1. Tugas.
Berapa nilai parameternya sebuah persamaan ( sebuah - 1)x 2 + 2x + sebuah- 1 = 0 memiliki tepat satu akar?

1. Keputusan.
Pada sebuah= 1 persamaan berbentuk 2 x= 0 dan jelas memiliki akar tunggal x= 0. Jika sebuah No. 1, maka persamaan ini kuadratik dan memiliki akar tunggal untuk nilai-nilai parameter yang diskriminan trinomial kuadratnya sama dengan nol. Menyamakan diskriminan dengan nol, kita memperoleh persamaan untuk parameter sebuah 4sebuah 2 - 8sebuah= 0, dari mana sebuah= 0 atau sebuah = 2.

1. Jawaban: persamaan memiliki akar tunggal di sebuah O(0; 1; 2).

2. Tugas.
Temukan semua nilai parameter sebuah, yang persamaannya memiliki dua akar yang berbeda x 2 +4kapak+8sebuah+3 = 0.
2. Keputusan.
persamaan x 2 +4kapak+8sebuah+3 = 0 memiliki dua akar berbeda jika dan hanya jika D = 16sebuah 2 -4(8sebuah+3) > 0. Kita dapatkan (setelah dikurangi dengan faktor persekutuan 4) 4 sebuah 2 -8sebuah-3 > 0, dari mana

2. Jawaban:

sebuah O (-Ґ ; 1 -

C 7 2

) DAN (1 +

C 7 2

; Ґ ).

3. Tugas.
Diketahui bahwa
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) Gambarkan grafik fungsinya f 1 (x) pada sebuah = 1.
b) Berapa nilainya? sebuah grafik fungsi f 1 (x) dan f 2 (x) memiliki satu titik yang sama?

3. Solusi.
3.a. Mari bertransformasi f 1 (x) dengan cara berikut
Grafik fungsi ini sebuah= 1 ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan.
3.b. Kami segera mencatat bahwa grafik fungsi kamu = kx+b dan kamu = kapak 2 +bx+c (sebuah No. 0) berpotongan di satu titik jika dan hanya jika persamaan kuadrat kx+b = kapak 2 +bx+c memiliki akar tunggal. Menggunakan Tampilan f 1 dari 3.a, kita samakan diskriminan dari persamaan sebuah = 6x-x 2 -6 ke nol. Dari Persamaan 36-24-4 sebuah= 0 kita peroleh sebuah= 3. Lakukan hal yang sama dengan persamaan 2 x-sebuah = 6x-x 2 -6 temukan sebuah= 2. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa nilai parameter ini memenuhi kondisi masalah. Menjawab: sebuah= 2 atau sebuah = 3.

4. Tugas.
Temukan semua nilai sebuah, di mana himpunan solusi pertidaksamaan x 2 -2kapak-3sebuah i 0 berisi segmen .

4. Solusi.
Koordinat pertama titik parabola f(x) = x 2 -2kapak-3sebuah adalah sama dengan x 0 = sebuah. Dari sifat-sifat fungsi kuadrat, kondisi f(x) i 0 pada interval setara dengan totalitas tiga sistem
memiliki tepat dua solusi?

5. Keputusan.
Mari kita tulis ulang persamaan ini dalam bentuk x 2 + (2sebuah-2)x - 3sebuah+7 = 0. Ini adalah persamaan kuadrat, memiliki tepat dua solusi jika diskriminannya benar-benar lebih besar dari nol. Menghitung diskriminan, kita mendapatkan bahwa kondisi memiliki tepat dua akar adalah pemenuhan pertidaksamaan sebuah 2 +sebuah-6 > 0. Memecahkan pertidaksamaan, kita menemukan sebuah < -3 или sebuah> 2. Jelas, yang pertama dari pertidaksamaan tidak memiliki solusi dalam bilangan asli, dan solusi alami terkecil dari yang kedua adalah angka 3.

5. Jawaban: 3.

6. Tugas (10 sel)
Temukan semua nilai sebuah, yang grafik fungsi atau, setelah transformasi yang jelas, sebuah-2 = | 2-sebuah| . Persamaan terakhir setara dengan pertidaksamaan sebuah saya 2.

6. Jawaban: sebuah O , dan tidak bergantung pada tanda diskriminan. Mari kita membuat gambar skema (untuk D>0)

https://pandia.ru/text/78/525/images/image020_10.jpg" width="624" height="209 src=">

Untuk masing-masing dari ketiga kasus a), b), c) nilai terkecil dari fungsi f(t) = t2-8at+7a2

pada segmen dicapai, masing-masing, pada titik-titik di x = 1, x = 2a, x = 1/4. Maka pertanyaan yang harus dijawab adalah solusi dari totalitas tiga sistem:

1≤4a 1/4<4а<1 4а<1/4

f(1)<0 или f(4а)<0 или f(1/4)<0

a≥1/4 1/16<а<1/4 а≤1/16

1 - 8a + 7a2<0 или 16а2 – 32а2 + 7а2<0 или 1/16 – 2а + 7а2<0.

Menjawab: 1/28<а<1.

tugas tes

satu). Untuk berapa nilai parameter a grafik fungsi y = 2x – a dan y = (a + 1)x2 + 1 berpotongan hanya di satu titik?

2). Temukan semua nilai parameter a yang grafik fungsinya y = (a + 5)x2 - 1 dan

y \u003d (3a + 15) x - 4 tidak memiliki poin yang sama?

3). Untuk nilai parameter apa persamaan (a +4)x2 +6x -1 = 0 memiliki solusi unik?

4). Untuk nilai parameter a berapa persamaan (2a + 8) x2 - (a + 4) x + 3 = 0 memiliki solusi unik?

