Sistem terurut dari dua atau tiga sumbu yang berpotongan tegak lurus satu sama lain dengan asal (asal) yang sama dan satuan panjang yang sama disebut sistem koordinat kartesius persegi panjang .
Sistem koordinat kartesius umum (sistem koordinat affine) juga dapat mencakup sumbu yang tidak harus tegak lurus. Untuk menghormati matematikawan Prancis Rene Descartes (1596-1662), sistem koordinat semacam itu dinamai di mana unit umum panjang dihitung pada semua sumbu dan sumbu lurus.
Sistem koordinat Cartesian persegi panjang di pesawat memiliki dua sumbu sistem koordinat kartesius persegi panjang di ruang angkasa - tiga sumbu. Setiap titik di pesawat atau di ruang angkasa ditentukan oleh seperangkat koordinat - angka yang berurutan sesuai dengan panjang satuan sistem koordinat.
Perhatikan bahwa, sebagai berikut dari definisi, ada sistem koordinat Cartesian pada garis lurus, yaitu dalam satu dimensi. Pengenalan koordinat Cartesian pada garis lurus adalah salah satu cara di mana setiap titik pada garis lurus diberi bilangan real yang terdefinisi dengan baik, yaitu koordinat.
Metode koordinat, yang muncul dalam karya René Descartes, menandai restrukturisasi revolusioner semua matematika. Menjadi mungkin untuk menafsirkan persamaan aljabar (atau ketidaksetaraan) dalam bentuk gambar geometris (grafik) dan, sebaliknya, untuk mencari solusi untuk masalah geometris menggunakan rumus analitik, sistem persamaan. Ya, ketidaksetaraan z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy dan terletak di atas pesawat ini sebanyak 3 unit.
Dengan bantuan sistem koordinat Cartesian, kepemilikan suatu titik pada kurva tertentu sesuai dengan fakta bahwa bilangan x dan kamu memenuhi beberapa persamaan. Jadi, koordinat titik lingkaran berpusat pada titik tertentu ( sebuah; b) memenuhi persamaan (x - sebuah)² + ( kamu - b)² = R² .
Sistem koordinat Cartesian persegi panjang di pesawat
Dua sumbu tegak lurus pada bidang dengan asal yang sama dan bentuk satuan skala yang sama Sistem koordinat kartesius pada bidang . Salah satu sumbu ini disebut sumbu Sapi, atau sumbu x , yang lain - sumbu Oy, atau sumbu y . Sumbu ini juga disebut sumbu koordinat. Dilambangkan dengan Mx dan Mkamu masing-masing proyeksi titik sewenang-wenang M pada poros Sapi dan Oy. Bagaimana cara mendapatkan proyeksi? Lewati titik M Sapi. Garis ini memotong sumbu Sapi pada intinya Mx. Lewati titik M garis lurus tegak lurus sumbu Oy. Garis ini memotong sumbu Oy pada intinya Mkamu. Hal ini ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
x dan kamu poin M kita akan menyebut masing-masing besaran segmen yang diarahkan omx dan omkamu. Nilai segmen arah ini dihitung masing-masing sebagai x = x0 - 0 dan kamu = kamu0 - 0 . Koordinat kartesius x dan kamu poin M absis dan ordinat . Fakta bahwa titik M memiliki koordinat x dan kamu, dilambangkan sebagai berikut: M(x, kamu) .
Sumbu koordinat membagi bidang menjadi empat kuadran , yang penomorannya ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Ini juga menunjukkan susunan tanda untuk koordinat titik, tergantung pada lokasinya di satu atau kuadran lain.
Selain koordinat persegi panjang Cartesian di pesawat, sistem koordinat kutub juga sering dipertimbangkan. Tentang metode transisi dari satu sistem koordinat ke sistem koordinat lainnya - dalam pelajaran sistem koordinat kutub .
Sistem koordinat Cartesian persegi panjang di ruang angkasa
Koordinat Cartesian di ruang angkasa diperkenalkan dalam analogi lengkap dengan koordinat Cartesian di pesawat.
Tiga sumbu yang saling tegak lurus dalam ruang (sumbu koordinat) dengan asal yang sama HAI dan bentuk satuan skala yang sama Sistem koordinat persegi panjang Cartesian di ruang angkasa .
Salah satu sumbu ini disebut sumbu Sapi, atau sumbu x , yang lain - sumbu Oy, atau sumbu y , sumbu ketiga Ons, atau menerapkan sumbu . Biarlah Mx, Mkamu Mz- proyeksi titik sewenang-wenang M spasi pada sumbu Sapi , Oy dan Ons masing-masing.
Lewati titik M SapiSapi pada intinya Mx. Lewati titik M bidang tegak lurus terhadap sumbu Oy. Bidang ini memotong sumbu Oy pada intinya Mkamu. Lewati titik M bidang tegak lurus terhadap sumbu Ons. Bidang ini memotong sumbu Ons pada intinya Mz.
Koordinat persegi panjang Cartesian x , kamu dan z poin M kita akan menyebut masing-masing besaran segmen yang diarahkan omx, omkamu dan omz. Nilai segmen arah ini dihitung masing-masing sebagai x = x0 - 0 , kamu = kamu0 - 0 dan z = z0 - 0 .
Koordinat kartesius x , kamu dan z poin M dinamai sesuai absis , ordinat dan aplikasi .
Diambil berpasangan, sumbu koordinat terletak di bidang koordinat xOy , yOz dan zOx .
Soal tentang titik-titik dalam sistem koordinat Cartesius
Contoh 1
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Temukan koordinat proyeksi titik-titik ini pada sumbu x.
Keputusan. Sebagai berikut dari bagian teoretis dari pelajaran ini, proyeksi suatu titik ke sumbu x terletak pada sumbu x itu sendiri, yaitu sumbu Sapi, dan karena itu memiliki absis yang sama dengan absis titik itu sendiri, dan sebuah ordinat (koordinat pada sumbu Oy, dimana sumbu x berpotongan di titik 0), sama dengan nol. Jadi kita mendapatkan koordinat berikut dari titik-titik ini pada sumbu x:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx(-5;0).
Contoh 2 Poin diberikan dalam sistem koordinat Cartesian di pesawat
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Temukan koordinat proyeksi titik-titik ini pada sumbu y.
Keputusan. Sebagai berikut dari bagian teoretis dari pelajaran ini, proyeksi suatu titik ke sumbu y terletak pada sumbu y itu sendiri, yaitu sumbu Oy, dan karena itu memiliki ordinat yang sama dengan ordinat titik itu sendiri, dan absis (koordinat pada sumbu Sapi, dimana sumbu y berpotongan di titik 0), sama dengan nol. Jadi kita mendapatkan koordinat berikut dari titik-titik ini pada sumbu y:
Ay(0; 2);
By (0; 1);
Cy(0;-2).
Contoh 3 Poin diberikan dalam sistem koordinat Cartesian di pesawat
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
Sapi .
