Perhatikan gambar berikut.

Ini menunjukkan grafik fungsi y = x^3 - 3*x^2. Perhatikan beberapa interval yang memuat titik x = 0, misalnya dari -1 sampai 1. Interval tersebut juga disebut tetangga dari titik x = 0. Seperti dapat dilihat pada grafik, dalam lingkungan ini fungsi y = x ^3 - 3*x^2 mengambil nilai terbesar tepat di titik x = 0.

Maksimum dan minimum suatu fungsi

Dalam hal ini, titik x = 0 disebut titik maksimum fungsi. Dengan analogi ini, titik x = 2 disebut titik minimum dari fungsi y = x^3 - 3*x^2. Karena ada lingkungan di titik ini di mana nilai pada titik ini akan menjadi minimal di antara semua nilai lain dari lingkungan ini.

dot maksimum fungsi f(x) disebut titik x0, asalkan ada lingkungan dari titik x0 sehingga untuk semua x tidak sama dengan x0 dari lingkungan ini, pertidaksamaan f(x)< f(x0).

dot minimum fungsi f(x) disebut titik x0, asalkan ada lingkungan dari titik x0 sehingga untuk semua x yang tidak sama dengan x0 dari lingkungan ini, pertidaksamaan f(x) > f(x0) terpenuhi.

Pada titik maksimum dan minimum fungsi, nilai turunan fungsi sama dengan nol. Tapi ini bukan kondisi yang cukup untuk keberadaan fungsi pada titik maksimum atau minimum.

Misalnya, fungsi y = x^3 di titik x = 0 memiliki turunan sama dengan nol. Tetapi titik x = 0 bukanlah titik minimum atau maksimum dari fungsi tersebut. Seperti yang Anda ketahui, fungsi y = x^3 meningkat pada seluruh sumbu nyata.

Dengan demikian, titik minimum dan maksimum akan selalu berada di antara akar persamaan f’(x) = 0. Tetapi tidak semua akar persamaan ini merupakan titik maksimum atau minimum.

Titik stasioner dan kritis

Titik-titik di mana nilai turunan suatu fungsi sama dengan nol disebut titik stasioner. Ada juga titik maksimum atau minimum pada titik di mana turunan dari fungsi tidak ada sama sekali. Misalnya, y = |x| pada titik x = 0 memiliki minimum, tetapi turunannya tidak ada pada titik ini. Titik ini akan menjadi titik kritis fungsi.

Titik kritis suatu fungsi adalah titik-titik di mana turunannya sama dengan nol, atau turunannya tidak ada pada titik ini, yaitu, fungsi pada titik ini tidak terdiferensiasi. Untuk menemukan maksimum atau minimum suatu fungsi, kondisi yang cukup harus dipenuhi.

Misalkan f(x) adalah suatu fungsi yang terdiferensiasi pada interval (a;b). Titik x0 termasuk dalam interval ini dan f'(x0) = 0. Maka:

1. jika melalui titik stasioner x0, fungsi f(x) dan turunannya berubah tanda, dari “plus” menjadi “minus”, maka titik x0 adalah titik maksimum fungsi tersebut.

2. jika melalui titik stasioner x0, fungsi f(x) dan turunannya berubah tanda, dari “minus” menjadi “plus”, maka titik x0 adalah titik minimum dari fungsi tersebut.

Dalam ruang dua dimensi, dua garis berpotongan hanya pada satu titik, yang diberikan oleh koordinat (x, y). Karena kedua garis melewati titik perpotongannya, koordinat (x, y) harus memenuhi kedua persamaan yang menggambarkan garis-garis ini. Dengan beberapa keterampilan tingkat lanjut, Anda dapat menemukan titik persimpangan parabola dan kurva kuadrat lainnya.

Langkah

Titik potong dua garis

Tuliskan persamaan setiap garis, pisahkan variabel "y" di ruas kiri persamaan. Istilah lain dari persamaan harus ditempatkan di sisi kanan persamaan. Mungkin persamaan yang diberikan kepada Anda alih-alih "y" akan berisi variabel f ​​(x) atau g (x); dalam hal ini mengisolasi variabel tersebut. Untuk mengisolasi variabel, lakukan operasi matematika yang sesuai pada kedua sisi persamaan.

• Jika persamaan garis tidak diberikan kepada Anda, berdasarkan informasi yang Anda ketahui.
• Contoh. Diberikan garis lurus yang dijelaskan oleh persamaan dan y 12 = 2 x (\displaystyle y-12=-2x). Untuk mengisolasi "y" dalam persamaan kedua, tambahkan angka 12 ke kedua sisi persamaan:

1. Anda mencari titik potong kedua garis, yaitu titik yang koordinatnya (x, y) memenuhi kedua persamaan. Karena variabel "y" ada di ruas kiri setiap persamaan, ekspresi di ruas kanan setiap persamaan dapat disamakan. Tulis persamaan baru.

