Dalam tutorial video terakhir, kita mempelajari bahwa derajat suatu basa adalah ekspresi yang merupakan hasil kali dari basis dan dirinya sendiri, yang diambil dalam jumlah yang sama dengan eksponen. Mari kita pelajari beberapa sifat dan operasi paling penting dari kekuatan.

Misalnya, kalikan dua pangkat berbeda dengan basis yang sama:

Mari kita lihat bagian ini secara keseluruhan:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Setelah menghitung nilai dari ekspresi ini, kita akan mendapatkan angka 32. Di sisi lain, seperti dapat dilihat dari contoh yang sama, 32 dapat direpresentasikan sebagai produk dari basis yang sama (dua), diambil 5 kali. Dan memang, jika Anda menghitung, maka:

Dengan demikian, dapat disimpulkan dengan aman bahwa:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Aturan ini berhasil untuk semua indikator dan alasan apa pun. Sifat perkalian derajat ini mengikuti aturan pelestarian makna ekspresi selama transformasi dalam produk. Untuk sembarang basis a, hasil kali dua ekspresi (a) x dan (a) y sama dengan a (x + y). Dengan kata lain, ketika menghasilkan ekspresi apa pun dengan basis yang sama, monomial akhir memiliki derajat total yang dibentuk dengan menambahkan derajat ekspresi pertama dan kedua.

Aturan yang disajikan juga berfungsi dengan baik saat mengalikan beberapa ekspresi. Syarat utamanya adalah bahwa basis untuk semua harus sama. Sebagai contoh:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Tidak mungkin untuk menambahkan derajat, dan memang untuk melakukan tindakan gabungan kekuatan apa pun dengan dua elemen ekspresi, jika basisnya berbeda.
Seperti yang ditunjukkan video kami, karena kesamaan proses perkalian dan pembagian, aturan untuk menambahkan kekuatan selama produk ditransfer dengan sempurna ke prosedur pembagian. Pertimbangkan contoh ini:

Mari kita buat transformasi suku demi suku dari ekspresi menjadi bentuk penuh dan kurangi elemen yang sama dalam pembagian dan pembagi:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Hasil akhir dari contoh ini tidak begitu menarik, karena sudah dalam penyelesaiannya jelas bahwa nilai ekspresi sama dengan kuadrat dua. Dan itu adalah deuce yang diperoleh dengan mengurangi derajat ekspresi kedua dari derajat yang pertama.

Untuk menentukan tingkat hasil bagi, perlu untuk mengurangi tingkat pembagi dari tingkat pembagian. Aturan itu bekerja dengan dasar yang sama untuk semua nilainya dan untuk semua kekuatan alam. Dalam bentuk abstrak, kami memiliki:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Definisi untuk derajat nol mengikuti aturan untuk membagi basis identik dengan kekuatan. Jelas, ekspresi berikut adalah:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Di sisi lain, jika kita membagi dengan cara yang lebih visual, kita mendapatkan:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Saat mengurangi semua elemen pecahan yang terlihat, ekspresi 1/1 selalu diperoleh, yaitu satu. Oleh karena itu, secara umum diterima bahwa basis apa pun yang dipangkatkan ke nol sama dengan satu:

Terlepas dari nilai a.

Namun, tidak masuk akal jika 0 (yang masih memberikan 0 untuk perkalian apa pun) entah bagaimana sama dengan satu, jadi ekspresi seperti (0) 0 (nol hingga nol derajat) sama sekali tidak masuk akal, dan untuk rumus (a) 0 = 1 tambahkan kondisi: "jika a tidak sama dengan 0".

Ayo lakukan latihan. Mari kita cari nilai dari ekspresi:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Karena basis sama di mana-mana dan sama dengan 34, nilai akhir akan memiliki basis yang sama dengan gelar (sesuai dengan aturan di atas):

Dengan kata lain:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Jawaban: Ekspresi sama dengan satu.

Jika dua pangkat dikalikan (atau dibagi) yang memiliki basis yang berbeda, tetapi indikator yang sama, maka basis mereka dapat dikalikan (atau dibagi), dan eksponen hasilnya harus dibiarkan sama dengan faktor (atau dividen dan pembagi).

