DEFINISI

Pertidaksamaan trigonometri adalah pertidaksamaan yang memuat variabel di bawah tanda fungsi trigonometri.

Menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri

Penyelesaian pertidaksamaan trigonometri sering kali diturunkan ke penyelesaian pertidaksamaan trigonometri paling sederhana dalam bentuk: \(\ \sin x a \), \(\ \cos x > a \), \(\ \namaoperator(tg) x > a \ ), \(\ \ nama operator(ctg) x > a \), \(\ \sin x \leq a \), \(\ \cos x \leq a \), \(\ \namaoperator(tg) x \ leq a \), \ (\ \namaoperator(ctg) x \leq a \), \(\ \sin x \geq a \), \(\ \cos \geq a \), \(\ \namaoperator(tg ) x \geq a \ ), \(\ \namaoperator(tg) x \geq a \)

Pertidaksamaan trigonometri paling sederhana diselesaikan secara grafis atau menggunakan lingkaran trigonometri satuan.

Menurut definisi, sinus sudut \(\ \alpha \) adalah ordinat titik \(\ P_(\alpha)(x, y) \) dari lingkaran satuan (Gbr. 1), dan kosinusnya adalah absis titik ini. Fakta ini digunakan dalam memecahkan pertidaksamaan trigonometri paling sederhana dengan kosinus dan sinus menggunakan lingkaran satuan.

Contoh penyelesaian pertidaksamaan trigonometri

Latihan

Selesaikan pertidaksamaan \(\ \sin x \leq \frac(\sqrt(3))(2) \)

Solusi

Karena \(\ \left|\frac(\sqrt(3))(2)\right| , pertidaksamaan ini memiliki solusi dan dapat diselesaikan dengan dua cara

Cara pertama. Mari selesaikan pertidaksamaan ini secara grafis. Untuk melakukan ini, kita membangun dalam sistem koordinat yang sama grafik sinus \(\ y=\sin x \) (Gbr. 2) dan garis lurus \(\ y=\frac(\sqrt(3))( 2) \)

Mari kita pilih interval di mana sinusoidal terletak di bawah grafik garis lurus \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) . Cari absis \(\ x_(1) \) dan \(\ x_(2) \) dari titik potong grafik berikut: \(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(3 ))(2 )=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_(2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+2 \pi=\ frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)

Kami mendapat interval \(\ \left[-\frac(4 \pi)(3) ; \frac(\pi)(3)\right] \) tetapi karena fungsi \(\ y=\sin x \) periodik dan memiliki periode \(\ 2 \pi \) , maka jawabannya adalah gabungan interval: \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+ 2 \pi k\kanan] \), \(\ k \di Z \)

Cara kedua. Bangun lingkaran satuan dan garis \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) , tunjukkan titik potongnya \(\ P_(x_(1)) \) dan \(\ P_(x_ (2)) \) (Gbr. 3). Solusi dari pertidaksamaan awal adalah himpunan titik-titik ordinat yang lebih kecil dari \(\ \frac(\sqrt(3))(2) \) . Cari nilai \(\ \boldsymbol(I)_(1) \) dan \(\ \boldsymbol(I)_(2) \) dengan berlawanan arah jarum jam, \(\ x_(1) Gbr. 3

\(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_ (2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+2 \pi=\frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)

Dengan mempertimbangkan periodisitas fungsi sinus, akhirnya diperoleh interval \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+2 \ pi\kanan] \), \(\k\di Z\)

Jawab\(\ x \in\left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+2 \pi\kanan] \), \(\ k \di Z \)

Latihan

Selesaikan pertidaksamaan \(\ \sin x>2 \)

Keputusan

Sinus adalah fungsi terbatas: \(\ |\sin x| \leq 1 \) , dan ruas kanan pertidaksamaan ini lebih besar dari satu, jadi tidak ada solusi.

Jawaban: Tidak ada solusi.

Latihan

Selesaikan pertidaksamaan \(\ \cos x>\frac(1)(2) \)

Keputusan

Pertidaksamaan ini dapat diselesaikan dengan dua cara: secara grafik dan menggunakan lingkaran satuan. Mari kita pertimbangkan masing-masing metode.

Cara pertama. Mari kita gambarkan dalam satu sistem koordinat fungsi yang menggambarkan bagian kiri dan kanan pertidaksamaan, yaitu \(\ y=\cos x \) dan \(\ y=\frac(1)(2) \) . Mari kita pilih interval di mana grafik fungsi kosinus \(\ y=\cos x \) terletak di atas grafik garis lurus \(\ y=\frac(1)(2) \) (Gbr. 4 ).

Cari absis dari titik \(\ \boldsymbol(x)_(1) \) dan \(\ x_(2) \) - titik potong grafik fungsi \(\ y=\cos x \ ) dan \(\ y=\frac (1)(2) \) , yang merupakan ujung dari salah satu interval di mana ketidaksamaan yang ditunjukkan berlaku. \(\ x_(1)=-\arccos \frac(1)(2)=-\frac(\pi)(3) \); \(\ x_(1)=\arccos \frac(1)(2)=\frac(\pi)(3) \)

Mengingat kosinus adalah fungsi periodik, dengan periode \(\ 2 \pi \) , jawabannya adalah nilai \(\ x \) dari interval \(\ \left(-\frac(\pi)(3 )+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\kanan) \), \(\ k \in Z \)

Cara kedua. Mari kita buat lingkaran satuan dan garis lurus \(\ x=\frac(1)(2) \) (karena sumbu x berhubungan dengan kosinus pada lingkaran satuan). Misalkan \(\ P_(x_(1)) \) dan \(\ P_(x_(2)) \) (Gbr. 5) adalah titik potong garis dan lingkaran satuan. Solusi persamaan awal adalah himpunan titik-titik absis yang lebih kecil dari \(\ \frac(1)(2) \) . Tentukan nilai \(\ x_(1) \) dan \(\ 2 \) , buat rangkaian berlawanan arah jarum jam sehingga \(\ x_(1) Dengan mempertimbangkan periodisitas kosinus, akhirnya diperoleh interval \( \ \left(-\frac (\pi)(3)+2 \pi k ;\frac(\pi)(3)+2 \pi k\kanan) \),\(\ k \in Z \)

Jawaban: \(\ x \in\left(-\frac(\pi)(3)+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \), \(\ k \di Z \)

Latihan

Selesaikan pertidaksamaan \(\ \namaoperator(ctg) x \leq-\frac(\sqrt(3))(3) \)

Keputusan

Mari kita plot grafik fungsi \(\ y=\operatorname(ctg) x \), \(\ y=-\frac(\sqrt(3))(3) \) dalam satu sistem koordinat

Mari kita pilih interval di mana grafik fungsi \(\ y=\namaoperator(ctg) x \) tidak lebih tinggi dari grafik garis lurus \(\ y=-\frac(\sqrt(3))(3 ) \) (Gbr. 6) .

Cari absis titik \(\ x_(0) \) , yang merupakan akhir dari salah satu interval di mana pertidaksamaan \(\ x_(0)=\namaoperator(arcctg)\left(-\frac(\ kuadrat(3))( 3)\kanan)=\pi-\namaoperator(arcctg)\kiri(\frac(\sqrt(3))(3)\kanan)=\pi-\frac(\pi)(3 )=\frac(2 \pi)(3) \)

Ujung lain dari celah ini adalah titik \(\ \pi \) , dan fungsi \(\ y=\operatorname(ctg) x \) tidak terdefinisi pada titik itu. Jadi, salah satu solusi dari pertidaksamaan ini adalah interval \(\ \frac(2 \pi)(3) \leq x

Jawaban: \(\ x \in\left[\frac(2 \pi)(3)+\pi k ; \pi+\pi k\kanan) \), \(\ k \in Z \)

Pertidaksamaan trigonometri dengan argumen kompleks

Pertidaksamaan trigonometri dengan argumen kompleks dapat direduksi menjadi pertidaksamaan trigonometri paling sederhana menggunakan substitusi. Setelah menyelesaikannya, substitusi terbalik dibuat dan yang tidak diketahui asli diekspresikan.

