Apa itu interpolasi linier. Rumus interpolasi antara dua nilai

Banyak dari kita telah menemukan istilah yang tidak dapat dipahami dalam berbagai ilmu. Tetapi ada sangat sedikit orang yang tidak takut dengan kata-kata yang tidak dapat dipahami, tetapi sebaliknya, mereka menghibur dan memaksa mereka untuk masuk lebih dalam ke subjek yang dipelajari. Hari ini kita akan berbicara tentang hal seperti interpolasi. Ini adalah metode plotting grafik dari titik-titik yang diketahui, yang memungkinkan memprediksi perilakunya pada bagian tertentu dari kurva dengan jumlah minimum informasi tentang fungsi.

Sebelum beralih ke esensi definisi itu sendiri dan menceritakannya secara lebih rinci, mari kita telusuri sedikit sejarahnya.

Cerita

Interpolasi telah dikenal sejak zaman dahulu. Namun, fenomena ini berutang perkembangannya ke beberapa matematikawan paling terkemuka di masa lalu: Newton, Leibniz dan Gregory. Merekalah yang mengembangkan konsep ini menggunakan metode matematika yang lebih maju yang tersedia pada saat itu. Sebelum itu, interpolasi, tentu saja, digunakan dan digunakan dalam perhitungan, tetapi mereka melakukannya dengan cara yang sama sekali tidak akurat, membutuhkan sejumlah besar data untuk membangun model yang kurang lebih mendekati kenyataan.

Hari ini, kita bahkan dapat memilih metode interpolasi mana yang lebih cocok. Semuanya diterjemahkan ke dalam bahasa komputer yang dapat memprediksi dengan sangat akurat perilaku suatu fungsi di area tertentu, dibatasi oleh titik-titik yang diketahui.

Interpolasi adalah konsep yang agak sempit, sehingga sejarahnya tidak begitu kaya akan fakta. Pada bagian selanjutnya, kita akan memahami apa sebenarnya interpolasi dan bagaimana perbedaannya dengan lawannya - ekstrapolasi.

Apa itu interpolasi?

Seperti yang telah kami katakan, ini adalah nama umum untuk metode yang memungkinkan Anda untuk memplot grafik dengan poin. Di sekolah, ini terutama dilakukan dengan menyusun tabel, mengidentifikasi titik-titik pada grafik dan secara kasar membuat garis yang menghubungkannya. Tindakan terakhir dilakukan atas dasar pertimbangan kesamaan fungsi yang diteliti dengan yang lain, yang bentuk grafiknya kita ketahui.

Namun, ada cara lain yang lebih kompleks dan tepat untuk menyelesaikan tugas merencanakan plot poin demi poin. Jadi, interpolasi sebenarnya adalah "prediksi" perilaku suatu fungsi di area tertentu, dibatasi oleh titik-titik yang diketahui.

Ada konsep serupa yang terkait dengan area yang sama - ekstrapolasi. Ini juga merupakan prediksi grafik fungsi, tetapi di luar titik grafik yang diketahui. Dengan metode ini, prediksi dibuat berdasarkan perilaku fungsi pada interval yang diketahui, dan kemudian fungsi ini diterapkan pada interval yang tidak diketahui juga. Metode ini sangat nyaman untuk aplikasi praktis dan digunakan secara aktif, misalnya, dalam perekonomian untuk memprediksi naik turunnya pasar dan untuk memprediksi situasi demografis di negara tersebut.

Tapi kami telah menyimpang dari topik utama. Pada bagian selanjutnya, kita akan memahami apa itu interpolasi dan rumus apa yang dapat digunakan untuk melakukan operasi ini.

Jenis interpolasi:

Jenis yang paling sederhana adalah interpolasi tetangga terdekat. Dengan metode ini, kami mendapatkan plot yang sangat mendekati yang terdiri dari persegi panjang. Jika Anda telah melihat setidaknya sekali penjelasan tentang arti geometris integral pada grafik, maka Anda akan memahami bentuk grafik apa yang sedang kita bicarakan.

Selain itu, ada metode interpolasi lainnya. Yang paling terkenal dan populer dikaitkan dengan polinomial. Mereka lebih akurat dan memungkinkan memprediksi perilaku fungsi dengan serangkaian nilai yang agak sedikit. Metode interpolasi pertama yang akan kita lihat adalah interpolasi polinomial linier. Ini adalah metode termudah dari kategori ini, dan pasti Anda masing-masing menggunakannya di sekolah. Esensinya terletak pada konstruksi garis lurus antara titik-titik yang diketahui. Seperti yang Anda ketahui, satu garis lurus melewati dua titik bidang, yang persamaannya dapat ditemukan berdasarkan koordinat titik-titik ini. Setelah membangun garis lurus ini, kami mendapatkan grafik yang rusak, yang, setidaknya, tetapi mencerminkan nilai perkiraan fungsi dan secara umum bertepatan dengan kenyataan. Ini adalah cara kerja interpolasi linier.

