Sebuah blok besar matematika dikhususkan untuk bekerja dengan pecahan atau angka non-integer. Mereka sangat sering ditemui dalam hidup, jadi mengetahui cara bekerja dengan angka-angka seperti itu penting bagi siapa pun. Matematika adalah ilmu dimana siswa mulai dengan pengetahuan tentang hal-hal sederhana dan tindakan, dan kemudian pindah ke yang lebih kompleks.

Pengetahuan dan kemampuan untuk bekerja dengan angka yang sama akan memudahkannya untuk bekerja dengan logaritma, eksponen rasional dan integral di masa depan. Dengan angka seperti itu, Anda dapat melakukan semuanya sama seperti dengan angka biasa: menjumlahkan pecahan, membagi, mengurangi, dan mengalikan. Selain itu, mereka dapat dikurangi. Bekerja dengan pecahan itu mudah, yang utama adalah mengetahui aturan dasar dan metode untuk menghitungnya.

Konsep dasar

Untuk memahami apa artinya ini, perlu membayangkan keseluruhan objek tertentu. Katakanlah ada kue yang telah dipotong menjadi beberapa bagian yang identik atau sama. Setiap bagian akan disebut bagian.

Misalnya, 10 terdiri dari 5 dua, masing-masing dua adalah bagian dari sepuluh.

Saham memiliki nama sendiri, tergantung pada jumlah totalnya dalam bilangan bulat: 10 dapat terdiri dari dua lima atau lima dua, dalam kasus pertama akan disebut (satu detik), dan yang kedua - (satu per lima). Harus diingat bahwa itu sama dengan setengah angka, (sepertiga) - sepertiga, dan (seperempat) - seperempat. Mereka juga dapat digambarkan melalui tanda hubung: , 1/3 atau 1/5.

Angka yang ditulis di atas garis horizontal atau di sebelah kiri garis miring, disebut pembilang- menunjukkan berapa banyak bagian yang diambil dari bilangan bulat, dan nomor tersebut berada di bawah garis atau di sebelah kanannya - penyebut, itu menunjukkan berapa banyak saham yang dibagi. Misalnya, kue itu dibagi menjadi 10 bagian dan langsung disisihkan dua untuk tamu yang terlambat. Ini akan menjadi 2/10 (dua persepuluh), yaitu. mengambil 2 (pembilang) buah dari total 10 (penyebut).

Apa itu saham, apa itu pecahan biasa, apa itu pecahan biasa? Pertanyaan-pertanyaan ini mudah dijawab:

Sosok campuran selalu bisa berubah menjadi pecahan biasa dan sebaliknya.

Properti utama mengatakan: ketika mengalikan, serta membagi dividen dan pembagi dengan faktor yang sama, secara umum nilai pecahan tidak akan berubah. Properti ini memungkinkan semua operasi dengan pecahan.

Bagaimana cara memotong?

Aturan utama mengatakan bahwa angka pecahan dapat dikurangi - bagi pembilang dan penyebutnya ke pembagi yang sama(selain 0) sehingga diperoleh digit baru dengan parameter yang lebih kecil, tetapi sama dengan nilai aslinya. Berdasarkan aturan ini, dapat dipahami bahwa pecahan dapat direduksi dan tidak dapat direduksi.

Contoh pengurangan pecahan: 8/24 dikurangi dengan membagi parameternya dengan 2. Kami mendapatkan: 8:2=4 dan 24:2=12. Akibatnya, angka aslinya akan berubah menjadi 4/12. Anda dapat mengulangi operasi dengan membagi angka lagi: 4:2=2 dan 12:2=6. Kami mendapatkan 2/6. Mari kita ulangi operasi sekali lagi: 2:2=1 dan 6:2=3. Hasilnya adalah angka 1/3 yang tidak dapat direduksi, karena parameternya tidak dapat lagi dibagi dengan pembagi yang sama. Setiap nomor yang dikurangi dapat menjadi mengarah pada yang tidak dapat direduksi.

Anda dapat mengurangi saat mengalikan ekspresi pecahan satu sama lain:

*. Dengan sendirinya, angka-angka ini tidak dapat direduksi, tetapi dengan melakukan operasi perkalian, Anda dapat menguranginya secara diagonal: * = =. Anda hanya dapat mengurangi saat mengalikan silang: pembilang pertama dengan penyebut kedua, dan sebaliknya.

Anda juga dapat mengurangi angka campuran, mis. mewakili bagian bilangan bulat dan pecahan biasa sebagai pecahan tak wajar. Untuk ini harus dilakukan beberapa tindakan:

Tindakan sebaliknya juga benar: buat pecahan campuran dari pecahan biasa. Untuk melakukan ini, pertimbangkan tindakan sebaliknya dengan:

Dimungkinkan untuk mengurangi pecahan dalam operasi apa pun dengan cara ini. Anda dapat mengurangi nilai dividen dan pembaginya saat mengalikannya dengan faktor yang sama, dan mengonversi dari bilangan campuran menjadi pecahan, dan sebaliknya.