Latihan

Selesaikan pertidaksamaan \(\ 2 \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-1 \)

Keputusan

Nyatakan kosinus di ruas kanan pertidaksamaan ini: \(\ \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-\frac(1)(2) \)

Kami melakukan penggantian \(\ t=2 x+100^(\circ) \) , setelah itu pertidaksamaan ini ditransformasikan ke pertidaksamaan paling sederhana \(\ \cos t \leq-\frac(1)(2) \ )

Mari kita selesaikan dengan menggunakan lingkaran satuan. Mari kita buat lingkaran satuan dan garis \(\ x=-\frac(1)(2) \) . Mari kita nyatakan \(\ P_(1) \) dan \(\ P_(2) \) sebagai titik potong garis dan lingkaran satuan (Gbr. 7).

Solusi dari pertidaksamaan awal adalah himpunan titik-titik absis, yang paling banyak \(\ -\frac(1)(2) \). Titik \(\ P_(1) \) sesuai dengan sudut \(\ 120^(\circ) \) , dan titik \(\ P_(2) \) . Jadi, dengan periode cosinus, kita mendapatkan \(\ 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq t \leq 240^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \ ), \(\ n \di Z \)

Kami membuat substitusi terbalik \(\ t=2 x+100^(\circ) 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x+100^(\circ) \leq 240^ (\ circ)+360^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z \)

Kami mengungkapkan \(\ \mathbf(x) \), untuk melakukan ini, pertama-tama kurangi \(\ 100^(\circ) 120^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \ cdot n \leq 2 x+100^(\circ)-100^(\circ) \leq 240^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \( \ n\di Z\); \(\ 20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x \leq 140^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z\)

lalu, bagi dengan 2 \(\ \frac(20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \leq \frac(2 x)(2) \leq \frac(140^ (\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \), \(\ n \in Z \); \(\ 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \leq x \leq 70^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z \)

Jawab\(\ x \in\left(10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n ; 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n\right) \), \ (\ x \in\left(10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n ; 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n\right) \)

Pertidaksamaan trigonometri ganda

Latihan

Memecahkan pertidaksamaan trigonometri ganda \(\ \frac(1)(2)

Keputusan

Mari kita perkenalkan penggantian \(\ t=\frac(x)(2) \) , maka pertidaksamaan asli akan berbentuk \(\ \frac(1)(2)

Mari kita selesaikan dengan menggunakan lingkaran satuan. Karena sumbu ordinat sesuai dengan sinus pada lingkaran satuan, kami memilih di atasnya himpunan ordinat yang lebih besar dari \(\ x=\frac(1)(2) \) dan kurang dari atau sama dengan \(\ \frac(\sqrt(2))(2 ) \) . Pada Gambar 8, titik-titik ini akan ditempatkan pada busur \(\ P_(t_(1)) \), \(\ P_(t_(2)) \) dan \(\ P_(t_(3)) \) , \( \ P_(t_(4)) \) . Mari kita cari nilainya \(\ t_(1) \), \(\ t_(2) \), \(\ t_(3) \), \(\ t_(4) \) , membuat tur berlawanan arah jarum jam, dan \ (\ t_(1) \(\ t_(3)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(2))(2)=\pi-\frac(\pi)(4)=\frac(3 \ pi)(4) \); \(\ t_(4)=\pi-\arcsin \frac(1)(2)=\pi-\frac(\pi)(6)=\frac(5 \pi ) (6)\)

Dengan demikian, kita memperoleh dua interval, yang, dengan mempertimbangkan periodisitas fungsi sinus, dapat ditulis sebagai berikut \(\ \frac(\pi)(6)+2 \pi k \leq t \frac(\pi) (4)+2 \ pi k \quad \frac(3 \pi)(4)+2 \pi k leq \frac(x)(2) \frac(\pi)(4)+2 \pi k \) , \(\ \frac(3 \pi)(4)+2 \pi k Ekspres \(\ \mathbf( x) \), untuk ini kita kalikan semua sisi dari kedua pertidaksamaan dengan 2, kita mendapatkan \(\ \frac (\pi)(3)+4 \pi k \leq x

Jawab\(\ x \in\left(\frac(\pi)(3)+4 \pi k ; \frac(\pi)(2)+4 \pi k\right] \cup\left[\frac( 3 \pi)(2)+4 \pi k ; \frac(5 \pi)(3)+4 \pi k\kanan) \), \(\ k \in Z \)

Pertidaksamaan adalah relasi dalam bentuk a b, di mana a dan b adalah ekspresi yang mengandung paling sedikit satu variabel. Pertidaksamaan bisa ketat - , dan tidak ketat - , .

Pertidaksamaan trigonometri adalah ekspresi dalam bentuk: F(x) a, F(x) ‹ a, F(x) a, F(x) a, di mana F(x) diwakili oleh satu atau lebih fungsi trigonometri .

Contoh pertidaksamaan trigonometri yang paling sederhana adalah: sin x 1/2. Merupakan kebiasaan untuk menyelesaikan masalah seperti itu secara grafis; dua metode telah dikembangkan untuk ini.

Metode 1 - Memecahkan Pertidaksamaan dengan Memplot Fungsi

Untuk menemukan interval yang memenuhi kondisi pertidaksamaan sin x 1/2, Anda harus melakukan hal berikut:

1. Pada sumbu koordinat, buatlah sebuah sinusoidal y = sin x.
2. Pada sumbu yang sama, buatlah grafik argumen numerik pertidaksamaan, yaitu garis lurus yang melalui titik dari ordinat OY.
3. Tandai titik potong kedua grafik tersebut.
4. Warnai segmen yang merupakan solusi dari contoh.

Ketika ada tanda kuat dalam suatu ekspresi, titik potong bukanlah solusi. Karena periode positif terkecil dari sinusoidal adalah 2π, kami menulis jawabannya sebagai berikut:

Jika tanda-tanda ekspresi tidak ketat, maka interval solusi harus diapit dalam tanda kurung siku - . Jawaban dari soal tersebut juga dapat dituliskan sebagai pertidaksamaan lain:

Metode 2 - Memecahkan pertidaksamaan trigonometri menggunakan lingkaran satuan

Masalah serupa mudah diselesaikan dengan bantuan lingkaran trigonometri. Algoritma pencarian sangat sederhana:

1. Pertama, gambar lingkaran satuan.
2. Maka perlu diperhatikan nilai fungsi busur dari argumen ruas kanan pertidaksamaan pada busur lingkaran.
3. Kita perlu menggambar garis lurus yang melalui nilai fungsi busur yang sejajar dengan sumbu x (OX).
4. Setelah itu, tinggal memilih busur lingkaran, yang merupakan himpunan solusi untuk pertidaksamaan trigonometri.
5. Tulis jawaban dalam formulir yang diperlukan.

Mari kita menganalisis langkah-langkah solusi menggunakan pertidaksamaan sin x 1/2 sebagai contoh. Titik dan ditandai pada lingkaran – nilainya

Titik-titik busur yang terletak di atas dan adalah interval untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang diberikan.

Jika Anda perlu menyelesaikan contoh untuk cos, maka busur jawaban akan ditempatkan secara simetris terhadap sumbu OX, dan bukan OY. Anda dapat mempertimbangkan perbedaan antara interval solusi untuk sin dan cos dalam diagram di bawah ini dalam teks.

Solusi grafis untuk pertidaksamaan tangen dan kotangen akan berbeda dari sinus dan cosinus. Hal ini disebabkan oleh sifat-sifat fungsi.

Arctangent dan arccotangent adalah garis singgung lingkaran trigonometri, dan periode positif minimum untuk kedua fungsi adalah . Untuk menggunakan metode kedua dengan cepat dan benar, Anda perlu mengingat pada sumbu mana nilai sin, cos, tg, dan ctg diplot.