5). Untuk nilai parameter a berapa persamaan memiliki lebih dari satu solusi?

a) (a + 6)x2 - 8x + a \u003d 0

b) a (2a + 4) x2 - (a + 2) x - 5a - 10 = 0.

6). Temukan semua nilai parameter k yang kurva y = x2 + kx + 4 menyentuh sumbu x.

7). Berapa nilai bilangan bulat terkecil dari parameter k untuk trinomial persegi?

(k–2)x2+8x + k+4 positif untuk semua nilai riil x?

delapan). Bilangan x, y, dan sedemikian rupa sehingga x + y = a -1, x2 + y2 = 5a2 - 3a + 0,5. Pada nilai parameter a berapa produk xy mengambil nilai maksimum?

sembilan). Bilangan x, y, dan sedemikian rupa sehingga x + y = a +1, xy = a2 - 3a + 4. Untuk berapa nilai parameter

dan jumlah x2 + y2 mengambil nilai maksimum?

sepuluh). Temukan nilai terbesar dan 1 terkecil dari fungsi y \u003d 2x2 - 2ax + pada segmen

sebelas). Temukan nilai terbesar dari trinomial persegi 1 - (a - 2) x - x2 pada segmen

12). Berapakah nilai parameter a yang merupakan nilai terkecil dari fungsi y = x2 + (a + 4) x + 2a + 3 pada ruas sama dengan -4?

tigabelas). Berapa nilai parameter a yang merupakan nilai terkecil dari fungsi y \u003d x2 - (a + 2) x + a2 pada segmen [-1; 1] sama dengan 4?

empat belas). Berapa nilai parameter a adalah nilai maksimum fungsi?

f (x) \u003d - (1 / a) x + (7 / a) 3-x - 3a2 pada segmen [-1; 0] negatif?

Jawaban untuk tugas tes

1) a=-2, a=-1, a=0.

2) –19/3<а≤-5.

3) a=-4, a=-13.

5) a) -8<а<-6 и -6<а<2

b) a=-2; -1/40 0.

10) Jika<-2, то наименьшее значение функции при х=-1 и равно 3+2а, наибольшее значение функции при х=1 и равно 3–2а;

jika -2≤a<0, то наименьшее значение функции при х= хо и равно 1–а2/2, наибольшее значение функции при х=1 и равно 3–2а;

jika 0≤a<2, то наименьшее значение функции при х= хо и равно 1–а2/2, наибольшее значение функции при х=-1 и равно 3+2а;

jika a≥2, maka nilai terkecil dari fungsi di x= 1 dan sama dengan 3–2a, nilai terbesar dari fungsi di x=-1 dan sama dengan 3+2a;

11) Jika a≤0, maka -6a2-a+2, jika 0<а<8/5, то 2- 6а +а2/4, если а ≥8/5, то 19а-6а2 -14

13) a=-2 atau a=(1+√21)/2

14) |a|>(7√3)/12.

Lokasi akar-akar trinomial persegi

Pertimbangkan sejumlah masalah khas yang terkait dengan lokasi akar trinomial kuadrat ax2 + bx + c. Kami akan melakukan semua penalaran dengan asumsi a > 0. Jika sebuah<0,то рассуждения проводятся аналогично.

Tugas nomor 1.

Dalam kondisi apa kedua akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 (tidak harus berbeda) lebih besar dari beberapa bilangan k?

Keputusan.

Kami membangun grafik skema dari fungsi trinomial persegi y= ax2+bx+c, di mana x1 dan x2 memenuhi kondisi: x1>k, x2>k. Misalkan f(x)=ax2+bx+c. Grafik y= f(x) memotong sumbu OX (D>0) atau menyentuhnya (D=0). Maka perlu memenuhi kondisi: >к, y(к)>0. Jika sebuah< 0 условие: х1>k, x2>k ditentukan oleh sistem pertidaksamaan:

https://pandia.ru/text/78/525/images/image023_20.gif" width="14" height="86">

Gbr.4

Tugas 11. Temukan semua nilai parameter a yang semua akar persamaannya

x2–6ax+2–2a+9a2 = 0 lebih dari 3.

Keputusan.

Jika kondisi yang diperlukan terpenuhi, posisi parabola berikut mungkin, yang merupakan grafik fungsi f(x)= x2–6ax+2–2a+9a2

Gbr.5

Mari kita selesaikan sistem pertidaksamaan:

https://pandia.ru/text/78/525/images/image026_8.jpg" align="left" width="324" height="239 src=">

Cukup untuk memenuhi syarat: y(k)<0, если а >0.Ketika<0, y(к) > 0.

Beras. 6

Tugas 12. Temukan semua nilai parameter a yang 1 terletak di antara akar persamaan x2–2ax+3–4a+2a2=0.

Keputusan.

Karena koefisien awal adalah positif, maka cukup untuk memenuhi kondisi f(1)<0, где f(х)=х2–2ах+3–4а+2а2

4–6a+2a2<0, 1<а<2.

Menjawab: 1<а<2

Tugas nomor 3. Dalam kondisi apa tepat satu akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, yang memiliki akar berbeda, terletak pada interval (k, e)?

Mari kita secara skematis membuat grafik y = ax2 + bx + c sesuai dengan kondisi masalah ini untuk a > 0.

https://pandia.ru/text/78/525/images/image028_8.jpg" width="623" height="246 src=">

Memecahkan pertidaksamaan: f(1) f(2)<0.

(a2+8a+7)(a2+14a+16)<0

7-√33< а<-7; -7+√33<а<-1.

Menjawab: -7-√33< а<-7; -7+√33<а<-1.

Tugas 14. Temukan semua nilai parameter a yang persamaan 2cos(2x)+2asin(x)+a-1=0 memiliki solusi unik pada interval (-π/2;0).

Keputusan.

