Dispersi (hamburan) dari variabel acak diskrit D(X) adalah ekspektasi matematis dari deviasi kuadrat dari variabel acak dari ekspektasi matematisnya
1 properti. Dispersi konstanta C adalah nol; D(C) = 0.
Bukti. Menurut definisi varians, D(C) = M( 2 ).
Dari sifat pertama harapan D(C) = M[(C – C) 2 ] = M(0) = 0.
2 properti. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda dispersi dengan mengkuadratkannya:
D(CX) = C2 D(X)
Bukti. Menurut definisi varians, D(CX) = M( 2 )
Dari sifat harapan kedua D(CX)=M( 2 )= C 2 M( 2 )=C 2 D(X)
3 properti. Varians dari jumlah dua variabel acak independen sama dengan jumlah varians dari variabel-variabel ini:
D = D[X] + D.
Bukti. Menurut rumus untuk menghitung varians, kami memiliki
D(X + Y) = M[(X + Y) 2 ] 2
Membuka kurung dan menggunakan sifat-sifat ekspektasi matematis dari jumlah beberapa kuantitas dan produk dari dua variabel acak independen, kami memperoleh
D(X + Y) = M 2 = M(X2) + 2M(X)M(Y) + M(Y2) M2(X) 2M(X)M(Y) M2(Y) = ( M(X2) 2)+(M(Y2) 2) = D(X) + D(Y). Jadi D(X + Y) = D(X) + D(Y)
4 properti. Varians selisih dua peubah acak bebas sama dengan jumlah variansnya:
D(X Y) = D(X) + D(Y)
Bukti. Berdasarkan sifat ketiga, D(X Y) = D(X) + D(–Y). Dengan properti kedua
D(X Y) = D(X) + (–1) 2 D(Y) atau D(X Y) = D(X) + D(Y)
Karakteristik numerik dari sistem variabel acak. Koefisien korelasi, sifat-sifat koefisien korelasi.
momen korelasi. Karakteristik ketergantungan antara variabel acak adalah ekspektasi matematis dari produk deviasi dan dari pusat distribusinya (sebagai ekspektasi matematis dari variabel acak kadang-kadang disebut), yang disebut momen korelasi atau kovarians:
Untuk menghitung momen korelasi nilai diskrit, digunakan rumus sebagai berikut:
dan untuk kuantitas kontinu - rumusnya:
Koefisien korelasi rxy variabel acak X dan Y adalah rasio momen korelasi dengan produk standar deviasi dari nilai-nilai:
- koefisien korelasi;
Sifat koefisien korelasi:
1. Jika X dan Y adalah variabel acak independen, maka r = 0;
2. -1≤ r 1 Selain itu, jika |r| =1, maka antara X dan Y bersifat fungsional, yaitu hubungan linier;
3. r mencirikan nilai relatif deviasi M(XY) dari M(X)M(Y), dan karena penyimpangan terjadi hanya untuk jumlah tergantung, kemudian r mencirikan ketatnya ketergantungan.
Fungsi regresi linier.
Pertimbangkan variabel acak dua dimensi (X, Y), di mana X dan Y adalah variabel acak dependen. Kami mewakili salah satu kuantitas sebagai fungsi dari yang lain. Kami membatasi diri pada representasi perkiraan (perkiraan yang tepat, secara umum, tidak mungkin) dari Y sebagai fungsi linier dari X:
di mana dan adalah parameter yang akan ditentukan.
Dalil. Regresi kuadrat rata-rata linier Y pada X memiliki bentuk
di mana m x =M(X), m y =M(Y), x =√D(X), y =√D(Y), r=µ xy /(σ x y)- koefisien korelasi nilai X dan Y.
Koefisien =rσ y /σ x disebut koefisien regresi Y ke X, dan garis lurus
disebut lurus regresi kuadrat rata-rata
Y ke X.
ketidaksamaan Markov.
Pernyataan pertidaksamaan Markov
Jika tidak ada nilai negatif dari variabel acak X, maka probabilitas bahwa ia akan mengambil beberapa nilai yang melebihi angka positif A tidak lebih dari pecahan, yaitu.
dan probabilitas bahwa itu akan mengambil beberapa nilai yang tidak melebihi angka positif A tidak kurang dari , yaitu.
Pertidaksamaan Chebyshev.
Pertidaksamaan Chebyshev. Probabilitas bahwa penyimpangan variabel acak X dari ekspektasi matematisnya dalam nilai absolut lebih kecil dari bilangan positif , tidak kurang dari 1 D[X]ε 2
P(|X – M(X)|< ε) ≥ 1 –D(X)ε 2
Bukti. Karena peristiwa yang terdiri dari realisasi ketidaksetaraan
P(|X−M(X)|< ε) и P(|X – M(X)| ≥ε) противоположны, то сумма их вероятностей равна единице, т. е.
P(|X – M(X)|< ε) + P(|X – M(X)| ≥ ε) = 1.
