GEOMETRI
Rencana Pelajaran untuk Kelas 10
Pelajaran 56
Subjek. Area proyeksi ortogonal poligon
Tujuan pelajaran: mempelajari teorema pada bidang proyeksi ortogonal poligon, pembentukan keterampilan siswa untuk menerapkan teorema yang dipelajari untuk memecahkan masalah.
Peralatan: set stereometrik, model kubus.
Selama kelas
I. Memeriksa pekerjaan rumah
1. Dua siswa mereproduksi solusi untuk masalah No. 42, 45 di papan tulis.
2. Interogasi frontal.
1) Tentukan sudut antara dua bidang yang berpotongan.
2) Berapa sudut antara:
a) bidang sejajar;
b.bidang tegak lurus?
3) Sampai sejauh mana sudut antara dua bidang berubah?
4) Benarkah sebuah bidang yang memotong bidang-bidang sejajar memotongnya dengan sudut yang sama?
5) Benarkah sebuah bidang yang memotong bidang-bidang yang tegak lurus memotongnya pada sudut yang sama?
3. Mengecek kebenaran penyelesaian soal No. 42, 45 yang dibuat ulang oleh siswa di papan tulis.
II. Persepsi dan kesadaran akan materi baru
Tugas untuk siswa
1. Buktikan bahwa luas proyeksi segitiga dengan satu sisi pada bidang proyeksi sama dengan produk dari luasnya dan kosinus sudut antara bidang poligon dan bidang proyeksi.
2. Buktikan teorema untuk kasus ketika kisi segitiga memiliki satu sisi sejajar dengan bidang proyeksi.
3. Buktikan teorema untuk kasus ketika kisi segitiga tidak memiliki sisi yang sejajar dengan bidang proyeksi.
4. Buktikan teorema untuk setiap poligon.
Penyelesaian masalah
1. Temukan luas proyeksi ortogonal poligon yang luasnya 50 cm2 dan sudut antara bidang poligon dan proyeksinya 60°.
2. Temukan luas poligon jika luas proyeksi ortogonal poligon ini adalah 50 cm2, dan sudut antara bidang poligon dan proyeksinya adalah 45°.
3. Luas poligon adalah 64 cm2, dan luas proyeksi ortogonal adalah 32 cm2. Temukan sudut antara bidang poligon dan proyeksinya.
4. Atau mungkin luas proyeksi ortogonal poligon sama dengan luas poligon ini?
5. rusuk kubus adalah a. Temukan luas penampang kubus dengan bidang yang melewati bagian atas alas dengan sudut 30° terhadap alas ini dan memotong semua sisi sisinya. (Menjawab. )
6. Soal No. 48 (1, 3) dari buku teks (hal. 58).
7. Soal No. 49 (2) dari buku teks (hal. 58).
8. Sisi persegi panjang adalah 20 dan 25 cm, proyeksinya ke bidang sama dengan itu. Temukan keliling proyeksi. (Jawab. 72 cm atau 90 cm.)
AKU AKU AKU. Pekerjaan rumah
4, nomor 34; pertanyaan pengaman Nomor 17; tugas No. 48 (2), 49 (1) (hal. 58).
IV. Menyimpulkan pelajaran
Pertanyaan untuk kelas
1) Merumuskan teorema pada area proyeksi ortogonal poligon.
2) Dapatkah luas proyeksi ortogonal poligon lebih besar dari luas poligon?
3) Sebuah bidang ditarik melalui sisi miring AB dari segitiga siku-siku ABC dengan sudut 45° terhadap bidang segitiga dan CO tegak lurus terhadap bidang . AC \u003d 3 cm, BC \u003d 4 cm Tunjukkan pernyataan berikut yang benar dan salah:
a) sudut antara bidang ABC dan sama dengan sudut CMO, dimana titik H adalah alas CM dari segitiga ABC;
b) SD = 2,4 cm;
c) segitiga AOC adalah proyeksi ortogonal segitiga ABC pada bidang ;
d) luas segitiga AOB adalah 3 cm2.
