Piramida. Piramida terpotong

Piramida disebut polihedron, salah satu wajahnya adalah poligon ( basis ), dan semua wajah lainnya adalah segitiga dengan simpul yang sama ( wajah samping ) (Gbr. 15). Piramida disebut benar , jika alasnya adalah poligon beraturan dan bagian atas piramida diproyeksikan ke tengah alasnya (Gbr. 16). Piramida segitiga yang semua sisinya sama panjang disebut segi empat .

rusuk samping piramida disebut sisi sisi wajah yang bukan milik alas Tinggi piramida adalah jarak dari puncaknya ke bidang alasnya. Semua sisi sisi piramida beraturan adalah sama satu sama lain, semua sisi sisinya adalah segitiga sama kaki yang sama. Tinggi sisi sisi piramida beraturan yang ditarik dari titik sudut disebut pendewaan . bagian diagonal Bagian dari piramida disebut bidang yang melewati dua sisi yang tidak memiliki wajah yang sama.

Luas permukaan samping piramida disebut jumlah luas semua sisi sisi. Luas permukaan penuh adalah jumlah luas semua sisi sisi dan alasnya.

Teorema

1. Jika dalam sebuah piramida semua sisi miring sama rata terhadap bidang alasnya, maka puncak piramida diproyeksikan ke pusat lingkaran berbatas dekat alasnya.

2. Jika dalam sebuah piramida semua tepi lateral memiliki panjang yang sama, maka puncak piramida diproyeksikan ke pusat lingkaran berbatas dekat alasnya.

3. Jika dalam piramida semua wajah sama-sama condong ke bidang alasnya, maka puncak piramida diproyeksikan ke pusat lingkaran yang tertulis di alasnya.

Untuk menghitung volume piramida sewenang-wenang, rumusnya benar:

di mana V- volume;

S utama- daerah dasar;

H adalah ketinggian piramida.

Untuk piramida biasa, rumus berikut ini benar:

di mana p- keliling pangkalan;

h a- apotema;

H- tinggi;

S penuh

sisi S

S utama- daerah dasar;

V adalah volume piramida biasa.

piramida terpotong disebut bagian piramida yang tertutup antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas piramida (Gbr. 17). Piramida terpotong yang benar disebut bagian dari piramida biasa, tertutup antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas piramida.

Yayasan piramida terpotong - poligon serupa. Wajah samping - trapesium. Tinggi piramida terpotong disebut jarak antara alasnya. Diagonal Piramida terpotong adalah segmen yang menghubungkan simpulnya yang tidak terletak pada wajah yang sama. bagian diagonal Bagian dari piramida yang terpotong disebut bidang yang melewati dua sisi yang tidak memiliki sisi yang sama.

Untuk piramida terpotong, rumusnya valid:

(4)

di mana S 1 , S 2 - area pangkalan atas dan bawah;

S penuh adalah luas permukaan total;

sisi S adalah luas permukaan lateral;

H- tinggi;

V adalah volume piramida terpotong.

Untuk piramida terpotong biasa, rumus berikut ini benar:

di mana p 1 , p 2 - perimeter dasar;

h a- apotema piramida terpotong biasa.

Contoh 1 Dalam piramida segitiga biasa, sudut dihedral di pangkalan adalah 60º. Temukan garis singgung sudut kemiringan tepi samping ke bidang alas.

Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 18).

Piramida beraturan, artinya alasnya adalah segitiga sama sisi dan semua sisi sisinya adalah segitiga sama kaki. Sudut dihedral pada alas adalah sudut kemiringan sisi muka piramida terhadap bidang alas. Sudut linier akan menjadi sudut sebuah antara dua garis tegak lurus: mis. Bagian atas piramida diproyeksikan di pusat segitiga (pusat lingkaran berbatas dan lingkaran bertulis di segitiga ABC). Sudut kemiringan rusuk samping (misalnya SB) adalah sudut antara tepi itu sendiri dan proyeksinya ke bidang dasar. Untuk tulang rusuk SB sudut ini akan menjadi sudut SBD. Untuk menemukan garis singgung, Anda perlu mengetahui kaki-kakinya JADI dan OB. Biarkan panjang segmen BD adalah 3 sebuah. dot HAI segmen garis BD dibagi menjadi beberapa bagian: dan Dari kita menemukan JADI: Dari kami menemukan:

Menjawab:

Contoh 2 Hitunglah volume limas segi empat beraturan jika diagonal alasnya cm dan cm dan tingginya 4 cm.

Keputusan. Untuk menemukan volume piramida terpotong, kami menggunakan rumus (4). Untuk menemukan luas alasnya, Anda perlu menemukan sisi-sisi bujur sangkar alas, mengetahui diagonal-diagonalnya. Sisi alasnya masing-masing adalah 2 cm dan 8 cm Ini berarti luas alas dan Mengganti semua data ke dalam rumus, kami menghitung volume piramida terpotong:

Menjawab: 112 cm3.

