Tugas, solusinya adalah mengubah ekspresi logaritma, cukup sering ditemukan pada ujian.

Agar berhasil mengatasinya dengan pengeluaran waktu minimum, selain identitas logaritma dasar, perlu untuk mengetahui dan menggunakan beberapa formula dengan benar.

Ini adalah: a log a b = b, di mana a, b > 0, a 1 (Ini mengikuti langsung dari definisi logaritma).

log a b = log c b / log c a atau log a b = 1/log b a
di mana a, b, c > 0; a, c 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
dimana a, b > 0, a 1, m, n R, n 0.

a log c b = b log c a
dimana a, b, c > 0 dan a, b, c 1

Untuk menunjukkan validitas persamaan keempat, kita ambil logaritma ruas kiri dan ruas kanan pada basis a. Kami mendapatkan log a (a log c b) = log a (b log c a) atau log c b = log c a log a b; log c b = log c a (log c b / log c a); log dengan b = log dengan b.

Kami telah membuktikan kesetaraan logaritma, yang berarti bahwa ekspresi di bawah logaritma juga sama. Formula 4 terbukti.

Contoh 1

Hitung 81 log 27 5 log 5 4 .

Keputusan.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Oleh karena itu,

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Maka 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 4.

Anda dapat menyelesaikan tugas berikut sendiri.

Hitung (8 log 2 3 + 3 1 / log 2 3) - log 0,2 5.

Sebagai petunjuk, 0,2 = 1/5 = 5 -1 ; log 0,2 5 = -1.

Jawaban: 5.

Contoh 2

Hitung (√11) catatan √3 9 log 121 81 .

Keputusan.

Mari kita ganti ekspresi: 9 = 3 2 , 3 = 3 1/2 , log 3 9 = 4,

121 = 11 2 , 81 = 3 4 , log 121 81 = 2 log 11 3 (Rumus 3 digunakan).

Maka (√11) log 3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.

Contoh 3

Hitung log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

Keputusan.

Kami akan mengganti logaritma yang terdapat dalam contoh dengan logaritma dengan basis 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Kemudian log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

Setelah membuka tanda kurung dan mengurangi suku yang serupa, kita mendapatkan angka 3. (Saat menyederhanakan ekspresi, log 2 3 dapat dilambangkan dengan n dan menyederhanakan ekspresi

(3 + n) (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

Jawaban: 3.

Anda dapat melakukan hal berikut sendiri:

Hitung (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Di sini perlu dilakukan transisi ke logaritma di basis 3 dan dekomposisi menjadi faktor prima dari bilangan besar.

Jawab: 1/2

Contoh 4

Tiga angka diberikan A \u003d 1 / (log 3 0,5), B \u003d 1 / (log 0,5 3), C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3. Atur dalam urutan menaik.

Keputusan.

Mari kita ubah angka A \u003d 1 / (log 3 0,5) \u003d log 0,5 3; C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3 \u003d log 0,5 12/3 \u003d log 0,5 4 \u003d -2.

Mari kita bandingkan mereka

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 dan log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Atau 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Menjawab. Oleh karena itu, urutan penempatan angka: C; TETAPI; DI.

Contoh 5

Berapa banyak bilangan bulat dalam interval (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Keputusan.

Mari kita tentukan antara pangkat apa dari angka 3 dengan angka 1/16. Kami mendapatkan 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Karena fungsi y \u003d log 3 x meningkat, maka log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Bandingkan log 6 (4 / 3) dan 1 / 5 . Dan untuk ini kami membandingkan angka 4 / 3 dan 6 1/5. Naikkan kedua angka ke pangkat 5. Kami mendapatkan (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

log 6 (4 / 3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Oleh karena itu, interval (log 3 1 / 16 ; log 6 48) termasuk interval [-2; 4] dan bilangan bulat -2 ditempatkan di atasnya; -satu; 0; satu; 2; 3; 4.

Jawaban: 7 bilangan bulat.