(Jawaban. a) Benar; b) salah; c) salah; d) benar.)
Dalam masalah geometri, keberhasilan tidak hanya bergantung pada pengetahuan teori, tetapi juga pada kualitas gambar.
Dengan gambar datar, semuanya kurang lebih jelas. Tetapi dalam stereometri, situasinya lebih rumit. Bagaimanapun, itu perlu untuk menggambarkan tiga dimensi tubuh aktif datar menggambar, dan sedemikian rupa sehingga Anda sendiri dan orang yang melihat gambar Anda akan melihat tubuh tiga dimensi yang sama.
Bagaimana cara melakukannya?
Tentu saja, gambar apa pun dari benda tiga dimensi di pesawat akan bersyarat. Namun, ada seperangkat aturan tertentu. Ada cara yang diterima secara umum untuk membuat cetak biru proyeksi paralel.
Mari kita ambil tubuh yang kokoh.
Ayo pilih bidang proyeksi.
Melalui setiap titik tubuh volumetrik kita menggambar garis lurus, sejajar satu sama lain dan memotong bidang proyeksi di beberapa sudut. Masing-masing garis ini memotong bidang proyeksi di beberapa titik. Bersama-sama, titik-titik ini terbentuk proyeksi benda volumetrik pada bidang, yaitu gambar datarnya.
Bagaimana cara membuat proyeksi benda volumetrik?
Bayangkan Anda memiliki bingkai tubuh tiga dimensi - prisma, piramida, atau silinder. Meneranginya dengan sinar cahaya paralel, kami mendapatkan gambar - bayangan di dinding atau di layar. Perhatikan bahwa gambar yang berbeda diperoleh dari sudut yang berbeda, tetapi beberapa pola masih ada:
Proyeksi segmen akan menjadi segmen.
Tentu saja, jika segmen tegak lurus dengan bidang proyeksi, itu akan ditampilkan pada satu titik.
Dalam kasus umum, proyeksi lingkaran akan menjadi elips.
Proyeksi persegi panjang adalah jajar genjang.
Berikut adalah bagaimana proyeksi kubus ke pesawat terlihat seperti:
Di sini muka depan dan belakang sejajar dengan bidang proyeksi
Anda dapat melakukannya secara berbeda:
Apapun sudut yang kita pilih, proyeksi segmen paralel dalam gambar juga akan segmen paralel. Ini adalah salah satu prinsip proyeksi paralel.
Kami menggambar proyeksi piramida,
silinder:
Sekali lagi, kami mengulangi prinsip dasar proyeksi paralel. Kami memilih bidang proyeksi dan menggambar garis lurus sejajar satu sama lain melalui setiap titik tubuh volumetrik. Garis-garis ini memotong bidang proyeksi di beberapa sudut. Jika sudut ini adalah 90°, maka proyeksi persegi panjang. Dengan bantuan proyeksi persegi panjang, gambar bagian tiga dimensi dalam teknik dibangun. Dalam hal ini, kita berbicara tentang tampilan atas, tampilan depan, dan tampilan samping.
Bukti rinci dari teorema proyeksi ortogonal poligon
Jika - proyeksi datar n -gon ke pesawat, maka, di mana adalah sudut antara bidang poligon dan. Dengan kata lain, luas proyeksi poligon datar sama dengan produk luas poligon yang diproyeksikan dan kosinus sudut antara bidang proyeksi dan bidang poligon yang diproyeksikan.
Bukti. Saya panggung. Mari kita lakukan pembuktian terlebih dahulu untuk segitiga tersebut. Mari kita pertimbangkan 5 kasus.
1 kasus. terletak pada bidang proyeksi .