Jenis interpolasi yang rumit

Ada cara interpolasi yang lebih menarik, tetapi pada saat yang sama lebih kompleks. Ini ditemukan oleh matematikawan Prancis Joseph Louis Lagrange. Itulah sebabnya perhitungan interpolasi dengan metode ini dinamai menurut namanya: interpolasi dengan metode Lagrange. Triknya di sini adalah ini: jika metode yang dijelaskan dalam paragraf sebelumnya hanya menggunakan fungsi linier untuk perhitungan, maka ekspansi Lagrange juga melibatkan penggunaan polinomial dengan derajat yang lebih tinggi. Tetapi tidak mudah untuk menemukan rumus interpolasi itu sendiri untuk fungsi yang berbeda. Dan semakin banyak titik yang diketahui, semakin akurat rumus interpolasinya. Tetapi ada banyak metode lain juga.

Ada juga metode perhitungan yang lebih sempurna dan mendekati kenyataan. Rumus interpolasi yang digunakan di dalamnya adalah kumpulan polinomial, penerapannya masing-masing tergantung pada bagian fungsi. Metode ini disebut fungsi spline. Selain itu, ada juga cara untuk melakukan hal seperti interpolasi fungsi dua variabel. Hanya ada dua metode di sini. Diantaranya adalah interpolasi bilinear atau ganda. Metode ini memungkinkan Anda dengan mudah membuat grafik berdasarkan titik dalam ruang tiga dimensi. Metode lain tidak akan terpengaruh. Secara umum, interpolasi adalah nama universal untuk semua metode plot grafik ini, tetapi berbagai cara di mana tindakan ini dapat dilakukan memaksa kita untuk membaginya ke dalam kelompok tergantung pada jenis fungsi yang tunduk pada tindakan ini. Artinya, interpolasi, contoh yang kami pertimbangkan di atas, mengacu pada metode langsung. Ada juga interpolasi terbalik, yang berbeda karena memungkinkan Anda menghitung bukan langsung, tetapi fungsi terbalik (yaitu, x dari y). Kami tidak akan mempertimbangkan opsi terakhir, karena cukup sulit dan membutuhkan dasar pengetahuan matematika yang baik.

Mari kita beralih ke mungkin salah satu bagian yang paling penting. Dari situ kita belajar bagaimana dan di mana seperangkat metode yang kita diskusikan diterapkan dalam kehidupan.

Aplikasi

Matematika, seperti yang Anda tahu, adalah ratunya ilmu pengetahuan. Oleh karena itu, bahkan jika pada awalnya Anda tidak melihat gunanya dalam operasi tertentu, ini tidak berarti bahwa mereka tidak berguna. Misalnya, tampaknya interpolasi adalah hal yang tidak berguna, yang dengannya hanya grafik yang dapat dibuat, yang sekarang hanya dibutuhkan sedikit orang. Namun, dalam perhitungan apa pun di bidang teknik, fisika, dan banyak ilmu lainnya (misalnya, biologi), sangat penting untuk menyajikan gambaran yang cukup lengkap tentang fenomena tersebut, sambil memiliki serangkaian nilai tertentu. Nilai-nilai itu sendiri, tersebar di grafik, tidak selalu memberikan gambaran yang jelas tentang perilaku fungsi di area tertentu, nilai turunannya, dan titik potong dengan sumbu. Dan ini sangat penting untuk banyak bidang kehidupan kita.

Dan bagaimana itu akan berguna dalam hidup?

Mungkin sangat sulit untuk menjawab pertanyaan seperti itu. Tapi jawabannya sederhana: tidak mungkin. Pengetahuan ini tidak berguna bagi Anda. Tetapi jika Anda memahami materi ini dan metode yang digunakan untuk melakukan tindakan ini, Anda akan melatih logika Anda, yang akan sangat berguna dalam kehidupan. Yang utama bukanlah pengetahuan itu sendiri, tetapi keterampilan yang diperoleh seseorang dalam proses belajar. Lagi pula, bukan tanpa alasan ada pepatah: "Hidup selama satu abad - belajarlah selama satu abad."