Tindakan yang mungkin dilakukan

Semua jenis perhitungan utama tersedia saat menghitung bagian, serta dengan bilangan bulat: penambahan, pengurangan, dan lainnya. Pertimbangkan setiap tindakan secara terpisah dengan contoh:

Penambahan dan pengurangan

Anda dapat menambahkan bagian dengan dua cara, tergantung pada pembaginya. Mereka sama dan berbeda. Perhatikan contoh penambahan bagian dengan pembagi yang sama.

Untuk menyelesaikan +, perlu menambahkan dividen secara terpisah, dan tidak menyentuh pembagi: 1 + 1. Hasilnya adalah angka, tetapi karena salah, itu dapat diubah menjadi campuran dengan membagi dividen dengan pembagi: 2: 2 = 1. Bagian yang salah harus selalu (!) Diberikan ke yang benar dan tidak dapat direduksi, yaitu jika dividen dan pembaginya dapat dibagi dengan faktor yang sama, ini harus dilakukan dalam urutan wajib.

Dalam hal menambahkan saham dengan pembagi yang berbeda, mereka harus terlebih dahulu mengarah ke hal yang sama. Misalnya, untuk menyelesaikan: Anda perlu:

Pengurangan dilakukan dengan cara yang persis sama: dalam kasus pembagi identik, kami tidak menyentuhnya, dan mengurangi pembilangnya secara berurutan: - = =

. Jika penyebutnya berbeda, maka Anda harus melakukan hal yang sama dengan penjumlahan: cari KPK, faktorkan, kalikan bagiannya, lalu kurangi bagian dengan pembagi yang sama.

Apa saja jenis pecahan yang ada?

Mari kita mulai dengan apa itu. Pecahan adalah bilangan yang memiliki pecahan satu. Itu dapat ditulis dalam dua bentuk. Yang pertama disebut biasa. Artinya, salah satu yang memiliki stroke horizontal atau miring. Ini sama dengan tanda pembagian.

Dalam notasi seperti itu, angka di atas tanda pisah disebut pembilang, dan di bawahnya disebut penyebut.

Di antara pecahan biasa, pecahan benar dan salah dibedakan. Untuk yang pertama, pembilang modulo selalu lebih kecil dari penyebutnya. Yang salah disebut demikian karena memiliki kebalikannya. Nilai pecahan biasa selalu kurang dari satu. Sedangkan yang salah selalu lebih besar dari angka ini.

Ada juga bilangan campuran, yaitu yang memiliki bilangan bulat dan bagian pecahan.

Jenis notasi kedua adalah desimal. Tentang percakapannya yang terpisah.

Apa perbedaan antara pecahan biasa dan pecahan campuran?

Pada dasarnya, tidak ada. Ini hanya notasi yang berbeda dari nomor yang sama. Pecahan tak wajar setelah operasi sederhana dengan mudah menjadi bilangan campuran. Dan sebaliknya.

Itu semua tergantung pada situasi spesifik. Terkadang dalam tugas lebih mudah menggunakan pecahan yang tidak tepat. Dan terkadang perlu untuk menerjemahkannya ke dalam angka campuran, dan kemudian contoh akan diselesaikan dengan sangat mudah. Karena itu, apa yang harus digunakan: pecahan yang tidak tepat, bilangan campuran - tergantung pada pengamatan pemecah masalah.

Bilangan campuran juga dibandingkan dengan jumlah bagian bilangan bulat dan bagian pecahan. Apalagi yang kedua selalu kurang dari satu.

Bagaimana cara menyatakan bilangan campuran sebagai pecahan biasa?

Jika Anda ingin melakukan beberapa tindakan dengan beberapa angka yang ditulis dalam bentuk yang berbeda, maka Anda harus membuatnya sama. Salah satu caranya adalah dengan merepresentasikan bilangan sebagai pecahan biasa.

Untuk tujuan ini, Anda harus mengikuti algoritma berikut:

• kalikan penyebut dengan bagian bilangan bulat;
• tambahkan nilai pembilang ke hasil;
• tulis jawabannya di atas baris;
• biarkan penyebutnya sama.

Berikut adalah contoh cara menulis pecahan biasa dari pecahan campuran:

• 17 \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

Bagaimana cara menulis pecahan biasa sebagai bilangan campuran?

Metode selanjutnya adalah kebalikan dari yang dibahas di atas. Yaitu, ketika semua bilangan campuran diganti dengan pecahan biasa. Algoritma tindakan akan menjadi sebagai berikut:

• membagi pembilang dengan penyebut untuk mendapatkan sisanya;
• tulis hasil bagi di tempat bagian bilangan bulat dari campuran;
• sisanya harus ditempatkan di atas garis;
• pembagi akan menjadi penyebut.