   • Contoh. Sebagai y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) dan y = 12 2x (\displaystyle y=12-2x), maka persamaan berikut dapat kita tuliskan: .

2. Temukan nilai variabel "x". Persamaan baru hanya berisi satu variabel "x". Untuk mencari "x", pisahkan variabel ini di ruas kiri persamaan dengan melakukan matematika yang sesuai di kedua ruas persamaan. Anda harus mendapatkan persamaan seperti x = __ (jika Anda tidak dapat melakukannya, lihat bagian ini).

   • Contoh. x + 3 = 12 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Menambahkan 2x (\gaya tampilan 2x) ke setiap sisi persamaan:
   • 3x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Kurangi 3 dari setiap sisi persamaan:
   • 3x=9 (\displaystyle 3x=9)
   • Bagilah setiap ruas persamaan dengan 3:
   • x = 3 (\gaya tampilan x=3).

3. Gunakan nilai yang ditemukan dari variabel "x" untuk menghitung nilai variabel "y". Untuk melakukan ini, substitusikan nilai yang ditemukan "x" dalam persamaan (apa saja) garis lurus.

   • Contoh. x = 3 (\gaya tampilan x=3) dan y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y=6 (\gaya tampilan y=6)

4. Periksa jawabannya. Untuk melakukannya, substitusikan nilai "x" ke persamaan garis lurus lainnya dan temukan nilai "y". Jika Anda mendapatkan nilai "y" yang berbeda, periksa apakah perhitungan Anda sudah benar.

   • Contoh: x = 3 (\gaya tampilan x=3) dan y = 12 2x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y=6 (\gaya tampilan y=6)
   • Anda mendapatkan nilai "y" yang sama, jadi tidak ada kesalahan dalam perhitungan Anda.

5. Tuliskan koordinat (x,y). Dengan menghitung nilai "x" dan "y", Anda telah menemukan koordinat titik perpotongan dua garis. Tuliskan koordinat titik potong tersebut dalam bentuk (x,y).

   • Contoh. x = 3 (\gaya tampilan x=3) dan y=6 (\gaya tampilan y=6)
   • Jadi, dua garis berpotongan di suatu titik dengan koordinat (3,6).

6. Perhitungan dalam kasus khusus. Dalam beberapa kasus, nilai variabel "x" tidak dapat ditemukan. Tapi itu tidak berarti Anda melakukan kesalahan. Kasus khusus terjadi ketika salah satu kondisi berikut terpenuhi:

   • Jika dua garis sejajar, mereka tidak berpotongan. Dalam hal ini, variabel "x" hanya akan dikurangi, dan persamaan Anda akan berubah menjadi persamaan yang tidak berarti (misalnya, 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). Dalam hal ini, tuliskan dalam jawaban Anda bahwa garis tidak berpotongan atau tidak ada solusi.
   • Jika kedua persamaan menggambarkan satu garis lurus, maka akan ada banyak titik potong yang tak terhingga. Dalam hal ini, variabel "x" hanya akan dikurangi, dan persamaan Anda akan berubah menjadi persamaan yang ketat (misalnya, 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). Dalam hal ini, tuliskan dalam jawaban Anda bahwa kedua garis itu bertepatan.

   Masalah dengan fungsi kuadrat

   1. Definisi fungsi kuadrat. Dalam fungsi kuadrat, satu atau lebih variabel memiliki derajat kedua (tetapi tidak lebih tinggi), misalnya, x 2 (\gaya tampilan x^(2)) atau y 2 (\gaya tampilan y^(2)). Grafik fungsi kuadrat adalah kurva yang tidak boleh berpotongan atau berpotongan pada satu atau dua titik. Pada bagian ini, kami akan memberi tahu Anda cara menemukan titik atau titik perpotongan kurva kuadrat.

   2. Tulis ulang setiap persamaan dengan mengisolasi variabel "y" di ruas kiri persamaan. Istilah lain dari persamaan harus ditempatkan di sisi kanan persamaan.

      • Contoh. Tentukan titik potong grafik x 2 + 2 x y = 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) dan
      • Pisahkan variabel "y" di ruas kiri persamaan:
      • dan y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • Dalam contoh ini, Anda diberikan satu fungsi kuadrat dan satu fungsi linier. Ingat bahwa jika Anda diberikan dua fungsi kuadrat, perhitungannya sama dengan langkah-langkah di bawah ini.

   3. Samakan ekspresi di ruas kanan setiap persamaan. Karena variabel "y" ada di ruas kiri setiap persamaan, ekspresi di ruas kanan setiap persamaan dapat disamakan.

      • Contoh. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) dan y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Pindahkan semua suku dari persamaan yang dihasilkan ke ruas kiri, dan tulis 0 di ruas kanan. Untuk melakukan ini, lakukan operasi matematika dasar. Ini akan memungkinkan Anda untuk memecahkan persamaan yang dihasilkan.

