Kesamaan dan kesamaan.Homothety - transformasi di mana setiap titik M (bidang atau ruang) diberi titik M", berbaring di OM (Gbr. 5.16), dan rasio OM":OM= sama untuk semua poin selain HAI. titik pasti HAI disebut pusat homotetis. Sikap OM": OM dianggap positif jika M" dan M berbaring di satu sisi HAI, negatif - di sisi yang berlawanan. Nomor X disebut koefisien homogenitas. Pada X< 0 homothety disebut invers. Padaλ = - 1 homothety menjadi transformasi simetri tentang suatu titik HAI. Dengan homothety, garis lurus masuk ke garis lurus, garis paralel dan bidang dipertahankan, sudut (linier dan dihedral) dipertahankan, setiap gambar melewatinya serupa (Gbr. 5.17).

Kebalikannya juga benar. Homotety dapat didefinisikan sebagai transformasi affine di mana garis-garis yang menghubungkan titik-titik yang bersesuaian melewati satu titik - pusat homothety. Homothety digunakan untuk memperbesar gambar (lampu proyeksi, bioskop).

Simetri pusat dan cermin.Simetri (dalam arti luas) adalah properti dari sosok geometris , yang mencirikan kebenaran tertentu dari bentuknya, invariansnya di bawah aksi gerakan dan refleksi. Gambar dikatakan simetri (simetris) jika terdapat transformasi ortogonal yang tidak identik yang memasukkan bangun tersebut ke dalam dirinya sendiri. Himpunan semua transformasi ortogonal yang menggabungkan gambar dengan dirinya sendiri adalah grup dari gambar ini. Jadi, bangun datar (Gbr. 5.18) dengan titik M, mengubah-

Xia dalam diri Anda dengan cermin refleksi, simetris terhadap sumbu lurus AB. Di sini kelompok simetri terdiri dari dua elemen - titik M dikonversi ke M".

Jika gambar pada bidang sedemikian rupa sehingga berotasi terhadap suatu titik HAI melalui sudut 360°/n, di mana n > 2 adalah bilangan bulat, ubah menjadi dirinya sendiri, maka gambar memiliki simetri orde ke-n terhadap titik HAI - pusat simetri. Contoh dari gambar tersebut adalah poligon beraturan, misalnya, berbentuk bintang (Gbr. 5.19), yang memiliki simetri orde delapan di sekitar pusatnya. Gugus simetri di sini disebut grup siklik orde ke-n. Lingkaran memiliki simetri dengan keteraturan tak terbatas (karena lingkaran itu digabungkan dengan dirinya sendiri dengan memutar melalui sudut mana pun).

Jenis simetri spasial yang paling sederhana adalah simetri pusat (inversi). Dalam hal ini, sehubungan dengan poin HAI gambar digabungkan dengan dirinya sendiri setelah pemantulan berturut-turut dari tiga bidang yang saling tegak lurus, yaitu titik HAI - bagian tengah ruas yang menghubungkan titik-titik simetris F. Jadi, untuk kubus (Gbr. 5.20) titik HAI adalah pusat simetri. poin kubus M dan M"

BAB TIGA

POLIHEDRA

V. KONSEP SYMETRI ANGKA SPASIAL

99. Simetri pusat. Dua bangun disebut simetris terhadap sembarang titik O dalam ruang jika setiap titik A pada satu gambar bersesuaian dengan titik A pada gambar lainnya, yang terletak pada garis lurus OA di sisi lain titik O, pada jarak yang sama dengan jarak titik A dari titik O (Gbr. 114) Titik O disebut pusat simetri angka.

Kita telah melihat contoh sosok simetris seperti itu di ruang (§ 53), ketika, melanjutkan di luar puncak tepi dan permukaan sudut polihedral, kita memperoleh sudut polihedral yang simetris dengan sudut yang diberikan. Segmen dan sudut yang bersesuaian yang merupakan bagian dari dua bangun yang simetris besarnya sama. Namun demikian, angka-angka secara keseluruhan tidak dapat disebut sama: mereka tidak dapat digabungkan satu sama lain karena fakta bahwa urutan susunan bagian-bagian dalam satu gambar berbeda dari yang lain, seperti yang kita lihat dalam contoh sudut polihedral simetris. .

Dalam beberapa kasus, angka-angka simetris dapat digabungkan, tetapi pada saat yang sama bagian-bagiannya yang tidak konsisten akan bertepatan. Sebagai contoh, mari kita ambil sudut segitiga siku-siku (Gbr. 115) dengan titik di titik O dan sisi OX, OY, OZ.

Mari kita buat sudut simetris OX"Y"Z" untuk itu. Sudut OXYZ dapat digabungkan dengan OX"Y"Z" sehingga tepi OX berimpit dengan OY", dan tepi OY dengan OX". Jika kita menggabungkan tepi yang sesuai OX dengan OX" dan OY dengan OY", maka tepi OZ dan OZ" akan diarahkan ke arah yang berlawanan.