2cos(2x)+2a sinx+a-1=0

2(1–2 sin2х)+ 2a sinx+a–1=0

4 sin2х–2а sinx –a–1=0

Misalkan sinx=t Sejak -π/2<х<0, то -1< t <0

Temukan nilai parameter a yang persamaan 4t2– 2at–a–1=0 memiliki solusi unik pada interval (-1; 0).

Persamaan 4t2– 2at–a–1=0 memiliki solusi unik pada interval (-1; 0) jika:

satu). D \u003d 0 D / 4 \u003d (a + 2) 2 D \u003d 0 untuk \u003d -2.

2). Pertimbangkan fungsi f(t)= 4t2– 2at–a–1

Kami membangun grafik skematis dari fungsi y=f(t)

https://pandia.ru/text/78/525/images/image030_16.gif" width="14" height="50 src=">

f(0) f(1) 0 a≤-3; a-1

Menjawab: a≤-3; a≥-1; a=-2.

Tugas nomor 4. Dalam kondisi apa kedua akar (tidak harus berbeda) dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c terletak pada ruas [k; e]. Pertimbangkan dalam kondisi a>0. Misalkan ada fungsi f(x)= ax2+bx+c

https://pandia.ru/text/78/525/images/image032_14.gif" width="14" height="110"> D≥0

k ho≤ e

Tugas 15. Temukan nilai-nilai parameter a yang semua akar persamaannya

2- 2(а–3)х–а +3=0 terletak pada interval (-3; 0).

Keputusan.

Asalkan setidaknya ada satu akar, grafik fungsi f (x) \u003d x2- 2 (a-3) x-a + 3 dapat ditempatkan secara skematis dengan salah satu dari dua cara

https://pandia.ru/text/78/525/images/image034_12.gif" width="14" height="110"> H0 4(а – 3)(а – 2) 0

3<хо<0 3<а – 3 <0 1,2<а≤2.

f(-3) >0 5а – 6>0

f(0) >0 -а+3>0

Persamaan sin x - 1 + a = sin x - 2 . sin x 2 sin x 3 Solusi. Menetapkan t = sin x, kita mereduksi persamaan menjadi at2 5at + 6a 1 = 0. Jika a = 0, maka tidak ada solusi. Untuk a = 0 dan pada kondisi a (−∞; 4] (0; +∞) 2 + 4a diperoleh akar-akar persamaan t1,2 = 5a ± 2aa .Karena titik sudut parabola f (t) = at2 5at + 6a 1 terletak di titik tв = 2 , 5 syarat |t|1 untuk akar terkecil akan dipenuhi jika fungsi memiliki tanda yang berbeda pada ujung ruas [− 1; 1]: f (−1) f (1) 0 atau (2a−1)(12a−1) 0. Penyelesaian dari 1 pertidaksamaan terakhir adalah interval a 12 ;1 .2 a2 Jawaban: Jika a 12 ;2: x = (−1)n arcsin 5a− 2a +4a +πn, n∈Z, 1 1 tidak ada solusi untuk yang lain a Soal 6.7 Untuk berapa nilai parameter a adalah fungsi f (x) = 8ax a sin 6x 7x sin 5x bertambah pada seluruh sumbu real dan tidak memiliki titik kritis Solusi Fungsi f (x) terdiferensial untuk sembarang nilai a dan f (x) = 8a 6a cos 6x 7 5 cos 5x Soal dapat dirumuskan kembali sebagai berikut: pertidaksamaan a 6a cos 6x + 5 cos 5x< 8a − 7 справедливо для любого x? Так как последнее неравенство должно выполняться для любого значения x, оно должно быть справедливо и для x = 0, от- куда 6a + 5 < 8a − 7 или a >6. Mengingat sekarang bahwa 6a cos 6x + 5 cos 5x 6|a| +5< 8a − 7, приходим к выводу, что при a >6 pertidaksamaan berlaku untuk setiap x. Jawaban: a > 6. Soal untuk solusi independen Soal 6.8. (SGAU) Bergantung pada nilai parameter a, selesaikan persamaan cos4 x (a + 2) cos2 x a 3 = 0. Jawaban: Jika a [−3; 2] : x = arccos a + 3 + k, k Z, jika a [−3; 2] : tidak ada solusi. Soal 6.9. (SGAU) Bergantung pada nilai parameter a, selesaikan persamaan sin4 x + cos4 x + sin 2x + a = 0. 61 Jawaban: Jika a 3 ; 2: x = 1 (−1)k arcsin(1− 2a−3) + k, 2 1 2 3 ; 1: tidak ada solusi. jika a 2 2 k Z, Soal 6.10. (SGAU) Untuk berapa nilai parameter a persamaan (a2 +8a+16)(2−2 cos x− sin2 x)+(32+2a2 +16a)(cos x−1)+3a+10 =0 solusi? Jawaban: a< − 10 ; −3 < a < −2. 3 Задача 6.11. (СГАУ) При каких значениях параметра a урав- нение loga−2 17 + cos x − sin x = 3 8 имеет решение? √ 2 3 Ответ: a ∈ 2 5 ; 3 ∪ 3; 2 + 26 . 2 Задача 6.12. (СГАУ) При каких значениях параметра a урав- нение loga+1 25 + cos x − 2 sin x = 3 8 2 имеет решение? √3 37 Ответ: a ∈ − 1 ; 0 ∪ 0; 2 − 1 . 2 Задача 6.13. (ЕГЭ) При каких значениях параметра a значение выражения 2+cos x·(3 cos x+a sin x) не равно нулю ни при каких значениях x? √ √ Ответ: a ∈ −2 10; 2 10 . Задача 6.14. (ЕГЭ) При каких значениях параметра a значение выражения 3 + sin x · (2 sin x + a cos x) будет равно −1 хотя бы при одном значении x? √ √ Ответ: a ∈ −∞; −4 6 ∪ 4 6; +∞ . Задача 6.15. (ЕГЭ) При каких значениях параметра a сумма loga (sin x + 2) и loga (sin x + 3) будет равна единице хотя бы при одном значении x? Ответ: a ∈ [ 2; 12 ]. Задача 6.16. (СГАУ) При каких значениях параметра α систе- ма 4 sin x · sin y · cos(x + y) − 0,5 = 0 x−y =α имеет решения? Найдите эти решения в зависимости от значений параметра α. 62 Ответ: Если α = 2πn: x = ±π 6 + π(k+n) π y = ±6 + π(k−n); если α = π+2πn: x = ±π 3 + π + π(k+n) 2 y = ±π 3 − π + π(k−n), 2 n, k ∈ Z. Задача 6.17. (СГАУ) При каких значениях параметра α систе- ма 2 sin x · cos y · sin(x − y) + 0,25 = 0 x+y =α имеет решения? Найдите эти решения в зависимости от значений параметра α. Ответ: Если α = π +2πn: x = (−1)k+1 π + π + π (2n+k) 2 12 4 2 k π + π + π (2n−k); y = (−1) 12 4 2 если α = − 2 π +2πn: x = (−1)k π − π + π (2n+k) 12 4 2 y = (−1) k+1 π − π + π (2n−k), 12 4 2 n, k ∈ Z. Задача 6.18. (СГАУ) При каких значениях параметра a нера- венство √ 2 2 (sin x − cos x) − a + 7 log 2a+34 15 <0 35 выполняется для любых значений x? 1 Ответ: a ∈ (−17; −12) ∪ 2 ; 3 . Задача 6.19. (СГАУ) При каких значениях параметра a нера- венство √ log 3−2a 3 sin x + 3 3 cos x − 2a − 12 >0 23 28 berlaku untuk semua nilai x? Jawaban: a (−∞; 23) (−10; 9). Soal 6.20. Bergantung pada nilai parameter a, selesaikan pertidaksamaan cos x 2 a2 . Jawaban: |a| : x R, 1 1<|a| √3: x ∈ arccos(2−a2)+2πk; π− arccos(2−a2)+2πk , |a|>3: tidak ada solusi. k∈Z Soal 6.21. Untuk nilai parameter a berapa persamaan tg x (a + 1) tg2 x 2 cos x + a = 0 tidak memiliki solusi? Jawaban: a -3; a 1. 63 Panduan belajar MASALAH DENGAN PARAMETER Disusun oleh: Efimov Evgeny Alexandrovich Kolomiets Lyudmila Vadimovna Penyusunan huruf dan tata letak komputer E.A. Universitas Dirgantara Negeri Efimov Samara dinamai Akademisi S.P. Ratu. 443086, Samara, jalan raya Moskow, 34. - RIO Samara State Aerospace University dinamai Akademisi S.P. Ratu. 443086, Samara, jalan raya Moskow, 34.