Contoh transformasi seperti itu:

76/14; 76:14 = 5 dengan sisa 6; jawabannya adalah 5 bilangan bulat dan 6/14; bagian pecahan dalam contoh ini perlu dikurangi dengan 2, Anda mendapatkan 3/7; jawaban akhirnya adalah 5 bilangan bulat 3/7.

108/54; setelah pembagian, hasil bagi 2 diperoleh tanpa sisa; ini berarti bahwa tidak semua pecahan biasa dapat direpresentasikan sebagai bilangan campuran; jawabannya adalah bilangan bulat - 2.

Bagaimana cara mengubah bilangan bulat menjadi pecahan biasa?

Ada situasi di mana tindakan seperti itu diperlukan. Untuk mendapatkan pecahan biasa dengan penyebut yang telah ditentukan, Anda perlu melakukan algoritme berikut:

• kalikan bilangan bulat dengan penyebut yang diinginkan;
• tulis nilai ini di atas garis;
• letakkan penyebut di bawahnya.

Pilihan paling sederhana adalah ketika penyebutnya sama dengan satu. Maka tidak perlu berlipat ganda. Cukup dengan menulis bilangan bulat, yang diberikan dalam contoh, dan menempatkan unit di bawah garis.

Contoh: Buatlah 5 pecahan biasa dengan penyebut 3. Setelah mengalikan 5 dengan 3, Anda mendapatkan 15. Angka ini akan menjadi penyebutnya. Jawaban dari tugas tersebut adalah pecahan: 15/3.

Dua pendekatan untuk menyelesaikan tugas dengan angka yang berbeda

Dalam contoh, diperlukan untuk menghitung jumlah dan selisih, serta produk dan hasil bagi dua angka: 2 bilangan bulat 3/5 dan 14/11.

Dalam pendekatan pertama bilangan campuran akan direpresentasikan sebagai pecahan biasa.

Setelah melakukan langkah-langkah yang dijelaskan di atas, Anda mendapatkan nilai berikut: 13/5.

Untuk mengetahui jumlah, Anda perlu mengurangi pecahan dengan penyebut yang sama. 13/5 dikalikan 11 menjadi 143/55. Dan 14/11 setelah dikalikan 5 akan berbentuk: 70/55. Untuk menghitung jumlahnya, Anda hanya perlu menjumlahkan pembilangnya: 143 dan 70, lalu tuliskan jawabannya dengan satu penyebut. 213/55 - pecahan tak wajar ini adalah jawaban dari soal.

Saat mencari selisihnya, bilangan yang sama ini dikurangi: 143 - 70 = 73. Jawabannya adalah pecahan: 73/55.

Saat mengalikan 13/5 dan 14/11, Anda tidak perlu mengurangi ke penyebut yang sama. Cukup kalikan pembilang dan penyebutnya secara berpasangan. Jawabannya adalah: 182/55.

Begitu juga dengan divisi. Untuk solusi yang benar, Anda perlu mengganti pembagian dengan perkalian dan membalik pembagi: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

Dalam pendekatan kedua Pecahan tak wajar menjadi bilangan campuran.

Setelah melakukan tindakan algoritme, 14/11 akan berubah menjadi bilangan campuran dengan bagian bilangan bulat 1 dan bagian pecahan 3/11.

Saat menghitung jumlah, Anda perlu menambahkan bagian bilangan bulat dan pecahan secara terpisah. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Jawaban akhirnya adalah 3 bulat 48/55. Pada pendekatan pertama ada pecahan 213/55. Anda dapat memeriksa kebenarannya dengan mengubahnya menjadi angka campuran. Setelah membagi 213 dengan 55, hasil bagi adalah 3 dan sisanya adalah 48. Sangat mudah untuk melihat bahwa jawabannya benar.

Saat mengurangkan, tanda "+" diganti dengan "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Untuk memeriksa jawaban dari pendekatan sebelumnya, Anda perlu mengubahnya menjadi bilangan campuran: 73 dibagi 55 dan Anda mendapatkan hasil bagi 1 dan sisa 18.

Untuk menemukan produk dan hasil bagi, tidak nyaman menggunakan angka campuran. Di sini selalu disarankan untuk beralih ke pecahan biasa.

Bagaimana cara mengubah pecahan biasa menjadi pecahan yang benar?

Kata itu sendiri - pecahan berarti bahwa jumlahnya pecahan, kurang dari keseluruhan (setidaknya satu).