Jika bangun-bangun simetris bersama-sama membentuk satu tubuh geometris, maka mereka mengatakan bahwa tubuh geometris ini memiliki pusat simetri. Jadi, jika suatu benda memiliki pusat simetri, maka setiap titik yang termasuk dalam benda ini sesuai dengan titik simetris yang juga termasuk dalam benda ini. Dari benda-benda geometris yang telah kami pertimbangkan, misalnya, pusat simetri memiliki: 1) paralelepiped, 2) prisma, yang memiliki poligon beraturan dengan jumlah sisi genap di alasnya.

Sebuah tetrahedron biasa tidak memiliki pusat simetri.

100. Simetri terhadap bidang. Dua bangun ruang disebut simetris terhadap bidang P jika setiap titik A dalam satu gambar bersesuaian dengan titik lain A ", dan ruas AA" tegak lurus terhadap bidang P dan dibagi dua di titik perpotongan dengan bidang ini .

Dalil. Setiap dua segmen yang bersesuaian dalam dua bangun simetris adalah sama satu sama lain.

Biarkan dua angka diberikan yang simetris terhadap bidang P. Mari kita pilih dua titik A dan B dari gambar pertama, biarkan A "dan B" menjadi titik dari gambar kedua yang sesuai dengan mereka (Gbr. 116, angka tidak ditampilkan dalam gambar).

Biarkan C lebih lanjut menjadi titik potong segmen AA "dengan bidang P, D - titik potong segmen BB" dengan bidang yang sama. Menghubungkan titik C dan D dengan segmen garis lurus, kita mendapatkan dua segi empat ABDC dan A "B" DC. Karena AC \u003d A "C, BD \u003d B" D dan
/ ACD = / ACD, / BDC = / Dalam "DC, sebagai sudut siku-siku, maka segi empat ini sama (yang mudah diverifikasi oleh superposisi). Oleh karena itu, AB \u003d AB" Langsung dari teorema ini bahwa bidang yang sesuai dan sudut dihedral dari dua angka simetris terhadap bidang adalah sama antara Namun demikian, tidak mungkin untuk menggabungkan dua angka ini satu sama lain sehingga bagian-bagian yang sesuai digabungkan, karena urutan bagian-bagian dalam satu gambar terbalik dengan yang lain (ini akan dibuktikan di bawah, 102 ). dua bangun yang simetris terhadap suatu bidang adalah: sembarang benda dan pantulannya di cermin datar; sembarang bangun yang simetris dengan pantulan cerminnya relatif terhadap bidang cermin.

Jika suatu benda geometris dapat dibagi menjadi dua bagian yang simetris terhadap suatu bidang, maka bidang ini disebut bidang simetri benda tersebut.

Benda geometris dengan bidang simetri sangat umum di alam dan dalam kehidupan sehari-hari. Tubuh manusia dan hewan memiliki bidang simetri yang membaginya menjadi bagian kanan dan kiri.

Dalam contoh ini, sangat jelas bahwa angka-angka simetris tidak dapat digabungkan. Jadi, tangan kanan dan tangan kiri simetris, tetapi tidak dapat digabungkan, yang setidaknya dapat dilihat dari kenyataan bahwa sarung tangan yang sama tidak dapat memuat tangan kanan dan kiri. Sejumlah besar barang-barang rumah tangga memiliki bidang simetri: kursi, meja makan, rak buku, sofa, dll. Beberapa, seperti meja makan, bahkan tidak memiliki satu, tetapi dua bidang simetri (Gbr. 117) .

Biasanya, ketika mempertimbangkan objek yang memiliki bidang simetri, kami berusaha untuk mengambil posisi sedemikian rupa sehingga bidang simetri tubuh kita, atau setidaknya kepala kita, bertepatan dengan bidang simetri objek itu sendiri. Pada kasus ini. bentuk simetris objek menjadi sangat terlihat.

101. Simetri terhadap sumbu. Sumbu simetri orde kedua. Dua bangun disebut simetris terhadap sumbu l (sumbunya berupa garis lurus) jika setiap titik A pada gambar pertama bersesuaian dengan titik A "pada gambar kedua, sehingga ruas AA" tegak lurus sumbu l , berpotongan dengan itu dan dibagi dua di titik persimpangan. Sumbu l itu sendiri disebut sumbu simetri orde kedua.

Dari definisi ini, secara langsung mengikuti bahwa jika dua benda geometris yang simetris terhadap suatu sumbu dipotong oleh sebuah bidang yang tegak lurus terhadap sumbu ini, maka dua bangun datar akan diperoleh pada bagian tersebut, simetris terhadap titik potong bidang tersebut dengan sumbu simetri tubuh.

Dari sini, lebih mudah untuk menyimpulkan bahwa dua benda simetris terhadap suatu sumbu dapat digabungkan satu sama lain dengan memutar salah satunya sebesar 180 ° di sekitar sumbu simetri. Memang, bayangkan semua bidang yang mungkin tegak lurus terhadap sumbu simetri.

Setiap bidang yang memotong kedua benda tersebut mengandung bangun-bangun yang simetris terhadap titik pertemuan bidang dengan sumbu simetri benda-benda tersebut. Jika kita membuat bidang pemotongan meluncur dengan sendirinya, memutarnya di sekitar sumbu simetri tubuh sebesar 180 °, maka angka pertama bertepatan dengan yang kedua.