Oleh karena itu probabilitas kita tertarik
P(|X – M(X)|< ε) = 1 − P(|X – M(X)| > ε).
Jadi, masalahnya direduksi menjadi menghitung probabilitas P(|X –M(X)| ).
Mari kita tulis ekspresi untuk varians dari variabel acak X
D(X) = 2p1 + 2p2 + . . . + 2pn
Semua istilah dari jumlah ini adalah non-negatif. Kami membuang suku-suku yang |x i – M(X)|< ε (для оставшихся слагаемых |x j – M(X)| ≥ ε), вследствие чего сумма может только уменьшиться. Условимся считать для определенности, что отброшено k первых слагаемых (не нарушая общности, можно считать, что в таблице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке). Таким образом,
D(X) 2 p k+1 + 2 p k+2 + . . . + 2pn
Kedua bagian pertidaksamaan |x j –M(X)| (j = k+1, k+2, . ., n) positif, oleh karena itu, dengan mengkuadratkannya, kita memperoleh pertidaksamaan ekuivalen |x j – M(X)| 2 2. Mengganti setiap faktor dalam jumlah yang tersisa
|xj – M(X)| 2 dengan angka 2 (dalam hal ini, pertidaksamaan hanya bisa bertambah), kita peroleh
D(X) 2 (p k+1 + p k+2 + . . + p n)
Dengan teorema penjumlahan, jumlah peluangnya adalah p k+1 +p k+2 +. . .+p n adalah probabilitas bahwa X akan mengambil satu, tidak peduli yang mana, dari nilai x k+1 +x k+2 +. . .+x n , dan untuk salah satu dari mereka, deviasi memenuhi pertidaksamaan |x j – M(X)| . Maka jumlah p k+1 + p k+2 + . . . + p n menyatakan probabilitas
P(|X – M(X)| ).
Hal ini memungkinkan kita untuk menulis ulang pertidaksamaan untuk D(X) sebagai
D(X) 2 P(|X – M(X)| )
P(|X – M(X)|≥ ) D(X)/ε 2
Akhirnya kita mendapatkan
P(|X – M(X)|< ε) ≥D(X)/ε 2
teorema Chebyshev.
Teorema Chebyshev. Jika sebuah - variabel acak independen berpasangan, dan variansnya terbatas secara seragam (tidak melebihi angka konstan Dengan ), maka sekecil apapun bilangan positifnyaε , peluang pertidaksamaan
akan sewenang-wenang mendekati kesatuan jika jumlah variabel acak cukup besar.
Dengan kata lain, di bawah kondisi teorema
Bukti. Mari kita perkenalkan variabel acak baru - mean aritmatika dari variabel acak
Mari kita cari ekspektasi matematis X. Dengan menggunakan sifat-sifat ekspektasi matematis (faktor konstanta dapat diambil dari tanda ekspektasi matematis, ekspektasi matematis dari jumlah sama dengan jumlah ekspektasi matematis dari suku-suku tersebut) , kita peroleh
| (1) |
Menerapkan pertidaksamaan Chebyshev ke X, kita memiliki
atau, dengan mempertimbangkan hubungan (1)
Dengan menggunakan sifat-sifat varians (faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda varians dengan mengkuadratkannya; varians dari jumlah variabel acak independen sama dengan jumlah varians dari suku-sukunya), kita peroleh
Dengan syarat, dispersi semua variabel acak dibatasi oleh angka konstan C, yaitu. ada ketidaksetaraan:
 (2)
|
Substitusikan ruas kanan (2) ke dalam pertidaksamaan (1) (mengapa yang terakhir hanya dapat dikuatkan), kita peroleh
Oleh karena itu, melewati batas sebagai n→∞, kami memperoleh
Akhirnya, mengingat probabilitasnya tidak dapat melebihi satu, kita akhirnya dapat menulis
Teorema telah terbukti.
teorema Bernoulli.
teorema Bernoulli. Jika dalam setiap n percobaan bebas peluang p terjadinya kejadian A adalah konstan, maka peluangnya mendekati satu sehingga deviasi frekuensi relatif dari peluang p dalam nilai mutlak akan kecil secara sembarang jika banyaknya percobaan cukup besar.
Dengan kata lain, jika adalah bilangan positif kecil sewenang-wenang, maka di bawah kondisi teorema kita memiliki persamaan
Bukti. Dilambangkan dengan x1 variabel acak diskrit - jumlah kemunculan peristiwa dalam tes pertama, melalui x2- yang kedua, ..., X n- di n tes ke. Jelas bahwa masing-masing kuantitas hanya dapat mengambil dua nilai: 1 (peristiwa A telah terjadi) dengan probabilitas p dan 0 (peristiwa tidak terjadi) dengan probabilitas .
Topik 8.12. Dispersi variabel acak.
HAI. Varians variabel acak adalah ekspektasi matematis dari deviasi kuadrat dari variabel acak dari ekspektasi matematisnya.
