Sudut dasar rotasi, kecepatan sudut
Gambar 9. Sudut rotasi dasar ()
Rotasi dasar (sangat kecil) diperlakukan sebagai vektor. Modul vektor sama dengan sudut rotasi, dan arahnya bertepatan dengan arah gerakan translasi ujung sekrup, yang kepalanya berputar ke arah gerakan titik di sepanjang lingkaran, yaitu , itu mematuhi aturan sekrup yang tepat.
Kecepatan sudut
Vektor diarahkan sepanjang sumbu rotasi sesuai dengan aturan ulir kanan, yaitu dengan cara yang sama seperti vektor (lihat Gambar 10).
Gambar 10.
Gambar 11
Nilai vektor ditentukan oleh turunan pertama dari sudut rotasi benda terhadap waktu.
Hubungan antara modul kecepatan linier dan sudut
Gambar 12
Hubungan antara vektor kecepatan linier dan sudut
Posisi titik yang ditinjau diberikan oleh vektor radius (digambar dari titik asal koordinat 0 yang terletak pada sumbu rotasi). Produk vektor bertepatan dalam arah dengan vektor dan memiliki modulus sama dengan
Satuan kecepatan sudut adalah .
Pseudovektor (vektor aksial) adalah vektor yang arahnya dikaitkan dengan arah rotasi (misalnya,). Vektor-vektor ini tidak memiliki titik aplikasi khusus: mereka dapat ditarik dari titik mana pun pada sumbu rotasi.
Gerak seragam dari suatu titik material sepanjang lingkaran
Gerakan seragam dalam lingkaran - gerakan di mana titik material (benda) untuk periode waktu yang sama melewati busur lingkaran yang sama panjangnya.
Kecepatan sudut
: (-- sudut rotasi).
Periode rotasi T adalah waktu selama titik material membuat satu putaran penuh di sekitar keliling, yaitu, berputar melalui sudut.
Karena itu sesuai dengan interval waktu, maka.
Frekuensi rotasi - jumlah putaran lengkap yang dibuat oleh titik material dengan gerakan seragamnya sepanjang lingkaran, per satuan waktu.
Gambar 13
Ciri ciri gerak beraturan dalam lingkaran
Gerak melingkar beraturan adalah kasus khusus gerak lengkung. Gerakan sepanjang lingkaran dengan kecepatan konstan modulo () dipercepat. Hal ini disebabkan fakta bahwa pada modulus konstan, arah kecepatan berubah sepanjang waktu.
Percepatan suatu titik material yang bergerak secara seragam dalam lingkaran
Komponen percepatan tangensial dalam gerak seragam suatu titik sepanjang lingkaran sama dengan nol.
Komponen percepatan normal (percepatan sentripetal) diarahkan sepanjang jari-jari menuju pusat lingkaran (lihat Gambar 13). Pada sembarang titik pada lingkaran, vektor percepatan normal tegak lurus terhadap vektor kecepatan. Percepatan suatu titik material yang bergerak secara seragam di sepanjang lingkaran di salah satu titiknya adalah sentripetal.
percepatan sudut. Hubungan antara besaran linier dan besaran sudut
Percepatan sudut adalah besaran vektor yang ditentukan oleh turunan pertama dari kecepatan sudut terhadap waktu.
Arah vektor percepatan sudut
Ketika benda berputar di sekitar sumbu tetap, vektor percepatan sudut diarahkan sepanjang sumbu rotasi menuju vektor kenaikan dasar kecepatan sudut.
Dengan gerak dipercepat, vektor sejajar dengan vektor, dengan gerak lambat, itu berlawanan dengannya. Vektor adalah vektor semu.
Satuan percepatan sudut adalah .
Hubungan antara besaran linier dan besaran sudut
(-- jari-jari lingkaran; -- kecepatan linier; -- percepatan tangensial; -- percepatan normal; -- kecepatan sudut).
dengan nilai linier.
Gerakan sudut- besaran vektor yang mencirikan perubahan koordinat sudut dalam proses pergerakannya.
Kecepatan sudut- kuantitas fisik vektor yang mencirikan kecepatan rotasi tubuh. Vektor kecepatan sudut sama besarnya dengan sudut rotasi benda per satuan waktu:
dan diarahkan sepanjang sumbu rotasi sesuai dengan aturan gimlet, yaitu ke arah gimlet dengan ulir kanan akan disekrup jika diputar ke arah yang sama.
Satuan pengukuran kecepatan sudut yang diadopsi dalam sistem SI dan CGS) adalah radian per detik. (Catatan: radian, seperti unit pengukuran sudut lainnya, secara fisik tidak berdimensi, jadi dimensi fisik dari kecepatan sudut adalah ). Teknik ini juga menggunakan putaran per detik, apalagi - derajat per detik, derajat per detik. Mungkin, putaran per menit paling sering digunakan dalam teknologi - ini telah berlangsung sejak saat kecepatan rotasi mesin uap kecepatan rendah ditentukan hanya dengan "secara manual" menghitung jumlah putaran per unit waktu.