Hal ini berlaku untuk setiap bidang pemotongan. Rotasi semua bagian tubuh sebesar 180 ° setara dengan rotasi seluruh tubuh sebesar 180 ° di sekitar sumbu simetri. Di sinilah validitas pernyataan kami mengikuti.

Jika, setelah rotasi suatu bangun ruang di sekitar garis lurus tertentu sebesar 180 °, itu bertepatan dengan dirinya sendiri, maka mereka mengatakan bahwa gambar tersebut memiliki garis lurus ini sebagai sumbu simetri orde kedua.

Nama "sumbu simetri orde kedua" dijelaskan oleh fakta bahwa selama rotasi penuh di sekitar sumbu ini, tubuh akan dua kali mengambil posisi yang bertepatan dengan yang asli (menghitung yang asli) selama rotasi. Contoh benda geometris dengan sumbu simetri orde kedua adalah:
1) piramida biasa dengan jumlah sisi genap; sumbu simetrinya adalah tingginya;
2) parallelepiped persegi panjang; ia memiliki tiga sumbu simetri: garis lurus yang menghubungkan pusat-pusat wajah yang berlawanan;
3) prisma beraturan dengan jumlah sisi genap. Sumbu simetrinya adalah setiap garis lurus yang menghubungkan pusat-pusat dari setiap pasangan wajah yang berlawanan (permukaan lateral dan dua alas prisma). Jika jumlah sisi sisi prisma adalah 2 k, maka banyaknya sumbu simetri tersebut adalah k+ 1. Selain itu, setiap garis lurus yang menghubungkan titik-titik tengah dari sisi-sisi yang berlawanan berfungsi sebagai sumbu simetri untuk prisma tersebut. Sebuah prisma memiliki sumbu simetri seperti itu.

Jadi yang benar 2 k-prisma segi memiliki 2 k+1 sumbu, simetri.

102. Ketergantungan antara berbagai jenis simetri dalam ruang. Antara berbagai jenis simetri dalam ruang - aksial, planar dan pusat - ada hubungan, yang diungkapkan oleh teorema berikut.

Dalil. Jika gambar F simetris dengan gambar F “terhadap bidang P dan sekaligus simetris dengan gambar F” terhadap titik O yang terletak pada bidang P, maka angka F “dan F” simetris terhadap sumbu yang melalui titik O dan tegak lurus bidang R.

Mari kita ambil beberapa titik A dari gambar F (Gbr. 118). Ini sesuai dengan titik A "dari gambar F" dan titik A "dari gambar F" (gambar itu sendiri F, F" dan F" tidak diperlihatkan dalam gambar).

Misalkan B adalah titik potong ruas AA” dengan bidang P. Gambarlah sebuah bidang yang melalui titik A, A” dan O. Bidang ini akan tegak lurus terhadap bidang P, karena melalui garis AA” tegak lurus dengan bidang ini. Pada bidang AA" O kita tarik garis lurus OH tegak lurus OB. Garis OH ini juga akan tegak lurus bidang P. Selanjutnya, misalkan C adalah titik potong garis A"A" dan OH.

Dalam segitiga AA "A" "ruas BO menghubungkan titik tengah sisi AA" dan AA", oleh karena itu, BO || A"A", tetapi BO_|_OH, yang berarti A"A"_|_OH. Selanjutnya, karena O adalah sisi tengah AA", dan CO || AA", lalu A"C \u003d A"C. Dari sini kita menyimpulkan bahwa titik A" dan A" simetris terhadap sumbu OH. Hal yang sama berlaku untuk semua titik lain pada gambar. Oleh karena itu, teorema kita terbukti. Langsung dari teorema ini, bahwa dua angka simetris tentang sebuah bidang tidak dapat digabungkan sehingga bagian-bagiannya masing-masing digabungkan. Memang, angka F "digabungkan dengan F" dengan berputar di sekitar sumbu OH sebesar 180 °. Tetapi angka-angka F "dan F tidak dapat digabungkan secara simetris terhadap titik, oleh karena itu, angka F dan F" juga tidak dapat digabungkan.

103. Sumbu simetri orde yang lebih tinggi. Suatu bangun yang memiliki sumbu simetri sejajar dengan dirinya sendiri setelah diputar mengelilingi sumbu simetri dengan sudut 180°. Tetapi ada kasus-kasus ketika angka tersebut bertepatan dengan posisi awal setelah memutar beberapa sumbu dengan sudut kurang dari 180°. Dengan demikian, jika benda membuat putaran penuh di sekitar sumbu ini, maka dalam proses rotasi itu akan digabungkan beberapa kali dengan posisi semula. Sumbu rotasi seperti itu disebut sumbu simetri tingkat tinggi, dan jumlah posisi tubuh yang bertepatan dengan aslinya disebut urutan sumbu simetri. Sumbu ini mungkin tidak bertepatan dengan sumbu simetri orde kedua. Jadi, piramida segitiga biasa tidak memiliki sumbu simetri orde kedua, tetapi tingginya berfungsi sebagai sumbu simetri orde ketiga untuk itu. Memang, setelah memutar piramida ini di sekitar ketinggian pada sudut 120 °, ia digabungkan dengan dirinya sendiri (Gbr. 119).