Oleh karena itu, perlu untuk mengekstrak bilangan bulat dari pembilang. Misalnya, angka 30/4 adalah pecahan yang salah, karena 30 lebih besar dari 4. Jadi, Anda hanya perlu membagi 30 dengan 4 dan mendapatkan angka sebelum titik desimal - 7, lalu meletakkannya di depan pecahan . Kalikan 7 dengan 4 dan kurangi angka ini dari 30 - Anda mendapatkan 2 - angka ini akan menjadi pembilang pecahan. Hasilnya adalah 7 2/4, kita kurangi - 7 1/2. Dalam contoh Anda, jawabannya adalah 2 3/4.

Untuk melakukan ini, Anda memerlukan penyebut: penyebut.

Bilangan bulat yang ternyata - tulis di pembilangnya. Penyebutnya adalah yang tadi. Saat Anda membagi, tuliskan secara keseluruhan.

11:4=2 (sisa ke-3).

Kami mendapatkan pecahan aturan-th: 2 - sebanyak 34

Untuk mengubah pecahan biasa menjadi pecahan yang benar, Anda perlu mengidentifikasi seluruh bagian dan mengurangkannya dari pecahan biasa. Dalam kasus kami, pecahan biasa adalah 11/4. Akan ada dua (2) bagian utuh. Kami menguranginya dan mendapatkan pecahan yang benar: dua koma tiga perempat (2 poin 3/4).

Pecahan yang tidak tepat, dalam kasus kami, 11/4 harus dikonversi ke yang benar, yaitu. dalam hal ini pecahan campuran. Jika secara sederhana, maka pecahan tersebut salah, karena selain pecahan ada juga bilangan bulat di dalamnya. Ini seperti berdiri di lemari es kue yang belum selesai, meskipun dipotong, dan di atas meja ada beberapa potong yang tersisa dari yang kedua. Ketika kita berbicara tentang 11/4, kita tidak lagi tahu tentang dua kue utuh, kita hanya melihat sebelas potong besar. 11 dibagi 4 menghasilkan 2, dan sisanya adalah 11-8=3. Jadi, 2 bilangan bulat 3/4, sekarang pecahannya benar, di dalamnya pembilangnya akan lebih kecil dari penyebutnya, tetapi dicampur, karena perhitungan tidak dapat dilakukan tanpa satuan utuh.

Untuk mengubah pecahan biasa menjadi pecahan yang benar, bagilah pembilangnya dengan penyebutnya. Bilangan bulat yang dihasilkan diambil sebelum pecahan, dan sisanya dimasukkan ke dalam pembilang. Penyebutnya tidak berubah.

Contoh: 11/4 adalah pecahan biasa yang pembilangnya 11 dan penyebutnya 4.

Pertama, kita membagi 11 dengan 4, kita mendapatkan 2 bilangan bulat dan 3 sisa. Kami mengambil 2 sebelum pecahan, dan menulis sisanya 3 di pembilang 3/4. Dengan demikian, pecahan menjadi teratur - 2 bilangan bulat dan 3/4.

Untuk pecahan biasa, penyebutnya lebih kecil dari pembilangnya, yang menunjukkan bahwa pecahan ini memiliki bagian bilangan bulat yang dapat dibedakan dan diperoleh sebagai pecahan biasa dengan bilangan bulat.

Cara termudah untuk membagi pembilang dengan penyebut. Bilangan bulat yang dihasilkan diletakkan di sebelah kiri pecahan, dan sisanya ditulis ke pembilangnya, penyebutnya tetap sama.

Misalnya 11/4. Bagi 11 dengan 4 dan dapatkan 2 dan sisanya 3. Dua adalah angka yang kita letakkan di sebelah pecahan, dan kita menulis tiga di pembilang pecahan. Keluar 2 dan 3/4.

Untuk menjawab pertanyaan sederhana ini, Anda dapat memecahkan masalah sederhana yang sama:

Petya dan Valya datang ke perusahaan rekan-rekan mereka. Semua bersama-sama ada 11. Valya membawa apel bersamanya (tetapi tidak banyak) dan untuk memperlakukan semua orang, Petya memotong masing-masing menjadi empat bagian dan membagikannya. Cukup untuk semua orang dan bahkan tersisa lima potong.

Berapa banyak apel yang dibagikan Petya dan berapa banyak apel yang tersisa? Ada berapa orang?

Bisakah kamu menuliskannya secara matematis?

11 irisan apel, yang dalam kasus kami adalah 11/4, menerima pecahan yang tidak tepat, karena pembilangnya lebih besar dari penyebutnya.

Untuk menyorot seluruh bagian (mengubah pecahan yang tidak tepat ke yang tepat), Anda perlu membagi pembilang dengan penyebut, hasil bagi tidak lengkap (dalam kasus kami adalah 2) ditulis di sebelah kiri, sisanya (3) dibiarkan di pembilang dan penyebutnya tidak disentuh.

Akibatnya, kita mendapatkan 11/4 = 11:4 = 2 3/4 Peter membagikan apel.