Membiarkan menjadi proyeksi poin ke pesawat, masing-masing. Dalam kasus kami. Mari kita asumsikan itu. Biarkan - tinggi, maka dengan teorema tiga tegak lurus, kita dapat menyimpulkan bahwa - tinggi (- proyeksi miring, - alasnya dan garis lurus melewati alas miring, apalagi).
Mempertimbangkan. Ini adalah persegi panjang. Menurut definisi kosinus:
Di sisi lain, karena dan, maka, menurut definisi, adalah sudut linier dari sudut dihedral yang dibentuk oleh setengah bidang bidang dan dengan garis batas, dan, oleh karena itu, ukurannya juga merupakan ukuran sudut antara bidang proyeksi segitiga dan segitiga itu sendiri, yaitu.
Tentukan perbandingan luasnya dengan:
Perhatikan bahwa rumus tetap benar bahkan ketika . Pada kasus ini
kasus ke-2. Hanya terletak pada bidang proyeksi dan sejajar dengan bidang proyeksi .
Membiarkan menjadi proyeksi poin ke pesawat, masing-masing. Dalam kasus kami.
Mari kita menggambar garis lurus melalui titik. Dalam kasus kami, garis lurus memotong bidang proyeksi, yang berarti, dengan lemma, garis lurus juga memotong bidang proyeksi. Biarkan berada di satu titik Karena, maka titik-titik terletak pada bidang yang sama, dan karena sejajar dengan bidang proyeksi, maka mengikuti dari tanda paralelisme garis lurus dan bidang itu. Oleh karena itu, adalah jajar genjang. Pertimbangkan dan. Mereka sama di tiga sisi (- umum, seperti sisi yang berlawanan dari jajaran genjang). Perhatikan bahwa segi empat adalah persegi panjang dan sama (sepanjang kaki dan sisi miring), oleh karena itu, sama di tiga sisi. Itu sebabnya.
Untuk 1 kasus berlaku:, yaitu..
kasus ke-3. Hanya terletak pada bidang proyeksi dan tidak sejajar bidang proyeksi .
Biarkan titik tersebut menjadi titik perpotongan garis dengan bidang proyeksi. Mari kita perhatikan bahwa saya. Pada 1 kesempatan: i. Jadi kita mendapatkan itu
4 kasus. Simpul tidak terletak pada bidang proyeksi . Pertimbangkan tegak lurus. Ambil yang terkecil di antara tegak lurus ini. Biar tegak lurus. Mungkin ternyata itu hanya, atau hanya. Kemudian kita masih mengambilnya.
Mari kita sisihkan titik dari titik pada segmen, sehingga dan dari titik pada segmen, titik, sehingga. Konstruksi seperti itu dimungkinkan, karena - tegak lurus terkecil. Perhatikan bahwa ini adalah proyeksi dan, berdasarkan konstruksi. Mari kita buktikan bahwa dan sama.
Mari kita pertimbangkan segi empat. Dengan syarat - tegak lurus terhadap satu bidang, oleh karena itu, menurut teorema, oleh karena itu. Karena dengan konstruksi, maka, atas dasar jajar genjang (pada sisi yang sejajar dan berhadapan sama besar), kita dapat menyimpulkan bahwa - jajar genjang. Cara, . Hal ini dibuktikan dengan cara yang sama, . Oleh karena itu, dan sama pada tiga sisi. Jadi. Perhatikan bahwa dan, sebagai sisi yang berlawanan dari jajaran genjang, oleh karena itu, berdasarkan paralelisme bidang, . Karena bidang-bidang ini sejajar, mereka membentuk sudut yang sama dengan bidang proyeksi.
Untuk kasus sebelumnya berlaku:
5 kasus. Bidang proyeksi memotong sisi . Mari kita lihat garis lurus. Mereka tegak lurus terhadap bidang proyeksi, jadi menurut teorema mereka sejajar. Pada sinar co-directed dengan asal-usul di titik, kami menyisihkan segmen yang sama, masing-masing, sehingga simpul terletak di luar bidang proyeksi. Perhatikan bahwa ini adalah proyeksi dan, berdasarkan konstruksi. Mari kita tunjukkan bahwa itu setara.
