinggi prisma, sama dengan 5, dan a adalah sisi belah ketupat. Mari kita cari sisi belah ketupat, menggunakan fakta bahwa diagonal belah ketupat ABCD saling tegak lurus dan titik potongnya dibagi dua.

Biarkan diperlukan untuk menemukan volume prisma segitiga siku-siku, yang luas alasnya sama dengan S, dan tingginya sama dengan h= AA' = BB' = CC' (Gbr. 306).

Kami menggambar secara terpisah alas prisma, yaitu segitiga ABC (Gbr. 307, a), dan melengkapinya menjadi persegi panjang, di mana kami menggambar garis lurus KM melalui titik B || AC dan dari titik A dan C kita turunkan tegak lurus AF dan CE ke garis ini. Kami mendapatkan persegi panjang ACEF. Setelah menggambar tinggi BD dari segitiga ABC, kita akan melihat bahwa persegi panjang ACEF dibagi menjadi 4 segitiga siku-siku. Selain itu, \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD dan \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. Artinya luas persegi panjang ACEF adalah dua kali luas segitiga ABC, yaitu sama dengan 2S.

Untuk prisma dengan alas ABC ini kita tambahkan prisma dengan alas ALL dan BAF dan tinggi h(Gbr. 307, b). Kami mendapatkan parallelepiped persegi panjang dengan basis ACEF.

Jika kita memotong parallelepiped ini dengan sebuah bidang yang melalui garis BD dan BB', kita akan melihat bahwa parallelepiped persegi panjang terdiri dari 4 prisma dengan alas BCD, ALL, BAD dan BAF.

Prisma dengan alas BCD dan ALL dapat digabungkan, karena alasnya sama (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BSE) dan sisi lateralnya, yang tegak lurus satu bidang, juga sama besar. Oleh karena itu, volume prisma ini adalah sama. Volume prisma dengan alas BAD dan BAF juga sama.

Jadi, ternyata volume prisma segitiga dengan alas ABC adalah setengah dari volume jajar genjang dengan alas ACEF.

Kita tahu bahwa volume parallelepiped persegi panjang sama dengan produk dari luas alasnya dan tingginya, yaitu, dalam hal ini sama dengan 2S h. Jadi volume prisma segitiga siku-siku ini sama dengan S h.

Volume prisma segitiga siku-siku sama dengan produk luas alas dan tinggi.

2. Volume prisma poligonal lurus.

Untuk menemukan volume prisma poligonal lurus, seperti prisma segi lima, dengan luas alas S dan tinggi h, mari kita pecahkan menjadi prisma segitiga (Gbr. 308).

Menyatakan luas alas prisma segitiga melalui S 1, S 2 dan S 3, dan volume prisma poligonal ini melalui V, kita mendapatkan:

V = S 1 h+S2 h+ S 3 h, atau

V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

Dan akhirnya: V = S h.

Dengan cara yang sama, rumus volume prisma lurus dengan poligon apa pun pada alasnya diturunkan.

Cara, Volume prisma lurus apa pun sama dengan produk luas alas dan tingginya.

volume prisma

Dalil. Volume prisma sama dengan luas alas kali tinggi.

Pertama kita buktikan teorema ini untuk prisma segitiga, dan kemudian untuk prisma poligonal.

1) Gambarlah (Gbr. 95) melalui tepi AA 1 dari prisma segitiga ABCA 1 B 1 C 1 sebuah bidang yang sejajar dengan permukaan BB 1 C 1 C, dan melalui tepi CC 1 - sebuah bidang yang sejajar dengan permukaan AA 1 B 1 B; kemudian kami melanjutkan bidang kedua alas prisma sampai mereka berpotongan dengan bidang yang ditarik.

Kemudian kita mendapatkan BD 1 parallelepiped, yang dibagi oleh bidang diagonal AA 1 C 1 C menjadi dua prisma segitiga (salah satunya diberikan). Mari kita buktikan bahwa prisma-prisma ini sama besar. Untuk melakukan ini, kami menggambar bagian tegak lurus abcd. Di bagian tersebut, Anda mendapatkan jajaran genjang, yang merupakan diagonal kartu as dibagi menjadi dua segitiga sama besar. Prisma ini sama dengan prisma lurus yang alasnya \(\Delta\) abc, dan tingginya adalah rusuk AA 1 . Prisma segitiga lain yang luasnya sama dengan garis yang alasnya \(\Delta\) adc, dan tingginya adalah rusuk AA 1 . Tetapi dua prisma lurus dengan alas yang sama dan tinggi yang sama adalah sama (karena keduanya digabungkan ketika bersarang), yang berarti bahwa prisma ABCA 1 B 1 C 1 dan ADCA 1 D 1 C 1 adalah sama. Dari sini dapat disimpulkan bahwa volume prisma ini adalah setengah dari volume paralelepiped BD 1 ; oleh karena itu, menunjukkan ketinggian prisma melalui H, kita mendapatkan:

$$ V_(\Delta ex) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Gambarlah melalui tepi AA 1 prisma poligonal (Gbr. 96) bidang diagonal AA 1 C 1 C dan AA 1 D 1 D.

Kemudian prisma ini akan dipotong menjadi beberapa prisma segitiga. Jumlah volume prisma tersebut adalah volume yang diinginkan. Jika kita menyatakan luas alasnya dengan b 1 , b 2 , b 3 , dan tinggi total melalui H, kita dapatkan:

volume prisma poligonal = b 1H+ b 2H+ b 3 H =( b 1 + b 2 + b 3) H =

= (luas ABCDE) H.

Konsekuensi. Jika V, B dan H adalah bilangan-bilangan yang menyatakan dalam satuan-satuan yang bersesuaian volume, luas alas dan tinggi prisma, maka, menurut pembuktian, kita dapat menulis:

bahan lainnya

Kursus video "Dapatkan A" mencakup semua topik yang diperlukan untuk berhasil lulus ujian matematika dengan 60-65 poin. Sepenuhnya semua tugas 1-13 dari Profil GUNAKAN dalam matematika. Juga cocok untuk lulus PENGGUNAAN Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus ujian dengan 90-100 poin, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!

Kursus persiapan untuk ujian untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan bagian 1 ujian matematika (12 soal pertama) dan soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Bersatu, dan baik siswa seratus poin maupun seorang humanis tidak dapat melakukannya tanpa mereka.

Semua teori yang diperlukan. Solusi cepat, jebakan, dan rahasia ujian. Semua tugas yang relevan bagian 1 dari tugas Bank FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya sesuai dengan persyaratan USE-2018.

Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.

Ratusan tugas ujian. Masalah teks dan teori probabilitas. Algoritma pemecahan masalah yang sederhana dan mudah diingat. Geometri. Teori, bahan referensi, analisis semua jenis tugas USE. Stereometri. Trik licik untuk memecahkan, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal - ke tugas 13. Memahami alih-alih menjejalkan. Penjelasan visual dari konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunan. Dasar untuk memecahkan masalah kompleks dari bagian ke-2 ujian.