Contoh 6

Hitung 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.

Keputusan.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lo g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Kemudian 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0,1 = -1.

Jawaban 1.

Contoh 7

Diketahui log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) = A. Carilah log 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2).

Keputusan.

Angka (√3 + 1) dan (√3 - 1); (√6 - 2) dan (√6 + 2) adalah konjugat.

Mari kita lakukan transformasi ekspresi berikut:

3 – 1 = (√3 – 1) (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

6 + 2 = (√6 + 2) (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2/(6 - 2).

Maka log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 - log 2 (√3 + 1) - log 2 (√6 - 2) = 2 - A.

Jawaban: 2 - A

Contoh 8.

Sederhanakan dan temukan nilai perkiraan ekspresi (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Keputusan.

Kami mengurangi semua logaritma menjadi basis umum 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 … log 10 9 = (log 2 / log 3) (log 3 / log 4) (log 4 / log 5) (log 5 / lg 6) ... . .. (lg 8 / lg 9) lg 9 \u003d lg 2 0,3010. (Perkiraan nilai lg 2 dapat ditemukan menggunakan tabel, penggaris geser, atau kalkulator).

Jawaban: 0,3010.

Contoh 9.

Hitung log a 2 b 3 (a 11 b -3) jika log a b 3 = 1. (Dalam contoh ini, a 2 b 3 adalah basis dari logaritma).

Keputusan.

Jika log a b 3 = 1, maka 3/(0,5 log a b = 1. Dan log a b = 1/6.

Maka log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 - 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) log itu dan b = 1/6 kita peroleh (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10,5/5 = 2,1.

Jawaban: 2.1.

Anda dapat melakukan hal berikut sendiri:

Hitung log 3 6 2.1 jika log 0,7 27 = a.

Jawaban: (3 + a) / (3a).

Contoh 10

Hitung 6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log125.

Keputusan.

6.5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3 2 /(2 log 13 3) 2) (2 log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (rumus 4))

Kami mendapatkan 9 + 6 = 15.

Jawaban: 15.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak yakin bagaimana menemukan nilai ekspresi logaritmik?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor -.
Pelajaran pertama gratis!

blog.site, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Ekspresi logaritmik, solusi dari contoh. Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan masalah yang berkaitan dengan penyelesaian logaritma. Tugas menimbulkan pertanyaan untuk menemukan nilai ekspresi. Perlu dicatat bahwa konsep logaritma digunakan dalam banyak tugas dan sangat penting untuk memahami artinya. Adapun USE, logaritma digunakan dalam memecahkan persamaan, dalam masalah terapan, dan juga dalam tugas-tugas yang berkaitan dengan studi fungsi.

Berikut adalah contoh untuk memahami arti dari logaritma:

Identitas logaritma dasar:

Sifat-sifat logaritma yang harus selalu Anda ingat:

* Logaritma hasil kali sama dengan jumlah logaritma faktor-faktornya.

* * *

* Logaritma hasil bagi (pecahan) sama dengan selisih logaritma faktor-faktornya.

* * *

* Logaritma derajat sama dengan produk eksponen dan logaritma basisnya.

* * *

*Transisi ke pangkalan baru

* * *

Lebih banyak properti:

* * *

Komputasi logaritma berkaitan erat dengan penggunaan sifat-sifat eksponen.

Kami mencantumkan beberapa di antaranya:

Inti dari properti ini adalah bahwa ketika mentransfer pembilang ke penyebut dan sebaliknya, tanda eksponen berubah menjadi kebalikannya. Sebagai contoh:

Konsekuensi dari properti ini:

* * *

Saat menaikkan pangkat ke pangkat, basisnya tetap sama, tetapi eksponennya dikalikan.

* * *

Seperti yang Anda lihat, konsep logaritma itu sederhana. Hal utama adalah bahwa latihan yang baik diperlukan, yang memberikan keterampilan tertentu. Tentu saja pengetahuan tentang rumus adalah wajib. Jika keterampilan dalam mengonversi logaritma dasar tidak terbentuk, maka ketika menyelesaikan tugas-tugas sederhana, seseorang dapat dengan mudah membuat kesalahan.