      • Contoh. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Kurangi "x" dari kedua sisi persamaan:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Kurangi 7 dari kedua sisi persamaan:

   5. Selesaikan persamaan kuadrat. Dengan memindahkan semua suku persamaan ke ruas kirinya, Anda mendapatkan persamaan kuadrat. Ini dapat diselesaikan dengan tiga cara: menggunakan rumus khusus, dan.

      • Contoh. x 2 + x 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Saat memfaktorkan persamaan, Anda mendapatkan dua binomial, yang, jika dikalikan, memberikan persamaan aslinya. Dalam contoh kita, anggota pertama x 2 (\gaya tampilan x^(2)) dapat didekomposisi menjadi x*x. Buatlah entri berikut: (x)(x) = 0
      • Dalam contoh kita, intersep -6 dapat difaktorkan sebagai berikut: 6 1 (\displaystyle -6*1), 3 2 (\displaystyle -3*2), 2 3 (\displaystyle -2*3), 1 6 (\displaystyle -1*6).
      • Dalam contoh kita, suku kedua adalah x (atau 1x). Tambahkan setiap pasangan faktor intersep (dalam contoh kami -6) hingga Anda mendapatkan 1. Dalam contoh kami, pasangan faktor intersep yang benar adalah -2 dan 3 ( 2 3 = 6 (\displaystyle -2*3=-6)), sebagai 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Isi celah dengan pasangan angka yang ditemukan: .

   6. Jangan lupa tentang titik potong kedua dari dua grafik. Jika Anda menyelesaikan masalah dengan cepat dan tidak terlalu hati-hati, Anda bisa melupakan titik persimpangan kedua. Berikut cara mencari koordinat "x" dari dua titik potong:

      • Contoh (pemfaktoran). Jika dalam persamaan (x 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) salah satu ekspresi dalam kurung akan sama dengan 0, maka seluruh persamaan akan sama dengan 0. Oleh karena itu, kita dapat menulisnya seperti ini: x 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\gaya tampilan x=2) dan x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = 3 (\displaystyle x=-3) (yaitu, Anda menemukan dua akar persamaan).
      • Contoh (gunakan rumus atau kuadrat lengkap). Saat menggunakan salah satu metode ini, akar kuadrat akan muncul dalam proses solusi. Misalnya, persamaan dari contoh kita akan berbentuk x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Ingatlah bahwa ketika mengambil akar kuadrat, Anda akan mendapatkan dua solusi. Dalam kasus kami: 25 = 5 5 (\displaystyle (\sqrt(25))=5*5), dan 25 = (− 5) (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Jadi tuliskan dua persamaan dan temukan dua nilai x.

   7. Grafik berpotongan di satu titik atau tidak berpotongan sama sekali. Situasi seperti itu terjadi ketika kondisi berikut terpenuhi:

      • Jika grafik berpotongan di satu titik, maka persamaan kuadrat didekomposisi menjadi faktor yang sama, misalnya (x-1) (x-1) = 0, dan akar kuadrat dari 0 muncul dalam rumus ( 0 (\displaystyle (\sqrt(0)))). Dalam hal ini, persamaan hanya memiliki satu solusi.
      • Jika grafik tidak berpotongan sama sekali, maka persamaan tidak memfaktorkan, dan akar kuadrat dari angka negatif muncul dalam rumus (misalnya, 2 (\displaystyle (\sqrt(-2)))). Dalam hal ini, tulis dalam jawaban bahwa tidak ada solusi.

Poin kritis adalah titik-titik di mana turunan fungsi sama dengan nol atau tidak ada. Jika turunannya adalah 0 maka fungsi pada titik tersebut mengambil minimum atau maksimum lokal. Pada grafik di titik-titik tersebut, fungsi memiliki asimtot horizontal, yaitu garis singgung sejajar dengan sumbu Ox.

Titik-titik seperti itu disebut Perlengkapan tulis. Jika Anda melihat "punuk" atau "lubang" pada bagan fungsi kontinu, ingatlah bahwa maksimum atau minimum tercapai pada titik kritis. Perhatikan tugas berikut sebagai contoh.

Contoh 1 Tentukan titik kritis dari fungsi y=2x^3-3x^2+5 .
Keputusan. Algoritma untuk mencari titik kritis adalah sebagai berikut:

Jadi fungsi tersebut memiliki dua titik kritis.

Selanjutnya, jika Anda perlu mempelajari fungsinya, maka kami menentukan tanda turunan ke kiri dan kanan titik kritis. Jika turunan berubah tanda dari "-" menjadi "+" ketika melewati titik kritis, maka fungsi tersebut mengambil minimum lokal. Jika dari "+" ke "-" seharusnya maksimum lokal.

Tipe kedua dari titik kritis ini adalah nol dari penyebut fungsi pecahan dan irasional

Fungsi dengan logaritma dan trigonometri yang tidak terdefinisi pada titik-titik ini


Jenis titik kritis ketiga memiliki fungsi dan modul kontinu sepotong-sepotong.
Misalnya, setiap fungsi modul memiliki minimum atau maksimum pada titik istirahat.