Ketika piramida berputar di sekitar ketinggian, ia dapat menempati tiga posisi, bertepatan dengan yang asli, menghitung yang asli juga. Sangat mudah untuk melihat bahwa setiap sumbu simetri orde genap pada saat yang sama merupakan sumbu simetri orde kedua.

Contoh sumbu simetri orde tinggi:

1) Benar n-piramida batubara memiliki sumbu simetri n-urutan. Sumbu ini adalah ketinggian piramida.

2) Benar n-prisma batubara memiliki sumbu simetri n-urutan. Sumbu ini merupakan garis lurus yang menghubungkan pusat-pusat alas prisma.

104. Simetri kubus. Untuk setiap paralelepiped, titik potong diagonal kubus adalah pusat simetrinya.

Kubus memiliki sembilan bidang simetri: enam bidang diagonal dan tiga bidang yang melalui titik tengah masing-masing empat sisi paralelnya.

Kubus memiliki sembilan sumbu simetri orde kedua: enam garis lurus yang menghubungkan titik tengah sisi yang berlawanan, dan tiga garis lurus yang menghubungkan pusat wajah yang berlawanan (Gbr. 120).

Garis-garis terakhir ini adalah sumbu simetri orde keempat. Selain itu, kubus memiliki empat sumbu simetri orde ketiga, yang merupakan diagonal-diagonalnya. Memang, diagonal kubus AG (Gbr. 120) jelas memiliki kemiringan yang sama terhadap sisi AB, AD dan AE, dan sisi ini memiliki kemiringan yang sama terhadap satu sama lain. Jika kita menghubungkan titik B, D dan E, kita mendapatkan piramida segitiga beraturan ADBE, yang tinggi diagonal kubus AG. Ketika piramida ini sejajar dengan dirinya sendiri saat berputar di sekitar ketinggian, seluruh kubus akan sejajar dengan posisi aslinya. Sangat mudah untuk melihat bahwa kubus tidak memiliki sumbu simetri lainnya. Mari kita lihat berapa banyak cara sebuah kubus dapat masuk ke dalam dirinya sendiri. Rotasi di sekitar sumbu simetri biasa memberikan satu posisi kubus, berbeda dari yang asli, di mana kubus secara keseluruhan sejajar dengan dirinya sendiri.

Rotasi terhadap sumbu orde ke-3 memberikan dua posisi seperti itu, dan rotasi terhadap sumbu orde ke-4 memberikan tiga posisi tersebut. Karena kubus memiliki enam sumbu orde kedua (ini adalah sumbu simetri biasa), empat sumbu orde ketiga dan tiga sumbu orde keempat, ada 6 1 + 4 2 + 3 3 = 23 posisi kubus, berbeda dari aslinya, di mana ia digabungkan dengan diri Anda sendiri.

Sangat mudah untuk memverifikasi secara langsung bahwa semua posisi ini berbeda satu sama lain, serta dari posisi awal kubus. Bersama dengan posisi semula, mereka membuat 24 cara untuk menggabungkan kubus dengan dirinya sendiri.

Definisi simetri;

• Definisi simetri;

• Simetri pusat;

• Simetri aksial;

• Simetri tentang pesawat;

• simetri rotasi;

• Simetri cermin;

• Simetri kesamaan;

• Simetri tanaman;

• Simetri hewan;

• Simetri dalam arsitektur;

• Apakah manusia makhluk yang simetris?

• Simetri kata dan angka;

SIMETRI

• SIMETRI- proporsionalitas, kesamaan dalam pengaturan bagian-bagian dari sesuatu pada sisi yang berlawanan dari suatu titik, garis atau bidang.

• (Kamus penjelasan Ozhegov)

• Jadi, objek geometris dianggap simetris jika Anda dapat melakukan sesuatu dengannya, setelah itu akan tetap ada tidak berubah.

HAI HAI HAI ditelepon pusat simetri gambar.

• Angka tersebut disebut simetris terhadap titik HAI, jika untuk setiap titik pada gambar titik tersebut simetris terhadapnya terhadap titik tersebut HAI juga termasuk dalam sosok ini. Dot HAI ditelepon pusat simetri gambar.

lingkaran dan jajaran genjang pusat lingkaran ). Jadwal fungsi ganjil

Contoh bangun datar yang memiliki simetri sentral adalah lingkaran dan jajaran genjang. Titik pusat simetri lingkaran adalah pusat lingkaran, dan pusat simetri jajar genjang adalah titik potong diagonal-diagonalnya. Setiap garis juga memiliki simetri pusat ( setiap titik dari suatu garis adalah pusat simetrinya). Jadwal fungsi ganjil simetris tentang asal.

• Contoh bangun datar yang tidak memiliki pusat simetri adalah segitiga sembarang.

sebuah sebuah sebuah ditelepon sumbu simetri gambar.