Tangen tangen berjalan sejajar dengan sumbu OY. Jika kita memplot nilai arctg a pada lingkaran satuan, maka titik kedua yang diperlukan akan terletak di kuartal diagonal. sudut

Mereka adalah breakpoint untuk fungsi tersebut, karena grafik cenderung ke sana tetapi tidak pernah mencapainya.

Dalam kasus kotangen, garis singgung berjalan sejajar dengan sumbu OX, dan fungsi terputus pada titik dan 2π.

Pertidaksamaan trigonometri kompleks

Jika argumen fungsi pertidaksamaan diwakili tidak hanya oleh variabel, tetapi oleh seluruh ekspresi yang mengandung yang tidak diketahui, maka kita berbicara tentang pertidaksamaan kompleks. Jalan dan urutan penyelesaiannya agak berbeda dari metode yang dijelaskan di atas. Misalkan kita perlu mencari solusi untuk pertidaksamaan berikut:

Solusi grafis menyediakan konstruksi sinusoidal biasa y = sin x untuk nilai x yang dipilih secara sewenang-wenang. Mari kita hitung tabel dengan koordinat untuk titik referensi grafik:

Hasilnya harus berupa kurva yang bagus.

Untuk kemudahan menemukan solusi, kami mengganti argumen fungsi kompleks

Perpotongan dua grafik memungkinkan Anda untuk menentukan area nilai yang diinginkan yang memenuhi kondisi ketidaksetaraan.

Segmen yang ditemukan adalah solusi untuk variabel t:

Namun, tujuan dari tugas ini adalah untuk menemukan semua kemungkinan varian dari x yang tidak diketahui:

Memecahkan pertidaksamaan ganda cukup sederhana, Anda perlu memindahkan / 3 ke bagian ekstrim persamaan dan melakukan perhitungan yang diperlukan:

Jawab tugas akan terlihat seperti interval untuk ketidaksetaraan ketat:

Tugas seperti itu akan membutuhkan pengalaman dan keterampilan siswa dalam menangani fungsi trigonometri. Semakin banyak tugas pelatihan yang akan diselesaikan dalam proses persiapan, semakin mudah dan cepat siswa akan menemukan jawaban atas pertanyaan tes ujian.

Solusi persamaan trigonometri paling sederhana

Pertama, mari kita ingat kembali rumus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri paling sederhana.

1. $sinx=a$

1. $cosx=a$

1. $tgx=a$

1. $ctgx=a$

Penyelesaian pertidaksamaan trigonometri paling sederhana.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri paling sederhana, pertama-tama kita harus menyelesaikan persamaan yang sesuai, dan kemudian, dengan menggunakan lingkaran trigonometri, temukan solusi pertidaksamaan tersebut. Pertimbangkan solusi dari pertidaksamaan trigonometri paling sederhana dengan contoh.

Contoh 1

$sinx\ge \frac(1)(2)$

Temukan solusi dari pertidaksamaan trigonometri $sinx=\frac(1)(2)$

\ \

Gambar 1. Solusi pertidaksamaan $sinx\ge \frac(1)(2)$.

Karena pertidaksamaan memiliki tanda “lebih besar dari atau sama dengan”, penyelesaiannya terletak pada busur atas lingkaran (terhadap penyelesaian persamaan).

Jawaban: $\left[\frac(\pi )(6)+2\pi n,\frac(5\pi )(6)+2\pi n\right]$.

Contoh 2

Temukan solusi dari pertidaksamaan trigonometri $cosx=\frac(\sqrt(3))(2)$

\ \

Perhatikan penyelesaian pada lingkaran trigonometri

Karena pertidaksamaan memiliki tanda "kurang dari", solusinya terletak pada busur lingkaran yang terletak di sebelah kiri (terhadap solusi persamaan).

Jawaban: $\left(\frac(\pi )(6)+2\pi n,\frac(11\pi )(6)+2\pi n\right)$.

Contoh 3

$tgx\le \frac(\sqrt(3))(3)$

Temukan solusi dari pertidaksamaan trigonometri $tgx=\frac(\sqrt(3))(3)$

\ \

Di sini kita juga membutuhkan domain definisi. Seperti yang kita ingat, fungsi tangen $x\ne \frac(\pi )(2)+\pi n,n\in Z$

Perhatikan penyelesaian pada lingkaran trigonometri

Gambar 3. Solusi pertidaksamaan $tgx\le \frac(\sqrt(3))(3)$.

Karena pertidaksamaan memiliki tanda “kurang dari atau sama dengan”, penyelesaiannya terletak pada busur lingkaran yang ditandai dengan warna biru pada Gambar 3.

Jawaban: $\ \left(-\frac(\pi )(2)+2\pi n\right.,\left.\frac(\pi )(6)+2\pi n\right]\cup \left (\frac(\pi )(2)+2\pi n,\kanan.\kiri.\frac(7\pi )(6)+2\pi n\kanan]$

Contoh 4

Temukan solusi dari pertidaksamaan trigonometri $ctgx=\sqrt(3)$

\ \

Di sini kita juga membutuhkan domain definisi. Seperti yang kita ingat, fungsi tangen $x\ne \pi n,n\in Z$

Perhatikan penyelesaian pada lingkaran trigonometri

Gambar 4. Solusi pertidaksamaan $ctgx\le \sqrt(3)$.

Karena pertidaksamaan memiliki tanda “lebih besar dari”, penyelesaiannya terletak pada busur lingkaran yang ditandai dengan warna biru pada Gambar 4.

Jawaban: $\ \left(2\pi n,\frac(\pi )(6)+2\pi n\right)\cup \left(\pi +2\pi n,\frac(7\pi )( 6)+2\pi n\kanan)$

METODE UNTUK MENYELESAIKAN PERTIMBANGAN TRIGONOMETRI

Relevansi. Secara historis, persamaan dan pertidaksamaan trigonometri telah diberikan tempat khusus dalam kurikulum sekolah. Kita dapat mengatakan bahwa trigonometri adalah salah satu bagian terpenting dari kursus sekolah dan semua ilmu matematika pada umumnya.

Persamaan dan ketidaksetaraan trigonometri menempati salah satu tempat sentral dalam kursus matematika sekolah menengah, baik dalam hal isi materi pendidikan dan metode aktivitas pendidikan dan kognitif yang dapat dan harus dibentuk selama studi mereka dan diterapkan untuk memecahkan masalah besar. sejumlah masalah yang bersifat teoretis dan terapan.

Solusi persamaan dan ketidaksetaraan trigonometri menciptakan prasyarat untuk mensistematisasikan pengetahuan siswa yang terkait dengan semua materi pendidikan dalam trigonometri (misalnya, sifat-sifat fungsi trigonometri, metode untuk mengubah ekspresi trigonometri, dll.) dan memungkinkan untuk membangun hubungan yang efektif dengan materi yang dipelajari dalam aljabar (persamaan, persamaan persamaan, pertidaksamaan, transformasi identik dari ekspresi aljabar, dll.).

Dengan kata lain, pertimbangan metode untuk memecahkan persamaan dan ketidaksetaraan trigonometri melibatkan semacam transfer keterampilan ini ke konten baru.

Pentingnya teori dan berbagai aplikasinya adalah bukti relevansi topik yang dipilih. Ini, pada gilirannya, memungkinkan Anda untuk menentukan tujuan, sasaran, dan subjek penelitian dari pekerjaan kursus.

Tujuan studi: umumkan jenis pertidaksamaan trigonometri yang tersedia, metode dasar dan khusus untuk penyelesaiannya, pilih serangkaian tugas untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri oleh anak sekolah.

Tujuan penelitian:

1. Berdasarkan analisis literatur yang tersedia tentang topik penelitian, sistematiskan materi.

2. Berikan satu set tugas yang diperlukan untuk mengkonsolidasikan topik "Ketidaksetaraan trigonometri."

Objek studi adalah pertidaksamaan trigonometri dalam mata kuliah matematika sekolah.