Contoh 3 Hitunglah luas permukaan sisi piramida beraturan segitiga terpotong, yang sisi alasnya adalah 10 cm dan 4 cm, dan tinggi piramida adalah 2 cm.

Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 19).

Sisi sisi piramida ini adalah trapesium sama kaki. Untuk menghitung luas trapesium, Anda perlu mengetahui alas dan tingginya. Basis diberikan oleh kondisi, hanya tingginya yang tidak diketahui. Temukan dari mana TETAPI 1 E tegak lurus dari suatu titik TETAPI 1 pada bidang alas bawah, A 1 D- tegak lurus dari TETAPI 1 on AC. TETAPI 1 E\u003d 2 cm, karena ini adalah ketinggian piramida. Untuk menemukan DE kita akan membuat gambar tambahan, di mana kita akan menggambarkan tampilan atas (Gbr. 20). Dot HAI- proyeksi pusat pangkalan atas dan bawah. sejak (lihat Gambar 20) dan Di sisi lain Oke adalah jari-jari lingkaran tertulis dan om adalah jari-jari lingkaran tertulis:

MK=DE.

Menurut teorema Pythagoras dari

Area wajah samping:

Menjawab:

Contoh 4 Di dasar piramida terletak trapesium sama kaki, yang alasnya sebuah dan b (sebuah> b). Setiap sisi wajah membentuk sudut yang sama dengan bidang alas piramida j. Temukan total luas permukaan piramida.

Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 21). Luas permukaan total piramida SABCD sama dengan jumlah luas dan luas trapesium ABCD.

Kami menggunakan pernyataan bahwa jika semua wajah piramida memiliki kemiringan yang sama terhadap bidang alasnya, maka puncaknya diproyeksikan ke pusat lingkaran yang tertulis di alasnya. Dot HAI- proyeksi puncak S di dasar piramida. Segi tiga MERUMPUT adalah proyeksi ortogonal segitiga CSD ke bidang dasar. Menurut teorema pada area proyeksi ortogonal dari bangun datar, kita mendapatkan:

Demikian pula, itu berarti Jadi, masalahnya dikurangi menjadi menemukan luas trapesium ABCD. Menggambar trapesium ABCD secara terpisah (Gbr. 22). Dot HAI adalah pusat lingkaran pada trapesium.

Karena lingkaran dapat ditulis dalam trapesium, maka atau Dengan teorema Pythagoras kita miliki

Kemampuan menghitung volume bangun ruang penting dalam memecahkan sejumlah masalah praktis dalam geometri. Salah satu bentuk yang paling umum adalah piramida. Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan piramida, baik penuh maupun terpotong.

Piramida sebagai sosok tiga dimensi

Semua orang tahu tentang piramida Mesir, sehingga mereka memiliki ide bagus tentang sosok apa yang akan dibahas. Namun demikian, struktur batu Mesir hanyalah kasus khusus dari kelas piramida yang sangat besar.

Objek geometris yang dipertimbangkan dalam kasus umum adalah basis poligonal, yang setiap simpulnya terhubung ke beberapa titik dalam ruang yang bukan milik bidang alas. Definisi ini mengarah ke sosok yang terdiri dari satu n-gon dan n segitiga.

Piramida apa pun terdiri dari n+1 wajah, 2*n sisi, dan n+1 simpul. Karena gambar yang dipertimbangkan adalah polihedron sempurna, jumlah elemen bertanda mematuhi persamaan Euler:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Poligon yang terletak di dasar memberi nama piramida, misalnya segitiga, pentagonal, dan sebagainya. Satu set piramida dengan alas yang berbeda ditunjukkan pada foto di bawah ini.

Titik di mana n segitiga pada gambar terhubung disebut puncak piramida. Jika tegak lurus diturunkan darinya ke alas dan memotongnya di pusat geometris, maka gambar seperti itu akan disebut garis lurus. Jika kondisi ini tidak terpenuhi, maka ada piramida miring.

Sosok lurus, yang alasnya dibentuk oleh n-gon sama sisi (segitiga), disebut beraturan.

rumus volume piramida

Untuk menghitung volume piramida, kami menggunakan kalkulus integral. Untuk melakukan ini, kami membagi gambar dengan bidang garis potong yang sejajar dengan alas menjadi lapisan tipis dalam jumlah tak terbatas. Gambar di bawah menunjukkan piramida segi empat dengan tinggi h dan panjang sisi L, di mana lapisan penampang tipis ditandai dengan segi empat.

Luas setiap lapisan tersebut dapat dihitung dengan rumus:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /j 2 .