Demikian pula, 5/4 = 1 1/4 apel tersisa.

(11+5)/4 = 16/4 = 4 apel yang dibawa oleh Valya

Angka desimal seperti 0.2; 1,05; 3.017 dll. seperti yang didengar, demikian pula yang tertulis. Nol koma dua, kita mendapatkan pecahan. Satu seluruh lima ratus, kita mendapatkan pecahan. Tiga seluruh tujuh belas ribu, kita mendapatkan pecahan. Digit sebelum titik desimal dalam bilangan desimal adalah bagian bilangan bulat dari pecahan. Angka setelah koma adalah pembilang dari pecahan yang akan datang. Jika ada angka satu digit setelah titik desimal, penyebutnya adalah 10, jika dua digit - 100, tiga digit - 1000, dll. Beberapa pecahan yang dihasilkan dapat direduksi. Dalam contoh kami

Mengubah pecahan menjadi bilangan desimal

Ini adalah kebalikan dari transformasi sebelumnya. Apa itu pecahan desimal? Penyebutnya selalu 10, atau 100, atau 1000, atau 10.000, dan seterusnya. Jika pecahan biasa Anda memiliki penyebut seperti itu, tidak ada masalah. Misalnya, atau

Jika pecahan, misalnya . Dalam hal ini, Anda perlu menggunakan sifat dasar pecahan dan mengubah penyebutnya menjadi 10 atau 100, atau 1000 ... Dalam contoh kita, jika kita mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan 4, kita mendapatkan pecahan yang dapat ditulis sebagai bilangan desimal 0,12.

Beberapa pecahan lebih mudah dibagi daripada mengubah penyebutnya. Sebagai contoh,

Beberapa pecahan tidak dapat dikonversi ke angka desimal!
Sebagai contoh,

Mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa

Pecahan campuran, seperti , mudah diubah menjadi pecahan biasa. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengalikan bagian bilangan bulat dengan penyebut (bawah) dan menambahkannya ke pembilang (atas), membiarkan penyebut (bawah) tidak berubah. Yaitu

Saat mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa, ingatlah bahwa Anda dapat menggunakan penjumlahan pecahan

Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran (menyoroti seluruh bagian)

Pecahan biasa dapat diubah menjadi pecahan campuran dengan menyorot seluruh bagian. Perhatikan sebuah contoh, . Tentukan berapa kali bilangan bulat "3" yang cocok dengan "23". Atau kita bagi 23 dengan 3 pada kalkulator, bilangan bulat hingga titik desimal adalah yang diinginkan. Ini adalah "7". Selanjutnya, kami menentukan pembilang dari pecahan masa depan: kami mengalikan "7" yang dihasilkan dengan penyebut "3" dan mengurangi hasil dari pembilang "23". Bagaimana kita menemukan kelebihan yang tersisa dari pembilang "23", jika kita menghilangkan jumlah maksimum "3". Penyebutnya dibiarkan tidak berubah. Semuanya sudah selesai, tuliskan hasilnya

Setiap orang, ketika memecahkan masalah dari matematika, sering menghadapi masalah dengan pecahan. Ada banyak dari mereka, jadi kami akan mempertimbangkan berbagai opsi untuk menyelesaikan masalah utama seperti itu.

Apa itu pecahan?

Bilangan atas dari suatu pecahan disebut pembilang, dan bilangan bawah disebut penyebut. Pecahan biasa adalah hasil bagi dua angka, salah satu angka ini dalam pembilang pecahan, yang kedua adalah penyebut pecahan. Jenis pecahan biasa ini akan ditentukan dengan membandingkan penyebut dan pembilang pecahan tersebut.

Jika penyebut suatu pecahan (bilangan asli) lebih besar dari pembilang suatu pecahan (bilangan asli), maka pecahan tersebut disebut wajar. Berikut beberapa contohnya: 19/7; 9/13; 31/152; 17/5.

Jika penyebut suatu pecahan (bilangan asli) lebih kecil atau sama dengan pembilang suatu pecahan (bilangan asli), maka pecahan tersebut disebut pecahan biasa. Berikut beberapa contohnya: 7/5; 19/3; 15/9; 231/63.

Cara menerjemahkan pecahan biasa

Untuk mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa, Anda perlu mengalikan bagian bilangan bulat dari pecahan dengan penyebut di bagian pecahan dan menambahkan pembilangnya ke hasil kali ini. Kemudian ambil jumlah sebagai pembilangnya, tuliskan penyebut yang sama seperti sebelumnya. Berikut beberapa contohnya:

• 4(3/11) = (4x11+3)/11 = (44+3)/11 = 47/11.
• 11(5/9) = (11x9+5)/9 = (99+5)/9 = 104/9.