Vektor kecepatan (seketika) dari setiap titik pada benda tegar (mutlak) yang berputar pada kecepatan sudut diberikan oleh:
di mana adalah vektor jari-jari ke titik yang diberikan dari titik asal yang terletak pada sumbu rotasi benda, dan tanda kurung siku menunjukkan produk vektor. Kecepatan linier (bertepatan dengan modulus vektor kecepatan) suatu titik pada jarak tertentu (jari-jari) r dari sumbu rotasi dapat dianggap sebagai berikut: v = rω. Jika digunakan satuan sudut lain sebagai pengganti radian, maka pada dua rumus terakhir akan muncul pengali yang tidak sama dengan satu.
Dalam kasus rotasi bidang, yaitu ketika semua vektor kecepatan dari titik-titik benda terletak (selalu) pada bidang yang sama ("bidang rotasi"), kecepatan sudut benda selalu tegak lurus terhadap bidang ini, dan pada kenyataannya - jika bidang rotasi diketahui sebelumnya - dapat diganti dengan skalar - proyeksi ke sumbu ortogonal terhadap bidang rotasi. Dalam hal ini, kinematika rotasi sangat disederhanakan, namun, dalam kasus umum, kecepatan sudut dapat berubah arah dari waktu ke waktu dalam ruang tiga dimensi, dan gambar yang disederhanakan seperti itu tidak berfungsi.
Turunan dari kecepatan sudut terhadap waktu adalah percepatan sudut.
Gerak dengan vektor kecepatan sudut konstan disebut gerak rotasi beraturan (dalam hal ini percepatan sudut adalah nol).
Kecepatan sudut (dianggap sebagai vektor bebas) adalah sama di semua kerangka acuan inersia, namun, dalam kerangka acuan inersia yang berbeda, sumbu atau pusat rotasi dari benda spesifik yang sama pada momen waktu yang sama mungkin berbeda (bahwa adalah, akan ada "titik penerapan" yang berbeda dari kecepatan sudut).
Dalam kasus pergerakan satu titik dalam ruang tiga dimensi, Anda dapat menulis ekspresi untuk kecepatan sudut titik ini relatif terhadap titik asal yang dipilih:
Dimana vektor radius titik (dari titik asal), adalah kecepatan titik ini. - produk vektor, - produk skalar vektor. Namun, rumus ini tidak secara unik menentukan kecepatan sudut (dalam kasus satu titik, Anda dapat memilih vektor lain yang sesuai dengan definisi, jika tidak - secara sewenang-wenang - memilih arah sumbu rotasi), tetapi untuk kasus umum (ketika benda mencakup lebih dari satu titik material) - rumus ini tidak berlaku untuk kecepatan sudut seluruh benda (karena memberikan nilai yang berbeda untuk setiap titik, dan selama rotasi benda yang benar-benar kaku, menurut definisi, kecepatan sudut rotasinya adalah satu-satunya vektor). Dengan semua ini, dalam kasus dua dimensi (kasus rotasi bidang) rumus ini cukup memadai, tidak ambigu dan benar, karena dalam kasus khusus ini arah sumbu rotasi pasti ditentukan secara unik.
Dalam kasus gerak rotasi seragam (yaitu, gerak dengan vektor kecepatan sudut konstan), koordinat Cartesian dari titik-titik benda yang berputar dengan cara ini melakukan osilasi harmonik dengan frekuensi sudut (siklus) yang sama dengan modulus sudut. vektor kecepatan.
Saat mengukur kecepatan sudut dalam putaran per detik (r/s), modulus kecepatan sudut gerak rotasi seragam adalah sama dengan kecepatan rotasi f, diukur dalam hertz (Hz)
(yaitu, dalam unit tersebut).
Dalam hal menggunakan satuan fisik biasa dari kecepatan sudut - radian per detik - modulus kecepatan sudut terkait dengan kecepatan rotasi sebagai berikut:
Akhirnya, saat menggunakan derajat per detik, hubungannya dengan RPM adalah:
Percepatan sudut- kuantitas fisik vektor semu yang mencirikan laju perubahan kecepatan sudut benda tegar.
Ketika sebuah benda berputar di sekitar sumbu tetap, modulo percepatan sudut adalah:
Vektor percepatan sudut diarahkan sepanjang sumbu rotasi (ke samping dengan rotasi dipercepat dan sebaliknya - dengan rotasi lambat).
Ketika berputar di sekitar titik tetap, vektor percepatan sudut didefinisikan sebagai turunan pertama dari vektor kecepatan sudut terhadap waktu, yaitu.
dan diarahkan secara tangensial ke hodogram vektor pada titik yang sesuai.
Ada hubungan antara percepatan tangensial dan sudut:
di mana R adalah jari-jari kelengkungan lintasan titik pada waktu tertentu. Jadi, percepatan sudut sama dengan turunan kedua dari sudut rotasi terhadap waktu atau turunan pertama dari kecepatan sudut terhadap waktu. Percepatan sudut diukur dalam rad/s2.
