INSTITUT ENERGI MOSKOW

(Universitas Teknik)

FAKULTAS TEKNIK ELEKTRONIK

RINGKASAN TENTANG TOPIK

Ke PERSAMAAN INETIK B OLTSMAN.

LENGKAP:

Korkin S.V.

GURU

Sherkunov Yu.B.

Paruh kedua pekerjaan diisi dengan matematika yang cukup kompleks.. Pengarang ( [dilindungi email], [dilindungi email]) tidak menganggap makalah ini ideal, ini hanya dapat berfungsi sebagai titik awal untuk menulis karya yang lebih sempurna (dan dapat dipahami). Teks bukan salinan buku. Lihat akhir untuk literatur pendukung.

Kertas pertukaran diterima dengan tanda EXL. (Versi terakhir dari karya ini sedikit hilang. Saya sarankan menggunakan "versi" kedua dari belakang).

Pendahuluan……………………………………………………………………………… 3

Simbol………………………………………………………………. 4

1 Fungsi distribusi.

2 Tabrakan partikel.

3 Menentukan jenis integral tumbukan

dan persamaan Boltzmann.

4. Persamaan kinetik untuk gas homogen lemah.

Konduktivitas termal gas.

Beberapa konvensi:

n adalah konsentrasi partikel;

d adalah jarak rata-rata antar partikel;

V - beberapa volume sistem;

P adalah probabilitas dari beberapa peristiwa;

f - fungsi distribusi;

Pengantar.

Bagian fisika - termodinamika, fisika statistik, dan kinetika fisik terlibat dalam studi tentang proses fisik yang terjadi dalam sistem makroskopik - benda yang terdiri dari sejumlah besar partikel mikro. Tergantung pada jenis sistemnya, mikropartikel tersebut dapat berupa atom, molekul, ion, elektron, foton, atau partikel lainnya. Sampai saat ini, ada dua metode utama untuk mempelajari keadaan sistem makroskopik - termodinamika, yang mencirikan keadaan sistem melalui parameter makroskopik yang mudah diukur (misalnya, tekanan, volume, suhu, jumlah mol atau konsentrasi zat) dan , pada kenyataannya, tidak memperhitungkan struktur atom dan molekul suatu zat, dan metode statistik berdasarkan model atom-molekul dari sistem yang dipertimbangkan. Metode termodinamika tidak akan dibahas dalam karya ini. Menurut hukum perilaku partikel sistem yang diketahui, metode statistik memungkinkan untuk menetapkan hukum perilaku seluruh sistem makro secara keseluruhan. Untuk menyederhanakan masalah yang sedang dipecahkan, sejumlah asumsi (asumsi) tentang perilaku mikropartikel dibuat dalam pendekatan statistik, dan, oleh karena itu, hasil yang diperoleh dengan metode statistik hanya valid dalam batas-batas asumsi yang dibuat. Metode statistik menggunakan pendekatan probabilistik untuk memecahkan masalah; untuk menggunakan metode ini, sistem harus mengandung jumlah partikel yang cukup besar. Salah satu masalah yang diselesaikan dengan metode statistik adalah penurunan persamaan keadaan sistem makroskopik. Keadaan sistem mungkin tidak berubah dari waktu ke waktu (sistem keseimbangan) atau dapat berubah dari waktu ke waktu (sistem non-kesetimbangan). Studi tentang keadaan non-kesetimbangan sistem dan proses yang terjadi dalam sistem tersebut adalah subjek kinetika fisik.

Persamaan keadaan sistem yang berkembang dalam waktu adalah persamaan kinetik, yang solusinya menentukan keadaan sistem setiap saat. Ketertarikan pada persamaan kinetik dikaitkan dengan kemungkinan penerapannya di berbagai bidang fisika: dalam teori kinetik gas, dalam astrofisika, fisika plasma, mekanika fluida. Dalam makalah ini, kami mempertimbangkan persamaan kinetik yang diturunkan oleh salah satu pendiri fisika statistik dan kinetika fisik, fisikawan Austria Ludwig Boltzmann pada tahun 1872 dan menyandang namanya.

1 Fungsi distribusi.

Untuk menurunkan persamaan kinetik Boltzmann, pertimbangkan gas ideal monoatomik, yaitu gas yang cukup dijernihkan yang terdiri dari atom atau molekul yang netral secara elektrik. Satu-satunya jenis interaksi antara partikel gas ideal adalah tumbukan antar molekul, yang terjadi, bagaimanapun, sangat jarang sehingga setiap molekul bergerak bebas hampir sepanjang waktu. Mengingat partikel gas sebagai partikel klasik, dapat dikatakan bahwa ada volume per partikel. Jumlah partikel per satuan volume adalah konsentrasi. Ini berarti ada jarak rata-rata antar partikel (diasumsikan cukup besar dibandingkan dengan radius aksi gaya antarmolekul d). Saat menurunkan persamaan Boltzmann, kami membuat asumsi berikut:

Partikel gas tidak dapat dibedakan (sama);

Partikel bertumbukan hanya berpasangan (abaikan tumbukan tiga atau lebih partikel secara bersamaan);

Segera sebelum tumbukan, partikel-partikel bergerak sepanjang satu garis lurus ke arah satu sama lain;

Tumbukan molekul adalah dampak elastis pusat langsung;

Deskripsi statistik gas dilakukan oleh fungsi distribusi probabilitas (atau kerapatan probabilitas), dan fungsi distribusi tidak berubah pada jarak orde daerah tumbukan partikel. Kepadatan probabilitas mendefinisikan probabilitas bahwa beberapa variabel acak x memiliki nilai dalam interval kecil dx sebagai berikut. Probabilitas menemukan x dalam interval terbatas ditentukan oleh integrasi.

Fungsi distribusi molekul gas diberikan dalam fase:-ruang.

adalah satu set koordinat umum dari semua molekul; - satu set momentum umum molekul. masing-masing

dan. Dilambangkan dengan

elemen volume ruang fase molekul. Dalam elemen tertentu dari ruang fase, ada (rata-rata) jumlah partikel yang sama dengan (yaitu, molekul dipertimbangkan, nilai q dan p yang terletak pada interval yang dipilih dq dan dp). Fungsi distribusi molekul gas didefinisikan di atas dalam ruang fase, namun dapat dinyatakan dalam variabel lain selain koordinat umum dan momentum partikel. Mari kita pilih argumen dari fungsi f.

Mengingat non-kesetimbangan, mengalir dalam waktu, proses perubahan keadaan sistem, kita jelas harus mengasumsikan bahwa fungsi distribusi tergantung pada waktu. Gas yang dipertimbangkan adalah sekumpulan partikel yang telah kita sepakati untuk dianggap klasik.

Gerak translasi partikel klasik digambarkan oleh koordinat

pusat gravitasi partikel dan vektor kecepatan atau vektor momentum (, di mana m adalah massa partikel). Untuk gas monoatomik, gerak translasi adalah satu-satunya jenis gerak partikel; jumlah derajat kebebasan adalah tiga. Jika partikel tersebut adalah molekul poliatomik, maka ada derajat kebebasan tambahan yang terkait dengan rotasi molekul dalam ruang dan getaran atom dalam molekul. Syarat penerapan mekanika kuantum adalah massa kecil dan konsentrasi partikel tinggi, serta suhu rendah. Tanpa mempertimbangkan daerah bersuhu rendah, kita akan menganggap gerak rotasi molekul gas sebagai gerakan klasik. Setiap gerak rotasi klasik dijelaskan, pertama-tama, oleh momen rotasi gaya yang bekerja pada benda. Di bawah aksi momen, molekul diatomik mulai berputar pada bidang yang tegak lurus terhadap vektor momen. Selain itu, posisi molekul ditandai dengan sudut rotasi sumbu molekul pada bidang rotasi.

Pertimbangkan sebuah molekul hidrogen (atau molekul diatomik lainnya) pada T = 300 K. Menurut hukum ekuipartisi, setiap derajat kebebasan (translasi, rotasi atau vibrasi), rata-rata memiliki energi kinetik yang sama dengan.

Biarkan saya menjadi momen inersia molekul, m menjadi massa, d menjadi jarak rata-rata antara atom dalam molekul.

Dalam satu detik, molekul membuat (yaitu kira-kira) putaran lengkap. Laju perubahan sudut rotasi sumbu molekul diatomik tinggi, dan semua kemungkinan orientasi molekul dalam bidang rotasi akan sama-sama mungkin. Kemudian, ketika mempertimbangkan masalah fisik nyata, fungsi distribusi dapat dianggap tidak tergantung pada orientasi molekul. Hukum ekuipartisi juga berlaku untuk molekul poliatomik, yang berarti bahwa asumsi yang dibuat tentang independensi fungsi distribusi dari orientasi molekul gas di ruang angkasa dapat dianggap valid untuk gas poliatomik.

Gerakan osilasi atom di dalam molekul praktis selalu terkuantisasi, dan keadaan molekul sebagai sistem kuantum harus ditentukan oleh parameter kuantum. Dalam kondisi normal (pada suhu yang tidak terlalu tinggi), molekul gas berada dalam keadaan tidak tereksitasi sesuai dengan tingkat vibrasi utama (nol). Oleh karena itu, efek kuantum dalam gas nyata dalam kondisi normal dapat diabaikan. Akibatnya, fungsi distribusi gas ideal klasik dalam keadaan tidak setimbang tidak hanya bergantung pada waktu, tetapi juga pada koordinat partikel.

Mari kita nyatakan dengan simbol himpunan semua variabel yang bergantung pada fungsi distribusi, kecuali koordinat molekul dan waktu. Dalam elemen volume fase, kami memilih volume dasar dari ruang tiga dimensi, dan menyatakan sisa bagiannya dengan simbol dГ. Besaran dГ adalah integral gerak yang tetap konstan untuk setiap molekul selama gerak bebasnya antara dua tumbukan yang berurutan. Pergerakan bebas molekul dilakukan tanpa pengaruh eksternal dari badan atau medan eksternal. Sebagai hasil interaksi molekul satu sama lain (jika terjadi tumbukan) atau di bawah pengaruh medan

nilai-nilai ini mungkin berubah. Koordinat molekul secara keseluruhan berubah selama gerakan bebasnya.

Konsentrasi atau kepadatan distribusi spasial partikel gas dapat dinyatakan sebagai integral, dan jumlah rata-rata partikel dalam elemen volume ditentukan oleh produk. Elemen volume adalah volume kecil secara fisik, mis. sepotong ruang yang dimensinya lebih kecil dibandingkan dengan dimensi yang dipertimbangkan dalam masalah. Pada saat yang sama, dimensi volume kecil lebih besar dibandingkan dengan dimensi molekul. Pernyataan tentang lokasi molekul dalam elemen volume tertentu menentukan posisi molekul, paling-paling, hanya sampai jarak yang melebihi dimensi molekul itu sendiri. Penentuan koordinat yang tepat dari dua partikel klasik memungkinkan untuk secara akurat menentukan lintasan mereka sebelum dan sesudah tumbukan, jika ada. Ketidakpastian posisi timbal balik yang tepat dari partikel memungkinkan untuk menerapkan pendekatan probabilistik untuk memecahkan masalah tumbukan mereka. Mempertimbangkan gas klasik menyiratkan bahwa densitas

merupakan besaran makroskopik. Makroskopisitas terjadi hanya ketika volume dasar mengandung jumlah partikel yang cukup besar (hanya kemudian perubahan jumlah partikel dalam volume dasar kecil selama proses yang sedang dipertimbangkan); dalam hal ini, dimensi linier dari daerah yang ditempati oleh gas harus jauh lebih besar daripada jarak antarmolekul rata-rata.