Kementerian Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Wilayah Samara

Lembaga Pendidikan Otonom Negara Pendidikan Profesi Tambahan (Pengembangan Kualifikasi) Spesialis

LEMBAGA DAERAH SAMARA UNTUK PENGEMBANGAN PROFESIONAL

DAN PELATIHAN KEMBALI PEKERJA PENDIDIKAN

Pekerjaan akhir

Pada kursus pelatihan lanjutan

Menurut WB IOCH

"Fitur metodologis pengajaran untuk memecahkan masalah dengan parameter dalam konteks transisi ke standar pendidikan baru"

(15.06 - 19.06.2015)

Merancang sistem tugas multi-level dengan parameter topik:

"Turunan"

Dilakukan:

Valieva F.G.,

guru matematika

GBOU sekolah menengah mereka. MK Ovsyannikova

dengan. Isakla

Samara

2015

CATATAN PENJELASAN

Nama lengkap (nama lengkap)

Valieva Fanuzya Galimzyanovna

Tempat kerja

GBOU sekolah menengah mereka. MK desa Ovsyannikova di Isakly,

Distrik Isaklinsky, wilayah Samara

Posisi

guru matematika

Hal

Matematika

Kelas

Sasaran:

1. implementasi persyaratan Federal State Educational Standard LLC saat mempelajari topik: "Turunan"

   Generalisasi dan sistematisasi pengetahuan dan metode kegiatan dengan topik "Turunan"; pembentukan keterampilan untuk memecahkan masalah dengan parameter.

   Pengembangan kegiatan penelitian dan kognitif.

Konsep pengembangan spiritual dan moral dan pendidikan kepribadian warga negara Rusiaadalah dasar metodologis untuk pengembangan dan penerapan standar pendidikan negara bagian federal untuk pendidikan umum.

Standar pendidikan negara bagian federal untuk pendidikan umum dasar pada kursus sekolah matematika.

Standar didasarkan padapendekatan sistem-aktivitas.

Standar menetapkan persyaratan untuk hasil penguasaan siswa dari program pendidikan utama pendidikan umum dasar:

pribadi;

metasubjek;

subjek .