Subyek studi: jenis pertidaksamaan trigonometri dan metode penyelesaiannya.

Signifikansi teoritis adalah untuk mengatur materi.

Signifikansi praktis: penerapan pengetahuan teoritis dalam memecahkan masalah; analisis metode utama yang sering ditemui untuk memecahkan pertidaksamaan trigonometri.

Metode penelitian : analisis literatur ilmiah, sintesis dan generalisasi pengetahuan yang diperoleh, analisis pemecahan masalah, pencarian metode optimal untuk memecahkan ketidaksetaraan.

§satu. Jenis pertidaksamaan trigonometri dan metode dasar penyelesaiannya

1.1. Pertidaksamaan trigonometri paling sederhana

Dua ekspresi trigonometri yang dihubungkan oleh tanda atau > disebut pertidaksamaan trigonometri.

Menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri berarti menemukan sekumpulan nilai yang tidak diketahui yang termasuk dalam pertidaksamaan, yang memenuhi pertidaksamaan.

Bagian utama dari pertidaksamaan trigonometri diselesaikan dengan mereduksinya menjadi penyelesaian yang paling sederhana:

Ini mungkin metode faktorisasi, perubahan variabel (
,
dll.), di mana pertidaksamaan biasa diselesaikan terlebih dahulu, dan kemudian pertidaksamaan bentuk
dll, atau cara lain.

Pertidaksamaan yang paling sederhana diselesaikan dengan dua cara: menggunakan lingkaran satuan atau secara grafik.

Biarlahf(x  adalah salah satu fungsi trigonometri dasar. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan
itu cukup untuk menemukan solusinya pada satu periode, yaitu. pada setiap segmen yang panjangnya sama dengan periode fungsif  x  . Maka solusi dari pertidaksamaan asli akan ditemukan semuax , serta nilai-nilai yang berbeda dari yang ditemukan oleh sejumlah bilangan bulat periode fungsi. Dalam hal ini, akan lebih mudah untuk menggunakan metode grafis.

Mari kita berikan contoh algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan
(
) dan
.

Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan
(
).

1. Rumuskan definisi sinus suatu bilanganx pada lingkaran satuan.

3. Pada sumbu y, tandai sebuah titik dengan koordinatsebuah .

4. Melalui titik ini, buat garis sejajar dengan sumbu OX, dan tandai titik potongnya dengan lingkaran.

5. Pilih busur lingkaran, yang semua titiknya memiliki ordinat kurang darisebuah .

6. Tentukan arah bypass (berlawanan arah jarum jam) dan tuliskan jawabannya dengan menambahkan periode fungsi ke ujung interval2πn ,
.

Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan
.

1. Merumuskan definisi garis singgung suatu bilanganx pada lingkaran satuan.

2. Gambarlah sebuah lingkaran satuan.

3. Gambarlah garis singgung dan tandai sebuah titik di atasnya dengan sebuah ordinatsebuah .

4. Hubungkan titik ini ke titik asal dan tandai titik potong segmen yang dihasilkan dengan lingkaran satuan.

5. Pilih busur lingkaran, yang semua titiknya memiliki ordinat pada garis singgung yang kurang darisebuah .

6. Tunjukkan arah traversal dan tuliskan jawabannya, dengan mempertimbangkan ruang lingkup fungsi, tambahkan titikpn ,
(angka di sisi kiri catatan selalu lebih kecil dari angka di sisi kanan).

Interpretasi grafis dari solusi untuk persamaan dan rumus paling sederhana untuk menyelesaikan pertidaksamaan dalam bentuk umum diberikan dalam lampiran (Lampiran 1 dan 2).

Contoh 1 Selesaikan pertidaksamaan
.

Gambarlah garis pada lingkaran satuan
, yang memotong lingkaran di titik A dan B.

Semua nilaikamu pada interval NM lebih , semua titik busur AMB memenuhi pertidaksamaan ini. Pada semua sudut rotasi, besar , tapi lebih kecil ,
akan mengambil nilai lebih besar dari (tetapi tidak lebih dari satu).

Gambar 1

Dengan demikian, solusi pertidaksamaan akan menjadi semua nilai dalam interval
, yaitu
. Untuk mendapatkan semua solusi pertidaksamaan ini, cukup dengan menjumlahkan ujung-ujung interval ini
, di mana
, yaitu
,
. Perhatikan bahwa nilai
dan
adalah akar-akar persamaan
,

itu.
;
.

Menjawab:
,
.

1.2. Metode grafis

Dalam praktiknya, metode grafis untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri seringkali berguna. Pertimbangkan esensi metode pada contoh ketidaksetaraan
:

1. Jika argumennya kompleks (berbeda dariX ), lalu kita ganti dengant .

2. Kami membangun dalam satu bidang koordinatterlalu grafik fungsi
dan
.

3. Kami menemukan seperti itudua titik perpotongan grafik yang berdekatan, antara yangsinusoidaterletaklebih tinggi lurus
. Temukan absis dari titik-titik ini.

4. Tulislah pertidaksamaan ganda untuk argumen tersebutt , mengingat periode cosinus (t akan berada di antara absis yang ditemukan).

5. Lakukan substitusi terbalik (kembali ke argumen awal) dan nyatakan nilainyaX dari pertidaksamaan ganda, kami menulis jawabannya sebagai interval numerik.

Contoh 2 Selesaikan pertidaksamaan: .

Ketika memecahkan pertidaksamaan dengan metode grafis, perlu untuk membangun grafik fungsi seakurat mungkin. Mari kita ubah pertidaksamaan menjadi bentuk:

Mari kita buat grafik fungsi dalam satu sistem koordinat
dan
(Gbr. 2).

Gbr.2

Grafik fungsi berpotongan di suatu titikTETAPI dengan koordinat
;
. Diantara
titik grafik
di bawah poin grafik
. Dan kapan
nilai fungsi adalah sama. Jadi
pada
.

Menjawab:
.

1.3. Metode aljabar

Cukup sering, pertidaksamaan trigonometri asli, dengan substitusi yang dipilih dengan baik, dapat direduksi menjadi pertidaksamaan aljabar (rasional atau irasional). Metode ini melibatkan transformasi pertidaksamaan, memasukkan substitusi, atau mengganti variabel.

Mari kita pertimbangkan penerapan metode ini pada contoh-contoh spesifik.

Contoh 3 Pengurangan ke bentuk paling sederhana
.

(Gbr. 3)

Gbr.3

,
.

Menjawab:
,

Contoh 4 Selesaikan pertidaksamaan:

ODZ:
,
.

Menggunakan rumus:
,

kita tulis pertidaksamaan dalam bentuk:
.

Atau, dengan asumsi
setelah transformasi sederhana kita dapatkan

,

,

.

Memecahkan pertidaksamaan terakhir dengan metode interval, kita memperoleh:

Gbr.4

, masing-masing
. Kemudian dari Gambar. 4 mengikuti
, di mana
.

Gbr.5

Menjawab:
,
.

1.4. Metode Spasi

Skema umum untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri dengan metode interval:

Menggunakan rumus trigonometri, faktorkan.

Temukan breakpoint dan nol dari fungsi, letakkan di lingkaran.

Ambil poin apa punKe (tetapi tidak ditemukan sebelumnya) dan mengetahui tanda produk. Jika hasil kali positif, maka letakkan sebuah titik di luar lingkaran satuan pada sinar yang bersesuaian dengan sudut tersebut. Jika tidak, letakkan titik di dalam lingkaran.

Jika suatu titik muncul beberapa kali genap, kami menyebutnya titik kelipatan genap; jika beberapa kali ganjil, kami menyebutnya titik multiplisitas ganjil. Gambarlah busur sebagai berikut: mulai dari satu titikKe , jika titik berikutnya multiplisitas ganjil, maka busur memotong lingkaran di titik ini, tetapi jika titik multiplisitas genap, maka tidak berpotongan.

