"Keacakan bukanlah kebetulan"... Kedengarannya seperti kata seorang filsuf, tetapi pada kenyataannya, studi tentang kecelakaan adalah bagian dari ilmu matematika yang hebat. Dalam matematika, peluang adalah teori probabilitas. Rumus dan contoh tugas, serta definisi utama dari ilmu ini akan disajikan dalam artikel.

Apa itu Teori Probabilitas?

Teori probabilitas adalah salah satu disiplin ilmu matematika yang mempelajari kejadian acak.

Untuk membuatnya sedikit lebih jelas, mari kita berikan contoh kecil: jika Anda melempar koin ke atas, itu bisa jatuh kepala atau ekor. Selama koin ada di udara, kedua kemungkinan ini dimungkinkan. Artinya, kemungkinan konsekuensi yang mungkin terjadi berkorelasi 1:1. Jika satu diambil dari setumpuk dengan 36 kartu, maka probabilitasnya akan ditunjukkan sebagai 1:36. Tampaknya tidak ada yang perlu dieksplorasi dan diprediksi, terutama dengan bantuan rumus matematika. Namun demikian, jika Anda mengulangi tindakan tertentu berkali-kali, maka Anda dapat mengidentifikasi pola tertentu dan, atas dasar itu, memprediksi hasil dari peristiwa dalam kondisi lain.

Untuk meringkas semua hal di atas, teori probabilitas dalam pengertian klasik mempelajari kemungkinan terjadinya salah satu peristiwa yang mungkin dalam arti numerik.

Dari halaman sejarah

Teori probabilitas, formula, dan contoh tugas pertama muncul di Abad Pertengahan yang jauh, ketika upaya untuk memprediksi hasil permainan kartu pertama kali muncul.

Awalnya, teori probabilitas tidak ada hubungannya dengan matematika. Itu dibenarkan oleh fakta empiris atau sifat dari suatu peristiwa yang dapat direproduksi dalam praktik. Karya pertama di bidang ini sebagai disiplin matematika muncul pada abad ke-17. Pendirinya adalah Blaise Pascal dan Pierre Fermat. Untuk waktu yang lama mereka mempelajari perjudian dan melihat pola-pola tertentu, yang mereka putuskan untuk diberitahukan kepada publik.

Teknik yang sama juga ditemukan oleh Christian Huygens, meskipun ia tidak mengetahui hasil penelitian Pascal dan Fermat. Konsep "teori probabilitas", formula dan contoh, yang dianggap pertama dalam sejarah disiplin, diperkenalkan olehnya.

Yang tidak kalah pentingnya adalah karya-karya Jacob Bernoulli, teorema Laplace dan Poisson. Mereka membuat teori probabilitas lebih seperti disiplin matematika. Teori probabilitas, rumus, dan contoh tugas dasar mendapatkan bentuknya yang sekarang berkat aksioma Kolmogorov. Sebagai hasil dari semua perubahan, teori probabilitas telah menjadi salah satu cabang matematika.

Konsep dasar teori probabilitas. Acara

Konsep utama dari disiplin ini adalah "peristiwa". Acara terdiri dari tiga jenis:

• Dapat diandalkan. Yang akan tetap terjadi (koin akan jatuh).
• Mustahil. Peristiwa yang tidak akan terjadi dalam skenario apa pun (koin akan tetap menggantung di udara).
• Acak. Mereka yang akan atau tidak akan terjadi. Mereka dapat dipengaruhi oleh berbagai faktor yang sangat sulit diprediksi. Jika kita berbicara tentang koin, maka faktor acak yang dapat mempengaruhi hasil: karakteristik fisik koin, bentuknya, posisi awalnya, kekuatan lemparan, dll.

Semua peristiwa dalam contoh dilambangkan dengan huruf Latin kapital, kecuali R, yang memiliki peran berbeda. Sebagai contoh:

• A = "siswa datang ke kuliah."
• = "mahasiswa tidak datang ke perkuliahan".

Dalam tugas-tugas praktis, peristiwa biasanya dicatat dalam kata-kata.

Salah satu karakteristik terpenting dari peristiwa adalah kemungkinan yang sama. Artinya, jika Anda melempar koin, semua opsi untuk kejatuhan asli dimungkinkan sampai koin itu jatuh. Tapi peristiwa juga tidak sama kemungkinannya. Ini terjadi ketika seseorang dengan sengaja mempengaruhi hasil. Misalnya, kartu remi atau dadu "bertanda", di mana pusat gravitasi digeser.

Acara juga kompatibel dan tidak kompatibel. Peristiwa yang kompatibel tidak mengecualikan terjadinya satu sama lain. Sebagai contoh:

• A = "Siswa datang ke kuliah."
• B = "mahasiswa datang ke kuliah."

Peristiwa-peristiwa ini tidak tergantung satu sama lain, dan penampilan salah satunya tidak mempengaruhi penampilan yang lain. Peristiwa yang tidak kompatibel didefinisikan oleh fakta bahwa terjadinya satu menghalangi terjadinya yang lain. Jika kita berbicara tentang koin yang sama, maka hilangnya "ekor" membuat tidak mungkin munculnya "kepala" dalam eksperimen yang sama.

Tindakan pada acara

Peristiwa dapat dikalikan dan ditambahkan, masing-masing, penghubung logis "DAN" dan "ATAU" diperkenalkan dalam disiplin.

Jumlahnya ditentukan oleh fakta bahwa salah satu peristiwa A, atau B, atau keduanya dapat terjadi pada waktu yang sama. Dalam kasus ketika mereka tidak kompatibel, opsi terakhir tidak mungkin, A atau B akan keluar.

Perkalian peristiwa terdiri dari kemunculan A dan B pada saat yang bersamaan.

Sekarang Anda dapat memberikan beberapa contoh untuk lebih mengingat dasar-dasar, teori probabilitas, dan rumus. Contoh penyelesaian masalah di bawah ini.

Latihan 1: Perusahaan menawar kontrak untuk tiga jenis pekerjaan. Kemungkinan kejadian yang mungkin terjadi:

• A = "perusahaan akan menerima kontrak pertama."
• A 1 = "perusahaan tidak akan menerima kontrak pertama."
• B = "perusahaan akan menerima kontrak kedua."
• B 1 = "perusahaan tidak akan menerima kontrak kedua"
• C = "perusahaan akan menerima kontrak ketiga."
• C 1 = "perusahaan tidak akan menerima kontrak ketiga."

Mari kita coba untuk mengungkapkan situasi berikut menggunakan tindakan pada peristiwa:

• K = "perusahaan akan menerima semua kontrak."

Dalam bentuk matematika, persamaan akan terlihat seperti ini: K = ABC.

• M = "perusahaan tidak akan menerima satu kontrak pun."

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Kami memperumit tugas: H = "perusahaan akan menerima satu kontrak." Karena tidak diketahui kontrak mana yang akan diterima perusahaan (yang pertama, kedua, atau ketiga), perlu untuk mencatat seluruh rangkaian kemungkinan peristiwa:

H \u003d A 1 BC 1 AB 1 C 1 A 1 B 1 C.

Dan 1 SM 1 adalah rangkaian peristiwa di mana perusahaan tidak menerima kontrak pertama dan ketiga, tetapi menerima kontrak kedua. Peristiwa lain yang mungkin juga dicatat dengan metode yang sesuai. Simbol dalam disiplin menunjukkan sekelompok "ATAU". Jika kita menerjemahkan contoh di atas ke dalam bahasa manusia, maka perusahaan akan menerima kontrak ketiga, atau yang kedua, atau yang pertama. Demikian pula, Anda dapat menulis kondisi lain dalam disiplin "Teori Probabilitas". Rumus dan contoh pemecahan masalah yang disajikan di atas akan membantu Anda melakukannya sendiri.

Sebenarnya, kemungkinannya

Mungkin, dalam disiplin matematika ini, probabilitas suatu peristiwa adalah konsep sentral. Ada 3 definisi probabilitas:

• klasik;
• statistik;
• geometris.

Masing-masing memiliki tempatnya dalam studi probabilitas. Teori probabilitas, rumus, dan contoh (Kelas 9) sebagian besar menggunakan definisi klasik, yang berbunyi seperti ini:

• Probabilitas situasi A sama dengan rasio jumlah hasil yang mendukung kemunculannya dengan jumlah semua hasil yang mungkin.

Rumusnya terlihat seperti ini: P (A) \u003d m / n.

Dan, sebenarnya, sebuah acara. Jika kebalikan dari A terjadi, dapat ditulis sebagai atau A 1 .

m adalah jumlah kemungkinan kasus yang menguntungkan.

n - semua peristiwa yang bisa terjadi.

Misalnya, A \u003d "mengeluarkan kartu hati". Ada 36 kartu di dek standar, 9 di antaranya adalah hati. Dengan demikian, rumus untuk menyelesaikan masalah akan terlihat seperti:

P(A)=9/36=0,25.

Akibatnya, peluang terambilnya kartu heart suit dari dek adalah 0,25.

ke matematika yang lebih tinggi

Sekarang sudah sedikit diketahui apa itu teori probabilitas, rumus dan contoh penyelesaian tugas yang terdapat dalam kurikulum sekolah. Namun, teori probabilitas juga ditemukan dalam matematika tingkat tinggi, yang diajarkan di universitas. Paling sering, mereka beroperasi dengan definisi geometris dan statistik dari teori dan rumus kompleks.

Teori probabilitas sangat menarik. Rumus dan contoh (matematika yang lebih tinggi) lebih baik untuk mulai belajar dari yang kecil - dari definisi probabilitas statistik (atau frekuensi).