Sapi Sapi Sapi, akan memiliki absis yang sama dengan titik yang diberikan, dan ordinatnya sama dalam nilai absolut dengan ordinat titik yang diberikan, dan berlawanan tanda dengannya. Jadi kita mendapatkan koordinat titik-titik berikut yang simetris dengan titik-titik ini tentang sumbu Sapi :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Selesaikan sendiri masalah pada sistem koordinat Cartesian, dan kemudian lihat solusinya
Contoh 4 Tentukan di kuadran mana (perempat, gambar dengan kuadran - di akhir paragraf "Sistem koordinat Cartesian Persegi Panjang pada bidang") titik dapat ditemukan M(x; kamu) , jika
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − kamu = 0 ;
4) x + kamu = 0 ;
5) x + kamu > 0 ;
6) x + kamu < 0 ;
7) x − kamu > 0 ;
8) x − kamu < 0 .
Contoh 5 Poin diberikan dalam sistem koordinat Cartesian di pesawat
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(sebuah; b) .
Temukan koordinat titik-titik yang simetris dengan titik-titik ini terhadap sumbu Oy .
Kami terus menyelesaikan masalah bersama
Contoh 6 Poin diberikan dalam sistem koordinat Cartesian di pesawat
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Temukan koordinat titik-titik yang simetris dengan titik-titik ini terhadap sumbu Oy .
Keputusan. Putar 180 derajat di sekitar sumbu Oy ruas garis berarah dari suatu sumbu Oy sampai titik ini. Pada gambar, di mana kuadran bidang ditunjukkan, kita melihat bahwa titik simetris dengan yang diberikan sehubungan dengan sumbu Oy, akan memiliki ordinat yang sama dengan titik yang diberikan, dan nilai absolut absis yang sama dengan absis titik yang diberikan, dan berlawanan tanda dengannya. Jadi kita mendapatkan koordinat titik-titik berikut yang simetris dengan titik-titik ini tentang sumbu Oy :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
Contoh 7 Poin diberikan dalam sistem koordinat Cartesian di pesawat
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Temukan koordinat titik-titik yang simetris dengan titik-titik ini terhadap titik asal.
Keputusan. Kami memutar 180 derajat di sekitar asal segmen yang diarahkan dari titik asal ke titik yang diberikan. Pada gambar, di mana kuadran bidang ditunjukkan, kita melihat bahwa suatu titik yang simetris dengan titik tertentu sehubungan dengan titik asal koordinat akan memiliki absis dan ordinat yang nilainya sama dengan absis dan ordinat titik tersebut. , tetapi berlawanan tanda dengan mereka. Jadi kita mendapatkan koordinat titik-titik berikut yang simetris dengan titik-titik ini sehubungan dengan titik asal:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
Contoh 8
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Temukan koordinat proyeksi titik-titik ini:
1) di pesawat oxy ;
2) ke pesawat Oxz ;
3) ke pesawat Oyz ;
4) pada sumbu absis;
5) pada sumbu y;
6) pada sumbu applique.
1) Proyeksi suatu titik pada bidang oxy terletak di bidang ini sendiri, dan karena itu memiliki absis dan ordinat yang sama dengan absis dan ordinat dari titik yang diberikan, dan aplikasi sama dengan nol. Jadi kita mendapatkan koordinat berikut dari proyeksi titik-titik ini pada oxy :
Axy(4;3;0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Proyeksi suatu titik pada bidang Oxz terletak di bidang ini sendiri, dan karena itu memiliki absis dan aplikasi yang sama dengan absis dan aplikasi dari titik yang diberikan, dan ordinat sama dengan nol. Jadi kita mendapatkan koordinat berikut dari proyeksi titik-titik ini pada Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz(2;0;0).
3) Proyeksi suatu titik pada bidang Oyz terletak di bidang ini sendiri, dan karena itu memiliki ordinat dan aplikasi yang sama dengan ordinat dan aplikasi dari titik tertentu, dan absis sama dengan nol. Jadi kita mendapatkan koordinat berikut dari proyeksi titik-titik ini pada Oyz :
Ayz (0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz(0;-3;0).
4) Sebagai berikut dari bagian teoretis dari pelajaran ini, proyeksi suatu titik ke sumbu x terletak pada sumbu x itu sendiri, yaitu sumbu Sapi, dan oleh karena itu memiliki absis sama dengan absis titik itu sendiri, dan ordinat dan aplikasi proyeksi sama dengan nol (karena sumbu ordinat dan aplikasi memotong absis di titik 0). Kami mendapatkan koordinat proyeksi titik-titik ini pada sumbu x berikut:
Ax(4;0;0);
Bx(-3;0;0);
Cx(2;0;0).
5) Proyeksi suatu titik pada sumbu y terletak pada sumbu y itu sendiri, yaitu sumbu Oy, dan oleh karena itu memiliki ordinat yang sama dengan ordinat titik itu sendiri, dan absis serta aplikasi proyeksi sama dengan nol (karena sumbu absis dan sumbu aplikasi berpotongan dengan sumbu ordinat di titik 0). Kami mendapatkan koordinat proyeksi titik-titik ini pada sumbu y berikut:
Ay(0;3;0);
By(0;2;0);
Cy(0;-3;0).
6) Proyeksi suatu titik pada sumbu aplikasi terletak pada sumbu aplikasi itu sendiri, yaitu sumbu Ons, dan oleh karena itu memiliki aplikasi yang sama dengan penerapan titik itu sendiri, dan absis dan ordinat proyeksi sama dengan nol (karena sumbu absis dan ordinat berpotongan dengan sumbu aplikasi di titik 0). Kami mendapatkan koordinat proyeksi titik-titik ini pada sumbu aplikasi berikut:
Az(0; 0; 5);
Bz(0;0;1);
Cz(0; 0; 0).
Contoh 9 Poin diberikan dalam sistem koordinat Cartesian di ruang angkasa
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Temukan koordinat titik-titik yang simetris dengan titik-titik ini sehubungan dengan:
1) pesawat oxy ;
2) pesawat Oxz ;
3) pesawat Oyz ;
4) sumbu absis;
5) sumbu y;
6) sumbu applique;
7) asal koordinat.
