Bilangan prima adalah salah satu fenomena matematika paling menarik yang telah menarik perhatian para ilmuwan dan warga biasa selama lebih dari dua milenium. Terlepas dari kenyataan bahwa kita sekarang hidup di zaman komputer dan program informasi paling modern, banyak misteri bilangan prima yang belum terpecahkan, bahkan ada yang tidak diketahui oleh para ilmuwan bagaimana mendekatinya.

Bilangan prima, seperti diketahui dari kursus aritmatika dasar, adalah bilangan yang habis dibagi tanpa sisa hanya oleh satu dan dirinya sendiri. Omong-omong, jika bilangan asli habis dibagi, selain yang tercantum di atas, dengan bilangan lain, maka itu disebut komposit. Salah satu teorema paling terkenal menyatakan bahwa setiap bilangan komposit dapat direpresentasikan sebagai satu-satunya produk bilangan prima yang mungkin.

Beberapa fakta menarik. Pertama, satuannya unik dalam arti bahwa, pada kenyataannya, ia bukan milik bilangan prima atau bilangan komposit. Pada saat yang sama, dalam komunitas ilmiah masih merupakan kebiasaan untuk menghubungkannya dengan kelompok pertama, karena secara formal memenuhi persyaratannya.

Kedua, satu-satunya bilangan genap yang masuk ke dalam kelompok “bilangan prima” tentu saja adalah dua. Bilangan genap lainnya tidak bisa sampai di sini, karena menurut definisi, selain dirinya sendiri dan satu, ia juga habis dibagi dua.

Bilangan prima, yang daftarnya, seperti disebutkan di atas, dapat dimulai dengan satu, adalah deret tak hingga, tak terhingga seperti deret bilangan asli. Berdasarkan teorema dasar aritmatika, orang dapat sampai pada kesimpulan bahwa bilangan prima tidak pernah terputus dan tidak pernah berakhir, karena jika tidak, deret bilangan asli pasti akan terputus.

Bilangan prima tidak muncul secara acak dalam deret alami, seperti yang terlihat pada pandangan pertama. Setelah menganalisisnya dengan cermat, Anda dapat segera melihat beberapa fitur, yang paling aneh terkait dengan apa yang disebut angka "kembar". Mereka disebut demikian karena, dalam beberapa cara yang tidak dapat dipahami, mereka berakhir bersebelahan, hanya dipisahkan oleh pembatas genap (lima dan tujuh, tujuh belas dan sembilan belas).

Jika Anda perhatikan baik-baik, Anda akan melihat bahwa jumlah dari angka-angka ini selalu merupakan kelipatan tiga. Selain itu, ketika membagi dengan tiga kali lipat dari orang kiri, sisanya selalu tetap dua, dan yang kanan - satu. Selain itu, distribusi bilangan-bilangan ini di sepanjang deret alami dapat diprediksi jika seluruh deret ini direpresentasikan dalam bentuk sinusoida osilasi, yang titik-titik utamanya terbentuk ketika bilangan dibagi tiga dan dua.

Bilangan prima tidak hanya menjadi objek penelitian yang cermat oleh para matematikawan di seluruh dunia, tetapi telah lama berhasil digunakan dalam menyusun berbagai deret bilangan, yang menjadi dasarnya, termasuk untuk ciphergraphy. Pada saat yang sama, harus diakui bahwa sejumlah besar misteri yang terkait dengan elemen-elemen indah ini masih menunggu untuk dipecahkan, banyak pertanyaan tidak hanya memiliki makna filosofis, tetapi juga praktis.

Definisi 1. bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1 yang hanya habis dibagi dengan dirinya sendiri dan 1.

Dengan kata lain, suatu bilangan prima jika hanya memiliki dua pembagi alami yang berbeda.

Definisi 2. Setiap bilangan asli yang memiliki pembagi lain selain dirinya sendiri dan satu disebut Angka komposit.