Kecepatan Sudut dan Percepatan Sudut
Pertimbangkan benda tegar yang berputar di sekitar sumbu tetap. Kemudian titik-titik individu dari benda ini akan menggambarkan lingkaran dengan jari-jari yang berbeda, yang pusatnya terletak pada sumbu rotasi. Biarkan beberapa titik bergerak sepanjang lingkaran dengan jari-jari R(Gbr. 6). Posisinya setelah selang waktu D t tentukan sudut D Rotasi dasar (sangat kecil) dapat dianggap sebagai vektor (dinotasikan dengan atau ) . Modul vektor sama dengan sudut rotasi, dan arahnya bertepatan dengan arah gerakan translasi ujung sekrup, yang kepalanya berputar ke arah gerakan titik di sepanjang lingkaran, mis. mematuhi aturan sekrup kanan(Gbr. 6). Vektor yang arahnya berhubungan dengan arah putaran disebut vektor semu atau vektor aksial. Vektor-vektor ini tidak memiliki titik aplikasi khusus: mereka dapat ditarik dari titik mana pun pada sumbu rotasi.
kecepatan sudut disebut besaran vektor yang sama dengan turunan pertama sudut rotasi benda terhadap waktu:
Vektor diarahkan sepanjang sumbu rotasi sesuai dengan aturan sekrup kanan, yaitu. sama dengan vektor (Gbr. 7). Dimensi kecepatan sudut redup w =T - 1 , dan satuannya adalah radian per detik (rad/s).
Kecepatan Linear Titik (Lihat Gambar 6)
Dalam bentuk vektor, rumus kecepatan linier dapat ditulis sebagai perkalian silang:
Dalam hal ini, modul produk vektor, menurut definisi, adalah sama, dan arahnya bertepatan dengan arah gerakan translasi sekrup kanan ketika berputar dari ke R.
Jika ( = const, maka rotasinya seragam dan dapat dikarakterisasi periode rotasi T - waktu di mana titik tersebut membuat satu putaran penuh, mis. berputar dengan sudut 2p. Karena selang waktu D t= T sesuai dengan = 2p, maka = 2p/ T, di mana
Jumlah putaran lengkap yang dilakukan oleh tubuh selama gerakan seragamnya dalam lingkaran per satuan waktu disebut frekuensi rotasi:
Percepatan sudut adalah besaran vektor yang sama dengan turunan pertama dari kecepatan sudut terhadap waktu:
Ketika benda berputar di sekitar sumbu tetap, vektor percepatan sudut diarahkan sepanjang sumbu rotasi menuju vektor kenaikan dasar kecepatan sudut. Dengan gerakan dipercepat, vektor diarahkan bersama ke vektor (Gbr. 8), dengan gerakan lambat, itu berlawanan dengannya (Gbr. 9).
Komponen tangensial percepatan
Komponen percepatan normal
Jadi, hubungan antara linier (panjang lintasan s dilalui oleh titik di sepanjang busur lingkaran berjari-jari R, kecepatan linier v, percepatan tangensial , percepatan normal ) dan besaran sudut (sudut rotasi j, kecepatan sudut w, percepatan sudut e) dinyatakan dengan rumus berikut:
Dalam kasus gerak variabel beraturan dari suatu titik sepanjang lingkaran (e = konstanta)
di mana w 0 adalah kecepatan sudut awal.
hukum Newton.
hukum pertama Newton. Bobot. Memaksa
Dinamika adalah cabang utama mekanika, itu didasarkan pada tiga hukum Newton, yang dirumuskan olehnya pada tahun 1687. Hukum Newton memainkan peran luar biasa dalam mekanika dan (seperti semua hukum fisika) merupakan generalisasi dari hasil pengalaman manusia yang luas. Mereka dianggap sebagai sistem hukum yang saling berhubungan dan tidak setiap hukum tunduk pada verifikasi eksperimental, tetapi seluruh sistem secara keseluruhan.
hukum pertama Newton: setiap titik material (benda) mempertahankan keadaan istirahat atau gerak lurus yang seragam sampai tumbukan dari benda lain membuatnya mengubah keadaan ini. Keinginan suatu benda untuk mempertahankan keadaan istirahat atau gerak lurus beraturan disebut kelembaman. Oleh karena itu, hukum pertama Newton disebut juga hukum inersia.
Gerak mekanis bersifat relatif, dan sifatnya bergantung pada kerangka acuan. Hukum pertama Newton tidak valid dalam kerangka acuan apa pun, dan sistem yang terkait dengannya disebut sistem referensi inersia. Kerangka acuan inersia adalah kerangka acuan semacam itu, relatif terhadap titik material, bebas dari pengaruh luar, diam atau bergerak lurus dan beraturan. Hukum pertama Newton menyatakan adanya kerangka acuan inersia.