Berlatih, pecahkan contoh paling sederhana dari kursus matematika terlebih dahulu, lalu lanjutkan ke yang lebih kompleks. Di masa depan, saya pasti akan menunjukkan bagaimana logaritma "jelek" diselesaikan, tidak akan ada yang seperti itu di ujian, tetapi mereka menarik, jangan lewatkan!

Itu saja! Semoga sukses untuk Anda!

Hormat kami, Alexander Krutitskikh

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu situs ini di jejaring sosial.

Persamaan yang terdaftar saat mengonversi ekspresi dengan logaritma digunakan baik dari kanan ke kiri maupun dari kiri ke kanan.

Perlu dicatat bahwa tidak perlu mengingat konsekuensi dari properti: saat melakukan transformasi, Anda dapat bertahan dengan properti dasar logaritma dan fakta lainnya (misalnya, untuk b≥0), dari mana yang sesuai konsekuensi mengikuti. "Efek samping" dari pendekatan ini hanyalah penyelesaiannya akan sedikit lebih lama. Misalnya, untuk melakukan tanpa konsekuensi, yang dinyatakan dengan rumus , dan hanya mulai dari properti dasar logaritma, Anda harus melakukan rantai transformasi dengan bentuk berikut: .

Hal yang sama dapat dikatakan tentang properti terakhir dari daftar di atas, yang sesuai dengan rumus , karena ia juga mengikuti sifat dasar logaritma. Hal utama yang harus dipahami adalah selalu mungkin untuk derajat bilangan positif dengan logaritma dalam eksponen untuk menukar basis derajat dan bilangan di bawah tanda logaritma. Sejujurnya, kami mencatat bahwa contoh yang melibatkan implementasi transformasi semacam ini jarang terjadi dalam praktik. Kami akan memberikan beberapa contoh di bawah ini.

Mengonversi ekspresi numerik dengan logaritma

Kami ingat sifat-sifat logaritma, sekarang saatnya mempelajari cara mempraktikkannya untuk mengubah ekspresi. Itu wajar untuk memulai dengan transformasi ekspresi numerik, dan bukan ekspresi dengan variabel, karena lebih nyaman dan lebih mudah untuk mempelajari dasar-dasarnya. Jadi kita akan melakukan ini, dan kita akan mulai dengan contoh yang sangat sederhana untuk mempelajari cara memilih properti logaritma yang diinginkan, tetapi kita akan memperumit contoh secara bertahap, sampai pada titik di mana beberapa properti perlu diterapkan dalam sebuah baris untuk mendapatkan hasil akhir.

Memilih properti logaritma yang diinginkan

Ada banyak properti logaritma, dan jelas bahwa Anda harus dapat memilih yang sesuai dari mereka, yang dalam kasus khusus ini akan mengarah pada hasil yang diinginkan. Biasanya hal ini tidak sulit dilakukan dengan membandingkan bentuk logaritma atau ekspresi yang dikonversi dengan jenis bagian kiri dan kanan rumus yang menyatakan sifat-sifat logaritma. Jika sisi kiri atau kanan salah satu rumus cocok dengan logaritma atau ekspresi yang diberikan, maka kemungkinan besar properti inilah yang harus digunakan selama transformasi. Contoh-contoh berikut dengan jelas menunjukkan hal ini.

Mari kita mulai dengan contoh transformasi ekspresi menggunakan definisi logaritma, yang sesuai dengan rumus a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 .

Contoh.

Hitung, jika mungkin: a) 5 log 5 4 , b) 10 log(1+2 ) , c) , d) 2 log 2 (−7) , e) .

Keputusan.

