Pergi) nomor.

2. Bentuk aljabar dari representasi bilangan kompleks

bilangan kompleks atau kompleks, disebut bilangan yang terdiri dari dua angka (bagian) - nyata dan imajiner.

nyata setiap angka positif atau negatif disebut, misalnya, + 5, - 28, dll. Mari kita nyatakan bilangan real dengan huruf "L".

Imajiner angka yang sama dengan produk bilangan real dan akar kuadrat dari unit negatif disebut, misalnya, 8, - 20, dll.

Satuan negatif disebut imajiner dan dilambangkan dengan huruf "iot":

Mari kita tunjukkan bilangan real dalam komposisi imajiner dengan huruf "M".

Maka bilangan imajiner dapat ditulis seperti ini: j M. Dalam hal ini, bilangan kompleks A dapat ditulis seperti ini:

A = L + j M (2).

Bentuk penulisan bilangan kompleks (kompleks) yang merupakan jumlah aljabar bagian real dan imajiner ini disebut aljabar.

Contoh 1 Nyatakan dalam bentuk aljabar kompleks yang bagian realnya 6 dan bagian imajinernya 15.

Keputusan. A \u003d 6 + j 15.

Selain bentuk aljabar, bilangan kompleks dapat direpresentasikan dalam tiga bentuk lagi:

1. grafis;

2. trigonometri;

3. indikatif.

Keragaman bentuk seperti itu sangat tajam menyederhanakan perhitungan besaran sinusoidal dan representasi grafiknya.

Pertimbangkan pada gilirannya grafik, trigonometri dan eksponen-

bentuk baru representasi bilangan kompleks.

Representasi grafis dari bilangan kompleks

Untuk representasi grafis dari bilangan kompleks, langsung

sistem koordinat batubara. Dalam sistem koordinat (sekolah) biasa, positif atau negatif nyata angka.

Dalam sistem koordinat yang diadopsi dalam metode simbolik, sepanjang sumbu x

bilangan real diplot dalam bentuk segmen, dan bilangan imajiner di sepanjang sumbu "y"

Beras. 1. Sistem koordinat untuk representasi grafik bilangan kompleks

Oleh karena itu, sumbu x disebut sumbu nilai nyata atau, singkatnya, nyata sumbu.

Sumbu y disebut sumbu imajiner atau imajiner sumbu.

Bidang itu sendiri (yaitu, bidang gambar), di mana bilangan kompleks atau kuantitas digambarkan, disebut terintegrasi pesawat terbang.

Pada bidang ini, bilangan kompleks A = L + j M diwakili oleh vektor A

(Gbr. 2), proyeksi yang pada sumbu nyata sama dengan bagian nyata Re A \u003d A "= L, dan proyeksi pada sumbu imajiner sama dengan bagian imajiner Im A \u003d A" \u003d M.

(Re - dari bahasa Inggris real - real, real, real, Im - dari bahasa Inggris imajiner - tidak nyata, imajiner).

Beras. 2. Representasi grafis dari bilangan kompleks

Dalam hal ini, angka A dapat ditulis sebagai

A \u003d A "+ A" \u003d Re A + j Im A (3) .

Menggunakan representasi grafis dari angka A di bidang kompleks, kami memperkenalkan definisi baru dan memperoleh beberapa hubungan penting:

1. panjang vektor A disebut modul vektor dan dilambangkan dengan |A|.

Menurut teorema Pythagoras

|A| = (4) .

2. sudut yang dibentuk oleh vektor A dan semi positif real

sumbu disebut argumen vektor A dan ditentukan melalui garis singgungnya:

tg \u003d A "/ A" \u003d Im A / Re A (5).

Jadi, untuk representasi grafis dari bilangan kompleks

A \u003d A "+ A" dalam bentuk vektor, Anda perlu:

1. tentukan modulus vektor |A| menurut rumus (4);

2. cari argumen dari vektor tg dengan rumus (5);

3. tentukan sudut dari hubungan = busur tg ;

4. dalam sistem koordinat j (x), gambarlah sebuah bantu

garis lurus dan di atasnya, pada skala tertentu, plot segmen yang sama dengan modulus vektor |A|.