Konsep terkait

Anda dapat memahami sendiri betapa pentingnya bidang matematika ini (dan masih) dengan melihat berbagai konsep lain yang terkait dengan ini. Kami telah berbicara tentang ekstrapolasi, tetapi ada juga pendekatan. Mungkin Anda pernah mendengar kata ini sebelumnya. Bagaimanapun, kami juga menganalisis apa artinya dalam artikel ini. Pendekatan, seperti interpolasi, adalah konsep yang terkait dengan plot grafik fungsi. Tetapi perbedaan antara yang pertama dan yang kedua adalah bahwa ini adalah konstruksi perkiraan grafik berdasarkan grafik yang diketahui serupa. Kedua konsep ini sangat mirip satu sama lain, dan semakin menarik untuk mempelajarinya masing-masing.

Kesimpulan

Matematika bukanlah ilmu yang sulit seperti yang terlihat pada pandangan pertama. Dia agak menarik. Dan pada artikel ini kami mencoba membuktikannya kepada Anda. Kami melihat konsep yang terkait dengan pembuatan grafik, mempelajari apa itu interpolasi ganda, dan menganalisis dengan contoh di mana ia digunakan.

Istilah ini memiliki arti lain, lihat Interpolasi. Tentang fungsinya, lihat: Interpolant.

Interpolasi, interpolasi (dari lat. antarpolis - « dihaluskan, diperbarui, diperbarui; dikonversi"") - dalam matematika komputasi, metode untuk menemukan nilai antara suatu kuantitas dari kumpulan nilai yang diketahui dan diskrit yang ada. Istilah "interpolasi" pertama kali digunakan oleh John Vallis dalam risalahnya The Arithmetic of the Infinite (1656).

Dalam analisis fungsional, interpolasi operator linier adalah bagian yang menganggap ruang Banach sebagai elemen dari kategori tertentu.

Banyak dari mereka yang berurusan dengan perhitungan ilmiah dan teknik sering kali harus bekerja dengan kumpulan nilai yang diperoleh secara empiris atau dengan pengambilan sampel acak. Sebagai aturan, berdasarkan himpunan ini, diperlukan untuk membangun fungsi di mana nilai-nilai lain yang diperoleh dapat jatuh dengan akurasi tinggi. Tugas seperti itu disebut aproksimasi. Interpolasi adalah jenis pendekatan di mana kurva fungsi yang dibangun melewati tepat melalui titik data yang tersedia.

Ada juga masalah yang dekat dengan interpolasi, yang terdiri dari aproksimasi beberapa fungsi kompleks dengan fungsi lain yang lebih sederhana. Jika fungsi tertentu terlalu rumit untuk perhitungan produktif, Anda dapat mencoba menghitung nilainya di beberapa titik, dan membangun, yaitu, menginterpolasi, fungsi yang lebih sederhana darinya. Tentu saja, menggunakan fungsi yang disederhanakan tidak memungkinkan Anda mendapatkan hasil yang sama persis dengan fungsi aslinya. Tetapi dalam beberapa kelas masalah, keuntungan dalam kesederhanaan dan kecepatan komputasi dapat melebihi kesalahan yang dihasilkan dalam hasil.

Kami juga harus menyebutkan jenis interpolasi matematika yang sama sekali berbeda, yang dikenal sebagai "interpolasi operator". Karya klasik tentang interpolasi operator termasuk teorema Riesz-Thorin dan teorema Marcinkiewicz, yang merupakan dasar dari banyak karya lainnya.

definisi

Pertimbangkan sistem titik tidak bertepatan x i (\displaystyle x_(i)) (i 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) dari beberapa domain D ( \gaya tampilan D) . Biarkan nilai fungsi f (\displaystyle f) diketahui hanya pada titik-titik ini:

Y i = f (x i) , i = 1 , … , N . (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots ,N.)

Masalah interpolasi adalah mencari fungsi F (\displaystyle F) dari kelas fungsi tertentu sedemikian rupa sehingga

F (x i) = y i , i = 1 , … , N . (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots ,N.)

Titik x i (\displaystyle x_(i)) disebut simpul interpolasi, dan totalitasnya adalah jaringan interpolasi.
Pasangan (x i , y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) disebut titik data atau titik dasar.
Selisih antara nilai "berdekatan" x i = x i x i 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - langkah kisi interpolasi. Itu bisa variabel dan konstan.
Fungsi F (x) (\displaystyle F(x)) - fungsi interpolasi atau interpolan.