2 Tabrakan partikel.

Mari kita perhatikan tumbukan molekul, beberapa di antaranya memiliki nilai yang terletak pada interval tertentu, sementara yang lain memiliki nilai dalam interval tersebut. Sebagai hasil dari tumbukan, molekul memperoleh nilai dalam interval masing-masing, dan. Di bawah ini, untuk singkatnya, kita akan berbicara tentang tumbukan molekul dan transisi

Produk dari jumlah molekul per satuan volume kali probabilitas setiap molekul bertabrakan dengan transisi yang ditentukan akan memberikan jumlah total tumbukan tersebut per satuan volume per satuan waktu. Probabilitas peristiwa semacam itu (mari kita nyatakan sebagai fungsi tertentu) sebanding dengan jumlah molekul per satuan volume dan dengan interval nilai nilai masing-masing molekul setelah tumbukan. Dengan demikian, kita akan mengasumsikan bahwa, dan jumlah tumbukan dengan transisi yang terjadi dalam satuan volume per satuan waktu berbentuk:

(utama menunjukkan keadaan akhir, tanpa prima, yang awal). Probabilitas tumbukan memiliki sifat penting, yang mengikuti dari hukum mekanika, mengenai pembalikan tanda waktu. Jika kita menyatakan dengan superskrip T nilai semua besaran yang diperoleh dengan membalik tanda waktu, maka persamaan akan terjadi

Pembalikan waktu menukar status "sebelum" dan "setelah", yang berarti perlu untuk menukar argumen fungsi probabilitas. Secara khusus, persamaan yang ditunjukkan adalah valid dalam kasus keseimbangan sistem, yaitu. dapat dikatakan bahwa dalam kesetimbangan jumlah tumbukan dengan transisi sama dengan jumlah tumbukan dengan transisi (*). Dilambangkan dengan fungsi distribusi kesetimbangan dan tulis

Hasil kali diferensial adalah elemen ruang fase yang tidak berubah ketika waktu dibalik (diferensial pada kedua sisi persamaan dapat dihilangkan). Energi potensial molekul juga tidak berubah, dan, akibatnya, fungsi distribusi kesetimbangan (Boltzmann), yang hanya bergantung pada energi:

(2)

V adalah kecepatan makroskopik gas secara keseluruhan. Berdasarkan hukum kekekalan energi dalam tumbukan dua molekul. Oleh karena itu, kita dapat menulis (3)

Kami juga mencatat fakta bahwa fungsi probabilitas itu sendiri, pada prinsipnya, dapat ditentukan hanya dengan memecahkan masalah mekanis tumbukan partikel. Persamaan (1) , (2) dan (3) yang ditulis di atas akan diberikan setelah singkatan pada (1)

Dengan memperhatikan pernyataan (*)

Mengintegrasikan kesetaraan terakhir (untuk digunakan dalam apa yang berikut), kami memperoleh hubungan:

3 Turunan dari persamaan kinetik.

Pertimbangkan turunan dari fungsi distribusi waktu:

Ketika molekul gas bergerak tanpa adanya medan eksternal, jumlah , sebagai integral gerak, tidak berubah.

Ekspresi untuk turunannya akan berbentuk: (6)

Sekarang biarkan gas berada dalam medan potensial eksternal yang bekerja pada koordinat pusat gravitasi molekul (misalnya, dalam medan gravitasi). Dan biarkan F menjadi gaya yang bekerja dari medan pada partikel.

Ruas kanan persamaan (6) akan dilambangkan dengan. simbol berarti

laju perubahan fungsi distribusi akibat tumbukan, dan nilai

adalah perubahan per satuan waktu akibat tumbukan jumlah molekul dalam volume fase. Perubahan total fungsi distribusi pada titik tertentu dalam ruang fase dapat ditulis sebagai:

(8)

Besaran tersebut disebut integral tumbukan, dan persamaan bentuk (8) disebut persamaan kinetik. Persamaan kinetik (8) akan memiliki arti sebenarnya hanya setelah menentukan bentuk integral tumbukan.

3 Menentukan jenis integral tumbukan dan persamaan Boltzmann.

Selama tumbukan molekul, ada perubahan besaran yang bergantung pada fungsi distribusi. Dengan mempertimbangkan fakta bahwa waktu pengamatan keadaan sistem dan koordinat partikel berubah, terlepas dari apakah tumbukan partikel telah terjadi atau tidak (yang hanya mempengaruhi sifat perubahan koordinat), dapat berpendapat bahwa nilai dari molekul yang bertabrakan berubah. Mempertimbangkan interval yang cukup kecil, kami menemukan bahwa molekul dihilangkan dari interval ini selama tumbukan, yaitu. ada tindakan "meninggalkan". Biarkan dua molekul yang bertabrakan sesuai, seperti sebelumnya, dengan nilai sebelum dan sesudah tumbukan (untuk singkatnya, kita berbicara tentang transisi).

Jumlah total tumbukan dalam transisi di atas dengan semua nilai yang mungkin

Untuk suatu yang diberikan, terjadi per satuan waktu dalam volume, ditentukan oleh integral

Pada saat yang sama, tumbukan dari jenis yang berbeda (disebut "kedatangan") terjadi, sebagai akibatnya molekul yang memiliki besaran di luar interval yang diberikan sebelum tumbukan jatuh ke dalam interval ini. Transisi semacam itu dapat dilambangkan sebagai berikut: (dengan semua nilai yang mungkin diberikan). Sama halnya dengan jenis transisi pertama, jumlah total tumbukan per satuan waktu dalam volume adalah:

Sebagai hasil dari semua tumbukan, perubahan jumlah molekul per satuan waktu dalam volume dasar ditentukan oleh perbedaan antara jumlah tindakan keberangkatan dan jumlah tindakan kedatangan:

(9), dimana

Integral tumbukan dapat didefinisikan sebagai:

(perubahan jumlah partikel per satuan waktu dalam volume fase dVdG)

Dari hubungan (8) dan (9) diperoleh bentuk integral tumbukan

Perhatikan bahwa pada suku kedua integran, integrasi atas memiliki

hanya terkait dengan fungsi. Faktor dan tidak tergantung pada variabel. Transformasikan bagian integral ini menggunakan relasi (4) , kita peroleh bentuk akhir integral tumbukan

dan persamaan kinetik

Persamaan integral - diferensial yang dihasilkan disebut persamaan Boltzmann.

Pertimbangkan distribusi waktu-independen dalam keadaan kesetimbangan sistem tanpa adanya pengaruh eksternal. Distribusi seperti itu bersifat stasioner (tidak bergantung pada waktu) dan homogen (tidak berubah di wilayah ruang yang ditempati oleh sistem). Kondisi yang dikenakan meniadakan turunan dari fungsi distribusi terhadap waktu dan tiga koordinat; sisi kiri persamaan kinetik menghilang. Integran menghilang karena kesetaraan (3). Akibatnya, distribusi kesetimbangan tanpa adanya medan eksternal memenuhi persamaan kinetik secara identik. Jika gas berada dalam keadaan setimbang di bawah aksi medan potensial eksternal (misalnya, gravitasi), maka fungsi distribusi dalam kasus ini juga memenuhi persamaan kinetik. Memang, distribusi kesetimbangan dinyatakan dalam integral gerak, energi total molekul. Sisi kiri persamaan kinetik adalah turunan total, yang sama dengan nol sebagai turunan dari suatu fungsi yang hanya bergantung pada integral gerak. Sisi kanan persamaan, seperti yang telah ditunjukkan, adalah nol. Dengan demikian, fungsi distribusi gas dalam kesetimbangan di medan potensial eksternal juga memenuhi persamaan kinetik.

Mari kita tambahkan satu hal lagi pada asumsi yang disebutkan dalam "Pendahuluan": tumbukan molekul dianggap sebagai tindakan seketika yang terjadi pada satu "titik" ruang. Persamaan kinetik menggambarkan proses yang berlangsung dalam interval waktu yang lebih lama daripada durasi tumbukan. Pada saat yang sama, luas sistem yang dipertimbangkan harus secara signifikan melebihi luas tumbukan partikel, yang memiliki dimensi pada urutan jari-jari aksi gaya molekul d. Waktu tumbukan, dalam urutan besarnya, dapat didefinisikan sebagai (- kecepatan rata-rata molekul dalam gas). Nilai yang diperoleh mewakili batas bawah jarak dan waktu, yang memungkinkan penerapan persamaan kinetik. Masalah fisik yang nyata tidak memerlukan deskripsi proses yang begitu rinci; ukuran sistem dan waktu pengamatan jauh di atas minimum yang dipersyaratkan.

Untuk pertimbangan kualitatif fenomena kinetik yang terjadi dalam gas, perkiraan kasar integral tumbukan digunakan dalam dua parameter: jalur bebas rata-rata dan jalur bebas rata-rata. Biarkan molekul melewati satuan panjang saat bergerak, bertabrakan dengan molekul yang terletak di volume silinder lurus dengan satuan panjang dan luas alas (- penampang efektif molekul). Volume ini mengandung molekul.

- jarak rata-rata antar molekul;

Nilainya adalah waktu berjalan bebas. Untuk perkiraan kasar integral tumbukan, kita dapat menggunakan:

Perbedaan yang ditulis dalam pembilang memperhitungkan fakta bahwa integral tumbukan menghilang untuk fungsi distribusi kesetimbangan, dan tanda minus menunjukkan bahwa tumbukan adalah mekanisme untuk menetapkan kesetimbangan statistik, yaitu. cenderung mengurangi penyimpangan fungsi distribusi dari keseimbangan (dengan kata lain, setiap sistem yang dikeluarkan dari keadaan setimbang sesuai dengan energi internal minimum sistem dan dibiarkan sendiri cenderung kembali ke keadaan setimbang).

3 Transisi ke persamaan makroskopik. Persamaan kontinuitas hidrodinamika.

Persamaan kinetik Boltzmann memberikan deskripsi mikroskopis tentang evolusi keadaan gas. Tetapi dalam prakteknya, seringkali tidak perlu untuk menggambarkan proses secara rinci, oleh karena itu, ketika mempertimbangkan masalah hidrodinamika, masalah proses yang terjadi pada gas yang tidak homogen atau sangat jarang, masalah konduktivitas termal dan difusi gas, dan sejumlah lainnya. , masuk akal untuk beralih ke persamaan makroskopik yang kurang rinci (dan karenanya lebih sederhana). Deskripsi seperti itu berlaku untuk gas jika sifat makroskopiknya (suhu, densitas, konsentrasi partikel, tekanan, dll.) berubah cukup lambat sepanjang arah yang dipilih secara sewenang-wenang dalam gas. Jarak di mana perubahan signifikan dalam parameter makroskopik terjadi harus secara signifikan melebihi jalur bebas rata-rata molekul.

Sebagai contoh, pertimbangkan metode untuk memperoleh persamaan hidrodinamik.