1) "Maju" titik di sisi lain sumbu oxy oxy, akan memiliki absis dan ordinat yang sama dengan absis dan ordinat titik yang diberikan, dan aplikasi yang besarnya sama dengan aplikasi titik yang diberikan, tetapi berlawanan tanda dengannya. Jadi, kita mendapatkan koordinat titik-titik berikut yang simetris dengan data sehubungan dengan bidang oxy :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) "Maju" titik di sisi lain sumbu Oxz untuk jarak yang sama. Menurut gambar yang menunjukkan ruang koordinat, kita melihat bahwa titik simetris dengan yang diberikan sehubungan dengan sumbu Oxz, akan memiliki absis dan aplikasi yang sama dengan absis dan penerapan titik yang diberikan, dan ordinat yang besarnya sama dengan ordinat titik yang diberikan, tetapi berlawanan tanda dengannya. Jadi, kita mendapatkan koordinat titik-titik berikut yang simetris dengan data sehubungan dengan bidang Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) "Maju" titik di sisi lain sumbu Oyz untuk jarak yang sama. Menurut gambar yang menunjukkan ruang koordinat, kita melihat bahwa titik simetris dengan yang diberikan sehubungan dengan sumbu Oyz, akan memiliki ordinat dan aplikasi yang sama dengan ordinat dan aplikasi dari titik yang diberikan, dan absis yang besarnya sama dengan absis dari titik yang diberikan, tetapi berlawanan tandanya. Jadi, kita mendapatkan koordinat titik-titik berikut yang simetris dengan data sehubungan dengan bidang Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Dengan analogi dengan titik-titik simetris pada bidang dan titik-titik dalam ruang yang simetris dengan data sehubungan dengan bidang, kami mencatat bahwa dalam kasus simetri tentang beberapa sumbu sistem koordinat Cartesian di ruang angkasa, koordinat pada sumbu di mana simetri diatur akan mempertahankan tandanya, dan koordinat pada dua sumbu lainnya akan sama dalam nilai absolutnya dengan koordinat titik yang diberikan, tetapi berlawanan tanda.
4) Absis akan mempertahankan tandanya, sedangkan ordinat dan aplikasinya akan berubah tanda. Jadi, kita mendapatkan koordinat titik-titik berikut yang simetris dengan data tentang sumbu x:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Ordinat akan mempertahankan tandanya, sedangkan absis dan aplikasinya akan mengubah tanda. Jadi, kita mendapatkan koordinat titik-titik berikut yang simetris dengan data tentang sumbu y:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Aplikasi akan mempertahankan tandanya, dan absis dan ordinatnya akan berubah tanda. Jadi, kami mendapatkan koordinat titik-titik berikut yang simetris dengan data tentang sumbu aplikasi:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Dengan analogi dengan simetri dalam kasus titik-titik pada bidang, dalam kasus simetri tentang asal koordinat, semua koordinat titik yang simetris dengan titik tertentu akan sama dalam nilai absolut dengan koordinat titik tertentu, tetapi berlawanan tanda dengan mereka. Jadi, kita mendapatkan koordinat titik-titik berikut yang simetris dengan data sehubungan dengan titik asal.
Definisi 1 . Sumbu numerik ( garis bilangan, garis koordinat) Sapi disebut garis lurus di mana titik O dipilih titik referensi (asal koordinat)(gbr.1), arah
HAI → x
terdaftar sebagai arah positif dan sebuah segmen ditandai, yang panjangnya diambil sebagai satuan panjang.
Definisi 2 . Segmen, yang panjangnya dianggap sebagai satuan panjang, disebut skala.
Setiap titik sumbu numerik memiliki koordinat , yang merupakan bilangan real. Koordinat titik O sama dengan nol. Koordinat titik sembarang A yang terletak pada sinar Ox sama dengan panjang segmen OA . Koordinat titik sembarang A dari sumbu numerik, tidak terletak pada sinar Ox , adalah negatif, dan dalam nilai absolut sama dengan panjang segmen OA .
Definisi 3 . Sistem koordinat Cartesian Persegi Panjang Oxy pada bidang panggil keduanya bersama tegak lurus sumbu numerik Ox dan Oy dengan skala yang sama dan asal yang sama pada titik O, sehingga rotasi dari sinar Ox melalui sudut 90 ° ke sinar Oy dilakukan dalam arah berlawanan arah jarum jam(Gbr. 2).
Komentar . Sistem koordinat kartesius persegi panjang Oxy yang ditunjukkan pada Gambar 2 disebut sistem koordinat kanan, Tidak seperti sistem koordinat kiri, di mana rotasi balok Ox pada sudut 90° terhadap balok Oy dilakukan searah jarum jam. Dalam panduan ini, kami pertimbangkan hanya sistem koordinat yang benar tanpa menyebutkannya secara khusus.
Jika kita memperkenalkan beberapa sistem koordinat Cartesian persegi panjang Oxy pada bidang, maka setiap titik bidang akan memperoleh dua koordinat – absis dan ordinat, yang dihitung sebagai berikut. Misalkan A adalah titik sembarang pada bidang. Mari kita turunkan tegak lurus dari titik A A A 1 dan A A 2 ke garis Ox dan Oy, masing-masing (Gbr. 3).
Definisi 4 . Absis titik A adalah koordinat titik A 1 pada sumbu numerik Ox, ordinat titik A adalah koordinat titik A 2 pada sumbu numerik Oy .
Penamaan . Koordinat (absis dan ordinat) suatu titik A dalam sistem koordinat Cartesian persegi panjang Oxy (Gbr. 4) biasanya dilambangkan A(x;kamu) atau A = (x; kamu).
Komentar . Titik O, disebut asal, memiliki koordinat HAI(0 ; 0) .
Definisi 5 . Dalam sistem koordinat Cartesian persegi panjang Oxy, sumbu numerik Ox disebut sumbu absis, dan sumbu numerik Oy disebut sumbu ordinat (Gbr. 5).
Definisi 6 . Setiap sistem koordinat Cartesian persegi panjang membagi bidang menjadi 4 bagian ( kuadran), yang penomorannya ditunjukkan pada Gambar 5.
Definisi 7 . Sebuah bidang di mana sistem koordinat Cartesian persegi panjang diberikan disebut bidang koordinat.
Komentar . Sumbu absis diberikan pada bidang koordinat dengan persamaan kamu= 0 , sumbu y diberikan pada bidang koordinat oleh persamaan x = 0.
Pernyataan 1 . Jarak antara dua titik bidang koordinat
A 1 (x 1 ;kamu 1) dan A 2 (x 2 ;kamu 2)
dihitung sesuai dengan rumus
Bukti . Perhatikan Gambar 6.
| |A 1 A 2 | 2 = = (x 2 -x 1) 2 + (kamu 2 -kamu 1) 2 . | (1) |
Karena itu,
Q.E.D.
Persamaan lingkaran pada bidang koordinat
Perhatikan pada bidang koordinat Oxy (Gbr. 7) sebuah lingkaran dengan jari-jari R berpusat di titik A 0 (x 0 ;kamu 0) .
Sistem koordinat persegi panjang pada bidang dibentuk oleh dua sumbu koordinat yang saling tegak lurus X'X dan Y'Y. Sumbu koordinat berpotongan di titik O, yang disebut titik asal koordinat, dipilih arah positif pada setiap sumbu.Arah positif sumbu (dalam sistem koordinat tangan kanan) dipilih sehingga ketika sumbu X'X diputar berlawanan arah jarum jam sebesar 90 °, arah positifnya bertepatan dengan arah positif sumbu Y'Y. Keempat sudut (I, II, III, IV) yang dibentuk oleh sumbu koordinat X'X dan Y'Y disebut sudut koordinat (lihat Gambar 1).