Contoh 2 Bilangan kompleks A \u003d 3 + j 4 disajikan dalam bentuk grafik.

Bilangan kompleks, representasi mereka di pesawat. Operasi aljabar pada bilangan kompleks. Konjugasi kompleks. Modulus dan argumen bilangan kompleks. Bentuk aljabar dan trigonometri dari bilangan kompleks. Akar bilangan kompleks. Fungsi eksponensial dari argumen yang kompleks. rumus Euler. Bentuk eksponensial dari bilangan kompleks.

Saat mempelajari salah satu metode integrasi utama - integrasi pecahan rasional - diperlukan untuk mempertimbangkan polinomial dalam domain kompleks untuk bukti yang ketat. Oleh karena itu, mari kita pelajari dulu beberapa sifat bilangan kompleks dan operasinya.

Definisi 7.1. Bilangan kompleks z adalah pasangan terurut dari bilangan real (a, b): z = (a, b) (istilah “terurut” berarti bahwa urutan bilangan a dan b penting dalam penulisan bilangan kompleks: (a , b) )). Dalam hal ini, bilangan pertama a disebut bagian real dari bilangan kompleks z dan dinotasikan a = Re z, dan bilangan kedua b disebut bagian imajiner dari z: b = Im z.

Definisi 7.2. Dua bilangan kompleks z 1 \u003d (a 1, b 1) dan z 2 \u003d (a 2, b 2) adalah sama jika dan hanya jika mereka memiliki bagian nyata dan imajiner yang sama, yaitu, a 1 \u003d a 2, b 1 \u003d b2.

Tindakan pada bilangan kompleks.

1. jumlah bilangan kompleks z1 =(a 1 , b 1) dan z2 =(a2, b2 z=(a, b) seperti yang a = a 1 + a 2 , b = b 1 + b 2 . Properti tambahan: a) z1 + z2 = z2 + z1; b) z 1 +(z2 + z3) = (z1 + z2) + z3; c) ada bilangan kompleks 0 = (0,0): z + 0 =z untuk bilangan kompleks apa pun z.

2. kerja bilangan kompleks z1 =(a 1 , b 1) dan z2 =(a2, b2) disebut bilangan kompleks z=(a, b) seperti yang a \u003d a 1 a 2 - b 1 b 2, b \u003d a 1 b 2 + a 2 b 1. Sifat perkalian: a) z 1 z 2 = z 2 z 1; b) z1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z3, di) ( z1 + z2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

Komentar. Suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan real yang didefinisikan sebagai bilangan kompleks dalam bentuk ( sebuah, 0). Dapat dilihat bahwa dalam kasus ini definisi operasi pada bilangan kompleks mempertahankan aturan yang diketahui dari operasi yang sesuai pada bilangan real. Selain itu, bilangan real 1 = (1,0) mempertahankan propertinya ketika dikalikan dengan bilangan kompleks apa pun: 1∙ z = z.

Definisi 7.3. Bilangan kompleks (0, b) disebut murni imajiner. Secara khusus, angka (0,1) disebut satuan imajiner dan disimbolkan saya.

Properti unit imajiner:

1) i∙i=i² = -1; 2) bilangan imajiner murni (0, b) dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan real ( b, 0) dan saya: (b, 0) = b∙i.

Oleh karena itu, setiap bilangan kompleks z = (a,b) dapat direpresentasikan sebagai: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

Definisi 7.4. Notasi bentuk z = a + ib disebut bentuk aljabar bilangan kompleks.

Komentar. Notasi aljabar bilangan kompleks memungkinkan untuk melakukan operasi pada mereka sesuai dengan aturan aljabar yang biasa.

Definisi 7.5. Bilangan kompleks disebut konjugat kompleks dari z = a + ib.

3. Pengurangan Bilangan kompleks didefinisikan sebagai operasi kebalikan dari penjumlahan: z=(a, b) disebut selisih bilangan kompleks z1 =(a 1 , b 1) dan z2 =(a2, b2), jika a \u003d a 1 - a 2, b \u003d b 1 - b 2.

4. Divisi bilangan kompleks didefinisikan sebagai operasi kebalikan dari perkalian: bilangan z = a + ib disebut hasil bagi pembagian z 1 = a 1 + ib 1 dan z 2 = a 2 + ib 2(z 2 0) jika z 1 = z∙z 2 . Oleh karena itu, bagian nyata dan imajiner dari hasil bagi dapat ditemukan dari solusi sistem persamaan: a 2 a - b 2 b \u003d a 1, b 2 a + a 2 b \u003d b 1.

Interpretasi geometris bilangan kompleks.

Bilangan kompleks z=(a, b) dapat direpresentasikan sebagai titik pada bidang dengan koordinat ( a, b) atau vektor dengan asal di titik asal dan berakhir di titik ( a, b).

Dalam hal ini, modul dari vektor yang dihasilkan disebut modul bilangan kompleks, dan sudut yang dibentuk oleh vektor dengan arah sumbu x positif adalah argumen angka. Mengingat bahwa a = p karena , b = dosa φ, di mana ρ = |z| - modul z, dan = arg z adalah argumennya, kita bisa mendapatkan bentuk lain dari penulisan bilangan kompleks:

Definisi 7.6. Lihat entri

z = p(karena + saya dosa φ ) (7.1)

ditelepon bentuk trigonometri notasi bilangan kompleks.

Pada gilirannya, modulus dan argumen dari bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam sebuah dan b: . Oleh karena itu, argumen bilangan kompleks tidak didefinisikan secara unik, tetapi hingga suku yang merupakan kelipatan 2π.

Sangat mudah untuk melihat bahwa operasi penjumlahan bilangan kompleks berhubungan dengan operasi penjumlahan vektor. Pertimbangkan interpretasi geometris perkalian. Biarkan kemudian

Oleh karena itu, modulus produk dua bilangan kompleks sama dengan produk modulusnya, dan argumennya adalah jumlah argumennya. Dengan demikian, ketika membagi, modulus hasil bagi sama dengan rasio modul dividen dan pembagi, dan argumen adalah perbedaan antara argumen mereka.

Kasus khusus dari operasi perkalian adalah eksponensial:

- rumus De Moivre.

Dengan menggunakan hubungan yang diperoleh, kami mencantumkan sifat-sifat utama bilangan konjugat kompleks:

Bilangan kompleks

Konsep dasar

Data awal angka tersebut mengacu pada Zaman Batu – Paleomelite. Ini adalah "satu", "sedikit" dan "banyak". Mereka dicatat dalam bentuk takik, simpul, dll. Perkembangan proses kerja dan munculnya properti memaksa manusia untuk menemukan angka dan nama mereka. Bilangan asli pertama kali muncul N diperoleh dengan menghitung benda. Kemudian, bersama dengan kebutuhan untuk menghitung, orang memiliki kebutuhan untuk mengukur panjang, luas, volume, waktu, dan besaran lainnya, di mana perlu untuk memperhitungkan bagian-bagian dari ukuran yang digunakan. Ini adalah bagaimana pecahan lahir. Pembuktian formal konsep bilangan pecahan dan negatif dilakukan pada abad ke-19. Himpunan bilangan bulat Z adalah bilangan asli, bilangan asli dengan tanda minus dan nol. Bilangan bulat dan pecahan membentuk himpunan bilangan rasional Q, tetapi bahkan ternyata tidak cukup untuk mempelajari variabel yang terus berubah. Kejadian sekali lagi menunjukkan ketidaksempurnaan matematika: ketidakmungkinan memecahkan persamaan bentuk X 2 = 3, sehubungan dengan munculnya bilangan irasional SAYA. Gabungan himpunan bilangan rasional Q dan bilangan irasional Saya adalah himpunan bilangan real (atau real) R. Akibatnya, garis bilangan terisi: setiap bilangan real berhubungan dengan titik di atasnya. Tapi di lokasi syuting R tidak ada cara untuk menyelesaikan persamaan X 2 = – sebuah 2. Akibatnya, sekali lagi ada kebutuhan untuk memperluas konsep bilangan. Jadi pada tahun 1545 bilangan kompleks muncul. Pencipta mereka J. Cardano menyebut mereka "murni negatif". Nama "imajiner" diperkenalkan pada tahun 1637 oleh orang Prancis R. Descartes, pada tahun 1777 Euler menyarankan menggunakan huruf pertama dari angka Prancis saya untuk menunjukkan unit imajiner. Simbol ini mulai digunakan secara umum berkat K. Gauss.

Selama abad ke-17 dan ke-18, diskusi tentang sifat aritmatika dari imajiner dan interpretasi geometrisnya berlanjut. Orang Denmark H. Wessel, orang Prancis J. Argan, dan orang Jerman K. Gauss secara independen menyarankan bahwa bilangan kompleks diwakili oleh sebuah titik pada bidang koordinat. Belakangan ternyata lebih mudah untuk menyatakan angka bukan sebagai titik, tetapi sebagai vektor yang menuju titik ini dari titik asal.

Hanya pada akhir abad ke-18 - awal abad ke-19 bilangan kompleks mengambil tempat yang tepat dalam analisis matematis. Penggunaan pertama mereka adalah dalam teori persamaan diferensial dan dalam teori hidrodinamika.

Definisi 1.bilangan kompleks disebut ekspresi dari bentuk , dimana x dan kamu adalah bilangan real, dan saya adalah satuan imajiner, .

dua bilangan kompleks dan setara jika dan hanya jika , .

Jika , maka bilangan tersebut disebut murni imajiner; jika , maka bilangan tersebut adalah bilangan real, yang berarti himpunan R Dengan, di mana Dengan adalah himpunan bilangan kompleks.

terkonjugasi ke bilangan kompleks disebut bilangan kompleks.

Representasi geometris bilangan kompleks.

Setiap bilangan kompleks dapat diwakili oleh sebuah titik. M(x, kamu) pesawat terbang Oky. Sepasang bilangan real juga menunjukkan koordinat vektor radius , yaitu antara himpunan vektor pada bidang dan himpunan bilangan kompleks, seseorang dapat membentuk korespondensi satu-satu: .

Definisi 2.Bagian nyata X.

Penamaan: x= Re z(dari bahasa Latin Realis).

Definisi 3.bagian imajiner bilangan kompleks disebut bilangan real kamu.

Penamaan: kamu= saya z(dari bahasa Latin Imaginarius).

Ulang z diendapkan pada sumbu ( Oh), Aku z diendapkan pada sumbu ( Oy), maka vektor yang sesuai dengan bilangan kompleks adalah vektor jari-jari titik M(x, kamu), (atau M(Ulang z, Aku z)) (Gbr. 1).

Definisi 4. Bidang yang titik-titiknya berhubungan dengan himpunan bilangan kompleks disebut pesawat yang kompleks. Absis disebut sumbu nyata, karena mengandung bilangan real . Sumbu y disebut sumbu imajiner, berisi bilangan kompleks murni imajiner . Himpunan bilangan kompleks dilambangkan Dengan.

Definisi 5.modul bilangan kompleks z = (x, kamu) adalah panjang vektor : , mis. .

Definisi 6.Argumen bilangan kompleks disebut sudut antara arah sumbu positif ( Oh) dan vektor : .

Catatan 3. Jika titik z terletak pada sumbu nyata atau imajiner, dapat ditemukan secara langsung.

Bentuk bilangan kompleks berikut ada: aljabar(x+iy), trigonometri(r(cos+isin )), demonstrasi(aku kembali ).

Setiap bilangan kompleks z=x+iy dapat direpresentasikan pada bidang XOY sebagai titik A(x, y).

Bidang di mana bilangan kompleks digambarkan disebut bidang variabel kompleks z (kami menempatkan simbol z pada bidang).

Sumbu OX adalah sumbu nyata, mis. mengandung bilangan real. OS adalah sumbu imajiner dengan angka imajiner.

x+iy- bentuk aljabar penulisan bilangan kompleks.

Kami menurunkan bentuk trigonometri dari bilangan kompleks.

Kami mengganti nilai yang diperoleh ke dalam bentuk awal: , mis.

r(cos+isin) - bentuk trigonometri penulisan bilangan kompleks.

Bentuk eksponensial dari bilangan kompleks mengikuti dari rumus Euler:
,kemudian

z= ulang saya - bentuk eksponensial penulisan bilangan kompleks.

Tindakan pada bilangan kompleks.

1. tambahan. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2 . pengurangan. z 1 -z 2 \u003d (x1 + iy1) - (x2 + iy2) \u003d (x1-x2) + i (y1-y2);

3. perkalian. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);

4 . divisi. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=

Dua bilangan kompleks yang hanya berbeda dalam tanda satuan imajinernya, mis. z=x+iy (z=x-iy) disebut konjugat.

Kerja.

z1=r(cos +isin ); z2=r(cos +isin ).

Hasil kali z1*z2 dari bilangan kompleks adalah: , mis. modulus produk sama dengan produk modul, dan argumen produk sama dengan jumlah argumen faktor.

;
;

Pribadi.

Jika bilangan kompleks diberikan dalam bentuk trigonometri.

Jika bilangan kompleks diberikan dalam bentuk eksponensial.

Eksponen.

1. Bilangan kompleks diberikan dalam aljabar membentuk.

z=x+iy, maka z n ditemukan oleh rumus binomial newton:

- jumlah kombinasi n elemen dengan m (banyaknya cara n elemen dapat diambil dari m).

; n!=1*2*…*n; 0!=1;
.

Digunakan untuk bilangan kompleks.

Dalam ekspresi yang dihasilkan, Anda perlu mengganti kekuatan i dengan nilainya:

i 0 =1 Oleh karena itu, dalam kasus umum, kami memperoleh: i 4k =1

i 1 =i i 4k+1 =i

saya 2 =-1 saya 4k+2 =-1

i 3 =-i i 4k+3 =-i

Contoh.

i 31 = i 28 i 3 =-i

i 1063 = i 1062 i=i

2. trigonometri membentuk.

z=r(cos +isin ), kemudian

- rumus De Moivre.

Di sini n dapat berupa "+" dan "-" (bilangan bulat).

3. Jika bilangan kompleks diberikan dalam demonstratif membentuk:

Ekstraksi akar.

Pertimbangkan persamaan:
.

Solusinya adalah akar ke-n dari bilangan kompleks z:
.

Akar ke-n dari bilangan kompleks z memiliki tepat n solusi (nilai). Akar ke-n dari bilangan saat ini hanya memiliki satu solusi. Dalam kompleks - n solusi.

Jika bilangan kompleks diberikan dalam trigonometri membentuk:

z=r(cos +isin ), maka akar ke-n dari z ditemukan dengan rumus:

, di mana k=0.1…n-1.

Baris. Garis bilangan.

Biarkan variabel a berturut-turut mengambil nilai a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n . Himpunan bilangan yang dicacah seperti itu disebut barisan. Dia tidak ada habisnya.

Deret bilangan adalah ekspresi a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n + ... = . Bilangan a 1, a 2, a 3, ..., dan n adalah anggota deret tersebut.

Sebagai contoh.

dan 1 adalah anggota pertama dari seri.

dan n adalah anggota ke-n atau anggota umum dari deret tersebut.

Suatu deret dianggap diberikan jika ke-n (suku umum deret tersebut) diketahui.

Deret bilangan memiliki jumlah anggota yang tidak terbatas.

Numerator - deret aritmatika (1,3,5,7…).

anggota ke-n ditemukan dengan rumus a n = a 1 + d (n-1); d=a n -a n-1 .

penyebut - deret geometri. b n =b 1 q n-1 ;
.

Pertimbangkan jumlah n suku pertama deret tersebut dan dilambangkan dengan Sn.

Sn=a1+a2+…+a n .

Sn adalah jumlah parsial ke-n dari deret tersebut.

Pertimbangkan batasnya:

S adalah jumlah dari deret tersebut.

Baris konvergen jika batas ini terbatas (terbatas S ada).

Baris berbeda jika batas ini tidak terbatas.

Di masa depan, tugas kami adalah sebagai berikut: untuk menetapkan seri mana.

Salah satu deret yang paling sederhana tetapi paling umum adalah deret geometri.

, C = konstanta.

Deret geometri adalahkonvergen di dekat, jika
, dan divergen jika
.

Juga ditemukan seri harmonik(baris
). Baris ini berbeda .

Menetapkan bilangan kompleks sama dengan menetapkan dua bilangan real a, b - bagian real dan imajiner dari bilangan kompleks ini. Tetapi pasangan bilangan terurut direpresentasikan dalam sistem koordinat persegi panjang Cartesian oleh sebuah titik dengan koordinat Dengan demikian, titik ini juga dapat berfungsi sebagai gambar untuk bilangan kompleks z: korespondensi satu-ke-satu dibuat antara bilangan kompleks dan titik dari bidang koordinat. Saat menggunakan bidang koordinat untuk menggambarkan bilangan kompleks, sumbu Ox biasanya disebut sumbu real (karena bagian real dari bilangan diambil sebagai absis titik), dan sumbu Oy adalah sumbu imajiner (karena bagian imajiner dari nomor tersebut diambil sebagai ordinat titik). Bilangan kompleks z yang diwakili oleh titik (a, b) disebut afiks titik ini. Dalam hal ini, bilangan real diwakili oleh titik-titik yang terletak pada sumbu nyata, dan semua bilangan imajiner murni (untuk a = 0) diwakili oleh titik-titik yang terletak pada sumbu imajiner. Angka nol dilambangkan dengan titik O.

pada gambar. 8 gambar angka yang dibangun.

Dua bilangan konjugat kompleks diwakili oleh titik-titik yang simetris terhadap sumbu Ox (titik pada Gambar 8).

Sering dikaitkan dengan bilangan kompleks tidak hanya titik M, yang mewakili bilangan ini, tetapi juga vektor OM (lihat item 93), yang mengarah dari O ke M; representasi bilangan oleh vektor nyaman dari sudut pandang interpretasi geometris dari tindakan penambahan dan pengurangan bilangan kompleks.

pada gambar. 9, a ditunjukkan bahwa vektor yang mewakili jumlah bilangan kompleks diperoleh sebagai diagonal jajar genjang yang dibangun di atas vektor yang mewakili istilah.

Aturan penjumlahan vektor ini dikenal sebagai aturan jajaran genjang (misalnya, untuk menambahkan gaya atau kecepatan dalam pelajaran fisika). Pengurangan dapat direduksi menjadi penjumlahan dengan vektor yang berlawanan (Gbr. 9b).

Sebagaimana diketahui (Bag. 8), posisi suatu titik pada bidang juga dapat ditentukan oleh koordinat kutubnya.Dengan demikian, bilangan kompleks - afiks titik tersebut juga ditentukan oleh penugasan 10 jelas apa yang sekaligus modulus bilangan kompleks : jari-jari kutub dari titik yang mewakili bilangan sama dengan modulus bilangan ini.

Sudut kutub titik M disebut argumen nomor yang diwakili oleh titik ini. Argumen bilangan kompleks (seperti sudut kutub suatu titik) tidak didefinisikan secara unik; jika adalah salah satu nilainya, maka semua nilainya dinyatakan dengan rumus

Semua nilai argumen dalam agregat dilambangkan dengan simbol .

Jadi, bilangan kompleks apa pun dapat dikaitkan dengan sepasang bilangan real: modul dan argumen dari bilangan yang diberikan, dan argumennya didefinisikan secara ambigu. Sebaliknya, modulus dan argumen yang diberikan sesuai dengan satu angka yang memiliki modulus dan argumen yang diberikan. Angka nol memiliki sifat khusus: modulusnya nol, tidak ada nilai spesifik yang diberikan ke argumen.

Untuk mencapai keunikan dalam definisi argumen bilangan kompleks, salah satu nilai argumen dapat disebut yang utama. Itu dilambangkan dengan simbol. Biasanya, sebagai nilai utama argumen, dipilih nilai yang memenuhi pertidaksamaan

(dalam kasus lain, ketidaksetaraan).

Mari kita perhatikan juga nilai-nilai argumen bilangan real dan imajiner murni:

Bagian nyata dan imajiner dari bilangan kompleks (sebagai koordinat Cartesian suatu titik) dinyatakan dalam modulus dan argumennya (koordinat kutub suatu titik) menggunakan rumus (8.3):

dan bilangan kompleks dapat ditulis dalam bentuk trigonometri berikut.