Secara umum, dalam bahasa matematika, aturan-aturan ini ditulis sebagai berikut:
a m × b m = (ab) m
a m b m = (a/b) m

Saat membagi, b tidak bisa sama dengan 0, yaitu, aturan kedua harus dilengkapi dengan kondisi b 0.

Contoh:
2 3 x 3 3 = (2 x 3) 3 = 63 = 36 x 6 = 180 + 36 = 216
6 5 3 5 = (6 3) 5 = 2 5 = 32

Sekarang, dengan menggunakan contoh spesifik ini, kami akan membuktikan bahwa aturan-sifat derajat dengan eksponen yang sama adalah benar. Mari kita selesaikan contoh-contoh ini seolah-olah kita tidak tahu tentang sifat-sifat kekuatan:
2 3 × 3 3 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

Seperti yang bisa kita lihat, tanggapan cocok dengan yang diterima ketika aturan digunakan. Mengetahui aturan ini memungkinkan kita untuk menyederhanakan perhitungan.

Perhatikan bahwa ekspresi 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 dapat ditulis seperti ini:
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3).

Ungkapan ini, pada gilirannya, adalah sesuatu yang lain dari (2 × 3) 3. yaitu, 6 3 .

Sifat-sifat derajat yang dipertimbangkan dengan eksponen yang sama dapat digunakan dalam arah yang berlawanan. Misalnya, apa 18 2 ?
18 2 = (3 × 3 × 2) 2 = 3 2 × 3 2 × 2 2 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324

Sifat-sifat derajat juga digunakan saat memecahkan contoh:
= 2 4 × 3 6 = 2 4 × 3 4 × 3 × 3 = 6 4 × 3 2 = 6 2 × 6 2 × 3 2 = (6 × 6 × 3) 2 = 108 2 = 108 × 108 = 108 ( 100 + 8) = 10800 + 864 = 11664

Aturan pembagian derajat. Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, basis dibiarkan sama, dan eksponen pembagi dikurangkan dari eksponen dividen. Contoh:

Slide 11 dari presentasi "Pembagian dan perkalian kekuatan" untuk pelajaran aljabar dengan topik "Gelar"

Dimensi: 960 x 720 piksel, format: jpg. Untuk mengunduh slide secara gratis untuk digunakan dalam pelajaran aljabar, klik kanan pada gambar dan klik "Simpan Gambar Sebagai. ". Anda dapat mengunduh seluruh presentasi "Pembagian dan perkalian kekuatan.ppt" dalam arsip zip 1313 KB.

"Pembagian dan perkalian kekuatan" - a2 a3 = a2+3 = a5. a3 = a · a · a. Tentukan hasil kali a2 dan a3. 100.2+3. Lima kali. 64 = 144 = 1 0000 =. Perkalian dan pembagian kekuasaan. 3 kali. a2 a3 =.

"Kekuatan Dua" - 1024+. Aturan untuk mentransfer dari satu sistem nomor ke yang lain. Guselnikova E.V. Sekolah nomor 130. Isi. Tabel kekuatan dua. Mari kita ubah bilangan 1998 dari desimal ke biner. Kislykh V.N. 11E Zinko K.O. 11E. Guru: Selesai: Mari kita perhatikan skema transformasi menggunakan contoh.

"Gelar dengan eksponen negatif" - Gelar dengan eksponen negatif. 5 12?3 (27?3). -2. -satu. Hitung: -3.

"Gelar dengan indikator rasional" - pada topik: "Gelar dengan indikator rasional". Tujuan pelajaran: I. Bagian organisasi. Mengecek pekerjaan rumah 1. Dikte matematis 2. Peer review III Pekerjaan mandiri IV. Pelajaran umum. Selama kelas. Persiapan ujian V. Menyimpulkan pelajaran VI. II.

"Kekuatan dengan eksponen bilangan bulat" - Ekspresikan ekspresi sebagai kekuatan. X-12. Susun dalam urutan menurun. Nyatakan x-12 sebagai perkalian dua pangkat dengan basis x jika salah satu faktor diketahui. Menghitung. Menyederhanakan.