Contoh

1. Katakanlah kita memiliki fungsi tabel seperti di bawah ini, untuk kelipatan nilai x (\displaystyle x), tentukan nilai yang sesuai dari f (\displaystyle f):

X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))


0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Interpolasi membantu kita mengetahui nilai apa yang dapat dimiliki fungsi tersebut pada titik selain titik yang ditentukan (misalnya, ketika x = 2,5).

Sampai saat ini, ada banyak metode interpolasi yang berbeda. Pilihan algoritma yang paling cocok tergantung pada jawaban atas pertanyaan: seberapa akurat metode yang dipilih, berapa biaya penggunaannya, seberapa halus fungsi interpolasi, berapa banyak titik data yang diperlukan, dll.

2. Temukan nilai antara (dengan interpolasi linier).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

15,5 + (6378 6000) 8000 6000 (19,2 15,5) 1 = 16,1993 (\displaystyle ?=15,5+(\frac ((6378-6000))(8000-6000))*(\frac ((19,2- 15.5))(1))=16.1993)

Dalam bahasa pemrograman

Contoh interpolasi linier untuk fungsi y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) . Pengguna dapat memasukkan angka antara 1 dan 10.

Fortran

program interpol integer i real x, y, xv, yv, yv2 dimensi x(10) dimensi y(10) panggil prisv(x, i) panggil fungsi(x, y, i) tulis(*,*) "masukkan angka: " baca(*,*) xv jika ((xv >= 1).dan.(xv xv)) maka yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) end jika end do end subrutin

C++

int main() ( system("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, status; system("echo Interpolate X1 - X2 "); system("echo Enter angka: "); cin >> ob; system("echo Misalnya 62, C1 = 60, L1 = 1,31, C2 = 80, L2 = 1,29"); cout > x1; cout > x2; cout > y1; cout > y2 ; p1 = y1 - x1; p2 = y2 - x2; pi = p2 / p1; skolko = ob - x1; status = x2 + (pi * skolko); cout

Metode interpolasi

Interpolasi tetangga terdekat

Metode interpolasi yang paling sederhana adalah interpolasi tetangga terdekat.

Interpolasi dengan polinomial

Dalam praktiknya, interpolasi dengan polinomial paling sering digunakan. Hal ini terutama disebabkan oleh fakta bahwa polinomial mudah dihitung, mudah untuk menemukan turunannya secara analitis, dan himpunan polinomial padat dalam ruang fungsi kontinu (teorema Weierstrass).

Interpolasi linier
rumus interpolasi Newton
Metode beda hingga
IMN-1 dan IMN-2
Polinomial Lagrange (polinomial interpolasi)
Skema Aitken
fungsi spline
spline kubik

Interpolasi terbalik (menghitung x diberikan y)

Polinomial Lagrange
Interpolasi terbalik dengan rumus Newton
Interpolasi Gauss Terbalik

Interpolasi Fungsi Multi-Variabel

Interpolasi Bilinear
Interpolasi bikubik

Metode interpolasi lainnya

Interpolasi Rasional
Interpolasi trigonometri

Konsep terkait

Ekstrapolasi - metode untuk menemukan titik di luar interval tertentu (perpanjangan kurva)
Perkiraan - metode untuk membangun kurva perkiraan

Interpolasi terbalik

pada kelas fungsi dari ruang C2 yang grafiknya melalui titik-titik larik (xi, yi), i = 0, 1, . . . , m.

Keputusan. Di antara semua fungsi yang melalui titik acuan (xi, f(xi)) dan termasuk dalam ruang tersebut, adalah spline kubik S(x) yang memenuhi syarat batas S00(a) = S00(b) = 0 yang memberikan I(f) fungsional ekstrem (minimum).

Seringkali dalam praktiknya ada masalah pencarian nilai yang diberikan dari fungsi nilai argumen. Masalah ini diselesaikan dengan metode interpolasi terbalik. Jika fungsi yang diberikan monoton, maka cara termudah untuk melakukan interpolasi mundur adalah dengan mengganti fungsi dengan argumen dan sebaliknya lalu interpolasi. Jika fungsi yang diberikan tidak monoton, maka teknik ini tidak dapat digunakan. Kemudian, tanpa mengubah peran fungsi dan argumen, kita tuliskan rumus interpolasi ini atau itu; menggunakan nilai argumen yang diketahui dan, dengan asumsi fungsi diketahui, kami menyelesaikan persamaan yang dihasilkan sehubungan dengan argumen.