• Angka tersebut dikatakan simetris terhadap garis lurus. sebuah, jika untuk setiap titik pada gambar titik simetris terhadapnya terhadap garis lurus sebuah juga termasuk dalam sosok ini. Lurus sebuah ditelepon sumbu simetri gambar.

Di sudut yang terbuka satu sumbu simetri garis bagi sudut satu sumbu simetri tiga sumbu simetri pada dua sumbu simetri, dan persegi empat sumbu simetri relatif terhadap sumbu y.

Di sudut yang terbuka satu sumbu simetri- garis di mana ia berada garis bagi sudut. Segitiga sama kaki juga memiliki satu sumbu simetri, dan segitiga sama sisi tiga sumbu simetri. Persegi panjang dan belah ketupat yang bukan bujur sangkar memiliki pada dua sumbu simetri, dan persegi empat sumbu simetri. Sebuah lingkaran memiliki jumlah yang tidak terbatas. Grafik fungsi genap simetris ketika diplot relatif terhadap sumbu y.

• Ada bangun-bangun yang tidak memiliki sumbu simetri. Angka-angka ini termasuk genjang, selain persegi panjang, segitiga skalen.

poin TETAPI dan A1 sebuah sebuah AA1 dan tegak lurus sebuah menghitung simetris dengan dirinya sendiri

poin TETAPI dan A1 disebut simetris terhadap bidang sebuah(bidang simetri), jika bidang sebuah melewati tengah segmen AA1 dan tegak lurus ke segmen ini. Setiap titik pesawat sebuah menghitung simetris dengan dirinya sendiri. Dua bangun dikatakan simetris terhadap suatu bidang (atau cermin-simetris terhadap) jika keduanya terdiri dari titik-titik simetris berpasangan. Ini berarti bahwa untuk setiap titik dari satu gambar, titik (relatif) simetris untuk itu terletak pada gambar lain.

Tubuh (atau sosok) memiliki simetri rotasi, jika saat berbelok pada sudut 360º/n, di mana n adalah bilangan bulat sepenuhnya kompatibel

• Tubuh (atau sosok) memiliki simetri rotasi, jika saat berbelok pada sudut 360º/n, di mana n adalah bilangan bulat, tentang beberapa garis lurus AB (sumbu simetri) itu sepenuhnya kompatibel dengan posisi aslinya.

• Simetri radial- bentuk simetri yang dipertahankan ketika suatu objek berputar di sekitar titik atau garis tertentu. Seringkali titik ini bertepatan dengan pusat gravitasi objek, yaitu titik di mana berpotongan jumlah sumbu simetri yang tidak terbatas. Benda-benda tersebut dapat lingkaran, bola, silinder atau kerucut.

Simetri cermin menghubungkan apa saja

Simetri cermin menghubungkan apa saja benda dan pantulannya di cermin datar. Satu bangun (atau badan) dikatakan simetri cermin dengan yang lain jika bersama-sama membentuk bangun (atau badan) cermin simetris. Angka-angka yang dicerminkan secara simetris, untuk semua kesamaannya, berbeda secara signifikan satu sama lain. Dua sosok datar simetris cermin selalu dapat ditumpangkan satu sama lain. Namun, untuk ini perlu untuk menghapus salah satu dari mereka (atau keduanya) dari bidang yang sama.

Simetri kesamaan boneka bersarang.

• Simetri kesamaan adalah analog aneh dari simetri sebelumnya, dengan satu-satunya perbedaan yang terkait dengannya pengurangan atau peningkatan simultan di bagian yang sama dari gambar dan jarak di antara mereka. Contoh paling sederhana dari simetri semacam itu adalah boneka bersarang.

• Kadang-kadang angka dapat memiliki berbagai jenis simetri. Misalnya, beberapa huruf memiliki simetri rotasi dan cermin: F, H, M, HAI, TETAPI.

• Ada banyak jenis simetri lain yang bersifat abstrak. Sebagai contoh:

• Simetri permutasi, yang terdiri dari fakta bahwa jika partikel identik dipertukarkan, maka tidak ada perubahan yang terjadi;

• Mengukur simetri terhubung dengan zoom. Di alam mati, simetri terutama muncul dalam fenomena alam seperti: kristal yang membentuk hampir semua padatan. Dialah yang menentukan properti mereka. Contoh paling nyata dari keindahan dan kesempurnaan kristal adalah yang terkenal kepingan salju.

Kami bertemu simetri di mana-mana: di alam, teknologi, seni, ilmu pengetahuan. Konsep simetri berjalan melalui seluruh sejarah berabad-abad kreativitas manusia. Prinsip simetri memainkan peran penting dalam fisika dan matematika, kimia dan biologi, teknik dan arsitektur, lukisan dan patung, puisi dan musik. Hukum alam juga mematuhi prinsip simetri.

sumbu simetri.

• Banyak bunga memiliki sifat yang menarik: mereka dapat diputar sehingga setiap kelopak mengambil posisi tetangganya, sementara bunga digabungkan dengan dirinya sendiri. Bunga ini memiliki sumbu simetri.