Dengan kata lain, bilangan asli yang bukan prima disebut bilangan komposit. Definisi 1 menyiratkan bahwa bilangan komposit memiliki lebih dari dua pembagi alami. Angka 1 bukanlah bilangan prima atau komposit. hanya memiliki satu pembagi 1 dan, selain itu, banyak teorema tentang bilangan prima tidak berlaku untuk kesatuan.

Ini mengikuti dari Definisi 1 dan 2 bahwa setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 adalah bilangan prima atau bilangan komposit.

Di bawah ini adalah program untuk menampilkan bilangan prima hingga 5000. Isi sel, klik tombol "Buat" dan tunggu beberapa detik.

tabel bilangan prima

Penyataan 1. Jika sebuah p adalah bilangan prima dan sebuah bilangan bulat apa pun, maka sebuah dibagi dengan p, atau p dan sebuah bilangan yang relatif prima.

Betulkah. Jika sebuah p bilangan prima, maka hanya habis dibagi dirinya sendiri dan 1 jika sebuah tidak habis dibagi p, maka pembagi persekutuan terbesar sebuah dan p sama dengan 1. Maka p dan sebuah bilangan yang relatif prima.

Penyataan 2. Jika produk dari beberapa bilangan sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , ... habis dibagi bilangan prima p, maka setidaknya salah satu angka sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , ... habis dibagi p.

Betulkah. Jika tidak ada bilangan yang habis dibagi p, maka bilangan sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , ... akan menjadi bilangan prima relatif terhadap p. Tapi dari Corollary 3 () berikut produk mereka sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , ... juga koprima sehubungan dengan p, yang bertentangan dengan kondisi asersi. Oleh karena itu, setidaknya salah satu bilangan habis dibagi p.

Dalil 1. Setiap bilangan komposit selalu dapat direpresentasikan, dan terlebih lagi dengan cara yang unik, sebagai produk dari sejumlah bilangan prima yang terbatas.

Bukti. Biarlah k bilangan komposit, dan misalkan sebuah 1 adalah salah satu pembagi yang berbeda dari 1 dan dirinya sendiri. Jika sebuah sebuah 1 adalah komposit, maka ia memiliki selain 1 dan sebuah 1 dan pembagi lainnya sebuah 2. Jika sebuah sebuah 2 adalah bilangan komposit, maka ia memiliki, selain 1 dan sebuah 2 dan pembagi lainnya sebuah 3 . Berdebat dengan cara ini dan dengan mempertimbangkan bahwa angka sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , ... menurun dan deret ini berisi sejumlah suku berhingga, kita akan mencapai beberapa bilangan prima p satu . Kemudian k dapat direpresentasikan sebagai

Misalkan ada dua ekspansi dari suatu bilangan k:

Sebagai k=p 1 p 2 p 3... habis dibagi bilangan prima q 1 , maka setidaknya salah satu faktor, misalnya p 1 habis dibagi q satu . Tetapi p 1 adalah bilangan prima dan hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri. Karena itu p 1 =q 1 (karena q 1 ≠1)

Kemudian dari (2) kita dapat mengecualikan p 1 dan q 1:

Jadi, kami memastikan bahwa setiap bilangan prima yang masuk ke pemuaian pertama sebagai faktor satu kali atau lebih memasuki pemuaian kedua setidaknya dengan jumlah yang sama dan sebaliknya, setiap bilangan prima yang masuk ke pemuaian kedua sebagai faktor satu atau beberapa kali juga memasuki ekspansi pertama setidaknya sebanyak kali. Oleh karena itu, bilangan prima apa pun masuk sebagai faktor dalam kedua pemuaian dengan jumlah yang sama dan, dengan demikian, kedua pemuaian ini sama.

Penguraian bilangan komposit k dapat ditulis dalam bentuk berikut:

di mana p 1 , p 2 , ... bilangan prima berbeda, α, β, γ ... bilangan bulat positif.