Sejak dan, dengan konstruksi, maka. Oleh karena itu, berdasarkan jajaran genjang (pada dua sisi yang sama dan sejajar), - jajaran genjang. Hal ini dapat dibuktikan dengan cara yang sama bahwa dan adalah jajaran genjang. Tapi kemudian, dan (sebagai sisi yang berlawanan), oleh karena itu, adalah sama di tiga sisi. Cara, .
Selain itu, dan, oleh karena itu, atas dasar paralelisme bidang. Karena bidang-bidang ini sejajar, mereka membentuk sudut yang sama dengan bidang proyeksi.
Untuk kasus yang berlaku 4:.
II panggung. Mari kita bagi poligon datar menjadi segitiga menggunakan diagonal yang ditarik dari titik sudut: Kemudian, sesuai dengan kasus sebelumnya untuk segitiga: .
Q.E.D.
Bab IV. Garis dan bidang dalam ruang. Polihedra
55. Area proyeksi poligon.
Ingatlah bahwa sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis tertentu dan proyeksinya ke bidang (Gbr. 164).
Dalil. Luas proyeksi ortogonal poligon ke bidang sama dengan luas poligon yang diproyeksikan dikalikan dengan kosinus sudut yang dibentuk oleh bidang poligon dan bidang proyeksi.
Setiap poligon dapat dibagi menjadi segitiga, yang jumlah luasnya sama dengan luas poligon. Oleh karena itu, cukup untuk membuktikan teorema segitiga.
Biarlah /\
ABC diproyeksikan ke pesawat R. Pertimbangkan dua kasus:
a) salah satu pihak /\
ABC sejajar dengan bidang R;
b) tidak ada pihak /\
ABC tidak sejajar R.
Mempertimbangkan kasus pertama: biarkan [AB] || R.
Gambarlah melalui bidang (AB) R 1 || R dan proyeksikan secara ortogonal /\
ABC aktif R 1 dan seterusnya R(Gbr. 165); kita mendapatkan /\
ABC 1 dan /\
A"B"S".
Dengan properti proyeksi, kita memiliki /\
ABC1 /\
A"B"C", dan karena itu
S /\ ABC1=S /\ A"B"C
Mari menggambar _|_ dan segmen D 1 C 1 . Maka _|_ , a = adalah sudut antara bidang /\ ABC dan pesawat R satu . Jadi
S /\ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos = S /\ ABC cos
dan karenanya S /\ A"B"C" = S /\ ABC karena .
Mari beralih ke pertimbangan kasus kedua. Menggambar pesawat R 1 || R di atas puncak itu /\
ABC, jarak dari mana ke pesawat R terkecil (biarkan menjadi simpul A).
Kami akan mendesain /\
ABC di pesawat R 1 dan R(Gbr. 166); biarkan proyeksinya masing-masing /\
AB 1 C 1 dan /\
A"B"S".
Biarkan (matahari) p 1 = D. Maka
S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos = S /\ ABC cos
Tugas. Sebuah bidang ditarik melalui sisi alas prisma segitiga beraturan dengan sudut = 30° terhadap bidang alasnya. Cari luas bagian yang dihasilkan jika sisi alas prisma sebuah= 6cm
Mari kita gambarkan bagian prisma ini (Gbr. 167). Karena prisma beraturan, sisi-sisinya tegak lurus terhadap bidang alasnya. Cara, /\ ABC adalah proyeksi /\ ADC, jadi
Pertimbangkan pesawat p dan garis yang memotongnya . Biarlah TETAPI adalah titik sembarang dalam ruang. Tarik garis melalui titik ini , sejajar dengan garis . Biarlah . Dot disebut proyeksi titik TETAPI ke pesawat p dalam desain paralel sepanjang garis tertentu . Pesawat terbang p , di mana titik-titik ruang diproyeksikan disebut bidang proyeksi.
p - bidang proyeksi;
- desain langsung; ;
; ; ;
Desain ortogonal adalah kasus khusus dari desain paralel. Proyeksi ortogonal adalah proyeksi sejajar yang garis proyeksinya tegak lurus terhadap bidang proyeksi. Proyeksi ortogonal banyak digunakan dalam gambar teknik, di mana sebuah gambar diproyeksikan ke tiga bidang - horizontal dan dua vertikal.