Dispersi mencirikan tingkat dispersi nilai-nilai variabel acak relatif terhadap harapan matematisnya. Jika semua nilai variabel acak terkonsentrasi di sekitar ekspektasi matematisnya dan penyimpangan besar dari ekspektasi matematis tidak mungkin terjadi, maka variabel acak semacam itu memiliki dispersi kecil. Jika nilai-nilai variabel acak tersebar dan ada kemungkinan besar penyimpangan besar dari harapan matematis, maka variabel acak semacam itu memiliki dispersi yang besar.
Menggunakan definisi varians, untuk variabel acak diskrit, rumus untuk menghitung varians dapat direpresentasikan sebagai berikut:
Anda dapat memperoleh rumus lain untuk menghitung varians:
Jadi, varians dari variabel acak sama dengan selisih antara ekspektasi matematis kuadrat variabel acak dan kuadrat ekspektasi matematisnya.
Sifat dispersi.
Kami meninggalkan properti ini tanpa bukti.
hukum distribusi binomial.
Biarkan angka diberikan n milik N dan p(0 <p< satu). Kemudian setiap bilangan bulat dari interval dapat diberikan probabilitas yang dihitung menggunakan rumus Bernoulli. Mari kita dapatkan hukum distribusi variabel acak (sebut saja B(betta))
Kita akan mengatakan bahwa variabel acak terdistribusi menurut hukum Bernoulli. Variabel acak seperti itu adalah frekuensi kemunculan peristiwa A dalam n percobaan bebas berulang, jika dalam setiap percobaan kejadian A terjadi dengan probabilitas p.
Pertimbangkan yang terpisah saya- tes. Ruang hasil dasar untuk itu memiliki bentuk
Hukum distribusi variabel acak telah dibahas dalam topik sebelumnya
Untuk saya= 1,2, ... , n kami mendapatkan sistem dari n variabel acak independen yang memiliki hukum distribusi yang sama. 
Contoh.
Dari 20 sampel produk yang dipilih untuk kontrol, 4 ternyata tidak standar. Mari kita perkirakan probabilitas bahwa salinan produk yang dipilih secara acak tidak memenuhi standar dengan rasio R *= 4/20 = 0,2.
Sebagai X nilai acak, R * juga merupakan variabel acak. Nilai R * dapat bervariasi dari satu eksperimen ke eksperimen lainnya (dalam kasus yang dipertimbangkan, eksperimen adalah pemilihan dan kontrol acak dari 20 produk). Apa harapan matematisnya? R *? Sejauh X adalah variabel acak yang mewakili jumlah keberhasilan dalam n tes Bernoulli, M( x) = np. Untuk ekspektasi matematis dari variabel acak R* menurut definisi kita mendapatkan: M(p*) = M(x/n), tetapi n di sini adalah konstanta, jadi dengan properti ekspektasi
M(p*) = 1/n*M(x)=1/n np=p
Jadi, "rata-rata" adalah nilai sebenarnya R, yang diharapkan. Ini adalah properti evaluasi R* kuantitas R memiliki nama: R* adalah tidak bias evaluasi untuk R. Tidak ada penyimpangan sistematis dari nilai estimasi parameter R menegaskan kelayakan menggunakan nilai R* sebagai perkiraan. Kami membiarkan pertanyaan tentang keakuratan perkiraan terbuka untuk saat ini.
Ekspektasi dan varians matematis adalah karakteristik numerik yang paling umum digunakan dari variabel acak. Mereka mencirikan fitur paling penting dari distribusi: posisi dan tingkat dispersinya. Dalam banyak masalah praktik, deskripsi lengkap dan lengkap dari variabel acak - hukum distribusi - tidak dapat diperoleh sama sekali, atau tidak diperlukan sama sekali. Dalam kasus ini, mereka terbatas pada deskripsi perkiraan variabel acak menggunakan karakteristik numerik.
Ekspektasi matematis sering disebut hanya sebagai nilai rata-rata dari variabel acak. Dispersi variabel acak adalah karakteristik dispersi, dispersi variabel acak di sekitar harapan matematisnya.
Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit
Mari kita mendekati konsep ekspektasi matematis, pertama-tama melanjutkan dari interpretasi mekanis dari distribusi variabel acak diskrit. Biarkan massa unit didistribusikan antara titik-titik sumbu x x1 , x 2 , ..., x n, dan setiap titik material memiliki massa yang sesuai dengannya dari p1 , p 2 , ..., p n. Diperlukan untuk memilih satu titik pada sumbu x, yang mencirikan posisi seluruh sistem titik material, dengan mempertimbangkan massanya. Adalah wajar untuk mengambil pusat massa sistem titik material sebagai titik seperti itu. Ini adalah rata-rata tertimbang dari variabel acak X, di mana absis setiap titik xsaya masuk dengan "bobot" sama dengan probabilitas yang sesuai. Nilai rata-rata dari variabel acak sehingga diperoleh X disebut ekspektasi matematisnya.
Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit adalah jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dan probabilitas nilai-nilai ini:
Contoh 1 Mengorganisir lotere win-win. Ada 1000 kemenangan, 400 di antaranya masing-masing 10 rubel. 300 - 20 rubel masing-masing 200 - 100 rubel masing-masing. dan masing-masing 100 - 200 rubel. Berapa rata-rata kemenangan untuk seseorang yang membeli satu tiket?
Keputusan. Kami akan menemukan kemenangan rata-rata jika jumlah total kemenangan, yang sama dengan 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rubel, dibagi dengan 1000 (jumlah total kemenangan). Maka kita mendapatkan 50000/1000 = 50 rubel. Tetapi ekspresi untuk menghitung keuntungan rata-rata juga dapat direpresentasikan dalam bentuk berikut:
Di sisi lain, dalam kondisi ini, jumlah kemenangan adalah variabel acak yang dapat mengambil nilai 10, 20, 100 dan 200 rubel. dengan probabilitas sama dengan 0,4, masing-masing; 0,3; 0.2; 0.1. Oleh karena itu, hasil rata-rata yang diharapkan sama dengan jumlah produk dari ukuran hasil dan kemungkinan menerimanya.
Contoh 2 Penerbit memutuskan untuk menerbitkan buku baru. Dia akan menjual buku itu seharga 280 rubel, 200 di antaranya akan diberikan kepadanya, 50 ke toko buku, dan 30 kepada penulisnya. Tabel tersebut memberikan informasi tentang biaya penerbitan buku dan kemungkinan penjualan sejumlah eksemplar buku tersebut.
Temukan keuntungan yang diharapkan penerbit.
Keputusan. Variabel acak "keuntungan" sama dengan perbedaan antara pendapatan dari penjualan dan biaya biaya. Misalnya, jika 500 eksemplar buku terjual, maka pendapatan dari penjualan adalah 200 * 500 = 100.000, dan biaya penerbitan adalah 225.000 rubel. Dengan demikian, penerbit menghadapi kerugian 125.000 rubel. Tabel berikut merangkum nilai yang diharapkan dari variabel acak - laba:
| Nomor | Laba xsaya | Kemungkinan psaya | xsaya p saya |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Total: | 1,00 | 25000 |
Dengan demikian, kita memperoleh ekspektasi matematis dari keuntungan penerbit:
.
Contoh 3 Kesempatan untuk memukul dengan satu tembakan p= 0,2. Tentukan konsumsi cangkang yang memberikan ekspektasi matematis dari jumlah pukulan sama dengan 5.
Keputusan. Dari formula harapan yang sama yang telah kami gunakan sejauh ini, kami menyatakan x- konsumsi kerang:
.
Contoh 4 Tentukan ekspektasi matematis dari variabel acak x jumlah pukulan dengan tiga tembakan, jika probabilitas memukul dengan setiap tembakan p = 0,4 .
Petunjuk: temukan probabilitas nilai variabel acak dengan rumus Bernoulli .
Properti Harapan
Pertimbangkan sifat-sifat harapan matematis.
Properti 1. Ekspektasi matematis dari nilai konstan sama dengan konstanta ini:
Properti 2. Faktor konstan dapat diambil dari tanda harapan:
Properti 3. Ekspektasi matematis dari jumlah (selisih) variabel acak sama dengan jumlah (selisih) ekspektasi matematisnya:
Properti 4. Ekspektasi matematis produk variabel acak sama dengan produk ekspektasi matematisnya:
Properti 5. Jika semua nilai dari variabel acak X berkurang (naik) dengan angka yang sama Dengan, maka ekspektasi matematisnya akan berkurang (naik) dengan angka yang sama:
Ketika Anda tidak dapat dibatasi hanya pada ekspektasi matematis
Dalam kebanyakan kasus, hanya ekspektasi matematis yang tidak dapat secara memadai mengkarakterisasi variabel acak.
Biarkan variabel acak X dan kamu diberikan oleh hukum distribusi berikut:
| Berarti X | Kemungkinan |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Berarti kamu | Kemungkinan |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Harapan matematis dari jumlah ini adalah sama - sama dengan nol:
Namun, distribusinya berbeda. Nilai acak X hanya dapat mengambil nilai yang sedikit berbeda dari ekspektasi matematis, dan variabel acak kamu dapat mengambil nilai yang menyimpang secara signifikan dari ekspektasi matematis. Contoh serupa: upah rata-rata tidak memungkinkan untuk menilai proporsi pekerja bergaji tinggi dan rendah. Dengan kata lain, dengan ekspektasi matematis seseorang tidak dapat menilai penyimpangan apa yang mungkin terjadi darinya, setidaknya secara rata-rata. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan varians dari variabel acak.
Dispersi variabel acak diskrit
penyebaran variabel acak diskrit X disebut ekspektasi matematis kuadrat deviasinya dari ekspektasi matematis:
Simpangan baku variabel acak X adalah nilai aritmatika dari akar kuadrat variansnya:
.
Contoh 5 Hitung varians dan standar deviasi dari variabel acak X dan kamu, yang hukum distribusinya diberikan dalam tabel di atas.
Keputusan. Ekspektasi matematis dari variabel acak X dan kamu, seperti yang ditemukan di atas, sama dengan nol. Menurut rumus dispersi untuk E(X)=E(kamu)=0 kita peroleh:
Maka simpangan baku variabel acak X dan kamu merupakan
.
Jadi, dengan harapan matematis yang sama, varians dari variabel acak X sangat kecil dan acak kamu- penting. Ini adalah konsekuensi dari perbedaan dalam distribusi mereka.
Contoh 6 Investor memiliki 4 alternatif proyek investasi. Tabel merangkum data tentang keuntungan yang diharapkan dalam proyek-proyek ini dengan probabilitas yang sesuai.
| Proyek 1 | Proyek 2 | Proyek 3 | Proyek 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Cari untuk setiap alternatif harapan matematis, varians dan standar deviasi.
Keputusan. Mari kita tunjukkan bagaimana jumlah ini dihitung untuk alternatif ke-3:
Tabel merangkum nilai yang ditemukan untuk semua alternatif.
Semua alternatif memiliki ekspektasi matematis yang sama. Artinya dalam jangka panjang setiap orang memiliki pendapatan yang sama. Standar deviasi dapat diartikan sebagai ukuran risiko - semakin besar, semakin besar risiko investasi. Seorang investor yang tidak menginginkan banyak risiko akan memilih proyek 1 karena memiliki standar deviasi terkecil (0). Jika investor lebih menyukai risiko dan pengembalian yang tinggi dalam waktu singkat, maka ia akan memilih proyek dengan standar deviasi terbesar - proyek 4.
Sifat Dispersi
Mari kita sajikan sifat-sifat dispersi.
Properti 1. Dispersi nilai konstan adalah nol:
Properti 2. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda dispersi dengan mengkuadratkannya:
.
Properti 3. Varians variabel acak sama dengan ekspektasi matematis dari kuadrat nilai ini, dari mana kuadrat ekspektasi matematis dari nilai itu sendiri dikurangi:
,
di mana 
.
Properti 4. Varians jumlah (selisih) variabel acak sama dengan jumlah (selisih) variansnya:
Contoh 7 Diketahui bahwa variabel acak diskrit X hanya membutuhkan dua nilai: 3 dan 7. Selain itu, ekspektasi matematis diketahui: E(X) = 4 . Temukan varians dari variabel acak diskrit.
Keputusan. Dilambangkan dengan p probabilitas dengan mana variabel acak mengambil nilai x1 = −3 . Maka peluang nilai x2 = 7 akan menjadi 1 p. Mari kita turunkan persamaan untuk ekspektasi matematis:
E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
di mana kita mendapatkan probabilitas: p= 0,3 dan 1 p = 0,7 .
Hukum distribusi variabel acak:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Kami menghitung varians variabel acak ini menggunakan rumus dari properti 3 varians:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Temukan sendiri ekspektasi matematis dari variabel acak, lalu lihat solusinya
Contoh 8 Variabel acak diskrit X hanya membutuhkan dua nilai. Dibutuhkan nilai 3 yang lebih besar dengan probabilitas 0,4. Selain itu, varians dari variabel acak diketahui D(X) = 6 . Temukan harapan matematis dari variabel acak.
Contoh 9 Sebuah guci berisi 6 bola putih dan 4 bola hitam. 3 bola diambil dari guci. Banyaknya bola putih diantara kedua bola yang terambil adalah peubah acak diskrit X. Temukan ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak ini.
Keputusan. Nilai acak X dapat mengambil nilai 0, 1, 2, 3. Probabilitas yang sesuai dapat dihitung dari aturan perkalian peluang. Hukum distribusi variabel acak:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Oleh karena itu ekspektasi matematis dari variabel acak ini:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Varians dari variabel acak yang diberikan adalah:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Ekspektasi matematis dan dispersi variabel acak kontinu
Untuk variabel acak kontinu, interpretasi mekanis dari ekspektasi matematis akan mempertahankan arti yang sama: pusat massa untuk satuan massa yang terdistribusi secara kontinu pada sumbu x dengan kerapatan f(x). Berbeda dengan variabel acak diskrit, yang argumen fungsinya xsaya berubah tiba-tiba, untuk variabel acak kontinu, argumen berubah terus menerus. Tetapi ekspektasi matematis dari variabel acak kontinu juga terkait dengan nilai rata-ratanya.
Untuk menemukan ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak kontinu, Anda perlu menemukan integral tertentu . Jika fungsi kerapatan variabel acak kontinu diberikan, maka ia masuk langsung ke integral. Jika fungsi distribusi probabilitas diberikan, maka dengan mendiferensiasikannya, Anda perlu menemukan fungsi kerapatan.
Rata-rata aritmatika dari semua nilai yang mungkin dari variabel acak kontinu disebut harapan matematis, dilambangkan dengan atau .
Pada yang sebelumnya, kami memberikan sejumlah rumus yang memungkinkan kami menemukan karakteristik numerik fungsi ketika hukum distribusi argumen diketahui. Namun, dalam banyak kasus, untuk menemukan karakteristik numerik fungsi, bahkan tidak perlu mengetahui hukum distribusi argumen, tetapi cukup mengetahui hanya beberapa karakteristik numeriknya; dalam hal ini, kami melakukannya tanpa hukum distribusi sama sekali. Menentukan karakteristik numerik fungsi dengan karakteristik numerik yang diberikan dari argumen banyak digunakan dalam teori probabilitas dan memungkinkan untuk menyederhanakan solusi sejumlah masalah secara signifikan. Untuk sebagian besar, metode yang disederhanakan tersebut berhubungan dengan fungsi linier; namun, beberapa fungsi non-linier dasar juga memungkinkan pendekatan ini.
Saat ini, kami menyajikan sejumlah teorema tentang karakteristik numerik fungsi, yang secara keseluruhan mewakili peralatan yang sangat sederhana untuk menghitung karakteristik ini, yang dapat diterapkan dalam berbagai kondisi.
1. Ekspektasi matematis dari variabel non-acak
Properti yang disebutkan agak jelas; itu dapat dibuktikan dengan mempertimbangkan variabel non-acak sebagai jenis tertentu dari variabel acak, dengan satu nilai yang mungkin dengan probabilitas satu; maka menurut rumus umum untuk ekspektasi matematis:
.
2. Dispersi variabel non-acak
Jika adalah nilai non-acak, maka
3. Penghapusan variabel non-acak di luar tanda ekspektasi matematis
, (10.2.1)
yaitu, nilai non-acak dapat diambil dari tanda harapan.
Bukti.
a) Untuk besaran diskontinu
b) Untuk besaran kontinu
.
4. Penghapusan nilai non-acak untuk tanda varians dan standar deviasi
Jika adalah variabel non-acak, dan acak, maka
, (10.2.2)
yaitu, nilai non-acak dapat diambil dari tanda dispersi dengan mengkuadratkannya.
Bukti. Menurut definisi varians
Konsekuensi
,
yaitu, nilai non-acak dapat dikeluarkan dari tanda deviasi standar dengan nilai absolutnya. Kami memperoleh bukti dengan mengekstrak akar kuadrat dari rumus (10.2.2) dan dengan mempertimbangkan bahwa r.s.c. pada dasarnya adalah nilai positif.
5. Ekspektasi matematis dari jumlah variabel acak
Mari kita buktikan bahwa untuk setiap dua variabel acak dan
yaitu harapan matematis dari jumlah dua variabel acak sama dengan jumlah harapan matematis mereka.
Sifat ini dikenal sebagai teorema penjumlahan harapan.
Bukti.
a) Membiarkan menjadi sistem variabel acak diskontinu. Mari kita terapkan pada jumlah variabel acak rumus umum (10.1.6) untuk ekspektasi matematis dari fungsi dua argumen:
.
Ho tidak lebih dari probabilitas total bahwa nilai akan mengambil nilai :
;
karena itu,
.
Dengan cara yang sama, kita akan membuktikan bahwa
,
dan teorema terbukti.
b) Membiarkan menjadi sistem variabel acak kontinu. Menurut rumus (10.1.7)
. (10.2.4)
Kami mengubah integral pertama (10.2.4):
;
juga
,
dan teorema terbukti.
Perlu dicatat secara khusus bahwa teorema penambahan ekspektasi matematis berlaku untuk setiap variabel acak - baik dependen maupun independen.
Teorema penambahan harapan dapat digeneralisasikan ke sejumlah istilah yang berubah-ubah:
, (10.2.5)
yaitu ekspektasi matematis dari jumlah beberapa variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematisnya.
Untuk membuktikannya cukup dengan menerapkan metode induksi lengkap.
6. Ekspektasi matematis dari fungsi linier
Pertimbangkan fungsi linier dari beberapa argumen acak:
di mana adalah koefisien non-acak. Ayo buktikan
, (10.2.6)
yaitu rata-rata fungsi linier sama dengan fungsi linier yang sama dari rata-rata argumen.
Bukti. Menggunakan teorema penjumlahan m.o. dan aturan mengambil variabel non-acak dari tanda m.o., kita mendapatkan:
.
7. Tampilanepjumlah variabel acak ini
Varians jumlah dua variabel acak sama dengan jumlah variansnya ditambah dua kali momen korelasi:
Bukti. Menunjukkan
Menurut teorema penjumlahan ekspektasi matematis
Mari kita beralih dari variabel acak ke variabel terpusat yang sesuai . Mengurangi suku demi suku dari persamaan (10.2.8) persamaan (10.2.9), kita mendapatkan:
Menurut definisi varians
Q.E.D.
Rumus (10.2.7) untuk varians jumlah dapat digeneralisasikan ke sejumlah istilah:
,
(10.2.10)
di mana momen korelasi nilai-nilai, tanda di bawah jumlah berarti bahwa penjumlahan berlaku untuk semua kemungkinan kombinasi berpasangan dari variabel acak 
.
Buktinya mirip dengan yang sebelumnya dan mengikuti rumus kuadrat dari polinomial.
Rumus (10.2.10) dapat ditulis dalam bentuk lain:
, (10.2.11)
di mana jumlah ganda meluas ke semua elemen matriks korelasi sistem kuantitas , yang mengandung momen korelasi dan varians.
Jika semua variabel acak , termasuk dalam sistem, tidak berkorelasi (yaitu, pada ), rumus (10.2.10) berbentuk:
, (10.2.12)
yaitu, varians dari jumlah variabel acak yang tidak berkorelasi sama dengan jumlah varians dari istilah.
Proposisi ini dikenal sebagai teorema penambahan varians.
8. Dispersi fungsi linier
Pertimbangkan fungsi linier dari beberapa variabel acak.
di mana adalah variabel non-acak.
Mari kita buktikan bahwa dispersi fungsi linier ini dinyatakan dengan rumus
, (10.2.13)
dimana adalah momen korelasi besaran , .
Bukti. Mari kita perkenalkan notasi:
. (10.2.14)
Menerapkan rumus (10.2.10) untuk varians jumlah ke sisi kanan ekspresi (10.2.14) dan dengan mempertimbangkan bahwa , kami memperoleh:
di mana momen korelasi besaran:
.
Mari kita hitung momen ini. Kita punya:
;
juga
Mengganti ekspresi ini menjadi (10.2.15), kita sampai pada rumus (10.2.13).
Dalam kasus tertentu ketika semua kuantitas tidak berkorelasi, rumus (10.2.13) berbentuk:
, (10.2.16)
yaitu, varians dari fungsi linier dari variabel acak yang tidak berkorelasi sama dengan jumlah produk kuadrat dari koefisien dan varians dari argumen yang sesuai.
9. Ekspektasi matematis dari produk variabel acak
Ekspektasi matematis produk dua variabel acak sama dengan produk ekspektasi matematisnya ditambah momen korelasi:
Bukti. Kami akan melanjutkan dari definisi momen korelasi:
Kami mengubah ekspresi ini menggunakan sifat-sifat ekspektasi matematis:
yang jelas setara dengan rumus (10.2.17).
Jika variabel acak tidak berkorelasi, maka rumus (10.2.17) berbentuk:
yaitu, rata-rata produk dari dua variabel acak yang tidak berkorelasi sama dengan produk rata-ratanya.
Pernyataan ini dikenal sebagai teorema perkalian harapan.
Rumus (10.2.17) tidak lebih dari ekspresi momen pusat campuran kedua dari sistem dalam hal momen awal campuran kedua dan ekspektasi matematis:
. (10.2.19)
Ungkapan ini sering digunakan dalam praktik ketika menghitung momen korelasi dengan cara yang sama seperti untuk satu variabel acak, varians sering dihitung melalui momen awal kedua dan ekspektasi matematis.
Teorema perkalian harapan juga dapat digeneralisasikan ke sejumlah faktor yang berubah-ubah, hanya dalam hal ini untuk penerapannya tidak cukup bahwa jumlahnya tidak berkorelasi, tetapi diperlukan bahwa beberapa momen campuran yang lebih tinggi juga hilang, yang jumlahnya tergantung pada jumlah istilah dalam produk. Kondisi ini tentu terpenuhi jika variabel acak yang termasuk dalam produk adalah independen. Pada kasus ini
, (10.2.20)
yaitu ekspektasi matematis produk variabel acak independen sama dengan produk ekspektasi matematisnya.
Proposisi ini dapat dengan mudah dibuktikan dengan induksi lengkap.
10. Dispersi produk variabel acak independen
Mari kita buktikan bahwa untuk besaran bebas
Bukti. Mari kita tunjukkan. Menurut definisi varians
Karena kuantitasnya independen, dan
Untuk independen, kuantitas juga independen; karena itu,
,
Tetapi tidak ada yang lain selain momen awal kedua kuantitas , dan, oleh karena itu, dinyatakan dalam varians:
;
juga
.
Mengganti ekspresi ini ke dalam rumus (10.2.22) dan membawa suku-suku serupa, kita sampai pada rumus (10.2.21).
Dalam kasus ketika variabel acak terpusat dikalikan (nilai dengan harapan matematis sama dengan nol), rumus (10.2.21) berbentuk:
, (10.2.23)
yaitu, varians produk variabel acak terpusat independen sama dengan produk variansnya.
11. Momen yang lebih tinggi dari jumlah variabel acak
Dalam beberapa kasus perlu untuk menghitung momen yang lebih tinggi dari jumlah variabel acak independen. Mari kita buktikan beberapa hubungan terkait.
1) Jika jumlahnya bebas, maka
Bukti.
dari mana dengan teorema perkalian harapan
Tetapi momen sentral pertama untuk kuantitas apa pun adalah nol; dua suku tengah hilang, dan rumus (10.2.24) terbukti.
Relasi (10.2.24) dapat dengan mudah digeneralisasikan dengan induksi ke sejumlah suku bebas:
. (10.2.25)
2) Momen pusat keempat dari jumlah dua variabel acak independen dinyatakan dengan rumus
di mana adalah dispersi dan .
Buktinya sama persis dengan yang sebelumnya.
Dengan menggunakan metode induksi lengkap, mudah untuk membuktikan generalisasi rumus (10.2.26) ke sejumlah suku bebas yang berubah-ubah.
Dispersi variabel acak dan sifat-sifatnya.
Banyak variabel acak memiliki ekspektasi matematis yang sama tetapi nilai kemungkinan yang berbeda. Oleh karena itu, satu harapan matematis tidak cukup untuk mengkarakterisasi variabel acak.
Biar penghasilan X dan kamu(dalam dolar) dari dua perusahaan diberikan oleh distribusi:
Terkadang lebih mudah menggunakan rumus lain, yang dapat diperoleh dengan menggunakan sifat-sifat ekspektasi matematis,
Dispersi ada jika deret (masing-masing integral) konvergen.
Bilangan non-negatif 
ditelepon simpangan baku variabel acak X. Ini memiliki dimensi variabel acak X dan mendefinisikan beberapa interval dispersi rms standar, simetris terhadap ekspektasi matematis. Nilai tersebut kadang-kadang disebut standar deviasi.
Variabel acak disebut terpusat, jika . Variabel acak disebut dinormalisasi(standar) jika .
Mari kita lanjutkan contohnya. Hitunglah varians pendapatan dua perusahaan:
Membandingkan varians, kita melihat bahwa pendapatan perusahaan kedua lebih bervariasi daripada yang pertama.
Sifat Dispersi.
1. Dispersi nilai konstan sama dengan nol, yaitu. , jika konstan. Ini jelas, karena nilai konstanta memiliki ekspektasi matematis yang sama dengan nilai konstanta, yaitu. .
2. Pengganda konstan C dapat dikeluarkan dari tanda dispersi dengan mengkuadratkannya terlebih dahulu.
Betulkah,
3. Varians jumlah aljabar dua variabel acak independen sama dengan jumlah variansnya, yaitu
Ungkapan tersebut disebut kovarians dari X dan Y(lihat Topik 4, 2). Untuk variabel acak independen, kovariansnya adalah nol, mis.
Dengan menggunakan persamaan ini, Anda dapat menambahkan ke daftar properti dari ekspektasi matematis. Jika peubah acak X dan Y saling bebas, maka ekspektasi matematis produk sama dengan produk ekspektasi matematis, yaitu:
Jika variabel acak ditransformasikan secara linier, mis. , kemudian
.
Contoh 1. Biarkan itu diproduksi n tes independen, probabilitas terjadinya suatu peristiwa TETAPI yang masing-masing konstan dan sama dengan p. Berapakah varians dari banyaknya kejadian tersebut? TETAPI dalam cobaan ini?
Keputusan. Membiarkan menjadi jumlah kejadian acara TETAPI pada percobaan pertama, adalah jumlah kejadian kejadian TETAPI pada tes kedua, dan seterusnya. Maka jumlah kejadian dari kejadian tersebut TETAPI di n percobaan sama dengan
Dengan menggunakan sifat 3 dari dispersi, kita peroleh
Di sini kita telah menggunakan fakta bahwa 
, saya= (lihat contoh 1 dan 2, butir 3.3.1.).
Contoh 2. Mari X - jumlah deposit (dalam dolar) di bank - diberikan oleh distribusi probabilitas
| X | ||||||
| saya = | 0,01 | 0,03 | 0,10 | 0,30 | 0,5 | 0,06 |
Temukan jumlah dan varians kontribusi rata-rata.
Keputusan. Jumlah setoran rata-rata sama dengan ekspektasi matematis
Untuk menghitung varians, kami menggunakan rumus
D (X) \u003d 8196 - 7849,96 \u003d 348,04.
Standar deviasi
Momen.
Untuk memperhitungkan pengaruh pada ekspektasi matematis dari nilai-nilai yang mungkin dari variabel acak X, yang besar tetapi memiliki probabilitas rendah, disarankan untuk mempertimbangkan ekspektasi matematis dari pangkat bilangan bulat positif dari variabel acak.