Busur di belakang lingkaran adalah celah positif; di dalam lingkaran ada celah negatif.

Contoh 5 Selesaikan pertidaksamaan

,
.

Poin dari seri pertama:
.

Poin dari seri kedua:
.

Setiap titik muncul dalam jumlah ganjil, yaitu, semua titik dengan multiplisitas ganjil.

Cari tahu tanda produknya di
: . Kami menandai semua titik pada lingkaran satuan (Gbr. 6):

Beras. 6

Menjawab:
,
;
,
;
,
.

Contoh 6 . Selesaikan pertidaksamaan.

Keputusan:

Mari kita temukan angka nol dari ekspresi .

Mendapatkanaem :

,
;

,
;

,
;

,
;

Pada lingkaran satuan, nilai seriX 1 diwakili oleh titik
. SeriX 2 memberikan poin
. Sebuah seriX 3 kami mendapatkan dua poin
. Akhirnya, seriX 4 akan mewakili poin
. Kami menempatkan semua titik ini pada lingkaran satuan, yang ditunjukkan dalam tanda kurung di sebelah masing-masing multiplisitasnya.

Sekarang biarkan nomornya akan sama. Kami membuat perkiraan dengan tanda:

Jadi intinyaA harus dipilih pada balok yang membentuk sudut dengan balokOh, di luar lingkaran satuan. (Perhatikan bahwa balok bantuHAI A itu tidak harus ditampilkan dalam gambar. DotA dipilih kira-kira.)

Sekarang dari titikA kami menggambar garis kontinu bergelombang secara berurutan ke semua titik yang ditandai. Dan di titik-titik
garis kami melewati dari satu wilayah ke wilayah lain: jika itu di luar lingkaran satuan, maka ia melewatinya. Mendekati titik , garis kembali ke daerah dalam, karena banyaknya titik ini genap. Demikian pula pada titik (dengan multiplisitas genap) garis harus diputar ke wilayah luar. Jadi, kami menggambar gambar tertentu yang digambarkan pada Gambar. 7. Ini membantu untuk menyorot area yang diinginkan pada lingkaran unit. Mereka ditandai dengan "+".

Gbr.7

Jawaban akhir:

Catatan. Jika garis bergelombang, setelah melintasi semua titik yang ditandai pada lingkaran satuan, tidak dapat kembali ke titikA , tanpa melintasi lingkaran di tempat "ilegal", ini berarti ada kesalahan dalam penyelesaian, yaitu, jumlah akar ganjil dihilangkan.

Menjawab: .

2. Satu set tugas untuk memecahkan ketidaksetaraan trigonometri

Dalam proses pengembangan kemampuan anak sekolah untuk memecahkan pertidaksamaan trigonometri, 3 tahap juga dapat dibedakan.

1. persiapan,

2. pembentukan keterampilan menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri paling sederhana;

3. pengenalan pertidaksamaan trigonometri jenis lain.

Tujuan dari tahap persiapan adalah bahwa perlu untuk membentuk pada anak sekolah kemampuan menggunakan lingkaran atau grafik trigonometri untuk menyelesaikan pertidaksamaan, yaitu:

Kemampuan untuk menyelesaikan pertidaksamaan sederhana dari bentuk
,
,
,
, menggunakan sifat-sifat fungsi sinus dan kosinus;

Kemampuan untuk membuat pertidaksamaan ganda untuk busur lingkaran numerik atau untuk busur grafik fungsi;

Kemampuan untuk melakukan berbagai transformasi ekspresi trigonometri.

Disarankan untuk menerapkan tahap ini dalam proses sistematisasi pengetahuan anak sekolah tentang sifat-sifat fungsi trigonometri. Sarana utama dapat berupa tugas yang ditawarkan kepada siswa dan dilakukan baik di bawah bimbingan guru atau secara mandiri, serta keterampilan yang diperoleh dalam memecahkan persamaan trigonometri.

Berikut adalah contoh tugas tersebut:

1 . Tandai satu titik pada lingkaran satuan , jika

.

2. Di seperempat bidang koordinat berapa titiknya? , jika sama dengan:

3. Tandai titik pada lingkaran trigonometri , jika:

4. Bawa ekspresi ke fungsi trigonometriSayaperempat.

sebuah)
, b)
, di)

5. Mengingat busur MR.M - tengahSayakuartal ke tiga,R - tengahIIkuartal. Batasi nilai variabelt untuk: (buat pertidaksamaan ganda) a) busur MP; b) busur RM.

6. Tulis pertidaksamaan ganda untuk bagian grafik yang dipilih:

Beras. satu

7. Memecahkan ketidaksetaraan
,
,
,
.

8. Konversi ekspresi .

Pada tahap kedua pembelajaran untuk memecahkan pertidaksamaan trigonometri, kami dapat menawarkan rekomendasi berikut terkait dengan metodologi untuk mengatur kegiatan siswa. Pada saat yang sama, perlu untuk fokus pada keterampilan siswa untuk bekerja dengan lingkaran trigonometri atau grafik, yang terbentuk selama penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana.

Pertama, adalah mungkin untuk memotivasi kemanfaatan memperoleh metode umum untuk memecahkan pertidaksamaan trigonometri paling sederhana dengan merujuk, misalnya, ke pertidaksamaan bentuk
. Menggunakan pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh pada tahap persiapan, siswa akan membawa ketidaksetaraan yang diusulkan ke formulir
, tetapi mungkin sulit untuk menemukan sekumpulan solusi dari pertidaksamaan yang dihasilkan, karena tidak mungkin untuk menyelesaikannya hanya dengan menggunakan sifat-sifat fungsi sinus. Kesulitan ini dapat dihindari dengan mengacu pada ilustrasi yang sesuai (penyelesaian persamaan secara grafis atau menggunakan lingkaran satuan).

Kedua, guru harus menarik perhatian siswa pada berbagai cara menyelesaikan tugas, memberikan contoh penyelesaian pertidaksamaan yang tepat baik secara grafis maupun menggunakan lingkaran trigonometri.

Pertimbangkan opsi seperti itu untuk menyelesaikan pertidaksamaan
.

1. Menyelesaikan pertidaksamaan dengan menggunakan lingkaran satuan.

Dalam pelajaran pertama tentang memecahkan pertidaksamaan trigonometri, kami akan menawarkan kepada siswa algoritme solusi terperinci, yang dalam presentasi langkah demi langkah mencerminkan semua keterampilan dasar yang diperlukan untuk menyelesaikan pertidaksamaan.

Langkah 1.Gambarlah lingkaran satuan, tandai satu titik pada sumbu y dan tarik garis lurus melaluinya sejajar dengan sumbu x. Garis ini akan memotong lingkaran satuan di dua titik. Masing-masing titik ini menggambarkan angka yang sinusnya sama dengan .

Langkah 2Garis lurus ini membagi lingkaran menjadi dua busur. Mari kita pilih salah satu yang menampilkan angka yang memiliki sinus lebih besar dari . Secara alami, busur ini terletak di atas garis lurus yang ditarik.

Beras. 2

Langkah 3Mari kita pilih salah satu ujung busur yang ditandai. Mari kita tuliskan salah satu bilangan yang diwakili oleh titik lingkaran satuan ini .

Langkah 4Untuk memilih nomor yang sesuai dengan ujung kedua dari busur yang dipilih, kami "melewati" busur ini dari ujung bernama ke ujung lainnya. Pada saat yang sama, kita ingat bahwa ketika bergerak berlawanan arah jarum jam, angka yang akan kita lewati bertambah (ketika bergerak ke arah yang berlawanan, angkanya akan berkurang). Mari kita tuliskan angka yang digambarkan pada lingkaran satuan di ujung kedua busur yang ditandai .

Jadi, kita melihat bahwa pertidaksamaan
memenuhi angka-angka yang pertidaksamaannya
. Kami memecahkan ketidaksetaraan untuk angka yang terletak pada periode yang sama dari fungsi sinus. Oleh karena itu, semua solusi pertidaksamaan dapat ditulis sebagai

Siswa harus diminta untuk mempertimbangkan dengan cermat gambar dan mencari tahu mengapa semua solusi pertidaksamaan
dapat ditulis dalam bentuk
,
.