Definisi:
Proyeksi ortografis suatu titik M ke pesawat p disebut basis M 1 tegak lurus MM 1, diturunkan dari titik M ke pesawat p.
Penamaan: , 
, .
Definisi: Proyeksi ortografis dari gambar F ke pesawat p adalah himpunan semua titik pada bidang yang merupakan proyeksi ortogonal dari himpunan titik-titik pada gambar F ke pesawat p.
Desain ortogonal, sebagai kasus khusus desain paralel, memiliki sifat yang sama:
p - bidang proyeksi;
- desain langsung; ;
1) ;
2) , .
- Proyeksi garis sejajar adalah sejajar.
LUAS PROYEKSI GAMBAR DATAR
Dalil: Luas proyeksi poligon datar pada bidang tertentu sama dengan luas proyeksi poligon dikalikan kosinus sudut antara bidang poligon dan bidang proyeksi.
Tahap 1: Gambar proyeksi adalah segitiga ABC, sisi AC terletak pada bidang proyeksi a (sejajar dengan bidang proyeksi a).
Diberikan:
Membuktikan:
Bukti:
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. Menurut teorema tiga tegak lurus;
D - tinggi; Dalam 1 D - tinggi;
5. - sudut linier dari sudut dihedral;
6. ; ; ; 
;
Tahap 2: Gambar proyeksi adalah segitiga ABC, tidak ada sisi yang terletak pada bidang proyeksi a dan tidak sejajar dengannya.
Diberikan:
Membuktikan:
Bukti:
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(Tahap 1);
5. ; ; ;
(Tahap 1);
Tahap: Sosok yang dirancang adalah poligon arbitrer.
Bukti:
Poligon dibagi dengan diagonal-diagonal yang ditarik dari satu titik ke dalam sejumlah segitiga berhingga, yang masing-masing teoremanya benar. Oleh karena itu, teorema ini juga berlaku untuk jumlah luas semua segitiga yang bidang-bidangnya membentuk sudut yang sama dengan bidang proyeksi.
Komentar: Teorema yang dibuktikan berlaku untuk sembarang bangun datar yang dibatasi oleh kurva tertutup.
Latihan:
1. Temukan luas segitiga yang bidangnya miring terhadap bidang proyeksi membentuk sudut jika proyeksinya adalah segitiga beraturan dengan sisi a.
2. Hitunglah luas segitiga yang bidangnya miring terhadap bidang proyeksi membentuk sudut jika proyeksinya adalah segitiga sama kaki dengan sisi 10 cm dan alas 12 cm.
3. Tentukan luas segitiga yang bidangnya miring terhadap bidang proyeksi membentuk sudut jika proyeksinya adalah segitiga dengan sisi 9, 10 dan 17 cm.
4. Hitung luas trapesium yang bidangnya miring terhadap bidang proyeksi dengan sudut jika proyeksinya adalah trapesium sama kaki, alasnya lebih besar 44 cm, sisinya 17 cm dan diagonalnya adalah 39 cm.
5. Hitung luas proyeksi segi enam beraturan dengan sisi 8 cm, yang bidangnya miring ke bidang proyeksi membentuk sudut.
6. Sebuah belah ketupat dengan sisi 12 cm dan sudut lancip membentuk sudut dengan bidang tertentu. Hitung luas proyeksi belah ketupat pada bidang ini.
7. Sebuah belah ketupat dengan sisi 20 cm dan diagonal 32 cm membentuk sudut dengan bidang tertentu. Hitung luas proyeksi belah ketupat pada bidang ini.