Secara eksperimental telah ditetapkan bahwa kerangka acuan heliosentris (bintang) dapat dianggap inersia (asal koordinat berada di pusat Matahari, dan sumbu ditarik ke arah bintang-bintang tertentu). Kerangka acuan yang terkait dengan Bumi, secara tegas, adalah non-inersia, tetapi efek karena non-inersia (Bumi berputar di sekitar porosnya sendiri dan mengelilingi Matahari) dapat diabaikan dalam memecahkan banyak masalah, dan dalam kasus ini dapat dianggap inersia.
Dari pengalaman diketahui bahwa di bawah pengaruh yang sama, benda yang berbeda mengubah kecepatan gerakannya secara tidak merata, yaitu, dengan kata lain, memperoleh percepatan yang berbeda. Percepatan tidak hanya tergantung pada besarnya dampak, tetapi juga pada sifat-sifat tubuh itu sendiri (pada massanya).
Bobot benda - kuantitas fisik, yang merupakan salah satu karakteristik utama materi, yang menentukan inersianya ( massa inersia) dan gravitasi ( massa gravitasi) properti. Saat ini, dapat dianggap terbukti bahwa massa inersia dan gravitasi sama satu sama lain (dengan akurasi tidak kurang dari 10-12 dari nilainya).
Untuk menggambarkan efek yang disebutkan dalam hukum pertama Newton, konsep gaya diperkenalkan. Di bawah pengaruh gaya, benda mengubah kecepatan gerakannya, yaitu, memperoleh percepatan (manifestasi gaya dinamis), atau berubah bentuk, yaitu, mengubah bentuk dan dimensinya (manifestasi statis gaya). Pada setiap momen waktu, gaya dicirikan oleh nilai numerik, arah dalam ruang, dan titik penerapan. Jadi, memaksa- ini adalah besaran vektor, yang merupakan ukuran dampak mekanis pada tubuh dari benda atau bidang lain, sebagai akibatnya tubuh memperoleh percepatan atau mengubah bentuk dan ukurannya.
hukum kedua Newton
hukum kedua Newton- hukum dasar dinamika gerak translasi - menjawab pertanyaan tentang bagaimana gerakan mekanis dari suatu titik material (benda) berubah di bawah aksi gaya yang diterapkan padanya.
Jika kita mempertimbangkan aksi gaya yang berbeda pada benda yang sama, ternyata percepatan yang diperoleh benda selalu berbanding lurus dengan resultan gaya yang diberikan:
a~f(t=konst). (6.1)
Di bawah aksi gaya yang sama pada benda dengan massa yang berbeda, percepatannya menjadi berbeda, yaitu
sebuah ~ 1 /t (F= konstan). (6.2)
Menggunakan ekspresi (6.1) dan (6.2) dan memperhitungkan bahwa gaya dan percepatan adalah besaran vektor, kita dapat menulis:
a = kF/m (6.3)
Hubungan (6.3) menyatakan hukum kedua Newton: percepatan yang diperoleh oleh suatu titik material (benda), sebanding dengan gaya yang menyebabkannya, bertepatan dengan arahnya dan berbanding terbalik dengan massa titik material (benda).
Dalam SI, faktor proporsionalitas k= 1. Lalu
(6.4)
Mempertimbangkan bahwa massa titik material (benda) dalam mekanika klasik adalah konstan, dalam ekspresi (6.4) dapat dibawa di bawah tanda turunan:
besaran vektor
secara numerik sama dengan produk massa suatu titik material dan kecepatannya dan memiliki arah kecepatan, disebut momentum (momentum) titik materi ini.
Mengganti (6.6) menjadi (6.5), kita memperoleh
Ekspresi ini - rumusan yang lebih umum dari hukum kedua Newton: laju perubahan momentum suatu titik material sama dengan gaya yang bekerja padanya. Ekspresi (6.7) disebut persamaan gerak titik material.
Satuan gaya dalam SI - newton(N): 1 N adalah gaya yang memberikan percepatan 1 m / s 2 ke massa 1 kg dengan arah gaya:
1 N \u003d 1 kg × m / s 2.
Hukum kedua Newton hanya berlaku dalam kerangka acuan inersia. Hukum pertama Newton dapat diturunkan dari yang kedua. Memang, jika gaya yang dihasilkan sama dengan nol (dengan tidak adanya pengaruh pada tubuh dari benda lain), percepatan (lihat (6.3)) juga sama dengan nol. Namun hukum pertama Newton dianggap sebagai hukum mandiri(dan bukan sebagai konsekuensi dari hukum kedua), karena dialah yang menegaskan keberadaan kerangka acuan inersia, di mana hanya persamaan (6.7) yang terpenuhi.