Penguraian (3) disebut dekomposisi kanonik angka.

Bilangan prima dalam deret bilangan asli terjadi tidak merata. Di beberapa bagian seri ada lebih banyak, di bagian lain - lebih sedikit. Semakin jauh kita bergerak di sepanjang deret bilangan, semakin jarang bilangan prima. Pertanyaannya adalah, apakah ada bilangan prima terbesar? Euclid matematikawan Yunani kuno membuktikan bahwa ada banyak bilangan prima yang tak terhingga. Kami menyajikan bukti ini di bawah ini.

Dalil 2. Banyaknya bilangan prima tidak terbatas.

Bukti. Misalkan ada sejumlah bilangan prima yang terbatas, dan biarkan bilangan prima terbesar menjadi p. Mari kita pertimbangkan semua angka p. Dengan asumsi pernyataan tersebut, bilangan-bilangan ini harus komposit dan harus habis dibagi oleh setidaknya salah satu bilangan prima. Mari kita pilih bilangan yang merupakan produk dari semua bilangan prima ini ditambah 1:

Nomor z lagi p sebagai 2p sudah lebih p. p tidak habis dibagi oleh salah satu bilangan prima ini, karena ketika dibagi dengan masing-masing, itu memberikan sisa 1. Jadi kita sampai pada kontradiksi. Oleh karena itu, ada banyak bilangan prima yang tidak terbatas.

Teorema ini adalah kasus khusus dari teorema yang lebih umum:

Dalil 3. Biarkan deret aritmatika diberikan

Maka sembarang bilangan prima di n, juga harus dimasukkan dalam m, jadi dalam n tidak dapat memasukkan faktor prima lain yang tidak termasuk dalam m dan, terlebih lagi, faktor-faktor utama ini dalam n muncul tidak lebih dari di m.

Kebalikannya juga benar. Jika setiap faktor prima suatu bilangan n terjadi setidaknya dalam jumlah yang sama m, kemudian m dibagi dengan n.

Penyataan 3. Biarlah sebuah 1 ,sebuah 2 ,sebuah 3 ,... berbagai bilangan prima muncul di m jadi

di mana saya=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . perhatikan itu aku menerima α +1 nilai, β j menerima β +1 nilai, γ k mengambil γ +1 nilai, ... .

• Terjemahan

Sifat-sifat bilangan prima pertama kali dipelajari oleh matematikawan Yunani kuno. Matematikawan dari sekolah Pythagoras (500 - 300 SM) terutama tertarik pada sifat mistik dan numerologi bilangan prima. Merekalah yang pertama kali menemukan ide tentang bilangan sempurna dan ramah.

Bilangan sempurna memiliki pembaginya sendiri yang sama dengan dirinya sendiri. Misalnya, pembagi bilangan 6 yang benar adalah: 1, 2 dan 3. 1 + 2 + 3 = 6. Pembagi bilangan 28 adalah 1, 2, 4, 7 dan 14. Selain itu, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Bilangan disebut ramah jika jumlah pembagi sejati dari satu bilangan sama dengan bilangan lain, dan sebaliknya - misalnya, 220 dan 284. Kita dapat mengatakan bahwa bilangan sempurna ramah terhadap dirinya sendiri.

Pada saat kemunculan karya "Awal" Euclid pada 300 SM. Beberapa fakta penting tentang bilangan prima telah dibuktikan. Dalam Buku IX Elemen, Euclid membuktikan bahwa ada bilangan prima yang tak terbatas. Omong-omong, ini adalah salah satu contoh pertama penggunaan pembuktian dengan kontradiksi. Dia juga membuktikan Teorema Dasar Aritmatika - setiap bilangan bulat dapat direpresentasikan dengan cara yang unik sebagai produk bilangan prima.