"Sifat derajat" - Generalisasi pengetahuan dan keterampilan tentang penerapan sifat-sifat derajat dengan indikator alami. jeda komputasi. Properti gelar dengan eksponen alami. Periksa diri Anda! Menerapkan pengetahuan untuk memecahkan masalah dari berbagai kompleksitas. Uji. Fizminutka. Pengembangan ketekunan, aktivitas mental dan aktivitas kreatif.

Aturan pembagian kekuasaan

1. Derajat perkalian dua faktor atau lebih sama dengan perkalian derajat faktor-faktor tersebut (dengan indikator yang sama):

(abc…) n = a n b n c n …

Contoh 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 1960. Contoh 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x + a)(x - a)] 3 =( x + a) 3 (x - a) 3

Dalam praktiknya, transformasi terbalik lebih penting:

a n b n c n … = (abc …) n

itu. produk dari kekuatan yang sama dari beberapa kuantitas sama dengan kekuatan yang sama dari produk dari kuantitas ini.

Contoh 3 Contoh 4. (a + b) 2 (a 2 - ab + b 2) 2 \u003d [(a ​​​​+ b) (a 2 - ab + b 2)] 2 \u003d (a 3 + b 3) 2

2. Derajat hasil bagi (pecahan) sama dengan hasil bagi membagi derajat yang sama dari pembagian dengan derajat yang sama dari pembagi:

Contoh 5 Contoh 6

Transformasi terbalik:. Contoh 7 . Contoh 8 .

3. Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponen ditambahkan:

Contoh 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7=128. Contoh 10. (a - 4c + x) 2 (a - 4c + x) 3 = (a - 4c + x) 5 .

4. Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, eksponen pembagi dikurangkan dari eksponen dividen

Contoh 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Contoh 12. (x-y) 3:(x-y) 2 = x-y.

5. Saat menaikkan derajat ke pangkat, eksponen dikalikan:

Contoh 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Contoh 14

Penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian kekuatan

Penambahan dan pengurangan kekuatan

Jelas, angka dengan kekuatan dapat ditambahkan seperti kuantitas lainnya , dengan menambahkannya satu per satu dengan tanda-tandanya.

Jadi, jumlah a 3 dan b 2 adalah a 3 + b 2 .
Jumlah a 3 - b n dan h 5 -d 4 adalah 3 - b n + h 5 - d 4.

Kemungkinan kekuatan yang sama dari variabel yang sama bisa ditambah atau dikurangi.

Jadi, jumlah 2a 2 dan 3a 2 adalah 5a 2 .

Jelas juga bahwa jika kita mengambil dua kotak a, atau tiga kotak a, atau lima kotak a.

Tapi derajat berbagai variabel dan berbagai derajat variabel identik, harus ditambahkan dengan menambahkannya ke tanda-tandanya.

Jadi, jumlah a 2 dan a 3 adalah jumlah a 2 + a 3 .

Jelaslah bahwa kuadrat dari a, dan pangkat tiga dari a, bukanlah dua kali kuadrat dari a, tetapi dua kali pangkat tiga dari a.

Jumlah a 3 b n dan 3a 5 b 6 adalah a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Pengurangan kekuatan dilakukan dengan cara yang sama seperti penambahan, kecuali bahwa tanda-tanda pengurangan harus diubah sesuai.

Atau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 jam 2 b 6 - 4 jam 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Perkalian daya

Bilangan dengan pangkat dapat dikalikan seperti besaran lain dengan menuliskannya satu demi satu, dengan atau tanpa tanda perkalian di antara bilangan tersebut.

Jadi, hasil perkalian a 3 dengan b 2 adalah 3 b 2 atau aaabb.

Atau:
x -3 a m = a m x -3
3a 6 y 2 (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Hasil pada contoh terakhir dapat diurutkan dengan menambahkan variabel yang sama.
Ekspresi akan berbentuk: a 5 b 5 y 3 .

Dengan membandingkan beberapa bilangan (variabel) dengan pangkat, kita dapat melihat bahwa jika dua bilangan dikalikan, maka hasilnya adalah bilangan (variabel) dengan pangkat yang sama dengan jumlah derajat istilah.