Pendekatan statistik tidak bertentangan dengan pendekatan klasik, tetapi sedikit mengembangkannya. Jika dalam kasus pertama perlu untuk menentukan dengan tingkat probabilitas apa suatu peristiwa akan terjadi, maka dalam metode ini perlu untuk menunjukkan seberapa sering itu akan terjadi. Di sini kami memperkenalkan konsep baru "frekuensi relatif", yang dapat dilambangkan dengan W n (A). Rumusnya tidak berbeda dengan klasik:

Jika rumus klasik dihitung untuk peramalan, maka rumus statistik dihitung sesuai dengan hasil percobaan. Ambil, misalnya, tugas kecil.

Departemen kontrol teknologi memeriksa kualitas produk. Di antara 100 produk, 3 ditemukan berkualitas buruk. Bagaimana menemukan probabilitas frekuensi produk yang berkualitas?

A = "penampilan produk yang berkualitas".

W n (A)=97/100=0,97

Jadi, frekuensi suatu produk yang berkualitas adalah 0,97. Dari mana Anda mendapatkan 97? Dari 100 produk yang diperiksa, 3 ternyata berkualitas buruk. Kami kurangi 3 dari 100, kami mendapatkan 97, ini adalah kuantitas produk yang berkualitas.

Sedikit tentang kombinatorik

Metode lain dari teori probabilitas disebut kombinatorik. Prinsip dasarnya adalah jika pilihan A tertentu dapat dibuat dengan m cara yang berbeda, dan pilihan B dengan n cara yang berbeda, maka pilihan A dan B dapat dibuat dengan mengalikan.

Misalnya, ada 5 jalan dari kota A ke kota B. Ada 4 rute dari kota B ke kota C. Ada berapa cara untuk pergi dari kota A ke kota C?

Sederhana saja: 5x4 = 20, yaitu, ada dua puluh cara berbeda untuk pergi dari titik A ke titik C.

Mari kita membuat tugas lebih sulit. Ada berapa cara bermain kartu di solitaire? Dalam setumpuk 36 kartu, ini adalah titik awal. Untuk mengetahui jumlah cara, Anda perlu "mengurangi" satu kartu dari titik awal dan mengalikannya.

Artinya, 36x35x34x33x32…x2x1= hasilnya tidak muat di layar kalkulator, jadi cukup ditunjuk 36!. Tanda "!" di sebelah nomor menunjukkan bahwa seluruh rangkaian angka dikalikan di antara mereka sendiri.

Dalam kombinatorik, ada konsep seperti permutasi, penempatan dan kombinasi. Masing-masing memiliki formulanya sendiri.

Himpunan elemen himpunan yang berurutan disebut tata letak. Penempatan dapat berulang, artinya satu elemen dapat digunakan beberapa kali. Dan tanpa pengulangan, ketika elemen tidak diulang. n adalah semua elemen, m adalah elemen yang berpartisipasi dalam penempatan. Rumus untuk penempatan tanpa pengulangan akan terlihat seperti:

A n m =n!/(n-m)!

Hubungan dari n elemen yang hanya berbeda urutan penempatannya disebut permutasi. Dalam matematika, ini terlihat seperti: P n = n!

Kombinasi n elemen dengan m adalah senyawa yang penting untuk elemen mana mereka dan berapa jumlah totalnya. Rumusnya akan terlihat seperti:

A n m =n!/m!(n-m)!

rumus Bernoulli

Dalam teori probabilitas, serta di setiap disiplin ilmu, ada karya-karya peneliti terkemuka di bidangnya yang telah membawanya ke tingkat yang baru. Salah satu karya ini adalah rumus Bernoulli, yang memungkinkan Anda untuk menentukan probabilitas suatu peristiwa tertentu yang terjadi di bawah kondisi independen. Hal ini menunjukkan bahwa kemunculan A dalam eksperimen tidak bergantung pada kemunculan atau tidak terjadinya peristiwa yang sama pada pengujian sebelumnya atau selanjutnya.

Persamaan Bernoulli:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .

Probabilitas (p) terjadinya peristiwa (A) tidak berubah untuk setiap percobaan. Probabilitas bahwa situasi akan terjadi tepat m kali dalam n jumlah percobaan akan dihitung dengan rumus yang disajikan di atas. Dengan demikian, muncul pertanyaan tentang bagaimana cara mengetahui bilangan q.

Jika peristiwa A terjadi p beberapa kali, maka peristiwa itu mungkin tidak terjadi. Satuan adalah angka yang digunakan untuk menunjukkan semua hasil dari suatu situasi dalam suatu disiplin. Oleh karena itu, q adalah bilangan yang menunjukkan kemungkinan tidak terjadinya suatu peristiwa.

Sekarang Anda tahu rumus Bernoulli (teori probabilitas). Contoh pemecahan masalah (tingkat pertama) akan dibahas di bawah ini.

Tugas 2: Seorang pengunjung toko akan melakukan pembelian dengan probabilitas 0,2. 6 pengunjung memasuki toko secara mandiri. Berapa probabilitas bahwa pengunjung akan melakukan pembelian?

Solusi: Karena tidak diketahui berapa banyak pengunjung yang harus melakukan pembelian, satu atau enam, maka perlu untuk menghitung semua kemungkinan yang mungkin dengan menggunakan rumus Bernoulli.

A = "Pengunjung akan melakukan pembelian."

Dalam hal ini: p = 0,2 (seperti yang ditunjukkan dalam tugas). Dengan demikian, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (karena ada 6 pelanggan di toko). Angka m akan berubah dari 0 (tidak ada pelanggan yang melakukan pembelian) menjadi 6 (semua pengunjung toko akan membeli sesuatu). Sebagai hasilnya, kami mendapatkan solusinya:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0.8) 6 \u003d 0.2621.

Tak satu pun dari pembeli akan melakukan pembelian dengan probabilitas 0,2621.

Bagaimana lagi rumus Bernoulli (teori probabilitas) digunakan? Contoh pemecahan masalah (tingkat kedua) di bawah ini.

Setelah contoh di atas, muncul pertanyaan tentang ke mana perginya C dan p. Sehubungan dengan p, angka pangkat 0 akan sama dengan satu. Adapun C, dapat ditemukan dengan rumus:

C n m = n! /m!(n-m)!

Karena pada contoh pertama m = 0, masing-masing, C=1, yang pada prinsipnya tidak mempengaruhi hasil. Dengan menggunakan rumus baru, mari kita coba mencari tahu berapa peluang pembelian barang oleh dua pengunjung.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teori probabilitas tidak begitu rumit. Rumus Bernoulli, contoh yang disajikan di atas, adalah bukti langsung dari ini.

Rumus Poisson

Persamaan Poisson digunakan untuk menghitung situasi acak yang tidak mungkin terjadi.

Rumus dasar:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

Dalam hal ini, = n x p. Berikut adalah rumus Poisson sederhana (teori probabilitas). Contoh pemecahan masalah akan dibahas di bawah ini.

Tugas 3 A: Pabrik memproduksi 100.000 bagian. Munculnya bagian yang rusak = 0,0001. Berapa probabilitas bahwa akan ada 5 bagian yang rusak dalam satu batch?

Seperti yang Anda lihat, pernikahan adalah peristiwa yang tidak mungkin, dan oleh karena itu rumus Poisson (teori probabilitas) digunakan untuk perhitungan. Contoh pemecahan masalah semacam ini tidak berbeda dengan tugas-tugas disiplin lainnya, kami mengganti data yang diperlukan ke dalam rumus di atas:

A = "bagian yang dipilih secara acak akan rusak."

p = 0,0001 (sesuai dengan kondisi penugasan).

n = 100000 (jumlah bagian).

m = 5 (bagian yang rusak). Kami mengganti data dalam rumus dan mendapatkan:

R 100000 (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0,0375.

Sama seperti rumus Bernoulli (teori probabilitas), contoh penggunaan solusi yang tertulis di atas, persamaan Poisson memiliki e yang tidak diketahui, pada intinya dapat ditemukan dengan rumus:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Namun, ada tabel khusus yang berisi hampir semua nilai e.

Teorema De Moivre-Laplace

Jika dalam skema Bernoulli jumlah percobaan cukup besar, dan peluang terjadinya kejadian A pada semua skema adalah sama, maka peluang terjadinya kejadian A beberapa kali dalam serangkaian percobaan dapat dicari dengan rumus Laplace:

n (m)= 1/√npq x (X m).

Xm = m-np/√npq.

Untuk lebih mengingat rumus Laplace (teori probabilitas), contoh tugas untuk membantu di bawah ini.

Pertama kami menemukan X m , kami mengganti data (semuanya ditunjukkan di atas) ke dalam rumus dan mendapatkan 0,025. Dengan menggunakan tabel, kami menemukan angka (0,025), yang nilainya adalah 0,3988. Sekarang Anda dapat mengganti semua data dalam rumus:

P 800 (267) \u003d 1 / (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Jadi peluang tertembak tepat 267 kali adalah 0,03.

rumus Bayes

Rumus Bayes (teori probabilitas), contoh penggunaan tugas pemecahan yang akan diberikan di bawah ini, adalah persamaan yang menggambarkan probabilitas suatu peristiwa berdasarkan keadaan yang dapat dikaitkan dengannya. Rumus utamanya adalah sebagai berikut:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A dan B adalah kejadian pasti.

P(A|B) - probabilitas bersyarat, yaitu, peristiwa A dapat terjadi, asalkan peristiwa B benar.

(В|А) - probabilitas bersyarat dari kejadian .

Jadi, bagian terakhir dari kursus singkat "Teori Probabilitas" adalah rumus Bayes, contoh penyelesaian masalah di bawah ini.

Tugas 5: Telepon dari tiga perusahaan dibawa ke gudang. Pada saat yang sama, bagian dari ponsel yang diproduksi di pabrik pertama adalah 25%, di pabrik kedua - 60%, di pabrik ketiga - 15%. Diketahui juga bahwa persentase rata-rata produk cacat pada pabrik pertama adalah 2%, pada pabrik kedua - 4%, dan pada pabrik ketiga - 1%. Penting untuk menemukan probabilitas bahwa telepon yang dipilih secara acak akan rusak.