Ekspresi menentukan kepadatan distribusi molekul gas di ruang angkasa (konsentrasi molekul gas). Produk dari massa satu molekul (diasumsikan bahwa gas terdiri dari partikel yang identik) dan densitas distribusi molekul memberikan densitas massa gas: . Mari kita tunjukkan dengan kecepatan makroskopik gas secara keseluruhan, dan dengan kecepatan mikroskopis molekul. Kecepatan makroskopik (kecepatan gerak pusat massa) dapat didefinisikan sebagai nilai rata-rata kecepatan mikroskopis molekul

Tumbukan tidak mengubah jumlah partikel yang bertabrakan atau energi total atau momentumnya (tumbukan molekul dianggap sebagai tumbukan lenting mutlak). Bagian tumbukan dari perubahan fungsi distribusi tidak dapat menyebabkan perubahan densitas, energi dalam, kecepatan, dan parameter makroskopik gas lainnya di setiap elemen volumenya. Memang, bagian tumbukan dari perubahan jumlah molekul per satuan volume gas diberikan oleh integral yang sama dengan nol:

Kami memverifikasi validitas kesetaraan ini dengan cara berikut:

Integrasi dilakukan pada masing-masing variabel, yang berarti bahwa, tanpa mengubah integral, dimungkinkan untuk mengganti nama variabel, misalnya, pada integral kedua:

Ekspresi terakhir jelas sama dengan nol dan, oleh karena itu, persamaan (14) adalah valid.

Kami menuliskan persamaan kinetik dan, setelah mengalikan kedua bagiannya dengan massa partikel m, kami mengintegrasikannya terhadap:

Dari sini kita langsung mendapatkan persamaan kontinuitas hidrodinamik:

Dengan menetapkan perubahan densitas cairan dalam persamaan diferensial ini dan mengasumsikan cairan tidak dapat dimampatkan, seseorang dapat memperoleh medan vektor arah kecepatan pada setiap titik dalam cairan.

4. Gas yang tidak homogen. Konduktivitas termal gas.

Semua proses fisik yang nyata harus berjalan dengan beberapa kehilangan energi (yaitu, disipasi energi terjadi - transisi energi dari gerakan teratur menjadi energi gerakan kacau, misalnya, menjadi gerakan termal molekul gas). Untuk mempertimbangkan proses disipatif (konduktivitas termal atau viskositas) dalam gas homogen lemah, perlu menggunakan pendekatan berikut: fungsi distribusi di bagian kecil dari gas harus dianggap tidak keseimbangan lokal, seperti dalam kasus gas homogen , tetapi berbeda dari kesetimbangan dengan beberapa nilai yang cukup kecil (karena gas tidak homogen). Fungsi distribusi akan mengambil formulir, dan koreksi itu sendiri akan ditulis dalam formulir. Fungsi harus memenuhi kondisi tertentu. Jika kepadatan yang diberikan dari jumlah partikel, energi dan momentum gas

itu. fungsi kesetimbangan sesuai dengan integral, maka fungsi nonequilibrium harus mengarah ke nilai yang sama dari jumlah ini (integral dengan dan harus bertepatan), yang terjadi hanya ketika

Mari kita ubah integral tumbukan dalam persamaan kinetik (13): mensubstitusi ekspresi untuk fungsi distribusi dan koreksi, meniadakan integral tumbukan yang berisi fungsi distribusi kesetimbangan, membatalkan suku-suku yang tidak mengandung koreksi kecil. Persyaratan urutan pertama akan diberikan. Simbol diperkenalkan untuk menunjukkan operator integral linier

Mari kita tuliskan (tanpa turunan) persamaan kinetik untuk gas yang tidak homogen, dengan memperhatikan masalah konduktivitas termal di sisi kiri persamaan hanya satu suku dengan gradien suhu

*************************************************

4. Perhitungan konduktivitas termal dari gas monoatomik

Untuk menghitung konduktivitas termal suatu gas, persamaan di atas harus diselesaikan dengan gradien suhu.

Membiarkan menjadi fungsi vektor besaran saja. Maka solusi dari persamaan () akan dicari dalam bentuk. Saat mensubstitusikan solusi ini ke persamaan (), kami memperoleh pengali. Persamaan () berlaku untuk nilai vektor gradien suhu yang sepenuhnya arbitrer, maka koefisien untuk kedua bagian persamaan harus sama. Akibatnya, untuk kita mendapatkan persamaan

Persamaan tidak mengandung gradien suhu dan karena itu tidak memiliki ketergantungan eksplisit pada koordinat. Fungsi harus memenuhi kondisi yang ditentukan sebelumnya (). Dua kondisi pertama jelas terpenuhi (persamaan () tidak mengandung parameter vektor di mana integral vektor konstan dapat diarahkan

DAN). Integral ketiga merupakan syarat tambahan pada fungsi g. Jika persamaan kinetik diselesaikan dan fungsi

ditentukan, maka dimungkinkan untuk menentukan koefisien konduktivitas termal dengan menghitung fluks energi, lebih tepatnya, bagian disipatifnya, tidak terkait dengan transfer energi konvektif (kami menyatakan bagian fluks energi ini sebagai ). Dengan tidak adanya gerakan makroskopik dalam gas, Q bertepatan dengan fluks energi total Q, yang dapat dinyatakan dalam integral

Jika sistem berada dalam kesetimbangan, maka integral ini sama dengan nol karena integrasi ke semua arah yang mungkin dalam gas. Saat mensubstitusikan () tetap

Dalam komponen

Karena isotropi medium gas kesetimbangan, tidak ada arah yang dipilih di dalamnya, dan tensor hanya dapat diekspresikan melalui unit tensor, mis. direduksi menjadi skalar

Dengan demikian, aliran energi dinyatakan sebagai, di mana nilainya adalah koefisien skalar konduktivitas termal

Aliran Q harus diarahkan dalam arah yang berlawanan dengan gradien suhu, dan nilainya masing-masing harus positif, yang secara otomatis disediakan oleh persamaan kinetik (). Dalam gas monoatomik, kecepatan v adalah satu-satunya vektor yang bergantung pada fungsi g (dalam gas poliatomik, g tidak hanya bergantung pada kecepatan v, tetapi juga pada momen M). Untuk gas monoatomik, fungsi g memiliki bentuk:

.

5. Contoh penyelesaian persamaan kinetik

Molekul gas berinteraksi menurut hukum yang cukup kompleks. Hal ini terutama berlaku untuk gas poliatomik nyata. Asumsi yang dibuat mengenai sifat perilaku molekul gas memungkinkan untuk menyederhanakan penalaran (atau bahkan memungkinkan pada prinsipnya), tetapi agak menjauhkan kita dari kenyataan. Hukum kompleks interaksi molekuler yang menentukan fungsi dalam integral tumbukan bahkan tidak memungkinkan penulisan persamaan Boltzmann untuk gas tertentu dalam bentuk eksak. Bahkan dengan penyederhanaan sifat interaksi molekuler, struktur matematika persamaan kinetik tetap cukup kompleks, dan sulit untuk menemukan solusinya dalam bentuk analitik. Dalam teori kinetik gas, khusus, lebih efektif daripada upaya solusi analitik, metode untuk solusi perkiraan persamaan Boltzmann digunakan. Sebagai contoh, pertimbangkan gas monoatomik dan masalah konduksi panas.

dan fungsi distribusi kesetimbangan mengambil bentuk

Sebuah metode yang efektif untuk solusi perkiraan persamaan () didasarkan pada perluasan fungsi yang diinginkan dalam hal sistem lengkap fungsi saling ortogonal. Sebagai fungsi seperti itu, kami mempertimbangkan polinomial Sonin yang didefinisikan oleh rumus:

Dalam rumus ini, r adalah sembarang, dan s adalah bilangan bulat positif atau nol. dalam kejujuran

Sifat ortogonalitas dari polinomial ini untuk indeks r yang diberikan dan indeks yang berbeda s adalah sebagai berikut:

Kami mencari solusi dari persamaan dalam bentuk ekspansi berikut:

Dengan menghilangkan suku dengan s=0 dalam ekspansi, kita memperoleh ekspresi yang memenuhi () (integral menghilang karena ortogonalitas polinomial dengan s yang berbeda). Ekspresi dalam tanda kurung di sisi kiri ()

ada. Persamaan () berbentuk

Untuk ekspresi terakhir, notasi

Tidak ada persamaan dengan l=0, karena karena kekekalan momentum

Koefisien konduktivitas termal dihitung dengan mengganti ekspresi () ke dalam integral (). Dengan mempertimbangkan kondisi (), integral (c) dapat direpresentasikan sebagai:

Akibatnya, kami menemukan

Keefektifan metode numerik menggunakan ekspansi dalam polinomial Sonon dapat dinilai dengan kesederhanaan sisi kanan () dan ekspresi akhir (). Sistem persamaan aljabar linier tak terbatas yang diperoleh selama penyelesaian diselesaikan setelah pemotongan buatan.

Kesimpulan.

Metode yang dipertimbangkan untuk menurunkan persamaan kinetik Boltzmann cukup memuaskan dari sudut pandang fisik. Namun, persamaan kinetik juga dapat diturunkan dari peralatan matematika yang digunakan untuk menggambarkan gerakan partikel gas. Pada tahun 1946, kesimpulan seperti itu, yang disebut dinamis, diberikan oleh N. N. Bogolyubov. Metode Bogolyubov memungkinkan tidak hanya untuk mendapatkan persamaan Boltzmann, tetapi juga koreksi untuk itu, mis. hal perintah berikutnya dalam parameter kandungan gas kecil. Misalnya, turunan di atas memperhitungkan tumbukan simultan hanya dua molekul dan mengasumsikan bahwa tumbukan terjadi pada satu titik, yaitu. bersifat lokal, dan tidak ada resep yang kurang lebih jelas untuk memperhitungkan tumbukan kelompok tiga, empat, atau lebih partikel. Sementara itu, jelas bahwa memperhitungkan tumbukan seperti itu pada dasarnya penting ketika mempertimbangkan gas padat. Dalam hubungan ini, adalah bijaksana untuk mengambil pendekatan yang lebih ketat terhadap penurunan persamaan kinetik dan kemungkinan generalisasinya. Metode Bogolyubov memungkinkan kita untuk memperhitungkan

"non-lokalitas" tumbukan dan tumbukan lebih dari dua partikel dengan bantuan istilah koreksi tertentu yang muncul selama derivasi. Mengabaikan koreksi mengurangi persamaan kinetik ke bentuk yang diperoleh dalam kasus paling sederhana.

Bibliografi.

1. E.M. Lifshits, L.P. Pitaevsky. Kinetika fisik. Sains, M., 1979

2. Yu.B.Rumer, M.Sh.Ryvkin. Termodinamika, fisika statistik dan kinetika.

PERSAMAAN KINETIK BOLTZMANN- integro-diferensial. ur-tion, Krom memenuhi non-kesetimbangan partikel tunggal fungsi distribusi sistem sejumlah besar partikel, misalnya, fungsi distribusi molekul gas dalam hal kecepatan dan koordinat r, fungsi distribusi elektron dalam logam, dalam kristal, dll. K. at. B. - utama. mikroskopis ur-tion. teori proses nonequilibrium ( kinetika fisik), secara khusus teori kinetik gas. K. di. B. dalam arti sempit disebut. diturunkan oleh L. Boltzmann (L. Boltzmann) kinetik. ur-tion untuk gas kecil, molekul untuk-rykh mematuhi klasik. mekanika. K. di. B. untuk kuasipartikel dalam kristal, misalnya. untuk elektron dalam logam, disebut. juga kinetik. ur-niami atau transfer ur-niami.