Misalnya modul y = | x -5 | pada titik x = 5 memiliki minimum (titik kritis).
Turunannya tidak ada di dalamnya, tetapi di sebelah kanan dan di sebelah kirinya masing-masing mengambil nilai 1 dan -1.

Cobalah untuk mengidentifikasi titik kritis fungsi

1)
2)
3)
4)
5)

Jika sebagai tanggapan Anda mendapatkan nilainya
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
maka Anda sudah tahu cara menemukan titik kritis dan mampu mengatasi kontrol atau tes sederhana.

Ini adalah bagian kedua dari artikel saya yang didedikasikan untuk geometri komputasi. Saya pikir artikel ini akan lebih menarik daripada yang sebelumnya, karena teka-tekinya akan sedikit lebih sulit.

Mari kita mulai dengan posisi relatif suatu titik relatif terhadap garis lurus, sinar, dan segmen.

Tugas 1

Tentukan posisi relatif titik dan garis: terletak di atas garis, di atas garis, di bawah garis.

Keputusan
Jelas bahwa jika garis lurus diberikan oleh persamaannya ax + by + c = 0, maka tidak ada yang harus diselesaikan di sini. Cukup dengan mengganti koordinat titik ke dalam persamaan garis lurus dan memeriksa persamaannya. Jika lebih besar dari nol, maka titik tersebut berada pada setengah bidang atas, jika sama dengan nol, maka titik tersebut berada pada garis, dan jika lebih kecil dari nol, maka titik tersebut berada pada setengah bidang bawah. Lebih menarik adalah kasus ketika garis diberikan, diberikan oleh koordinat dua titik, sebut saja mereka P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2). Dalam hal ini, seseorang dapat dengan aman menemukan koefisien a, b, dan c dan menerapkan alasan sebelumnya. Tapi kita harus berpikir dulu, apakah kita membutuhkannya? Tentu saja tidak! Seperti yang saya katakan, produk condong hanyalah permata geometri komputasi. Mari kita terapkan. Diketahui hasil kali kemiringan dua vektor adalah positif jika rotasi dari vektor pertama ke vektor kedua berlawanan arah jarum jam, sama dengan nol jika vektor-vektornya segaris dan negatif jika rotasi searah jarum jam. Oleh karena itu, kita cukup menghitung hasil kali miring dari vektor P 1 P 2 dan P 1 M dan menarik kesimpulan berdasarkan tandanya.

Tugas #2

Tentukan apakah suatu titik termasuk sinar.

Keputusan
Mari kita ingat apa itu sinar: sinar adalah garis lurus yang dibatasi oleh sebuah titik di satu sisi dan tak terbatas di sisi lain. Artinya, sinar diberikan oleh beberapa titik awal dan setiap titik yang terletak di atasnya. Biarkan titik P 1 (x 1 , y 1) menjadi awal sinar, dan P 2 (x 2 , y 2) adalah sembarang titik yang termasuk dalam sinar. Jelas bahwa jika suatu titik termasuk dalam sinar, maka itu juga termasuk dalam garis yang melalui titik-titik ini, tetapi tidak sebaliknya. Oleh karena itu, menjadi bagian dari sebuah garis adalah syarat yang diperlukan tetapi tidak cukup untuk menjadi bagian dari sebuah sinar. Oleh karena itu, kami tidak dapat menghindari memeriksa produk miring. Untuk kondisi yang cukup, juga perlu untuk menghitung produk skalar dari vektor yang sama. Jika kurang dari nol, maka titik tersebut bukan milik sinar; jika tidak negatif, maka titik tersebut terletak pada sinar. Mengapa demikian? Mari kita lihat gambarnya.

Jadi, agar titik M(x,y) terletak pada sinar dengan titik awal P 1 (x 1 , y 1), di mana P 2 (x 2 , y 2) terletak pada sinar, diperlukan dan cukup untuk memenuhi dua syarat:

2. (P 1 P 2 , P 1 M) 0 adalah perkalian skalar (titik terletak pada sinar)

Tugas #3

Tentukan apakah suatu titik termasuk dalam segmen.

Keputusan
Biarkan titik P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2) menjadi ujung segmen yang diberikan. Sekali lagi, kondisi yang diperlukan untuk suatu titik untuk menjadi bagian dari segmen adalah milik garis lurus yang melewati P 1 , P 2 . Selanjutnya, kita perlu menentukan apakah titik tersebut terletak di antara titik P 1 dan P 2, untuk ini kita dibantu oleh produk skalar vektor hanya kali ini lainnya: (MP 1 , MP 2). Jika kurang dari atau sama dengan nol, maka titik terletak pada segmen, jika tidak maka berada di luar segmen. Mengapa demikian? Mari kita lihat gambarnya.