A = "telepon yang diambil secara acak."

B 1 - telepon yang dibuat oleh pabrik pertama. Dengan demikian, pengantar B 2 dan B 3 akan muncul (untuk pabrik kedua dan ketiga).

Hasilnya, kita mendapatkan:

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - jadi kami menemukan probabilitas setiap opsi.

Sekarang Anda perlu menemukan probabilitas bersyarat dari peristiwa yang diinginkan, yaitu probabilitas produk cacat di perusahaan:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (A / B 2) \u003d 0,04;

P (A / B 3) \u003d 0,01.

Sekarang kami mengganti data ke dalam rumus Bayes dan mendapatkan:

P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

Artikel ini menyajikan teori probabilitas, rumus, dan contoh pemecahan masalah, tetapi ini hanyalah puncak gunung es dari disiplin ilmu yang luas. Dan setelah semua yang telah ditulis, akan logis untuk mengajukan pertanyaan apakah teori probabilitas diperlukan dalam kehidupan. Sulit bagi orang yang sederhana untuk menjawab, lebih baik bertanya kepada seseorang yang telah mendapatkan jackpot lebih dari sekali dengan bantuannya.

Teori probabilitas adalah ilmu matematika yang memungkinkan, dengan probabilitas beberapa kejadian acak, untuk menemukan probabilitas kejadian acak lain yang terkait dalam beberapa cara dengan yang pertama.

Pernyataan bahwa suatu peristiwa terjadi dengan kemungkinan, sama, misalnya, , belum mewakili nilai akhir itu sendiri, karena kami berjuang untuk pengetahuan yang andal. Nilai kognitif akhir adalah hasil dari teori probabilitas, yang memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa probabilitas terjadinya setiap peristiwa A sangat dekat dengan kesatuan atau (yang sama) kemungkinan tidak terjadinya peristiwa A sangat kecil . Sesuai dengan prinsip "mengabaikan probabilitas yang cukup kecil", peristiwa semacam itu secara praktis dianggap pasti. Di bawah ini (pada bagian Teorema Batas) ditunjukkan bahwa kesimpulan semacam ini yang menarik secara ilmiah dan praktis biasanya didasarkan pada asumsi bahwa terjadinya atau tidak terjadinya peristiwa A tergantung pada sejumlah besar faktor acak yang kecil. berhubungan satu sama lain. Oleh karena itu, kita juga dapat mengatakan bahwa teori probabilitas adalah ilmu matematika yang menjelaskan pola-pola yang muncul ketika sejumlah besar faktor acak berinteraksi.

Pokok bahasan teori probabilitas.

Untuk menggambarkan hubungan reguler antara kondisi tertentu S dan peristiwa A, kejadian atau tidak terjadinya yang dalam kondisi tertentu dapat ditetapkan secara tepat, ilmu alam biasanya menggunakan salah satu dari dua skema berikut:

a) dengan setiap penerapan kondisi S, peristiwa A terjadi. Misalnya, semua hukum mekanika klasik memiliki bentuk ini, yang menyatakan bahwa pada kondisi dan gaya awal tertentu yang bekerja pada suatu benda atau sistem benda, gerakan akan terjadi dengan cara yang didefinisikan secara unik.

b) Pada kondisi S, kejadian A mempunyai peluang tertentu P(A/S) sama dengan p. Jadi, misalnya, hukum radiasi radioaktif menyatakan bahwa untuk setiap zat radioaktif ada kemungkinan tertentu bahwa sejumlah N atom akan meluruh dari sejumlah zat tertentu dalam periode waktu tertentu.

Mari kita sebut frekuensi kejadian A dalam serangkaian n percobaan tertentu (yaitu, dari n implementasi berulang dari kondisi S) rasio h = m/n dari jumlah m percobaan di mana A terjadi dengan jumlah total n . Fakta bahwa kejadian A dalam kondisi S memiliki probabilitas tertentu yang sama dengan p dimanifestasikan dalam kenyataan bahwa di hampir setiap rangkaian percobaan yang cukup panjang, frekuensi kejadian A kira-kira sama dengan p.

Keteraturan statistik, yaitu keteraturan yang dijelaskan oleh skema tipe (b), pertama kali ditemukan dalam permainan judi seperti dadu. Pola statistik kelahiran dan kematian juga telah diketahui sejak lama (misalnya, kemungkinan bayi baru lahir adalah laki-laki adalah 0,515). Akhir abad ke-19 dan paruh pertama abad ke-20. ditandai dengan penemuan sejumlah besar keteraturan statistik dalam fisika, kimia, biologi, dll.

Kemungkinan penerapan metode teori probabilitas untuk mempelajari keteraturan statistik yang terkait dengan bidang ilmu yang sangat jauh didasarkan pada fakta bahwa probabilitas peristiwa selalu memenuhi beberapa hubungan sederhana, yang akan dibahas di bawah ini (lihat bagian Konsep Dasar Probabilitas Teori). Studi tentang sifat-sifat probabilitas peristiwa berdasarkan hubungan sederhana ini adalah subjek teori probabilitas.

Konsep dasar teori probabilitas.

Konsep dasar teori probabilitas sebagai disiplin matematika didefinisikan paling sederhana dalam kerangka apa yang disebut teori probabilitas elementer. Setiap percobaan T, dipertimbangkan dalam teori probabilitas dasar, sedemikian rupa sehingga berakhir dengan satu dan hanya satu dari kejadian E1, E2, ..., ES (satu atau yang lain, tergantung pada kasusnya). Peristiwa ini disebut hasil percobaan. Setiap hasil Ek dikaitkan dengan angka positif pk - probabilitas hasil ini. Angka pk harus berjumlah satu. Kemudian peristiwa A dipertimbangkan, yang terdiri dari fakta bahwa "Ei, atau Ej, ..., atau Ek terjadi." Hasil Ei, Ej,..., Ek disebut A menguntungkan, dan menurut definisi, probabilitas P (A) dari kejadian A diasumsikan sama dengan jumlah probabilitas hasil yang menguntungkan:

P(A) = pi + ps + … + pk. (satu)

Kasus khusus p1 = p2 =... ps = 1/S mengarah ke rumus

P(A) = r/s. (2)

Rumus (2) mengungkapkan apa yang disebut definisi klasik tentang probabilitas, yang menyatakan bahwa probabilitas dari setiap kejadian A sama dengan rasio jumlah r hasil yang mendukung A dengan jumlah s dari semua hasil yang "sama mungkin". Definisi klasik tentang probabilitas hanya mereduksi gagasan "probabilitas" menjadi gagasan "keseimbangan", yang tetap tanpa definisi yang jelas.

Contoh. Saat melempar dua dadu, masing-masing dari 36 kemungkinan hasil dapat ditentukan (i, j), di mana i adalah jumlah poin yang jatuh pada dadu pertama, j - pada dadu kedua. Hasil diasumsikan memiliki kemungkinan yang sama. Peristiwa A - "jumlah poin adalah 4", disukai oleh tiga hasil (1; 3), (2; 2), (3; 1). Oleh karena itu, P(A) = 3/36 = 1/12.

Berdasarkan data peristiwa apa pun, dua peristiwa baru dapat didefinisikan: penyatuan (jumlah) dan kombinasinya (produk). Suatu peristiwa B disebut gabungan peristiwa A1, A2,..., Ar,-, jika berbentuk: "terjadi baik A1, atau A2,..., atau Ar".

Suatu kejadian C disebut kombinasi kejadian A1, A.2,..., Ar, jika berbentuk : "A1, A2,..., dan Ar terjadi". Kombinasi peristiwa dilambangkan dengan tanda , dan kombinasi - dengan tanda . Jadi, mereka menulis:

B = A1 A2 … Ar, C = A1 A2 … Ar.

Peristiwa A dan B disebut tidak kompatibel jika implementasi simultannya tidak mungkin, yaitu, jika tidak ada satu pun hasil yang menguntungkan dari pengujian untuk A dan B.

Dua teorema utama V.t., teorema penjumlahan dan perkalian peluang, dihubungkan dengan operasi penggabungan dan superimposisi peristiwa yang diperkenalkan.

Teorema penjumlahan peluang. Jika kejadian A1, A2,..., Ar sedemikian rupa sehingga setiap dua dari mereka tidak cocok, maka peluang penyatuannya sama dengan jumlah peluangnya.

Jadi, dalam contoh di atas dengan melempar dua dadu, peristiwa B - "jumlah poin tidak melebihi 4", adalah gabungan dari tiga peristiwa yang tidak kompatibel A2, A3, A4, yang terdiri dari fakta bahwa jumlah poin adalah 2 , 3, 4. Peluang kejadian ini 1/36; 2/36; 3/36. Dengan teorema penjumlahan, peluang P(B) sama dengan

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

Probabilitas bersyarat dari suatu peristiwa B dalam kondisi A ditentukan oleh rumus:

yang, seperti dapat ditunjukkan, sepenuhnya sesuai dengan sifat-sifat frekuensi. Peristiwa A1, A2,..., Ar disebut bebas jika peluang bersyarat dari masing-masingnya, asalkan yang lain telah terjadi, sama dengan peluang "tanpa syarat"-nya

Teorema perkalian peluang. Peluang terjadinya kejadian A1, A2,..., Ar sama dengan peluang kejadian A1, dikalikan dengan peluang kejadian A2, dengan syarat A1 telah terjadi,..., dikalikan peluang kejadian Ar, asalkan A1, A2,... ., Ar-1 telah tiba. Untuk peristiwa independen, teorema perkalian mengarah ke rumus:

P (A1 A2 … Ar) = P (A1) P (A2) … P (Ar), (3)

yaitu, probabilitas menggabungkan peristiwa independen sama dengan produk dari probabilitas peristiwa ini. Rumus (3) tetap berlaku jika beberapa kejadian di kedua bagiannya diganti dengan yang berlawanan.

