Praktis sulit untuk menemukan nilai seperti itu dengan, di mana (b-a)f(c) akan sama persis dengan . Untuk mendapatkan nilai yang lebih akurat, luas trapesium lengkung dibagi menjadi n persegi panjang yang tingginya sama y 0 , y 1 , y 2 , …,y n -1 dan yayasan.

Jika kita meringkas area persegi panjang yang menutupi area trapesium lengkung dengan kerugian, fungsinya tidak berkurang, maka alih-alih rumus, rumus yang digunakan

Jika berlebihan, maka

Nilai ditemukan dari persamaan. Rumus ini disebut rumus persegi panjang dan memberikan hasil perkiraan. Dengan bertambahnya n hasilnya menjadi lebih akurat.

Contoh 1 . Hitung dari rumus persegi panjang

Kami membagi interval integrasi menjadi 5 bagian. Kemudian . Menggunakan kalkulator atau tabel, kami menemukan nilai integran (dengan akurasi 4 tempat desimal):

Menurut rumus persegi panjang (dengan kerugian)

Di sisi lain, menurut rumus Newton-Leibniz

Mari kita cari kesalahan perhitungan relatif menggunakan rumus persegi panjang:

Perhitungan integral dengan rumus trapesium. Estimasi kesalahan:

Arti geometris dari metode berikut untuk perhitungan perkiraan integral adalah menemukan luas trapesium "persegi panjang" yang kira-kira sama.

Biarkan perlu untuk menghitung luas A 1 AmBB 1 trapesium lengkung, dinyatakan dengan rumus .

Mari kita ganti busur AmB akord AB dan bukannya luas trapesium lengkung A 1 AmBB 1 hitung luas trapesium A 1 ABB 1: , di mana AA 1 dan BB 1 - alas trapesium, dan A 1 B 1 adalah tingginya.

Menunjukkan f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B. tinggi trapesium A 1 B 1 \u003d b-a, kotak . Karena itu, atau

Ini disebut rumus trapesium kecil.

Yekaterinburg

Perhitungan integral tertentu

pengantar

Tugas integrasi numerik fungsi adalah menghitung nilai perkiraan integral tertentu:

berdasarkan deret nilai integral.( f(x) |x=x k = f(x k) = y k ).

Rumus untuk perhitungan numerik dari integral tunggal disebut rumus kuadratur, ganda dan lebih banyak lagi - kubatur.

Teknik yang biasa digunakan untuk menyusun rumus kuadratur adalah dengan mengganti integran f(x) pada segmen dengan fungsi interpolasi atau aproksimasi g(x) dari bentuk yang relatif sederhana, misalnya polinomial, diikuti dengan integrasi analitik. Ini mengarah pada presentasi

Dengan mengabaikan suku sisa R[f], kita memperoleh rumus perkiraan

Dilambangkan dengan y i = f(x i) nilai integran di berbagai titik

Sebagai fungsi aproksimasi g(x), kami menganggap polinomial interpolasi pada

Rumus (1) memberikan

Dalam rumus (2), besaran (

Meringkaskan.

2. Dalam rumus kuadrat dari tipe interpolasi, suku sisa R n [f] dapat direpresentasikan sebagai nilai dari operator diferensial tertentu pada fungsi f(x). Untuk

3. Untuk polinomial hingga orde n inklusif, rumus kuadratur (2) adalah eksak, yaitu.

Pertimbangkan kasus khusus rumus (2) dan (3): metode persegi panjang, trapesium, parabola (metode Simpson). Nama-nama metode ini disebabkan oleh interpretasi geometris dari formula yang sesuai.

Metode persegi panjang

Integral tentu dari fungsi fungsi f(x):

Metode yang diwakili oleh rumus (4) disebut metode kotak kiri, dan metode yang diwakili oleh rumus (5) disebut metode kotak kanan:

Untuk mencari integral tentu menggunakan metode persegi panjang tengah, luas yang dibatasi oleh garis a dan b dibagi menjadi n persegi panjang dengan alas yang sama h, tinggi persegi panjang akan menjadi titik potong fungsi f(x) dengan titik tengah persegi panjang (h/2). Integral akan secara numerik sama dengan jumlah luas n persegi panjang (Gambar 3).

n adalah jumlah partisi segmen.