Beras. 3

Penting untuk menarik perhatian siswa pada fakta bahwa ketika menyelesaikan pertidaksamaan untuk fungsi kosinus, kita menggambar garis lurus yang sejajar dengan sumbu y.

Cara grafis untuk memecahkan ketidaksetaraan.

Bagan bangunan
dan
, mengingat bahwa
.

Beras. 4

Kemudian kita tulis persamaan
dan solusi nya
,
,
, ditemukan menggunakan rumus
,
,
.

(Memberin nilai 0, 1, 2, kami menemukan tiga akar dari persamaan yang disusun). Nilai
adalah tiga absis berurutan dari titik potong grafik
dan
. Jelas, selalu pada interval
ketidaksetaraan
, dan pada interval
- ketidaksetaraan
. Kami tertarik pada kasus pertama, dan kemudian menambahkan ke ujung interval ini angka yang merupakan kelipatan dari periode sinus, kami memperoleh solusi untuk pertidaksamaan
sebagai:
,
.

Beras. 5

Meringkaskan. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan
, Anda perlu menulis persamaan yang sesuai dan menyelesaikannya. Dari rumus yang dihasilkan temukan akarnya dan , dan tulis jawaban pertidaksamaan dalam bentuk: ,
.

Ketiga, fakta tentang himpunan akar dari pertidaksamaan trigonometri yang sesuai dikonfirmasi dengan sangat jelas ketika menyelesaikannya secara grafis.

Beras. 6

Hal ini diperlukan untuk menunjukkan kepada siswa bahwa kumparan, yang merupakan solusi pertidaksamaan, berulang melalui interval yang sama, sama dengan periode fungsi trigonometri. Anda juga dapat mempertimbangkan ilustrasi serupa untuk grafik fungsi sinus.

Keempat, disarankan untuk melakukan pekerjaan memperbarui metode konversi jumlah (selisih) fungsi trigonometri menjadi produk di antara siswa, untuk menarik perhatian anak sekolah pada peran metode ini dalam menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri.

Pekerjaan semacam itu dapat diatur melalui pemenuhan tugas-tugas yang diajukan oleh guru secara mandiri oleh siswa, di antaranya kami menyoroti hal-hal berikut:

Kelima, siswa harus diminta untuk mengilustrasikan penyelesaian setiap pertidaksamaan trigonometri sederhana menggunakan grafik atau lingkaran trigonometri. Pastikan untuk memperhatikan kemanfaatannya, terutama pada penggunaan lingkaran, karena ketika memecahkan pertidaksamaan trigonometri, ilustrasi yang sesuai berfungsi sebagai cara yang sangat nyaman untuk memperbaiki himpunan solusi pada pertidaksamaan yang diberikan.

Kenalan siswa dengan metode untuk memecahkan pertidaksamaan trigonometri, yang bukan yang paling sederhana, harus dilakukan sesuai dengan skema berikut: mengacu pada pertidaksamaan trigonometri tertentu mengacu pada persamaan trigonometri yang sesuai pencarian bersama (guru - siswa) untuk solusi transfer independen dari teknik yang ditemukan untuk ketidaksetaraan lain dari jenis yang sama.

Untuk mensistematisasikan pengetahuan trigonometri siswa, kami merekomendasikan secara khusus memilih ketidaksetaraan tersebut, yang solusinya memerlukan berbagai transformasi yang dapat diterapkan dalam proses penyelesaiannya, dengan memfokuskan perhatian siswa pada fitur-fiturnya.

Sebagai ketidaksetaraan produktif seperti itu, kami dapat mengusulkan, misalnya, sebagai berikut:

Sebagai kesimpulan, kami memberikan contoh serangkaian masalah untuk memecahkan pertidaksamaan trigonometri.

1. Selesaikan pertidaksamaan:

2. Selesaikan pertidaksamaan: 3. Temukan semua solusi pertidaksamaan: 4. Temukan semua solusi pertidaksamaan:

sebuah)
, memenuhi syarat
;

b)
, memenuhi syarat
.

5. Temukan semua solusi pertidaksamaan:

sebuah) ;

b) ;

di)
;

G)
;

e)
.

6. Selesaikan pertidaksamaan:

sebuah) ;

b) ;

di) ;

G)
;

e);

e);

g)
.

7. Selesaikan pertidaksamaan:

sebuah)
;

b) ;

di) ;

G) .

8. Memecahkan ketidaksetaraan:

sebuah) ;

b) ;

di) ;

G)
;

e)
;

e);

g)
;

h) .

Dianjurkan untuk menawarkan tugas 6 dan 7 kepada siswa yang belajar matematika di tingkat lanjutan, tugas 8 - kepada siswa di kelas dengan studi matematika yang mendalam.

3. Metode khusus untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri

Metode khusus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri - yaitu metode yang hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri. Metode ini didasarkan pada penggunaan sifat-sifat fungsi trigonometri, serta penggunaan berbagai rumus dan identitas trigonometri.

3.1. Metode Sektor

Pertimbangkan metode sektor untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri. Penyelesaian pertidaksamaan bentuk

, di manaP ( x ) danQ ( x ) - fungsi trigonometri rasional (sinus, kosinus, garis singgung dan kotangen masuk secara rasional), mirip dengan solusi pertidaksamaan rasional. Lebih mudah untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional dengan metode interval pada sumbu nyata. Analoginya dalam menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri rasional adalah metode sektor dalam lingkaran trigonometri, untuksinx dancosx (
) atau setengah lingkaran trigonometri untuktgx danctgx (
).

Dalam metode interval, setiap faktor linier dari pembilang dan penyebut dari bentuk
titik pada sumbu bilangan , dan ketika melewati titik ini
perubahan tanda. Dalam metode sektor, setiap pengali dari bentuk
, di mana
- salah satu fungsisinx ataucosx dan
, dalam lingkaran trigonometri ada dua sudut yang bersesuaian dan
, yang membagi lingkaran menjadi dua sektor. Saat melewati dan fungsi
perubahan tanda.

Berikut ini harus diingat:

a) Pengganda bentuk
dan
, di mana
, pertahankan tanda untuk semua nilai . Pengganda pembilang dan penyebut seperti itu dibuang, berubah (jika
) untuk setiap penolakan tersebut, tanda pertidaksamaan dibalik.

b) Pengganda bentuk
dan
juga dibuang. Selain itu, jika ini adalah faktor penyebut, maka ketidaksetaraan bentuk ditambahkan ke sistem pertidaksamaan yang setara.
dan
. Jika ini adalah faktor pembilangnya, maka dalam sistem kendala yang setara mereka sesuai dengan pertidaksamaan
dan
dalam kasus ketidaksetaraan awal yang ketat, dan kesetaraan
dan
dalam kasus pertidaksamaan awal yang tidak ketat. Saat menjatuhkan pengganda
atau
tanda pertidaksamaan dibalik.

Contoh 1 Memecahkan ketidaksetaraan: a)
, b)
. kami memiliki fungsi, b). Selesaikan pertidaksamaan yang kita miliki

3.2. Metode lingkaran konsentris

Metode ini analog dengan metode sumbu numerik paralel dalam memecahkan sistem pertidaksamaan rasional.

Perhatikan contoh sistem pertidaksamaan.

Contoh 5 Memecahkan sistem pertidaksamaan trigonometri sederhana

Pertama, kita selesaikan setiap pertidaksamaan secara terpisah (Gambar 5). Di sudut kanan atas gambar, kami akan menunjukkan argumen mana yang dianggap sebagai lingkaran trigonometri.

Gbr.5

Selanjutnya, kami membangun sistem lingkaran konsentris untuk argumenX . Kami menggambar lingkaran dan mengarsirnya sesuai dengan solusi pertidaksamaan pertama, lalu kami menggambar lingkaran dengan jari-jari yang lebih besar dan menaunginya sesuai dengan solusi yang kedua, kemudian kami membangun lingkaran untuk pertidaksamaan ketiga dan lingkaran dasar . Kami menggambar sinar dari pusat sistem melalui ujung busur sehingga mereka memotong semua lingkaran. Kami membentuk solusi pada lingkaran dasar (Gambar 6).

Gbr.6

Menjawab:
,
.

Kesimpulan

Semua tujuan dari kursus selesai. Materi teoretis disistematisasikan: jenis utama pertidaksamaan trigonometri dan metode utama untuk penyelesaiannya (grafik, aljabar, metode interval, sektor, dan metode lingkaran konsentris) diberikan. Untuk setiap metode, contoh penyelesaian pertidaksamaan diberikan. Bagian teoretis diikuti oleh bagian praktis. Ini berisi satu set tugas untuk memecahkan ketidaksetaraan trigonometri.

Kursus ini dapat digunakan oleh siswa untuk pekerjaan mandiri. Siswa dapat memeriksa tingkat asimilasi topik ini, berlatih dalam melakukan tugas-tugas dengan kompleksitas yang berbeda-beda.

Setelah bekerja melalui literatur yang relevan tentang masalah ini, jelas, kita dapat menyimpulkan bahwa kemampuan dan keterampilan untuk memecahkan ketidaksetaraan trigonometri dalam kursus aljabar sekolah dan awal analisis sangat penting, pengembangan yang memerlukan upaya yang cukup besar dari pihak guru matematika itu.

Oleh karena itu, pekerjaan ini akan bermanfaat bagi guru matematika, karena memungkinkan untuk secara efektif mengatur pelatihan siswa tentang topik "Pertidaksamaan trigonometri".

Studi dapat dilanjutkan dengan mengembangkannya ke pekerjaan kualifikasi akhir.

Daftar literatur yang digunakan

Bogomolov, N.V. Kumpulan soal dalam matematika [Teks] / N.V. Bogor. – M.: Bustard, 2009. – 206 hal.

Vygodsky, M.Ya. Buku pegangan matematika dasar [Teks] / M.Ya. Vygodsky. – M.: Bustard, 2006. – 509 hal.

Zhurbenko, L.N. Matematika dalam contoh dan tugas [Teks] / L.N. Zhurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 hal.

Ivanov, O.A. Matematika dasar untuk anak sekolah, siswa dan guru [Teks] / O.A. Ivanov. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 hal.

Karp, A.P. Tugas dalam aljabar dan awal analisis untuk organisasi pengulangan akhir dan sertifikasi di kelas 11 [Teks] / A.P. Karper. – M.: Pencerahan, 2005. – 79 hal.

Kulanin, E.D. 3000 masalah kompetitif dalam matematika [Teks] / E.D. Kulan – M.: Iris-press, 2007. – 624 hal.

Leibson, K.L. Kumpulan tugas praktikum matematika [Teks] / K.L. Leibson. – M.: Bustard, 2010. – 182 hal.

Siku, V.V. Masalah dengan parameter dan solusinya. Trigonometri: persamaan, pertidaksamaan, sistem. Kelas 10 [Teks] / V.V. Siku. – M.: ARKTI, 2008. – 64 hal.

Manova, A.N. Matematika. Tutor ekspres untuk mempersiapkan ujian: akun. tunjangan [Teks] / A.N. Manova. - Rostov-on-Don: Phoenix, 2012. - 541 hal.

Mordkovich, A.G. Aljabar dan awal analisis matematika. kelas 10-11. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan [Teks] / A.G. Mordkovich. – M.: Iris-press, 2009. – 201 hal.

Novikov, A.I. Fungsi trigonometri, persamaan dan pertidaksamaan [Teks] / A.I. Novikov. - M.: FIZMATLIT, 2010. - 260 hal.

Oganesyan, V.A. Metode pengajaran matematika di sekolah menengah: Metodologi umum. Prok. tunjangan bagi mahasiswa fisika. - tikar. palsu ped. di-teman. [Teks] / V.A. Oganesyan. – M.: Pencerahan, 2006. – 368 hal.

Olechnik, S.N. Persamaan dan ketidaksetaraan. Metode solusi non-standar [Teks] / S.N. Olekhnik. - M.: Publishing House Factorial, 1997. - 219 hal.

Sevryukov, P.F. Persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, eksponensial dan logaritma [Teks] / P.F. Sevryukov. – M.: Pendidikan Nasional, 2008. – 352 hal.

Sergeev, I.N. GUNAKAN: 1000 tugas dengan jawaban dan solusi dalam matematika. Semua tugas grup C [Teks] / I.N. Sergeev. – M.: Ujian, 2012. – 301 hal.

Sobolev, A.B. Matematika dasar [Teks] / A.B. Sobolev. - Yekaterinburg: GOU VPO USTU-UPI, 2005. - 81 hal.

Fenko, L.M. Metode interval dalam memecahkan pertidaksamaan dan mempelajari fungsi [Teks] / L.M. Fenko. – M.: Bustard, 2005. – 124 hal.

Friedman, L.M. Landasan teoretis metodologi pengajaran matematika [Teks] / L.M. Friedman. - L.: Rumah Buku "LIBROKOM", 2009. - 248 hal.

Lampiran 1

Interpretasi grafis dari solusi pertidaksamaan paling sederhana

Beras. satu

Beras. 2

Gbr.3

Gbr.4

Gbr.5

Gbr.6

Gbr.7

Gbr.8

Lampiran 2

Solusi untuk pertidaksamaan paling sederhana

Dalam pelajaran praktis, kami akan mengulangi jenis tugas utama dari topik "Trigonometri", selain itu menganalisis masalah dengan peningkatan kompleksitas dan mempertimbangkan contoh penyelesaian berbagai ketidaksetaraan trigonometri dan sistemnya.

Pelajaran ini akan membantu Anda mempersiapkan salah satu jenis tugas B5, B7, C1 dan C3.

Mari kita mulai dengan mengulangi jenis tugas utama yang telah kita ulas dalam topik Trigonometri dan menyelesaikan beberapa tugas non-standar.

Tugas 1. Ubah sudut menjadi radian dan derajat: a) ; b) .

a) Gunakan rumus untuk mengubah derajat ke radian

Substitusikan nilai yang diberikan ke dalamnya.

b) Terapkan rumus untuk mengubah radian ke derajat

Ayo lakukan substitusi .

Menjawab. sebuah) ; b) .

Tugas #2. Hitung: a) ; b) .

a) Karena sudut jauh di luar meja, kami menguranginya dengan mengurangi periode sinus. Karena sudut diberikan dalam radian, maka periode akan dianggap sebagai .

b) Dalam hal ini, situasinya serupa. Karena sudut ditentukan dalam derajat, maka kita akan menganggap periode garis singgung sebagai .

Sudut yang dihasilkan, meskipun lebih kecil dari periode, lebih besar, yang berarti tidak lagi merujuk ke utama, tetapi ke bagian tabel yang diperpanjang. Agar tidak melatih memori kita sekali lagi dengan menghafal tabel nilai trigofungsi yang diperluas, kita kurangi lagi periode tangen:

Kami mengambil keuntungan dari keanehan fungsi tangen.

Menjawab. a) 1; b) .

Tugas #3. Menghitung , jika .

Kami membawa seluruh ekspresi ke garis singgung dengan membagi pembilang dan penyebut pecahan dengan . Pada saat yang sama, kita tidak boleh takut akan hal itu, karena dalam hal ini, nilai tangen tidak akan ada.

Tugas #4. Sederhanakan ekspresi.

Ekspresi yang ditentukan dikonversi menggunakan formula cast. Hanya saja mereka tidak biasa ditulis menggunakan derajat. Ekspresi pertama umumnya berupa angka. Sederhanakan semua fungsi trigo secara bergantian:

Karena , maka fungsi berubah menjadi kofungsi, yaitu. ke kotangen, dan sudut jatuh ke kuartal kedua, di mana tanda garis singgung awal adalah negatif.

Untuk alasan yang sama seperti pada ekspresi sebelumnya, fungsi berubah menjadi kofungsi, mis. ke kotangen, dan sudut jatuh ke kuartal pertama, di mana garis singgung awal memiliki tanda positif.

Mengganti semuanya menjadi ekspresi yang disederhanakan:

Tugas #5. Sederhanakan ekspresi.

Mari kita tulis garis singgung sudut ganda sesuai dengan rumus yang sesuai dan sederhanakan ekspresinya:

Identitas terakhir adalah salah satu formula pengganti universal untuk kosinus.

Tugas #6. Hitung.

Hal utama adalah tidak membuat kesalahan standar dan tidak memberikan jawaban yang ekspresinya sama dengan . Tidak mungkin menggunakan properti utama dari garis singgung busur sementara ada faktor dalam bentuk dua di dekatnya. Untuk menghilangkannya, kami menulis ekspresi sesuai dengan rumus garis singgung sudut ganda, sementara kami memperlakukannya sebagai argumen biasa.

Sekarang sudah dimungkinkan untuk menerapkan properti utama dari tangen busur, ingat bahwa tidak ada batasan pada hasil numeriknya.

Tugas #7. Memecahkan persamaan.

Ketika memecahkan persamaan pecahan yang sama dengan nol, selalu ditunjukkan bahwa pembilangnya adalah nol dan penyebutnya tidak, karena Anda tidak dapat membagi dengan nol.

Persamaan pertama adalah kasus khusus dari persamaan paling sederhana, yang diselesaikan menggunakan lingkaran trigonometri. Pikirkan tentang solusi ini sendiri. Pertidaksamaan kedua diselesaikan sebagai persamaan paling sederhana menggunakan rumus umum untuk akar-akar garis singgung, tetapi hanya dengan tanda tidak sama.

Seperti yang dapat kita lihat, satu keluarga akar mengecualikan keluarga akar lain yang persis sama yang tidak memenuhi persamaan. Itu. tidak ada akar.

Menjawab. Tidak ada akar.

Tugas #8. Memecahkan persamaan.

Segera perhatikan bahwa Anda dapat mengambil faktor umum dan melakukannya:

Persamaan telah direduksi menjadi salah satu bentuk standar, ketika produk dari beberapa faktor sama dengan nol. Kita sudah tahu bahwa dalam hal ini salah satunya sama dengan nol, atau yang lain, atau yang ketiga. Kami menulis ini sebagai satu set persamaan:

Dua persamaan pertama adalah kasus khusus dari yang paling sederhana, kami telah bertemu dengan persamaan serupa berkali-kali, jadi kami akan segera menunjukkan solusi mereka. Kami mengurangi persamaan ketiga menjadi satu fungsi menggunakan rumus sinus sudut ganda.

Mari selesaikan persamaan terakhir secara terpisah:

Persamaan ini tidak memiliki akar, karena nilai sinus tidak dapat melampaui .

Jadi, hanya dua keluarga akar pertama yang solusinya, mereka dapat digabungkan menjadi satu, yang mudah ditunjukkan pada lingkaran trigonometri:

Ini adalah keluarga dari semua bagian, yaitu.

Mari kita beralih ke penyelesaian pertidaksamaan trigonometri. Pertama, mari kita menganalisis pendekatan untuk memecahkan contoh tanpa menggunakan rumus solusi umum, tetapi dengan bantuan lingkaran trigonometri.

Tugas #9. Selesaikan ketidaksetaraan.

Gambarlah garis bantu pada lingkaran trigonometri yang sesuai dengan nilai sinus yang sama dengan , dan tunjukkan interval sudut yang memenuhi pertidaksamaan.

Sangat penting untuk memahami dengan tepat bagaimana menentukan interval sudut yang dihasilkan, mis. apa awalnya dan apa akhirnya. Awal celah akan menjadi sudut yang sesuai dengan titik yang akan kita masuki di awal celah jika kita bergerak berlawanan arah jarum jam. Dalam kasus kami, ini adalah titik yang ada di sebelah kiri, karena bergerak berlawanan arah jarum jam dan melewati titik yang tepat, sebaliknya, kami keluar dari interval sudut yang diperlukan. Oleh karena itu, titik yang tepat akan sesuai dengan ujung celah.

Sekarang kita perlu memahami nilai sudut awal dan akhir dari celah solusi kita untuk pertidaksamaan. Kesalahan umum adalah dengan segera menunjukkan bahwa titik kanan sesuai dengan sudut , kiri dan memberikan jawabannya. Ini tidak benar! Harap dicatat bahwa kami baru saja menunjukkan interval yang sesuai dengan bagian atas lingkaran, meskipun kami tertarik pada yang lebih rendah, dengan kata lain, kami telah mencampur awal dan akhir interval solusi yang kami butuhkan.

Agar interval dimulai di sudut titik kanan dan berakhir di sudut titik kiri, sudut yang ditentukan pertama harus lebih kecil dari yang kedua. Untuk melakukan ini, kita harus mengukur sudut titik yang tepat dalam arah referensi negatif, mis. searah jarum jam dan itu akan sama dengan . Kemudian, dimulai dari arah positif searah jarum jam, kita akan sampai ke titik kanan setelah titik kiri dan mendapatkan nilai sudutnya. Sekarang awal interval sudut kurang dari akhir , dan kita dapat menulis interval solusi tanpa memperhitungkan periode:

Mempertimbangkan bahwa celah seperti itu akan berulang berkali-kali setelah sejumlah rotasi bilangan bulat, kami mendapatkan solusi umum, dengan mempertimbangkan periode sinus:

Kami menempatkan tanda kurung bulat karena ketidaksetaraan ketat, dan kami menusuk titik-titik pada lingkaran yang sesuai dengan ujung interval.

Bandingkan jawaban Anda dengan rumus untuk solusi umum yang kami berikan dalam kuliah.

Menjawab. .

Metode ini bagus untuk memahami dari mana rumus untuk solusi umum dari pertidaksamaan trigonal paling sederhana berasal. Selain itu, berguna bagi mereka yang terlalu malas untuk mempelajari semua rumus rumit ini. Namun, metodenya sendiri juga tidak mudah, pilih pendekatan solusi mana yang paling nyaman bagi Anda.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri, Anda juga dapat menggunakan grafik fungsi di mana garis bantu dibangun, mirip dengan metode yang ditunjukkan menggunakan lingkaran satuan. Jika Anda tertarik, cobalah untuk memahami pendekatan solusi ini sendiri. Berikut ini, kita akan menggunakan rumus umum untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri paling sederhana.

Tugas #10. Selesaikan ketidaksetaraan.

Kami menggunakan rumus solusi umum, dengan mempertimbangkan bahwa ketidaksetaraan tidak ketat:

Kami mendapatkan dalam kasus kami:

Menjawab.

Tugas #11. Selesaikan ketidaksetaraan.

Kami menggunakan rumus solusi umum untuk ketidaksetaraan ketat yang sesuai:

Menjawab. .

Tugas # 12. Memecahkan ketidaksetaraan: a) ; b) .

Dalam ketidaksetaraan ini, seseorang tidak boleh terburu-buru menggunakan rumus untuk solusi umum atau lingkaran trigonometri, cukup dengan mengingat kisaran nilai sinus dan kosinus.

a) Karena , maka pertidaksamaan tersebut tidak berarti. Oleh karena itu, tidak ada solusi.

b) Karena sama, sinus dari setiap argumen selalu memenuhi ketidaksetaraan yang ditentukan dalam kondisi. Oleh karena itu, ketidaksetaraan dipenuhi oleh semua nilai nyata dari argumen .

Menjawab. a) tidak ada solusi; b) .

Tugas 13. Selesaikan pertidaksamaan .