Contoh. Menembakkan 4 tembakan ke target dengan probabilitas hit 0,2 pada satu tembakan. Pukulan target untuk bidikan yang berbeda dianggap sebagai peristiwa independen. Berapa peluang mengenai sasaran tepat tiga kali?

Setiap hasil tes dapat ditunjukkan dengan urutan empat huruf [misalnya, (y, n, n, y) berarti tembakan pertama dan keempat berhasil (berhasil), dan pukulan kedua dan ketiga tidak (gagal)]. Secara total akan ada 2Ї2Ї2Ї2 = 16 hasil. Sesuai dengan asumsi independensi hasil tembakan individu, rumus (3) dan catatan untuk itu harus digunakan untuk menentukan probabilitas hasil ini. Jadi, probabilitas hasil (y, n. n, n) harus ditetapkan sama dengan 0,2 0,8 0,8 0,8 = 0,1024; di sini 0.8 \u003d 1-0.2 - kemungkinan gagal dengan satu tembakan. Acara "target dipukul tiga kali" disukai oleh hasil (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y). (n, y, y, y), probabilitas masing-masing adalah sama:

0.2Ї0.2Ї0.2Ї0.8 \u003d ...... \u003d 0.8 0.2 0.2 0.2 \u003d 0.0064;

oleh karena itu, probabilitas yang diinginkan sama dengan

4Ї0,0064 = 0,0256.

Menggeneralisasikan penalaran dari contoh yang dianalisis, kita dapat memperoleh salah satu rumus dasar teori probabilitas: jika peristiwa A1, A2,..., An saling bebas dan masing-masing memiliki probabilitas p, maka peluang terjadinya tepat m dari mereka adalah sama dengan

Pn (m) = Cnmpm (1 - p) n-m; (4)

di sini Cnm menunjukkan jumlah kombinasi n elemen dengan m. Untuk n besar, perhitungan menggunakan rumus (4) menjadi sulit. Biarkan jumlah tembakan pada contoh sebelumnya menjadi 100, dan pertanyaannya adalah untuk menemukan probabilitas x bahwa jumlah pukulan terletak pada kisaran 8 hingga 32. Menerapkan rumus (4) dan teorema penambahan memberikan tepat, tetapi praktis ekspresi yang tidak cocok untuk probabilitas yang diinginkan

Nilai perkiraan probabilitas x dapat ditemukan menggunakan teorema Laplace

dan kesalahan tidak melebihi 0,0009. Hasil yang ditemukan menunjukkan bahwa peristiwa 8 £ m £ 32 hampir pasti. Ini adalah contoh paling sederhana namun khas dari penggunaan teorema limit teori probabilitas.

Rumus dasar teori peluang elementer juga mencakup apa yang disebut rumus peluang total: jika kejadian A1, A2,..., Ar tidak cocok berpasangan dan penyatuannya adalah kejadian tertentu, maka untuk setiap kejadian B probabilitasnya sama ke jumlah

Teorema perkalian probabilitas sangat berguna ketika mempertimbangkan tes senyawa. Suatu percobaan T dikatakan terdiri dari percobaan T1, T2,..., Tn-1, Tn, jika setiap hasil percobaan T merupakan kombinasi dari beberapa hasil Ai, Bj,..., Xk, Yl yang bersesuaian percobaan T1, T2,... , Tn-1, Tn. Dari satu alasan atau lainnya, probabilitas sering diketahui

Catatan penting!
1. Jika alih-alih rumus Anda melihat abracadabra, kosongkan cache. Cara melakukannya di browser Anda tertulis di sini:
2. Sebelum Anda mulai membaca artikel, perhatikan navigator kami untuk sumber daya yang paling berguna untuk

Apa itu probabilitas?

Dihadapkan dengan istilah ini untuk pertama kalinya, saya tidak akan mengerti apa itu. Jadi saya akan mencoba menjelaskan dengan cara yang bisa dimengerti.

Probabilitas adalah peluang terjadinya peristiwa yang diinginkan.

Misalnya, Anda memutuskan untuk mengunjungi seorang teman, mengingat pintu masuk dan bahkan lantai tempat dia tinggal. Tapi saya lupa nomor dan lokasi apartemennya. Dan sekarang Anda berdiri di tangga, dan di depan Anda ada pintu untuk dipilih.

Berapa peluang (probabilitas) bahwa jika Anda membunyikan bel pintu pertama, teman Anda akan membukakannya untuk Anda? Seluruh apartemen, dan seorang teman tinggal hanya di belakang salah satu dari mereka. Dengan kesempatan yang sama, kita bisa memilih pintu mana saja.

Tapi apa kesempatan ini?

Pintu, pintu kanan. Peluang menebak dengan membunyikan pintu pertama: . Artinya, satu dari tiga kali Anda akan menebak dengan pasti.

Kami ingin mencari tahu dengan menelepon sekali, seberapa sering kami akan menebak pintu? Mari kita lihat semua opsi:

1. kamu menelepon untuk 1 sebuah pintu
2. kamu menelepon untuk ke-2 sebuah pintu
3. kamu menelepon untuk 3 sebuah pintu

Dan sekarang pertimbangkan semua opsi di mana seorang teman dapat menjadi:

sebuah. Di belakang 1 pintu
b. Di belakang ke-2 pintu
di. Di belakang 3 pintu

Mari kita bandingkan semua opsi dalam bentuk tabel. Tanda centang menunjukkan opsi saat pilihan Anda cocok dengan lokasi teman, tanda silang - saat tidak cocok.

Bagaimana Anda melihat semuanya? mungkin pilihan lokasi teman dan pilihan pintu mana yang Anda pilih.

TETAPI hasil yang menguntungkan dari semua . Artinya, Anda akan menebak waktu dengan membunyikan pintu sekali, yaitu. .

Ini adalah probabilitas - rasio hasil yang menguntungkan (ketika pilihan Anda bertepatan dengan lokasi teman) dengan jumlah kemungkinan peristiwa.

Definisi adalah rumusnya. Probabilitas biasanya dilambangkan p, jadi:

Sangat tidak nyaman untuk menulis formula seperti itu, jadi kami akan mengambil - jumlah hasil yang menguntungkan, dan untuk - jumlah total hasil.

Probabilitas dapat ditulis sebagai persentase, untuk ini Anda perlu mengalikan hasil yang dihasilkan dengan:

Mungkin, kata "hasil" menarik perhatian Anda. Karena ahli matematika menyebut berbagai tindakan (bagi kami, tindakan seperti itu adalah bel pintu) eksperimen, biasanya menyebut hasil eksperimen semacam itu sebagai hasil.

Nah, hasilnya menguntungkan dan tidak menguntungkan.

Mari kita kembali ke contoh kita. Katakanlah kita menelepon di salah satu pintu, tetapi orang asing membukanya untuk kita. Kami tidak menduga. Berapa probabilitas bahwa jika kita membunyikan salah satu pintu yang tersisa, teman kita akan membukanya untuk kita?

Jika Anda berpikir demikian, maka ini adalah kesalahan. Mari kita cari tahu.

Kami memiliki dua pintu tersisa. Jadi kami memiliki langkah-langkah yang mungkin:

1) Telepon ke 1 sebuah pintu
2) Panggilan ke-2 sebuah pintu

Seorang teman, dengan semua ini, pasti berada di belakang salah satu dari mereka (bagaimanapun, dia tidak berada di belakang yang kita panggil):

a) seorang teman 1 pintu
b) teman untuk ke-2 pintu

Mari kita menggambar tabel lagi:

Seperti yang Anda lihat, ada semua opsi, di antaranya - menguntungkan. Artinya, kemungkinannya sama.

Kenapa tidak?

Situasi yang telah kami pertimbangkan adalah contoh kejadian dependen. Acara pertama adalah bel pintu pertama, acara kedua adalah bel pintu kedua.

Dan mereka disebut dependen karena mempengaruhi tindakan berikut. Lagi pula, jika seorang teman membuka pintu setelah dering pertama, berapa peluang dia berada di belakang salah satu dari dua lainnya? Benar, .

Tetapi jika ada kejadian yang bergantung, maka pasti ada mandiri? Benar, ada.

Contoh buku teks adalah melempar koin.

1. Kami melempar koin. Berapa probabilitas bahwa, misalnya, kepala akan muncul? Itu benar - karena opsi untuk semuanya (baik kepala atau ekor, kami akan mengabaikan kemungkinan koin untuk berdiri di tepi), tetapi hanya cocok untuk kami.
2. Tapi ekornya jatuh. Oke, mari kita lakukan lagi. Berapa probabilitas muncul kepala sekarang? Tidak ada yang berubah, semuanya sama. Berapa banyak pilihan? Dua. Seberapa puas kita? Satu.

Dan biarkan ekornya rontok setidaknya seribu kali berturut-turut. Probabilitas jatuh kepala sekaligus akan sama. Selalu ada pilihan, tetapi yang menguntungkan.

Membedakan peristiwa dependen dari peristiwa independen itu mudah:

1. Jika percobaan dilakukan satu kali (sekali sebuah koin dilempar, bel pintu berbunyi satu kali, dll.), maka kejadiannya selalu independen.
2. Jika percobaan dilakukan beberapa kali (sebuah koin dilempar sekali, bel pintu dibunyikan beberapa kali), maka kejadian pertama selalu independen. Dan kemudian, jika jumlah yang menguntungkan atau jumlah semua hasil berubah, maka kejadiannya tergantung, dan jika tidak, mereka independen.

Mari kita berlatih sedikit untuk menentukan probabilitas.