Dalam mekanika, ini sangat penting prinsip independensi aksi kekuatan: jika beberapa gaya bekerja secara simultan pada suatu titik material, maka masing-masing gaya ini memberikan percepatan ke titik material menurut hukum kedua Newton, seolah-olah tidak ada gaya lain. Menurut prinsip ini, gaya dan percepatan dapat didekomposisi menjadi komponen-komponen, yang penggunaannya mengarah pada penyederhanaan yang signifikan dari pemecahan masalah. Misalnya, pada gambar. 10 gaya kerja F = m a diuraikan menjadi dua komponen: gaya tangensial F t , (berarah tangensial ke lintasan) dan gaya normal F n(diarahkan sepanjang garis normal ke pusat kelengkungan). Menggunakan ekspresi dan , serta , kamu bisa menulis:
Jika beberapa gaya bekerja secara simultan pada suatu titik material, maka, menurut prinsip kemandirian aksi gaya, F dalam hukum kedua Newton dipahami sebagai gaya yang dihasilkan.
hukum ketiga Newton
Interaksi antara titik material (benda) ditentukan oleh hukum ketiga Newton: setiap tindakan titik material (benda) satu sama lain memiliki karakter interaksi; gaya yang dengannya titik-titik material bekerja satu sama lain selalu sama dalam nilai absolut, berlawanan arah dan bekerja sepanjang garis lurus yang menghubungkan titik-titik ini:
F 12 = - F 21, (7.1)
di mana F 12 adalah gaya yang bekerja pada titik material pertama dari titik material kedua;
F 21 - gaya yang bekerja pada titik material kedua dari yang pertama. Kekuatan-kekuatan ini diterapkan pada berbeda poin material (tubuh), selalu bertindak berpasangan dan merupakan kekuatan satu alam.
Hukum ketiga Newton memungkinkan transisi dari dinamika memisahkan poin materi untuk dinamika sistem poin materi. Ini mengikuti dari fakta bahwa untuk sistem titik material, interaksi direduksi menjadi kekuatan interaksi pasangan antara titik material.
Gerakan benda yang diperpanjang yang dimensinya tidak dapat diabaikan di bawah kondisi masalah yang sedang dipertimbangkan. Tubuh akan dianggap tidak dapat dideformasi, dengan kata lain, benar-benar kaku.
Gerakan di mana setiap garis lurus yang dihubungkan dengan benda yang bergerak tetap sejajar dengan dirinya sendiri, disebut progresif.
Garis lurus "terhubung kaku dengan tubuh" dipahami sebagai garis lurus, jarak dari titik mana pun ke titik tubuh mana pun tetap konstan selama gerakannya.
Gerak translasi dari benda yang benar-benar kaku dapat dicirikan oleh gerak titik mana pun dari benda ini, karena dalam gerak translasi semua titik benda bergerak dengan kecepatan dan percepatan yang sama, dan lintasan geraknya kongruen. Setelah menentukan gerakan salah satu titik benda tegar, kita pada saat yang sama akan menentukan gerakan semua titik lainnya. Oleh karena itu, ketika menjelaskan gerak translasi, tidak ada masalah baru yang muncul dibandingkan dengan kinematika suatu titik material. Contoh gerakan translasi ditunjukkan pada gambar. 2.20.
Gambar 2.20. Gerakan translasi tubuh
Contoh gerak translasi ditunjukkan pada gambar berikut:
Gambar 2.21. Gerakan tubuh planar
Kasus khusus lain yang penting dari gerakan benda tegar adalah gerakan di mana dua titik benda tetap diam.
Gerak yang dua titik bendanya tidak bergerak disebut rotasi di sekitar sumbu tetap.
Garis yang menghubungkan titik-titik ini juga tetap dan disebut sumbu rotasi.
Gambar 2.22. Rotasi benda tegar
Dengan gerakan seperti itu, semua titik tubuh bergerak di sepanjang lingkaran yang terletak di bidang yang tegak lurus terhadap sumbu rotasi. Pusat lingkaran terletak pada sumbu rotasi. Dalam hal ini, sumbu rotasi juga dapat ditempatkan di luar tubuh.
Video 2.4. Gerakan translasi dan rotasi.
Kecepatan sudut, percepatan sudut. Ketika sebuah benda berputar pada suatu sumbu, semua titiknya menggambarkan lingkaran dengan jari-jari yang berbeda dan, oleh karena itu, memiliki perpindahan, kecepatan, dan percepatan yang berbeda. Namun, adalah mungkin untuk menggambarkan gerakan rotasi semua titik tubuh dengan cara yang sama. Untuk ini, karakteristik kinematik gerakan lain (dibandingkan dengan titik material) digunakan - sudut rotasi, kecepatan sudut, percepatan sudut.
Beras. 2.23. Vektor percepatan suatu titik yang bergerak melingkar
Peran perpindahan dalam gerak rotasi dimainkan oleh vektor belokan kecil, di sekitar sumbu rotasi 00" (Gbr. 2.24.). Itu akan sama untuk titik mana pun tubuh yang benar-benar kaku(misalnya, titik 1, 2, 3 ).
Beras. 2.24. Rotasi benda tegar sempurna terhadap sumbu tetap
Modul vektor rotasi sama dengan nilai sudut rotasi, dan sudut diukur dalam radian.
Vektor rotasi sangat kecil di sepanjang sumbu rotasi diarahkan ke gerakan sekrup kanan (gimlet) yang diputar ke arah yang sama dengan tubuh.