Ia juga menunjukkan bahwa jika bilangan 2 n -1 prima, maka bilangan 2 n-1 * (2 n -1) akan sempurna. Matematikawan lain, Euler, pada tahun 1747 mampu menunjukkan bahwa semua bilangan sempurna genap dapat ditulis dalam bentuk ini. Sampai hari ini, tidak diketahui apakah bilangan sempurna ganjil ada.

Pada tahun 200 SM. Eratosthenes Yunani datang dengan algoritma untuk menemukan bilangan prima yang disebut Saringan Eratosthenes.

Dan kemudian ada terobosan besar dalam sejarah studi bilangan prima yang terkait dengan Abad Pertengahan.

Penemuan-penemuan berikut sudah dibuat pada awal abad ke-17 oleh ahli matematika Fermat. Dia membuktikan dugaan Albert Girard bahwa bilangan prima apa pun dalam bentuk 4n+1 dapat ditulis secara unik sebagai jumlah dari dua kuadrat, dan juga merumuskan teorema bahwa bilangan apa pun dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari empat kuadrat.

Ia mengembangkan metode faktorisasi baru untuk bilangan besar, dan mendemonstrasikannya pada bilangan 2027651281 = 44021 × 46061. Ia juga membuktikan Teorema Kecil Fermat: jika p adalah bilangan prima, maka untuk sembarang bilangan bulat a, a p = a modulo p akan benar .

Pernyataan ini membuktikan setengah dari apa yang dikenal sebagai "hipotesis Cina" dan berasal dari 2000 tahun sebelumnya: bilangan bulat n adalah bilangan prima jika dan hanya jika 2n-2 habis dibagi n. Bagian kedua dari hipotesis ternyata salah - misalnya, 2341 - 2 habis dibagi 341, meskipun angka 341 adalah gabungan: 341 = 31 × 11.

Teorema Kecil Fermat adalah dasar bagi banyak hasil lain dalam teori bilangan dan metode untuk menguji apakah bilangan prima, banyak di antaranya masih digunakan sampai sekarang.

Fermat berkorespondensi secara luas dengan orang-orang sezamannya, terutama dengan seorang biarawan bernama Marin Mersenne. Dalam salah satu suratnya, ia menduga bahwa bilangan berbentuk 2 n + 1 akan selalu prima jika n adalah pangkat dua. Dia menguji ini untuk n = 1, 2, 4, 8, dan 16, dan yakin bahwa ketika n bukan pangkat dua, bilangan itu belum tentu prima. Angka-angka ini disebut angka Fermat, dan baru 100 tahun kemudian Euler menunjukkan bahwa angka berikutnya, 232 + 1 = 4294967297, habis dibagi 641 dan karena itu bukan bilangan prima.

Bilangan dalam bentuk 2 n - 1 juga telah menjadi subjek penelitian, karena mudah untuk menunjukkan bahwa jika n adalah komposit, maka bilangan itu sendiri juga komposit. Angka-angka ini disebut angka Mersenne karena dia aktif mempelajarinya.

Tetapi tidak semua bilangan berbentuk 2 n - 1, di mana n adalah prima, adalah prima. Misalnya, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Ini pertama kali ditemukan pada tahun 1536.

Selama bertahun-tahun, bilangan semacam ini memberi matematikawan bilangan prima terbesar yang diketahui. Bahwa bilangan M 19 dibuktikan oleh Cataldi pada tahun 1588, dan selama 200 tahun merupakan bilangan prima terbesar yang diketahui, sampai Euler membuktikan bahwa M 31 juga bilangan prima. Rekor ini bertahan selama seratus tahun, dan kemudian Lucas menunjukkan bahwa M 127 adalah bilangan prima (dan ini sudah menjadi angka 39 digit), dan setelah itu, penelitian dilanjutkan dengan munculnya komputer.

Pada tahun 1952, bilangan prima dari M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 dan M 2281 terbukti.

Pada tahun 2005, 42 bilangan prima Mersenne telah ditemukan. Yang terbesar dari mereka, M 25964951 , terdiri dari 7816230 digit.