K. di. B. adalah persamaan untuk keseimbangan jumlah partikel (lebih tepatnya, titik yang menggambarkan keadaan partikel) dalam elemen volume fase; dr==dxdydz) dan menyatakan fakta bahwa perubahan fungsi distribusi partikel dari waktu ke waktu t terjadi karena pergerakan partikel di bawah aksi eksternal. kekuatan dan konflik di antara mereka. Untuk gas yang terdiri dari partikel dengan jenis yang sama, K. at. B. sepertinya

di mana adalah perubahan kerapatan jumlah partikel dalam elemen volume fase per satuan waktu, F== F(r,t)- gaya yang bekerja pada partikel (mungkin juga bergantung pada kecepatan), - perubahan fungsi distribusi akibat tumbukan (integral tumbukan). Anggota kedua dan ketiga dari persamaan (1) mencirikan resp. perubahan fungsi distribusi sebagai akibat dari pergerakan partikel dalam ruang dan aksi ext. pasukan. Perubahannya, karena tumbukan partikel, dikaitkan dengan kepergian partikel dari elemen volume fase pada apa yang disebut. tumbukan langsung dan penambahan volume oleh partikel yang telah mengalami tumbukan "terbalik". Jika Anda menghitung tumbukan menurut hukum klasik. mekanik dan menganggap bahwa tidak ada korelasi antara dinamis. keadaan molekul yang bertabrakan, maka

Kecepatan partikel sebelum tumbukan, - kecepatan partikel yang sama setelah tumbukan, - nilainya mengacu. kecepatan partikel bertabrakan, - diferensial. dst. penampang hamburan partikel menjadi sudut padat di laboratorium. sistem koordinat, - sudut antara relatif. kecepatan dan garis pusat. Misalnya, untuk bola elastis kaku dengan jari-jari R, = , untuk partikel yang berinteraksi menurut hukum pusat. kekuatan, ( b- parameter dampak, - sudut azimuth dari garis pusat).

K. di. B. memperhitungkan hanya tumbukan berpasangan antar molekul; itu sah asalkan panjang jalur bebas molekul jauh lebih besar daripada dimensi linier daerah tempat tumbukan terjadi (untuk gas dengan partikel elastis, daerah ini sesuai dengan urutan diameter partikel). Oleh karena itu, K. at. B. Berlaku untuk gas yang tidak terlalu padat. Jika tidak, itu akan menjadi tidak adil. asumsi bahwa tidak ada korelasi antara keadaan partikel yang bertabrakan (hipotesis kekacauan molekuler). Jika sistem dalam statistik kesetimbangan, maka integral tumbukan (2) lenyap dan solusi dari K. u. B. adalah Distribusi Maxwell.

Dengan pendekatan yang lebih ketat untuk membangun K. at. B. berasal dari persamaan Liouville untuk densitas distribusi semua molekul gas dalam ruang fase, dari mana sistem persamaan diperoleh untuk fungsi distribusi satu, dua, dll. molekul ( persamaan Bogolyubov). Rantai persamaan ini diselesaikan dengan memperluas kekuatan kerapatan partikel menggunakan kondisi batas pelemahan korelasi, yang menggantikan hipotesis kekacauan molekuler.

keputusan K. pada B. pada penguraian. asumsi tentang kekuatan interaksi antara partikel - subjek kinetik. teori gas, yang memungkinkan Anda menghitung koefisien kinetik dan mendapatkan makroskopik. ur-tion untuk proses transfer ( viskositas, difusi, konduktivitas termal).

Untuk gas kuantum, nilai eff. penampang dihitung berdasarkan ketidakterbedaan partikel identik dan fakta bahwa kemungkinan tumbukan tidak hanya bergantung pada produk dari fungsi distribusi partikel yang bertabrakan, tetapi juga pada fungsi distribusi partikel setelah tumbukan. Untuk fermion, sebagai akibatnya, kemungkinan tumbukan akan berkurang, dan untuk boson akan meningkat. Operator tumbukan dalam kasus kuantum mengambil bentuk

di mana tanda minus sesuai dengan Fermi - Statistik Dirac, dan tanda plusnya adalah Bose - Statistik Einstein, g- statistik. menyatakan berat (g = l untuk partikel dengan putaran nol, dan g=2 untuk partikel dengan spin), adalah momentum partikel. Fungsi dinormalisasi sehingga mewakili lih. jumlah partikel di suatu titik. Fungsi kesetimbangan dari distribusi Fermi dan Bose menghilangkan operator tumbukan (3).

Kasus khusus yang penting dari K. di. B. bersifat kinetik. ur-tion untuk neutron, to-rye tersebar dan diperlambat oleh inti medium. Dalam hal ini, eks. tidak ada gaya dan dalam persamaan (1) perlu untuk menempatkan F=0. Kepadatan jumlah neutron biasanya rendah, sehingga tumbukan di antara mereka dapat diabaikan dan hanya tumbukan mereka dengan inti medium yang dapat diperhitungkan (lihat Gambar. difusi neutron, moderasi neutron).

Proses transfer yang terkait dengan pergerakan elektron dalam logam juga dapat diselidiki dengan bantuan K. at. B. Dengan tidak adanya kisi, elektron merambat bebas dalam logam dan dijelaskan oleh termodulasi dengan periode kisi dan tergantung pada k; dan angka energik. zona aku. Gerakan termal atom kisi melanggar periodisitas dan menyebabkan hamburan elektron (tabrakan antara elektron dan fonon). Fungsi distribusi elektron n(k, l, t) memenuhi K. at. B. tipe (1), dalam Krom F = (E dan H - tegangan listrik. dan mag. bidang, e- elektron), dan integral tumbukan berbentuk

dimana n=n( k ,l), - vektor gelombang dan jumlah zona sebelum dan sesudah tumbukan, N= =N ( f, s)- fungsi distribusi fonon, f dan s- vektor gelombang dan polarisasi fonon, - mohon. dan energi akhir elektron pada eksitasi fonon dengan energi - delta-f-tion, - elemen matriks transisi elektron dari keadaan k, aku menjadi negara , to-rye mengevaluasi berdasarkan definisi. hipotesis tentang mekanisme interaksi elektron dengan kisi. Ekspresi (4) diperoleh dengan asumsi bahwa jalur bebas rata-rata elektron jauh lebih besar daripada ketidakpastian waktu tumbukan. Teori konduktivitas listrik, termoelektrik. dan galvano-magnet. fenomena dalam logam dan semikonduktor didasarkan pada solusi K. at. B.

Dalam beberapa kasus, kondensor. sistem, ketika sifat gerakan termal diketahui, adalah mungkin untuk membangun K. di. B. untuk eksitasi dasar (quasipartikel). Misalnya, teori proses transfer energi di crystal-lich. kisi didasarkan pada persamaan jenis ini. Jika dalam ekspresi untuk pot. Jika energi kisi terbatas pada suku kuadrat sehubungan dengan perpindahan atom, maka gerakan termal atom dalam kristal dijelaskan dengan menyebarkan fonon - kuanta getaran normal kisi secara bebas. Akuntansi untuk istilah tingkat 3 mengarah pada kemungkinan tabrakan antara fonon. Akibatnya, fungsi distribusi fonon N (f, s) akan berubah terhadap waktu sesuai dengan kinetika. ur-niu

koefisien dengan kubik istilah dalam perluasan potensi. energi kristal menurut penyimpangan atom dari posisi kesetimbangan, adalah kerapatan. Persamaan (5) menjelaskan tumbukan rangkap tiga fonon dengan penghancuran dua fonon dan produksi satu (dan proses kebalikannya). Ini adalah persamaan untuk keseimbangan fonon yang bergerak dengan kecepatan grup dan saling bertabrakan. Teori kristal non-konduktif didasarkan pada solusi persamaan (5) dengan penyimpangan kecil dari statistik. keseimbangan.

K. di. B. juga berlaku untuk proses di mana partikel mengalami transformasi timbal balik, misalnya, dalam teori hujan yang terbentuk ketika kosmik menghantam. partikel energi tinggi ke atmosfer. Dalam hal ini, kinetika ur-tions dikompilasi sebagai sistem ur-tions keseimbangan untuk biaya. partikel dan foton dalam interval energi dan momentum tertentu. Persamaan ini mengungkapkan fakta bahwa perubahan fungsi distribusi (kecuali untuk efek hamburan) terjadi karena pembentukan pasangan muatan. partikel oleh foton dan emisi muatan. partikel foton dalam bentuk di bidang inti.

Teori kaskade hujan didasarkan pada solusi persamaan ini.

Lit. lihat di bawah artikel Kinetic teori gas. Fisik kinetik. D. Ya. Zubarev.

dari Wikipedia, ensiklopedia gratis

persamaan Boltzmann (persamaan Boltzmann kinetik) adalah persamaan yang dinamai Ludwig Boltzmann, yang pertama kali mempertimbangkannya, dan mendeskripsikan distribusi statistik partikel dalam gas atau cairan. Adalah salah satu persamaan yang paling penting kinetika fisik(wilayah fisika statistik, yang menggambarkan sistem yang jauh dari kesetimbangan termodinamika, misalnya, dengan adanya gradien suhu dan Medan listrik). Persamaan Boltzmann digunakan untuk mempelajari perpindahan panas dan muatan listrik di cairan dan gas, dan sifat transpor diturunkan darinya, seperti konduktivitas listrik , efek aula , viskositas dan konduktivitas termal. Persamaan ini berlaku untuk sistem yang diperhalus, di mana waktu interaksi antar partikel kecil ( hipotesis kekacauan molekul).

Susunan kata

Persamaan Boltzmann menjelaskan evolusi pada waktunya ( t) fungsi distribusi kepadatan f(x, p, t) dalam satu partikel ruang fase, di mana x dan p - koordinat dan detak masing-masing. Distribusinya ditentukan sehingga

$f(\backslash mathbf(x),\backslash mathbf(p),t)\backslash ,d^3x\backslash ,d^3p$

sebanding dengan jumlah partikel dalam volume fase dx d³p pada saat itu t. persamaan Boltzmann

\frac(\partial f)(\partial t) + \frac(\partial f)(\partial \mathbf(x)) \cdot \frac(\mathbf(p))(m) + \frac(\partial f )(\partial \mathbf(p)) \cdot \mathbf(F) = \left. \frac(d f)(d t) \kanan|_(\mathrm(coll)). Di Sini F(x, t) adalah medan gaya yang bekerja pada partikel dalam cairan atau gas, dan m adalah massa partikel. Suku di ruas kanan persamaan ditambahkan untuk memperhitungkan tumbukan antar partikel dan disebut integral tumbukan. Jika nol, maka partikel tidak bertabrakan sama sekali. Kasus ini sering disebut sebagai kasus satu partikel. persamaan Liouville. Jika medan gaya F(x, t) diganti dengan bidang konsisten-sendiri yang sesuai tergantung pada fungsi distribusi $f$, maka kita dapatkan persamaan Vlasov, yang menggambarkan dinamika partikel plasma bermuatan dalam bidang yang konsisten sendiri. Persamaan Boltzmann klasik digunakan dalam fisika plasma juga dalam fisika semikonduktor dan logam (untuk menggambarkan fenomena kinetik, yaitu transfer muatan atau panas, dalam cairan).

$\backslash hat(\backslash mathbf(L))\_\backslash mathrm(GR)=\backslash sum\_\backslash alpha\; p^\backslash alpha\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; x^\backslash alpha)-\backslash sum\_(\backslash alpha\backslash beta\backslash gamma)\backslash \; Gamma^(\backslash alpha)()\_(\backslash beta\backslash gamma)p^\backslash beta\; p^\backslash gamma\backslash frac(\backslash partial)(\backslash partial\; p^\backslash alpha),$

Integral tumbukan

Tumbukan antar partikel menyebabkan perubahan kecepatan. Jika sebuah $W(\backslash mathbf(v),\backslash mathbf(v)^\backslash prime)d^3v^\backslash prime\; dt$ menentukan probabilitas hamburan partikel dari keadaan dengan kecepatan $\backslash mathbf(v)$ ke dalam keadaan kecepatan $\backslash mathbf(v)^\backslash prime$, maka integral tumbukan partikel klasik ditulis sebagai

$\backslash left.\backslash frac(\backslash partial\; f)(\backslash partial\; t)\backslash right|\_(coll)=\backslash int\_(\backslash mathbf(v)^\backslash prime)\; d^3v^\backslash prime$.