Tugas:

- pendidikan: menganalisis dan memahami teks tugas, secara mandiri mengidentifikasi dan merumuskan tujuan kognitif, merumuskan kembali kondisi, membangun rantai penalaran yang logis, mengevaluasi secara kritis jawaban yang diterima, konstruksi sadar dan sewenang-wenang dari pernyataan pidato, memilih cara yang paling efektif untuk memecahkan masalah, merumuskan dan merumuskan masalah, mengajukan hipotesis dan membenarkannya, membaca semantik;

- mengembangkan: penetapan tujuan, rencanakan kegiatan mereka tergantung pada kondisi tertentu; refleksi metode dan kondisi tindakan, pengendalian dan evaluasi proses dan hasil kegiatan, pengaturan diri,melalui pemecahan masalah, untuk mengembangkan aktivitas kreatif dan mental siswa, kualitas intelektual: kemampuan untuk "melihat" masalah, tindakan evaluatif, kemandirian, fleksibilitas berpikir;

- pendidikan: pembentukan rasa, kemampuan untuk mendengarkan dan masuk ke dalam dialog, untuk berpartisipasi dalam diskusi kolektif masalah, untuk menumbuhkan tanggung jawab dan akurasi.

tugas dengan parameter - ini adalah tugas non-standar, mis.tidak biasa baik dalam formulasi dan konten, dan dalam metode solusi. Peran seperti itutugas, pentingnya dan manfaatnya bagi pengembangan pemikiran logis, intuisi,kemampuan kreatif siswa, pembentukan kemampuan matematisnya yang tinggibudaya sangat besar. Diketahui bahwa para pendidik menghadapi masalah seriusmasalah metodologis dalam mengajar untuk memecahkan masalah tersebut, meskipun ada,cukup banyak tutorial dan artikel jurnal. Alasannya cukup jelas: strategi utama pendidikan matematika di sekolah adalah pengembangan keterampilan dan kemampuan untuk memecahkan serangkaian masalah standar tertentu, sebagian besar terkait dengan teknik transformasi aljabar. Persamaan (ketidaksetaraan) dengan parameter mengacu pada jenis tugas yang berbeda - tugas untuk solusinya yang, pertama-tama, kemampuan untuk melakukan - terkadang cukup bercabang - konstruksi logis dan penelitian diperlukan.

Memecahkan masalah dengan parameter memerlukan penelitian, bahkan jika kata ini tidak disebutkan dalam pernyataan masalah. Penerapan rumus secara mekanis saja tidak cukup, perlu memahami pola, kemampuan menganalisis kasus tertentu berdasarkan sifat umum objek yang diketahui, konsistensi dan konsistensi dalam solusi, kemampuan menggabungkan kasus-kasus tertentu yang dipertimbangkan. menjadi satu hasil. Hal ini dikarenakan kesulitan yang dialami siswa dalam menyelesaikan soal tersebut.

Saat ini, ide menggabungkan pembelajaran untuk memecahkan masalah dengan pembelajaran mendesainnya telah menjadi cukup luas. Dengan membangun tugas, kita akan memahami proses pembuatan tugas baru. Konstruksi masalah didasarkan pada kemampuan untuk menyusun trinomial persegi. Dalam hal ini, berbagai teknik digunakan: analogi, variasi koefisien trinomial persegi, variasi variabel baru, variasi persyaratan tugas. Fungsi yang lebih kompleks dapat bertindak sebagai koefisien dan variabel baru. Dengan demikian, Anda dapat menggunakan trinomial persegi seperti itu, yang akan membantu mengatur pengulangan fungsi yang lebih kompleks: eksponensial, logaritmik, trigonometri. Di satu sisi, Anda perlu mengetahui sifat-sifat trinomial persegi, dan di sisi lain, sifat-sifat fungsi diulang, sehingga mencapai kombinasi masalah.

Pilihan masalah dengan parameter untuk mengajarkan solusi dan desainnya dapat dijelaskan dengan keadaan berikut:

ketika memecahkan masalah dengan parameter, pengulangan terjadi, dan sebagai hasilnya, asimilasi masalah program yang lebih dalam dan lebih solid;

memecahkan masalah dengan parameter memperluas cakrawala matematika, memberikan pendekatan baru untuk memecahkan masalah;

ada perkembangan matematis, berpikir logis, kemampuan menganalisis, membandingkan, menggeneralisasi;

keterampilan untuk pekerjaan penelitian diperoleh;

bantuan dalam mempersiapkan ujian;

ada pembentukan ciri-ciri kepribadian seperti ketekunan, tujuan, ketekunan, kemauan keras, akurasi.

Dibentuk UUD dalam kerangka Standar Pendidikan Negara Federal ketika memecahkan masalah dengan parameter:

Tahapan pemecahan masalah

Terbentuknya UUD

Analisis Kondisi(pengenalan huruf)

• penetapan tujuan;

  menyoroti informasi material;

  perumusan masalah dan peramalan solusi;

  abstraksi;

  analogi;

  klasifikasi (tipologi);

  tindakan simbolis.

Catatan skema kondisi masalah dalam bentuk tabel, diagram, grafikdengan huruf yang dimasukkan

• perencanaan;

  sistematisasi;

  tindakan simbolis;

  pemodelan.

Membangun Model(mencari analog, daya tarik hukum yang diketahui dari matematika atau fisika)

• pembuatan metode untuk memecahkan zalachi;

  penyesuaian kondisi;

  pemodelan dalam bentuk grafik.

Menyelesaikan persamaan, sistem, dll.(mencari yang tidak diketahui)

• analisis dan identifikasi informasi material;

  derivasi konsekuensi;

  membangun rantai penalaran;

  pengembangan dan pengujian hipotesis;

  transformasi model.

Interpretasi model(verifikasi dan evaluasi solusi, akar)

• analisis;

  derivasi konsekuensi;

  spesifikasi;

  tindakan simbolik (interpretasi).

Belajar(generalisasi masalah atau metode untuk memecahkannya untuk kondisi yang dimodifikasi, pendekatan lain untuk pemecahan)

• analisis;

  perpaduan;

  mencari analog;

  membangun rantai penalaran;

  kemampuan untuk menyampaikan konten secara ringkas;

  diagram keterampilan, simbol, model;

  penciptaan cara untuk memecahkan masalah pencarian, sifat kreatif.

Refleksi

• arti pembentukan;

  perencanaan;

  kontrol;

  koreksi;

  nilai;

  pengaturan diri yang disengaja;

  kesiapan untuk pengembangan diri, untuk pendidikan mandiri;

  kemampuan untuk secara mandiri menentukan tujuan pelatihan mereka;

  mengatur dan merumuskan tugas baru untuk Anda sendiri;

  mengembangkan motif dan minat kegiatan pendidikannya.

Sistem tugas multi-level

Dasar dari metodologi pengajaran yang didasarkan pada sistem tugas multi-level adalah pengembangan bertahap dari blok-blok matriksnya. Fitur utama dari teknik ini adalah bahwa pada setiap level, mis. ketika menguasai kolom matriks yang sesuai, siswa setiap kali menghadapi ketiga jenis situasi belajar yang muncul ketika memecahkan masalah.

Sistem tugas multi-level untuk setiap topik kursus dibentuk menggunakan representasi matriksnya, dengan menyoroti daftar peringkat elemen dasar dari konten pendidikan dan tugas-tugas dasar yang sesuai dengannya, di satu sisi, dan tingkat pembelajaran yang mencerminkan kemampuan untuk memecahkan tugas-tugas yang akrab, dimodifikasi dan asing, di sisi lain.

Matriks sistem tugas topik seperti itu berisi 3 baris yang sesuai dengan tiga jenis situasi belajar yang muncul saat memecahkan masalah, danN kolom yang mencerminkan jumlah tugas dasar topik. Representasi tabel (matriks) seperti itu dari sistem tugas topik membantu untuk melakukan pengisian penuh pada setiap tingkat komponen matematika dan aktivitasnya (pembentukan UUD) dan dengan demikian mengimplementasikankriteria ketuntasan mata pelajaran dan kegiatan (artinya UUD kognitif) sistem tugas pendidikan yang terbentuk. Pada saat yang sama, jika tugas-tugas dasar dalam sistem memainkan peran semacam integrator komponen konten mata pelajaran, maka ketika merancang dan melaksanakan proses pembelajaran, peran yang sama harus dimainkan oleh kegiatan pembelajaran universal (metode umum dan teknik aktivitas) dalam situasi tertentu.

Kegiatan pendidikan dalam memecahkan masalah yang termasuk dalam baris pertama matriks bersifat reproduktif (tindakan pendidikan umum seperti klasifikasi, menyimpulkan di bawah konsep, menurunkan konsekuensi, tindakan, membangun rantai penalaran logis, bukti, dll. ) digunakan. Tugas yang terlibat berbeda.koneksi eksplisit antara data dan elemen yang diperlukan (diketahui dan tidak diketahui). Siswa mengidentifikasi (mengenali tugas yang sudah dikenal dalam sejumlah tugas yang serupa), mereproduksi metode atau algoritma tindakan yang dipelajari, menerapkan pengetahuan yang diperoleh dalam istilah praktis untuk beberapa kelas tugas yang diketahui dan menerima informasi baru berdasarkan penerapan pola aktivitas yang dipelajari .

Ketika menyelesaikan tugas-tugas baris kedua, aktivitas belajar reproduktif digabungkan dengan aktivitas rekonstruktif, di mana pola aktivitas tidak hanya direproduksi dari memori, tetapi direkonstruksi di bawah kondisi yang agak dimodifikasi (di sini, tindakan pendidikan umum seperti pemilihan dan perumusan suatu tujuan kognitif, pencarian dan pemilihan informasi yang diperlukan, tindakan simbolis simbolis, termasuk pemodelan matematika, penataan pengetahuan).

Akhirnya, ketika memecahkan masalah baris ketiga, kegiatan pendidikan bersifat kreatif penelitian. Siswa harus dapat menavigasi dalam situasi baru dan mengembangkan program tindakan baru yang mendasar (mengajukan hipotesis, memeriksa: mendukung atau menyangkal, mengajukan yang baru, dll., melakukan kegiatan penelitian). Memecahkan masalah blok yang sesuai mengharuskan siswa untuk memiliki dana yang luas dari algoritma yang terbukti dan digunakan dengan cepat; kemampuan untuk dengan cepat mengkode ulang informasi dari bentuk simbolik tanda ke bentuk grafik dan, sebaliknya, dari grafik ke bentuk simbolik; visi sistemik kursus. Pada saat yang sama, ini tidak hanya melibatkan penggunaan algoritma lama dalam kondisi baru dan peningkatan kompleksitas teknis, tetapi dibedakan oleh ketidakjelasan aplikasi dan kombinasi dari algoritma yang dipelajari. Tugas tingkat ini memiliki struktur logis yang rumit dan ditandai dengan kehadirankoneksi laten antara data dan elemen yang Anda cari. Tugas seperti itu biasanya ditawarkan sebagai yang paling sulit pada ujian masuk ke universitas dengan persyaratan tinggi untuk persiapan matematika pelamar dan dalam tugas 17, 18, 20, 21 dari KIM USE.

Sistem tugas bertingkat dengan topik "Turunan"

№ p/p

Nama tugas

Jenis tugas

Perhitungan derivatif menurut definisi.

33

Depkes

NZ

Menemukan turunan dari jumlah, produk, fungsi pribadi

33

Depkes

NZ

Investigasi kemonotonan suatu fungsi

33

fungsi meningkat sepanjang garis bilangan bulat?

Depkes

Berapa nilai parameternya fungsi menurun untuk semua nilai ?

NZ

Temukan himpunan semua bilangan a, yang masing-masing fungsinyaf(x) = dosa 2 x – 8(sebuah + 1) sinx + (4 sebuah 2 + 8 sebuah – 14) xmeningkat pada seluruh garis nyata dan tidak memiliki titik kritis.