Untuk mengubah pecahan biasa menjadi pecahan biasa, Anda perlu membagi pembilang pecahan biasa ini dengan penyebutnya. Bilangan bulat yang dihasilkan diambil sebagai bagian bilangan bulat dari pecahan, dan sisanya (tentu saja, jika ada) diambil sebagai pembilang bagian pecahan dari pecahan yang benar, dengan menuliskan penyebut yang sama seperti sebelumnya. Berikut beberapa contohnya:

• 150/13 = (143/13)+(7/13) = 11(7/13).
• 156/12 = (13x12)/12 = 13.

Untuk mengonversi pecahan biasa menjadi desimal, Anda perlu mencari tahu apakah ada faktor seperti itu, yang memungkinkan Anda membawa penyebut bagian pecahan dari pecahan biasa ke angka yang sama dengan sepuluh (atau sepuluh dipangkatkan ke pangkat (10, 100, 1000 dan seterusnya). Jika faktor tersebut adalah, maka pembilang dan penyebut pecahan tidak wajar harus dikalikan dengan faktor ini untuk memeriksanya. Sekarang pembilang yang dikalikan harus dikaitkan, dipisahkan dengan koma , ke bagian bilangan bulat dari pecahan biasa. Kami memberikan contoh:

• Pengganda "5" - 8/20 = (8x5) / (20x5) = 40/100 = 0,4.
• Pengganda "4" - 14/25 = (14x4) / (25x4) = 56/100 = 0,56.
• Pengganda "25" - 3/40 = (3x25)/(40x25) = 75/1000 = 0,075.

Jika tidak ada faktor seperti itu, ini berarti desimal yang tidak tepat ini tidak memiliki padanan yang jelas. Artinya, tidak setiap pecahan tak wajar dapat diubah menjadi desimal. Dalam hal ini, Anda perlu menemukan nilai perkiraan pecahan dengan tingkat akurasi yang Anda butuhkan. Anda dapat menghitung pecahan seperti itu di kalkulator, di pikiran Anda atau di kolom. Berikut beberapa contohnya: 41/7 = 5(6/7) = 5,9 (dibulatkan ke persepuluh), = 5,86 (dibulatkan ke perseratus), = 5,857 (dibulatkan ke seperseribu); 3/7, 7/6, 1/3 dan lainnya. Mereka juga tidak diterjemahkan dengan jelas dan dihitung di kalkulator, di pikiran atau di kolom.

Sekarang Anda tahu cara mengubah pecahan biasa menjadi pecahan biasa atau desimal!

Aturan dan trik matematika sederhana, jika tidak digunakan terus-menerus, akan paling cepat dilupakan. Istilah memudar lebih cepat dari memori.

Salah satu tindakan sederhana ini adalah mengubah pecahan biasa menjadi pecahan biasa, atau, dengan kata lain, pecahan campuran.

Fraksi yang tidak tepat

Pecahan tak wajar adalah pecahan yang pembilangnya (angka di atas batang pecahan) lebih besar atau sama dengan penyebutnya (bilangan di bawah batang). Pecahan seperti itu diperoleh dengan menjumlahkan pecahan atau mengalikan pecahan dengan bilangan bulat. Menurut aturan matematika, pecahan seperti itu harus diubah menjadi pecahan biasa.

pecahan biasa

Adalah logis untuk mengasumsikan bahwa semua pecahan lain disebut benar. Definisi ketat - pecahan yang benar disebut, di mana pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya. Pecahan yang memiliki bagian bilangan bulat kadang-kadang disebut pecahan campuran.

Mengubah Pecahan Tidak Wajar menjadi Pecahan Biasa

• Kasus pertama: pembilang dan penyebutnya sama. Sebagai hasil dari transformasi pecahan seperti itu, satu akan diperoleh. Tidak masalah apakah itu tiga pertiga atau seratus dua puluh lima seratus dua puluh lima. Faktanya, pecahan seperti itu menunjukkan tindakan membagi angka dengan dirinya sendiri.

• Kasus kedua: pembilangnya lebih besar dari penyebutnya. Di sini Anda perlu mengingat metode pembagian angka dengan sisa.
  Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan bilangan yang paling dekat dengan nilai pembilangnya, yang habis dibagi penyebutnya tanpa sisa. Misalnya, Anda memiliki pecahan sembilan belas pertiga. Bilangan terdekat yang dapat dibagi tiga adalah delapan belas. Dapatkan enam. Sekarang kurangi angka yang dihasilkan dari pembilangnya. Kami mendapatkan satu unit. Ini adalah sisa. Tuliskan hasil transformasi: enam bilangan bulat dan sepertiga.