Pendugaan suku sisa bila menggunakan cara pertama akan sama dengan interpolasi langsung, hanya turunan fungsi langsung yang harus diganti dengan turunan fungsi invers. Mari kita perkirakan kesalahan metode kedua. Jika diberikan fungsi f(x) dan Ln (x) adalah polinomial interpolasi Lagrange yang dibangun untuk fungsi ini pada simpul x0, x1, x2, . . . , xn, maka

f (x) Ln (x) =(n + 1)! (x x0) . . . (x xn).

Misalkan kita perlu mencari nilai x¯ sedemikian rupa sehingga f (¯x) = y¯ (y¯ diberikan). Kami akan menyelesaikan persamaan Ln (x) = y¯ . Mari kita dapatkan beberapa nilai x¯. Substitusi ke persamaan sebelumnya, kita peroleh:

Mn+1


f (x¯) Ln (x¯) = f (x¯) y¯ = f (x¯) f (¯x) =
f (x¯) Ln (x¯) = f (x¯) y¯ = f (x¯) f (¯x) =
Menerapkan rumus Langrange, kita mendapatkan
(x¯ x¯) f0 (η) =


di mana berada di antara x¯ dan x. Jika adalah interval yang berisi x¯ dan x¯ dan min

dari ekspresi terakhir berikut:

|x¯ x¯| 6m1(n + 1)! |$n (x¯)| .

Dalam hal ini, tentu saja, diasumsikan bahwa kita telah menyelesaikan persamaan Ln (x) = y¯ dengan tepat.

Menggunakan interpolasi untuk tabulasi

Teori interpolasi memiliki aplikasi dalam penyusunan tabel fungsi. Setelah menerima masalah seperti itu, ahli matematika harus menyelesaikan sejumlah pertanyaan sebelum memulai perhitungan. Rumus dimana perhitungan akan dilakukan harus dipilih. Rumus ini dapat bervariasi dari situs ke situs. Biasanya, rumus untuk menghitung nilai fungsi rumit dan oleh karena itu digunakan untuk mendapatkan beberapa nilai referensi dan kemudian, dengan subtabulasi, mereka mengentalkan tabel. Rumus yang memberikan nilai referensi fungsi harus memberikan akurasi tabel yang diperlukan, dengan mempertimbangkan subtabulasi berikut. Jika Anda ingin mengkompilasi tabel dengan langkah konstan, maka Anda harus terlebih dahulu menentukan langkahnya.

Kembali Pertama Sebelumnya Berikutnya Terakhir Lewati Indeks

Paling sering, tabel fungsi dikompilasi sehingga interpolasi linier (yaitu, interpolasi menggunakan dua suku pertama dari rumus Taylor) dimungkinkan. Dalam hal ini, suku sisanya akan terlihat seperti

R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t 1).

Di sini termasuk dalam interval antara dua nilai tabel yang berdekatan dari argumen di mana x terletak, dan t adalah antara 0 dan 1. Produk t(t 1) mengambil modulo terbesar

nilai pada t = 12. Nilai ini sama dengan 14. Jadi,

Harus diingat bahwa di sebelah kesalahan ini - kesalahan metode, dalam perhitungan praktis nilai antara, kesalahan yang tidak dapat dipulihkan dan kesalahan pembulatan masih akan terjadi. Seperti yang kita lihat sebelumnya, kesalahan fatal dalam interpolasi linier akan sama dengan kesalahan nilai tabulasi fungsi. Kesalahan pembulatan akan tergantung pada sarana komputasi dan pada program perhitungan.

Kembali Pertama Sebelumnya Berikutnya Terakhir Lewati Indeks

indeks subjek

membagi perbedaan orde kedua, 8 orde pertama, 8

spline, 15

simpul interpolasi, 4

Kembali Pertama Sebelumnya Berikutnya Terakhir Lewati Indeks

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Bagaimana melakukan interpolasi

Rumus untuk menginterpolasi data tabular

Digunakan pada langkah ke-2, ketika besarnya NXR (Q,t) dari kondisi adalah perantara antara 100t dan 300t.

(Pengecualian: jika Q sama dengan 100 atau 300 dengan syarat, maka interpolasi tidak diperlukan).

kamu Hai- Jumlah NHR awal Anda dari kondisi, dalam ton

(sesuai dengan huruf Q)

kamu 1 – lebih rendah

(dari Tabel 11-16, biasanya 100).

kamu 2 – lagi terdekat dengan nilai Anda dari jumlah NCR, dalam ton

(dari Tabel 11-16, biasanya 300).

x 1 kamu 1 (x 1 terletak di seberang kamu 1 ), km.

x 2 - nilai tabular kedalaman propagasi awan udara yang terkontaminasi (G t), masing-masing kamu 2 (x 2 terletak di seberang kamu 2 ), km.

x 0 - nilai yang diinginkan G t sesuai kamu Hai(sesuai dengan rumus).

Contoh.

NCR - klorin; Q = 120t;

Jenis SVSP (tingkat hambatan udara vertikal) - inversi.

Mencari G t- nilai tabular dari kedalaman penyebaran awan udara yang terkontaminasi.

Kami melihat melalui tabel 11-16 dan menemukan data yang cocok dengan kondisi Anda (klorin, inversi).

Meja yang cocok 11.

Memilih nilai kamu 1 , kamu 2, x 1 , x 2 . Penting - kami mengambil kecepatan angin 1 m / s., kami mengambil suhu - 20 ° C.

Ganti nilai yang dipilih dalam rumus dan temukan x 0 .

Penting - perhitungan benar jika x 0 akan memiliki nilai di suatu tempat antara x 1 , x 2 .

1.4. Rumus interpolasi Lagrange

Algoritma yang diusulkan oleh Lagrange untuk membangun interpolasi

fungsi menurut tabel (1) menyediakan konstruksi polinomial interpolasi Ln(x) dalam bentuk

Jelas, pemenuhan kondisi (11) untuk (10) menentukan pemenuhan kondisi (2) dari pernyataan masalah interpolasi.

Polinomial li(x) ditulis sebagai berikut:

Perhatikan bahwa tidak ada satu faktor pun dalam penyebut rumus (14) yang sama dengan nol. Setelah menghitung nilai konstanta ci, Anda dapat menggunakannya untuk menghitung nilai fungsi interpolasi pada titik tertentu.

Rumus polinomial interpolasi Lagrange (11), dengan memperhitungkan rumus (13) dan (14), dapat ditulis sebagai:

qi (x x0)(x x1) K (x xi −1)(x xi +1) K (x xn)

1.4.1.Organisasi perhitungan manual menurut rumus Lagrange

Penerapan langsung rumus Lagrange menghasilkan sejumlah besar perhitungan dengan jenis yang sama. Untuk tabel dimensi kecil, perhitungan ini dapat dilakukan baik secara manual maupun di lingkungan perangkat lunak.

Pada tahap pertama, kami mempertimbangkan algoritma perhitungan yang dilakukan secara manual. Di masa depan, perhitungan yang sama harus diulang di lingkungan

Microsoft Excel atau OpenOffice.org Calc.

pada gambar. 6 menunjukkan contoh tabel sumber dari fungsi interpolasi yang didefinisikan oleh empat node.

Gbr.6. Tabel yang berisi data awal untuk empat node dari fungsi yang diinterpolasi

Di kolom ketiga tabel, kami menulis nilai koefisien qi yang dihitung dengan rumus (14). Di bawah ini adalah catatan rumus-rumus ini untuk n=3.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

Langkah selanjutnya dalam penerapan perhitungan manual adalah perhitungan nilai li(x) (j=0,1,2,3), dilakukan dengan rumus (13).

Mari kita tulis rumus ini untuk versi tabel yang kita pertimbangkan dengan empat node:

l0(x)=q0(x-x1) (x-x2) (x-x3),

l1(x)=q1(x-x0) (x-x2) (x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)(x-x1)(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)(x-x1)(x-x2) .

Mari kita hitung nilai polinomial li(xj) (j=0,1,2,3) dan tuliskan dalam sel tabel. Nilai fungsi Ycalc(x), menurut rumus (11), akan diperoleh sebagai hasil penjumlahan nilai li(xj) dalam baris.

Format tabel, yang mencakup kolom nilai terhitung li(xj) dan kolom nilai Ycalc(x), ditunjukkan pada Gbr.8.

Beras. 8. Tabel dengan hasil perhitungan manual yang dilakukan dengan rumus (16), (17) dan (11) untuk semua nilai argumen xi

Setelah menyelesaikan pembentukan tabel yang ditunjukkan pada Gambar. 8, dengan rumus (17) dan (11) dimungkinkan untuk menghitung nilai fungsi interpolasi untuk setiap nilai argumen X. Misalnya, untuk X=1 kita menghitung nilai li(1) (i= 0,1,2,3):

l0(1)=0,7763; l1(1)= 3,5889; l2(1)=-1.5155;l3(1)=0,2966.

Menjumlahkan nilai li(1) kita mendapatkan nilai Yinterp(1)=3.1463.

1.4.2. Implementasi algoritma interpolasi dengan rumus Lagrange di lingkungan program Microsoft Excel

Implementasi algoritma interpolasi dimulai, seperti dalam perhitungan manual, dengan menulis rumus untuk menghitung koefisien qi. 9 menunjukkan kolom tabel dengan nilai argumen yang diberikan, fungsi interpolasi, dan koefisien qi. Di sebelah kanan tabel ini adalah rumus yang ditulis dalam sel kolom C untuk menghitung nilai koefisien qi.

2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" q0

c3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" q1

c4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" q2

vС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))" q3

Beras. 9 Tabel koefisien qi dan rumus perhitungan

Setelah memasukkan rumus q0 di sel C2, rumus itu ditarik melalui sel dari C3 ke C5. Setelah itu, rumus dalam sel-sel ini dikoreksi sesuai dengan (16) ke bentuk yang ditunjukkan pada Gambar. sembilan.

Ykal(xi),

Menerapkan rumus (17), kami menulis rumus untuk menghitung nilai li(x) (i=0,1,2,3) di sel kolom D, E, F dan G. Di sel D2 untuk menghitung nilai l0(x0), kami menulis rumus:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

kita memperoleh nilai l0 (xi) (i=0,1,2,3).

Format tautan $A2 memungkinkan Anda untuk meregangkan rumus di sepanjang kolom E, F, G untuk membentuk rumus komputasi untuk menghitung li(x0) (i=1,2,3). Menyeret rumus di atas baris tidak mengubah indeks kolom argumen. Untuk menghitung li(x0) (i=1,2,3) setelah menggambar rumus l0(x0) perlu dikoreksi menurut rumus (17).

Di kolom H kami menempatkan rumus Excel untuk menjumlahkan li(x) sesuai dengan rumus

(11) algoritma.

pada gambar. 10 menunjukkan tabel yang diimplementasikan dalam lingkungan program Microsoft Excel. Tanda kebenaran rumus yang ditulis dalam sel tabel dan operasi komputasi yang dilakukan adalah matriks diagonal yang dihasilkan li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3), mengulangi hasil yang ditunjukkan pada Gambar. 8, dan kolom nilai yang cocok dengan nilai fungsi interpolasi di node tabel asli.

Beras. 10. Tabel nilai li(xj) (j=0,1,2,3) dan Ycalc(xj)

Untuk menghitung nilai di beberapa titik perantara, itu sudah cukup

Di sel kolom A, mulai dari sel A6, masukkan nilai argumen X yang ingin Anda tentukan nilai fungsi interpolasinya. Menyorot

di baris terakhir (5) tabel sel dari l0(xn) ke Ycalc(xn) dan regangkan rumus yang ditulis dalam sel yang dipilih ke baris yang berisi yang terakhir

nilai yang diberikan dari argumen x.

pada gambar. 11 menunjukkan tabel di mana perhitungan nilai fungsi pada tiga titik: x=1, x=2 dan x=3. Kolom tambahan dengan nomor baris dari tabel data sumber telah dimasukkan ke dalam tabel.

Beras. 11. Perhitungan nilai fungsi interpolasi menggunakan rumus Lagrange

Untuk lebih jelas menampilkan hasil interpolasi, kami akan membuat tabel yang mencakup kolom nilai argumen X yang diurutkan dalam urutan menaik, kolom nilai awal fungsi Y(X) dan kolom

Jelaskan cara menggunakan rumus interpolasi dan yang mana dalam menyelesaikan masalah termodinamika (rekayasa panas)

Ivan Shestakovich

Interpolasi yang paling sederhana, tetapi seringkali tidak cukup akurat adalah linier. Ketika Anda sudah memiliki dua titik yang diketahui (X1 Y1) dan (X2 Y2) dan Anda perlu menemukan nilai Y hari dari beberapa X yang berada di antara X1 dan X2. Maka rumusnya sederhana.
Y \u003d (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
Omong-omong, rumus ini juga berfungsi untuk nilai X di luar interval X1..X2, tetapi ini sudah disebut ekstropolasi dan, pada jarak yang signifikan dari interval ini, memberikan kesalahan yang sangat besar.
Ada banyak tikar lainnya. metode interpolasi - Saya menyarankan Anda untuk membaca buku teks atau mencari-cari di internet.
Metode interpolasi grafis juga tidak dikesampingkan - menggambar grafik secara manual melalui titik-titik yang diketahui dan menemukan Y dari grafik untuk X yang diperlukan. ;)

Novel

Anda memiliki dua arti. Dan kira-kira ketergantungan (linier, kuadrat, ..)
Grafik fungsi ini melewati dua titik Anda. Anda membutuhkan nilai di antara keduanya. Nah, ekspresikan!
Sebagai contoh. Dalam tabel, pada suhu 22 derajat, tekanan uap jenuh adalah 120.000 Pa, dan pada 26, 124.000 Pa. Kemudian pada suhu 23 derajat 121000 Pa.