Di sini A 0 adalah luas alas, z adalah nilai koordinat vertikal. Dapat dilihat bahwa jika z = 0, maka rumus memberikan nilai A 0 .

Untuk mendapatkan rumus volume piramida, Anda harus menghitung integral dari seluruh tinggi gambar, yaitu:

V = h 0 (A(z)*dz).

Mengganti ketergantungan A(z) dan menghitung antiturunan, kita sampai pada ekspresi:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Kami telah memperoleh rumus untuk volume piramida. Untuk menemukan nilai V, cukup dengan mengalikan tinggi gambar dengan luas alas, lalu membagi hasilnya dengan tiga.

Perhatikan bahwa ekspresi yang dihasilkan valid untuk menghitung volume piramida jenis arbitrer. Artinya, ia dapat dimiringkan, dan alasnya dapat berupa n-gon yang berubah-ubah.

dan volumenya

Rumus umum untuk volume yang diperoleh dalam paragraf di atas dapat disempurnakan dalam kasus piramida dengan alas biasa. Luas alas seperti itu dihitung dengan rumus berikut:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Di sini L adalah panjang sisi poligon beraturan dengan n simpul. Simbol pi adalah angka pi.

Mengganti ekspresi untuk A 0 ke dalam rumus umum, kami memperoleh volume piramida biasa:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Misalnya, untuk piramida segitiga, rumus ini mengarah ke ekspresi berikut:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d 3 / 12 * L 2 * h.

Untuk piramida segi empat biasa, rumus volume berbentuk:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Menentukan volume piramida biasa membutuhkan mengetahui sisi alasnya dan tinggi gambarnya.

Piramida terpotong

Misalkan kita telah mengambil piramida sewenang-wenang dan memotong bagian dari permukaan lateral yang berisi simpul. Sosok yang tersisa disebut piramida terpotong. Ini sudah terdiri dari dua n-gonal basis dan n trapesium yang menghubungkan mereka. Jika bidang potong sejajar dengan alas gambar, maka piramida terpotong dibentuk dengan alas serupa yang sejajar. Artinya, panjang sisi salah satunya dapat diperoleh dengan mengalikan panjang sisi lainnya dengan beberapa koefisien k.

Gambar di atas menunjukkan beraturan yang terpotong, terlihat bahwa alas atasnya, seperti alas bawahnya, dibentuk oleh segi enam beraturan.

Rumus yang dapat diturunkan menggunakan kalkulus integral yang mirip dengan di atas adalah:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + (A 0 *A 1)).

Dimana A 0 dan A 1 masing-masing adalah luas alas bawah (besar) dan alas atas (kecil). Variabel h menunjukkan ketinggian piramida terpotong.

Volume piramida Cheops

Sangat penasaran untuk memecahkan masalah menentukan volume yang berisi piramida Mesir terbesar.

Pada tahun 1984, ahli Mesir Kuno Inggris Mark Legner (Mark Lehner) dan John Goodman (Jon Goodman) menetapkan dimensi yang tepat dari piramida Cheops. Ketinggian aslinya adalah 146,50 meter (saat ini sekitar 137 meter). Panjang rata-rata masing-masing dari empat sisi struktur adalah 230,363 meter. Dasar piramida berbentuk bujur sangkar dengan presisi tinggi.

Mari kita gunakan angka-angka yang diberikan untuk menentukan volume batu raksasa ini. Karena piramida adalah segi empat biasa, maka rumusnya berlaku untuk itu:

Dengan memasukkan angka-angka, kita mendapatkan:

V 4 \u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146,5 2591444 m 3.

Volume piramida Cheops hampir 2,6 juta m 3. Sebagai perbandingan, kami mencatat bahwa kolam Olimpiade memiliki volume 2,5 ribu m 3. Artinya, untuk mengisi seluruh piramida Cheops, dibutuhkan lebih dari 1000 kolam seperti itu!

- Ini adalah polihedron, yang dibentuk oleh dasar piramida dan bagian yang sejajar dengannya. Kita dapat mengatakan bahwa piramida terpotong adalah piramida dengan bagian atas yang terpotong. Sosok ini memiliki banyak sifat unik:

• Sisi samping piramida berbentuk trapesium;
• Rusuk lateral piramida terpotong biasa memiliki panjang yang sama dan miring ke alas pada sudut yang sama;
• Basisnya adalah poligon serupa;
• Dalam piramida terpotong biasa, wajah-wajahnya adalah trapesium sama kaki yang identik, yang luasnya sama. Mereka juga cenderung ke pangkalan pada satu sudut.