Dalam kasus sifat kuantum statistik partikel, ekspresi ini diperumit oleh ketidakmungkinan dua partikel berada dalam keadaan dengan bilangan kuantum yang sama, dan oleh karena itu ketidakmungkinan hamburan menjadi keadaan terisi harus diperhitungkan.

Perkiraan waktu relaksasi

Persamaan Boltzmann adalah persamaan diferensial integro-diferensial parsial kompleks. Selain itu, integral tumbukan tergantung pada sistem spesifik, jenis interaksi antar partikel, dan faktor lainnya. Menemukan karakteristik umum dari proses nonequilibrium bukanlah tugas yang mudah. Namun, diketahui bahwa dalam keadaan kesetimbangan termodinamika integral tumbukan sama dengan nol. Memang, dalam keadaan setimbang dalam sistem homogen tanpa adanya medan eksternal, semua turunan di sisi kiri persamaan Boltzmann sama dengan nol, sehingga integral tumbukan juga harus sama dengan nol. Untuk penyimpangan kecil dari keseimbangan, fungsi distribusi dapat direpresentasikan sebagai:

$f\; =\; f\_0\; +\; f\_1$,

di mana $f\_0(\backslash mathbf(v))$ adalah fungsi distribusi kesetimbangan, hanya bergantung pada kecepatan partikel dan diketahui dari termodinamika, dan $f\_1$- sedikit penyimpangan.

Dalam hal ini, seseorang dapat memperluas integral tumbukan dalam deret Taylor sehubungan dengan fungsi $f\_1$, dan tuliskan dalam bentuk:

$-\; \backslash frac(f\_1)(\backslash tau)\; =\; -\; \backslash frac(f-f\_0)(\backslash tau)$,

Lihat juga

Tulis ulasan pada artikel "Persamaan Kinetik Boltzmann"

Catatan

Tautan

literatur

• Cercignani K. Teori dan aplikasi persamaan Boltzmann. - M.: Mir, 1978. - 495 hal.

Kutipan yang mencirikan Persamaan Kinetik Boltzmann

Pergerakan umat manusia, yang timbul dari kesewenang-wenangan manusia yang tak terhitung banyaknya, berlangsung terus menerus.
Pemahaman hukum gerakan ini adalah tujuan sejarah. Tetapi untuk memahami hukum pergerakan terus-menerus dari jumlah semua kesewenang-wenangan orang, pikiran manusia mengakui unit-unit yang sewenang-wenang dan terputus-putus. Metode pertama sejarah adalah mengambil serangkaian peristiwa berkelanjutan yang sewenang-wenang dan mempertimbangkannya secara terpisah dari yang lain, sementara tidak ada dan tidak dapat menjadi awal dari setiap peristiwa, dan selalu satu peristiwa terus menerus mengikuti dari yang lain. Trik kedua adalah menganggap tindakan satu orang, raja, panglima, sebagai jumlah kesewenang-wenangan orang, sedangkan jumlah kesewenang-wenangan orang tidak pernah diungkapkan dalam aktivitas satu orang historis.
Ilmu sejarah dalam pergerakannya senantiasa menerima satuan-satuan yang semakin kecil untuk dipertimbangkan, dan dengan cara ini berusaha mendekati kebenaran. Tetapi betapapun kecilnya satuan-satuan yang diterima sejarah, kita merasa bahwa asumsi suatu unit terpisah dari yang lain, asumsi awal dari beberapa fenomena, dan asumsi bahwa kesewenang-wenangan semua orang diekspresikan dalam tindakan satu orang historis. , palsu dalam diri mereka sendiri.
Setiap kesimpulan sejarah, tanpa usaha sedikit pun dari pihak kritik, hancur lebur seperti debu, tidak meninggalkan apa pun, hanya sebagai akibat dari kenyataan bahwa kritik memilih unit diskontinu yang lebih besar atau lebih kecil sebagai objek pengamatan; yang selalu menjadi haknya, karena unit historis yang diambil selalu arbitrer.
Hanya dengan mengizinkan unit yang sangat kecil untuk observasi - perbedaan sejarah, yaitu, dorongan orang yang homogen, dan setelah mencapai seni mengintegrasikan (mengambil jumlah dari yang sangat kecil ini), kita dapat berharap untuk memahami hukum sejarah .
Lima belas tahun pertama abad kesembilan belas di Eropa merupakan gerakan luar biasa dari jutaan orang. Orang-orang meninggalkan pekerjaan mereka yang biasa, bergegas dari satu sisi Eropa ke sisi lain, merampok, membunuh satu sama lain, kemenangan dan keputusasaan, dan seluruh perjalanan hidup berubah selama beberapa tahun dan mewakili gerakan intensif, yang pada awalnya terus meningkat, kemudian pelemahan. Apa alasan gerakan ini atau menurut hukum apa itu terjadi? tanya pikiran manusia.
Sejarawan, menjawab pertanyaan ini, menjelaskan kepada kami perbuatan dan pidato beberapa lusin orang di salah satu bangunan kota Paris, menyebut perbuatan dan pidato ini sebagai kata revolusi; kemudian mereka memberikan biografi rinci tentang Napoleon dan beberapa orang yang simpatik dan bermusuhan, berbicara tentang pengaruh beberapa orang ini pada orang lain, dan berkata: inilah mengapa gerakan ini muncul, dan ini adalah hukumnya.
Tetapi pikiran manusia tidak hanya menolak untuk percaya pada penjelasan ini, tetapi secara langsung mengatakan bahwa metode penjelasannya tidak benar, karena dalam penjelasan ini fenomena terlemah diambil sebagai penyebab terkuat. Jumlah kesewenang-wenangan manusia membuat revolusi dan Napoleon, dan hanya jumlah kesewenang-wenangan ini yang bertahan dan menghancurkan mereka.
“Tetapi setiap kali ada penaklukan, ada penakluk; setiap kali ada kudeta di negara bagian, ada orang-orang hebat,” kata sejarah. Memang, setiap kali ada penakluk, ada juga perang, jawab pikiran manusia, tetapi ini tidak membuktikan bahwa penakluk adalah penyebab perang dan bahwa hukum perang mungkin ditemukan dalam aktivitas pribadi satu orang. Setiap kali, melihat arloji saya, saya melihat bahwa tangan telah mendekati sepuluh, saya mendengar bahwa penginjilan dimulai di gereja tetangga, tetapi dari kenyataan bahwa setiap kali jarum jam menunjukkan pukul sepuluh ketika penginjilan dimulai, saya tidak berhak menyimpulkan bahwa posisi panah adalah penyebab pergerakan lonceng.
Setiap kali saya melihat lokomotif bergerak, saya mendengar suara siulan, saya melihat katup terbuka dan roda bergerak; tetapi dari sini saya tidak berhak menyimpulkan bahwa siulan dan gerakan roda adalah penyebab gerakan lokomotif.
Para petani mengatakan bahwa angin dingin bertiup di akhir musim semi karena kuncup pohon ek terbuka, dan memang, setiap musim semi angin dingin bertiup saat pohon ek terbuka. Tetapi meskipun saya tidak tahu penyebab angin dingin bertiup selama pembukaan pohon ek, saya tidak setuju dengan para petani bahwa penyebab angin dingin adalah terbukanya kuncup pohon ek, hanya karena kekuatan angin berada di luar pengaruh kuncup. Saya hanya melihat kebetulan dari kondisi-kondisi yang ada dalam setiap fenomena kehidupan, dan saya melihat bahwa, tidak peduli seberapa banyak dan sedetail apapun saya mengamati jarum jam, katup dan roda lokomotif uap, dan kuncup mesin. oak, saya tidak akan tahu penyebab blagovest, pergerakan lokomotif uap dan angin musim semi. . Untuk melakukan ini, saya harus sepenuhnya mengubah sudut pandang saya dan mempelajari hukum gerak uap, lonceng, dan angin. Sejarah harus melakukan hal yang sama. Dan upaya untuk melakukannya telah dilakukan.
Untuk mempelajari hukum sejarah, kita harus sepenuhnya mengubah objek pengamatan, meninggalkan raja, menteri, dan jenderal sendirian, dan mempelajari elemen homogen dan sangat kecil yang memandu massa. Tidak ada yang bisa mengatakan seberapa jauh itu diberikan kepada seseorang untuk mencapai pemahaman tentang hukum-hukum sejarah dengan cara ini; tetapi jelas bahwa di jalan ini hanya terletak kemungkinan untuk menangkap hukum-hukum sejarah, dan bahwa di jalan ini pikiran manusia belum mengerahkan sepersejuta upaya yang dilakukan sejarawan untuk menggambarkan perbuatan berbagai raja, jenderal dan menteri dan untuk menyampaikan pertimbangan mereka pada kesempatan perbuatan ini. .

Kekuatan dua belas bahasa Eropa masuk ke Rusia. Tentara Rusia dan penduduk mundur, menghindari tabrakan, ke Smolensk dan dari Smolensk ke Borodino. Tentara Prancis, dengan kekuatan kecepatan yang terus meningkat, bergegas menuju Moskow, menuju tujuan gerakannya. Kekuatan kecepatannya, mendekati target, meningkat seperti peningkatan kecepatan tubuh yang jatuh saat mendekati bumi. Di belakang seribu mil negara yang lapar dan bermusuhan; belasan mil di depan, terpisah dari gawang. Ini dirasakan oleh setiap prajurit tentara Napoleon, dan invasi maju dengan sendirinya, dengan kekuatan kecepatan saja.
Saat tentara Rusia mundur, semangat kemarahan terhadap musuh semakin berkobar: mundur, ia berkonsentrasi dan tumbuh. Tabrakan terjadi di dekat Borodino. Tidak ada tentara yang hancur, tetapi tentara Rusia segera setelah tabrakan mundur persis seperti bola menggelinding, bertabrakan dengan bola lain yang menyerbu dengan kecepatan lebih besar; dan seperlunya (walaupun telah kehilangan semua kekuatannya dalam tumbukan), bola invasi yang tersebar dengan cepat itu menggelinding ke beberapa tempat lagi.

INSTITUT ENERGI MOSKOW

(Universitas Teknik)

FAKULTAS TEKNIK ELEKTRONIK

RINGKASAN TENTANG TOPIK

PERSAMAAN KINETIKA BOLTZMANN.

LENGKAP:

Korkin S.V.

GURU

Sherkunov Yu.B.

Paruh kedua pekerjaan diisi dengan matematika yang agak rumit. Pengarang ( [dilindungi email], [dilindungi email]) tidak menganggap makalah ini ideal, ini hanya dapat berfungsi sebagai titik awal untuk menulis karya yang lebih sempurna (dan dapat dipahami). Teks bukan salinan buku. Lihat akhir untuk literatur pendukung.

Kertas pertukaran diterima dengan tanda EXL. (Versi terakhir dari karya ini sedikit hilang. Saya sarankan menggunakan "versi" kedua dari belakang).

Pendahuluan……………………………………………………………………………… 3

Simbol………………………………………………………………. 4

1 Fungsi distribusi.

2 Tabrakan partikel.

3 Menentukan jenis integral tumbukan

dan persamaan Boltzmann.

4. Persamaan kinetik untuk gas homogen lemah.

Konduktivitas termal gas.

Beberapa konvensi:

n adalah konsentrasi partikel;

d adalah jarak rata-rata antar partikel;

V - beberapa volume sistem;

P adalah probabilitas dari beberapa peristiwa;

f - fungsi distribusi;

Pengantar.

Bagian fisika - termodinamika, fisika statistik, dan kinetika fisik terlibat dalam studi tentang proses fisik yang terjadi dalam sistem makroskopik - benda yang terdiri dari sejumlah besar partikel mikro. Tergantung pada jenis sistemnya, mikropartikel tersebut dapat berupa atom, molekul, ion, elektron, foton, atau partikel lainnya. Sampai saat ini, ada dua metode utama untuk mempelajari keadaan sistem makroskopik - termodinamika, yang mencirikan keadaan sistem melalui parameter makroskopik yang mudah diukur (misalnya, tekanan, volume, suhu, jumlah mol atau konsentrasi zat) dan , pada kenyataannya, tidak memperhitungkan struktur atom dan molekul suatu zat, dan metode statistik berdasarkan model atom-molekul dari sistem yang dipertimbangkan. Metode termodinamika tidak akan dibahas dalam karya ini. Menurut hukum perilaku partikel sistem yang diketahui, metode statistik memungkinkan untuk menetapkan hukum perilaku seluruh sistem makro secara keseluruhan. Untuk menyederhanakan masalah yang sedang dipecahkan, sejumlah asumsi (asumsi) tentang perilaku mikropartikel dibuat dalam pendekatan statistik, dan, oleh karena itu, hasil yang diperoleh dengan metode statistik hanya valid dalam batas-batas asumsi yang dibuat. Metode statistik menggunakan pendekatan probabilistik untuk memecahkan masalah; untuk menggunakan metode ini, sistem harus mengandung jumlah partikel yang cukup besar. Salah satu masalah yang diselesaikan dengan metode statistik adalah penurunan persamaan keadaan sistem makroskopik. Keadaan sistem mungkin tidak berubah dari waktu ke waktu (sistem keseimbangan) atau dapat berubah dari waktu ke waktu (sistem non-kesetimbangan). Studi tentang keadaan non-kesetimbangan sistem dan proses yang terjadi dalam sistem tersebut adalah subjek kinetika fisik.

Persamaan keadaan sistem yang berkembang dalam waktu adalah persamaan kinetik, yang solusinya menentukan keadaan sistem setiap saat. Ketertarikan pada persamaan kinetik dikaitkan dengan kemungkinan penerapannya di berbagai bidang fisika: dalam teori kinetik gas, dalam astrofisika, fisika plasma, mekanika fluida. Dalam makalah ini, kami mempertimbangkan persamaan kinetik yang diturunkan oleh salah satu pendiri fisika statistik dan kinetika fisik, fisikawan Austria Ludwig Boltzmann pada tahun 1872 dan menyandang namanya.

1 Fungsi distribusi.

Untuk menurunkan persamaan kinetik Boltzmann, pertimbangkan gas ideal monoatomik, yaitu gas yang cukup dijernihkan yang terdiri dari atom atau molekul yang netral secara elektrik. Satu-satunya jenis interaksi antara partikel gas ideal adalah tumbukan antar molekul, yang terjadi, bagaimanapun, sangat jarang sehingga setiap molekul bergerak bebas hampir sepanjang waktu. Mengingat partikel gas sebagai partikel klasik, dapat dikatakan bahwa ada volume per partikel. Jumlah partikel per satuan volume adalah konsentrasi. Ini berarti ada jarak rata-rata antar partikel (diasumsikan cukup besar dibandingkan dengan radius aksi gaya antarmolekul d). Saat menurunkan persamaan Boltzmann, kami membuat asumsi berikut:

Partikel gas tidak dapat dibedakan (sama);

Partikel bertumbukan hanya berpasangan (abaikan tumbukan tiga atau lebih partikel secara bersamaan);

Segera sebelum tumbukan, partikel-partikel bergerak sepanjang satu garis lurus ke arah satu sama lain;

Tumbukan molekul adalah dampak elastis pusat langsung;

Deskripsi statistik gas dilakukan oleh fungsi distribusi probabilitas (atau kerapatan probabilitas), dan fungsi distribusi tidak berubah pada jarak orde daerah tumbukan partikel. Kepadatan probabilitas mendefinisikan probabilitas bahwa beberapa variabel acak x memiliki nilai dalam interval kecil dx sebagai berikut. Probabilitas menemukan x dalam interval terbatas ditentukan oleh integrasi.

Fungsi distribusi molekul gas diberikan dalam fase:-ruang.

adalah satu set koordinat umum dari semua molekul; - satu set momentum umum molekul. masing-masing

dan. Dilambangkan dengan

elemen volume ruang fase molekul. Dalam elemen tertentu dari ruang fase, ada (rata-rata) jumlah partikel yang sama dengan (yaitu, molekul dipertimbangkan, nilai q dan p yang terletak pada interval yang dipilih dq dan dp). Fungsi distribusi molekul gas didefinisikan di atas dalam ruang fase, namun dapat dinyatakan dalam variabel lain selain koordinat umum dan momentum partikel. Mari kita pilih argumen dari fungsi f.

Mengingat non-kesetimbangan, mengalir dalam waktu, proses perubahan keadaan sistem, kita jelas harus mengasumsikan bahwa fungsi distribusi tergantung pada waktu. Gas yang dipertimbangkan adalah sekumpulan partikel yang telah kita sepakati untuk dianggap klasik.

Gerak translasi partikel klasik digambarkan oleh koordinat

pusat gravitasi partikel dan vektor kecepatan atau vektor momentum (, di mana m adalah massa partikel). Untuk gas monoatomik, gerak translasi adalah satu-satunya jenis gerak partikel; jumlah derajat kebebasan adalah tiga. Jika partikel tersebut adalah molekul poliatomik, maka ada derajat kebebasan tambahan yang terkait dengan rotasi molekul dalam ruang dan getaran atom dalam molekul. Syarat penerapan mekanika kuantum adalah massa kecil dan konsentrasi partikel tinggi, serta suhu rendah. Tanpa mempertimbangkan daerah bersuhu rendah, kita akan menganggap gerak rotasi molekul gas sebagai gerakan klasik. Setiap gerak rotasi klasik dijelaskan, pertama-tama, oleh momen rotasi gaya yang bekerja pada benda. Di bawah aksi momen, molekul diatomik mulai berputar pada bidang yang tegak lurus terhadap vektor momen. Selain itu, posisi molekul ditandai dengan sudut rotasi sumbu molekul pada bidang rotasi.

Pertimbangkan sebuah molekul hidrogen (atau molekul diatomik lainnya) pada T = 300 K. Menurut hukum ekuipartisi, setiap derajat kebebasan (translasi, rotasi atau vibrasi), rata-rata memiliki energi kinetik yang sama dengan.

Biarkan saya menjadi momen inersia molekul, m menjadi massa, d menjadi jarak rata-rata antara atom dalam molekul.

Energi kinetik rata-rata rotasi molekul;

Dalam satu detik, molekul membuat (yaitu kira-kira) putaran lengkap. Laju perubahan sudut rotasi sumbu molekul diatomik tinggi, dan semua kemungkinan orientasi molekul dalam bidang rotasi akan sama-sama mungkin. Kemudian, ketika mempertimbangkan masalah fisik nyata, fungsi distribusi dapat dianggap tidak tergantung pada orientasi molekul. Hukum ekuipartisi juga berlaku untuk molekul poliatomik, yang berarti bahwa asumsi yang dibuat tentang independensi fungsi distribusi dari orientasi molekul gas di ruang angkasa dapat dianggap valid untuk gas poliatomik.

Gerakan osilasi atom di dalam molekul praktis selalu terkuantisasi, dan keadaan molekul sebagai sistem kuantum harus ditentukan oleh parameter kuantum. Dalam kondisi normal (pada suhu yang tidak terlalu tinggi), molekul gas berada dalam keadaan tidak tereksitasi sesuai dengan tingkat vibrasi utama (nol). Oleh karena itu, efek kuantum dalam gas nyata dalam kondisi normal dapat diabaikan. Akibatnya, fungsi distribusi gas ideal klasik dalam keadaan tidak setimbang tidak hanya bergantung pada waktu, tetapi juga pada koordinat partikel.

Mari kita nyatakan dengan simbol himpunan semua variabel yang bergantung pada fungsi distribusi, kecuali koordinat molekul dan waktu. Dalam elemen volume fase, kami memilih volume dasar dari ruang tiga dimensi, dan menyatakan sisa bagiannya dengan simbol dГ. Besaran dГ adalah integral gerak yang tetap konstan untuk setiap molekul selama gerak bebasnya antara dua tumbukan yang berurutan. Pergerakan bebas molekul dilakukan tanpa pengaruh eksternal dari badan atau medan eksternal. Sebagai hasil interaksi molekul satu sama lain (jika terjadi tumbukan) atau di bawah pengaruh medan

nilai-nilai ini mungkin berubah. Koordinat molekul secara keseluruhan berubah selama gerakan bebasnya.

Konsentrasi atau kepadatan distribusi spasial partikel gas dapat dinyatakan sebagai integral, dan jumlah rata-rata partikel dalam elemen volume ditentukan oleh produk. Elemen volume adalah volume kecil secara fisik, mis. sepotong ruang yang dimensinya lebih kecil dibandingkan dengan dimensi yang dipertimbangkan dalam masalah. Pada saat yang sama, dimensi volume kecil lebih besar dibandingkan dengan dimensi molekul. Pernyataan tentang lokasi molekul dalam elemen volume tertentu menentukan posisi molekul, paling-paling, hanya sampai jarak yang melebihi dimensi molekul itu sendiri. Penentuan koordinat yang tepat dari dua partikel klasik memungkinkan untuk secara akurat menentukan lintasan mereka sebelum dan sesudah tumbukan, jika ada. Ketidakpastian posisi timbal balik yang tepat dari partikel memungkinkan untuk menerapkan pendekatan probabilistik untuk memecahkan masalah tumbukan mereka. Mempertimbangkan gas klasik menyiratkan bahwa densitas

merupakan besaran makroskopik. Makroskopisitas terjadi hanya ketika volume dasar mengandung jumlah partikel yang cukup besar (hanya kemudian perubahan jumlah partikel dalam volume dasar kecil selama proses yang sedang dipertimbangkan); dalam hal ini, dimensi linier dari daerah yang ditempati oleh gas harus jauh lebih besar daripada jarak antarmolekul rata-rata.

2 Tabrakan partikel.

Mari kita perhatikan tumbukan molekul, beberapa di antaranya memiliki nilai yang terletak pada interval tertentu, sementara yang lain memiliki nilai dalam interval tersebut. Sebagai hasil dari tumbukan, molekul memperoleh nilai dalam interval masing-masing, dan. Di bawah ini, untuk singkatnya, kita akan berbicara tentang tumbukan molekul dan transisi

Produk dari jumlah molekul per satuan volume kali probabilitas setiap molekul bertabrakan dengan transisi yang ditentukan akan memberikan jumlah total tumbukan tersebut per satuan volume per satuan waktu. Probabilitas peristiwa semacam itu (mari kita nyatakan sebagai fungsi tertentu) sebanding dengan jumlah molekul per satuan volume dan dengan interval nilai nilai masing-masing molekul setelah tumbukan. Dengan demikian, kita akan mengasumsikan bahwa, dan jumlah tumbukan dengan transisi yang terjadi dalam satuan volume per satuan waktu berbentuk:

(utama menunjukkan keadaan akhir, tanpa prima, yang awal). Probabilitas tumbukan memiliki sifat penting, yang mengikuti dari hukum mekanika, mengenai pembalikan tanda waktu. Jika kita menyatakan dengan superskrip T nilai semua besaran yang diperoleh dengan membalik tanda waktu, maka persamaan akan terjadi

Pembalikan waktu menukar status "sebelum" dan "setelah", yang berarti perlu untuk menukar argumen fungsi probabilitas. Secara khusus, persamaan yang ditunjukkan adalah valid dalam kasus keseimbangan sistem, yaitu. dapat dikatakan bahwa dalam kesetimbangan jumlah tumbukan dengan transisi sama dengan jumlah tumbukan dengan transisi (*). Dilambangkan dengan fungsi distribusi kesetimbangan dan tulis

Hasil kali diferensial adalah elemen ruang fase yang tidak berubah ketika waktu dibalik (diferensial pada kedua sisi persamaan dapat dihilangkan). Energi potensial molekul juga tidak berubah, dan, akibatnya, fungsi distribusi kesetimbangan (Boltzmann), yang hanya bergantung pada energi:

(2)

V adalah kecepatan makroskopik gas secara keseluruhan. Berdasarkan hukum kekekalan energi dalam tumbukan dua molekul. Oleh karena itu, kita dapat menulis (3)

Kami juga mencatat fakta bahwa fungsi probabilitas itu sendiri, pada prinsipnya, dapat ditentukan hanya dengan memecahkan masalah mekanis tumbukan partikel. Persamaan (1) , (2) dan (3) yang ditulis di atas akan diberikan setelah singkatan pada (1)

Dengan memperhatikan pernyataan (*)

Mengintegrasikan kesetaraan terakhir (untuk digunakan dalam apa yang berikut), kami memperoleh hubungan:

3 Turunan dari persamaan kinetik.

Pertimbangkan turunan dari fungsi distribusi waktu:

Ketika molekul gas bergerak tanpa adanya medan eksternal, jumlah , sebagai integral gerak, tidak berubah.

(suku terakhir dalam ekspresi turunan disetel ke nol, karena)

(operator nabla)

Ekspresi untuk turunannya akan berbentuk: (6)

Sekarang biarkan gas berada dalam medan potensial eksternal yang bekerja pada koordinat pusat gravitasi molekul (misalnya, dalam medan gravitasi). Dan biarkan F menjadi gaya yang bekerja dari medan pada partikel.

Ruas kanan persamaan (6) akan dilambangkan dengan. simbol berarti

laju perubahan fungsi distribusi akibat tumbukan, dan nilai

adalah perubahan per satuan waktu akibat tumbukan jumlah molekul dalam volume fase. Perubahan total fungsi distribusi pada titik tertentu dalam ruang fase dapat ditulis sebagai:

(8)

Besaran tersebut disebut integral tumbukan, dan persamaan bentuk (8) disebut persamaan kinetik. Persamaan kinetik (8) akan memiliki arti sebenarnya hanya setelah menentukan bentuk integral tumbukan.

3 Menentukan jenis integral tumbukan dan persamaan Boltzmann.

Selama tumbukan molekul, ada perubahan besaran yang bergantung pada fungsi distribusi. Dengan mempertimbangkan fakta bahwa waktu pengamatan keadaan sistem dan koordinat partikel berubah, terlepas dari apakah tumbukan partikel telah terjadi atau tidak (yang hanya mempengaruhi sifat perubahan koordinat), dapat berpendapat bahwa nilai dari molekul yang bertabrakan berubah. Mempertimbangkan interval yang cukup kecil, kami menemukan bahwa molekul dihilangkan dari interval ini selama tumbukan, yaitu. ada tindakan "meninggalkan". Biarkan dua molekul yang bertabrakan sesuai, seperti sebelumnya, dengan nilai sebelum dan sesudah tumbukan (untuk singkatnya, kita berbicara tentang transisi).

Jumlah total tumbukan dalam transisi di atas dengan semua nilai yang mungkin

Untuk suatu yang diberikan, terjadi per satuan waktu dalam volume, ditentukan oleh integral

Pada saat yang sama, tumbukan dari jenis yang berbeda (disebut "kedatangan") terjadi, sebagai akibatnya molekul yang memiliki besaran di luar interval yang diberikan sebelum tumbukan jatuh ke dalam interval ini. Transisi semacam itu dapat dilambangkan sebagai berikut: (dengan semua nilai yang mungkin diberikan). Sama halnya dengan jenis transisi pertama, jumlah total tumbukan per satuan waktu dalam volume adalah:

Sebagai hasil dari semua tumbukan, perubahan jumlah molekul per satuan waktu dalam volume dasar ditentukan oleh perbedaan antara jumlah tindakan keberangkatan dan jumlah tindakan kedatangan:

(9), dimana

Integral tumbukan dapat didefinisikan sebagai:

(perubahan jumlah partikel per satuan waktu dalam volume fase dVdG)

Dari hubungan (8) dan (9) diperoleh bentuk integral tumbukan

Perhatikan bahwa pada suku kedua integran, integrasi atas memiliki

hanya terkait dengan fungsi. Faktor dan tidak tergantung pada variabel. Transformasikan bagian integral ini menggunakan relasi (4) , kita peroleh bentuk akhir integral tumbukan

dan persamaan kinetik

Persamaan integral - diferensial yang dihasilkan disebut persamaan Boltzmann.

Pertimbangkan distribusi waktu-independen dalam keadaan kesetimbangan sistem tanpa adanya pengaruh eksternal. Distribusi seperti itu bersifat stasioner (tidak bergantung pada waktu) dan homogen (tidak berubah di wilayah ruang yang ditempati oleh sistem). Kondisi yang dikenakan meniadakan turunan dari fungsi distribusi terhadap waktu dan tiga koordinat; sisi kiri persamaan kinetik menghilang. Integran menghilang karena kesetaraan (3). Akibatnya, distribusi kesetimbangan tanpa adanya medan eksternal memenuhi persamaan kinetik secara identik. Jika gas berada dalam keadaan setimbang di bawah aksi medan potensial eksternal (misalnya, gravitasi), maka fungsi distribusi dalam kasus ini juga memenuhi persamaan kinetik. Memang, distribusi kesetimbangan dinyatakan dalam integral gerak, energi total molekul. Sisi kiri persamaan kinetik adalah turunan total, yang sama dengan nol sebagai turunan dari suatu fungsi yang hanya bergantung pada integral gerak. Sisi kanan persamaan, seperti yang telah ditunjukkan, adalah nol. Dengan demikian, fungsi distribusi gas dalam kesetimbangan di medan potensial eksternal juga memenuhi persamaan kinetik.

Mari kita tambahkan satu hal lagi pada asumsi yang disebutkan dalam "Pendahuluan": tumbukan molekul dianggap sebagai tindakan seketika yang terjadi pada satu "titik" ruang. Persamaan kinetik menggambarkan proses yang berlangsung dalam interval waktu yang lebih lama daripada durasi tumbukan. Pada saat yang sama, luas sistem yang dipertimbangkan harus secara signifikan melebihi luas tumbukan partikel, yang memiliki dimensi pada urutan jari-jari aksi gaya molekul d. Waktu tumbukan, dalam urutan besarnya, dapat didefinisikan sebagai (- kecepatan rata-rata molekul dalam gas). Nilai yang diperoleh mewakili batas bawah jarak dan waktu, yang memungkinkan penerapan persamaan kinetik. Masalah fisik yang nyata tidak memerlukan deskripsi proses yang begitu rinci; ukuran sistem dan waktu pengamatan jauh di atas minimum yang dipersyaratkan.

Untuk pertimbangan kualitatif fenomena kinetik yang terjadi dalam gas, perkiraan kasar integral tumbukan digunakan dalam dua parameter: jalur bebas rata-rata dan jalur bebas rata-rata. Biarkan molekul melewati satuan panjang saat bergerak, bertabrakan dengan molekul yang terletak di volume silinder lurus dengan satuan panjang dan luas alas (- penampang efektif molekul). Volume ini mengandung molekul.

- jarak rata-rata antar molekul;

Nilainya adalah waktu berjalan bebas. Untuk perkiraan kasar integral tumbukan, kita dapat menggunakan:

Perbedaan yang ditulis dalam pembilang memperhitungkan fakta bahwa integral tumbukan menghilang untuk fungsi distribusi kesetimbangan, dan tanda minus menunjukkan bahwa tumbukan adalah mekanisme untuk menetapkan kesetimbangan statistik, yaitu. cenderung mengurangi penyimpangan fungsi distribusi dari keseimbangan (dengan kata lain, setiap sistem yang dikeluarkan dari keadaan setimbang sesuai dengan energi internal minimum sistem dan dibiarkan sendiri cenderung kembali ke keadaan setimbang).

3 Transisi ke persamaan makroskopik. Persamaan kontinuitas hidrodinamika.

Persamaan kinetik Boltzmann memberikan deskripsi mikroskopis tentang evolusi keadaan gas. Tetapi dalam prakteknya, seringkali tidak perlu untuk menggambarkan proses secara rinci, oleh karena itu, ketika mempertimbangkan masalah hidrodinamika, masalah proses yang terjadi pada gas yang tidak homogen atau sangat jarang, masalah konduktivitas termal dan difusi gas, dan sejumlah lainnya. , masuk akal untuk beralih ke persamaan makroskopik yang kurang rinci (dan karenanya lebih sederhana). Deskripsi seperti itu berlaku untuk gas jika sifat makroskopiknya (suhu, densitas, konsentrasi partikel, tekanan, dll.) berubah cukup lambat sepanjang arah yang dipilih secara sewenang-wenang dalam gas. Jarak di mana perubahan signifikan dalam parameter makroskopik terjadi harus secara signifikan melebihi jalur bebas rata-rata molekul.

Sebagai contoh, pertimbangkan metode untuk memperoleh persamaan hidrodinamik.

Ekspresi menentukan kepadatan distribusi molekul gas di ruang angkasa (konsentrasi molekul gas). Produk dari massa satu molekul (diasumsikan bahwa gas terdiri dari partikel yang identik) dan densitas distribusi molekul memberikan densitas massa gas: . Mari kita tunjukkan dengan kecepatan makroskopik gas secara keseluruhan, dan dengan kecepatan mikroskopis molekul. Kecepatan makroskopik (kecepatan gerak pusat massa) dapat didefinisikan sebagai nilai rata-rata kecepatan mikroskopis molekul

Tumbukan tidak mengubah jumlah partikel yang bertabrakan atau energi total atau momentumnya (tumbukan molekul dianggap sebagai tumbukan lenting mutlak). Bagian tumbukan dari perubahan fungsi distribusi tidak dapat menyebabkan perubahan densitas, energi dalam, kecepatan, dan parameter makroskopik gas lainnya di setiap elemen volumenya. Memang, bagian tumbukan dari perubahan jumlah molekul per satuan volume gas diberikan oleh integral yang sama dengan nol:

Kami memverifikasi validitas kesetaraan ini dengan cara berikut:

Integrasi dilakukan pada masing-masing variabel, yang berarti bahwa, tanpa mengubah integral, dimungkinkan untuk mengganti nama variabel, misalnya, pada integral kedua:

Ekspresi terakhir jelas sama dengan nol dan, oleh karena itu, persamaan (14) adalah valid.