Jadi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Di sini 5 adalah pangkat dari hasil perkalian, sama dengan 2 + 3, jumlah pangkat dari suku-sukunya.

Jadi, a n .a m = a m+n .

Untuk a n , a diambil sebagai faktor sebanyak pangkat n;

Dan a m , diambil sebagai faktor sebanyak derajat m sama dengan;

Jadi, pangkat dengan basis yang sama dapat dikalikan dengan menambahkan eksponen.

Jadi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Dan x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Atau:
4a n 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Kalikan (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) (x - y).
Jawaban: x 4 - y 4.
Kalikan (x 3 + x - 5) (2x 3 + x + 1).

Aturan ini juga berlaku untuk bilangan yang eksponennya negatif.

1. Jadi, a -2 .a -3 = a -5 . Ini dapat ditulis sebagai (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jika a + b dikalikan dengan a - b, hasilnya adalah 2 - b 2: yaitu

Hasil perkalian jumlah atau selisih dua bilangan sama dengan jumlah atau selisih kuadratnya.

Jika jumlah dan selisih dua bilangan dipangkatkan menjadi kotak, hasilnya akan sama dengan jumlah atau selisih angka-angka ini dalam keempat derajat.

Jadi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Pembagian kekuasaan

Bilangan pangkat dapat dibagi seperti bilangan lain dengan mengurangkan dari pembagi, atau dengan menempatkannya dalam bentuk pecahan.

Jadi a 3 b 2 dibagi b 2 adalah 3 .

Menulis 5 dibagi 3 terlihat seperti $\frac $. Tapi ini sama dengan 2 . Dalam serangkaian angka
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0, a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
setiap nomor dapat dibagi dengan yang lain, dan eksponen akan sama dengan perbedaan indikator bilangan habis dibagi.

Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dikurangi..

Jadi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Yaitu, $\frac = y$.

Dan a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yaitu, $\frac = a^n$.

Atau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Aturan ini juga berlaku untuk angka dengan negatif nilai derajat.
Hasil pembagian -5 dengan -3 adalah -2.
Juga, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 atau $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Perkalian dan pembagian pangkat perlu dikuasai dengan baik, karena operasi semacam itu sangat banyak digunakan dalam aljabar.

Contoh penyelesaian contoh pecahan yang mengandung bilangan berpangkat

1. Kurangi eksponen dalam $\frac $ Jawaban: $\frac $.

2. Kurangi eksponen dalam $\frac$. Jawaban: $\frac $ atau 2x.

3. Kurangi eksponen a 2 / a 3 dan a -3 / a -4 dan bawa ke penyebut yang sama.
a 2 .a -4 adalah pembilang pertama -2.
a 3 .a -3 adalah 0 = 1, pembilang kedua.
a 3 .a -4 adalah -1 , pembilang bersama.
Setelah disederhanakan: a -2 /a -1 dan 1/a -1 .

4. Kurangi pangkat 2a 4 /5a 3 dan 2 /a 4 dan bawa ke penyebut yang sama.
Jawaban: 2a 3/5a 7 dan 5a 5/5a 7 atau 2a 3/5a 2 dan 5/5a 2.

5. Kalikan (a 3 + b)/b 4 dengan (a - b)/3.

6. Kalikan (a 5 + 1)/x 2 dengan (b 2 - 1)/(x + a).

7. Kalikan b 4 /a -2 dengan h -3 /x dan a n /y -3 .

8. Bagi 4 /y 3 dengan 3 /y 2 . Jawaban: a/y.

Aljabar - kelas 7. Perkalian dan pembagian kekuasaan

Pelajaran tentang topik: “Aturan untuk mengalikan dan membagi kekuatan dengan eksponen yang sama dan berbeda. Contoh»

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda. Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.

Perkalian dan pembagian kekuasaan

Tujuan pelajaran: belajar bagaimana melakukan operasi dengan kekuatan angka.

Pertama, mari kita ingat kembali konsep "kekuatan angka". Ekspresi seperti $\underbrace_$ dapat direpresentasikan sebagai $a^n$.