Jadi, agar titik M(x,y) terletak pada ruas yang ujungnya P 1 (x 1 , y 1), P 2 (x 2 , y 2) perlu dan cukup memenuhi syarat:
1. \u003d 0 - produk miring (titiknya terletak pada garis)
2. (MP 1 ,MP 2) 0 – perkalian titik (titik terletak di antara P 1 dan P 2)

Tugas #4

Posisi relatif dua titik relatif terhadap garis lurus.

Keputusan
Dalam masalah ini, perlu untuk menentukan dua titik pada satu atau di sisi berlawanan dari garis lurus.

Jika titik-titik berada pada sisi yang berlawanan dari garis lurus, maka produk miring memiliki tanda yang berbeda, yang berarti bahwa produk mereka negatif. Jika titik-titik terletak pada sisi yang sama sehubungan dengan garis lurus, maka tanda-tanda produk miring bertepatan, yang berarti bahwa produknya positif.
Jadi:
1. * < 0 – точки лежат по разные стороны.
2. * > 0 – titik-titik terletak pada sisi yang sama.
3. * = 0 - satu (atau dua) titik terletak pada garis lurus.

Omong-omong, masalah menentukan keberadaan titik persimpangan garis dan segmen diselesaikan dengan cara yang persis sama. Lebih tepatnya, ini adalah masalah yang sama: segmen dan garis lurus berpotongan ketika ujung segmen berada di sisi yang berbeda relatif terhadap garis lurus atau ketika ujung segmen terletak pada garis lurus, yaitu perlu membutuhkan * 0.

Tugas #5

Tentukan apakah dua garis berpotongan.

Keputusan
Kami akan menganggap bahwa garis tidak bertepatan. Jelas bahwa garis tidak berpotongan hanya jika mereka sejajar. Oleh karena itu, setelah menemukan kondisi paralelisme, kita dapat menentukan apakah garis-garis tersebut berpotongan.
Misalkan garis diberikan oleh persamaannya a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 dan a 2 x + b 2 y + c 2 = 0. Maka syarat garis sejajar adalah a 1 b 2 - a 2 b 1 = 0.
Jika garis diberikan oleh titik P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2), M 1 (x 3, y 3), M 2 (x 4, y 4), maka kondisinya untuk paralelismenya adalah dalam memeriksa produk miring dari vektor P 1 P 2 dan M 1 M 2: jika sama dengan nol, maka garis-garisnya sejajar.

Secara umum, ketika garis diberikan oleh persamaannya, kami juga memeriksa produk miring dari vektor (-b 1 , a 1), (-b 2 , a 2) yang disebut vektor arah.

Tugas #6

Tentukan apakah dua segmen garis berpotongan.

Keputusan
Ini adalah tugas yang sangat saya sukai. Segmen berpotongan ketika ujung setiap segmen terletak pada sisi yang berlawanan dari segmen lainnya. Mari kita lihat gambarnya:

Jadi, kita perlu memeriksa bahwa ujung masing-masing segmen terletak pada sisi yang berlawanan dari ujung relatif segmen lainnya. Kami menggunakan produk miring dari vektor. Lihat gambar pertama: > 0,< 0 => * < 0. Аналогично
* < 0. Вы наверно думаете, почему не меньше либо равно. А потому, что возможен следующий случай, при котором векторное произведение как раз и равно нулю, но отрезки не пересекаются:

Oleh karena itu, kita perlu melakukan satu pemeriksaan lagi, yaitu: apakah setidaknya satu ujung setiap segmen milik yang lain (milik titik segmen). Kami telah memecahkan masalah ini.

Jadi, agar segmen memiliki poin yang sama, perlu dan cukup:
1. Ujung segmen terletak pada sisi yang berbeda relatif terhadap segmen lain.
2. Setidaknya salah satu ujung dari satu segmen milik segmen lain.

Tugas #7

Jarak dari titik ke garis.

Keputusan
Biarkan garis diberikan oleh dua titik P 1 (x 1, y 1) dan P 2 (x 2, y 2).

Pada artikel sebelumnya, kita berbicara tentang fakta bahwa produk miring geometris adalah area berorientasi jajar genjang, jadi S P 1 P 2 M = 0,5*. Di sisi lain, setiap siswa mengetahui rumus untuk menemukan luas segitiga: setengah alas kali tinggi.
S P 1 P 2 M \u003d 0,5 * j * P 1 P 2.
Menyamakan daerah-daerah ini, kami menemukan

Modulo diambil karena berorientasi pada area pertama.

Jika garis diberikan oleh persamaan ax + by + c = 0, maka persamaan garis yang melalui titik M tegak lurus terhadap garis yang diberikan adalah: a (y - y 0) - b (x - x 0) = 0. Sekarang Anda dapat dengan mudah menyelesaikan sistem dari persamaan yang diperoleh, menemukan titik persimpangannya dan menghitung jarak dari titik awal ke yang ditemukan: itu akan menjadi tepat = (ax 0 + oleh 0 + c) / (a 2 + b 2).

Tugas #8

Jarak dari titik ke balok.