Video 2.5. Perpindahan sudut akhir bukanlah vektor, karena tidak dijumlahkan menurut aturan jajaran genjang. Perpindahan sudut yang sangat kecil adalah vektor.
Vektor yang arahnya terkait dengan aturan gimlet disebut aksial(dari bahasa Inggris. sumbu- sumbu) sebagai lawan dari kutub. vektor yang kita gunakan sebelumnya. Vektor kutub adalah, misalnya, vektor jari-jari, vektor kecepatan, vektor percepatan, dan vektor gaya. Vektor aksial juga disebut vektor semu, karena mereka berbeda dari vektor (kutub) sebenarnya dalam perilakunya selama operasi refleksi di cermin (inversi atau, yang sama, transisi dari sistem koordinat kanan ke kiri). Dapat ditunjukkan (ini akan dilakukan nanti) bahwa penambahan vektor-vektor rotasi sangat kecil terjadi dengan cara yang sama seperti penambahan vektor-vektor sejati, yaitu, menurut aturan jajar genjang (segitiga). Oleh karena itu, jika operasi pemantulan di cermin tidak dipertimbangkan, maka perbedaan antara vektor semu dan vektor sejati tidak memanifestasikan dirinya dengan cara apa pun dan adalah mungkin dan perlu untuk memperlakukannya sebagai vektor biasa (benar).
Rasio vektor rotasi sangat kecil dengan waktu selama rotasi ini terjadi
ditelepon kecepatan sudut rotasi.
Satuan dasar untuk mengukur besar kecepatan sudut adalah rad/s. Dalam publikasi cetak, untuk alasan yang tidak ada hubungannya dengan fisika, mereka sering menulis 1/dtk atau dari -1 yang, secara tegas, adalah palsu. Sudut adalah besaran tak berdimensi, tetapi unit pengukurannya berbeda (derajat, rhumbs, grad ...) dan mereka harus ditunjukkan, setidaknya untuk menghindari kesalahpahaman.
Video 2.6. Efek stroboskopik dan penggunaannya untuk pengukuran jarak jauh dari kecepatan sudut rotasi.
Kecepatan sudut, seperti vektor yang sebanding, adalah vektor aksial. Saat berputar-putar diam kecepatan sudut sumbu tidak berubah arahnya. Dengan rotasi seragam, nilainya juga tetap konstan, sehingga vektor . Dalam hal keteguhan yang cukup dalam waktu nilai kecepatan sudut, rotasi dapat dengan mudah dicirikan oleh periodenya T :
Periode rotasi- ini adalah waktu di mana tubuh melakukan satu putaran (rotasi melalui sudut 2π) di sekitar sumbu rotasi.
Kata-kata "ketetapan yang cukup" jelas berarti bahwa selama periode (waktu satu putaran) modul kecepatan sudut berubah secara tidak signifikan.
Juga sering digunakan jumlah putaran per satuan waktu
Pada saat yang sama, dalam aplikasi teknis (pertama-tama, semua jenis mesin), biasanya menggunakan bukan satu detik, tetapi satu menit sebagai satuan waktu. Artinya, kecepatan sudut rotasi ditunjukkan dalam putaran per menit. Seperti yang dapat Anda lihat dengan mudah, hubungan antara (dalam radian per detik) dan (dalam putaran per menit) adalah sebagai berikut
Arah vektor kecepatan sudut ditunjukkan pada gambar. 2.25.
Dengan analogi dengan percepatan linier, percepatan sudut diperkenalkan sebagai laju perubahan vektor kecepatan sudut. Percepatan sudut juga merupakan vektor aksial (pseudovector).
Percepatan sudut - vektor aksial didefinisikan sebagai turunan waktu dari kecepatan sudut
Ketika berputar di sekitar sumbu tetap, lebih umum ketika berputar di sekitar sumbu yang tetap sejajar dengan dirinya sendiri, vektor kecepatan sudut juga diarahkan sejajar dengan sumbu rotasi. Dengan bertambahnya nilai kecepatan sudut || percepatan sudut bertepatan dengan itu dalam arah, sementara menurun - itu diarahkan ke arah yang berlawanan. Kami tekankan bahwa ini hanya kasus khusus dari invarian arah sumbu rotasi, dalam kasus umum (rotasi di sekitar titik) sumbu rotasi itu sendiri berputar dan kemudian di atas tidak benar.
Hubungan kecepatan dan percepatan sudut dan linier. Setiap titik dari benda yang berputar bergerak dengan kecepatan linier tertentu yang diarahkan secara tangensial ke lingkaran yang sesuai (lihat Gambar 19). Biarkan titik material berputar di sekitar sumbu 00" mengelilingi lingkaran dengan jari-jari R. Untuk waktu yang singkat, ia akan melewati jalur yang sesuai dengan sudut rotasi. Kemudian
Melewati batas , kami memperoleh ekspresi untuk modulus kecepatan linier dari titik benda yang berputar.
Ingat di sini R- jarak dari titik tubuh yang dipertimbangkan ke sumbu rotasi.
Beras. 2.26.