Tetapi sebelum Anda membawa pecahan ke bentuk yang benar, Anda perlu memeriksa apakah itu dapat dikurangi.
Suatu pecahan dapat diperkecil jika pembilang dan penyebutnya mempunyai pembagi yang sama. Yaitu bilangan yang keduanya habis dibagi tanpa sisa. Jika ada beberapa pembagi seperti itu, Anda perlu menemukan yang terbesar.
Misalnya, semua bilangan genap memiliki pembagi yang sama - dua. Dan pecahan dari keenam belas per dua belas memiliki pembagi umum lainnya - empat. Ini adalah pembagi terbesar. Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan empat. Hasil pengurangan: empat pertiga. Sekarang, sebagai latihan, ubah pecahan ini menjadi pecahan biasa.

Dalam materi ini, kita akan menganalisis yang namanya bilangan campuran. Kami mulai, seperti biasa, dengan definisi dan contoh kecil, kemudian kami akan menjelaskan hubungan antara bilangan campuran dan pecahan biasa. Setelah itu, kita akan belajar cara mengekstrak bagian bilangan bulat dengan benar dari pecahan dan mendapatkan bilangan bulat sebagai hasilnya.

Konsep bilangan campuran

Jika kita mengambil jumlah n + a b , di mana nilai n dapat berupa bilangan asli apa pun, dan a b adalah pecahan biasa biasa, maka kita dapat menulis hal yang sama tanpa menggunakan plus: n a b . Mari kita ambil angka spesifik untuk kejelasan: jadi, 28 + 5 7 sama dengan 28 5 7 . Penulisan pecahan di sebelah bilangan bulat disebut bilangan campuran.

Definisi 1

nomor campuran adalah suatu bilangan yang sama dengan jumlah suatu bilangan asli n dengan pecahan biasa biasa a b . Dalam hal ini, n adalah bagian bilangan bulat dari bilangan tersebut, dan a b adalah bagian pecahannya.

Ini mengikuti dari definisi bahwa setiap bilangan campuran sama dengan apa yang akan dihasilkan dari penambahan bagian bilangan bulat dan pecahannya. Jadi, persamaan n a b = n + a b akan berlaku.

Itu juga dapat ditulis sebagai n + a b = n a b .

Apa saja contoh bilangan campuran? Jadi, 5 1 8 milik mereka, sedangkan lima adalah seluruh bagiannya, dan seperdelapan adalah pecahan. Contoh lainnya: 1 1 2 , 234 34 53 , 34000 6 25 .

Kami menulis di atas bahwa hanya pecahan wajar yang harus berada di bagian pecahan dari bilangan campuran. Terkadang Anda dapat menemukan entri seperti 5 22 3 , 75 7 2 . Itu bukan bilangan campuran, karena bagian pecahan mereka salah. Mereka perlu dipahami sebagai jumlah bilangan bulat dan bagian pecahan. Angka-angka tersebut dapat direduksi menjadi angka campuran standar dengan mengambil bagian bilangan bulat dari pecahan yang tidak tepat dan menambahkannya ke 5 dan 75 dalam contoh-contoh ini, masing-masing.

Bilangan berbentuk 0 3 14 juga tidak dicampur. Bagian pertama dari kondisi tidak terpenuhi di sini: bagian bilangan bulat harus diwakili hanya oleh bilangan asli, dan nol tidak.

Bagaimana pecahan biasa dan bilangan campuran terkait?

Koneksi ini paling mudah dilacak pada contoh konkret.

Contoh 1

Mari kita ambil satu kue utuh dan tiga perempat lainnya. Menurut aturan penambahan, kami memiliki 1 + 3 4 kue di atas meja. Jumlah ini dapat direpresentasikan sebagai angka campuran sebagai 1 3 4 kue. Jika kita mengambil satu kue utuh dan juga memotongnya menjadi empat bagian yang sama, maka kita akan memiliki 7 4 kue di atas meja. Jelas, jumlahnya tidak meningkat dari pemotongan, dan 1 3 4 = 7 4 .

Contoh kita membuktikan bahwa setiap pecahan tak wajar dapat direpresentasikan sebagai bilangan campuran.

Mari kita kembali ke 7 4 kue yang tersisa di atas meja. Mari kita kembalikan satu kue dari potongannya (1 + 3 4). Kami akan kembali memiliki 1 3 4 .

Menjawab: 7 4 = 1 3 4 .

Kami menemukan cara mengubah pecahan biasa menjadi bilangan campuran. Jika pembilang dari pecahan biasa berisi angka yang dapat dibagi dengan penyebut tanpa sisa, maka Anda dapat melakukan ini, dan kemudian pecahan biasa kita akan menjadi bilangan asli.

Contoh 2

Sebagai contoh,

8 4 = 2 karena 8: 4 = 2 .

Bagaimana cara mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa

Untuk berhasil memecahkan masalah, akan berguna untuk dapat melakukan tindakan sebaliknya, yaitu membuat pecahan biasa dari bilangan campuran. Dalam paragraf ini, kami akan menganalisis bagaimana melakukannya dengan benar.