Keputusan
Masalah ini berbeda dari yang sebelumnya dalam hal ini dapat terjadi, sehingga tegak lurus dari titik tidak jatuh pada sinar, tetapi jatuh pada kelanjutannya.

Dalam kasus ketika garis tegak lurus tidak jatuh pada sinar, perlu untuk menemukan jarak dari titik ke awal sinar - ini akan menjadi jawaban untuk masalah tersebut.

Bagaimana menentukan apakah garis tegak lurus jatuh pada sinar atau tidak? Jika garis tegak lurus tidak jatuh pada sinar, maka sudut MP 1 P 2 tumpul, selain itu lancip (lurus). Oleh karena itu, dengan tanda produk skalar vektor, kita dapat menentukan apakah garis tegak lurus jatuh pada sinar atau tidak:
1. (P 1 M, P 1 P 2)< 0 перпендикуляр не попадает на луч
2. (P 1 M, P 1 P 2) 0 tegak lurus menumbuk sinar

Tugas #9

Jarak dari titik ke garis.

Keputusan
Kami berdebat mirip dengan masalah sebelumnya. Jika tegak lurus tidak jatuh pada segmen, maka jawabannya adalah jarak minimum dari titik yang diberikan ke ujung segmen.

Untuk menentukan apakah tegak lurus jatuh pada segmen, perlu, dengan analogi dengan tugas sebelumnya, menggunakan produk skalar vektor. Jika tegak lurus tidak jatuh pada segmen, maka sudut MP 1 P 2 atau sudut MP 2 P 1 akan tumpul. Oleh karena itu, dengan tanda produk skalar, kita dapat menentukan apakah tegak lurus jatuh pada segmen atau tidak:
Jika (P 1 M, P 1 P 2)< 0 или (P 2 M, P 2 P 1) < 0 то перпендикуляр не падает на отрезок.

Tugas #10

Tentukan jumlah titik pada garis dan lingkaran.

Keputusan
Garis dan lingkaran dapat memiliki titik potong nol, satu atau dua. Mari kita lihat gambar-gambarnya:

Di sini, dari gambar, semuanya jelas. Kami memiliki dua titik persimpangan jika jarak dari pusat lingkaran ke garis kurang dari jari-jari lingkaran. Satu titik kontak jika jarak dari pusat ke garis sama dengan jari-jari. Dan terakhir, tidak ada titik potong jika jarak dari pusat lingkaran ke garis lurus lebih besar dari jari-jari lingkaran. Karena masalah menemukan jarak dari suatu titik ke garis telah diselesaikan oleh kami, masalah ini juga telah diselesaikan.

Tugas #11

Susunan dua lingkaran bersama.

Keputusan
Kemungkinan kasus pengaturan lingkaran: berpotongan, menyentuh, tidak berpotongan.

Pertimbangkan kasus ketika lingkaran berpotongan dan temukan luas persimpangannya. Saya sangat menyukai masalah ini, karena saya menghabiskan cukup banyak waktu untuk menyelesaikannya (sudah lama sekali - di tahun pertama).

Sekarang mari kita mengingat kembali apa itu sektor dan segmen.

Perpotongan lingkaran terdiri dari dua ruas O 1 AB dan O 2 AB.

Tampaknya perlu untuk menjumlahkan area segmen ini dan hanya itu. Namun, semuanya tidak begitu sederhana. Penting juga untuk menentukan apakah rumus-rumus ini selalu benar. Ternyata tidak!

Pertimbangkan kasus ketika pusat lingkaran kedua O 2 bertepatan dengan titik C. Dalam hal ini, d 2 = 0, dan kita ambil = untuk nilai . Dalam hal ini, kita memiliki setengah lingkaran dengan luas 1/2 R 2 2 .

Sekarang perhatikan kasus ketika pusat lingkaran kedua O 2 berada di antara titik O 1 dan C. Dalam hal ini, kita memperoleh nilai negatif dari d 2 . Menggunakan nilai negatif d 2 menghasilkan nilai negatif . Dalam hal ini, perlu untuk menambahkan 2π ke untuk jawaban yang benar.

Kesimpulan

Itu dia. Kami belum mempertimbangkan semua, tetapi masalah geometri komputasi yang paling umum mengenai posisi relatif objek.

Saya harap Anda menyukainya.

Domain suatu fungsi, hitung turunannya, temukan domain turunan suatu fungsi, temukan poin konversi turunan ke nol, buktikan bahwa titik-titik yang ditemukan termasuk dalam domain definisi fungsi aslinya.

Contoh 1 Identifikasi Kritis poin fungsi y = (x - 3)² (x-2).

SolusiTemukan domain fungsi, dalam hal ini tidak ada batasan: x (-∞; +∞); Hitung turunan y’. Menurut aturan perkalian dua, ada: y' = ((x - 3)²)' (x - 2) + (x - 3)² (x - 2)' = 2 (x - 3) (x - 2) + (x - 3)² 1. Setelah itu, diperoleh persamaan kuadrat: y ' \u003d 3 x² - 16 x + 21.