Contoh 1

Uang logam dilempar dua kali. Berapa peluang mendapatkan kepala dua kali berturut-turut?

Keputusan:

Pertimbangkan semua opsi yang memungkinkan:

1. elang elang
2. ekor elang
3. ekor-elang
4. Ekor-ekor

Seperti yang Anda lihat, semua opsi. Dari jumlah tersebut, kami hanya puas. Itu adalah kemungkinannya:

Jika kondisi hanya meminta untuk menemukan probabilitas, maka jawabannya harus diberikan sebagai pecahan desimal. Jika ditunjukkan bahwa jawabannya harus diberikan dalam persentase, maka kita akan mengalikannya dengan.

Menjawab:

Contoh 2

Dalam sekotak coklat, semua permen dikemas dalam bungkus yang sama. Namun, dari permen - dengan kacang, cognac, ceri, karamel, dan nougat.

Berapa peluang mengambil satu permen dan mendapatkan permen dengan kacang. Berikan jawaban Anda dalam persentase.

Keputusan:

Ada berapa hasil yang mungkin? .

Artinya, mengambil satu permen, itu akan menjadi salah satu dari yang ada di dalam kotak.

Dan berapa banyak hasil yang menguntungkan?

Karena kotak itu hanya berisi cokelat dengan kacang.

Menjawab:

Contoh 3

Dalam kotak bola. diantaranya berwarna putih dan hitam.

1. Berapa peluang terambilnya bola putih?
2. Kami menambahkan lebih banyak bola hitam ke dalam kotak. Berapa peluang terambilnya bola putih sekarang?

Keputusan:

a) Hanya ada bola di dalam kotak. di antaranya berwarna putih.

Kemungkinannya adalah:

b) Sekarang ada bola di dalam kotak. Dan ada banyak orang kulit putih yang tersisa.

Menjawab:

Probabilitas Penuh

Peluang semua kejadian yang mungkin adalah ().

Misalnya, dalam kotak bola merah dan hijau. Berapa peluang terambilnya bola merah? bola hijau? Bola merah atau hijau?

Peluang terambilnya bola merah

bola hijau:

Bola merah atau hijau:

Seperti yang Anda lihat, jumlah semua kejadian yang mungkin sama dengan (). Memahami poin ini akan membantu Anda memecahkan banyak masalah.

Contoh 4

Ada pulpen felt-tip di dalam kotak: hijau, merah, biru, kuning, hitam.

Berapa peluang terambilnya spidol merah BUKAN?

Keputusan:

Mari kita hitung jumlahnya hasil yang menguntungkan.

BUKAN penanda merah, yang berarti hijau, biru, kuning, atau hitam.

Peluang suatu peristiwa tidak akan terjadi dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut.

Aturan untuk mengalikan peluang kejadian independen

Anda sudah tahu apa itu acara independen.

Dan jika Anda perlu menemukan probabilitas bahwa dua (atau lebih) peristiwa independen akan terjadi berturut-turut?

Katakanlah kita ingin tahu berapa peluang bahwa dengan melempar koin sekali, kita akan melihat elang dua kali?

Kami telah mempertimbangkan - .

Bagaimana jika kita melempar koin? Berapa peluang melihat elang dua kali berturut-turut?

Total opsi yang mungkin:

1. Elang-elang-elang
2. Elang-kepala-ekor
3. Kepala-ekor-elang
4. Kepala-ekor-ekor
5. ekor-elang-elang
6. Ekor-kepala-ekor
7. Ekor-ekor-kepala
8. Ekor-ekor-ekor

Saya tidak tahu tentang Anda, tetapi saya pernah membuat daftar ini salah. Wow! Dan hanya pilihan (yang pertama) yang cocok untuk kita.

Untuk 5 gulungan, Anda dapat membuat daftar kemungkinan hasil sendiri. Tetapi ahli matematika tidak seserius Anda.

Oleh karena itu, mereka pertama-tama memperhatikan, dan kemudian membuktikan, bahwa peluang suatu urutan peristiwa independen tertentu berkurang setiap kali oleh probabilitas satu peristiwa.

Dengan kata lain,

Pertimbangkan contoh koin yang sama, bernasib buruk.

Probabilitas muncul kepala dalam percobaan? . Sekarang kita sedang melempar koin.

Berapa probabilitas mendapatkan ekor berturut-turut?

Aturan ini tidak hanya berfungsi jika kita diminta untuk mencari peluang kejadian yang sama akan terjadi beberapa kali berturut-turut.

Jika kita ingin menemukan urutan TAIL-EAGLE-TAILS pada flip yang berurutan, kita akan melakukan hal yang sama.

Probabilitas mendapatkan ekor - , kepala - .

Peluang terambilnya barisan TAILS-EAGLE-TAILS-TAILS:

Anda dapat memeriksanya sendiri dengan membuat tabel.

Aturan untuk menambahkan probabilitas peristiwa yang tidak kompatibel.

Jadi berhenti! Definisi baru.

Mari kita cari tahu. Mari kita ambil koin usang kita dan balikkan sekali.
Opsi yang memungkinkan:

1. Elang-elang-elang
2. Elang-kepala-ekor
3. Kepala-ekor-elang
4. Kepala-ekor-ekor
5. ekor-elang-elang
6. Ekor-kepala-ekor
7. Ekor-ekor-kepala
8. Ekor-ekor-ekor

Jadi di sini ada peristiwa yang tidak kompatibel, ini adalah urutan peristiwa tertentu yang diberikan. adalah peristiwa yang tidak kompatibel.

Jika kita ingin menentukan berapa peluang dari dua (atau lebih) kejadian yang tidak sesuai, maka kita tambahkan peluang kejadian tersebut.

Perlu Anda pahami bahwa hilangnya elang atau ekor adalah dua peristiwa yang berdiri sendiri.

Jika kita ingin menentukan berapa probabilitas suatu barisan jatuh) (atau yang lainnya), maka kita menggunakan aturan mengalikan probabilitas.
Berapa peluang mendapatkan kepala pada lemparan pertama dan ekor pada lemparan kedua dan ketiga?

Tetapi jika kita ingin mengetahui berapa peluang untuk mendapatkan salah satu dari beberapa urutan, misalnya, ketika muncul kepala tepat satu kali, yaitu. opsi dan, maka kita harus menambahkan probabilitas dari urutan ini.

Pilihan total cocok untuk kita.

Kita bisa mendapatkan hal yang sama dengan menjumlahkan peluang kemunculan setiap barisan:

Jadi, kita menambahkan probabilitas ketika kita ingin menentukan probabilitas dari beberapa urutan kejadian yang tidak sesuai.

Ada aturan bagus untuk membantu Anda agar tidak bingung kapan harus mengalikan dan kapan harus menambahkan:

Mari kita kembali ke contoh di mana kita melempar koin berkali-kali dan ingin mengetahui kemungkinan melihat kepala sekali.
Apa yang akan terjadi?

Harus turun:
(kepala DAN ekor DAN ekor) OR (ekor DAN kepala DAN ekor) OR (ekor DAN ekor DAN kepala).
Dan ternyata:

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh 5

Ada pensil di dalam kotak. merah, hijau, oranye dan kuning dan hitam. Berapa peluang terambilnya pensil merah atau pensil hijau?

Keputusan:

Contoh 6

Sebuah dadu dilempar dua kali, berapa peluang munculnya 8 dadu?

Keputusan.

Bagaimana kita bisa mendapatkan poin?

(dan) atau (dan) atau (dan) atau (dan) atau (dan).

Probabilitas jatuh dari satu (apa saja) wajah adalah .

Kami menghitung probabilitas:

Bekerja.

Saya pikir sekarang telah menjadi jelas bagi Anda ketika Anda perlu bagaimana menghitung probabilitas, kapan harus menambahkannya, dan kapan harus mengalikannya. Bukankah begitu? Mari kita berolahraga.

Tugas:

Mari kita ambil setumpuk kartu yang kartunya adalah sekop, hati, 13 tongkat dan 13 rebana. Dari ke Ace masing-masing setelan.

1. Berapa peluang terambilnya tongkat secara berurutan (kami memasukkan kartu pertama yang ditarik kembali ke dalam dek dan mengocoknya)?
2. Berapa peluang terambilnya kartu hitam (sekop atau tongkat)?
3. Berapa peluang terambilnya gambar (jack, queen, king, atau ace)?
4. Berapa peluang terambilnya dua gambar secara berurutan (kami mengeluarkan kartu pertama yang diambil dari tumpukan)?
5. Berapa probabilitas, mengambil dua kartu, untuk mengumpulkan kombinasi - (Jack, Queen atau King) dan Ace Urutan di mana kartu akan diambil tidak masalah.

Jawaban:

Jika Anda mampu menyelesaikan semua masalah sendiri, maka Anda adalah orang yang hebat! Sekarang tugas tentang teori probabilitas dalam ujian Anda akan mengklik seperti kacang!

TEORI PROBABILITAS. TINGKAT TENGAH

Pertimbangkan sebuah contoh. Katakanlah kita melempar dadu. Tulang macam apa ini, Anda tahu? Ini adalah nama sebuah kubus dengan angka di wajah. Berapa banyak wajah, begitu banyak angka: dari berapa banyak? Sebelum.

Jadi kita melempar dadu dan menginginkannya menghasilkan or. Dan kita jatuh.

Dalam teori probabilitas mereka mengatakan apa yang terjadi acara yang menguntungkan(jangan bingung dengan baik).

Jika jatuh, acaranya juga akan menguntungkan. Secara total, hanya dua peristiwa yang menguntungkan yang dapat terjadi.

Berapa banyak yang buruk? Karena semua kemungkinan peristiwa, maka yang tidak menguntungkan adalah peristiwa (ini jika jatuh atau).