Karya Euler memiliki dampak besar pada teori bilangan, termasuk bilangan prima. Dia memperluas Teorema Kecil Fermat dan memperkenalkan fungsi . Memfaktorkan Fermat ke-5 bilangan 2 32 +1, menemukan 60 pasang bilangan bersahabat, dan merumuskan (tetapi gagal membuktikan) hukum kuadrat timbal balik.

Dia adalah orang pertama yang memperkenalkan metode analisis matematis dan mengembangkan teori analitik angka. Dia membuktikan bahwa tidak hanya deret harmonik (1/n), tetapi juga deret bentuk

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Diperoleh dengan jumlah besaran yang berbanding terbalik dengan bilangan prima, juga divergen. Jumlah n suku deret harmonik bertambah kira-kira seperti log(n), sedangkan deret kedua divergen lebih lambat, seperti log[ log(n)]. Ini berarti bahwa, misalnya, jumlah kebalikan dari semua bilangan prima yang ditemukan hingga saat ini hanya akan menghasilkan 4, meskipun deretnya masih divergen.

Sepintas, tampaknya bilangan prima didistribusikan di antara bilangan bulat secara acak. Misalnya, di antara 100 bilangan tepat sebelum 10000000, ada 9 bilangan prima, dan di antara 100 bilangan tepat setelah nilai ini, hanya ada 2. Tetapi pada segmen besar, bilangan prima didistribusikan dengan cukup merata. Legendre dan Gauss menangani distribusi mereka. Gauss pernah memberi tahu seorang teman bahwa dalam setiap 15 menit gratis dia selalu menghitung jumlah bilangan prima dalam 1000 angka berikutnya. Pada akhir hidupnya, dia telah menghitung semua bilangan prima hingga 3 juta. Legendre dan Gauss sama-sama menghitung bahwa untuk n besar kerapatan bilangan prima adalah 1/log(n). Legendre memperkirakan jumlah bilangan prima antara 1 dan n sebagai

(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Dan Gauss - sebagai integral logaritmik

(n) = / 1/log(t) dt

Dengan interval integrasi dari 2 hingga n.

Pernyataan tentang kerapatan bilangan prima 1/log(n) dikenal sebagai Teorema Bilangan Prima. Mereka mencoba membuktikannya sepanjang abad ke-19, dan Chebyshev dan Riemann membuat kemajuan. Mereka menghubungkannya dengan Hipotesis Riemann, dugaan yang sampai sekarang belum terbukti tentang distribusi nol dari fungsi zeta Riemann. Kepadatan bilangan prima secara bersamaan dibuktikan oleh Hadamard dan de la Vallée-Poussin pada tahun 1896.

Dalam teori bilangan prima, masih banyak pertanyaan yang belum terpecahkan, beberapa di antaranya berusia ratusan tahun:

• hipotesis prima kembar - tentang jumlah tak terbatas dari pasangan bilangan prima yang berbeda satu sama lain sebesar 2
• Dugaan Goldbach: bilangan genap apa pun, mulai dari 4, dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari dua bilangan prima
• Apakah ada bilangan prima tak berhingga dari bentuk n 2 + 1 ?
• apakah selalu mungkin untuk menemukan bilangan prima antara n 2 dan (n + 1) 2 ? (fakta bahwa selalu ada bilangan prima antara n dan 2n dibuktikan oleh Chebyshev)
• Apakah ada bilangan prima Fermat yang tak terhingga? apakah ada bilangan prima Fermat setelah tanggal 4?
• apakah ada deret aritmatika dari bilangan prima berurutan untuk panjang tertentu? misalnya, untuk panjang 4: 251, 257, 263, 269. Panjang maksimum yang ditemukan adalah 26 .
• Apakah ada jumlah tak terbatas dari tiga bilangan prima berurutan dalam deret aritmatika?
• n 2 - n + 41 adalah bilangan prima untuk 0 n ≤ 40. Apakah ada bilangan prima yang tak hingga? Pertanyaan yang sama untuk rumus n 2 - 79 n + 1601. Bilangan-bilangan ini prima untuk 0 n 79.
• Apakah ada bilangan prima tak berhingga dari bentuk n# + 1? (n# adalah hasil perkalian semua bilangan prima kurang dari n)
• Apakah ada bilangan prima tak berhingga dari bentuk n# -1 ?
• Apakah ada bilangan prima tak berhingga dari bentuk n! +1?
• Apakah ada bilangan prima tak berhingga dari bentuk n! - satu?
• jika p adalah bilangan prima, apakah 2 p -1 selalu tidak termasuk di antara faktor-faktor bilangan prima kuadrat?
• Apakah barisan Fibonacci mengandung bilangan prima yang tak terhingga?