Menemukan titik ekstrem

33

memiliki satu titik tetap?

Depkes

Tentukan berapa nilai parameternya fungsi maksimal adalah 9

NZ

Untuk apa nilai parameter a fungsi?f(x) = (sebuah 2 – 3 sebuah + 2) (karena 2 – dosa 2 + (sebuah – 1) x + dosa1 tidak memiliki poin kritis?

Menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu pada suatu interval dan terdiferensiasi pada suatu interval

33

Cari tahu apa nilai parameternyasebuah nilai fungsi terkecilkamu = x 2 -12 x + sebuah pada segmen adalah nol.

Depkes

Berapa nilai parameternya? nilai fungsi terkecil sama dengan

NZ

Berapa nilai parameternya fungsi mengambil nilai kurang dari 5 untuk setiap

Eksplorasi dan plot lengkap

33

3+3x2

Depkes

Berapa nilai parameter a yang merupakan minimum dari fungsi f(x) = ax 2 - 6ax + a 2 - 9 sama dengan 1?

NZ

Persamaan garis singgung grafik fungsi di titik tertentu

33

Berapa nilai parameternya lurus bersinggungan dengan grafik fungsi ?

Depkes

Berapa nilai parameternya garis singgung fungsi grafik memotong dari kuartal pertama sebuah segitiga sama kaki dengan luas

NZ

Berapa nilai parameternya menyinggung grafik fungsi ditarik pada titik-titik perpotongannya dengan sumbu, membentuk sudut

Penerapan turunan untuk memecahkan masalah dalam geometri, fisika dan ekonomi

33

Apa yang harus menjadi sisi persegi panjang dengan keliling?Pmemaksimalkan luasnya?

Depkes

Jendela memiliki bentuk persegi panjang yang dibatasi di atas oleh setengah lingkaran (Gambar 3). Keliling jendela adalah P. Tentukan jari-jari setengah lingkaran R, di mana luas jendela adalah yang terbesar.

NZ

Sebuah gambar dengan ketinggian a digantung di dinding sedemikian rupa sehingga tepi bawahnya adalah h satuan di atas ketinggian mata pengamat. Pada jarak x dari dinding berapakah pengamat harus berada agar sudut pandang lukisan menjadi yang terbesar (Gambar 7a)?

Solusi

Keputusan :

1. Fungsi f(x) berkurang untuk semua nilai x jika turunannya

f′(x) = 6x 2 + 18ax + 30a = 6a(x 2 + 3x + 5)< 0

untuk semua x.

2. Oleh karena itu kita menemukan bahwa a< 0.

3 . Jawaban: a (–∞; 0).

1. Temukan himpunan semua bilangan a, yang masing-masing fungsinya f (x) \u003d sin 2x - 8 (a + 1) sinx + (4a 2 + 8a - 14) x meningkat pada seluruh garis real dan tidak memiliki titik kritis.

1. Untuk sembarang a tetap, fungsi ini terdiferensialkan di setiap titik pada garis real.

2. Karena fungsi f(x) meningkat, pertidaksamaan f′(x) 0 harus berlaku di setiap titik x.

3. Karena f(x) tidak memiliki titik kritis, maka untuk setiap x pertidaksamaan f′(x) 0 harus berlaku.

4. Jadi, jika fungsi memenuhi kondisi masalah, maka untuk semua x pertidaksamaan f (x) > 0 harus dipenuhi.

5. Sebaliknya, jika pertidaksamaan f′(x) > 0 berlaku untuk semua x, maka fungsi tersebut jelas tidak memiliki titik kritis dan meningkat.

6. Temukan turunan dari fungsi ini:

f′( x) = 2 karena 2 x – 8( sebuah + 1) cosx + 4 sebuah 2 + 8 sebuah – 14.

Sekarang masalahnya dapat dirumuskan kembali sebagai berikut: temukan semua nilai parameter a, untuk setiap x, pertidaksamaan

cos 2x – 4(a + 1) cos x + 2a 2 + 4a – 7 > 0.(1)

7. Diketahui cos 2x = 2 cos 2 x – 1, dan pengaturan cos x = t, di mana -1 t 1, kita tulis ulang pertidaksamaan (1) sebagai berikut:

2t 2 – 1 – 4(a + 1)t + 2a 2 + 4a – 7 > 0,

atau

t 2 – 2(a + 1)t + a 2 + 2a – 4 > 0. (2)

8. Menyatakan fungsi pada ruas kiri pertidaksamaan (2) dengan (t), kami memberikan rumusan baru dari masalah awal: temukan semua nilai a, untuk masing-masing nilai terkecil dari fungsi ( t) pada interval [-1; 1] positif.

9. Turunan (t) = 2t – 2(a + 1) hilang pada t 0 = a + 1.

10. Nilai terkecil dari fungsi (t) pada interval [-1; 1] adalah:

ϕ (-1) = a 2 + 4a – 1,jikaa + 1 -1;

ϕ (a + 1) = -5,jika –1 < a + 1 < 1;

(1) = a 2 – 5 jika a + 1 1.

11. Karena nilai terkecil dari fungsi (t) pada ruas [-1; 1] harus positif, maka nilai parameter a yang memenuhi kondisi masalah termasuk dalam dua interval: a –2 dan a 0.

12. Jika a –2, maka nilai parameter a yang diinginkan memenuhi pertidaksamaan a 2 + 4a – 1 > 0.

13. Jika a 0, maka nilai parameter a yang diinginkan memenuhi pertidaksamaan a 2 – 5 > 0.

14. Akibatnya, himpunan nilai yang diinginkan a adalah penyatuan solusi dari dua sistem pertidaksamaan:

(3)

sebuah 0

sebuah 2 -5 > 0 (4)

15. Himpunan solusi untuk sistem (3) adalah interval –∞< a < –2 –√5 , а множество решений системы (4)- промежуток a >√5 .