Posisi titik A pada bidang ditentukan oleh dua koordinat x dan y. Koordinat x sama dengan panjang segmen OB, koordinat y adalah panjang segmen OC di unit yang dipilih. Segmen OB dan OC ditentukan oleh garis yang ditarik dari titik A yang sejajar dengan sumbu Y'Y dan X'X. Koordinat x disebut absis titik A, koordinat y disebut ordinat titik A. Ditulis seperti ini: A (x, y).
Jika titik A terletak pada koordinat sudut I, maka titik A memiliki absis dan ordinat positif. Jika titik A terletak pada koordinat sudut II, maka titik A memiliki absis negatif dan ordinat positif. Jika titik A terletak pada sudut koordinat III, maka titik A memiliki absis dan ordinat negatif. Jika titik A terletak pada koordinat sudut IV, maka titik A memiliki absis positif dan ordinat negatif.
Sistem koordinat persegi panjang di luar angkasa dibentuk oleh tiga sumbu koordinat yang saling tegak lurus OX, OY dan OZ. Sumbu koordinat berpotongan di titik O, yang disebut titik asal koordinat, pada setiap sumbu dipilih arah positif yang ditunjukkan oleh panah, dan unit pengukuran segmen pada sumbu. Satuan ukuran adalah sama untuk semua sumbu. OX - sumbu absis, OY - sumbu ordinat, OZ - sumbu aplikasi. Arah positif sumbu dipilih sehingga ketika sumbu OX diputar berlawanan arah jarum jam sebesar 90°, arah positifnya bertepatan dengan arah positif sumbu OY, jika rotasi ini diamati dari arah positif sumbu OZ. Sistem koordinat seperti itu disebut benar. Jika ibu jari tangan kanan diambil sebagai arah X, jari telunjuk sebagai arah Y, dan jari tengah sebagai arah Z, maka terbentuklah sistem koordinat kanan. Jari-jari tangan kiri yang serupa membentuk sistem koordinat kiri. Sistem koordinat kanan dan kiri tidak dapat digabungkan sehingga sumbu-sumbu yang bersesuaian berimpit (lihat Gambar 2).
Posisi titik A dalam ruang ditentukan oleh tiga koordinat x, y dan z. Koordinat x sama dengan panjang segmen OB, koordinat y sama dengan panjang segmen OC, koordinat z adalah panjang segmen OD pada satuan yang dipilih. Segmen OB, OC dan OD ditentukan oleh bidang yang ditarik dari titik A sejajar dengan bidang YOZ, XOZ dan XOY. Koordinat x disebut absis titik A, koordinat y disebut ordinat titik A, koordinat z disebut aplikasi titik A. Ditulis seperti ini: A (a, b, c).
Hort
Sebuah sistem koordinat persegi panjang (dari dimensi apapun) juga dijelaskan oleh satu set orts , co-diarahkan dengan sumbu koordinat. Jumlah ort sama dengan dimensi sistem koordinat, dan semuanya tegak lurus satu sama lain.
Dalam kasus tiga dimensi, vektor seperti itu biasanya dilambangkan saya j k atau e x e kamu e z. Dalam hal ini, dalam kasus sistem koordinat yang benar, rumus berikut dengan produk vektor dari vektor-vektor adalah valid:
- [saya j]=k ;
- [j k]=saya ;
- [k saya]=j .
Cerita
René Descartes adalah orang pertama yang memperkenalkan sistem koordinat persegi panjang dalam bukunya Discourse on the Method pada tahun 1637. Oleh karena itu, sistem koordinat persegi panjang disebut juga - Sistem koordinasi cartesian. Metode koordinat untuk menggambarkan objek geometris meletakkan dasar untuk geometri analitik. Pierre Fermat juga berkontribusi pada pengembangan metode koordinat, tetapi karyanya pertama kali diterbitkan setelah kematiannya. Descartes dan Fermat menggunakan metode koordinat hanya di pesawat.
Metode koordinat untuk ruang tiga dimensi pertama kali diterapkan oleh Leonhard Euler pada abad ke-18.
Lihat juga
Tautan
Yayasan Wikimedia. 2010 .
- Sistem koordinasi cartesian
- Gelar kartesius
Lihat apa "koordinat Cartesian" di kamus lain:
KOORDINAT KARTSTIAN- (Sistem koordinat Cartesius) sistem koordinat pada bidang atau di ruang angkasa, biasanya dengan sumbu yang saling tegak lurus dan skala yang sama di sepanjang sumbu, koordinat Cartesian persegi panjang. Dinamakan setelah R. Descartes ... Kamus Ensiklopedis Besar
Koordinat kartesius- Sistem koordinat yang terdiri dari dua sumbu tegak lurus. Posisi titik dalam sistem seperti itu dibentuk dengan menggunakan dua angka yang menentukan jarak dari pusat koordinat di sepanjang masing-masing sumbu. Topik informasi ... ... Buku Pegangan Penerjemah Teknis
Koordinat kartesius- (Sistem koordinat Cartesius), sistem koordinat pada bidang atau ruang, biasanya dengan sumbu yang saling tegak lurus dan skala yang sama sepanjang sumbu, koordinat Cartesian persegi panjang. Dinamakan setelah R. Descartes ... kamus ensiklopedis
Koordinat kartesius- Status Dekarto koordinatas sebagai T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Tiesinė plokštumos arba erdvs koordinačių sistema. Joje ašių masteliai paprastai būna lygūs. atitikmenys: engl. Koordinat kartesius vok. kartesische Koordinaten, f … Penkiakalbis aiskinamesis metrologijos terminų odynas
Koordinat kartesius- Dekarto koordinats statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. koordinat kartesius; koordinat kisi vok. kartesische Koordinaten, f rus. Koordinat kartesius, f pranc. coordonnées cartésiennes, f … Fizikos terminų odynas
KOORDINAT KARTSTIAN- metode untuk menentukan posisi titik pada bidang dengan jaraknya ke dua sumbu lurus tegak lurus. Konsep ini sudah terlihat di Archimedes dan Appologia of Perga lebih dari dua ribu tahun yang lalu, dan bahkan di antara orang Mesir kuno. Untuk pertama kalinya ini…… Ensiklopedia Matematika
KOORDINAT KARTSTIAN- Sistem koordinat Cartesian [dinamai dari bahasa Prancis. filsuf dan matematikawan R. Descartes (R. Descartes; 1596 1650)], sistem koordinat pada bidang atau ruang, biasanya dengan sumbu yang saling tegak lurus dan skala yang sama di sepanjang sumbu, persegi panjang D ... Kamus besar ensiklopedis politeknik
KOORDINAT KARTSTIAN- (Sistem koordinat Cartesius), sistem koordinat pada bidang atau ruang, biasanya dengan sumbu yang saling tegak lurus dan skala yang sama di sepanjang sumbu, persegi panjang D. Dinamai R. Descartes ... Ilmu pengetahuan Alam. kamus ensiklopedis
KOORDINAT KARTSTIAN- Sistem lokasi setiap titik ditemukan tulang relatif terhadap dua sumbu yang berpotongan di sudut kanan. Dikembangkan oleh René Descartes, sistem ini menjadi dasar metode standar untuk representasi grafis data. Garis horisontal… … Kamus Penjelasan Psikologi
Koordinat- Koordinat. Di pesawat (kiri) dan di luar angkasa (kanan). KOORDINAT (dari bahasa Latin co bersama dan ordinatus berurut), bilangan yang menentukan posisi suatu titik pada suatu garis, bidang, permukaan, dalam ruang. Koordinat adalah jarak... Kamus Ensiklopedis Bergambar
Petunjuk
Tuliskan operasi matematika dalam bentuk teks dan masukkan ke dalam bidang permintaan pencarian di halaman utama situs Google, jika Anda tidak dapat menggunakan kalkulator, tetapi memiliki akses Internet. Mesin pencari ini memiliki kalkulator multifungsi built-in, yang jauh lebih mudah digunakan daripada yang lain. Tidak ada antarmuka dengan tombol - semua data harus dimasukkan dalam bentuk teks dalam satu bidang. Misalnya, jika diketahui koordinat titik ekstrim segmen pada sistem koordinat tiga dimensi A(51,34 17,2 13,02) dan A(-11,82 7,46 33,5), maka koordinat titik tengah segmen C((51.34-11.82)/2 (17.2+7.46)/2 (13.02+33.5)/2). Masuk (51.34-11.82)/2 di kolom permintaan pencarian, lalu (17.2 + 7.46) / 2 dan (13.02 + 33.5) / 2, Anda dapat menggunakan Google untuk mendapatkan koordinat C (19,76 12,33 23,26).