Definisi:

Probabilitas adalah rasio jumlah kejadian yang menguntungkan dengan jumlah semua kejadian yang mungkin.. Artinya, probabilitas menunjukkan berapa proporsi dari semua kemungkinan kejadian yang menguntungkan.

Mereka menunjukkan probabilitas dengan huruf Latin (tampaknya, dari kata bahasa Inggris probabilitas - probabilitas).

Merupakan kebiasaan untuk mengukur probabilitas sebagai persentase (lihat topik,). Untuk melakukan ini, nilai probabilitas harus dikalikan. Dalam contoh dadu, probabilitas.

Dan dalam persentase: .

Contoh (putuskan sendiri):

1. Berapa peluang bahwa pelemparan sebuah koin akan mendarat di kepala? Dan berapa probabilitas ekor?
2. Berapa peluang munculnya angka genap ketika sebuah dadu dilempar? Dan dengan apa - aneh?
3. Dalam laci pensil polos, biru dan merah. Kami menggambar satu pensil secara acak. Berapa probabilitas menarik yang sederhana?

Solusi:

1. Ada berapa pilihan? Kepala dan ekor - hanya dua. Dan berapa banyak dari mereka yang menguntungkan? Hanya satu yang elang. Jadi kemungkinan

   Sama dengan ekor: .

2. Opsi total: (berapa banyak sisi kubus, begitu banyak opsi berbeda). Yang menguntungkan: (ini semua bilangan genap :).
   Kemungkinan. Dengan aneh, tentu saja, hal yang sama.
3. Jumlah: . Menguntungkan: . Kemungkinan: .

Probabilitas Penuh

Semua pensil di laci berwarna hijau. Berapa peluang terambilnya pensil merah? Tidak ada peluang: probabilitas (bagaimanapun juga, peristiwa yang menguntungkan -).

Peristiwa seperti itu disebut mustahil.

Berapa peluang terambilnya pensil hijau? Ada persis banyak peristiwa yang menguntungkan karena ada total peristiwa (semua peristiwa menguntungkan). Jadi peluangnya adalah atau.

Peristiwa semacam itu disebut pasti.

Jika ada pensil hijau dan merah di dalam kotak, berapa peluang terambilnya pensil hijau atau merah? Namun lagi. Perhatikan hal berikut: peluang terambilnya hijau adalah sama, dan merah adalah .

Singkatnya, probabilitas ini persis sama. Yaitu, jumlah peluang semua kejadian yang mungkin sama dengan atau.

Contoh:

Dalam kotak pensil, di antaranya adalah biru, merah, hijau, sederhana, kuning, dan sisanya oranye. Berapa peluang tidak terambilnya warna hijau?

Keputusan:

Ingatlah bahwa semua probabilitas bertambah. Dan peluang terambilnya hijau adalah sama. Ini berarti peluang tidak terambilnya hijau adalah sama.

Ingat trik ini: Peluang suatu peristiwa tidak akan terjadi dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut.

Peristiwa independen dan aturan perkalian

Anda melempar koin dua kali dan Anda ingin koin itu muncul dua kali. Berapa probabilitas ini?

Mari kita lihat semua opsi yang mungkin dan tentukan berapa banyak yang ada:

Elang-Elang, Ekor-Elang, Ekor-Elang, Ekor-Ekor. Apa lagi?

Seluruh varian. Dari jumlah tersebut, hanya satu yang cocok untuk kita: Elang-Elang. Jadi, kemungkinannya sama.

Bagus. Sekarang mari kita melempar koin. Hitung sendiri. Telah terjadi? (menjawab).

Anda mungkin telah memperhatikan bahwa dengan penambahan setiap lemparan berikutnya, kemungkinannya berkurang satu faktor. Aturan umum disebut aturan perkalian:

Probabilitas peristiwa independen berubah.

Apa itu acara independen? Semuanya logis: ini adalah mereka yang tidak bergantung satu sama lain. Misalnya, ketika kita melempar koin beberapa kali, setiap kali ada lemparan baru, hasilnya tidak tergantung pada semua lemparan sebelumnya. Dengan keberhasilan yang sama, kita dapat melempar dua koin yang berbeda secara bersamaan.

Contoh lainnya:

1. Sebuah dadu dilempar dua kali. Berapa probabilitas bahwa itu akan muncul kedua kali?
2. Sebuah koin dilempar berkali-kali. Berapa probabilitas mendapatkan kepala lebih dulu dan kemudian ekor dua kali?
3. Pemain melempar dua dadu. Berapa peluang bahwa jumlah angka pada mereka akan sama?

Jawaban:

1. Peristiwanya independen, yang berarti aturan perkalian berfungsi: .
2. Probabilitas seekor elang adalah sama. Kemungkinan ekor juga. Kami mengalikan:
3. 12 hanya dapat diperoleh jika dua -ki rontok: .

Acara yang tidak kompatibel dan aturan penambahan

Peristiwa yang tidak kompatibel adalah peristiwa yang saling melengkapi dengan probabilitas penuh. Seperti namanya, mereka tidak bisa terjadi pada saat yang bersamaan. Misalnya, jika kita melempar koin, kepala atau ekornya bisa rontok.

Contoh.

Dalam kotak pensil, di antaranya adalah biru, merah, hijau, sederhana, kuning, dan sisanya oranye. Berapa peluang terambilnya warna hijau atau merah?

Keputusan .

Peluang terambilnya pensil hijau adalah sama. Merah - .

Acara keberuntungan semua: hijau + merah. Jadi peluang terambilnya hijau atau merah adalah sama.

Probabilitas yang sama dapat direpresentasikan dalam bentuk berikut: .

Ini adalah aturan penambahan: probabilitas peristiwa yang tidak kompatibel bertambah.

Tugas campuran

Contoh.

Uang logam dilempar dua kali. Berapa peluang hasil pelemparan akan berbeda?

Keputusan .

Ini berarti bahwa jika kepala muncul lebih dulu, ekor harus di urutan kedua, dan sebaliknya. Ternyata ada dua pasang kejadian independen di sini, dan pasangan ini tidak cocok satu sama lain. Bagaimana agar tidak bingung di mana harus mengalikan dan di mana harus menambahkan.

Ada aturan sederhana untuk situasi seperti itu. Coba gambarkan apa yang seharusnya terjadi dengan menghubungkan kejadian dengan serikat pekerja "DAN" atau "ATAU". Misalnya, dalam hal ini:

Harus berguling (kepala dan ekor) atau (ekor dan kepala).

Di mana ada persatuan "dan", akan ada perkalian, dan di mana "atau" adalah penambahan:

Cobalah sendiri:

1. Berapa peluang munculnya dua pelemparan mata uang logam dengan sisi yang sama pada kedua kali?
2. Sebuah dadu dilempar dua kali. Berapa probabilitas bahwa jumlah tersebut akan kehilangan poin?

Solusi:

Contoh lain:

Kami melempar koin sekali. Berapa probabilitas bahwa kepala akan muncul setidaknya sekali?

Keputusan:

TEORI PROBABILITAS. SINGKAT TENTANG UTAMA

Probabilitas adalah rasio jumlah kejadian yang menguntungkan dengan jumlah semua kejadian yang mungkin.

Acara independen

Dua peristiwa adalah independen jika terjadinya satu tidak mengubah probabilitas yang lain terjadi.

Probabilitas Penuh

Peluang semua kejadian yang mungkin adalah ().

Peluang suatu peristiwa tidak akan terjadi dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut.

Aturan untuk mengalikan peluang kejadian independen

Peluang suatu barisan kejadian bebas tertentu sama dengan hasil kali peluang masing-masing kejadian tersebut

Acara yang tidak kompatibel

Peristiwa yang tidak sesuai adalah peristiwa yang tidak mungkin terjadi secara bersamaan sebagai hasil dari percobaan. Sejumlah peristiwa yang tidak kompatibel membentuk kelompok peristiwa yang lengkap.

Probabilitas peristiwa yang tidak kompatibel bertambah.

Setelah menjelaskan apa yang seharusnya terjadi, menggunakan serikat pekerja "DAN" atau "ATAU", alih-alih "DAN", kami menempatkan tanda perkalian, dan alih-alih "ATAU" - penambahan.

Nah, topiknya sudah berakhir. Jika Anda membaca baris-baris ini, maka Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda telah membaca sampai akhir, maka Anda berada di 5%!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah menemukan teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, itu ... itu luar biasa! Anda sudah lebih baik daripada sebagian besar rekan-rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup ...

Untuk apa?

Untuk kelulusan ujian yang berhasil, untuk masuk ke institut dengan anggaran terbatas dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal ...

Orang yang telah menerima pendidikan yang baik memperoleh lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukan hal utama.

Yang utama adalah mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan hidup menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik daripada yang lain dalam ujian dan pada akhirnya ... lebih bahagia?

ISI TANGAN ANDA, MENYELESAIKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Pada ujian, Anda tidak akan ditanya teori.

Anda akan perlu menyelesaikan masalah tepat waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak akan berhasil tepat waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulang berkali-kali untuk menang dengan pasti.

Temukan koleksi di mana pun Anda mau tentu dengan solusi, analisis terperinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (tidak perlu) dan kami pasti merekomendasikannya.

Untuk membantu tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua opsi:

1. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di artikel ini -
2. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di semua 99 artikel tutorial - Beli buku teks - 499 rubel

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan untuk seluruh masa pakai situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti dengan teori.

"Dipahami" dan "Saya tahu bagaimana menyelesaikannya" adalah keterampilan yang sama sekali berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

Teori probabilitas adalah cabang matematika yang mempelajari pola fenomena acak: peristiwa acak, variabel acak, sifat dan operasinya.