Bilangan prima kembar terbesar adalah 2003663613 × 2 195000 ± 1. Terdiri dari 58711 angka dan ditemukan pada tahun 2007.

Bilangan prima faktorial terbesar (dalam bentuk n! ± 1) adalah 147855! - 1. Terdiri dari 142891 digit dan ditemukan pada tahun 2002.

Bilangan prima primorial terbesar (bilangan berbentuk n# ± 1) adalah 1098133# + 1.

Daftar pembagi. Menurut definisi, nomor n prima hanya jika tidak habis dibagi 2 dan bilangan bulat apa pun selain 1 dan dirinya sendiri. Rumus di atas menghilangkan langkah-langkah yang tidak perlu dan menghemat waktu: misalnya, setelah memeriksa apakah suatu bilangan habis dibagi 3, tidak perlu memeriksa apakah bilangan itu habis dibagi 9.

• Fungsi lantai(x) membulatkan x ke bilangan bulat terdekat yang kurang dari atau sama dengan x.

Pelajari tentang aritmatika modular. Operasi "x mod y" (mod adalah kependekan dari kata Latin "modulo", yang berarti "modul") berarti "bagi x dengan y dan temukan sisanya". Dengan kata lain, dalam aritmatika modular, setelah mencapai nilai tertentu, yang disebut modul, angka "berubah" kembali ke nol. Misalnya, jam mengukur waktu dalam modulus 12: jam menunjukkan jam 10, 11, dan 12 dan kemudian kembali ke 1.

• Banyak kalkulator memiliki kunci mod. Akhir bagian ini menunjukkan cara menghitung fungsi ini secara manual untuk jumlah besar.

Bilangan berbeda: alami, alami, rasional, bilangan bulat dan pecahan, positif dan negatif, kompleks dan prima, ganjil dan genap, nyata, dll. Dari artikel ini Anda dapat mempelajari apa itu bilangan prima.

Angka apa yang disebut kata bahasa Inggris "sederhana"?

Sangat sering, anak sekolah tidak tahu bagaimana menjawab salah satu pertanyaan matematika yang tampaknya paling sederhana, tentang apa itu bilangan prima. Mereka sering mengacaukan bilangan prima dengan bilangan asli (yaitu, angka yang digunakan orang saat menghitung objek, sementara di beberapa sumber mereka mulai dari nol, dan di sumber lain - dari satu). Tetapi ini adalah dua konsep yang sama sekali berbeda. Bilangan prima adalah bilangan asli, yaitu bilangan bulat dan bilangan positif yang lebih besar dari satu dan hanya memiliki 2 pembagi asli. Dalam hal ini, salah satu pembagi ini adalah angka yang diberikan, dan yang kedua adalah unit. Misalnya, tiga adalah bilangan prima karena tidak habis dibagi oleh bilangan lain selain dirinya sendiri dan satu.