8. Tonjolan kanopi pada bidang mendatar adalah persegi panjang dengan sisi dan . Hitunglah luas kanopi jika sisi-sisinya berbentuk persegi panjang yang miring terhadap bidang horizontal membentuk sudut , dan bagian tengah kanopi adalah bujur sangkar yang sejajar dengan bidang proyeksi.
11. Latihan tentang topik "Garis dan bidang di luar angkasa":
Sisi-sisi segitiga adalah 20 cm, 65 cm, 75 cm. Sebuah tegak lurus yang sama dengan 60 cm ditarik dari sudut sudut yang lebih besar dari segitiga ke bidangnya. Hitung jarak dari ujung-ujung tegak lurus ke sisi yang lebih besar dari segitiga.
2. Dari sebuah titik yang terpisah dari bidang pada jarak cm, dua titik miring ditarik, membentuk sudut dengan bidang sama dengan , dan di antara mereka - sudut siku-siku. Hitunglah jarak antara titik potong bidang miring tersebut.
3. Sisi segitiga beraturan adalah 12 cm. Titik M dipilih sehingga ruas-ruas yang menghubungkan titik M dengan semua titik sudut segitiga membentuk sudut dengan bidangnya. Tentukan jarak dari titik M ke titik sudut dan sisi segitiga.
4. Sebuah bidang ditarik melalui sisi bujur sangkar dengan sudut terhadap diagonal bujur sangkar. Temukan sudut di mana dua sisi persegi condong ke bidang.
5. Kaki segitiga siku-siku sama kaki miring terhadap bidang a yang melalui sisi miring membentuk sudut. Buktikan bahwa sudut antara bidang a dan bidang segitiga adalah .
6. Besar sudut dihedral antara bidang segitiga ABC dan DBC adalah . Tentukan AD jika AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.
Kontrol pertanyaan tentang topik "Garis dan bidang di luar angkasa"
1. Sebutkan konsep dasar stereometri. Merumuskan aksioma stereometri.
2. Buktikan konsekuensi dari aksioma.
3. Bagaimana posisi relatif dua garis dalam ruang? Definisi garis berpotongan, sejajar, berpotongan.
4. Buktikan kriteria garis berpotongan.
5. Bagaimana posisi relatif garis dan bidang? Jelaskan pengertian garis sejajar, berpotongan, dan bidang!
6. Buktikan tanda paralelisme garis lurus dan bidang.
7. Bagaimana posisi relatif kedua bidang tersebut?
8. Menentukan bidang-bidang sejajar. Buktikan kriteria untuk paralelisme dua bidang. Merumuskan teorema tentang bidang sejajar.
9. Tentukan sudut antar garis.
10. Buktikan tanda tegak lurus garis dan bidang.
11. Berikan definisi alas tegak lurus, alas miring, tonjolan miring pada bidang. Rumuskan sifat-sifat tegak lurus dan miring, diturunkan ke bidang dari satu titik.
12. Tentukan sudut antara garis lurus dan bidang.
13. Buktikan teorema pada tiga tegak lurus.
14. Berikan definisi sudut dihedral, sudut linier dari sudut dihedral.
15. Buktikan tanda tegak lurus dua bidang.
16. Tentukan jarak antara dua titik yang berbeda.
17. Tentukan jarak dari titik ke garis.
18. Menentukan jarak dari suatu titik ke bidang.
19. Tentukan jarak antara garis lurus dan bidang yang sejajar dengannya.
20. Tentukan jarak antara bidang sejajar.
21. Tentukan jarak antara garis miring.
22. Menentukan proyeksi ortogonal suatu titik pada bidang.
23. Menentukan proyeksi ortogonal suatu bangun ke bidang.
24. Merumuskan sifat-sifat proyeksi pada suatu bidang.
25. Rumuskan dan buktikan teorema pada bidang proyeksi poligon datar.