Untuk waktu yang lama, teori probabilitas tidak memiliki definisi yang jelas. Itu dirumuskan hanya pada tahun 1929. Munculnya teori probabilitas sebagai ilmu dikaitkan dengan Abad Pertengahan dan upaya pertama dalam analisis matematika perjudian (lemparan, dadu, roulette). Matematikawan Prancis abad ke-17 Blaise Pascal dan Pierre de Fermat menemukan pola probabilistik pertama yang muncul saat melempar dadu saat mempelajari prediksi kemenangan dalam perjudian.

Teori probabilitas muncul sebagai ilmu dari keyakinan bahwa keteraturan tertentu mendasari peristiwa acak besar-besaran. Teori probabilitas mempelajari pola-pola ini.

Teori probabilitas berkaitan dengan studi tentang peristiwa, yang kejadiannya tidak diketahui secara pasti. Ini memungkinkan Anda untuk menilai tingkat kemungkinan terjadinya beberapa peristiwa dibandingkan dengan yang lain.

Sebagai contoh: tidak mungkin untuk menentukan dengan jelas hasil dari lemparan koin, kepala atau ekor, tetapi dengan lemparan berulang, kira-kira jumlah kepala dan ekor yang keluar sama, yang berarti bahwa kemungkinan kepala atau ekor jatuh ", adalah sama sampai 50%.

uji dalam hal ini, penerapan serangkaian kondisi tertentu disebut, yaitu, dalam hal ini, pelemparan koin. Tantangannya dapat dimainkan dalam jumlah yang tidak terbatas. Dalam hal ini, kompleks kondisi mencakup faktor acak.

Hasil tesnya adalah peristiwa. Peristiwa terjadi:

1. Dapat diandalkan (selalu terjadi sebagai hasil pengujian).
2. Mustahil (tidak pernah terjadi).
3. Acak (mungkin atau mungkin tidak terjadi sebagai akibat dari tes).

Misalnya, saat melempar koin, peristiwa yang tidak mungkin - koin akan berakhir di tepi, peristiwa acak - hilangnya "kepala" atau "ekor". Hasil tes khusus disebut acara dasar. Sebagai hasil dari tes, hanya peristiwa dasar yang terjadi. Totalitas dari semua hasil tes yang mungkin, berbeda, dan spesifik disebut ruang acara dasar.

Konsep dasar teori

Kemungkinan- tingkat kemungkinan terjadinya peristiwa. Ketika alasan untuk beberapa peristiwa yang mungkin benar-benar terjadi lebih besar daripada alasan yang berlawanan, maka peristiwa ini disebut kemungkinan, jika tidak - tidak mungkin atau tidak mungkin.

Nilai acak- ini adalah nilai yang, sebagai hasil dari pengujian, dapat mengambil satu atau nilai lain, dan tidak diketahui sebelumnya yang mana. Misalnya: jumlah stasiun pemadam kebakaran per hari, jumlah tembakan dengan 10 tembakan, dll.

Variabel acak dapat dibagi menjadi dua kategori.

1. Variabel acak diskrit kuantitas seperti itu disebut, yang, sebagai hasil dari pengujian, dapat mengambil nilai-nilai tertentu dengan probabilitas tertentu, membentuk himpunan yang dapat dihitung (set yang elemen-elemennya dapat diberi nomor). Himpunan ini bisa berhingga atau tak terhingga. Misalnya, jumlah tembakan sebelum pukulan pertama pada target adalah variabel acak diskrit, karena nilai ini dapat mengambil jumlah nilai yang tak terbatas, meskipun dapat dihitung.
2. Variabel acak kontinu adalah besaran yang dapat mengambil nilai apa pun dari selang berhingga atau tak hingga. Jelas, jumlah nilai yang mungkin dari variabel acak kontinu tidak terbatas.

Ruang probabilitas- konsep yang diperkenalkan oleh A.N. Kolmogorov pada 1930-an untuk memformalkan konsep probabilitas, yang memunculkan perkembangan pesat teori probabilitas sebagai disiplin matematika yang ketat.

Ruang probabilitas adalah tiga kali lipat (kadang-kadang dibingkai dalam kurung sudut: , di mana

Ini adalah himpunan arbitrer, yang elemen-elemennya disebut peristiwa dasar, hasil atau poin;
- sigma-aljabar himpunan bagian yang disebut peristiwa (acak);
- ukuran atau probabilitas probabilistik, mis. ukuran terbatas sigma-aditif sehingga .

Teorema De Moivre-Laplace- salah satu teorema pembatas teori probabilitas, yang dibuat oleh Laplace pada tahun 1812. Dia menyatakan bahwa jumlah keberhasilan dalam mengulangi percobaan acak yang sama dengan dua kemungkinan hasil berdistribusi hampir normal. Ini memungkinkan Anda untuk menemukan nilai perkiraan probabilitas.

Jika, untuk setiap percobaan bebas, peluang terjadinya suatu kejadian acak sama dengan () dan merupakan jumlah percobaan yang benar-benar terjadi, maka peluang validitas pertidaksamaan tersebut mendekati (untuk besar ) dengan nilai integral Laplace.

Fungsi distribusi dalam teori probabilitas- fungsi yang mencirikan distribusi variabel acak atau vektor acak; probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil nilai kurang dari atau sama dengan x, di mana x adalah bilangan real arbitrer. Dalam kondisi tertentu, itu sepenuhnya menentukan variabel acak.

Nilai yang diharapkan- nilai rata-rata dari variabel acak (ini adalah distribusi probabilitas dari variabel acak, dipertimbangkan dalam teori probabilitas). Dalam sastra Inggris, itu dilambangkan dengan, dalam bahasa Rusia -. Dalam statistik, notasi sering digunakan.

Biarkan ruang probabilitas dan variabel acak yang ditentukan di dalamnya diberikan. Artinya, menurut definisi, fungsi terukur. Kemudian, jika ada integral Lebesgue dari ruang , maka disebut harapan matematis, atau nilai rata-rata, dan dilambangkan dengan .

Varians dari variabel acak- ukuran penyebaran variabel acak yang diberikan, yaitu penyimpangannya dari ekspektasi matematis. Ditunjuk dalam sastra Rusia dan asing. Dalam statistika, sebutan atau sering digunakan. Akar kuadrat dari varians disebut standar deviasi, standar deviasi, atau standar spread.

Membiarkan menjadi variabel acak yang didefinisikan pada beberapa ruang probabilitas. Kemudian

di mana simbol menunjukkan harapan matematis.

Dalam teori probabilitas, dua peristiwa acak disebut mandiri jika terjadinya salah satunya tidak mengubah kemungkinan terjadinya yang lain. Demikian pula, dua variabel acak disebut bergantung jika nilai salah satunya mempengaruhi probabilitas nilai yang lain.

Bentuk paling sederhana dari hukum bilangan besar adalah teorema Bernoulli, yang menyatakan bahwa jika peluang suatu kejadian sama di semua percobaan, maka semakin banyak jumlah percobaan, frekuensi kejadian cenderung ke peluang kejadian dan berhenti menjadi acak.

Hukum bilangan besar dalam teori probabilitas menyatakan bahwa rata-rata aritmatika sampel hingga dari distribusi tetap dekat dengan rata-rata teoretis dari distribusi itu. Tergantung pada jenis konvergensi, hukum lemah bilangan besar dibedakan, ketika konvergensi dalam probabilitas terjadi, dan hukum kuat bilangan besar, ketika konvergensi hampir pasti terjadi.

Arti umum dari hukum bilangan besar adalah bahwa aksi bersama dari sejumlah besar faktor acak yang identik dan independen mengarah pada hasil yang, dalam batas, tidak bergantung pada peluang.

Metode untuk memperkirakan probabilitas berdasarkan analisis sampel hingga didasarkan pada properti ini. Contoh yang baik adalah prediksi hasil pemilu berdasarkan survei terhadap sampel pemilih.

Teorema limit pusat- kelas teorema dalam teori probabilitas yang menyatakan bahwa jumlah dari sejumlah besar variabel acak bergantung lemah yang memiliki skala yang kira-kira sama (tidak ada istilah yang mendominasi, tidak memberikan kontribusi yang menentukan pada jumlah) memiliki distribusi yang mendekati normal.

Karena banyak variabel acak dalam aplikasi terbentuk di bawah pengaruh beberapa faktor acak yang bergantung lemah, distribusinya dianggap normal. Dalam hal ini harus diperhatikan kondisi bahwa tidak ada faktor yang dominan. Teorema limit pusat dalam kasus ini membenarkan penerapan distribusi normal.

Peristiwa yang terjadi dalam kenyataan atau dalam imajinasi kita dapat dibagi menjadi 3 kelompok. Ini adalah peristiwa tertentu yang pasti akan terjadi, peristiwa yang mustahil, dan peristiwa acak. Teori probabilitas mempelajari peristiwa acak, yaitu peristiwa yang mungkin atau tidak mungkin terjadi. Artikel ini akan menyajikan secara singkat teori rumus probabilitas dan contoh penyelesaian masalah dalam teori probabilitas, yang akan menjadi tugas ke-4 Unified State Examination dalam matematika (level profil).

Mengapa kita membutuhkan teori probabilitas

Secara historis, kebutuhan untuk mempelajari masalah ini muncul pada abad ke-17 sehubungan dengan perkembangan dan profesionalisasi perjudian dan munculnya kasino. Itu adalah fenomena nyata yang membutuhkan studi dan penelitian.

Bermain kartu, dadu, rolet menciptakan situasi di mana salah satu dari sejumlah kejadian yang sama kemungkinannya dapat terjadi. Ada kebutuhan untuk memberikan perkiraan numerik tentang kemungkinan terjadinya suatu peristiwa.

Pada abad ke-20, menjadi jelas bahwa ilmu pengetahuan yang tampaknya sembrono ini memainkan peran penting dalam memahami proses mendasar yang terjadi dalam mikrokosmos. Teori probabilitas modern telah dibuat.

