Kusut(atau buram, buram) sekelompok- sebuah konsep yang diperkenalkan oleh L. Zadeh, yang memperluas konsep klasik (Cantorian) dari suatu himpunan, dengan asumsi bahwa fungsi karakteristik (fungsi keanggotaan suatu elemen dalam suatu himpunan) dapat mengambil nilai apa pun dalam interval , dan bukan hanya nilai 0 atau 1.

Definisi: himpunan kabur(satu set kabur)

Biarlah C ada beberapa himpunan universal (alam semesta). Maka himpunan kabur A di C didefinisikan sebagai himpunan pasangan terurut

di mana disebut fungsi keanggotaan (FP) dari elemen X ke himpunan kabur A.

OP menetapkan untuk setiap elemen dari C nilai dari interval , yang disebut derajat keanggotaan x ke A atau ukuran kabur.

Ukuran fuzzy dapat dianggap sebagai tingkat kebenaran suatu elemen X milik A.

Definisi: dasar himpunan fuzzy(dukungan dari fuzzyset)

Basis dari himpunan kabur A adalah himpunan semua titik sehingga .

Dengan demikian, definisi himpunan fuzzy merupakan perluasan dari definisi himpunan klasik, di mana fungsi karakteristik dapat mengambil nilai kontinu antara 0 dan 1. Semesta C mungkin diskrit atau kontinu.

Untuk merepresentasikan FP, biasanya digunakan beberapa jenis fungsi parametrik.

Representasi FP tipikal

segitiga FP (Gbr. 2.2, a) dijelaskan oleh tiga parameter ( a, b, c), yang menentukan x koordinat ketiga sudut segitiga adalah sebagai berikut:

berbentuk trapesium FP (Gbr. 2.2, c) dijelaskan oleh empat parameter ( a,b,c,d), yang menentukan x koordinat keempat sudut trapesium adalah sebagai berikut:

Beras. 2.2. FP segitiga dan trapesium

Gaussian FP (Gbr. 2.3) ditentukan oleh dua parameter dan mewakili fungsi berikut: .

Beras. 2.3. FP Gauss

Variabel Linguistik

Salah satu konsep dasar yang juga diperkenalkan oleh L. Zadeh adalah konsep variabel linguistik.

Definisi: variabel linguistik(LP) mewakili lima berikutnya , di mana adalah nama variabel, adalah himpunan term yang menentukan himpunan nilai LP yang merupakan ekspresi bahasa (sintagma), X- semesta, G- aturan sintaksis, yang dengannya kita dapat membentuk sintagma, M- aturan semantik, yang dengannya setiap sintagma diberi maknanya, yang merupakan himpunan kabur di alam semesta X.

Contoh LP adalah, misalnya, variabel = "usia". Himpunan istilahnya dapat berupa, misalnya, sebagai berikut:

(umur) = ( Sangat muda, muda, kurang lebih muda, paruh baya, tua, sangat tua}.

Himpunan bilangan real tertentu, misalnya, interval, dapat berfungsi sebagai alam semesta untuk LP tertentu. aturan semantik M menganggap istilah dari T(umur) nilai yang merupakan berbagai modifikasi dari himpunan fuzzy.

Mari kembali ke contoh mengemudi mobil dan jelaskan makna linguistik dalam aturan di atas menggunakan himpunan fuzzy. Perhatikan variabel linguistik berikut:

x – jarak antar mesin

kamu– kecepatan di depan mobil yang bergerak;

z- percepatan kendaraan yang dikendalikan.

OP harus ditentukan sesuai dengan situasi kontrol yang dipertimbangkan. Jadi, misalnya, kecepatan 70 km/jam adalah "besar" dalam situasi lalu lintas kota dan dapat dianggap "kecil" dalam situasi lalu lintas jalan bebas hambatan.

Sebagai contoh, kami mendefinisikan alam semesta berikut:

[m], [km/jam],

[km/jam 2 ].

pada gambar. 2.4 menunjukkan FP untuk menggambarkan makna linguistik "kecil" (lambat) dan "besar" (cepat) untuk kecepatan dan "dekat" (pendek) dan "besar" (panjang) untuk jarak.

Beras. 2.4. Himpunan Fuzzy untuk Masalah Mengontrol Pergerakan Mobil Paling Sederhana

Perbedaan antara representasi himpunan klasik dan fuzzy

Mari kita bahas perbedaan ini menggunakan contoh berikut. Pertimbangkan representasi himpunan klasik dan fuzzy untuk menggambarkan makna linguistik dari "pendek" (untuk jarak).

pada gambar. 2.5 menunjukkan perbedaan antara representasi klasik dan fuzzy dari himpunan A untuk contoh ini.

Beras. 2.5. Representasi klasik dan fuzzy dari himpunan A

Kami mendefinisikan representasi klasik dari himpunan A seperti yang ditunjukkan pada gambar. 2,5 tersisa. Dalam hal ini, fungsi karakteristiknya adalah:

Representasi himpunan kabur A ditunjukkan pada gambar. 2,5 benar. Dalam hal ini, fungsi keanggotaan FP terlihat seperti ini:

Sekarang mari kita ajukan pertanyaan berikut: apakah titik m atau titik m termasuk dalam himpunan A?

Dari perspektif klasik, jawabannya adalah "tidak". Dari sudut pandang persepsi manusia, jawabannya lebih “ya” daripada “tidak”. Dari sudut pandang representasi fuzzy, jawabannya adalah ya.

Dengan demikian, contoh sederhana ini dengan jelas menunjukkan bahwa pendekatan fuzzy lebih dekat dengan alam, manusia, dan memiliki lebih banyak fleksibilitas daripada pendekatan klasik.

Dengan bantuan himpunan fuzzy, kita dapat menggambarkan batas-batas fuzzy.

Operasi dasar dalam teori himpunan kabur

Kami mendefinisikan operasi fuzzy utama sebagai berikut.

Definisi: himpunan bagian kabur(Penahanan Fuzzy atau Subset Fuzzy). himpunan kabur A terkandung dalam himpunan fuzzy B(atau, setara, A adalah himpunan bagian B) jika dan hanya jika untuk semua . Dalam bentuk simbolis:

Definisi:persamaan himpunan kabur(Kesamaan Himpunan Fuzzy). Ekivalensi (kesetaraan) himpunan fuzzy A dan B didefinisikan sebagai berikut:

Untuk semuanya .

Definisi:fuzzy union atau fuzzy disjunction(Fuzzy Union) Gabungan dari dua himpunan fuzzy A dan B(secara simbolis ditulis sebagai or A ATAU B atau A B) adalah himpunan fuzzy yang FPnya didefinisikan sebagai berikut:

Definisi:persimpangan kabur(Persimpangan Fuzzy).Perpotongan dua himpunan fuzzy A dan B(dalam bentuk simbolis ditulis sebagai , atau C=A DAN B, atau C= A B) adalah himpunan fuzzy yang FPnya didefinisikan sebagai berikut:

Definisi:tambahan kabur. Tambahan A(dalam bentuk simbolik ditulis sebagai atau ) adalah fuzzy yang FPnya didefinisikan sebagai berikut:

.

Gambar 2.6 menunjukkan contoh operasi fuzzy pada himpunan fuzzy.

Beras. 2.6. Contoh operasi fuzzy pada himpunan fuzzy

Fitur himpunan fuzzy

Mari kita perhatikan fitur penting dari teori himpunan fuzzy.

1) Hukum bagian tengah yang dikecualikan dan hukum kontradiksi, di mana - himpunan kosong benar dalam teori himpunan klasik, tetapi dalam teori himpunan kabur dalam kasus umum mereka tidak terpenuhi.

Hukum eksklusi tengah dan hukum kontradiksi dalam teori fuzzy adalah sebagai berikut: dan .

2) Dalam teori himpunan klasik titik dari himpunan A dapat memiliki salah satu dari dua kemungkinan: atau . Dalam teori fuzzy, suatu titik dapat dimiliki oleh suatu himpunan A dan bukan milik pada saat yang sama A(yaitu milik himpunan ) dengan nilai yang berbeda dari fungsi keanggotaan dan , seperti yang ditunjukkan pada gambar. 2.7.

Ilmu pengetahuan dan teknologi modern tidak dapat dibayangkan tanpa meluasnya penggunaan pemodelan matematika, karena eksperimen skala penuh jauh dari selalu mungkin, seringkali terlalu mahal dan membutuhkan banyak waktu, dalam banyak kasus mereka dikaitkan dengan risiko dan material yang tinggi atau biaya moral. Inti dari pemodelan matematika adalah untuk mengganti objek nyata dengan "gambar" - model matematika - dan studi lebih lanjut dari model dengan bantuan algoritma logika komputasi yang diterapkan pada komputer. Persyaratan paling penting untuk model matematika adalah kondisi kecukupannya (korespondensi yang benar) dengan objek nyata yang dipelajari sehubungan dengan sistem properti yang dipilih. Dengan ini, pertama-tama, dipahami deskripsi kuantitatif yang benar dari sifat-sifat objek yang dipertimbangkan. Konstruksi model kuantitatif seperti itu dimungkinkan untuk sistem sederhana.

Situasinya berbeda dengan sistem yang kompleks. Untuk mendapatkan kesimpulan yang signifikan tentang perilaku sistem yang kompleks, perlu untuk meninggalkan akurasi dan ketelitian yang tinggi dalam konstruksi model dan untuk terlibat dalam pendekatan konstruksi yang bersifat perkiraan. Salah satu pendekatan ini dikaitkan dengan pengenalan variabel linguistik yang menggambarkan refleksi kabur seseorang di seluruh dunia. Agar variabel linguistik menjadi objek matematika yang lengkap, konsep himpunan fuzzy diperkenalkan.

Dalam teori himpunan tegas, fungsi karakteristik himpunan tegas dipertimbangkan di ruang universal
, sama dengan 1 jika elemen memenuhi properti dan karena itu termasuk dalam himpunan , dan sama dengan 0 sebaliknya. Jadi, kami berbicara tentang dunia yang jelas (aljabar Boolean), di mana ada atau tidak adanya properti tertentu ditentukan oleh nilai 0 atau 1 ("tidak" atau "ya").

Namun, segala sesuatu di dunia tidak dapat dibagi hanya menjadi putih dan hitam, kebenaran dan kebohongan. Jadi, bahkan Sang Buddha melihat dunia yang penuh dengan kontradiksi, hal-hal bisa benar sampai batas tertentu dan, sampai batas tertentu, salah pada saat yang sama. Plato meletakkan dasar untuk apa yang akan menjadi logika fuzzy dengan menunjukkan bahwa ada alam ketiga (di luar Kebenaran dan Kepalsuan) di mana kontradiksi ini relatif.

Profesor Universitas California Zadeh menerbitkan pada tahun 1965 artikel "Set Fuzzy", di mana ia memperluas estimasi dua nilai dari 0 atau 1 ke estimasi multi-nilai tak terbatas di atas 0 dan di bawah 1 dalam interval tertutup dan pertama kali memperkenalkan konsep "set kabur". Alih-alih istilah "fungsi karakteristik" Zadeh menggunakan istilah "fungsi keanggotaan". himpunan kabur (notasi yang sama dipertahankan seperti untuk himpunan tegas) di ruang universal
melalui fungsi keanggotaan
(notasi yang sama untuk fungsi karakteristik) didefinisikan sebagai berikut:

(3.1)

Fungsi keanggotaan paling sering diartikan sebagai berikut: nilai
berarti penilaian subjektif dari tingkat keanggotaan suatu elemen himpunan kabur , Sebagai contoh,
maksudnya 80% dimiliki . Oleh karena itu, “fungsi keanggotaan saya”, “fungsi keanggotaan Anda”, “fungsi keanggotaan spesialis”, dll. harus ada. 1. Fungsi keanggotaan himpunan fuzzy memiliki grafik berbentuk lonceng, berbeda dengan fungsi karakteristik persegi panjang dari himpunan tegas gambar. satu.

Perhatian harus diberikan pada hubungan antara himpunan tegas dan himpunan kabur. Dua nilai (0,1) dari fungsi karakteristik termasuk dalam interval tertutup dari nilai-nilai fungsi keanggotaan. Oleh karena itu, himpunan tegas adalah kasus khusus dari himpunan kabur, dan konsep himpunan kabur merupakan konsep perluasan yang mencakup konsep himpunan tegas. Dengan kata lain, himpunan tegas juga merupakan himpunan kabur.

Himpunan fuzzy didefinisikan secara ketat menggunakan fungsi keanggotaan dan tidak mengandung ketidakjelasan apapun. Faktanya adalah bahwa himpunan fuzzy didefinisikan secara ketat menggunakan nilai perkiraan interval tertutup , dan ini adalah fungsi keanggotaan. Jika himpunan semesta
terdiri dari himpunan elemen hingga yang diskrit, kemudian, untuk alasan praktis, tunjukkan nilai fungsi keanggotaan dan elemen yang bersesuaian dengan menggunakan tanda pemisah / dan +. Sebagai contoh, misalkan himpunan semesta terdiri dari bilangan bulat kurang dari 10, maka himpunan fuzzy "angka kecil" dapat direpresentasikan sebagai

A=1/0 + 1/1 + 0.8/2 + 0.5/3 + 0.1/4

Di sini, misalnya, 0,8/2 berarti
. Tanda + menunjukkan persatuan. Saat menulis himpunan fuzzy dalam bentuk di atas, elemen himpunan universal dihilangkan
dengan nilai fungsi keanggotaan sama dengan nol. Biasanya, semua elemen himpunan universal ditulis dengan nilai yang sesuai dari fungsi keanggotaan. Notasi himpunan fuzzy digunakan, seperti dalam teori probabilitas,

Definisi. Secara umum, himpunan bagian fuzzy set universal
didefinisikan sebagai himpunan pasangan terurut

. (3.2)

KONSEP DASAR TEORI FUZZY SET DAN VARIABEL LINGUISTIK

1. Konsep dan sifat-sifat utama himpunan fuzzy

Definisi 1.1. Misalkan X adalah himpunan semesta. himpunan kabur A pada himpunan X (subset fuzzy A dari himpunan X ) adalah kumpulan pasangan

A = (<μ A (x ),x >}, (1.1)

di mana x X ,μ A (x ) .X disebut domain definisi himpunan kabur A , dan A – fungsi keanggotaan set ini. Nilai fungsi keanggotaan A (x) untuk elemen tertentu x X disebut derajat keanggotaan elemen ini ke himpunan fuzzy A .

Interpretasi fungsi keanggotaan adalah ukuran subjektif tentang bagaimana elemen x X sesuai dengan konsep, yang artinya diformalkan oleh himpunan fuzzy A . Dalam hal ini, nilai sama dengan 1 berarti kepatuhan lengkap (mutlak), nilai sama dengan 0 - ketidakpatuhan lengkap (mutlak).

Definisi 1.2. Himpunan fuzzy dengan domain definisi diskrit disebut himpunan fuzzy diskrit, bukan-

himpunan tajam dengan domain definisi kontinu adalah kontinu

himpunan kabur.

Himpunan biasa (jelas) juga dapat dipertimbangkan dalam konteks fuzzy. Fungsi keanggotaan dari suatu himpunan biasa hanya dapat mengambil dua nilai: 0 jika elemen tersebut bukan anggota himpunan tersebut, dan 1 jika elemen tersebut termasuk dalam himpunan tersebut.

Dalam literatur, seseorang dapat menemukan berbagai bentuk penulisan himpunan fuzzy. Untuk domain diskrit X =(x 1 ,x 2 , …,x n ) (kasus n = juga dimungkinkan) terdapat bentuk-bentuk berikut:

A = ( , , …, };
A = (μ A (x 1 )/x 1 ,μ A (x 2 )/x 2 , …,μ A (x n )/x n );
A \u003d A (x 1) / x 1 + A (x 2) / x 2 + ... + A (x n) / x n \u003d∑ A (x j) / x j.

j = 1

di mana tanda integral masuk akal penyatuan pointwise pada X . Selain itu, untuk kasus diskrit dan kontinu, notasi umum digunakan:

B = (x x 2) adalah himpunan bilangan real, kira-kira sama 2, dan C = (x x >> 1) adalah himpunan bilangan real, pada

lebih dari 1. Bentuk yang mungkin dari fungsi keanggotaan dari himpunan ini secara skematis disajikan pada Gambar 1.1 dan Gambar 1.2, masing-masing.

Beras. 1.1. Fungsi keanggotaan							Beras. 1.2. Fungsi keanggotaan
himpunan bilangan kabur,								himpunan bilangan kabur,
		kira-kira sama dengan 2								jauh lebih besar 1

Sebagai contoh himpunan fuzzy diskrit, kita dapat menganggap D = (n n 1) - himpunan bilangan bulat yang mendekati 1,

kemungkinan bentuk penugasannya adalah sebagai berikut:

N = (0.2/-3; 0.4/-2; 0.6/-1; 0.8/0; 1/1; 0.8/2; 0.6/3; 0.4/4; 0.2/5) (titik lain memiliki derajat keanggotaan nol) .

Bentuk khusus dari fungsi keanggotaan tergantung pada makna yang diberikan pada konsep yang diformalkan di bawah kondisi tugas tertentu, dan seringkali bersifat subjektif. Sebagian besar metode untuk membangun fungsi keanggotaan sampai batas tertentu didasarkan pada pemrosesan informasi yang diperoleh oleh seorang pakar.

Catatan 1. Di sini sup (supremum) adalah batas atas terkecil dari fungsi keanggotaan. Jika himpunan X (domain) tertutup, maka supremum fungsi tersebut bertepatan dengan maksimumnya.

Definisi 1.5. Jika h A = 1, maka himpunan fuzzy A disebut

normal, sebaliknya (hA< 1) – субнормальным.

Definisi 1.6. Pembawa himpunan fuzzy A adalah himpunan

elemen domain definisi, setidaknya sampai batas tertentu sesuai dengan konsep yang diformalkan.

Catatan 2. Sebutan sup dan Supp tidak boleh dikacaukan. Yang pertama adalah singkatan dari supremum, yang kedua adalah singkatan dari support.

Definisi 1.7. Set level (α -cut) dari fuzzy

Inti dari himpunan fuzzy, oleh karena itu, berisi semua elemen dari domain definisi yang sepenuhnya sesuai dengan konsep yang diformalkan.

dari mana dapat disimpulkan bahwa elemen yang termasuk dalam set level juga termasuk semua set level yang lebih rendah .

Definisi 1.9. Misalkan A dan B adalah himpunan fuzzy pada himpunan X dengan fungsi keanggotaan A dan B berturut-turut. Bicara-

katakan bahwa A adalah himpunan bagian kabur dari B(B termasuk

A) jika kondisi berikut terpenuhi:

Di antara himpunan fuzzy dengan domain numerik, ada juga kelas bilangan fuzzy dan interval kabur. Untuk mendefinisikan kelas ini, konsep konveksitas himpunan fuzzy diperkenalkan.

Definisi 1.11. Subset fuzzy A dari sumbu nyata disebut cembung jika kondisi berikut dipenuhi:

pada gambar. 1.3 menunjukkan contoh himpunan fuzzy cembung (kiri) dan non-cembung (kanan).

Beras. 1.3. Tentang definisi konveksitas dari himpunan kabur

Konsep dasar teori himpunan kabur

Definisi 1.12. spasi kabur adalah himpunan fuzzy normal cembung pada domain numerik definisi, yang memiliki fungsi keanggotaan kontinu dan kernel tidak kosong. bilangan kabur adalah interval fuzzy yang kernelnya mengandung tepat satu elemen.

Untuk interval dan bilangan fuzzy, terdapat teorema representasi, yang menyatakan bahwa himpunan bagian fuzzy A dari sumbu nyata adalah interval fuzzy jika dan hanya jika fungsi keanggotaannya dapat direpresentasikan sebagai:

	LA (x), a0 x< a1 ,
	1, a1 x≤ b1
	(x)=			(x), b< u≤ b

Fungsi L A dan R A masing-masing disebut cabang kiri dan kanan dari fungsi keanggotaan bilangan fuzzy. Fungsi-fungsi ini kontinu, sedangkan L A pada segmen meningkat dari L A (a 0 ) = 0 menjadi

L A (a 1 ) = 1, dan R A pada segmen menurun dari R A (b 1 ) = 1 menjadi R A (b 0 ) = 0 (Gbr. 1.4).

Beras. 1.4. Untuk definisi interval fuzzy

Definisi 1.13. Misalkan A = (A 1 ,A 2 ,… ,A n ) merupakan keluarga himpunan fuzzy yang didefinisikan pada domain X .Г disebut partisi fuzzy X dengan parameter (0<α ≤ 1), если все множестваA j являются выпуклыми и нормальными, и выполняется условие:

x X j (1,… ,n )μ A j (x )≥

(yaitu, setiap elemen dari domain definisi milik setidaknya satu dari himpunan keluarga dengan derajat tidak kurang dari – Gambar 1.5).

V. Ya. Pivkin, E. P. Bakulin, D. I. Korenkov

Set fuzzy dalam sistem kontrol

Diedit oleh
Doktor Ilmu Teknik, Profesor Yu.N. Zolotukhin

Kata pengantar. 3

PENDAHULUAN .. 4

1. SET FUZZY.. 5

Contoh penulisan himpunan fuzzy. 5

Karakteristik utama himpunan fuzzy. 5

Contoh himpunan fuzzy. 6

Tentang metode untuk membangun fungsi keanggotaan himpunan fuzzy. 7

Operasi pada himpunan fuzzy. delapan

Representasi visual dari operasi pada himpunan fuzzy. sembilan

Sifat-sifat operasi dan . sembilan

Operasi aljabar pada himpunan fuzzy. sepuluh

Jarak antara himpunan fuzzy, indeks fuzzy. tigabelas

Prinsip generalisasi. enambelas

2. HUBUNGAN YANG LUCU.. 17

Operasi pada relasi fuzzy. delapan belas

Komposisi dua relasi fuzzy. 21

Subset fuzzy bersyarat. 23

3. VARIABEL FUZZY DAN LINGUISTIK.. 27

Angka kabur. 28

Operasi bilangan fuzzy 28

Tipe bilangan fuzzy (L-R). 29

4. PERNYATAAN FUZZY DAN MODEL SISTEM FUZZY... 32

Aturan untuk mengubah pernyataan fuzzy. 33

Metode untuk menentukan implikasi fuzzy. 33

Deskripsi logis-linguistik sistem, model fuzzy. 35

Model kontrol ketel uap .. 36

Kelengkapan dan konsistensi aturan kontrol. 39

Literatur. 40

Kata pengantar

Mungkin fitur yang paling mencolok dari kecerdasan manusia adalah kemampuan untuk membuat keputusan yang benar dalam lingkungan informasi yang tidak lengkap dan kabur. Membangun model perkiraan penalaran manusia dan menggunakannya dalam sistem komputer generasi mendatang adalah salah satu masalah sains yang paling penting saat ini.

Kemajuan signifikan ke arah ini dibuat 30 tahun yang lalu oleh seorang profesor di Universitas California (Berkeley) Lotfi A. Zadeh. Karyanya "Fuzzy Sets", yang muncul pada tahun 1965 di jurnal Information and Control, No. 8, meletakkan dasar untuk pemodelan aktivitas intelektual manusia dan merupakan dorongan awal untuk pengembangan teori matematika baru.

Apa yang Zade usulkan? Pertama, dia memperluas gagasan Cantor klasik set, dengan asumsi bahwa fungsi karakteristik (fungsi keanggotaan suatu elemen dalam suatu himpunan) dapat mengambil nilai apa pun dalam interval (0; 1), dan bukan hanya nilai 0 atau 1. Himpunan tersebut dinamai olehnya kusut (kusut). L.Zadeh juga mendefinisikan sejumlah operasi pada himpunan fuzzy dan mengusulkan generalisasi dari metode inferensi logis modus ponens dan modus tollens yang terkenal.

Memperkenalkan kemudian gagasan variabel linguistik dan dengan asumsi bahwa himpunan fuzzy bertindak sebagai nilai-nilainya (istilah), L. Zade menciptakan alat untuk menggambarkan proses aktivitas intelektual, termasuk ketidakjelasan dan ketidakterbatasan ekspresi.

Pekerjaan lebih lanjut dari Profesor L. Zadeh dan pengikutnya meletakkan dasar yang kuat untuk teori baru dan menciptakan prasyarat untuk pengenalan metode kontrol fuzzy ke dalam praktek rekayasa.

Dalam 5-7 tahun terakhir, penggunaan metode dan model baru dalam industri telah dimulai. Dan meskipun aplikasi pertama dari sistem kontrol fuzzy terjadi di Eropa, sistem tersebut paling intensif diterapkan di Jepang. Rentang aplikasinya sangat luas: mulai dari mengontrol proses keberangkatan dan pemberhentian kereta bawah tanah, mengontrol lift barang dan tanur tinggi hingga mesin cuci, penyedot debu, dan oven microwave. Pada saat yang sama, sistem fuzzy memungkinkan untuk meningkatkan kualitas produk sekaligus mengurangi biaya sumber daya dan energi dan memberikan ketahanan yang lebih tinggi terhadap faktor-faktor yang mengganggu dibandingkan dengan sistem kontrol otomatis tradisional.

Dengan kata lain, pendekatan baru memungkinkan untuk memperluas cakupan penerapan sistem otomasi di luar batas penerapan teori klasik. Dalam hal ini, sudut pandang L. Zadeh adalah penasaran: “Saya percaya bahwa keinginan yang berlebihan untuk akurasi telah mulai memiliki efek yang meniadakan teori kontrol dan teori sistem, karena mengarah pada fakta bahwa penelitian di bidang ini adalah berfokus pada masalah tersebut dan hanya masalah yang memberikan solusi eksak. Akibatnya, banyak kelas masalah penting di mana data, tujuan, dan kendala terlalu kompleks atau tidak jelas untuk memungkinkan analisis matematis yang tepat telah, dan masih, ditinggalkan keluar karena mereka tidak setuju untuk analisis matematis. untuk mengatakan sesuatu yang signifikan untuk masalah semacam ini, kita harus meninggalkan tuntutan kita untuk presisi dan mengakui hasil yang agak kabur atau tidak pasti."

Pergeseran pusat penelitian sistem fuzzy menuju aplikasi praktis telah menyebabkan perumusan sejumlah masalah, seperti arsitektur komputer baru untuk komputasi fuzzy, basis elemen komputer dan pengontrol fuzzy, alat pengembangan, metode rekayasa untuk menghitung dan mengembangkan. sistem kontrol fuzzy, dan banyak lagi.

Tujuan utama dari buku teks yang ditawarkan untuk menarik perhatian pembaca adalah untuk menarik perhatian mahasiswa, mahasiswa pascasarjana dan peneliti muda untuk masalah fuzzy dan memberikan pengantar yang dapat diakses ke salah satu bidang ilmu pengetahuan modern yang paling menarik.

Profesor Yu.N. Zolotukhin

PENGANTAR

Teori matematika himpunan fuzzy diusulkan L.Zadeh lebih dari seperempat abad yang lalu, memungkinkan Anda untuk menggambarkan konsep dan pengetahuan fuzzy, beroperasi dengan pengetahuan ini dan menarik kesimpulan fuzzy. Berdasarkan teori ini, metode untuk membangun sistem fuzzy komputer secara signifikan memperluas cakupan komputer. Baru-baru ini, kontrol fuzzy telah menjadi salah satu bidang penelitian yang paling aktif dan produktif pada penerapan teori himpunan fuzzy. Kontrol fuzzy sangat berguna ketika proses teknologi terlalu kompleks untuk dianalisis menggunakan metode kuantitatif konvensional, atau ketika sumber informasi yang tersedia diinterpretasikan secara kualitatif, tidak akurat atau samar-samar. Secara eksperimental telah ditunjukkan bahwa kontrol fuzzy memberikan hasil yang lebih baik dibandingkan dengan yang diperoleh dengan algoritma kontrol konvensional. Metode fuzzy membantu mengendalikan blast furnace dan rolling mill, mobil dan kereta api, mengenali ucapan dan gambar, dan merancang robot dengan sentuhan dan penglihatan. Logika fuzzy, yang menjadi dasar kontrol fuzzy, lebih dekat semangatnya dengan pemikiran manusia dan bahasa alami daripada sistem logika tradisional. Logika fuzzy pada dasarnya menyediakan cara yang efisien untuk mewakili ketidakpastian dan ketidakakuratan dunia nyata. Kehadiran sarana matematis yang mencerminkan ketidakjelasan informasi awal memungkinkan untuk membangun model yang sesuai dengan kenyataan.

1. SET FUZZY

Biarlah E- set universal, x - elemen E, sebuah R- beberapa properti. Subset reguler (hapus) A set universal E, yang elemen-elemennya memenuhi sifat R, didefinisikan sebagai himpunan pasangan terurut A = ( m A ( X)/X } , di mana

m A ( X) - fungsi karakteristik, yang mengambil nilai 1 , jika x memenuhi properti R, dan 0 - sebaliknya.