Persamaan lingkaran standar memungkinkan Anda untuk mengetahui beberapa informasi penting tentang gambar ini, misalnya, koordinat pusatnya, panjang jari-jarinya. Dalam beberapa masalah, sebaliknya, diperlukan untuk membuat persamaan untuk parameter yang diberikan.
Petunjuk
Tentukan apakah Anda memiliki informasi tentang lingkaran, berdasarkan tugas yang diberikan kepada Anda. Ingatlah bahwa tujuan akhirnya adalah menentukan koordinat pusat serta diameternya. Semua tindakan Anda harus ditujukan untuk mencapai hasil khusus ini.
Gunakan data keberadaan titik potong dengan garis koordinat atau garis lainnya. Harap dicatat bahwa jika lingkaran melewati sumbu absis, yang kedua akan memiliki koordinat 0, dan jika melalui sumbu ordinat, maka yang pertama. Koordinat ini akan memungkinkan Anda untuk menemukan koordinat pusat lingkaran dan juga menghitung jari-jarinya.
Jangan lupa tentang sifat dasar garis potong dan garis singgung. Secara khusus, teorema yang paling berguna adalah bahwa pada titik kontak, jari-jari dan garis singgung membentuk sudut siku-siku. Tetapi perhatikan bahwa Anda mungkin diminta untuk membuktikan semua teorema yang digunakan dalam kursus.
Pecahkan jenis yang paling umum untuk mempelajari cara langsung melihat cara menggunakan data tertentu untuk persamaan lingkaran. Jadi, selain masalah yang sudah ditunjukkan dengan koordinat yang diberikan secara langsung dan yang di bawahnya informasi diberikan tentang keberadaan titik persimpangan, untuk menyusun persamaan lingkaran, Anda dapat menggunakan pengetahuan tentang pusat lingkaran, panjang lingkaran akord dan di mana akord ini terletak.
Untuk menyelesaikannya, buatlah segitiga sama kaki, yang alasnya akan menjadi tali busur yang diberikan, dan jari-jari yang sama panjang akan menjadi jari-jarinya. Make up, dari mana Anda dapat dengan mudah menemukan data yang diperlukan. Untuk melakukan ini, cukup menggunakan rumus untuk menemukan panjang segmen di pesawat.
Video Terkait
Lingkaran dipahami sebagai bangun datar yang terdiri dari kumpulan titik-titik pada bidang yang berjarak sama dari pusatnya. Jarak dari pusat ke titik lingkaran disebut radius.
Koordinat kutub
Nomor tersebut disebut radius kutub titik atau koordinat kutub pertama. Jarak tidak boleh negatif, jadi jari-jari kutub setiap titik adalah . Koordinat kutub pertama juga dilambangkan dengan huruf Yunani ("rho"), tetapi saya terbiasa dengan versi Latin, dan di masa depan saya akan menggunakannya.
Nomor tersebut disebut sudut kutub titik yang diberikan atau koordinat kutub kedua. Sudut kutub secara standar berubah di dalam (yang disebut nilai utama sudut). Namun, cukup dapat diterima untuk menggunakan rentang, dan dalam beberapa kasus ada kebutuhan langsung untuk mempertimbangkan semua nilai sudut dari nol hingga "plus tak terhingga". Saya merekomendasikan, omong-omong, untuk membiasakan diri dengan ukuran radian sudut, karena tidak dianggap comme il faut untuk beroperasi dengan derajat dalam matematika yang lebih tinggi.
Pasangan itu disebut koordinat kutub poin. Mudah ditemukan dan makna spesifiknya. Garis singgung sudut lancip segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan: oleh karena itu, sudut itu sendiri: 
. Menurut teorema Pythagoras, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki:, oleh karena itu, jari-jari kutub:
Dengan demikian, 
.
Satu penguin bagus, tapi kawanan lebih baik: 
Sudut berorientasi negatif 
untuk jaga-jaga, saya tandai dengan panah, tiba-tiba salah satu pembaca belum mengetahui orientasi ini. Jika diinginkan, Anda dapat "memutar" 1 putaran ke masing-masing (rad. atau 360 derajat) dan mendapatkan, omong-omong, nyaman nilai tabel:
Tetapi kelemahan dari sudut berorientasi "tradisional" ini adalah bahwa mereka terlalu jauh (lebih dari 180 derajat) "memutar" berlawanan arah jarum jam. Saya meramalkan pertanyaan: "mengapa kekurangan dan mengapa kita membutuhkan sudut negatif sama sekali?" Dalam matematika, jalur terpendek dan paling rasional dinilai. Nah, dari sudut pandang fisika, arah rotasi seringkali sangat penting - masing-masing dari kita mencoba membuka pintu dengan menarik pegangan ke arah yang salah =)
Urutan dan teknik membangun titik dalam koordinat kutub
Gambar yang indah memang indah, tetapi membangun dalam sistem koordinat kutub adalah tugas yang agak melelahkan. Kesulitan tidak muncul dengan titik-titik yang sudut kutubnya adalah 
, dalam contoh kita ini adalah poinnya 
; nilai yang merupakan kelipatan 45 derajat juga tidak menimbulkan banyak masalah: . Tetapi bagaimana cara membangun, katakanlah, suatu poin dengan benar dan kompeten?
Anda membutuhkan selembar kertas kotak-kotak, pensil, dan alat menggambar berikut: penggaris, kompas, busur derajat. Dalam kasus ekstrem, Anda bisa bertahan dengan satu penggaris, atau bahkan ... tanpa penggaris sama sekali! Baca terus dan Anda akan mendapatkan satu lagi bukti bahwa negara ini tak terkalahkan =)
Contoh 1
Bangun sebuah titik dalam sistem koordinat kutub.
Pertama-tama, Anda perlu mengetahui ukuran derajat sudut. Jika sudutnya tidak biasa atau Anda ragu, maka selalu lebih baik untuk menggunakan meja atau rumus umum untuk mengubah radian ke derajat. Jadi sudut kita adalah (atau ).
Mari kita menggambar sistem koordinat kutub (lihat awal pelajaran) dan mengambil busur derajat. Tidak akan sulit bagi pemilik instrumen bundar untuk menandai 240 derajat, tetapi dengan kemungkinan besar Anda akan memiliki versi perangkat setengah lingkaran di tangan Anda. Masalah tidak adanya busur derajat di hadapan printer dan gunting diselesaikan dengan menjahit.
Ada dua cara: balikkan lembaran dan tandai 120 derajat, atau "sekrup" setengah putaran dan pertimbangkan sudut yang berlawanan. Mari kita pilih metode dewasa dan buat tanda 60 derajat: 
Entah busur derajat cebol, atau sangkar raksasa =) Namun, untuk mengukur sudut, skala tidak penting.
Kami menggambar dengan pensil garis lurus tipis yang melewati tiang dan tanda dibuat: 
Kami menemukan sudutnya, langkah selanjutnya adalah jari-jari kutub. Kami mengambil kompas dan oleh penguasa kami menetapkan solusinya menjadi 3 unit, paling sering, ini tentu saja sentimeter: 
Sekarang kami dengan hati-hati menempatkan jarum di tiang, dan dengan gerakan memutar kami membuat takik kecil (merah). Titik yang diinginkan dibangun: 
Anda dapat melakukannya tanpa kompas dengan menempelkan penggaris langsung ke garis yang dibangun dan berukuran 3 sentimeter. Tapi, seperti yang akan kita lihat nanti, dalam tugas untuk konstruksi dalam sistem koordinat kutub situasi yang umum adalah ketika Anda perlu menandai dua atau lebih titik dengan jari-jari kutub yang sama, sehingga lebih efisien untuk mengeraskan logam. Secara khusus, dalam gambar kami, dengan memutar kaki kompas 180 derajat, mudah untuk membuat takik kedua dan membangun titik simetris terhadap tiang. Di atasnya, mari kita kerjakan materi paragraf berikutnya:
Hubungan sistem koordinat persegi panjang dan kutub
Jelas sekali Ikuti ke sistem koordinat kutub dari kisi koordinat "normal" dan gambar sebuah titik pada gambar: 
Koneksi ini selalu berguna untuk diingat saat menggambar koordinat kutub. Meskipun, mau tak mau, itu menunjukkan dirinya sendiri tanpa terlalu banyak petunjuk.
Mari kita bangun hubungan antara koordinat kutub dan Cartesian menggunakan contoh titik tertentu. Pertimbangkan segitiga siku-siku, di mana sisi miringnya sama dengan jari-jari kutub: , dan kakinya adalah koordinat "x" dan "permainan" dari titik dalam sistem koordinat Cartesian: 
.
Sinus sudut lancip adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring: 
Kosinus sudut lancip adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring: 
Pada saat yang sama, mereka mengulangi definisi sinus, kosinus (dan tangen sedikit lebih awal) dari program kelas 9 sekolah komprehensif.
Silakan tambahkan rumus kerja ke buku referensi Anda yang mengungkapkan koordinat Cartesian suatu titik dalam koordinat kutubnya - kita harus berurusan dengannya lebih dari sekali, dan lain kali sekarang =)
Mari kita cari koordinat titik dalam sistem koordinat persegi panjang: 
Dengan demikian:
Rumus yang dihasilkan membuka celah lain dalam masalah konstruksi, ketika Anda dapat melakukannya tanpa busur derajat sama sekali: pertama kami menemukan koordinat Cartesian dari titik (tentu saja, pada konsep), kemudian kami secara mental menemukan tempat yang tepat pada gambar dan tandai titik ini. Pada tahap terakhir, kami menggambar garis lurus tipis yang melewati titik dan tiang yang dibangun. Akibatnya, ternyata sudut itu diduga diukur dengan busur derajat.
Sangat lucu bahwa siswa yang benar-benar putus asa bahkan dapat melakukannya tanpa penggaris, sebagai gantinya menggunakan tepi halus dari buku teks, buku catatan, atau buku nilai - lagi pula, produsen notebook menangani metrik, 1 sel = 5 milimeter.
Semua ini mengingatkan saya pada anekdot terkenal di mana pilot yang cerdik merencanakan jalur di sepanjang paket Belomor \u003d) Meskipun, lelucon adalah lelucon, dan anekdot tidak jauh dari kenyataan, saya ingat bahwa di salah satu penerbangan domestik melintasi Federasi Rusia, semua perangkat navigasi gagal di kapal, dan kru berhasil mendaratkan papan menggunakan segelas air biasa, yang menunjukkan sudut kemiringan pesawat relatif terhadap tanah. Dan landasan terbang - ini dia, terlihat dari kaca depan.
Dengan menggunakan teorema Pythagoras yang dikutip di awal pelajaran, mudah untuk mendapatkan rumus invers: , oleh karena itu:
Sudut "phi" itu sendiri secara standar dinyatakan melalui tangen busur - persis sama dengan argumen bilangan kompleks dengan segala keanehannya.
Juga disarankan untuk menempatkan kelompok formula kedua di bagasi referensi Anda.
Setelah analisis terperinci tentang penerbangan dengan poin individual, mari beralih ke kelanjutan alami dari topik:
Persamaan garis dalam koordinat kutub
Pada dasarnya, persamaan garis dalam sistem koordinat kutub adalah radius kutub fungsi sudut kutub (argumen). Dalam hal ini, sudut kutub diperhitungkan dalam radian(!) dan terus menerus mengambil nilai dari to (kadang-kadang harus dianggap ad infinitum, atau dalam sejumlah masalah untuk kenyamanan dari ke ). Setiap nilai sudut "phi", yang termasuk dalam domain fungsi, sesuai dengan nilai tunggal jari-jari kutub.
Fungsi kutub dapat dibandingkan dengan semacam radar - ketika seberkas cahaya yang berasal dari kutub berputar berlawanan arah jarum jam dan "mendeteksi" (menarik) garis.