Carilah daerah asal dari turunan fungsi: x (-∞; +∞) Selesaikan persamaan 3 x² - 16 x + 21 = 0 untuk mencari yang hilang: 3 x² - 16 x + 21 = 0 .

D \u003d 256 - 252 \u003d 4x1 \u003d (16 + 2) / 6 \u003d 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3. Jadi, turunan hilang untuk nilai x sama dengan 3 dan 7/3.

Tentukan apakah yang ditemukan termasuk poin domain dari fungsi aslinya. Karena x (-∞; +∞), maka keduanya poin kritis.

Contoh 2 Identifikasi Kritis poin fungsi y = x² - 2/x.

Solusi Domain fungsi: x (-∞; 0) (0; +∞) karena x adalah penyebutnya Hitung turunan y’ = 2 x + 2/x².

Domain turunan fungsi sama dengan domain asal: x (-∞; 0) (0; +∞) Selesaikan persamaan 2 x + 2/x² = 0:2 x = -2 /x² → x = -satu.

Jadi, turunannya hilang pada x = -1. Kondisi kekritisan yang diperlukan tetapi tidak mencukupi terpenuhi. Karena x=-1 jatuh ke dalam interval (-∞; 0) (0; +∞), titik ini kritis.

Sumber:

• Volume penjualan kritis, pcsThreshold

Banyak wanita menderita sindrom pramenstruasi, yang dimanifestasikan tidak hanya oleh sensasi yang menyakitkan, tetapi juga oleh peningkatan nafsu makan. Akibatnya, hari-hari kritis dapat secara signifikan memperlambat proses penurunan berat badan.

Penyebab nafsu makan meningkat selama hari-hari kritis

Alasan peningkatan nafsu makan selama periode hari-hari kritis adalah perubahan latar belakang hormonal umum dalam tubuh wanita. Beberapa hari sebelum datangnya menstruasi, tingkat hormon progesteron meningkat, tubuh menyesuaikan dengan kemungkinan dan mencoba membuat cadangan energi tambahan dalam bentuk lemak tubuh, bahkan jika wanita itu duduk. Dengan demikian, perubahan berat badan pada hari-hari kritis adalah fenomena normal.

Cara makan saat haid

Cobalah untuk tidak makan permen, gula-gula dan makanan berkalori tinggi lainnya yang mengandung "puasa" akhir-akhir ini. Kelebihan mereka akan segera disimpan dalam lemak. Banyak wanita selama periode ini sangat ingin makan cokelat, dalam hal ini Anda dapat membeli cokelat hitam dan memanjakan diri Anda dengan beberapa potong, tetapi tidak lebih. Selama menstruasi, Anda tidak boleh mengonsumsi minuman beralkohol, bumbu-bumbu, acar, daging asap, biji-bijian dan kacang-kacangan. Acar dan daging asap umumnya harus dibatasi dalam makanan 6-8 hari sebelum menstruasi, karena produk tersebut meningkatkan cadangan air dalam tubuh, dan periode ini ditandai dengan peningkatan akumulasi cairan. Untuk mengurangi jumlah garam dalam makanan, tambahkan dalam jumlah minimal ke makanan siap saji.

Dianjurkan untuk menggunakan produk susu rendah lemak, makanan nabati, sereal. Kacang-kacangan, kentang rebus, nasi akan bermanfaat - produk yang mengandung karbohidrat "lambat". Makanan laut, hati, ikan, daging sapi, unggas, telur, kacang-kacangan, buah-buahan kering akan membantu mengisi kembali kehilangan zat besi. Dedak gandum akan bermanfaat. Pembengkakan adalah reaksi alami saat menstruasi. Ramuan diuretik ringan akan membantu memperbaiki kondisinya: kemangi, adas, peterseli, seledri. Mereka dapat digunakan sebagai bumbu. Pada paruh kedua siklus, dianjurkan untuk mengonsumsi produk protein (daging dan ikan tanpa lemak, produk susu), dan jumlah karbohidrat dalam makanan harus dikurangi sebanyak mungkin.

Konsep ekonomi volume kritis penjualan sesuai dengan posisi perusahaan di pasar, di mana hasil dari penjualan barang minimal. Situasi ini disebut titik impas, ketika permintaan akan produk turun dan keuntungan hampir tidak menutupi biaya. Untuk menentukan volume kritis penjualan menggunakan beberapa metode.

Petunjuk

Siklus kerja tidak terbatas pada aktivitasnya - produksi atau jasa. Ini adalah pekerjaan kompleks dari struktur tertentu, termasuk pekerjaan personel kunci, staf manajemen, manajer, dll., serta ekonom, yang tugasnya adalah analisis keuangan perusahaan.