Rumus luas permukaan lateral piramida terpotong adalah jumlah luas sisi-sisinya:

Karena sisi piramida terpotong adalah trapesium, Anda harus menggunakan rumus untuk menghitung parameter luas trapesium. Untuk piramida terpotong biasa, rumus lain untuk menghitung luas dapat diterapkan. Karena semua sisi, wajah, dan sudut alasnya sama, keliling alas dan apotema dapat diterapkan, dan juga menurunkan luas yang melalui sudut alas.

Jika, menurut kondisi dalam piramida terpotong biasa, apotema (tinggi sisi) dan panjang sisi alas diberikan, maka luas dapat dihitung melalui produk setengah dari jumlah keliling dari dasar dan apotema:

Mari kita lihat contoh penghitungan luas permukaan lateral piramida terpotong.
Diberikan piramida pentagonal biasa. Apotema aku\u003d 5 cm, panjang wajah di alas besar adalah sebuah\u003d 6 cm, dan wajah berada di dasar yang lebih kecil b\u003d 4 cm Hitung luas piramida terpotong.

Pertama, mari kita cari keliling alasnya. Karena kita diberi piramida pentagonal, kita memahami bahwa alasnya adalah segi lima. Ini berarti bahwa alasnya adalah bangun datar dengan lima sisi yang identik. Cari keliling alas yang lebih besar:

Dengan cara yang sama, kami menemukan keliling alas yang lebih kecil:

Sekarang kita dapat menghitung luas piramida terpotong biasa. Kami mengganti data dalam rumus:

Jadi, kami menghitung luas piramida terpotong biasa melalui perimeter dan apotema.

Cara lain untuk menghitung luas permukaan lateral piramida biasa adalah dengan rumus melalui sudut-sudut di pangkalan dan area pangkalan-pangkalan ini.

Mari kita lihat contoh perhitungannya. Ingatlah bahwa rumus ini hanya berlaku untuk piramida terpotong biasa.

Biarkan piramida segi empat biasa diberikan. Muka alas bawah adalah a = 6 cm dan muka alas atas b = 4 cm Sudut dihedral pada alas adalah = 60°. Temukan luas permukaan lateral piramida terpotong biasa.

Pertama, mari kita hitung luas alasnya. Karena piramida itu teratur, semua wajah alasnya sama satu sama lain. Mengingat bahwa alasnya adalah segi empat, kami memahami bahwa perlu untuk menghitung luas persegi. Ini adalah produk dari lebar dan panjang, tetapi kuadrat, nilai-nilai ini sama. Temukan luas alas yang lebih besar:


Sekarang kami menggunakan nilai yang ditemukan untuk menghitung luas permukaan lateral.

Mengetahui beberapa rumus sederhana, kami dengan mudah menghitung luas trapesium lateral piramida terpotong melalui berbagai nilai.

• 09.10.2014

  Preamplifier yang ditunjukkan pada gambar dirancang untuk digunakan dengan 4 jenis sumber suara, seperti mikrofon, pemutar CD, radio tape recorder, dll. Pada saat yang sama, preamplifier memiliki satu input yang dapat mengubah sensitivitas dari 50mV menjadi 500mV . tegangan keluaran penguat adalah 1000mV. Dengan menghubungkan sumber sinyal yang berbeda saat mengganti sakelar SA1, kita akan selalu mendapatkan ...

• 20.09.2014

  PSU dirancang untuk beban dengan daya 15 ... 20 watt. Sumber dibuat sesuai dengan skema konverter frekuensi tinggi berdenyut satu siklus. Sebuah osilator yang beroperasi pada frekuensi 20 ... 40 kHz dipasang pada transistor. Frekuensi disesuaikan dengan kapasitansi C5. Elemen VD5, VD6 dan C6 membentuk rangkaian untuk memulai osilator. Di sirkuit sekunder, setelah penyearah jembatan, ada penstabil linier konvensional pada sirkuit mikro, yang memungkinkan Anda memiliki ...

• 28.09.2014

  Gambar menunjukkan generator pada chip K174XA11, yang frekuensinya dikendalikan oleh tegangan. Dengan mengubah kapasitansi C1 dari 560 menjadi 4700pF, rentang frekuensi yang lebar dapat diperoleh, sedangkan frekuensi disesuaikan dengan mengubah resistansi R4. Misalnya, penulis menemukan bahwa, pada C1 \u003d 560pF, frekuensi generator dapat diubah menggunakan R4 dari 600Hz ke 200kHz, ...

• 03.10.2014

  Unit ini dirancang untuk memberi daya pada ULF yang kuat, dirancang untuk tegangan keluaran ± 27V sehingga memuat hingga 3A pada setiap lengan. PSU adalah bipolar, dibuat pada transistor komposit lengkap KT825-KT827. Kedua lengan stabilizer dibuat sesuai dengan skema yang sama, tetapi di lengan lain (tidak ditampilkan), polaritas kapasitor diubah dan transistor yang lain digunakan ...