Untuk melakukan ini, Anda perlu mereproduksi urutan tindakan berikut:

1. Untuk memulainya, kami menyajikan bilangan campuran yang tersedia n a b sebagai jumlah dari bagian bilangan bulat dan pecahan. Ternyata n + a b

3. Setelah itu, kami melakukan tindakan yang sudah dikenal - kami menambahkan dua pecahan biasa n 1 dan a b. Pecahan tak wajar yang dihasilkan akan sama dengan bilangan campuran yang diberikan dalam kondisi.

Mari kita menganalisis tindakan ini pada contoh spesifik.

Contoh 3

Tulis 5 3 7 sebagai pecahan biasa.

Keputusan

Kami melakukan langkah-langkah dari algoritma di atas secara berurutan. Nomor kami 5 3 7 adalah jumlah dari bagian bilangan bulat dan pecahan, yaitu, 5 + 3 7. Sekarang mari kita tuliskan lima sebagai 5 1 . Kami mendapat jumlah 5 1 + 3 7 .

Langkah terakhir adalah menjumlahkan pecahan dengan penyebut berbeda:

5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7

Seluruh solusi untuk bentuk pendek dapat ditulis sebagai 5 3 7 = 5 + 3 7 = 5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7 .

Menjawab: 5 3 7 = 38 7 .

Jadi, dengan bantuan rangkaian aksi di atas, kita dapat mengubah bilangan campuran apa pun n a b menjadi pecahan biasa. Kami telah memperoleh rumus n a b = n b + a b , yang akan kami ambil untuk menyelesaikan masalah lebih lanjut.

Contoh 4

Tulis 15 2 5 sebagai pecahan biasa.

Keputusan

Ambil rumus ini dan gantikan nilai yang diinginkan ke dalamnya. Kami memiliki n = 15 , a = 2 , b = 5 , oleh karena itu 15 2 5 = 15 5 + 2 5 = 77 5 .

Menjawab: 15 2 5 = 77 5 .

Kami biasanya tidak mencantumkan pecahan biasa sebagai jawaban akhir. Merupakan kebiasaan untuk mengakhiri perhitungan dan menggantinya dengan bilangan asli (membagi pembilang dengan penyebut) atau bilangan campuran. Sebagai aturan, metode pertama digunakan ketika dimungkinkan untuk membagi pembilang dengan penyebut tanpa sisa, dan yang kedua - jika tindakan seperti itu tidak mungkin.

Saat kita mengekstrak bagian bilangan bulat dari pecahan biasa, kita cukup menggantinya dengan angka campuran yang sama.

Mari kita lihat bagaimana tepatnya ini dilakukan.

Definisi 2

Kami menyajikan bukti dari pernyataan ini.

Kita perlu menjelaskan mengapa q r b = a b . Untuk melakukan ini, bilangan campuran q r b harus direpresentasikan sebagai pecahan tak wajar dengan mengikuti semua langkah algoritme dari paragraf sebelumnya. Karena merupakan hasil bagi tidak lengkap, dan r adalah sisa pembagian a dengan b, maka persamaan a = b · q + r harus berlaku.

Jadi q b + r b = a b jadi q r b = a b . Ini adalah bukti dari pernyataan kami. Untuk meringkas:

Definisi 3

Pemilihan bagian bilangan bulat dari pecahan tak wajar a b dilakukan sebagai berikut:

1) kita membagi a dengan b dengan sisa dan menulis hasil bagi q yang tidak lengkap dan sisa r secara terpisah.

2) Tulis hasilnya sebagai q r b . Ini adalah bilangan campuran kita, sama dengan pecahan biasa yang asli.

Contoh 5

Nyatakan 1074 sebagai bilangan campuran.

Keputusan

Kami membagi 104 dengan 7 dalam kolom:

Membagi pembilang a = 118 dengan penyebut b = 7 menghasilkan hasil bagi tidak lengkap q = 16 dan sisanya r = 6.

Hasilnya, kita mendapatkan bahwa pecahan tak wajar 118 7 sama dengan bilangan campuran q r b = 16 6 7 .

Menjawab: 118 7 = 16 6 7 .

Tetap bagi kita untuk melihat bagaimana mengganti pecahan biasa dengan bilangan asli (asalkan pembilangnya habis dibagi penyebutnya tanpa sisa).

Untuk melakukan ini, ingat hubungan apa yang ada antara pecahan biasa dan pembagian. Dari sini kita dapat menurunkan persamaan: a b = a: b = c . Ternyata pecahan biasa a b dapat diganti dengan bilangan asli c.

Contoh 6

Misalnya, jika jawabannya adalah pecahan biasa 27 3, maka kita dapat menulis 9 sebagai gantinya, karena 27 3 \u003d 27: 3 \u003d 9.

Menjawab: 27 3 = 9 .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter