\[(\Large(\text(Fakta dasar tentang luas)))\]

Kita dapat mengatakan bahwa luas poligon adalah nilai yang menunjukkan bagian dari bidang yang ditempati poligon tertentu. Satuan luas diambil sebagai luas persegi dengan sisi \(1\) cm, \(1\) mm, dst. (persegi tunggal). Kemudian luasnya akan diukur masing-masing dalam cm\(^2\) , mm\(^2\) .

Dengan kata lain, kita dapat mengatakan bahwa luas suatu bangun adalah nilai yang nilai numeriknya menunjukkan berapa kali persegi satuan cocok dengan gambar tertentu.

Properti Area

1. Luas poligon apa pun adalah nilai positif.

2. Poligon yang sama memiliki luas yang sama.

3. Jika poligon terdiri dari beberapa poligon, maka luasnya sama dengan jumlah luas poligon tersebut.

4. Luas persegi dengan sisi \(a\) adalah \(a^2\) .

\[(\Large(\text(Luas persegi panjang dan jajaran genjang)))\]

Teorema: luas persegi panjang

Luas persegi panjang dengan sisi \(a\) dan \(b\) adalah \(S=ab\) .

Bukti

Mari kita bangun persegi panjang \(ABCD\) menjadi persegi dengan sisi \(a+b\) , seperti yang ditunjukkan pada gambar:

Persegi ini terdiri dari persegi panjang \(ABCD\) , persegi panjang lain yang sama dengannya, dan dua persegi dengan sisi \(a\) dan \(b\) . Dengan demikian,

\(\begin(multiline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Rightarrow S_(\text(pr-k) )=ab \end(multibaris*)\)

Definisi

Tinggi jajar genjang adalah tegak lurus yang ditarik dari titik jajar genjang ke sisi (atau perpanjangan sisi) yang tidak memuat titik tersebut.
Misalnya, tinggi \(BK\) jatuh pada sisi \(AD\) , dan tinggi \(BH\) jatuh pada perpanjangan sisi \(CD\) :

Teorema: luas jajar genjang

Luas jajaran genjang sama dengan produk tinggi dan sisi di mana ketinggian ini digambar.

Bukti

Gambarkan garis tegak lurus \(AB"\) dan \(DC"\) seperti yang ditunjukkan pada gambar. Perhatikan bahwa tegak lurus ini sama dengan tinggi jajaran genjang \(ABCD\) .

Maka \(AB"C"D\) adalah persegi panjang, maka \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

Perhatikan bahwa segitiga siku-siku \(ABB"\) dan \(DCC"\) adalah sama. Dengan demikian,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Large(\text(Luas segitiga)))\]

Definisi

Kami akan menyebut sisi di mana ketinggian digambar dalam segitiga sebagai alas segitiga.

Dalil

Luas segitiga adalah setengah hasil kali alasnya dan tingginya ditarik ke alas itu.

Bukti

Misalkan \(S\) adalah luas segitiga \(ABC\) . Mari kita ambil sisi \(AB\) sebagai alas segitiga dan gambar tingginya \(CH\) . Ayo buktikan \ Kami melengkapi segitiga \(ABC\) ke jajaran genjang \(ABDC\) seperti yang ditunjukkan pada gambar:

Segitiga \(ABC\) dan \(DCB\) sama panjang pada tiga sisinya (\(BC\) adalah sisi yang sama, \(AB = CD\) dan \(AC = BD\) sebagai sisi yang berlawanan dari jajaran genjang \ (ABDC\ ) ), jadi luasnya sama. Oleh karena itu, luas \(S\) segitiga \(ABC\) sama dengan setengah luas jajaran genjang \(ABDC\) , mis. \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdotCH\).

Dalil

Jika dua segitiga \(\segitiga ABC\) dan \(\segitiga A_1B_1C_1\) memiliki tinggi yang sama, maka luasnya berhubungan sebagai alas yang digunakan untuk menggambar ketinggian tersebut.

Konsekuensi

Median suatu segitiga membaginya menjadi dua segitiga yang luasnya sama.

Dalil

Jika dua segitiga \(\segitiga ABC\) dan \(\segitiga A_2B_2C_2\) masing-masing memiliki sudut yang sama, maka luasnya berhubungan sebagai perkalian sisi-sisi yang membentuk sudut tersebut.

Bukti

Biarkan \(\angle A=\angle A_2\) . Mari kita gabungkan sudut-sudut ini seperti yang ditunjukkan pada gambar (titik \(A\) sejajar dengan titik \(A_2\) ):

Gambar ketinggian \(BH\) dan \(C_2K\) .

Segitiga \(AB_2C_2\) dan \(ABC_2\) memiliki tinggi yang sama \(C_2K\) , oleh karena itu: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

Segitiga \(ABC_2\) dan \(ABC\) memiliki tinggi yang sama \(BH\) , oleh karena itu: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Mengalikan dua persamaan terakhir, kita mendapatkan: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( atau ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

teori Pitagoras

Dalam segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang kaki:

Kebalikannya juga benar: jika dalam sebuah segitiga kuadrat panjang salah satu sisinya sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisinya, maka segitiga tersebut siku-siku.

Dalil

Luas segitiga siku-siku adalah setengah hasil kali kaki-kakinya.

Teorema: Rumus bangau

Misalkan \(p\) adalah setengah keliling segitiga, \(a\) , \(b\) , \(c\) adalah panjang sisi-sisinya, maka luasnya sama dengan \

\[(\Large(\text(Luas belah ketupat dan trapesium))))\]

Komentar

Karena belah ketupat adalah jajar genjang, maka rumus yang sama berlaku untuk itu, yaitu. Luas belah ketupat sama dengan produk tinggi dan sisi di mana ketinggian ini ditarik.

Dalil

Luas segi empat cembung yang diagonal-diagonalnya tegak lurus adalah setengah hasil kali diagonal-diagonalnya.

Bukti

Pertimbangkan segi empat \(ABCD\) . Dinotasikan \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\) :

Perhatikan bahwa segi empat ini terdiri dari empat segitiga siku-siku, oleh karena itu, luasnya sama dengan jumlah luas segitiga berikut:

\(\begin(multiline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(multiline*)\)

Akibat wajar: luas belah ketupat

Luas belah ketupat adalah setengah hasil kali diagonal-diagonalnya: \

Definisi

Tinggi trapesium adalah tegak lurus yang ditarik dari puncak salah satu alas ke alas lainnya.

Teorema: luas trapesium

Luas trapesium adalah setengah jumlah alas kali tinggi.

Bukti

Pertimbangkan trapesium \(ABCD\) dengan basis \(BC\) dan \(AD\) . Gambar \(CD"\parallel AB\) seperti yang ditunjukkan pada gambar:

Maka \(ABCD"\) adalah jajar genjang.

Kami juga menggambar \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) adalah ketinggian trapesium).

Kemudian \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

Karena trapesium terdiri dari jajar genjang \(ABCD"\) dan segitiga \(CDD"\) , maka luasnya sama dengan jumlah luas jajar genjang dan segitiga, yaitu:

\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD"+D"D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]

Setiap orang yang mempelajari matematika dan geometri di sekolah mengetahui ilmu-ilmu ini setidaknya secara dangkal. Namun seiring berjalannya waktu, jika tidak diamalkan, ilmu akan terlupakan. Banyak yang bahkan percaya bahwa mereka hanya membuang-buang waktu untuk mempelajari perhitungan geometris. Namun, mereka salah. Pekerja teknis melakukan pekerjaan sehari-hari yang berkaitan dengan perhitungan geometris. Adapun perhitungan luas poligon, pengetahuan ini juga menemukan penerapannya dalam kehidupan. Mereka akan dibutuhkan setidaknya untuk menghitung luas tanah. Jadi mari kita pelajari cara mencari luas poligon.

Definisi poligon

Pertama, mari kita definisikan apa itu poligon. Ini adalah sosok geometris datar, yang terbentuk sebagai hasil dari perpotongan tiga garis atau lebih. Definisi sederhana lainnya: poligon adalah polyline tertutup. Secara alami, pada perpotongan garis, titik-titik persimpangan terbentuk, jumlahnya sama dengan jumlah garis yang membentuk poligon. Titik-titik perpotongan disebut simpul, dan ruas-ruas yang terbentuk dari garis lurus disebut sisi poligon. Segmen poligon yang berdekatan tidak berada pada garis lurus yang sama. Segmen garis yang tidak berdekatan adalah yang tidak melalui titik-titik yang sama.

Jumlah luas segitiga

Bagaimana cara mencari luas poligon? Luas poligon adalah bagian dalam bidang, yang dibentuk di persimpangan segmen atau sisi poligon. Karena poligon adalah kombinasi bentuk seperti segitiga, belah ketupat, persegi, trapesium, tidak ada rumus universal untuk menghitung luasnya. Dalam praktiknya, metode yang paling universal adalah pembagian poligon menjadi angka-angka yang lebih sederhana, yang luasnya tidak sulit ditemukan. Dengan menjumlahkan jumlah luas dari angka-angka sederhana ini, kita mendapatkan luas poligon.

Melalui luas lingkaran

Dalam kebanyakan kasus, poligon memiliki bentuk yang teratur dan membentuk sosok dengan sisi dan sudut yang sama di antara mereka. Menghitung luas dalam hal ini sangat sederhana menggunakan lingkaran bertulis atau dibatasi. Jika luas lingkaran diketahui, maka harus dikalikan dengan keliling poligon, dan kemudian produk yang dihasilkan dibagi dengan 2. Hasilnya, diperoleh rumus untuk menghitung luas poligon tersebut. : S = P∙r., di mana P adalah luas lingkaran, dan r adalah keliling poligon .

Metode membagi poligon menjadi bentuk "nyaman" adalah yang paling populer dalam geometri, ini memungkinkan Anda menemukan area poligon dengan cepat dan benar. Kelas 4 sekolah menengah biasanya mempelajari metode seperti itu.

Pada artikel ini, kita akan berbicara tentang bagaimana mengekspresikan luas poligon di mana sebuah lingkaran dapat ditulis dalam hal jari-jari lingkaran ini. Perlu segera dicatat bahwa tidak setiap poligon dapat ditulisi dalam lingkaran. Namun, jika ini memungkinkan, maka rumus yang digunakan untuk menghitung luas poligon semacam itu menjadi sangat sederhana. Baca artikel ini sampai akhir atau tonton video tutorial terlampir dan Anda akan belajar bagaimana mengekspresikan luas poligon dalam hal jari-jari lingkaran tertulisnya.

Rumus luas poligon dalam hal jari-jari lingkaran tertulis

Mari menggambar poligon A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 , belum tentu benar, tetapi satu di mana lingkaran dapat ditulisi. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa lingkaran bertulis adalah lingkaran yang menyentuh semua sisi poligon. Pada gambar, ini adalah lingkaran hijau yang berpusat pada satu titik HAI:

Kami telah mengambil 5-gon di sini sebagai contoh. Tetapi sebenarnya ini tidak penting, karena bukti lebih lanjut berlaku untuk 6-gon dan 8-gon, dan secara umum untuk "gon" apa pun secara sewenang-wenang.

Jika Anda menghubungkan pusat lingkaran bertulisan dengan semua simpul poligon, maka itu akan dibagi menjadi segitiga sebanyak ada simpul dalam poligon yang diberikan. Dalam kasus kami: 5 segitiga. Jika kita menghubungkan titik HAI dengan semua titik singgung lingkaran bertulisan dengan sisi poligon, Anda mendapatkan 5 segmen (pada gambar di bawah, ini adalah segmen Oh 1 , Oh 2 , Oh 3 , Oh 4 dan Oh 5), yang sama dengan jari-jari lingkaran dan tegak lurus dengan sisi poligon tempat mereka digambar. Yang terakhir ini benar, karena jari-jari yang ditarik ke titik kontak tegak lurus terhadap garis singgung:

Bagaimana cara mencari luas poligon berbatas kita? Jawabannya sederhana. Perlu untuk menjumlahkan luas semua segitiga yang diperoleh sebagai hasil pemisahan:

Pertimbangkan berapa luas segitiga. Pada gambar di bawah ini, disorot dengan warna kuning:

Ini sama dengan setengah produk dari basa A 1 A 2 ke ketinggian Oh 1 ditarik ke dasar ini. Tetapi, seperti yang telah kita ketahui, ketinggian ini sama dengan jari-jari lingkaran tertulis. Artinya, rumus luas segitiga berbentuk: , di mana r adalah jari-jari lingkaran tertulis. Demikian pula, luas semua segitiga yang tersisa ditemukan. Akibatnya, area poligon yang diinginkan sama dengan:

Dapat dilihat bahwa dalam semua hal jumlah ini ada faktor persekutuan , yang dapat dikeluarkan dari tanda kurung. Hasilnya adalah ekspresi berikut:

Artinya, dalam tanda kurung hanya ada jumlah semua sisi poligon, yaitu kelilingnya P. Paling sering, dalam rumus ini, ekspresi diganti dengan p dan sebut huruf ini "setengah keliling". Akibatnya, rumus akhir menjadi:

Artinya, luas poligon di mana lingkaran dengan jari-jari yang diketahui tertulis sama dengan produk jari-jari ini dan semiperimeter poligon. Ini adalah hasil yang kami tuju.

Akhirnya, ia mencatat bahwa sebuah lingkaran selalu dapat dituliskan dalam sebuah segitiga, yang merupakan kasus khusus poligon. Oleh karena itu, untuk segitiga, rumus ini selalu dapat diterapkan. Untuk poligon lain dengan lebih dari 3 sisi, pertama-tama Anda harus memastikan bahwa sebuah lingkaran dapat ditulisi di dalamnya. Jika demikian, Anda dapat dengan aman menggunakan rumus sederhana ini dan menemukan luas poligon ini darinya.

Disiapkan oleh Sergey Valerievich

Pengonversi Satuan Jarak dan Panjang Pengonversi Satuan Luas Bergabung © 2011-2017 Mikhail Dovzhik Dilarang menyalin materi. Di kalkulator online, Anda dapat menggunakan nilai dalam satuan pengukuran yang sama! Jika Anda kesulitan mengonversi satuan pengukuran, gunakan Pengonversi Satuan Jarak dan Panjang dan Pengonversi Satuan Area. Fitur tambahan dari kalkulator area segi empat

• Anda dapat berpindah antar kolom input dengan menekan tombol kanan dan kiri pada keyboard.

Teori. Luas segiempat Segi empat adalah bangun datar yang terdiri dari empat titik (simpul), tidak ada tiga di antaranya yang terletak pada garis lurus yang sama, dan empat segmen (sisi) yang menghubungkan titik-titik ini secara berpasangan. Suatu segi empat disebut cembung jika ruas yang menghubungkan dua titik pada segi empat ini berada di dalamnya.

Bagaimana cara mencari luas poligon?

Rumus untuk menentukan luas ditentukan dengan mengambil setiap sisi poligon AB, dan menghitung luas segitiga ABO dengan titik di titik asal O, melalui koordinat titik. Saat berjalan di sekitar poligon, segitiga terbentuk, termasuk bagian dalam poligon dan terletak di luarnya. Selisih jumlah luasan tersebut adalah luas poligon itu sendiri.

Oleh karena itu, rumus tersebut disebut rumus surveyor, karena "kartografer" adalah asalnya; jika melewati area berlawanan arah jarum jam, area ditambahkan jika di sebelah kiri dan dikurangkan jika di sebelah kanan dalam hal asal. Rumus luas berlaku untuk poligon yang tidak berpotongan (sederhana), yang mungkin cembung atau cekung. Isi

• 1 Definisi
• 2 Contoh
• 3 Contoh yang lebih kompleks
• 4 Nama penjelasan
• 5 Lihat

Daerah poligon

Perhatian

Bisa jadi:

• segi tiga;
• berbentuk segi empat;
• lima atau segi enam dan seterusnya.

Sosok seperti itu tentu akan dicirikan oleh dua posisi:

1. Sisi yang berdekatan tidak termasuk dalam garis yang sama.
2. Yang tidak berdekatan tidak memiliki titik yang sama, yaitu, mereka tidak berpotongan.

Untuk memahami simpul mana yang bertetangga, Anda perlu melihat apakah simpul-simpul itu milik sisi yang sama. Jika ya, maka tetangga. Jika tidak, mereka dapat dihubungkan oleh segmen, yang harus disebut diagonal. Mereka hanya dapat digambar dalam poligon yang memiliki lebih dari tiga simpul.

Apa jenis dari mereka yang ada? Sebuah poligon dengan lebih dari empat sudut bisa cembung atau cekung. Perbedaan yang terakhir adalah bahwa beberapa simpulnya mungkin terletak pada sisi yang berbeda dari garis lurus yang ditarik melalui sisi poligon yang berubah-ubah.

Bagaimana cara mencari luas segi enam beraturan dan tidak beraturan?

• Mengetahui panjang sisinya, kalikan dengan 6 dan dapatkan keliling segi enam: 10 cm x 6 \u003d 60 cm
• Substitusikan hasilnya ke rumus kita:
Luas \u003d 1/2 * keliling * apothema Luas \u003d * 60cm * 5√3 Selesaikan: Sekarang tinggal menyederhanakan jawaban untuk menghilangkan akar kuadrat, dan menunjukkan hasilnya dalam sentimeter persegi: * 60 cm * 5 3 cm \u003d 30 * 5√3 cm =150 √3 cm =259,8 cm² Video cara mencari luas segi enam beraturan Ada beberapa opsi untuk menentukan luas segi enam tidak beraturan:

• metode trapesium.
• Metode untuk menghitung luas poligon tidak beraturan menggunakan sumbu koordinat.
• Metode untuk membagi segi enam menjadi bentuk lain.

Tergantung pada data awal yang akan Anda ketahui, metode yang sesuai dipilih.

Penting

Beberapa segi enam tidak beraturan terdiri dari dua jajaran genjang. Untuk menentukan luas jajar genjang, kalikan panjangnya dengan lebarnya lalu tambahkan dua luas yang sudah diketahui. Video cara mencari luas poligon Segi enam sama sisi memiliki enam sisi yang sama panjang dan merupakan segi enam beraturan.

Luas segi enam sama sisi sama dengan 6 luas segitiga di mana bangun segi enam biasa dibagi. Semua segitiga dalam segi enam biasa adalah sama, jadi untuk menemukan luas segi enam seperti itu, cukup mengetahui luas setidaknya satu segitiga. Untuk mencari luas segi enam sama sisi, tentu saja digunakan rumus luas segi enam beraturan.

404 tidak ditemukan

Mendekorasi rumah, pakaian, menggambar gambar berkontribusi pada proses pembentukan dan akumulasi informasi di bidang geometri, yang diperoleh orang-orang pada masa itu secara empiris, sedikit demi sedikit dan diturunkan dari generasi ke generasi. Saat ini, pengetahuan tentang geometri diperlukan untuk pemotong, pembangun, arsitek, dan setiap orang biasa dalam kehidupan sehari-hari. Karena itu, Anda perlu mempelajari cara menghitung luas berbagai angka, dan ingat bahwa setiap rumus dapat berguna nanti dalam praktik, termasuk rumus untuk segi enam biasa.
Segi enam adalah sosok poligonal, jumlah total sudutnya adalah enam. Segi enam beraturan adalah bangun datar segi enam yang memiliki sisi yang sama. Sudut segi enam beraturan juga sama besar.
Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita jumpai benda-benda yang memiliki bentuk segi enam beraturan.

Kalkulator area poligon tidak beraturan di samping

Anda akan perlu

• - rolet;
• — pengintai elektronik;
• - selembar kertas dan pensil;
• - Kalkulator.

Instruksi 1 Jika Anda memerlukan total luas apartemen atau ruang terpisah, baca saja paspor teknis untuk apartemen atau rumah, itu menunjukkan rekaman setiap kamar dan total rekaman apartemen. 2 Untuk mengukur luas ruangan persegi panjang atau persegi, ambil pita pengukur atau pengukur jarak elektronik dan ukur panjang dinding. Saat mengukur jarak dengan pengintai, pastikan arah pancaran sinar tegak lurus, jika tidak, hasil pengukuran dapat terdistorsi. 3 Kemudian kalikan hasil panjang (dalam meter) ruangan dengan lebar (dalam meter). Nilai yang dihasilkan akan menjadi luas lantai, diukur dalam meter persegi.

rumus luas Gauss

Jika Anda perlu menghitung luas lantai dari struktur yang lebih kompleks, seperti ruang pentagonal atau ruangan dengan lengkungan bundar, gambar sketsa skema di selembar kertas. Kemudian bagi bentuk kompleks menjadi beberapa bentuk sederhana, seperti persegi dan segitiga, atau persegi panjang dan setengah lingkaran. Gunakan pita pengukur atau pengintai untuk mengukur ukuran semua sisi gambar yang dihasilkan (untuk lingkaran, Anda perlu mengetahui diameternya) dan masukkan hasilnya pada gambar Anda.

5 Sekarang hitung luas setiap bentuk secara terpisah. Luas persegi panjang dan bujur sangkar dihitung dengan mengalikan sisi-sisinya. Untuk menghitung luas lingkaran, bagilah diameter menjadi dua dan persegi (kalikan dengan dirinya sendiri), lalu kalikan hasilnya dengan 3,14.
Jika Anda hanya ingin setengah dari lingkaran, bagilah luas yang dihasilkan menjadi dua. Untuk menghitung luas segitiga, cari P dengan membagi jumlah semua sisinya dengan 2.

Rumus untuk menghitung luas poligon tidak beraturan

Jika titik-titik diberi nomor secara berurutan dengan arah berlawanan arah jarum jam, maka determinan dalam rumus di atas adalah positif dan modulus di dalamnya dapat dihilangkan; jika mereka diberi nomor searah jarum jam, determinannya akan negatif. Ini karena rumus dapat dilihat sebagai kasus khusus dari teorema Green. Untuk menerapkan rumus, Anda perlu mengetahui koordinat simpul poligon di bidang Cartesian.

Sebagai contoh, mari kita ambil segitiga dengan koordinat ((2, 1), (4, 5), (7, 8)). Ambil koordinat x pertama dari simpul pertama dan kalikan dengan koordinat y dari simpul kedua, lalu kalikan koordinat x dari simpul kedua dengan koordinat y dari simpul ketiga. Kami mengulangi prosedur ini untuk semua simpul. Hasilnya dapat ditentukan dengan rumus berikut: A tri.

Rumus untuk menghitung luas segi empat tidak beraturan

A) _(\text(tri.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|) di mana xi dan yi menunjukkan koordinat yang sesuai. Rumus ini dapat diperoleh dengan membuka tanda kurung dalam rumus umum untuk kasus n = 3. Dengan menggunakan rumus ini, Anda dapat menemukan bahwa luas segitiga sama dengan setengah jumlah 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - 16, yang memberikan 3. Jumlah variabel dalam rumus tergantung pada jumlah sisi poligon. Misalnya, rumus luas segi lima akan menggunakan variabel hingga x5 dan y5: Sebuah pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 x 2 y 1 x 3 y 2 x 4 y 3 x 5 y 4 x 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4 )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5 )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A untuk segi empat - variabel hingga x4 dan y4: Segi empat.

1.1 Perhitungan area di zaman kuno

1.2 Pendekatan berbeda untuk mempelajari konsep "luas", "poligon", "luas poligon"

1.2.1 Konsep wilayah. Properti Area

1.2.2 Konsep poligon

1.2.3 Konsep luas poligon. Definisi deskriptif

1.3 Berbagai rumus untuk luas poligon

1.4 Derivasi rumus luas poligon

1.4.1 Luas segitiga. rumus bangau

1.4.2 Luas persegi panjang

1.4.3 Luas trapesium

1.4.4 Luas segi empat

1.4.5 Rumus universal

1.4.6 Luas n-gon

1.4.7 Menghitung luas poligon dari koordinat titik-titiknya

1.4.8 Pilih Formula

1.5 Teorema Pythagoras tentang jumlah luas persegi yang dibangun di atas kaki segitiga siku-siku

1.6 Persamaan segitiga. Teorema Bogliai-Gervin

1.7 Perbandingan luas segitiga yang sebangun

1.8 Angka dengan luas terbesar

1.8.1 Trapesium atau persegi panjang

1.8.2 Sifat persegi yang luar biasa

1.8.3 Plot dengan bentuk berbeda

1.8.4 Segitiga dengan luas terbesar

Bab 2. Fitur metodologis mempelajari bidang poligon di kelas matematika

2.1 Perencanaan tematik dan fitur pengajaran di kelas dengan studi matematika yang mendalam

2.2 Metodologi pelajaran

2.3 Hasil kerja eksperimen

Kesimpulan

literatur

pengantar

Topik "Area poligon" adalah bagian integral dari kursus matematika sekolah, yang cukup alami. Memang, secara historis, kemunculan geometri sangat terkait dengan kebutuhan untuk membandingkan plot tanah dari satu bentuk atau lainnya. Pada saat yang sama, perlu dicatat bahwa peluang pendidikan untuk pengungkapan topik ini di sekolah menengah masih jauh dari digunakan sepenuhnya.

Tugas utama pengajaran matematika di sekolah adalah untuk memastikan penguasaan yang kuat dan sadar dari sistem pengetahuan dan keterampilan matematika yang diperlukan untuk setiap anggota masyarakat modern dalam kehidupan dan pekerjaan sehari-hari, cukup untuk mempelajari disiplin ilmu terkait dan melanjutkan pendidikan.

Seiring dengan penyelesaian tugas utama, studi mendalam tentang matematika menyediakan pembentukan minat yang stabil pada subjek pada siswa, identifikasi dan pengembangan kemampuan matematika mereka, orientasi terhadap profesi yang secara signifikan terkait dengan matematika, dan persiapan untuk belajar di universitas.

Pekerjaan kualifikasi mencakup konten kursus matematika sekolah pendidikan umum dan sejumlah pertanyaan tambahan yang berbatasan langsung dengan kursus ini dan memperdalamnya di sepanjang garis ideologis utama.

Dimasukkannya pertanyaan tambahan melayani dua tujuan yang saling terkait. Di satu sisi, ini adalah penciptaan, bersama dengan bagian utama dari kursus, dasar untuk memenuhi minat dan mengembangkan kemampuan siswa dengan kecenderungan untuk matematika, di sisi lain, pemenuhan kesenjangan yang berarti dalam hidangan utama, memberikan isi studi mendalam integritas yang diperlukan.

Pekerjaan kualifikasi terdiri dari pendahuluan, dua bab, kesimpulan dan literatur yang dikutip. Bab pertama membahas dasar-dasar teoretis dari studi bidang poligon, dan bab kedua membahas secara langsung fitur metodologis dari studi bidang.

Bab 1

1.1Perhitungan area di zaman kuno

Dasar-dasar pengetahuan geometris yang terkait dengan pengukuran area hilang di kedalaman ribuan tahun.

Kembali pada 4 - 5 ribu tahun yang lalu, orang Babilonia dapat menentukan luas persegi panjang dan trapesium dalam satuan persegi. Alun-alun telah lama menjadi standar untuk mengukur area karena banyak dari sifat-sifatnya yang luar biasa: sisi yang sama, sudut yang sama dan siku-siku, simetri dan kesempurnaan bentuk secara umum. Kotak mudah dibuat, atau Anda dapat mengisi bidang tanpa celah.

Di Tiongkok kuno, ukuran luas adalah persegi panjang. Ketika tukang batu menentukan luas dinding rumah persegi panjang, mereka mengalikan tinggi dan lebar dinding. Ini adalah definisi yang diterima dalam geometri: luas persegi panjang sama dengan produk dari sisi-sisi yang berdekatan. Kedua sisi ini harus dinyatakan dalam satuan linier yang sama. Produk mereka akan menjadi luas persegi panjang, dinyatakan dalam unit persegi yang sesuai. Katakanlah jika tinggi dan lebar dinding diukur dalam desimeter, maka hasil kali kedua pengukuran akan dinyatakan dalam desimeter persegi. Dan jika luas setiap Petak yang berhadapan adalah desimeter persegi, maka produk yang dihasilkan akan menunjukkan jumlah ubin yang dibutuhkan untuk menghadap. Ini mengikuti dari pernyataan yang mendasari pengukuran area: luas suatu bangun yang terdiri dari angka-angka yang tidak berpotongan sama dengan jumlah luasnya.

Orang Mesir kuno 4.000 tahun yang lalu menggunakan teknik yang hampir sama seperti yang kita lakukan untuk mengukur luas persegi panjang, segitiga, dan trapesium: alas segitiga dibagi dua, dan dikalikan dengan tingginya; untuk trapesium, jumlah sisi sejajar dibagi dua dan dikalikan dengan tingginya, dan seterusnya. Untuk menghitung luas

segi empat dengan sisi (Gbr. 1.1), rumus (1.1) diterapkan

itu. setengah jumlah sisi yang berhadapan dikalikan.

Rumus ini jelas salah untuk segiempat mana pun; dari sini, khususnya, luas semua belah ketupat adalah sama. Sementara itu, jelas bahwa luas belah ketupat bergantung pada besar sudut pada simpulnya. Rumus ini hanya berlaku untuk persegi panjang. Dengan bantuannya, Anda kira-kira dapat menghitung luas segi empat, di mana sudutnya dekat dengan kanan.

Untuk menentukan luas

segitiga sama kaki (Gbr. 1.2), di mana orang Mesir menggunakan rumus perkiraan:
(1.2) Gambar. 1.2 Kesalahan yang dibuat dalam hal ini adalah semakin kecil, semakin kecil perbedaan antara sisi dan tinggi segitiga, dengan kata lain, semakin dekat bagian atas (dan) ke dasar tinggi dari. Itulah sebabnya rumus perkiraan (1.2) hanya berlaku untuk segitiga dengan sudut sudut yang relatif kecil.

Tetapi orang Yunani kuno sudah tahu cara menemukan area poligon dengan benar. Dalam Elements-nya, Euclid tidak menggunakan kata "area", karena dengan kata "figure" ia memahami bagian dari bidang yang dibatasi oleh satu atau beberapa garis tertutup lainnya. Euclid tidak menyatakan hasil pengukuran luas sebagai suatu bilangan, tetapi membandingkan luas bangun-bangun yang berbeda satu sama lain.

Seperti ilmuwan kuno lainnya, Euclid berurusan dengan transformasi beberapa angka menjadi orang lain, mereka memiliki ukuran yang sama. Luas bangun datar tidak akan berubah jika bagian-bagiannya disusun berbeda, tetapi tanpa persilangan. Oleh karena itu, misalnya, dimungkinkan, berdasarkan rumus luas persegi panjang, untuk menemukan rumus luas bangun lainnya. Jadi, segitiga dibagi menjadi beberapa bagian, dari mana Anda dapat membuat persegi panjang dengan luas yang sama. Dari konstruksi ini dapat disimpulkan bahwa luas segitiga sama dengan setengah produk alas dan tingginya. Menggunakan gambar ulang seperti itu, mereka menemukan bahwa luas jajaran genjang sama dengan produk alas dan tinggi, luas trapesium adalah produk dari setengah jumlah alas dan tinggi.

Ketika tukang harus memasang dinding dengan konfigurasi yang rumit, mereka dapat menentukan luas dinding dengan menghitung jumlah ubin yang masuk ke ubin. Beberapa ubin, tentu saja, harus terkelupas sehingga tepi kelongsong bertepatan dengan tepi dinding. Jumlah semua ubin yang bekerja mengevaluasi area dinding dengan kelebihan, jumlah ubin yang tidak terputus - dengan kerugian. Saat ukuran sel berkurang, jumlah sampah berkurang, dan luas dinding, yang ditentukan oleh jumlah ubin, dihitung semakin akurat.

Salah satu matematikawan Yunani akhir - ensiklopedis, yang karyanya terutama diterapkan di alam, adalah Heron dari Alexandria, yang hidup pada abad ke-1. n. e. Menjadi seorang insinyur yang luar biasa, ia juga disebut "Heron the Mechanic". Dalam karyanya Dioptrics, Heron menjelaskan berbagai mesin dan alat ukur praktis.

Salah satu buku Heron dinamai olehnya "Geometris" dan merupakan semacam kumpulan rumus dan masalah yang sesuai. Ini berisi contoh untuk menghitung luas persegi, persegi panjang dan segitiga. Tentang mencari luas segitiga di sepanjang sisi-sisinya, Heron menulis: “Misalnya, satu sisi segitiga memiliki panjang 13 tali yang diukur, yang kedua 14 dan yang ketiga 15. Untuk mencari luas, lakukan seperti berikut. Tambahkan 13, 14 dan 15; Anda mendapatkan 42. Setengahnya adalah 21. Kurangi dari ketiga sisi ini satu per satu; pertama kurangi 13 - itu akan tetap 8, lalu 14 - itu akan tetap 7, dan akhirnya 15 - itu akan tetap 6. Sekarang kalikan mereka: 21 kali 8 akan menghasilkan 168, ambil ini 7 kali - Anda mendapatkan 1176, dan ini 6 lagi kali - Anda mendapatkan 7056. Dari sini akar kuadratnya menjadi 84. Ini adalah berapa banyak tali pengukur yang akan ada di area segitiga.