Kami menuliskan persamaan kinetik dan, setelah mengalikan kedua bagiannya dengan massa partikel m, kami mengintegrasikannya terhadap:

Dari sini kita langsung mendapatkan persamaan kontinuitas hidrodinamik:

Dengan menetapkan perubahan densitas cairan dalam persamaan diferensial ini dan mengasumsikan cairan tidak dapat dimampatkan, seseorang dapat memperoleh medan vektor arah kecepatan pada setiap titik dalam cairan.

4. Gas yang tidak homogen. Konduktivitas termal gas.

Semua proses fisik yang nyata harus berjalan dengan beberapa kehilangan energi (yaitu, disipasi energi terjadi - transisi energi dari gerakan teratur menjadi energi gerakan kacau, misalnya, menjadi gerakan termal molekul gas). Untuk mempertimbangkan proses disipatif (konduktivitas termal atau viskositas) dalam gas homogen lemah, perlu menggunakan pendekatan berikut: fungsi distribusi di bagian kecil dari gas harus dianggap tidak keseimbangan lokal, seperti dalam kasus gas homogen , tetapi berbeda dari kesetimbangan dengan beberapa nilai yang cukup kecil (karena gas tidak homogen). Fungsi distribusi akan mengambil formulir, dan koreksi itu sendiri akan ditulis dalam formulir. Fungsi harus memenuhi kondisi tertentu. Jika kepadatan yang diberikan dari jumlah partikel, energi dan momentum gas

itu. fungsi kesetimbangan sesuai dengan integral, maka fungsi nonequilibrium harus mengarah ke nilai yang sama dari jumlah ini (integral dengan dan harus bertepatan), yang terjadi hanya ketika

Mari kita ubah integral tumbukan dalam persamaan kinetik (13): mensubstitusi ekspresi untuk fungsi distribusi dan koreksi, meniadakan integral tumbukan yang berisi fungsi distribusi kesetimbangan, membatalkan suku-suku yang tidak mengandung koreksi kecil. Persyaratan urutan pertama akan diberikan. Simbol diperkenalkan untuk menunjukkan operator integral linier

Integral ini menghilang untuk fungsi bentuk

Mari kita tuliskan (tanpa turunan) persamaan kinetik untuk gas yang tidak homogen, dengan memperhatikan masalah konduktivitas termal di sisi kiri persamaan hanya satu suku dengan gradien suhu

*************************************************

4. Perhitungan konduktivitas termal dari gas monoatomik

Untuk menghitung konduktivitas termal suatu gas, persamaan di atas harus diselesaikan dengan gradien suhu.

Membiarkan menjadi fungsi vektor besaran saja. Maka solusi dari persamaan () akan dicari dalam bentuk. Saat mensubstitusikan solusi ini ke persamaan (), kami memperoleh pengali. Persamaan () berlaku untuk nilai vektor gradien suhu yang sepenuhnya arbitrer, maka koefisien untuk kedua bagian persamaan harus sama. Akibatnya, untuk kita mendapatkan persamaan

Persamaan tidak mengandung gradien suhu dan karena itu tidak memiliki ketergantungan eksplisit pada koordinat. Fungsi harus memenuhi kondisi yang ditentukan sebelumnya (). Dua kondisi pertama jelas terpenuhi (persamaan () tidak mengandung parameter vektor di mana integral vektor konstan dapat diarahkan

DAN). Integral ketiga merupakan syarat tambahan pada fungsi g. Jika persamaan kinetik diselesaikan dan fungsi

ditentukan, maka dimungkinkan untuk menentukan koefisien konduktivitas termal dengan menghitung fluks energi, lebih tepatnya, bagian disipatifnya, tidak terkait dengan transfer energi konvektif (kami menyatakan bagian fluks energi ini sebagai ). Dengan tidak adanya gerakan makroskopik dalam gas, Q bertepatan dengan fluks energi total Q, yang dapat dinyatakan dalam integral

Jika sistem berada dalam kesetimbangan, maka integral ini sama dengan nol karena integrasi ke semua arah yang mungkin dalam gas. Saat mensubstitusikan () tetap

Dalam komponen

Karena isotropi medium gas kesetimbangan, tidak ada arah yang dipilih di dalamnya, dan tensor hanya dapat diekspresikan melalui unit tensor, mis. direduksi menjadi skalar

Dengan demikian, aliran energi dinyatakan sebagai, di mana nilainya adalah koefisien skalar konduktivitas termal

Aliran Q harus diarahkan dalam arah yang berlawanan dengan gradien suhu, dan nilainya masing-masing harus positif, yang secara otomatis disediakan oleh persamaan kinetik (). Dalam gas monoatomik, kecepatan v adalah satu-satunya vektor yang bergantung pada fungsi g (dalam gas poliatomik, g tidak hanya bergantung pada kecepatan v, tetapi juga pada momen M). Untuk gas monoatomik, fungsi g memiliki bentuk:

.

5. Contoh penyelesaian persamaan kinetik

Molekul gas berinteraksi menurut hukum yang cukup kompleks. Hal ini terutama berlaku untuk gas poliatomik nyata. Asumsi yang dibuat mengenai sifat perilaku molekul gas memungkinkan untuk menyederhanakan penalaran (atau bahkan memungkinkan pada prinsipnya), tetapi agak menjauhkan kita dari kenyataan. Hukum kompleks interaksi molekuler yang menentukan fungsi dalam integral tumbukan bahkan tidak memungkinkan penulisan persamaan Boltzmann untuk gas tertentu dalam bentuk eksak. Bahkan dengan penyederhanaan sifat interaksi molekuler, struktur matematika persamaan kinetik tetap cukup kompleks, dan sulit untuk menemukan solusinya dalam bentuk analitik. Dalam teori kinetik gas, khusus, lebih efektif daripada upaya solusi analitik, metode untuk solusi perkiraan persamaan Boltzmann digunakan. Sebagai contoh, pertimbangkan gas monoatomik dan masalah konduksi panas.

Untuk gas monoatomik, kapasitas panas. Menempatkan persamaan () kami akan memberikan bentuk

Operator integral linier yang sesuai dengan integral tumbukan () didefinisikan oleh rumus

dan fungsi distribusi kesetimbangan mengambil bentuk

Sebuah metode yang efektif untuk solusi perkiraan persamaan () didasarkan pada perluasan fungsi yang diinginkan dalam hal sistem lengkap fungsi saling ortogonal. Sebagai fungsi seperti itu, kami mempertimbangkan polinomial Sonin yang didefinisikan oleh rumus:

Dalam rumus ini, r adalah sembarang, dan s adalah bilangan bulat positif atau nol. dalam kejujuran

Sifat ortogonalitas dari polinomial ini untuk indeks r yang diberikan dan indeks yang berbeda s adalah sebagai berikut:

Kami mencari solusi dari persamaan dalam bentuk ekspansi berikut:

Dengan menghilangkan suku dengan s=0 dalam ekspansi, kita memperoleh ekspresi yang memenuhi () (integral menghilang karena ortogonalitas polinomial dengan s yang berbeda). Ekspresi dalam tanda kurung di sisi kiri ()

ada. Persamaan () berbentuk

Kalikan di kedua sisi dengan dan integrasikan. Kami memperoleh sistem persamaan aljabar yang dapat diselesaikan di komputer:

Untuk ekspresi terakhir, notasi

Tidak ada persamaan dengan l=0, karena karena kekekalan momentum

Koefisien konduktivitas termal dihitung dengan mengganti ekspresi () ke dalam integral (). Dengan mempertimbangkan kondisi (), integral (c) dapat direpresentasikan sebagai:

Akibatnya, kami menemukan

Keefektifan metode numerik menggunakan ekspansi dalam polinomial Sonon dapat dinilai dengan kesederhanaan sisi kanan () dan ekspresi akhir (). Sistem persamaan aljabar linier tak terbatas yang diperoleh selama penyelesaian diselesaikan setelah pemotongan buatan.

Kesimpulan.

Metode yang dipertimbangkan untuk menurunkan persamaan kinetik Boltzmann cukup memuaskan dari sudut pandang fisik. Namun, persamaan kinetik juga dapat diturunkan dari peralatan matematika yang digunakan untuk menggambarkan gerakan partikel gas. Pada tahun 1946, kesimpulan seperti itu, yang disebut dinamis, diberikan oleh N. N. Bogolyubov. Metode Bogolyubov memungkinkan tidak hanya untuk mendapatkan persamaan Boltzmann, tetapi juga koreksi untuk itu, mis. hal perintah berikutnya dalam parameter kandungan gas kecil. Misalnya, turunan di atas memperhitungkan tumbukan simultan hanya dua molekul dan mengasumsikan bahwa tumbukan terjadi pada satu titik, yaitu. bersifat lokal, dan tidak ada resep yang kurang lebih jelas untuk memperhitungkan tumbukan kelompok tiga, empat, atau lebih partikel. Sementara itu, jelas bahwa memperhitungkan tumbukan seperti itu pada dasarnya penting ketika mempertimbangkan gas padat. Dalam hubungan ini, adalah bijaksana untuk mengambil pendekatan yang lebih ketat terhadap penurunan persamaan kinetik dan kemungkinan generalisasinya. Metode Bogolyubov memungkinkan kita untuk memperhitungkan

"non-lokalitas" tumbukan dan tumbukan lebih dari dua partikel dengan bantuan istilah koreksi tertentu yang muncul selama derivasi. Mengabaikan koreksi mengurangi persamaan kinetik ke bentuk yang diperoleh dalam kasus paling sederhana.

Bibliografi.

1. E.M. Lifshits, L.P. Pitaevsky. Kinetika fisik. Sains, M., 1979

2. Yu.B.Rumer, M.Sh.Ryvkin. Termodinamika, fisika statistik dan kinetika.

Sains, M., 1972

Strip a<< 1 «хорошим» кинетическим уравнением является уравнение Больцмана, которое несовместимо с требованием факторизации. Мы видели, что вывод уравнения Больцмана по Боголюбову предполагает только факторизацию функции F2 в «бесконечном прошлом». Рассмотрим случай β = U0/T <<; 1, что соответствует горячему газу со слабым взаимодействием между частицами, который, однако, ...

Papan; NA adalah bilangan Avogadro; adalah massa tereduksi dari molekul elektrolit, g; i – konsentrasi molar ion (сi= c0); c0 adalah konsentrasi molar awal elektrolit. 3. Persamaan isomorfisme Ketika mempertimbangkan gerak dalam medan gaya viskos, akan lebih mudah untuk memperkenalkan gagasan mobilitas b. Mobilitas didefinisikan sebagai kecepatan membatasi yang diperoleh oleh tubuh di bawah aksi gaya yang sama dengan kesatuan, yaitu ...

Intensitas medan listrik dan besarnya gradien suhu termasuk dalam istilah tidak homogen di sisi kiri. Kemudian dalam bab ini, kita akan mencari solusi persamaan kinetik untuk berbagai kasus dalam urutan peningkatan kompleksitas. 7. Konduktivitas Listrik Biarkan hanya medan listrik E yang dikenakan pada sistem, dan suhu konstan dipertahankan dalam media "tak terbatas". Dengan mempertimbangkan...

Perak Tembaga Besi Timah Cair Merkuri Air Aseton Benzena 0 0 0 -3 0 0 0 0 20 16 22.5 0.1765 0.1411 0.0237 0.0226 403 86.5 68.2 35.6 0.190 0.167 0.158 6 ,9 3. Konduktivitas termal cairan dan gas Konduktivitas termal, salah satu jenis perpindahan panas (energi gerak termal partikel mikro) dari bagian tubuh yang lebih panas ke ...