bilangan komposit

Lawan dari bilangan prima adalah bilangan komposit. Mereka juga alami, juga lebih besar dari satu, tetapi tidak memiliki dua, tetapi lebih banyak pembagi. Jadi, misalnya, angka 4, 6, 8, 9, dll. adalah bilangan asli, komposit, tetapi bukan bilangan prima. Seperti yang Anda lihat, ini sebagian besar adalah angka genap, tetapi tidak semua. Tetapi “dua” adalah bilangan genap dan “bilangan pertama” dalam deret bilangan prima.

selanjutnya

Untuk membangun serangkaian bilangan prima, perlu untuk membuat pilihan dari semua bilangan asli, dengan mempertimbangkan definisinya, yaitu, Anda harus bertindak dengan kontradiksi. Penting untuk mempertimbangkan masing-masing bilangan positif alami pada subjek apakah ia memiliki lebih dari dua pembagi. Mari kita coba membangun deret (urutan) yang terdiri dari bilangan prima. Daftarnya dimulai dengan dua, lalu muncul tiga, karena hanya dapat dibagi dengan dirinya sendiri dan satu. Pertimbangkan nomor empat. Apakah ia memiliki pembagi selain empat dan satu? Ya, angka itu adalah 2. Jadi empat bukan bilangan prima. Lima juga prima (selain 1 dan 5, tidak habis dibagi bilangan lain), tetapi enam habis dibagi. Dan secara umum, jika Anda mengikuti semua bilangan genap, Anda akan melihat bahwa selain “dua”, tidak ada satupun yang prima. Dari sini kita menyimpulkan bahwa bilangan genap, kecuali dua, bukanlah bilangan prima. Penemuan lain: semua bilangan yang habis dibagi tiga, kecuali rangkap tiga itu sendiri, baik genap atau ganjil, juga bukan bilangan prima (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, dst). Hal yang sama berlaku untuk bilangan yang habis dibagi lima dan tujuh. Semua set mereka juga tidak sederhana. Mari kita rangkum. Jadi, semua bilangan ganjil, kecuali satu dan sembilan, termasuk dalam bilangan satu digit sederhana, dan hanya “dua” dari bilangan genap. Puluhan itu sendiri (10, 20,... 40, dst.) bukan bilangan prima. Bilangan prima dua-digit, tiga-digit, dll. dapat didefinisikan berdasarkan prinsip-prinsip di atas: jika mereka tidak memiliki pembagi selain dirinya sendiri dan satu.

Teori tentang sifat-sifat bilangan prima

Ada ilmu yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat, termasuk bilangan prima. Ini adalah cabang matematika, yang disebut lebih tinggi. Selain sifat-sifat bilangan bulat, ia juga berurusan dengan aljabar, bilangan transendental, serta fungsi dari berbagai asal yang terkait dengan aritmatika bilangan-bilangan ini. Dalam studi ini, selain metode dasar dan aljabar, metode analitik dan geometris juga digunakan. Secara khusus, studi tentang bilangan prima berkaitan dengan "Teori Bilangan".

Bilangan prima adalah "blok pembangun" bilangan asli

Dalam aritmatika ada teorema yang disebut teorema utama. Menurutnya, bilangan asli apa pun, kecuali satu, dapat direpresentasikan sebagai produk, yang faktor-faktornya adalah bilangan prima, dan urutan faktornya unik, yang berarti bahwa metode representasinya unik. Ini disebut penguraian bilangan asli menjadi faktor prima. Ada nama lain untuk proses ini - faktorisasi angka. Berasal dari ini, bilangan prima dapat disebut "bahan bangunan", "balok" untuk membangun bilangan asli.

Cari bilangan prima. Tes Kesederhanaan

Banyak ilmuwan dari waktu yang berbeda mencoba menemukan beberapa prinsip (sistem) untuk menemukan daftar bilangan prima. Ilmu pengetahuan mengetahui sistem yang disebut saringan Atkin, saringan Sundartam, saringan Eratosthenes. Namun, mereka tidak memberikan hasil yang signifikan, dan tes sederhana digunakan untuk menemukan bilangan prima. Algoritma juga diciptakan oleh matematikawan. Mereka disebut tes primality. Misalnya, ada tes yang dikembangkan oleh Rabin dan Miller. Ini digunakan oleh kriptografer. Ada juga tes Kayala-Agrawala-Saskena. Namun, meskipun akurasinya cukup, sangat sulit untuk menghitung, yang mengurangi nilai praktisnya.