• Simetri sekrup diamati pada susunan daun pada batang sebagian besar tumbuhan. Terletak dengan sekrup di sepanjang batang, daun tampak menyebar ke segala arah dan tidak mengaburkan satu sama lain dari cahaya, yang penting bagi kehidupan tanaman.

• Simetri bilateral organ tumbuhan juga memiliki, misalnya, batang banyak kaktus. Sering ditemukan di botani secara radial bunga yang dibangun secara simetris.

garis pemisah.

• Simetri pada hewan dipahami sebagai korespondensi dalam ukuran, bentuk dan bentuk, serta lokasi relatif bagian-bagian tubuh yang terletak di sisi yang berlawanan. garis pemisah.

• Jenis utama simetri adalah radial(radiasi) - dimiliki oleh echinodermata, coelenterata, ubur-ubur, dll.; atau bilateral(dua sisi) - kita dapat mengatakan bahwa setiap hewan (baik itu serangga, ikan, atau burung) terdiri dari dua bagian- kanan dan kiri.

• simetri bola terjadi pada radiolaria dan bunga matahari. Setiap bidang yang ditarik melalui pusat membagi hewan menjadi dua bagian yang sama.

• Simetri struktur dikaitkan dengan organisasi fungsinya. Proyeksi bidang simetri - sumbu bangunan - biasanya menentukan lokasi pintu masuk utama dan awal arus lalu lintas utama.

• Setiap detail dalam sistem simetris ada sebagai doppelgänger dari pasangan wajibnya terletak di sisi lain sumbu, dan karena ini dapat dianggap hanya sebagai bagian dari keseluruhan.

• Paling umum dalam arsitektur simetri cermin. Bangunan-bangunan Mesir Kuno dan kuil-kuil Yunani kuno, amfiteater, pemandian, basilika dan lengkungan kemenangan Romawi, istana dan gereja Renaisans, serta banyak bangunan arsitektur modern berada di bawahnya.

aksen

• Untuk lebih mencerminkan simetri pada struktur ditempatkan aksen- terutama elemen penting (kubah, menara, tenda, pintu masuk utama dan tangga, balkon dan jendela ceruk).

• Untuk mendesain dekorasi arsitektur, ornamen digunakan - pola yang berulang secara ritmis berdasarkan komposisi simetris elemen-elemennya dan diekspresikan oleh garis, warna, atau relief. Secara historis, beberapa jenis ornamen telah berkembang berdasarkan dua sumber - bentuk alami dan figur geometris.

• Tetapi seorang arsitek pertama-tama dan terutama adalah seorang seniman. Dan karena itu, bahkan gaya paling "klasik" sering digunakan ketidaksimitrisan– penyimpangan bernuansa dari simetri murni, atau asimetri- konstruksi asimetris yang disengaja.

• Tidak ada yang akan meragukan bahwa secara lahiriah seseorang dibangun secara simetris: tangan kiri selalu sesuai dengan tangan kanan dan kedua tangan persis sama. Tapi kemiripan antara tangan, telinga, mata dan bagian tubuh kita yang lain adalah sama seperti antara suatu benda dan pantulannya di cermin.

Baik miliknya setengah fitur kasar karakteristik jenis kelamin laki-laki. Setengah kiri

Banyak pengukuran parameter wajah pada pria dan wanita telah menunjukkan bahwa Baik miliknya setengah dibandingkan dengan kiri, memiliki dimensi melintang yang lebih menonjol, yang memberikan wajah lebih fitur kasar karakteristik jenis kelamin laki-laki. Setengah kiri wajah memiliki dimensi memanjang yang lebih menonjol, yang memberikannya garis halus dan feminitas. Fakta ini menjelaskan keinginan utama perempuan untuk berpose untuk seniman di sisi kiri wajah, dan laki-laki di sebelah kanan.

palindrom

• palindrom(dari Gr. Palindromos - berlari kembali) - ini adalah beberapa objek di mana simetri komponen ditentukan dari awal hingga akhir dan dari akhir hingga awal. Misalnya, frasa atau teks.

• Teks lurus palindrom, dibaca sesuai dengan arah pembacaan normal dalam skrip tersebut (biasanya dari kiri ke kanan), disebut maju, membalik - shell walker atau membalik(dari kanan ke kiri). Beberapa bilangan juga memiliki simetri.

Jadi, berkaitan dengan geometri: ada tiga jenis simetri utama.

Pertama-tama, simetri pusat (atau simetri tentang suatu titik) - ini adalah transformasi bidang (atau ruang), di mana satu-satunya titik (titik O - pusat simetri) tetap di tempatnya, sedangkan titik-titik lainnya mengubah posisinya: alih-alih titik A, kita mendapatkan titik A1 sedemikian rupa sehingga titik O adalah tengah segmen AA1. Untuk membuat bangun datar 1, simetris dengan gambar terhadap titik O, perlu menggambar sinar melalui setiap titik pada gambar melalui titik O (pusat simetri), dan pada sinar ini untuk mengatur menyisihkan titik simetris dengan yang dipilih sehubungan dengan titik O. Himpunan poin dibangun dengan cara ini akan memberikan gambar F1.

Yang sangat menarik adalah gambar-gambar yang memiliki pusat simetri: dengan simetri terhadap titik O, setiap titik pada gambar F diubah lagi menjadi beberapa titik pada gambar F. Ada banyak gambar seperti itu dalam geometri. Misalnya: segmen (bagian tengah segmen adalah pusat simetri), garis lurus (setiap titiknya adalah pusat simetri), lingkaran (pusat lingkaran adalah pusat simetri), a persegi panjang (titik perpotongan diagonalnya adalah pusat simetri). Ada banyak objek simetris terpusat di alam hidup dan mati (komunikasi siswa). Seringkali orang sendiri membuat objek yang memiliki pusat simetririi (contoh dari menjahit, contoh dari teknik mesin, contoh dari arsitektur dan banyak contoh lainnya).

Kedua, simetri aksial (atau simetri terhadap garis) - ini adalah transformasi bidang (atau ruang), di mana hanya titik-titik garis p yang tetap di tempatnya (garis ini adalah sumbu simetri), sedangkan titik-titik lainnya mengubah posisinya: alih-alih titik B , kita mendapatkan titik B1 sehingga garis p adalah garis bagi tegak lurus segmen BB1 . Untuk membuat bangun 1 yang simetris dengan gambar terhadap garis p, setiap titik pada gambar perlu membuat titik yang simetris terhadapnya terhadap garis p. Himpunan semua titik yang dibangun ini memberikan angka yang diperlukan 1. Ada banyak bentuk geometris yang memiliki sumbu simetri.

Persegi panjang memiliki dua, persegi memiliki empat, lingkaran memiliki garis lurus yang melalui pusatnya. Jika Anda melihat lebih dekat pada huruf-huruf alfabet, maka di antara mereka Anda dapat menemukan yang memiliki sumbu horizontal atau vertikal, dan kadang-kadang kedua sumbu simetri. Objek dengan sumbu simetri cukup umum di alam hidup dan mati (laporan siswa). Dalam aktivitasnya, seseorang menciptakan banyak objek (misalnya ornamen) yang memiliki beberapa sumbu simetri.

______________________________________________________________________________________________________

Ketiga, planar (cermin) simetri (atau simetri tentang pesawat) - ini adalah transformasi ruang, di mana hanya titik-titik dari satu bidang yang mempertahankan lokasinya (bidang simetri α), titik-titik ruang yang tersisa mengubah posisinya: alih-alih titik C, diperoleh titik C1 sehingga bidang melewati tengah segmen CC1, tegak lurus terhadapnya.

Untuk membuat bangun 1, simetris dengan gambar terhadap bidang , setiap titik pada gambar perlu membangun titik-titik yang simetris terhadap , titik-titik tersebut membentuk gambar 1 dalam himpunannya.

Paling sering, di dunia benda dan benda di sekitar kita, kita menemukan tubuh tiga dimensi. Dan beberapa dari benda-benda ini memiliki bidang simetri, kadang-kadang bahkan beberapa. Dan orang itu sendiri dalam aktivitasnya (konstruksi, menjahit, pemodelan, ...) menciptakan objek dengan bidang simetri.

Perlu dicatat bahwa bersama dengan tiga jenis simetri yang terdaftar, ada (dalam arsitektur)portabel dan putar, yang dalam geometri adalah komposisi dari beberapa gerakan.

Simetri dikaitkan dengan harmoni dan keteraturan. Dan tidak sia-sia. Karena pertanyaan tentang apa itu simetri, ada jawaban berupa terjemahan literal dari bahasa Yunani kuno. Dan ternyata itu berarti proporsionalitas dan kekekalan. Dan apa yang bisa lebih teratur daripada definisi lokasi yang ketat? Dan apa yang bisa disebut lebih harmonis daripada sesuatu yang secara ketat sesuai dengan ukurannya?

Apa arti simetri dalam berbagai ilmu?

Biologi. Di dalamnya, komponen penting dari simetri adalah bahwa hewan dan tumbuhan memiliki bagian-bagian yang tersusun secara teratur. Selain itu, dalam ilmu ini tidak ada simetri yang ketat. Selalu ada beberapa asimetri. Ia mengakui bahwa bagian-bagian dari keseluruhan tidak sesuai dengan ketepatan mutlak.

Kimia. Molekul suatu zat memiliki keteraturan tertentu dalam pengaturannya. Simetri merekalah yang menjelaskan banyak sifat material dalam kristalografi dan cabang kimia lainnya.

Fisika. Sistem benda dan perubahannya dijelaskan menggunakan persamaan. Mereka mengandung komponen simetris, yang menyederhanakan seluruh solusi. Ini dilakukan dengan mencari besaran-besaran yang kekal.

Matematika. Di situlah penjelasan utama diberikan tentang apa itu simetri. Selain itu, diberikan lebih penting dalam geometri. Di sini, simetri adalah kemampuan untuk ditampilkan dalam bentuk dan tubuh. Dalam arti sempit, itu hanya menjadi bayangan cermin.

Bagaimana kamus yang berbeda mendefinisikan simetri?

Di mana pun dari mereka kita melihat, kata "proporsionalitas" akan ditemukan di mana-mana. Dalam Dahl, seseorang juga dapat melihat interpretasi seperti itu sebagai keseragaman dan keseragaman. Dengan kata lain, simetris berarti sama. Ia juga mengatakan bahwa itu membosankan, yang terlihat lebih menarik adalah apa yang tidak ada di dalamnya.

Ketika ditanya apa itu simetri, kamus Ozhegov sudah berbicara tentang kesamaan posisi bagian-bagian relatif terhadap suatu titik, garis atau bidang.

Kamus Ushakov juga menyebutkan proporsionalitas, serta korespondensi penuh dari dua bagian keseluruhan satu sama lain.

Kapan orang berbicara tentang asimetri?

Awalan "a" meniadakan arti kata benda utama. Oleh karena itu, asimetri berarti bahwa susunan elemen tidak sesuai dengan pola tertentu. Tidak ada kekekalan di dalamnya.

Istilah ini digunakan dalam situasi di mana dua bagian item tidak cocok secara sempurna. Sebagian besar waktu mereka tidak terlihat sama.

Dalam satwa liar, asimetri memainkan peran penting. Dan itu bisa bermanfaat dan juga berbahaya. Misalnya, jantung ditempatkan di bagian kiri dada. Karena ini, paru-paru kiri secara signifikan lebih kecil. Tapi itu perlu.

Tentang simetri pusat dan aksial

Dalam matematika, ada jenis seperti itu:

• sentral, yaitu, dilakukan sehubungan dengan satu titik;
• aksial, yang diamati di dekat garis lurus;
• specular, didasarkan pada refleksi;
• mentransfer simetri.

Apa sumbu dan pusat simetri? Ini adalah titik atau garis, yang relatif terhadap titik mana pun dari tubuh dapat menemukan titik lain. Selain itu, sedemikian rupa sehingga jarak dari yang asli ke yang dihasilkan dibelah dua oleh sumbu atau pusat simetri. Selama pergerakan titik-titik ini, mereka menggambarkan lintasan yang sama.

Paling mudah untuk memahami apa itu simetri tentang sumbu dengan sebuah contoh. Kertas notebook harus dilipat menjadi dua. Garis lipatan akan menjadi sumbu simetri. Jika kita menggambar garis tegak lurus padanya, maka semua titik di atasnya akan memiliki titik-titik yang terletak pada jarak yang sama di sisi lain sumbu.

Dalam situasi di mana Anda perlu menemukan pusat simetri, Anda perlu melakukan hal berikut. Jika ada dua angka, maka temukan titik yang sama untuk mereka dan hubungkan dengan sebuah segmen. Kemudian belah menjadi dua. Ketika sosok itu satu, maka pengetahuan tentang sifat-sifatnya dapat membantu. Seringkali pusat ini bertepatan dengan titik perpotongan diagonal atau ketinggian.

Bentuk apa yang simetris?

Sosok geometris dapat memiliki simetri aksial atau pusat. Tapi ini bukan prasyarat, ada banyak objek yang tidak memilikinya sama sekali. Misalnya, jajaran genjang memiliki pusat tetapi tidak ada aksial. Dan trapesium dan segitiga tidak sama kaki tidak memiliki simetri sama sekali.

Jika diperhatikan simetri sentral, cukup banyak sosok yang memilikinya. Ini adalah segmen dan lingkaran, jajar genjang dan semua poligon beraturan dengan jumlah sisi yang habis dibagi dua.

Pusat simetri segmen (juga lingkaran) adalah pusatnya, sedangkan untuk jajaran genjang bertepatan dengan perpotongan diagonal. Sedangkan untuk poligon beraturan, titik ini juga bertepatan dengan pusat gambar.

Jika sebuah garis lurus dapat ditarik pada suatu bangun, yang sepanjang garis tersebut dapat dilipat, dan kedua bagiannya bertepatan, maka itu (garis lurus) akan menjadi sumbu simetri. Yang menarik adalah berapa banyak sumbu simetri yang dimiliki tokoh-tokoh yang berbeda.

Misalnya, sudut lancip atau tumpul hanya memiliki satu sumbu, yaitu garis bagi.

Jika Anda perlu menemukan sumbu dalam segitiga sama kaki, maka Anda perlu menggambar tingginya ke alasnya. Garis akan menjadi sumbu simetri. Dan hanya satu. Dan dalam satu sama sisi akan ada tiga dari mereka sekaligus. Selain itu, segitiga juga memiliki simetri pusat terhadap titik potong ketinggian.

Sebuah lingkaran dapat memiliki jumlah sumbu simetri yang tidak terbatas. Setiap garis lurus yang melewati pusatnya dapat memenuhi peran ini.

Persegi panjang dan belah ketupat memiliki dua sumbu simetri. Yang pertama melewati titik tengah sisi, dan yang kedua bertepatan dengan diagonal.

Persegi menggabungkan dua angka sebelumnya dan memiliki 4 sumbu simetri sekaligus. Mereka adalah sama dengan belah ketupat dan persegi panjang.