Konsep dasar teori probabilitas

Objek studi teori probabilitas adalah kejadian dan probabilitasnya. Jika kejadiannya kompleks, maka dapat dipecah menjadi komponen sederhana, yang probabilitasnya mudah ditemukan.

Jumlah peristiwa A dan B disebut peristiwa C, yang terdiri dari kenyataan bahwa salah satu peristiwa A, atau peristiwa B, atau peristiwa A dan B terjadi pada waktu yang sama.

Hasil kali kejadian A dan B adalah kejadian C, yang terdiri dari fakta bahwa kejadian A dan kejadian B terjadi.

Peristiwa A dan B dikatakan tidak sesuai jika tidak dapat terjadi secara bersamaan.

Suatu peristiwa A dikatakan tidak mungkin jika tidak mungkin terjadi. Peristiwa semacam itu dilambangkan dengan simbol .

Suatu peristiwa A disebut pasti jika pasti akan terjadi. Peristiwa semacam itu dilambangkan dengan simbol .

Biarkan setiap kejadian A diberi nomor P(A). Angka P(A) ini disebut peluang kejadian A jika kondisi berikut dipenuhi dengan korespondensi seperti itu.

Kasus khusus yang penting adalah situasi ketika ada kemungkinan hasil elementer yang sama, dan hasil yang berubah-ubah ini membentuk kejadian A. Dalam kasus ini, probabilitas dapat diperkenalkan dengan rumus . Probabilitas yang diperkenalkan dengan cara ini disebut probabilitas klasik. Dapat dibuktikan bahwa sifat 1-4 berlaku dalam kasus ini.

Masalah dalam teori probabilitas, yang ditemukan pada ujian matematika, terutama terkait dengan probabilitas klasik. Tugas seperti itu bisa sangat sederhana. Sangat sederhana adalah masalah dalam teori probabilitas dalam versi demonstrasi. Sangat mudah untuk menghitung jumlah hasil yang menguntungkan, jumlah semua hasil ditulis langsung dalam kondisi.

Kami mendapatkan jawabannya sesuai dengan rumus.

Contoh tugas dari ujian matematika untuk menentukan probabilitas

Ada 20 pai di atas meja - 5 dengan kubis, 7 dengan apel dan 8 dengan nasi. Marina ingin mengambil kue. Berapa peluang dia akan mengambil kue beras tersebut?

Keputusan.

Ada total 20 hasil dasar yang setara, yaitu, Marina dapat mengambil salah satu dari 20 kue. Tetapi kita perlu memperkirakan probabilitas bahwa Marina akan mengambil patty nasi, yaitu, di mana A adalah pilihan patty nasi. Ini berarti bahwa kita memiliki total 8 hasil yang menguntungkan (memilih kue beras), maka probabilitasnya akan ditentukan oleh rumus:

Peristiwa Independen, Berlawanan, dan Sewenang-wenang

Namun, tugas yang lebih kompleks mulai muncul di tumpukan tugas terbuka. Oleh karena itu, mari kita menarik perhatian pembaca ke pertanyaan lain yang dipelajari dalam teori probabilitas.

Peristiwa A dan B disebut bebas jika peluang masing-masing peristiwa tersebut tidak bergantung pada apakah peristiwa yang lain terjadi.

Peristiwa B terdiri dari fakta bahwa peristiwa A tidak terjadi, mis. kejadian B berlawanan dengan kejadian A. Probabilitas kejadian yang berlawanan sama dengan satu dikurangi probabilitas kejadian langsung, mis. .

Teorema penjumlahan dan perkalian, rumus

Untuk kejadian arbitrer A dan B, peluang jumlah kejadian ini sama dengan jumlah peluangnya tanpa peluang kejadian gabungannya, mis. .

Untuk kejadian bebas A dan B, peluang hasil kali kejadian ini sama dengan hasil kali peluangnya, yaitu pada kasus ini .

2 pernyataan terakhir disebut teorema penjumlahan dan perkalian peluang.

Tidak selalu menghitung jumlah hasil begitu sederhana. Dalam beberapa kasus, perlu menggunakan rumus kombinatorik. Yang paling penting adalah menghitung jumlah kejadian yang memenuhi kondisi tertentu. Terkadang perhitungan seperti itu bisa menjadi tugas mandiri.

Dalam berapa cara 6 siswa dapat duduk di 6 kursi kosong? Siswa pertama akan mengambil salah satu dari 6 tempat. Masing-masing opsi ini sesuai dengan 5 cara untuk menempatkan siswa kedua. Untuk siswa ketiga ada 4 tempat gratis, untuk yang keempat - 3, untuk yang kelima - 2, yang keenam akan mengambil satu-satunya tempat yang tersisa. Untuk menemukan jumlah semua opsi, Anda perlu menemukan produk, yang dilambangkan dengan simbol 6! dan membaca "enam faktorial".

Dalam kasus umum, jawaban untuk pertanyaan ini diberikan oleh rumus untuk jumlah permutasi elemen n. Dalam kasus kami, .

Pertimbangkan sekarang kasus lain dengan siswa kami. Dalam berapa cara 2 siswa dapat duduk di 6 kursi kosong? Siswa pertama akan mengambil salah satu dari 6 tempat. Masing-masing opsi ini sesuai dengan 5 cara untuk menempatkan siswa kedua. Untuk menemukan jumlah semua opsi, Anda perlu menemukan produknya.

Dalam kasus umum, jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh rumus jumlah penempatan n elemen oleh k elemen

Dalam kasus kami.

Dan yang terakhir dalam seri ini. Berapa banyak cara untuk memilih 3 dari 6 siswa? Siswa pertama dapat dipilih dengan 6 cara, yang kedua dalam 5 cara, dan yang ketiga dalam 4 cara. Namun di antara pilihan tersebut, tiga siswa yang sama muncul sebanyak 6 kali. Untuk menemukan jumlah semua opsi, Anda perlu menghitung nilainya: . Dalam kasus umum, jawaban untuk pertanyaan ini diberikan oleh rumus jumlah kombinasi elemen demi elemen:

Dalam kasus kami.

Contoh pemecahan masalah dari ujian dalam matematika untuk menentukan probabilitas

Tugas 1. Dari koleksi, ed. Yaschenko.

Ada 30 pai di piring: 3 dengan daging, 18 dengan kubis dan 9 dengan ceri. Sasha secara acak memilih satu kue. Temukan probabilitas bahwa ia berakhir dengan ceri.

.

Jawaban: 0.3.

Soal 2. Dari koleksi, ed. Yaschenko.

Dalam setiap batch 1000 bola lampu, rata-rata 20 yang rusak. Tentukan peluang terambilnya sebuah bola lampu secara acak dari sebuah batch adalah baik.

Solusi: Jumlah bola lampu yang dapat diservis adalah 1000-20=980. Maka peluang bola lampu yang diambil secara acak dari kelompok akan dapat diservis adalah:

Jawab: 0,98.

Probabilitas siswa U. menyelesaikan lebih dari 9 soal dengan benar pada tes matematika adalah 0,67. Probabilitas bahwa U. memecahkan lebih dari 8 masalah dengan benar adalah 0,73. Temukan probabilitas bahwa U. memecahkan tepat 9 masalah dengan tepat.

Jika kita membayangkan sebuah garis bilangan dan menandai titik 8 dan 9 di atasnya, maka kita akan melihat bahwa kondisi "U. benar memecahkan tepat 9 masalah" termasuk dalam kondisi "U. menyelesaikan lebih dari 8 masalah dengan benar", tetapi tidak berlaku untuk kondisi "W. memecahkan lebih dari 9 masalah dengan benar.

Namun, kondisi "U. menyelesaikan lebih dari 9 soal dengan benar" terdapat dalam kondisi "U. memecahkan lebih dari 8 masalah dengan benar. Jadi, jika kita menunjuk peristiwa: “W. memecahkan tepat 9 masalah dengan benar" - melalui A, "U. memecahkan lebih dari 8 masalah dengan benar" - melalui B, "U. selesaikan lebih dari 9 masalah dengan benar ”melalui C. Maka solusinya akan terlihat seperti ini:

Jawaban: 0,06.

Dalam ujian geometri, siswa menjawab satu pertanyaan dari daftar pertanyaan ujian. Probabilitas bahwa ini adalah pertanyaan trigonometri adalah 0,2. Probabilitas bahwa ini adalah pertanyaan Sudut Luar adalah 0,15. Tidak ada pertanyaan yang terkait dengan dua topik ini secara bersamaan. Temukan probabilitas bahwa siswa akan mendapatkan pertanyaan tentang salah satu dari dua topik ini pada ujian.

Mari kita pikirkan tentang acara apa yang kita miliki. Kami diberi dua peristiwa yang tidak kompatibel. Artinya, pertanyaannya akan berhubungan dengan topik "Trigonometri", atau dengan topik "Sudut luar". Menurut teorema probabilitas, peluang kejadian yang tidak sesuai sama dengan jumlah peluang masing-masing kejadian, kita harus mencari jumlah peluang kejadian tersebut, yaitu:

Jawaban: 0.35.

Ruangan itu diterangi oleh lentera dengan tiga lampu. Peluang satu lampu padam dalam setahun adalah 0,29. Temukan peluang bahwa setidaknya satu lampu tidak padam dalam setahun.

Mari kita pertimbangkan peristiwa yang mungkin terjadi. Kami memiliki tiga bola lampu, yang masing-masing mungkin atau mungkin tidak padam secara independen dari bola lampu lainnya. Ini adalah acara independen.

Kemudian kami akan menunjukkan varian dari acara tersebut. Kami menerima notasi: - bola lampu menyala, - bola lampu padam. Dan segera selanjutnya kita menghitung probabilitas suatu kejadian. Misalnya, peluang kejadian di mana tiga peristiwa independen "bola lampu padam", "bola lampu menyala", "bola lampu menyala" terjadi: .