Karena percepatan normalnya adalah
kemudian, dengan mempertimbangkan hubungan untuk kecepatan sudut dan linier, kita peroleh
Percepatan normal titik-titik pada benda tegar yang berputar sering disebut sebagai percepatan sentripetal.
Membedakan terhadap waktu ekspresi untuk , kami menemukan
di mana adalah percepatan tangensial suatu titik yang bergerak sepanjang lingkaran dengan jari-jari R.
Jadi, percepatan tangensial dan normal tumbuh secara linier dengan bertambahnya radius R- jarak dari sumbu rotasi. Percepatan total juga bergantung secara linier pada R :
Contoh. Mari kita cari kecepatan linier dan percepatan sentripetal dari titik-titik yang terletak di permukaan bumi di khatulistiwa dan di garis lintang Moskow ( = 56°). Kita mengetahui periode rotasi bumi pada porosnya sendiri T \u003d 24 jam \u003d 24x60x60 \u003d 86.400 dtk. Dari sini adalah kecepatan sudut rotasi
Bumi berarti radius
Jarak sumbu rotasi pada garis lintang adalah
Dari sini kita menemukan kecepatan linier
dan percepatan sentripetal
Di ekuator = 0, cos = 1, oleh karena itu,
Di garis lintang Moskow cos = cos 56° = 0,559 dan kita mendapatkan:
Kita melihat bahwa pengaruh rotasi bumi tidak begitu besar: perbandingan percepatan sentripetal di ekuator terhadap percepatan jatuh bebas adalah
Namun, seperti yang akan kita lihat nanti, efek rotasi bumi cukup terlihat.
Hubungan antara vektor kecepatan linier dan sudut. Hubungan antara kecepatan sudut dan linier yang diperoleh di atas ditulis untuk modul vektor dan . Untuk menulis hubungan ini dalam bentuk vektor, kami menggunakan konsep produk vektor.
Biarlah 0z- sumbu rotasi benda yang benar-benar kaku (Gbr. 2.28).
Beras. 2.28. Hubungan antara vektor kecepatan linier dan sudut
Dot TETAPI berputar mengelilingi lingkaran dengan jari-jari R. R- jarak dari sumbu rotasi ke titik tubuh yang dipertimbangkan. Ayo ambil poin 0 untuk asal koordinat. Kemudian
dan sejak
kemudian dengan definisi produk vektor, untuk semua titik tubuh
Berikut adalah vektor jari-jari titik tubuh, mulai dari titik O, terletak di tempat tetap yang sewenang-wenang, tentu pada sumbu rotasi
Tapi di sisi lain
Suku pertama sama dengan nol, karena hasil kali vektor-vektor kolinear sama dengan nol. Karena itu,
dimana vektor R tegak lurus terhadap sumbu rotasi dan diarahkan menjauh darinya, dan modulusnya sama dengan jari-jari lingkaran di mana titik material bergerak dan vektor ini dimulai dari pusat lingkaran ini.
Beras. 2.29. Untuk definisi sumbu rotasi sesaat
Percepatan normal (sentripetal) juga dapat ditulis dalam bentuk vektor:
dan tanda "-" menunjukkan bahwa itu diarahkan ke sumbu rotasi. Membedakan hubungan untuk kecepatan linier dan sudut terhadap waktu, kami menemukan ekspresi untuk percepatan total
Suku pertama diarahkan secara tangensial ke lintasan suatu titik pada benda yang berputar dan modulusnya adalah , karena
Membandingkan dengan ekspresi untuk percepatan tangensial, kita menyimpulkan bahwa ini adalah vektor percepatan tangensial
Oleh karena itu, suku kedua adalah percepatan normal dari titik yang sama:
Memang, itu diarahkan sepanjang radius R terhadap sumbu rotasi dan modulusnya sama dengan
Oleh karena itu, hubungan untuk percepatan normal ini adalah bentuk lain dari penulisan rumus yang diperoleh sebelumnya.
informasi tambahan
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. Kursus umum fisika, volume 1, Mekanika Ed. Science 1979 - hlm. 242–243 (§46, hlm. 7): dibahas pertanyaan yang agak sulit dipahami tentang sifat vektor dari rotasi sudut benda tegar;
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. Kursus umum fisika, volume 1, Mekanika Ed. Sains 1979 - hlm. 233–242 (§45, 46 hlm. 1–6): sumbu rotasi sesaat benda tegar, penambahan rotasi;
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1990/02/kinematika_basketbolnogo_brosk.html - Majalah Kvant - kinematika lemparan bola basket (R. Vinokur);
http://kvant.mirror1.mccme.ru/ - Majalah Kvant, 2003, No. 6, - hlm. 5-11, bidang kecepatan sesaat dari benda tegar (S. Krotov);
Sudut Euler, sudut pesawat (kapal).