Apakah himpunan bilangan prima memiliki limit?

Fakta bahwa himpunan bilangan prima adalah tak terhingga ditulis dalam buku "Awal" oleh ilmuwan Yunani kuno Euclid. Dia mengatakan ini: “Mari kita bayangkan sejenak bahwa bilangan prima memiliki batas. Lalu mari kita kalikan satu sama lain, dan tambahkan satu ke produk. Bilangan yang diperoleh sebagai hasil dari operasi sederhana ini tidak dapat habis dibagi oleh salah satu deret bilangan prima, karena sisanya akan selalu satu. Dan ini berarti ada beberapa bilangan lain yang belum termasuk dalam daftar bilangan prima. Oleh karena itu, asumsi kami tidak benar, dan himpunan ini tidak dapat memiliki batas. Selain bukti Euclid, ada rumus yang lebih modern yang diberikan oleh ahli matematika Swiss abad kedelapan belas Leonhard Euler. Menurutnya, jumlah, kebalikan dari jumlah n angka pertama, tumbuh tanpa batas dengan pertumbuhan angka n. Dan berikut adalah rumus teorema tentang pembagian bilangan prima: (n) tumbuh seperti n / ln (n).

Berapakah bilangan prima terbesar?

Semua sama Leonard Euler mampu menemukan bilangan prima terbesar untuk masanya. Ini adalah 2 31 - 1 = 2147483647. Namun, pada tahun 2013, angka terbesar lain yang paling akurat dalam daftar bilangan prima dihitung - 2 57885161 - 1. Ini disebut bilangan Mersenne. Ini berisi sekitar 17 juta angka desimal. Seperti yang Anda lihat, jumlah yang ditemukan oleh seorang ilmuwan dari abad kedelapan belas beberapa kali lebih kecil dari ini. Seharusnya begitu, karena Euler melakukan perhitungan ini secara manual, tetapi orang sezaman kita mungkin dibantu oleh komputer. Apalagi angka ini diperoleh di Departemen Matematika di salah satu departemen Amerika. Angka yang dinamai menurut nama ilmuwan ini melewati uji primalitas Luc-Lehmer. Namun, sains tidak ingin berhenti di situ. Electronic Frontier Foundation, yang didirikan pada tahun 1990 di Amerika Serikat (EFF), telah menawarkan hadiah uang untuk menemukan bilangan prima yang besar. Dan jika sampai tahun 2013 hadiah diberikan kepada para ilmuwan yang akan menemukannya dari antara 1 dan 10 juta angka desimal, hari ini angka ini telah mencapai dari 100 juta menjadi 1 miliar. Hadiahnya berkisar antara 150 hingga 250 ribu dolar AS.

Nama-nama bilangan prima khusus

Angka-angka yang ditemukan berkat algoritme yang dibuat oleh ilmuwan tertentu dan lulus uji kesederhanaan disebut khusus. Berikut adalah beberapa di antaranya:

1. Mersin.

4. Cullen.

6. Mills dkk.

Kesederhanaan angka-angka ini, dinamai ilmuwan di atas, ditetapkan dengan menggunakan tes berikut:

1. Lucas-Lemer.

2. Pepina.

3. Risel.

4. Billhart - Lehmer - Selfridge dan lainnya.

Ilmu pengetahuan modern tidak berhenti sampai di situ, dan mungkin dalam waktu dekat dunia akan mengetahui nama-nama orang yang berhasil memenangkan hadiah sebesar 250.000 dolar dengan menemukan bilangan prima terbesar.