Subset fuzzy berbeda dari yang biasa dalam hal untuk elemen x dari E tidak ada jawaban yang jelas "Tidak juga" tentang properti R. Dalam hal ini, himpunan bagian fuzzy A set universal E didefinisikan sebagai himpunan pasangan terurut A = ( m A ( X)/X } , di mana

m A ( X) - fungsi keanggotaan karakteristik(atau hanya fungsi keanggotaan) yang mengambil nilai dalam beberapa set yang tertata dengan baik M(Sebagai contoh, M =). Fungsi keanggotaan menunjukkan derajat(atau tingkat) keanggotaan suatu elemen x himpunan bagian A. Sekelompok M ditelepon banyak aksesoris. Jika sebuah M = (0,1), maka himpunan bagian kabur A dapat dianggap sebagai himpunan biasa atau garing.

himpunan kabur- konsep kunci logika fuzzy. Biarlah E- set universal, X- elemen E, a R adalah beberapa properti. Subset reguler (hapus) TETAPI set universal E, yang elemen-elemennya memenuhi properti R didefinisikan sebagai himpunan pasangan terurut

A = (A(x) / x},

di mana A (x) adalah fungsi karakteristik, mengambil nilai 1 jika X memenuhi properti R, dan 0 sebaliknya.

Subset fuzzy berbeda dari yang biasa dalam hal untuk elemen X dari E tidak ada jawaban “ya-tidak” yang jelas mengenai sifat R. Dalam hal ini, himpunan bagian fuzzy TETAPI set universal E didefinisikan sebagai himpunan pasangan terurut

A = (A(x) / x},

di mana A (x) — fungsi keanggotaan karakteristik(atau sederhananya fungsi keanggotaan), mengambil nilai dalam beberapa set yang tertata dengan baik M(Sebagai contoh, M = ).

Fungsi keanggotaan menunjukkan derajat (atau tingkat) keanggotaan suatu elemen X himpunan bagian TETAPI. Sekelompok M disebut satu set aksesoris. Jika sebuah M= (0, 1), maka himpunan bagian fuzzy TETAPI dapat dianggap sebagai himpunan biasa atau garing.

Contoh penulisan himpunan kabur

Biarlah E = {x 1 , x 2 , x s,x 4 , x5 ), M = ; TETAPI adalah himpunan kabur dimana A ( x 1 )= 0,3; A ( x 2)= 0; A ( X 3) = 1; A (x 4) \u003d 0,5; A ( x 5)= 0,9.

Kemudian TETAPI dapat direpresentasikan sebagai

A ={0,3/x 1 ; 0/X 2 ; 1/X 3 ; 0,5/X 4 ; 0,9/X 5 } ,

atau

TETAPI={0,3/x 1 +0/X 2 +1/X 3 +0,5/X 4 +0,9/X 5 },

atau

Komentar. Di sini, tanda "+" bukanlah penunjukan operasi penjumlahan, tetapi memiliki arti penyatuan.

Karakteristik utama himpunan fuzzy

Biarlah M= dan TETAPI- himpunan fuzzy dengan elemen dari himpunan universal E dan banyak aksesoris M.

Nilai tersebut disebut tinggi himpunan kabur TETAPI. himpunan kabur Dan tidak apa-apa jika tingginya sama dengan 1, mis. batas atas fungsi keanggotaannya adalah 1 (= 1). Pada< 1нечеткое множество называется di bawah normal.

himpunan kabur kosong, jika x E μ A( x) = 0. Himpunan subnormal tak kosong dapat dinormalisasi dengan rumus

himpunan kabur unimodal jika μ A( x) = 1 hanya pada satu X dari E.

. pembawa himpunan kabur TETAPI adalah himpunan bagian biasa dengan properti μ A( x)>0, yaitu pembawa A = {x/x E, μ A( x)>0}.

Elemen x E, untuk itu μ A( x) = 0,5 , disebut titik transisi set TETAPI.

Contoh himpunan fuzzy

1. Mari E = {0, 1, 2, . . ., 10}, M =. himpunan kabur"Beberapa" dapat didefinisikan sebagai berikut:

"Beberapa" = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8; karakteristiknya:tinggi = 1, pembawa = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, titik transisi — {3, 8}.

2. Mari E = {0, 1, 2, 3,…, n,… ). Himpunan fuzzy "Kecil" dapat didefinisikan:

3. Mari E= (1, 2, 3, . . , 100) dan sesuai dengan konsep "Usia", maka himpunan fuzzy "Muda" dapat didefinisikan menggunakan

Himpunan fuzzy "Muda" pada himpunan universal E"= (IVANOV, PETROV, SIDOROV,...) diberikan oleh fungsi keanggotaan μ Muda ( x) pada E =(1, 2, 3, . . , 100) (umur), disebut dalam kaitannya dengan E" fungsi kompatibilitas, sedangkan:

di mana X- Usia SIDOROV.