16. Jawaban: a (–∞; –2 –√5) (√5; +∞).

1. Karena fungsi ini dapat diturunkan pada seluruh garis real, titik kritis dari fungsi f(x) adalah titik-titik di mana turunan f′(x) = 0.

2. Dalam hal ini, kita memiliki f (x) =(a – 1)(a – 2) (–sin+ (a – 1).

3. Jelas, jika a = 1, maka f (x) = 0 untuk setiap x R, yaitu

untuk fungsi yang diberikan, setiap titik x R kritis.

4. Asumsikan bahwa 1. Maka persamaan f (x) = 0 berbentuk

(a - 2) dosa = 2. (1)

Oleh karena itu jika |a – 2|< 2, т. е. если a (0; 1) (1; 4),

maka persamaan (1) tidak memiliki akar dan, oleh karena itu, untuk nilai a yang ditunjukkan, fungsi f(x) tidak memiliki titik kritis.

5 . Menjawab: sebuah (0; 1) (1; 4).

Nilai pembilang terkecil dan nilai penyebut terbesar dicapai pada nilai x yang berbeda. Oleh karena itu, untuk menemukan nilai terkecil dari suatu fungsi, lebih mudah menggunakan turunannya. Mari kita tulis ulang pertidaksamaan dalam bentuk

Di manat=3- karena 2 x, t

Tentukan nilai terkecil dari fungsif( t) = , pada segmen. Sejak turunanf "( t) = negatif ditkemudianfberkurang dan mengambil nilai terkecil dit=3, f nama = f(3) = .

Menjawab:sebuah

Berapakah k natural terkecil untuk persamaan x 3+3x2 – 45x + k = 0 memiliki tepat satu akar?

1. Buatlah sketsa grafik fungsi y 1 = x 3 + 3x 2 – 45x dan tentukan nilai natural k terkecil dimana grafik ini memotong garis y 2 = –k tepat di satu titik.

2. a) D(y 1 ) = R;

huuu 1 / = 3x 2 + 6x - 45; 1 / dalam interval (–∞; –5), (–5; 3) dan (3; +∞) diilustrasikan pada Gambar. 1. Dalam gambar. 2 adalah representasi skema dari grafik fungsi y 1 .

3. Jelas, persamaan ini memiliki solusi unik jika –k > 175 atau –k< –81, т. е. k < –175 или k >81. Nilai natural k terkecil adalah 82.

4. Jawaban: k = 82.

Pada nilai parameter a berapakah minimum fungsi f(x) = ax2 – 6ax + a2 – 9 sama dengan 1?

1. f′(x) = –6x 2 + 6x + 12.

2. y′ = 0 untuk x 1 = 2.

6. Jawaban: a = 2.

Berapa nilai parameter a yang merupakan minimum dari fungsi f(x) = –2x 3 + 3x 2 + 12x + 4a adalah 1?

Untuk nilai parameter a berapakah garis y=ax-2 bersinggungan dengan grafik fungsi y=1+ln⁡ x?

Berapa nilai parameter a yang menyinggung grafik fungsi y=a-x^2 memotong segitiga sama kaki dengan luas 9/32 dari kuartal pertama

sebagai , dengan syarat garis singgung harus memotong fungsi dalamperempat berarti. Segitiga sama kaki adalah segitiga siku-siku sehingga sudut-sudut lainnya sama besar, tetapidari mana garis singgung mengambil bentuk titik kontak garis singgung dengan grafik sepanjang sumbu x sama dengan . sesuai dengan rumus garis singgung grafik karena luas segitiga seharusnya , kemudian sebagai perempat.Di mana

Berapa nilai parameter a, garis singgung grafik fungsi y=4x^2-|a|x, yang ditarik pada titik perpotongannya dengan sumbu x, membentuk sudut 60° di antara keduanya

Berapakah panjang sisi persegi panjang dengan keliling P agar luasnya maksimum?

Jendela memiliki bentuk persegi panjang yang dibatasi di atas oleh setengah lingkaran (Gambar 3). Keliling jendela adalah P. Tentukan jari-jari setengah lingkaran R, di mana luas jendela adalah yang terbesar.

Sebuah gambar dengan ketinggian a digantung di dinding sedemikian rupa sehingga tepi bawahnya adalah h satuan di atas ketinggian mata pengamat. Pada jarak x dari dinding berapakah pengamat harus berada agar sudut pandang lukisan menjadi yang terbesar (Gambar 7a)?

literatur

Azarov A.I., Barvenov S.A., Fedosenko V.S.Metode untuk memecahkan masalah dengan parameter. Matematika untuk siswa SMA. Minsk: "Aversev", 2003.

V.S. Vysotsky, Tugas dengan parameter untuk mempersiapkan ujian

Gorshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Tugas dengan parameter. - K.: RIA "Teks"; MP "OKO", 1992. -290 hal.

Kachalova G. A. Tentang perlunya memasukkan baris konten-metodis "Masalah dengan parameter" dalam modul pendidikan "Dasar-dasar Matematika" //Urusanł yMię dzynarodowejNaukowi- PraktycznejkonferencjiPostę pó wwnace. sekarangą dy, bermasalah, innowacje. 29.07.2012. - 31.07.2012. cz2. - od, 2012. - S. 67–70.

Kozko A. I., Panferov V. S., Sergeev I. N., Chirsky V. G. MENGGUNAKAN 2011. Matematika. Tugas C5. Tugas dengan parameter / Ed. A. L. Semenova dan I. V. Yashchenko. - M.: MTsNMO, 2011.-144 hal.

Rodionov E.M. Memecahkan masalah dengan parameter. M.: MP "Rus-90", 1995