Metode trapesium

Untuk mencari integral tentu menggunakan metode trapesium, luas trapesium lengkung juga dibagi menjadi n trapesium persegi panjang dengan tinggi h dan alas y 1, y 2, y 3,..y n, di mana n adalah jumlah trapesium persegi panjang. Integral akan secara numerik sama dengan jumlah luas trapesium persegi panjang (Gambar 4).

n adalah jumlah partisi

Kesalahan rumus trapesium diperkirakan oleh nomor

Kesalahan rumus trapesium dengan pertumbuhan

rumus simpson

Jika untuk setiap pasangan segmen

Hari ini kita akan berkenalan dengan metode integrasi numerik lain, metode trapesium. Dengan bantuannya, kita akan menghitung integral tertentu dengan tingkat akurasi tertentu. Pada artikel ini, kami akan menjelaskan inti dari metode trapesium, menganalisis bagaimana rumus diturunkan, membandingkan metode trapesium dengan metode persegi panjang, dan menuliskan perkiraan kesalahan absolut dari metode tersebut. Kami akan mengilustrasikan setiap bagian dengan contoh untuk pemahaman materi yang lebih dalam.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Misalkan kita perlu menghitung kira-kira integral tertentu a b f (x) d x , yang integralnya y = f (x) kontinu pada ruas [ a ; b] . Untuk melakukan ini, kami membagi segmen [ a ; b ] menjadi beberapa interval sama panjang h dengan titik a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

Mari kita cari langkah partisi: h = b - a n . Kami mendefinisikan node dari persamaan x i = a + i h , i = 0 , 1 , . . . , n .

Pada interval dasar, pertimbangkan integran x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . , n .

Dengan peningkatan n tak terbatas, kami mengurangi semua kasus menjadi empat opsi paling sederhana:

Pilih segmen x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n . Mari kita ganti fungsi y = f (x) pada masing-masing grafik dengan ruas garis lurus yang melalui titik-titik dengan koordinat x i - 1 ; f x i - 1 dan x i ; fx saya. Kami menandainya dalam gambar dengan warna biru.

Mari kita ambil ekspresi f (x i - 1) + f (x i) 2 h sebagai nilai perkiraan integral x i - 1 x if (x) d x . Itu. ambil x i - 1 x i f (x) d x f (x i - 1) + f (x i) 2 h .

Mari kita lihat mengapa metode integrasi numerik yang kita pelajari disebut metode trapesium. Untuk melakukan ini, kita perlu mencari tahu apa arti persamaan perkiraan tertulis dari sudut pandang geometri.

Untuk menghitung luas trapesium, kalikan setengah jumlah alasnya dengan tingginya. Dalam kasus pertama, luas trapesium lengkung kira-kira sama dengan trapesium dengan alas f (x i - 1) , f (x i) tinggi h . Dalam keempat kasus yang kita pertimbangkan, integral yang diberikan x i - 1 x f (x) d x kira-kira sama dengan luas trapesium dengan alas - f (x i - 1) , - f (x i) dan tinggi h, yang harus diambil dengan tanda "-". Untuk menghitung nilai perkiraan integral tertentu x i - 1 x i f (x) d x dalam kasus kedua dan ketiga, kita perlu menemukan perbedaan antara luas daerah merah dan biru, yang kita tandai dengan menetas pada gambar di bawah ini.

Mari kita rangkum. Inti dari metode trapesium adalah sebagai berikut: kita dapat menyatakan integral tertentu a b f (x) d x sebagai jumlah integral dari bentuk x i - 1 x i f (x) d x pada setiap segmen dasar dan dalam perubahan perkiraan berikutnya x i - 1 x i f (x) d x f (x i - 1) + f (x i) 2 h.

rumus trapesium

Ingat sifat kelima integral tentu: a b f (x) d x = i = 1 n x i - 1 x i f (x) d x . Untuk mendapatkan rumus metode trapesium, alih-alih integral x i - 1 x i f (x) d x, substitusikan nilai perkiraannya: x i - 1 x i f (x) d x = i = 1 n x i - 1 x i f (x) d x i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) x i - 1 x i f (x) d x h 2 f (x 0) + 2 i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Definisi 1

Rumus trapesium: x i - 1 x i f (x) d x h 2 f (x 0) + 2 i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Estimasi kesalahan mutlak metode trapesium

Mari kita perkirakan kesalahan absolut dari metode trapesium sebagai berikut:

Definisi 2

n m a x x [ a ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2

Sebuah ilustrasi grafis dari metode trapesium ditunjukkan pada gambar:

Contoh perhitungan

Mari kita menganalisis contoh penggunaan metode trapesium untuk perhitungan perkiraan integral tertentu. Kami akan memberikan perhatian khusus pada dua jenis tugas:

• perhitungan integral tertentu dengan metode trapesium untuk sejumlah partisi dari segmen n;
• menemukan nilai perkiraan integral tertentu dengan akurasi tertentu.

Untuk n tertentu, semua perhitungan antara harus dilakukan dengan tingkat akurasi yang cukup tinggi. Keakuratan perhitungan harus semakin tinggi, semakin besar n .

Jika kita memiliki ketelitian tertentu dalam menghitung integral tertentu, maka semua perhitungan antara harus dilakukan dua atau lebih orde besarnya dengan lebih akurat. Misalnya, jika akurasi diatur ke 0 . 01 , maka kami melakukan perhitungan menengah dengan akurasi 0 .0001 atau 0 .00001 . Untuk n besar, perhitungan menengah harus dilakukan dengan akurasi yang lebih tinggi.

Mari kita ambil aturan di atas sebagai contoh. Untuk melakukan ini, kami membandingkan nilai integral tertentu yang dihitung dengan rumus Newton-Leibniz dan diperoleh dengan metode trapesium.

Jadi, 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 9 , 613805 .

Contoh 1

Dengan menggunakan metode trapesium, kita menghitung integral tentu 0 5 7 x 2 + 1 d x untuk n sama dengan 10 .

Keputusan

Rumus untuk metode trapesium adalah ∫ x i - 1 x i f (x) d x h 2 f (x 0) + 2 i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Untuk menerapkan rumus, kita perlu menghitung langkah h menggunakan rumus h = b - a n , tentukan simpul x i = a + i h , i = 0 , 1 , . . . , n , hitung nilai integral f(x) = 7 x 2 + 1 .

Langkah partisi dihitung sebagai berikut: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 . 5 . Untuk menghitung integran pada simpul x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n kita akan mengambil empat tempat desimal:

saya \u003d 0: x 0 \u003d 0 + 0 0. 5 = 0 f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0 . 5 f (x 1) = f (0 . 5) = 7 0 . 5 2 + 1 = 5 . 6 . . . i = 10: x 10 = 0 + 10 0 . 5 = 5 f(x 10) = f(5) = 7 5 2 + 1 0 , 2692

Mari kita masukkan hasil perhitungan dalam tabel:

Substitusikan nilai yang diperoleh ke dalam rumus metode trapesium: 0 5 7 d x x 2 + 1 h 2 f (x 0) + 2 i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0, 5 2 7 + 2 5 , 6 + 3 , 5 + 2 , 1538 + 1 , 4 + 0 , 9655 + 0, 7 + 0 , 5283 + 0 , 4117 + 0 , 3294 + 0 , 2692 = 9 , 6117

Mari kita bandingkan hasil kita dengan hasil yang dihitung dengan rumus Newton-Leibniz. Nilai yang diterima bertepatan hingga seperseratus.

Menjawab: 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117

Contoh 2

Dengan menggunakan metode trapesium, kami menghitung nilai integral tentu 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x dengan ketelitian 0 , 01 .

Keputusan

Menurut kondisi masalah a = 1 ; b = 2 , f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; n 0, 01 .

Temukan n , yang sama dengan jumlah titik split dari segmen integrasi, menggunakan pertidaksamaan untuk memperkirakan galat mutlak n m a x x [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 . Kami akan melakukannya dengan cara berikut: kami akan menemukan nilai n yang pertidaksamaannya m a x x [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 0 , 01 . Diberikan n, rumus trapesium akan memberi kita nilai perkiraan integral tertentu dengan akurasi yang diberikan.

Pertama, cari nilai terbesar dari modulus turunan kedua fungsi tersebut pada interval [ 1 ; 2].

f "(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60" = 1 3 x 3 + 1 3 f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2

Fungsi turunan kedua adalah parabola kuadrat f "" (x) = x 2 . Kita tahu dari sifat-sifatnya bahwa itu positif dan meningkat pada segmen [ 1 ; 2]. Dalam hal ini, m a x x [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .

Dalam contoh yang diberikan, proses mencari m a x x [ a ; b ] f "" (x) ternyata agak sederhana. Dalam kasus kompleks, untuk perhitungan, Anda dapat merujuk ke nilai fungsi terbesar dan terkecil. Setelah mempertimbangkan contoh ini, kami menyajikan metode alternatif untuk menemukan m a x x [ a ; b ] f "" (x) .

Mari kita substitusikan nilai yang diperoleh ke dalam pertidaksamaan m a x x [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 0 , 01

4 (2 - 1) 3 12 n 2 0 . 01 n 2 100 3 n 5 .7735

Banyaknya interval dasar di mana segmen integrasi dibagi n adalah bilangan asli. Untuk perilaku perhitungan, mari kita ambil n sama dengan enam. Nilai n seperti itu akan memungkinkan kita untuk mencapai akurasi yang ditentukan dari metode trapesium dengan perhitungan minimum.

Mari kita hitung langkahnya: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .

Cari simpul x i = a + i h , i = 1 , 0 , . . . , n , kami menentukan nilai integran pada node ini:

i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0 , 4 i = 1: x 1 \u003d 1 + 1 1 6 \u003d 7 6 f (x 1) \u003d f 7 6 \u003d 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 0, 5266. . . i \u003d 6: x 10 \u003d 1 + 6 1 6 \u003d 2 f (x 6) \u003d f (2) \u003d 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 1, 9833

Kami menulis hasil perhitungan dalam bentuk tabel:

Kami mengganti hasil yang diperoleh ke dalam rumus trapesium:

1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x h 2 f (x 0) + 2 i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0 , 4 + 2 0, 5266 + 0, 6911 + 0, 9052 + 1, 1819 + 1, 5359 + 1, 9833 1, 0054

Untuk membandingkan, kami menghitung integral asli menggunakan rumus Newton-Leibniz:

1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

Seperti yang Anda lihat, kami telah mencapai akurasi perhitungan yang diperoleh.

Jawaban: 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x 1, 0054

Untuk integran kompleks, mencari bilangan n dari pertidaksamaan untuk menaksir galat mutlak tidak selalu mudah. Dalam hal ini, metode berikut akan sesuai.

Mari kita nyatakan nilai perkiraan integral tertentu, yang diperoleh dengan metode trapesium untuk n simpul, sebagai I n . Mari kita memilih angka n . Dengan menggunakan rumus metode trapesium, kami menghitung integral awal untuk jumlah node tunggal (n = 10) dan ganda (n = 20) dan menemukan nilai absolut dari perbedaan antara keduanya yang diperoleh nilai perkiraan I 20 - saya 10 .

Jika nilai mutlak selisih antara keduanya diperoleh nilai perkiraan kurang dari ketelitian yang dipersyaratkan I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Jika nilai mutlak selisih antara kedua nilai perkiraan yang diperoleh lebih besar dari ketelitian yang dipersyaratkan, maka perlu dilakukan pengulangan langkah dengan jumlah simpul dua kali (n = 40).

Cara ini membutuhkan banyak perhitungan, jadi sebaiknya gunakan teknologi komputer untuk menghemat waktu.

Mari kita selesaikan masalah menggunakan algoritma di atas. Untuk menghemat waktu, kami menghilangkan perhitungan antara menggunakan metode trapesium.

Contoh 3

Perlu menghitung integral tentu 0 2 x e x d x menggunakan metode trapesium dengan ketelitian 0, 001 .

Keputusan

Mari kita ambil n sama dengan 10 dan 20 . Menurut rumus trapesium, kita mendapatkan I 10 \u003d 8, 4595380, I 20 \u003d 8, 4066906.

I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, yang memerlukan perhitungan lebih lanjut.

Misalkan n sama dengan 40: I 40 = 8, 3934656.

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001, yang juga memerlukan perhitungan lebih lanjut.

Misalkan n sama dengan 80: I 80 = 8 , 3901585 .

I 80 - I 40 = 8.3901585 - 8.3934656 = 0,0033071 > 0,001, yang memerlukan penggandaan lagi jumlah node.

Misalkan n sama dengan 160: I 160 = 8, 3893317.

I 160 - I 80 = 8, 3893317 - 8, 3901585 = 0, 0008268< 0 , 001

Anda bisa mendapatkan nilai perkiraan integral asli dengan membulatkan I 160 = 8 , 3893317 ke seperseribu: 0 2 x e x d x 8 , 389 .

Sebagai perbandingan, kita menghitung integral tentu asli menggunakan rumus Newton-Leibniz: 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 8 , 3890561 . Akurasi yang dibutuhkan telah tercapai.

Jawaban: 0 2 x e x d x 8, 389

kesalahan

Perhitungan antara untuk menentukan nilai integral tertentu dilakukan, sebagian besar, kira-kira. Ini berarti bahwa ketika n meningkat, kesalahan komputasi mulai menumpuk.

Mari kita bandingkan taksiran kesalahan mutlak metode trapesium dan metode persegi panjang rata-rata:

n m a x x [ a ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2 n m a x x [ a ; b ] f "" (x) n h 3 24 = m a x x [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 24 n 2 .

Metode persegi panjang untuk n tertentu dengan jumlah pekerjaan komputasi yang sama memberikan setengah kesalahan. Ini membuat metode ini lebih disukai dalam kasus di mana nilai fungsi diketahui di segmen tengah segmen dasar.

Dalam kasus-kasus ketika fungsi yang dapat diintegrasikan ditentukan tidak secara analitis, tetapi sebagai kumpulan nilai pada node, kita dapat menggunakan metode trapesium.

Jika kita membandingkan keakuratan metode trapesium dan metode persegi panjang kanan dan kiri, maka metode pertama melampaui yang kedua dalam akurasi hasil.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Metode trapesium merupakan salah satu metode integrasi numerik. Hal ini memungkinkan Anda untuk menghitung integral tertentu dengan tingkat akurasi yang telah ditentukan.

Pertama, kami menjelaskan esensi dari metode trapesium dan menurunkan rumus trapesium. Selanjutnya, kami menulis perkiraan kesalahan absolut metode dan menganalisis secara rinci solusi dari contoh-contoh tipikal. Sebagai kesimpulan, mari kita bandingkan metode trapesium dengan metode persegi panjang.

Navigasi halaman.

Inti dari metode trapesium.

Mari kita tentukan sendiri tugas berikut: mari kita menghitung kira-kira integral tertentu , di mana integral y=f(x) kontinu pada interval .

Mari kita bagi segmen menjadi n interval yang sama panjangnya h dengan titik . Dalam hal ini, langkah partisi ditemukan karena node ditentukan dari persamaan .

Pertimbangkan integran pada interval dasar .

Empat kasus dimungkinkan (gambar menunjukkan yang paling sederhana, di mana semuanya berkurang ketika n meningkat tanpa batas):

Di setiap segmen mari kita ganti fungsi y=f(x) dengan ruas garis yang melalui titik-titik dengan koordinat dan . Kami menggambarkannya dalam gambar dengan garis biru:

Sebagai nilai perkiraan integral, kami mengambil ekspresi , yaitu, mari kita ambil .

Mari kita cari tahu apa arti persamaan perkiraan tertulis dalam arti geometris. Ini akan memungkinkan untuk memahami mengapa metode integrasi numerik yang dipertimbangkan disebut metode trapesium.

Kita tahu bahwa luas trapesium ditemukan sebagai produk dari setengah jumlah alas kali tinggi. Oleh karena itu, dalam kasus pertama, luas trapesium lengkung kira-kira sama dengan luas trapesium dengan alas dan tinggi h, dalam kasus terakhir, integral tertentu kira-kira sama dengan luas trapesium dengan alas dan tinggi h diambil dengan tanda minus. Dalam kasus kedua dan ketiga, nilai perkiraan integral tertentu sama dengan perbedaan antara luas daerah merah dan biru yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Dengan demikian, kami telah datang ke inti dari metode trapesium, yang terdiri dari menyatakan integral tertentu sebagai jumlah integral dari bentuk pada setiap interval dasar dan dalam penggantian perkiraan berikutnya .

rumus trapesium.

Berdasarkan sifat kelima integral tertentu .

Jika kita mengganti nilai perkiraannya alih-alih integral, kita mendapatkan:

Estimasi kesalahan mutlak metode trapesium.

Kesalahan mutlak dari metode trapesium dinilai sebagai
.

Ilustrasi grafis dari metode trapesium.

Ayo bawa ilustrasi grafis dari metode trapesium:

Contoh perhitungan perkiraan integral tentu dengan metode trapesium.

Mari kita gunakan contoh untuk menganalisis penerapan metode trapesium dalam perhitungan perkiraan integral tertentu.

Pada dasarnya ada dua jenis tugas:

• atau hitung integral tentu dengan metode trapesium untuk sejumlah partisi segmen n tertentu,
• atau menemukan nilai perkiraan integral tertentu dengan akurasi yang diperlukan.

Perlu dicatat bahwa untuk n tertentu, perhitungan menengah harus dilakukan dengan tingkat akurasi yang cukup, dan semakin besar n, semakin tinggi akurasi perhitungannya.

Jika diperlukan untuk menghitung integral tertentu dengan akurasi tertentu, misalnya, hingga 0,01 , maka kami merekomendasikan agar perhitungan antara dilakukan dua atau tiga kali lipat lebih akurat, yaitu hingga 0,0001 - 0,00001 . Jika akurasi yang ditentukan dicapai pada n besar, maka perhitungan menengah harus dilakukan dengan akurasi yang lebih tinggi.

Sebagai contoh, mari kita ambil integral tertentu, yang nilainya dapat kita hitung menggunakan rumus Newton-Leibniz, sehingga kita dapat membandingkan hasil ini dengan nilai perkiraan yang diperoleh dengan menggunakan metode trapesium.

Jadi, .

Contoh.

Hitung integral tentu menggunakan metode trapesium untuk n = 10 .

Keputusan.

Rumus untuk metode trapesium adalah . Artinya, untuk menerapkannya, kita cukup menghitung langkah h menggunakan rumus , menentukan node dan menghitung nilai integran yang sesuai .

Mari kita hitung langkah partisi: .

Kami mendefinisikan node dan menghitung nilai integran di dalamnya (kami akan mengambil empat tempat desimal):

Untuk memudahkan, hasil perhitungan disajikan dalam bentuk tabel:

Kami menggantinya ke dalam rumus metode trapesium:

Nilai yang diperoleh bertepatan hingga seperseratus dengan nilai yang dihitung dengan rumus Newton-Leibniz.

Contoh.

Hitung Integral Pasti metode trapesium dengan ketelitian 0,01 .

Keputusan.

Apa yang kita peroleh dari kondisi: a = 1; b=2; .

Dalam hal ini, pertama-tama, kami menemukan jumlah titik split dari segmen integrasi, yaitu n. Kita dapat melakukan ini dengan menggunakan ketidaksetaraan untuk memperkirakan kesalahan absolut . Jadi, jika kita menemukan n dimana pertidaksamaan akan berlaku , maka rumus trapesium untuk n yang diberikan akan memberi kita nilai perkiraan integral tertentu dengan akurasi yang diperlukan.

Mari kita cari nilai terbesar dari modulus turunan kedua dari fungsi pada interval .

Turunan kedua dari fungsi adalah parabola kuadrat, kita tahu dari sifat-sifatnya bahwa itu positif dan meningkat pada segmen, oleh karena itu . Seperti yang Anda lihat, dalam contoh kami, proses menemukan cukup sederhana. Untuk kasus yang lebih kompleks, lihat bagian. Jika sangat sulit ditemukan, maka setelah contoh ini kami akan memberikan metode tindakan alternatif.

Mari kita kembali ke ketidaksetaraan kita dan substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalamnya:

Sebagai n adalah bilangan asli (n adalah jumlah interval dasar di mana segmen integrasi dibagi), maka kita dapat mengambil n = 6, 7, 8, ... Mari kita ambil n = 6 . Ini akan memungkinkan kami untuk mencapai akurasi yang diperlukan dari metode trapesium dengan perhitungan minimum (walaupun untuk kasus kami dengan n = 10 akan lebih mudah untuk melakukan perhitungan manual).

Jadi, n ditemukan, sekarang lanjutkan seperti pada contoh sebelumnya.

Hitung langkah: .

Temukan node grid dan nilai integran pada mereka:

Mari kita masukkan hasil perhitungan ke dalam tabel:

Kami mengganti hasil yang diperoleh ke dalam rumus trapesium:

Kami menghitung integral asli menggunakan rumus Newton-Leibniz untuk membandingkan nilainya:

Oleh karena itu, akurasi yang dibutuhkan tercapai.

Perlu dicatat bahwa menemukan bilangan n dari pertidaksamaan untuk menaksir galat mutlak bukanlah prosedur yang sangat sederhana, terutama untuk integran kompleks. Oleh karena itu, logis untuk menggunakan metode berikut.

Nilai perkiraan integral tertentu yang diperoleh dengan metode trapesium untuk n simpul akan dilambangkan dengan .

Pilih angka sembarang n , misalnya n = 10 . Dengan menggunakan rumus metode trapesium, kami menghitung integral awal untuk n = 10 dan untuk dua kali jumlah simpul, yaitu untuk n = 20. Kami menemukan nilai absolut dari perbedaan antara dua nilai perkiraan yang diperoleh. Jika kurang dari akurasi yang dibutuhkan , kemudian kami menghentikan perhitungan dan mengambil nilai sebagai nilai perkiraan integral tertentu, setelah sebelumnya dibulatkan ke urutan akurasi yang diperlukan. Jika tidak, kami menggandakan jumlah node (kami mengambil n = 40 ) dan ulangi langkah-langkahnya.

Tugas mengajar dan mendidik:

• tujuan didaktik. Untuk memperkenalkan siswa pada metode perkiraan perhitungan integral tertentu.
• tujuan pendidikan. Topik pelajaran ini adalah nilai praktis dan pendidikan yang besar. Gagasan integrasi numerik paling sederhana dapat didekati berdasarkan definisi integral tertentu sebagai batas jumlah integral. Misalnya, jika kita mengambil beberapa partisi segmen yang cukup kecil [ sebuah; b] dan buat jumlah integral untuknya, maka nilainya dapat diambil sebagai nilai integral yang sesuai. Pada saat yang sama, penting untuk melakukan perhitungan dengan cepat dan benar menggunakan teknologi komputer.

Pengetahuan dan keterampilan dasar. Memiliki pemahaman tentang metode perkiraan untuk menghitung integral tertentu menggunakan rumus persegi panjang dan trapesium.

Memastikan pelajaran

• Selebaran. Kartu tugas untuk pekerjaan mandiri.
• TSO. Multiproyektor, PC, laptop.
• peralatan TCO. Presentasi: "Makna geometris turunan", "Metode persegi panjang", "Metode trapesium". (Presentasi dapat dipinjam dari penulis).
• Alat komputasi: PC, mikrokalkulator.
• Pedoman

Jenis kelas. Praktis terintegrasi.

Motivasi aktivitas kognitif siswa. Sangat sering kita harus menghitung integral tertentu yang antiturunannya tidak mungkin ditemukan. Dalam hal ini, metode perkiraan untuk menghitung integral tertentu digunakan. Terkadang metode perkiraan juga digunakan untuk "mengambil" integral, jika perhitungan dengan rumus Newton-Leibniz tidak rasional. Gagasan perhitungan perkiraan integral adalah bahwa kurva diganti dengan kurva baru yang cukup "dekat" dengannya. Tergantung pada pilihan kurva baru, satu atau beberapa rumus integrasi perkiraan dapat digunakan.

Urutan pelajaran.

1. rumus persegi panjang.
2. rumus trapesium.
3. Solusi latihan.

Rencana belajar

1. Pengulangan pengetahuan dasar siswa.

Ulangi dengan siswa: rumus dasar integrasi, esensi dari metode integrasi yang dipelajari, makna geometris dari integral tertentu.

1. Melaksanakan kerja praktek.

Solusi dari banyak masalah teknis direduksi menjadi perhitungan integral tertentu, ekspresi yang tepat yang sulit, membutuhkan perhitungan yang panjang dan tidak selalu dibenarkan dalam praktik. Di sini, nilai perkiraan mereka cukup memadai.

Misalkan, kita perlu menghitung luas yang dibatasi oleh garis yang persamaannya tidak diketahui. Dalam hal ini, Anda dapat mengganti garis ini dengan yang lebih sederhana, yang persamaannya diketahui. Luas trapesium lengkung yang diperoleh diambil sebagai nilai perkiraan integral yang diinginkan.

Metode perkiraan yang paling sederhana adalah metode persegi panjang. Secara geometris, ide di balik cara menghitung integral tentu menggunakan rumus persegi panjang adalah bahwa luas trapesium lengkung ABCD digantikan oleh jumlah luas persegi panjang, satu sisinya adalah , dan yang lainnya adalah .

Jika kita meringkas luas persegi panjang yang menunjukkan luas trapesium lengkung dengan kerugian [Gambar 1], maka kita mendapatkan rumus:

[Gambar 1]

maka kita mendapatkan rumus:

Jika berlimpah

[Gambar 2],

kemudian

Nilai y 0 , y 1 ,..., y n ditemukan dari persamaan , k = 0, 1..., n.Rumus ini disebut rumus persegi panjang dan memberikan hasil perkiraan. Dengan bertambahnya n hasilnya menjadi lebih akurat.

Jadi, untuk menemukan nilai perkiraan integral, Anda perlu:

Untuk menemukan kesalahan perhitungan, Anda perlu menggunakan rumus:

Contoh 1 Hitung dengan rumus persegi panjang. Temukan kesalahan absolut dan relatif dari perhitungan.

Mari kita bagi segmen [ sebuah, b] menjadi beberapa (misalnya, 6) bagian yang sama. Kemudian a = 0, b = 3 ,

x k = a + k x
X 0 = 2 + 0 = 2
X 1 = 2 + 1 = 2,5
X 2 = 2 + 2 =3
X 3 = 2 + 3 = 3
X 4 = 2 + 4 = 4
X 5 = 2 + 5 = 4,5

f(x 0) = 2 2 = 4
f (x 1) = 2 ,5 2 = 6,25
f (x 2) = 3 2 = 9
f (x 3) = 3,5 2 = 12,25
f (x 4) = 4 2 = 16
f (x 5) = 4,5 2 = 20,25.

Menurut rumus (1):

Untuk menghitung kesalahan relatif perhitungan, perlu untuk menemukan nilai yang tepat dari integral:

Perhitungannya memakan waktu lama dan kami mendapatkan pembulatan yang agak kasar. Untuk menghitung integral ini dengan pendekatan yang lebih kecil, Anda dapat menggunakan kemampuan teknis komputer.

Untuk menemukan integral tertentu dengan metode persegi panjang, perlu untuk memasukkan nilai-nilai integran f(x) ke lembar kerja Excel dalam kisaran X dengan langkah yang diberikan X= 0,1.

1. Menyusun tabel data (X dan f(x)). X f(x). Argumen, dan di sel B1 - kata Fungsi2 2,1 ). Kemudian, setelah memilih blok sel A2:A3, kami mendapatkan semua nilai argumen dengan pelengkapan otomatis (kami memperluas sudut kanan bawah blok ke sel A32, ke nilai x=5).
2. Selanjutnya, kami memperkenalkan nilai-nilai integran. Di sel B2, Anda perlu menulis persamaannya. Untuk melakukan ini, tempatkan kursor tabel di sel B2 dan masukkan rumus dari keyboard =A2^2(untuk tata letak keyboard bahasa Inggris). Tekan tombol Memasuki. Di sel B2 muncul 4 . Sekarang Anda perlu menyalin fungsi dari sel B2. Pelengkapan otomatis salin rumus ini ke rentang B2:B32.
   Akibatnya, tabel data harus diperoleh untuk menemukan integral.
3. Sekarang di sel B33 nilai perkiraan integral dapat ditemukan. Untuk melakukan ini, di sel B33, masukkan rumus = 0,1*, lalu panggil Fungsi Wizard (dengan menekan tombol Sisipkan Fungsi pada toolbar (f(x)). Pada kotak dialog Function Wizard-Step 1 of 2 yang muncul, di sebelah kiri, di bidang Category, pilih Math. Di sebelah kanan di bidang Fungsi - fungsi Jumlah. Kami menekan tombol OKE. Kotak dialog Jumlah muncul. Masukkan rentang penjumlahan B2:B31 ke bidang kerja dengan mouse. Kami menekan tombol OKE. Di sel B33, nilai perkiraan integral yang diinginkan muncul dengan kerugian ( 37,955 ) .

Membandingkan nilai perkiraan yang diperoleh dengan nilai sebenarnya dari integral ( 39 ), dapat dilihat bahwa kesalahan aproksimasi metode persegi panjang dalam hal ini adalah sama dengan

= |39 - 37 , 955| = 1 ,045

Contoh 2 Menggunakan metode persegi panjang, hitung dengan langkah yang diberikan X = 0,05.

Membandingkan nilai perkiraan yang diperoleh dengan nilai sebenarnya dari integral , dapat dilihat bahwa kesalahan aproksimasi metode persegi panjang dalam hal ini sama dengan

Metode trapesium biasanya memberikan nilai integral yang lebih akurat daripada metode persegi panjang. Trapesium lengkung diganti dengan jumlah beberapa trapesium dan nilai perkiraan integral tertentu ditemukan sebagai jumlah luas trapesium

[Gambar3]

Contoh 3 Temukan trapesium langkah demi langkah X = 0,1.

1. Buka lembar kerja kosong.
2. Menyusun tabel data (X dan f(x)). Biarkan kolom pertama menjadi nilai X, dan indikator kedua yang sesuai f(x). Untuk melakukan ini, di sel A1, masukkan kata Argumen, dan di sel B1 - kata Fungsi. Di sel A2, nilai pertama argumen dimasukkan - batas kiri rentang ( 0 ). Di sel A3, nilai kedua argumen dimasukkan - batas kiri rentang ditambah langkah konstruksi ( 0,1 ). Kemudian, setelah memilih blok sel A2:A3, kami mendapatkan semua nilai argumen dengan pelengkapan otomatis (kami memperluas sudut kanan bawah blok ke sel A33, ke nilai x=3.1).
3. Selanjutnya, kami memperkenalkan nilai-nilai integran. Di sel B2, Anda harus menulis persamaannya (dalam contoh sinus). Untuk melakukan ini, kursor tabel harus ditempatkan di sel B2. Harus ada nilai sinus yang sesuai dengan nilai argumen di sel A2. Untuk mendapatkan nilai sinus, kita akan menggunakan fungsi khusus: klik tombol Sisipkan fungsi pada bilah alat f(x). Pada kotak dialog Function Wizard-Step 1 of 2 yang muncul, di sebelah kiri, di bidang Category, pilih Math. Di sebelah kanan di bidang Fungsi - fungsi DOSA. Kami menekan tombol OKE. Sebuah kotak dialog muncul DOSA. Arahkan penunjuk mouse ke bidang abu-abu jendela, dengan menekan tombol kiri, pindahkan bidang ke kanan untuk membuka kolom data ( TETAPI). Tentukan nilai argumen sinus dengan mengklik sel A2. Kami menekan tombol OKE. 0 muncul di sel B2. Sekarang Anda perlu menyalin fungsi dari sel B2. Pelengkapan otomatis salin rumus ini ke rentang B2:B33. Akibatnya, tabel data harus diperoleh untuk menemukan integral.
4. Sekarang di sel B34 nilai perkiraan integral dapat ditemukan menggunakan metode trapesium. Untuk melakukan ini, di sel B34, masukkan rumus \u003d 0,1 * ((B2 + B33) / 2+, lalu panggil Fungsi Wizard (dengan menekan tombol Sisipkan Fungsi pada toolbar (f(x)). Pada kotak dialog Function Wizard-Step 1 of 2 yang muncul, di sebelah kiri, di bidang Category, pilih Math. Di sebelah kanan di bidang Fungsi - fungsi Jumlah. Kami menekan tombol OKE. Kotak dialog Jumlah muncul. Masukkan rentang penjumlahan B3:B32 ke bidang kerja dengan mouse. Kami menekan tombol Oke sekali lagi OKE. Di sel B34, nilai perkiraan integral yang dicari muncul dengan kerugian ( 1,997 ) .

Membandingkan nilai perkiraan yang diperoleh dengan nilai sebenarnya dari integral, orang dapat melihat bahwa kesalahan pendekatan dari metode persegi panjang dalam hal ini cukup dapat diterima untuk latihan.

1. Solusi latihan.