4. Mari E\u003d (ZAPOROZHETS, ZHIGULI, MERCEDES, ...) - satu set merek mobil, dan E"= - set universal "Biaya", lalu aktif E" kita dapat mendefinisikan himpunan fuzzy seperti:

Beras. 1.1. Contoh fungsi keanggotaan

"Untuk orang miskin", "Untuk kelas menengah", "Bergengsi", dengan fungsi milik seperti ara. 1.1.

Memiliki fungsi-fungsi ini dan mengetahui biaya mobil dari E pada titik waktu tertentu, dengan demikian kami menentukan pada E" himpunan fuzzy dengan nama yang sama.

Jadi, misalnya, himpunan fuzzy "Untuk orang miskin", diberikan pada himpunan universal E =(ZAPORIZHETZ, ZHIGULI, MERCEDES,...), terlihat seperti yang ditunjukkan pada gambar. 1.2.

Beras. 1.2. Contoh menentukan himpunan fuzzy

Demikian pula, Anda dapat menentukan himpunan fuzzy "Kecepatan tinggi", "Sedang", "Kecepatan rendah", dll.

5. Mari E- himpunan bilangan bulat:

E= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Kemudian himpunan bagian fuzzy dari bilangan yang mendekati nol dalam nilai absolut dapat didefinisikan, misalnya sebagai berikut:

A ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

Tentang metode untuk membangun fungsi keanggotaan himpunan fuzzy

Contoh di atas menggunakan lurus metode, ketika ahli hanya menetapkan untuk masing-masing X ϵ E berarti A (x), atau mendefinisikan fungsi kompatibilitas. Sebagai aturan, metode fungsi keanggotaan langsung digunakan untuk konsep terukur seperti kecepatan, waktu, jarak, tekanan, suhu, dll., atau ketika nilai kutub disorot.

Dalam banyak tugas, ketika mengkarakterisasi suatu objek, dimungkinkan untuk memilih satu set fitur dan untuk masing-masing fitur tersebut untuk menentukan nilai kutub yang sesuai dengan nilai fungsi keanggotaan, 0 atau 1.

Misalnya, dalam tugas pengenalan wajah, seseorang dapat memilih skala yang ditunjukkan pada Tabel. 1.1.

Tabel 1.1. Timbangan dalam masalah pengenalan wajah

x 1	tinggi dahi
x 2	profil hidung	penghinaan	berpunggung bungkuk
	panjang hidung	pendek
x 4	bentuk mata
	warna mata
	bentuk dagu	lancip	kotak
x 7	ketebalan bibir
	warna wajah
	garis wajah	bulat telur	kotak

Untuk orang tertentuTETAPIahli, berdasarkan skala yang diberikan, setμ A(x), membentuk fungsi keanggotaan vektor (μ A(x 1) , μ A(x 2),…, μ A(x 9)}.

Dengan metode langsung, metode langsung kelompok juga digunakan, ketika, misalnya, sekelompok ahli disajikan dengan orang tertentu dan setiap orang harus memberikan salah satu dari dua jawaban: "orang ini botak" atau "orang ini tidak botak", kemudian jumlah jawaban afirmatif dibagi dengan jumlah ahli, memberikan nilai μ botak (dari orang tertentu). (Dalam contoh ini, Anda dapat bertindak melalui fungsi kompatibilitas, tetapi kemudian Anda harus menghitung jumlah rambut di kepala setiap wajah yang disajikan kepada ahlinya.)

tidak langsung metode untuk menentukan nilai fungsi keanggotaan digunakan dalam kasus di mana tidak ada sifat terukur dasar yang melaluinya himpunan fuzzy yang menarik bagi kita ditentukan. Sebagai aturan, ini adalah metode perbandingan berpasangan. Jika nilai fungsi keanggotaan diketahui oleh kami, misalnya, μ A(X-saya) = i , saya= 1, 2, ..., n, maka perbandingan berpasangan dapat diwakili oleh matriks hubungan TETAPI= ( a ij ), dimana aij= saya/ j(operasi pembagian).

Dalam praktiknya, pakar sendiri yang membentuk matriks TETAPI, sedangkan elemen-elemen diagonalnya diasumsikan sama dengan 1, dan untuk elemen-elemen yang simetris terhadap diagonalnya a ij = 1/a ij , yaitu. jika satu elemen bernilai α kali lebih kuat dari yang lain, maka yang terakhir harus 1/α kali lebih kuat dari yang pertama. Dalam kasus umum, masalahnya direduksi menjadi menemukan vektor yang memenuhi persamaan bentuk aw= maks w, di mana max adalah nilai eigen terbesar dari matriks TETAPI. Karena matriks TETAPI positif dengan konstruksi, solusi dari masalah ini ada dan positif.

Dua pendekatan lagi dapat dicatat:

• penggunaan formulir standar kurva untuk penetapan fungsi keanggotaan (dalam bentuk (L-R)-Tipe - lihat di bawah) dengan spesifikasi parameternya sesuai dengan data eksperimen;
• penggunaan frekuensi relatifsesuai dengan percobaan sebagai nilai keanggotaan.