Kebalikannya juga benar: $a^n= \underbrace_ $.

Kesetaraan ini disebut "pencatatan derajat sebagai produk." Ini akan membantu kita menentukan bagaimana mengalikan dan membagi kekuatan.
Ingat:
sebuah- dasar derajat.
n- eksponen.
Jika sebuah n=1, yang berarti bilangan sebuah diambil sekali dan berturut-turut: $a^n= 1$.
Jika sebuah n=0, lalu $a^0= 1$.

Mengapa ini terjadi, kita dapat mengetahuinya ketika kita berkenalan dengan aturan untuk mengalikan dan membagi kekuatan.

aturan perkalian

a) Jika pangkat dengan basis yang sama dikalikan.
Untuk $a^n * a^m$, kami menulis derajat sebagai produk: $\underbrace_ * \underbrace_ $.
Angka tersebut menunjukkan bahwa nomor sebuah telah diambil n+m kali, maka $a^n * a^m = a^ $.

Contoh.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Properti ini nyaman digunakan untuk menyederhanakan pekerjaan saat menaikkan angka ke kekuatan besar.
Contoh.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Jika pangkat dikalikan dengan basis yang berbeda, tetapi eksponennya sama.
Untuk $a^n * b^n$, kita menulis pangkat sebagai produk: $\underbrace_ * \underbrace_ $.
Jika kita menukar faktor dan menghitung pasangan yang dihasilkan, kita mendapatkan: $\underbrace_ $.

Jadi $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Contoh.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

aturan pembagian

a) Basis derajatnya sama, pangkatnya berbeda.
Pertimbangkan untuk membagi derajat dengan eksponen yang lebih besar dengan membagi gelar dengan eksponen yang lebih kecil.

Kami menulis derajat sebagai pecahan:

Untuk memudahkan, kami menulis pembagian sebagai pecahan sederhana.

Sekarang mari kita kurangi pecahannya.

Ternyata: $\underbrace_ = a^ $.
Cara, $\frac =a^$ .

Properti ini akan membantu menjelaskan situasi dengan menaikkan angka ke pangkat nol. Mari kita asumsikan bahwa n=m, lalu $a^0= a^ =\frac =1$.

b) Dasar derajatnya berbeda, indikatornya sama.
Katakanlah Anda membutuhkan $\frac $. Kami menulis kekuatan angka sebagai pecahan:

Mari kita bayangkan untuk kenyamanan.

Menggunakan properti pecahan, kami membagi pecahan besar menjadi produk kecil, kami dapatkan.
$\underbrace* \frac *\ldots*\frac >_ $.
Oleh karena itu: $\frac =(\frac )^n$.

matematika-tes.com

Derajat dan Akar

Operasi dengan kekuatan dan akar. Gelar dengan negatif ,

nol dan pecahan indikator. Tentang ekspresi yang tidak masuk akal.

Operasi dengan derajat.

1. Saat mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, indikatornya ditambahkan:

saya · a n = a m + n .

2. Saat membagi derajat dengan dasar yang sama, indikatornya dikurangi .

3. Derajat perkalian dua faktor atau lebih sama dengan perkalian derajat faktor-faktor tersebut.

4. Derajat perbandingan (pecahan) sama dengan perbandingan derajat pembagian (pembilang) dan pembagi (penyebut):

(a/b) n = a n / b n .

5. Saat menaikkan derajat ke pangkat, indikatornya dikalikan:

Semua rumus di atas dibaca dan dieksekusi di kedua arah dari kiri ke kanan dan sebaliknya.

CONTOH (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Operasi dengan akar. Dalam semua rumus di bawah ini, simbol berarti akar aritmatika(ekspresi radikal adalah positif).

1. Akar perkalian beberapa faktor sama dengan hasil perkalian akar-akar faktor ini:

2. Akar rasio sama dengan rasio akar dividen dan pembagi:

3. Saat menaikkan akar ke kekuatan, itu sudah cukup untuk meningkatkan kekuatan ini nomor akar:

4. Jika Anda menaikkan derajat akar sebanyak m kali dan secara bersamaan menaikkan nomor akar ke derajat ke-m, maka nilai akar tidak akan berubah:

5. Jika Anda mengurangi derajat akar sebanyak m kali dan pada saat yang sama mengekstrak akar derajat ke-m dari bilangan radikal, maka nilai akar tidak akan berubah:

Perluasan konsep derajat. Sejauh ini, kami hanya mempertimbangkan derajat dengan indikator alami; tetapi operasi dengan kekuatan dan akar juga dapat menyebabkan negatif, nol dan pecahan indikator. Semua eksponen ini memerlukan definisi tambahan.

Gelar dengan eksponen negatif. Derajat bilangan tertentu dengan eksponen negatif (bilangan bulat) didefinisikan sebagai satu dibagi dengan derajat bilangan yang sama dengan eksponen yang sama dengan nilai absolut eksponen negatif:

Sekarang rumusnya saya : sebuah = sebuah m-n dapat digunakan tidak hanya untuk m, lebih dari n, tetapi juga di m, kurang dari n .

CONTOH sebuah 4: sebuah 7 = 4 — 7 = — 3 .

Jika kita menginginkan rumus saya : sebuah = saya — n adil di m = n, kita membutuhkan definisi derajat nol.

Gelar dengan eksponen nol. Derajat setiap bilangan bukan nol dengan eksponen nol adalah 1.

CONTOH. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Derajat dengan eksponen pecahan. Untuk menaikkan bilangan real a ke pangkat m / n, Anda perlu mengekstrak akar pangkat ke-n dari pangkat ke-m dari bilangan ini a:

Tentang ekspresi yang tidak masuk akal. Ada beberapa ekspresi seperti itu.

di mana sebuah ≠ 0 , tidak ada.

Memang, jika kita berasumsi bahwa x adalah bilangan tertentu, maka, sesuai dengan definisi operasi pembagian, kita memperoleh: sebuah = 0· x, yaitu sebuah= 0, yang bertentangan dengan kondisi: sebuah ≠ 0

— nomor apapun.

Memang, jika kita menganggap bahwa ekspresi ini sama dengan beberapa angka x, maka menurut definisi operasi pembagian kita memiliki: 0 = 0 x. Tapi persamaan ini berlaku untuk bilangan apa saja x, yang harus dibuktikan.

0 0 — nomor apapun.

Solusi Pertimbangkan tiga kasus utama:

1) x = 0 – nilai ini tidak memenuhi persamaan ini

2) kapan x> 0 kita peroleh: x / x= 1, yaitu 1 = 1, dari mana berikut,

Apa x- nomor berapa pun; tetapi dengan mempertimbangkan itu

kasus kami x> 0, jawabannya adalah x > 0 ;

• Aturan keselamatan saat bekerja dengan setrika Aturan keselamatan saat bekerja dengan setrika. 1.Sebelum menyambungkan setrika ke listrik, periksa insulasi kabel dan posisi setrika pada dudukannya. 2.Menghidupkan dan […]
• Masalah pajak air Negara, analisis dan masalah meningkatkan pajak air Ketika air ditarik melebihi batas penggunaan air triwulanan (tahunan) yang ditetapkan, tarif pajak dalam hal kelebihan tersebut […]
• cara menyusun perintah beralih dari 223 fz ke 44 fz Sergey Antonov 30 Dijawab setahun lalu Professor 455 Dijawab setahun lalu Contoh: perintah pembatalan penerapan peraturan pengadaan. Skor jawaban: 0 Tambahkan […]
• Membagi Bilangan Negatif Cara membagi bilangan negatif mudah dipahami, mengingat pembagian adalah kebalikan dari perkalian. Jika "a" dan "b" adalah bilangan positif, maka bagilah bilangan "a" dengan bilangan " […]
• Resolusi D1, 960H, 720P, 960P, 1080P Sistem pengawasan menjadi semakin tersebar luas di seluruh dunia. Peralatan terus ditingkatkan, dan area ini terus berkembang. Seperti dalam […]
• Hukum konstitusional Federasi Rusia. Baglay M.V. edisi ke-6, rev. dan tambahan - M.: Norma, 200 7 . - 7 84 hal. Buku teks ini, yang merupakan edisi revisi dan tambahan keenam, ditulis oleh […]

Jelas, angka dengan kekuatan dapat ditambahkan seperti kuantitas lainnya , dengan menambahkannya satu per satu dengan tanda-tandanya.

Jadi, jumlah a 3 dan b 2 adalah a 3 + b 2 .
Jumlah dari 3 - b n dan h 5 -d 4 adalah 3 - b n + h 5 - d 4 .

Kemungkinan kekuatan yang sama dari variabel yang sama bisa ditambah atau dikurangi.

Jadi, jumlah 2a 2 dan 3a 2 adalah 5a 2 .

Jelas juga bahwa jika kita mengambil dua kotak a, atau tiga kotak a, atau lima kotak a.

Tapi derajat berbagai variabel dan berbagai derajat variabel identik, harus ditambahkan dengan menambahkannya ke tanda-tandanya.

Jadi, jumlah a 2 dan a 3 adalah jumlah a 2 + a 3 .

Jelaslah bahwa kuadrat dari a, dan pangkat tiga dari a, bukanlah dua kali kuadrat dari a, tetapi dua kali pangkat tiga dari a.

Jumlah a 3 b n dan 3a 5 b 6 adalah a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Pengurangan kekuatan dilakukan dengan cara yang sama seperti penambahan, kecuali bahwa tanda-tanda pengurangan harus diubah sesuai.

Atau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Perkalian daya

Bilangan dengan pangkat dapat dikalikan seperti besaran lain dengan menuliskannya satu demi satu, dengan atau tanpa tanda perkalian di antara bilangan tersebut.

Jadi, hasil perkalian a 3 dengan b 2 adalah 3 b 2 atau aaabb.

Atau:
x -3 a m = a m x -3
3a 6 y 2 (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Hasil pada contoh terakhir dapat diurutkan dengan menambahkan variabel yang sama.
Ekspresi akan berbentuk: a 5 b 5 y 3 .

Dengan membandingkan beberapa bilangan (variabel) dengan pangkat, kita dapat melihat bahwa jika dua bilangan dikalikan, maka hasilnya adalah bilangan (variabel) dengan pangkat yang sama dengan jumlah derajat istilah.

Jadi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Di sini 5 adalah pangkat dari hasil perkalian, sama dengan 2 + 3, jumlah pangkat dari suku-sukunya.

Jadi, a n .a m = a m+n .

Untuk a n , a diambil sebagai faktor sebanyak pangkat n;

Dan a m , diambil sebagai faktor sebanyak derajat m sama dengan;

Jadi, pangkat dengan basis yang sama dapat dikalikan dengan menambahkan eksponen.

Jadi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Dan x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Atau:
4a n 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Kalikan (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) (x - y).
Jawaban: x 4 - y 4.
Kalikan (x 3 + x - 5) (2x 3 + x + 1).

Aturan ini juga berlaku untuk bilangan yang eksponennya - negatif.

1. Jadi, a -2 .a -3 = a -5 . Ini dapat ditulis sebagai (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jika a + b dikalikan dengan a - b, hasilnya adalah 2 - b 2: yaitu

Hasil perkalian jumlah atau selisih dua bilangan sama dengan jumlah atau selisih kuadratnya.

Jika jumlah dan selisih dua bilangan dipangkatkan menjadi kotak, hasilnya akan sama dengan jumlah atau selisih angka-angka ini dalam keempat derajat.

Jadi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Pembagian kekuasaan

Bilangan pangkat dapat dibagi seperti bilangan lain dengan mengurangkan dari pembagi, atau dengan menempatkannya dalam bentuk pecahan.

Jadi a 3 b 2 dibagi b 2 adalah 3 .

Atau:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Menulis 5 dibagi 3 terlihat seperti $\frac(a^5)(a^3)$. Tapi ini sama dengan 2 . Dalam serangkaian angka
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0, a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
setiap nomor dapat dibagi dengan yang lain, dan eksponen akan sama dengan perbedaan indikator bilangan habis dibagi.

Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dikurangi..

Jadi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Yaitu, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Dan a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yaitu, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Atau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Aturan ini juga berlaku untuk angka dengan negatif nilai derajat.
Hasil pembagian -5 dengan -3 adalah -2.
Juga, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 atau $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Perkalian dan pembagian pangkat perlu dikuasai dengan baik, karena operasi semacam itu sangat banyak digunakan dalam aljabar.

Contoh penyelesaian contoh pecahan yang mengandung bilangan berpangkat

1. Kurangi pangkat di $\frac(5a^4)(3a^2)$ Jawaban: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Kurangi eksponen dalam $\frac(6x^6)(3x^5)$. Jawaban: $\frac(2x)(1)$ atau 2x.

3. Kurangi eksponen a 2 / a 3 dan a -3 / a -4 dan bawa ke penyebut yang sama.
a 2 .a -4 adalah pembilang pertama -2.
a 3 .a -3 adalah 0 = 1, pembilang kedua.
a 3 .a -4 adalah -1 , pembilang bersama.
Setelah disederhanakan: a -2 /a -1 dan 1/a -1 .

4. Kurangi pangkat 2a 4 /5a 3 dan 2 /a 4 dan bawa ke penyebut yang sama.
Jawaban: 2a 3/5a 7 dan 5a 5/5a 7 atau 2a 3/5a 2 dan 5/5a 2.

5. Kalikan (a 3 + b)/b 4 dengan (a - b)/3.

6. Kalikan (a 5 + 1)/x 2 dengan (b 2 - 1)/(x + a).

7. Kalikan b 4 /a -2 dengan h -3 /x dan a n /y -3 .

8. Bagi 4 /y 3 dengan 3 /y 2 . Jawaban: a/y.

9. Bagi (h 3 - 1)/d 4 dengan (d n + 1)/h.

Rumus kekuatan digunakan dalam proses mereduksi dan menyederhanakan ekspresi kompleks, dalam memecahkan persamaan dan pertidaksamaan.

Nomor c adalah n-kekuatan suatu bilangan sebuah Kapan:

Operasi dengan derajat.

1. Mengalikan derajat dengan basis yang sama, indikatornya bertambah:

sayaa n = a m + n .

2. Dalam pembagian derajat dengan basis yang sama, indikatornya dikurangi:

3. Derajat perkalian 2 faktor atau lebih sama dengan perkalian derajat faktor-faktor ini:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Derajat pecahan sama dengan rasio derajat pembagian dan pembagi:

(a/b) n = a n / b n .

5. Menaikkan pangkat ke pangkat, eksponen dikalikan:

(am) n = a m n .

Setiap rumus di atas benar dalam arah dari kiri ke kanan dan sebaliknya.

Misalnya. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operasi dengan akar.

1. Akar perkalian beberapa faktor sama dengan hasil perkalian akar-akar faktor ini:

2. Akar rasio sama dengan rasio bagi hasil dan pembagi akar:

3. Saat menaikkan akar ke pangkat, cukup menaikkan nomor akar ke pangkat ini:

4. Jika kita meningkatkan derajat akar dalam n sekali dan pada saat yang sama naik ke n th power adalah nomor root, maka nilai root tidak akan berubah:

5. Jika kita menurunkan derajat akar dalam n root pada saat yang sama n derajat th dari bilangan akar, maka nilai akarnya tidak akan berubah:

Gelar dengan eksponen negatif. Derajat bilangan tertentu dengan eksponen non-positif (bilangan bulat) didefinisikan sebagai satu dibagi dengan derajat bilangan yang sama dengan eksponen yang sama dengan nilai absolut dari eksponen non-positif:

Rumus saya:a n = a m - n dapat digunakan tidak hanya untuk m> n, tetapi juga di m< n.

Misalnya. sebuah4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Untuk merumuskan saya:a n = a m - n menjadi adil di m=n, Anda membutuhkan kehadiran derajat nol.

Gelar dengan eksponen nol. Pangkat bilangan bukan nol dengan eksponen nol sama dengan satu.

Misalnya. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Derajat dengan eksponen pecahan. Untuk menaikkan bilangan asli sebuah sampai tingkat tertentu M N, Anda perlu mengekstrak root n derajat m kekuatan nomor ini sebuah.