Tujuan dari analisis ini adalah untuk menghitung beberapa kuantitas yang, sampai tingkat tertentu, mempengaruhi ukuran laba akhir. Ini adalah berbagai jenis volume produksi dan penjualan, penuh dan rata-rata, indikator permintaan, dll. Tugas utama adalah untuk mengidentifikasi volume produksi di mana hubungan yang stabil antara biaya dan keuntungan ditetapkan.

Volume Minimum penjualan, di mana pendapatan sepenuhnya menutupi biaya, tetapi tidak meningkatkan modal ekuitas perusahaan, disebut volume kritis penjualan. Ada tiga metode untuk menghitung metode indikator ini: metode persamaan, pendapatan marjinal dan grafik.

Untuk menentukan volume kritis penjualan sesuai dengan metode pertama, buat persamaan dalam bentuk: Vp - Zper - Zpos \u003d Pp \u003d 0, di mana: Vp - pendapatan dari penjualan dan ; Zper dan Zpos - biaya variabel dan tetap; Pp - keuntungan dari penjualan dan.

Menurut metode lain, suku pertama, pendapatan dari penjualan, direpresentasikan sebagai produk pendapatan marjinal dari satu unit barang dengan volume penjualan Hal yang sama berlaku untuk biaya variabel. Biaya tetap berlaku untuk seluruh batch barang, jadi biarkan komponen ini tetap umum: MD N - Zper1 N - Zpos = 0.

Nyatakan nilai N dari persamaan ini, dan Anda mendapatkan volume kritis penjualan:N = Zpos / (MD - Zper1), dimana Zper1 - biaya variabel per unit barang.

Metode grafis melibatkan konstruksi. Gambarlah dua garis pada bidang koordinat: fungsi pendapatan dari penjualan dikurangi fungsi biaya dan laba. Pada sumbu x, plot volume produksi, dan pada sumbu y, pendapatan dari jumlah barang yang sesuai, dinyatakan dalam unit moneter. Titik perpotongan garis-garis ini sesuai dengan volume kritis penjualan, posisi impas.

Sumber:

• bagaimana mengidentifikasi pekerjaan kritis

Berpikir kritis adalah seperangkat penilaian atas dasar kesimpulan tertentu yang dibentuk, dan penilaian objek kritik dibuat. Ini terutama karakteristik para peneliti dan ilmuwan dari semua cabang ilmu pengetahuan. Berpikir kritis menempati tingkat yang lebih tinggi dari berpikir biasa.

Nilai pengalaman dalam pembentukan berpikir kritis

Sulit untuk menganalisis dan menarik kesimpulan tentang apa yang tidak Anda pahami dengan baik. Oleh karena itu, untuk belajar berpikir kritis, perlu mempelajari objek dalam semua kemungkinan koneksi dan hubungan dengan fenomena lain. Dan juga yang sangat penting dalam hal ini adalah kepemilikan informasi tentang objek tersebut, kemampuan untuk membangun rantai penilaian yang logis dan menarik kesimpulan yang masuk akal.

Misalnya, seseorang dapat menilai nilai sebuah karya seni hanya dengan mengetahui cukup banyak buah lain dari aktivitas sastra. Pada saat yang sama, tidak buruk untuk menjadi ahli sejarah perkembangan manusia, pembentukan sastra, dan kritik sastra. Dalam keterasingan dari konteks sejarah, karya tersebut mungkin kehilangan maknanya. Agar penilaian sebuah karya seni cukup lengkap dan dibenarkan, perlu juga menggunakan pengetahuan sastra Anda, yang mencakup aturan untuk membangun teks sastra dalam genre individu, sistem berbagai perangkat sastra, klasifikasi dan analisis. gaya dan tren yang ada dalam sastra, dll. Pada saat yang sama, penting juga untuk mempelajari logika internal plot, urutan tindakan, penempatan dan interaksi karakter dalam sebuah karya seni.

Ciri-ciri berpikir kritis

Fitur lain dari berpikir kritis meliputi:
- pengetahuan tentang objek yang dipelajari hanyalah titik awal untuk aktivitas otak lebih lanjut terkait dengan konstruksi rantai logis;
- penalaran yang dibangun secara konsisten dan berdasarkan akal sehat mengarah pada identifikasi informasi yang benar dan salah tentang objek yang diteliti;
- berpikir kritis selalu dikaitkan dengan penilaian terhadap informasi yang tersedia tentang objek yang diberikan dan kesimpulan yang sesuai, sementara penilaian, pada gilirannya, dikaitkan dengan keterampilan yang ada.

Tidak seperti berpikir biasa, berpikir kritis tidak tunduk pada keyakinan buta. Berpikir kritis memungkinkan penggunaan seluruh sistem penilaian tentang objek kritik untuk memahami esensinya, mengungkapkan pengetahuan yang benar tentangnya dan menyangkal yang salah. Hal ini didasarkan pada logika, kedalaman dan kelengkapan studi, kebenaran, kecukupan dan konsistensi penilaian. Pada saat yang sama, pernyataan yang jelas dan terbukti diterima sebagai postulat dan tidak memerlukan pembuktian dan evaluasi berulang.