Secara tradisional, sudut Euler diperkenalkan sebagai berikut. Transisi dari posisi referensi ke posisi sebenarnya dilakukan dengan tiga putaran (Gbr. 4.3):
1. Putar di sudut presesi Pada saat yang sama, ia menuju ke posisi, (c) .
2. Putar di sudut angguk kepala. Di mana, . (4.10)
4. Putar di sudut rotasi sendiri (murni)
Untuk pemahaman yang lebih baik, Gambar 4.4 menunjukkan puncak dan sudut Euler yang menggambarkannya
Transisi dari posisi referensi ke posisi sebenarnya dapat dilakukan dengan tiga putaran (putar sendiri!) (Gbr. 4.5):
1. Putar di sudut mengoleng, di mana
2. Putar di sekitar sudut pitch, sementara (4.12)
3.Roll sudut sekitar
Ungkapan "bisa dilakukan" bukanlah suatu kebetulan; tidak sulit untuk memahami bahwa opsi lain dimungkinkan, misalnya, rotasi di sekitar sumbu tetap
1. Putar di sudut gulungan(dengan risiko patah sayap)
2. Putar di sudut melempar(mengangkat "hidung") (4.13)
3. Putar di sekitar sudut mengoleng
Namun identitas (4.12) dan (4.13) juga perlu dibuktikan.
Mari kita tuliskan rumus vektor yang jelas untuk vektor posisi dari sembarang titik (Gbr. 4.6) dalam bentuk matriks. Temukan koordinat vektor relatif terhadap basis referensi. Mari kita kembangkan vektor menurut basis aktual dan memperkenalkan vektor "ditransfer" yang koordinatnya di basis referensi sama dengan koordinat vektor di basis sebenarnya; dengan kata lain, - sebuah vektor "diputar" bersama dengan tubuh (Gbr.4.6).
| Beras. 4.6. |
Memperluas vektor sesuai dengan basis referensi, kami memperoleh
Kami memperkenalkan matriks rotasi dan kolom,
Rumus vektor dalam notasi matriks memiliki bentuk
1. Matriks rotasi adalah ortogonal, mis.
Bukti dari pernyataan ini adalah rumus (4.9)
Menghitung determinan produk (4.15), kita memperoleh dan karena dalam posisi referensi, maka (matriks ortogonal dengan determinan sama dengan (+1) disebut layak matriks ortogonal atau rotasi). Matriks rotasi, ketika dikalikan dengan vektor, tidak mengubah panjang vektor atau sudut di antara mereka, mis. benar-benar mereka ternyata
2. Matriks rotasi memiliki satu vektor eigen (tetap) yang mendefinisikan sumbu rotasi. Dengan kata lain, perlu untuk menunjukkan bahwa sistem persamaan di mana memiliki solusi yang unik. Kami menulis sistem dalam bentuk (. Determinan sistem homogen ini sama dengan nol, karena
maka sistem tersebut memiliki solusi bukan nol. Dengan asumsi bahwa ada dua solusi, kami segera sampai pada kesimpulan bahwa solusi yang tegak lurus juga merupakan solusi (sudut antara vektor tidak berubah), yang berarti bahwa yaitu. tidak ada giliran..
| Gbr.4.7 |
Matriks dalam basis ortonormal
memiliki tampilan.
2. Membedakan (4.15), kita memperoleh atau, yang menunjukkan - matriks kembali (eng. untuk berputar - berputar). Dengan demikian, matriks spin adalah simetris miring: . Mengalikan dari kanan dengan, kita memperoleh rumus Poisson untuk matriks rotasi:
Kami telah sampai pada saat yang paling sulit dalam kerangka deskripsi matriks - penentuan vektor kecepatan sudut.
Anda dapat, tentu saja, bertindak dengan cara standar (lihat, misalnya, metode dan tulis: “ kami memperkenalkan notasi untuk elemen matriks simetris miring S sesuai rumus
Jika kita membuat sebuah vektor , maka hasil perkalian matriks dengan vektor dapat direpresentasikan sebagai perkalian silang". Dalam kutipan di atas - vektor kecepatan sudut.
Membedakan (4.14), kami memperoleh representasi matriks dari rumus dasar untuk kinematika benda tegar :
Pendekatan matriks, yang nyaman untuk perhitungan, sangat sedikit cocok untuk menganalisis dan menurunkan hubungan; rumus apa pun yang ditulis dalam bahasa vektor dan tensor dapat dengan mudah ditulis dalam bentuk matriks, tetapi sulit untuk mendapatkan rumus yang ringkas dan ekspresif untuk menggambarkan fenomena fisik apa pun dalam bentuk matriks.
Selain itu, jangan lupa bahwa elemen matriks adalah koordinat (komponen) tensor di beberapa basis. Tensor itu sendiri tidak bergantung pada pilihan basis, tetapi komponennya bergantung. Untuk penulisan bebas kesalahan dalam bentuk matriks, semua vektor dan tensor yang termasuk dalam ekspresi harus ditulis dalam basis yang sama, dan ini tidak selalu mudah, karena tensor yang berbeda memiliki bentuk "sederhana" dalam basis yang berbeda, jadi Anda perlu menghitung ulang matriks menggunakan matriks transisi.
