Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Persamaan eksponensial dan pertidaksamaan eksponensial"
Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda! Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.
Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 11
Manual interaktif untuk kelas 9-11 "Trigonometri"
Manual interaktif untuk kelas 10-11 "Logaritma"
Definisi persamaan eksponensial
Kawan, kami mempelajari fungsi eksponensial, mempelajari propertinya dan membuat grafik, menganalisis contoh persamaan di mana fungsi eksponensial ditemukan. Hari ini kita akan mempelajari persamaan eksponensial dan pertidaksamaan.Definisi. Persamaan bentuk: $a^(f(x))=a^(g(x))$, dengan $a>0$, $a≠1$ disebut persamaan eksponensial.
Mengingat teorema yang kita pelajari dalam topik "Fungsi eksponensial", kita dapat memperkenalkan teorema baru:
Dalil. Persamaan eksponensial $a^(f(x))=a^(g(x))$, di mana $a>0$, $a≠1$ ekuivalen dengan persamaan $f(x)=g(x) $.
Contoh persamaan eksponensial
Contoh.Selesaikan Persamaan:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Keputusan.
a) Kita tahu betul bahwa $27=3^3$.
Mari kita tulis ulang persamaan kita: $3^(3x-3)=3^3$.
Dengan menggunakan teorema di atas, kita mendapatkan bahwa persamaan kita direduksi menjadi persamaan $3x-3=3$, menyelesaikan persamaan ini, kita mendapatkan $x=2$.
Jawab: $x=2$.
B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Maka persamaan kita dapat ditulis ulang: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5 ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0.2=$0.2.
$x=0$.
Jawaban: $x=0$.
C) Persamaan aslinya setara dengan persamaan: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ dan $x_2=-3$.
Jawaban: $x_1=6$ dan $x_2=-3$.
Contoh.
Selesaikan persamaan: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Keputusan:
Kami akan secara berurutan melakukan serangkaian tindakan dan membawa kedua bagian persamaan kami ke basis yang sama.
Mari kita lakukan serangkaian operasi di sisi kiri:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Mari kita beralih ke sisi kanan:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Persamaan asli setara dengan persamaan:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Jawaban: $x=0$.
Contoh.
Selesaikan persamaan: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Keputusan:
Mari kita tulis ulang persamaan kita: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Mari kita membuat perubahan variabel, misalkan $a=3^x$.
Dalam variabel baru, persamaan akan berbentuk: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ dan $a_2=3$.
Mari kita lakukan perubahan kebalikan dari variabel: $3^x=-12$ dan $3^x=3$.
Dalam pelajaran terakhir, kita belajar bahwa ekspresi eksponensial hanya dapat mengambil nilai positif, ingat grafiknya. Ini berarti persamaan pertama tidak memiliki solusi, persamaan kedua memiliki satu solusi: $x=1$.
Jawab: $x=1$.
Mari kita membuat catatan tentang cara-cara untuk menyelesaikan persamaan eksponensial:
1. Metode grafis. Kami mewakili kedua bagian persamaan sebagai fungsi dan membangun grafiknya, menemukan titik persimpangan grafik. (Kami menggunakan metode ini dalam pelajaran terakhir).
2. Prinsip kesetaraan indikator. Prinsip ini didasarkan pada kenyataan bahwa dua ekspresi dengan basis yang sama adalah sama jika dan hanya jika derajat (eksponen) dari basis ini sama. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Metode perubahan variabel. Metode ini harus digunakan jika persamaan, ketika mengubah variabel, menyederhanakan bentuknya dan lebih mudah untuk dipecahkan.
Contoh.
Memecahkan sistem persamaan: $\begin (kasus) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(kasus)$.
Keputusan.
Pertimbangkan kedua persamaan sistem secara terpisah:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3th)*3^x=3^0$.
$3^(3th+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Perhatikan persamaan kedua:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Mari kita gunakan metode perubahan variabel, misalkan $y=2^(x+y)$.
Maka persamaan akan berbentuk:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ dan $y_2=-3$.
Mari kita beralih ke variabel awal, dari persamaan pertama kita mendapatkan $x+y=2$. Persamaan kedua tidak memiliki solusi. Maka sistem persamaan awal kita ekuivalen dengan sistem: $\begin (kasus) x+3y=0, \\ x+y=2. \end(kasus)$.
Kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama, kita peroleh: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \end(kasus)$.
$\begin (kasus) y=-1, \\ x=3. \end(kasus)$.
Jawaban: $(3;-1)$.
pertidaksamaan eksponensial
Mari kita beralih ke ketidaksetaraan. Saat memecahkan ketidaksetaraan, perlu memperhatikan dasar derajat. Ada dua skenario yang mungkin untuk pengembangan peristiwa ketika memecahkan ketidaksetaraan.Dalil. Jika $a>1$, maka pertidaksamaan eksponensial $a^(f(x))>a^(g(x))$ sama dengan pertidaksamaan $f(x)>g(x)$.
Jika $0
Contoh.
Memecahkan ketidaksetaraan:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Keputusan.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Ketimpangan kita setara dengan pertidaksamaan:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.
B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Dalam persamaan kita, basis dengan derajat lebih kecil dari 1, maka saat mengganti pertidaksamaan dengan pertidaksamaan yang ekuivalen, tandanya perlu diubah.
$2x-4>2$.
$x>3$.
C) Pertidaksamaan kita setara dengan pertidaksamaan:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Mari kita gunakan metode solusi interval:
Jawaban: $(-∞;-5]U \ \
Menjawab: $(-4,6)$.
Contoh 2
Memecahkan sistem persamaan
Gambar 3
Keputusan.
Sistem ini setara dengan sistem
Gambar 4
Kami menerapkan metode keempat untuk menyelesaikan persamaan. Misalkan $2^x=u\ (u >0)$ dan $3^y=v\ (v >0)$, kita peroleh:
Gambar 5
Kami memecahkan sistem yang dihasilkan dengan metode penambahan. Mari kita tambahkan persamaan:
\ \
Kemudian dari persamaan kedua, kita mendapatkan bahwa
Kembali ke penggantian, saya menerima sistem persamaan eksponensial baru:
Gambar 6
Kita mendapatkan:
Gambar 7
Menjawab: $(0,1)$.
Sistem pertidaksamaan eksponensial
Definisi 2
Sistem pertidaksamaan yang terdiri dari persamaan eksponensial disebut sistem pertidaksamaan eksponensial.
Kami akan mempertimbangkan solusi sistem pertidaksamaan eksponensial menggunakan contoh.
Contoh 3
Memecahkan sistem pertidaksamaan
Angka 8
Keputusan:
Sistem ketidaksetaraan ini setara dengan sistem
Gambar 9
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan pertama, ingat teorema kesetaraan berikut untuk pertidaksamaan eksponensial:
Teorema 1. Pertidaksamaan $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, di mana $a >0,a\ne 1$ ekuivalen dengan himpunan dua sistem
\}