Contoh umum dari kurva kutub adalah spiral archimedean. Gambar berikut menunjukkan padanya giliran pertama– ketika jari-jari kutub mengikuti sudut kutub mengambil nilai dari 0 hingga : 
Selanjutnya, melintasi sumbu kutub pada titik , spiral akan terus mengendur, sangat jauh dari kutub. Tetapi kasus-kasus seperti itu cukup jarang dalam praktiknya; situasi yang lebih khas, ketika pada semua putaran berikutnya kita "berjalan di sepanjang garis yang sama", yang diperoleh dalam kisaran .
Dalam contoh pertama, kita juga menemukan konsep domain fungsi kutub: karena jari-jari kutub tidak negatif, sudut negatif tidak dapat dipertimbangkan di sini.
! Catatan : dalam beberapa kasus itu biasa digunakan koordinat kutub umum, di mana jari-jarinya bisa negatif, dan kita akan mempelajari pendekatan ini nanti
Selain spiral Archimedes, ada banyak kurva terkenal lainnya, tetapi, seperti yang mereka katakan, Anda tidak akan penuh dengan seni, jadi saya mengambil contoh yang sangat umum dalam tugas-tugas praktis nyata.
Pertama, persamaan paling sederhana dan garis paling sederhana:
Persamaan bentuk menentukan keluar dari kutub sinar. Memang, pikirkan jika nilai sudut selalu(apa pun "er") terus-menerus, lalu apa garisnya?
Catatan : dalam sistem koordinat kutub umum, persamaan ini mendefinisikan garis lurus yang melewati kutub
Persamaan bentuk menentukan ... tebak pertama kali - jika untuk siapa saja radius sudut "phi" tetap konstan? Sebenarnya definisi ini lingkaran berpusat di kutub radius.
Sebagai contoh, . Untuk kejelasan, mari kita cari persamaan garis ini dalam sistem koordinat persegi panjang. Dengan menggunakan rumus yang diperoleh pada paragraf sebelumnya, kami akan melakukan penggantian:
Mari kita kuadratkan kedua sisinya:
– persamaan lingkaran berpusat pada titik asal koordinat radius 2, yang akan diverifikasi.
Sejak pembuatan dan rilis artikel pada ketergantungan linier dan kemerdekaan linier dari vektor Saya menerima beberapa surat dari pengunjung situs yang mengajukan pertanyaan dalam semangat: "ini adalah sistem koordinat persegi panjang yang sederhana dan nyaman, mengapa kita memerlukan beberapa kasus affine miring lainnya?". Jawabannya sederhana: matematika berusaha merangkul segalanya dan semua orang! Selain itu, dalam situasi ini atau itu, kenyamanan itu penting - seperti yang Anda lihat, jauh lebih menguntungkan untuk bekerja dengan lingkaran dalam koordinat kutub karena kesederhanaan persamaan yang ekstrem.
Dan terkadang model matematika mengantisipasi penemuan ilmiah. Jadi, pada suatu waktu, rektor Kazan University N.I. Lobachevsky terbukti secara ketat, melalui suatu titik sembarang pada bidang dimungkinkan untuk menggambar jumlah garis tak terbatas sejajar dengan yang diberikan. Akibatnya, ia difitnah oleh seluruh dunia ilmiah, tetapi ... tidak ada yang bisa menyangkal fakta ini. Hanya setelah satu abad yang baik, para astronom menemukan bahwa cahaya di ruang angkasa menyebar di sepanjang lintasan melengkung, di mana geometri non-Euclidean Lobachevsky, yang secara resmi dikembangkan olehnya jauh sebelum penemuan ini, mulai bekerja. Diasumsikan bahwa ini adalah properti ruang itu sendiri, yang kelengkungannya tidak terlihat oleh kita karena jarak yang kecil (menurut standar astronomi).
Pertimbangkan tugas konstruksi yang lebih bermakna:
Contoh 2
membangun garis
Keputusan: penemuan pertama domain. Karena jari-jari kutub tidak negatif, pertidaksamaan harus berlaku. Anda dapat mengingat aturan sekolah untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri, tetapi dalam kasus sederhana seperti ini, saya menyarankan metode penyelesaian yang lebih cepat dan lebih visual:
Bayangkan sebuah plot kosinus. Jika dia belum berhasil disimpan dalam memori, maka temukan dia di halaman Grafik fungsi dasar. Apa yang dikatakan ketidaksetaraan kepada kita? Ini memberitahu kita bahwa grafik kosinus harus ditempatkan tidak kurang sumbu absis. Dan ini terjadi pada sebuah segmen. Dan, karenanya, intervalnya tidak cocok.
Dengan demikian, domain dari fungsi kita adalah: , yaitu, grafik terletak di sebelah kanan kutub (menurut terminologi sistem Cartesian, di setengah bidang kanan).
Dalam koordinat kutub, sering ada gagasan samar tentang garis mana yang mendefinisikan persamaan ini atau itu, jadi untuk membangunnya, Anda perlu menemukan titik-titik miliknya - dan semakin banyak, semakin baik. Biasanya terbatas pada selusin atau dua (atau bahkan kurang). Cara termudah, tentu saja, adalah dengan mengambil nilai sudut tabel. Untuk kejelasan yang lebih besar, saya akan "mengikat" satu putaran ke nilai negatif: 
Karena paritas kosinus 
nilai positif yang sesuai dapat dihilangkan lagi: 
Mari kita gambarkan sistem koordinat kutub dan sisihkan titik-titik yang ditemukan, sementara lebih mudah untuk menyisihkan nilai "er" yang sama pada suatu waktu, membuat serif berpasangan dengan kompas sesuai dengan teknologi yang dibahas di atas: 
Pada prinsipnya, garis digambar dengan jelas, tetapi untuk benar-benar mengkonfirmasi tebakan, mari kita cari persamaannya dalam sistem koordinat Cartesian. Anda dapat menerapkan formula yang baru diturunkan 
, tapi saya akan memberi tahu Anda tentang trik yang lebih rumit. Kami mengalikan kedua bagian persamaan secara artifisial dengan "er": dan menggunakan rumus transisi yang lebih ringkas:
Memilih persegi penuh, kami membawa persamaan garis ke bentuk yang dapat dikenali: 
– persamaan lingkaran berpusat di titik , radius 2.
Karena, sesuai dengan kondisinya, itu hanya perlu untuk menyelesaikan konstruksi dan hanya itu, kami dengan lancar menghubungkan titik-titik yang ditemukan dengan garis: 
Siap. Tidak apa-apa jika ternyata sedikit tidak rata, Anda tidak perlu tahu bahwa itu adalah lingkaran ;-)
Mengapa kita tidak mempertimbangkan nilai sudut di luar interval? Jawabannya sederhana: tidak masuk akal. Mengingat periodisitas fungsi, kami menunggu perjalanan tanpa akhir di sepanjang lingkaran yang dibangun.
Sangat mudah untuk melakukan analisis sederhana dan sampai pada kesimpulan bahwa persamaan bentuk mendefinisikan lingkaran dengan diameter dengan pusat pada titik tersebut. Secara kiasan, semua lingkaran seperti itu "duduk" di sumbu kutub dan harus melewati kutub. Jika , maka perusahaan yang ceria akan bergerak ke kiri - ke kelanjutan sumbu kutub (pikirkan mengapa).
Masalah serupa untuk solusi independen:
Contoh 3
Gambarlah garis dan tentukan persamaannya dalam sistem koordinat persegi panjang.
Kami mensistematisasikan prosedur untuk memecahkan masalah:
Pertama-tama, kami menemukan domain fungsi, untuk ini lebih mudah untuk melihatnya sinusoida untuk segera memahami di mana sinus non-negatif.
Pada langkah kedua, kami menghitung koordinat kutub dari titik-titik menggunakan nilai tabel sudut; menganalisis apakah mungkin untuk mengurangi jumlah perhitungan?
Pada langkah ketiga, kami menyisihkan titik-titik dalam sistem koordinat kutub dan dengan hati-hati menghubungkannya dengan sebuah garis.
Dan, akhirnya, kita menemukan persamaan garis dalam sistem koordinat Cartesian.
Contoh solusi di akhir pelajaran.
Kami merinci algoritma dan teknik umum untuk membangun dalam koordinat kutub
dan secara signifikan mempercepat di bagian kedua kuliah, tetapi sebelum itu, mari berkenalan dengan satu baris umum lagi:
mawar kutub
Benar sekali, kita berbicara tentang bunga dengan kelopak:
Contoh 4
Plot garis yang diberikan oleh persamaan dalam koordinat kutub
Ada dua pendekatan untuk membangun mawar kutub. Pertama, mari kita ikuti jalur knurled, dengan asumsi bahwa jari-jari kutub tidak boleh negatif:
Keputusan:
a) Tentukan domain fungsi: 
Ketidaksetaraan trigonometri seperti itu juga mudah diselesaikan secara grafis: dari bahan artikel Transformasi Plot Geometris Diketahui bahwa jika argumen fungsi digandakan, maka grafiknya akan menyusut ke sumbu y sebanyak 2 kali. Silakan temukan grafik fungsi dalam contoh pertama dari pelajaran yang ditentukan. Di manakah letak sinusoidal ini di atas sumbu x? Pada interval 
. Oleh karena itu, segmen-segmen yang bersesuaian memenuhi pertidaksamaan, dan domain fungsi kami: 
.
Secara umum, solusi dari pertidaksamaan yang dipertimbangkan adalah penyatuan sejumlah segmen yang tidak terbatas, tetapi, sekali lagi, kami hanya tertarik pada satu periode.
Mungkin, beberapa pembaca akan menemukan metode analitis untuk menemukan domain definisi lebih mudah, saya akan menyebutnya "mengiris kue bundar". Kami akan memotong menjadi bagian yang sama dan, pertama-tama, temukan batas-batas potongan pertama. Kami berpendapat sebagai berikut: sinus non-negatif, Kapan argumennya berkisar dari 0 hingga rad. inklusif. Dalam contoh kita: . Membagi semua bagian dari pertidaksamaan ganda dengan 2, kami memperoleh interval yang diperlukan:
Sekarang kita mulai secara berurutan "memotong bagian yang sama 90 derajat" berlawanan arah jarum jam:
- segmen yang ditemukan, tentu saja, termasuk dalam area definisi;
– interval berikutnya – tidak termasuk;
- segmen berikutnya - masuk;
- dan, akhirnya, interval - tidak disertakan.
Sama seperti chamomile - "mencintai, tidak mencintai, mencintai, tidak mencintai" =) Dengan perbedaan bahwa ini tidak meramal. Ya, hanya semacam cinta dalam bahasa Cina ternyata ....
Jadi, 
dan garis mewakili mawar dengan dua kelopak identik. Sangat mungkin untuk menggambar gambar secara skematis, tetapi sangat diinginkan untuk menemukan dan menandai dengan benar bagian atas kelopak. simpul sesuai titik tengah segmen domain definisi, yang dalam contoh ini memiliki koordinat sudut yang jelas 
. Di mana panjang kelopak adalah: 
Berikut adalah hasil alami dari tukang kebun yang peduli: 
Perlu dicatat bahwa panjang kelopak mudah dilihat langsung dari persamaan - karena sinus terbatas: , maka nilai maksimum "er" tentu tidak akan melebihi dua.
b) Mari kita membangun garis yang diberikan oleh persamaan. Jelas, panjang kelopak mawar ini juga dua, tetapi, pertama-tama, kami tertarik pada domain definisi. Kami menerapkan metode analitis "mengiris": sinus non-negatif ketika argumennya berada dalam kisaran dari nol hingga "pi" inklusif, dalam hal ini: . Kami membagi semua bagian pertidaksamaan dengan 3 dan mendapatkan interval pertama:
Selanjutnya, kita mulai "memotong pai menjadi beberapa bagian" menurut rad. (60 derajat):
– segmen akan memasuki area definisi;
– interval – tidak akan masuk;
- segmen - akan masuk;
– interval – tidak akan masuk;
- segmen - akan masuk;
- interval - tidak akan masuk.
Proses telah berhasil diselesaikan pada tanda 360 derajat.
Jadi ruang lingkupnya adalah: 
.
Tindakan yang dilakukan secara keseluruhan atau sebagian mudah dilakukan secara mental.
Konstruksi. Jika di paragraf sebelumnya semuanya berjalan dengan baik dengan sudut siku-siku dan sudut 45 derajat, maka di sini Anda harus sedikit mengotak-atik. Ayo temukan bagian atas kelopak. Panjangnya terlihat sejak awal tugas, tetap menghitung koordinat sudut, yang sama dengan titik tengah segmen domain definisi: 
Harap dicatat bahwa di antara bagian atas kelopak Anda harus mendapatkan celah yang sama, dalam hal ini 120 derajat.
Diinginkan untuk menandai gambar menjadi sektor 60 derajat (dibatasi oleh garis hijau) dan menggambar arah puncak kelopak (garis abu-abu). Lebih mudah untuk menandai simpul itu sendiri dengan bantuan kompas - sekali mengukur jarak 2 unit dan menerapkan tiga takik ke arah yang ditarik pada 30, 150 dan 270 derajat: 
Siap. Saya mengerti bahwa tugas itu merepotkan, tetapi jika Anda ingin mengatur semuanya dengan cara yang cerdas, Anda harus meluangkan waktu.
Kami merumuskan rumus umum: persamaan bentuk , adalah bilangan asli), mendefinisikan kelopak mawar kutub yang panjang kelopaknya adalah .
Misalnya, persamaan menentukan quatrefoil dengan panjang kelopak 5 unit, persamaan - mawar 5 kelopak dengan panjang kelopak 3 unit. dll.