Interpolasi (koordinat)

Ada grid koordinat pada peta (gambar).
Ini memiliki beberapa titik kontrol terkenal (n>3) yang memiliki dua nilai x,y - koordinat dalam piksel, dan koordinat dalam meter.
Penting untuk menemukan nilai tengah koordinat dalam meter, mengetahui koordinat dalam piksel.
Interpolasi linier tidak cocok - terlalu banyak kesalahan di luar garis.
Seperti ini: (Xc - koordinat dalam meter dengan x, Xp - koordinat dalam piksel dengan x, Xc3 - nilai yang diinginkan dengan x)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

Bagaimana menemukan rumus yang sama untuk menemukan Xc dan Yc, yang diberikan bukan dua (seperti di sini), tetapi N titik referensi yang diketahui?

Joka pakis rendah

Dilihat dari rumus tertulis, apakah sumbu sistem koordinat dalam piksel dan meter bertepatan?
Artinya, Xp -> Xc diinterpolasi secara independen dan Yp -> Yc diinterpolasi secara independen. Jika tidak, maka Anda perlu menggunakan interpolasi dua dimensi Xp,Yp->Xc dan Xp,Yp->Yc, yang agak memperumit tugas.
Selanjutnya, diasumsikan bahwa koordinat Xp dan Xc terkait oleh beberapa ketergantungan.
Jika sifat ketergantungan diketahui (atau diasumsikan, misalnya, kita mengasumsikan bahwa Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), maka dimungkinkan untuk memperoleh parameter ketergantungan ini (untuk ketergantungan a, b, c) menggunakan analisis regresi (Metode kuadrat terkecil). Dalam metode ini, jika Anda menentukan ketergantungan tertentu Xc(Xp), Anda bisa mendapatkan rumus untuk parameter ketergantungan pada data referensi. Metode ini memungkinkan, khususnya, untuk menemukan hubungan linier yang paling sesuai dengan kumpulan data yang diberikan.
Kerugian: Dalam metode ini, koordinat Xc yang diperoleh dari data titik kontrol Xp mungkin berbeda dari yang diberikan. Sebagai contoh, pendekatan garis lurus yang ditarik melalui titik-titik eksperimen tidak melewati titik-titik ini sendiri.
Jika kecocokan tepat diperlukan dan sifat ketergantungan tidak diketahui, metode interpolasi harus digunakan. Yang paling sederhana secara matematis adalah polinomial interpolasi Lagrange, melewati tepat melalui titik referensi. Namun, karena tingginya derajat polinomial ini dengan sejumlah besar titik kontrol dan kualitas interpolasi yang buruk, lebih baik tidak menggunakannya. Keuntungannya adalah formula yang relatif sederhana.
Lebih baik menggunakan interpolasi spline. Inti dari metode ini adalah bahwa di setiap bagian antara dua titik tetangga, ketergantungan yang dipelajari diinterpolasi oleh polinomial, dan kondisi kehalusan ditulis pada titik-titik yang menghubungkan dua interval. Keuntungan dari metode ini adalah kualitas interpolasi. Kekurangan - hampir tidak mungkin untuk mendapatkan rumus umum, Anda harus menemukan koefisien polinomial di setiap bagian secara algoritmik. Kelemahan lainnya adalah sulitnya melakukan generalisasi ke interpolasi 2D.

Interpolasi adalah jenis pendekatan di mana kurva fungsi yang dibangun melewati tepat melalui titik data yang tersedia.

definisi

Pertimbangkan sistem poin yang tidak bertepatan () dari beberapa area. Biarkan nilai fungsi hanya diketahui pada titik-titik ini:

Masalah interpolasi adalah menemukan fungsi seperti itu dari kelas fungsi tertentu yang

Contoh

1. Misalkan kita memiliki fungsi tabel, seperti yang dijelaskan di bawah ini, yang, untuk beberapa nilai, menentukan nilai yang sesuai:


0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Interpolasi membantu kita mengetahui nilai apa yang dapat dimiliki fungsi tersebut pada titik selain yang ditentukan (misalnya, ketika x = 2,5).

2. Temukan nilai antara (dengan interpolasi linier).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2