Dalam contoh, huruf a) dengan jelas menunjukkan struktur a log a b , di mana a=5 , b=4 . Angka-angka ini memenuhi kondisi a>0 , a≠1 , b>0 , sehingga Anda dapat dengan aman menggunakan persamaan a log a b =b . Kami memiliki 5 log 5 4=4 .

b) Di sini a=10 , b=1+2 , kondisi a>0 , a≠1 , b>0 terpenuhi. Dalam hal ini, persamaan 10 lg(1+2 ) =1+2 terjadi.

c) Dan dalam contoh ini kita berurusan dengan derajat dalam bentuk a log a b , di mana dan b=ln15 . Jadi .

Meskipun termasuk dalam bentuk yang sama a log a b (di sini a=2 , b=−7 ), ekspresi di bawah huruf d) tidak dapat dikonversi dengan rumus a log a b =b . Alasannya tidak masuk akal karena mengandung angka negatif di bawah tanda logaritma. Selain itu, bilangan b=−7 tidak memenuhi kondisi b>0 , yang membuat tidak mungkin menggunakan rumus a log a b =b , karena memerlukan kondisi a>0 , a≠1 , b>0 . Jadi, kita tidak bisa berbicara tentang menghitung nilai 2 log 2 (−7) . Dalam hal ini, penulisan 2 log 2 (−7) = 7 akan menjadi kesalahan.

Demikian pula, pada contoh di bawah huruf e) tidak mungkin memberikan solusi berbentuk , karena ekspresi aslinya tidak masuk akal.

Menjawab:

a) 5 log 5 4 =4 , b) 10 log(1+2 ) =1+2 , c) , d), e) ungkapan tidak masuk akal.

Seringkali berguna untuk mengonversi bilangan positif sebagai pangkat dari beberapa bilangan non-satu positif dengan logaritma dalam eksponen. Hal ini didasarkan pada definisi yang sama dari logaritma a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 , tetapi rumus diterapkan dari kanan ke kiri, yaitu dalam bentuk b=a log a b . Misalnya, 3=e ln3 atau 5=5 log 5 5 .

Mari kita beralih menggunakan properti logaritma untuk mengubah ekspresi.

Contoh.

Tentukan nilai dari ekspresi: a) log 2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) lg1, g) log 3,75 1, h) log 5 7 1 .

Keputusan.

Dalam contoh di bawah huruf a), b) dan c), ekspresi log 2 1 , log 1 1 , log 0 1 diberikan, yang tidak masuk akal, karena basis logaritma tidak boleh berisi angka negatif, nol atau satu, karena kita telah mendefinisikan logaritma hanya untuk basis positif dan bukan satuan. Oleh karena itu, dalam contoh a) - c) tidak ada pertanyaan untuk menemukan nilai ekspresi.

Dalam semua tugas lain, jelas, di basis logaritma ada bilangan positif dan bukan satuan 7, e, 10, 3,75 dan 5 7, masing-masing, dan satuan ada di mana-mana di bawah tanda logaritma. Dan kita tahu properti dari logaritma kesatuan: log a 1=0 untuk setiap a>0 , a≠1 . Dengan demikian, nilai ekspresi b) - f) sama dengan nol.

Menjawab:

a), b), c) ungkapan tidak masuk akal, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1 =0 .

Contoh.

Hitung: a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 3 2 (5 3 2), e) log 3 (−3) , f) log 1 1 .

Keputusan.

Jelas bahwa kita harus menggunakan properti logaritma dari basis, yang sesuai dengan rumus log a a=1 untuk a>0 , a≠1 . Memang, dalam tugas di bawah semua huruf, angka di bawah tanda logaritma bertepatan dengan basisnya. Jadi, saya ingin segera mengatakan bahwa nilai dari setiap ekspresi yang diberikan adalah 1 . Namun, jangan terburu-buru menyimpulkan: dalam tugas di bawah huruf a) - d) nilai ekspresi benar-benar sama dengan satu, dan dalam tugas e) dan f) ekspresi asli tidak masuk akal, sehingga tidak bisa dikatakan bahwa nilai-nilai ekspresi ini sama dengan 1.

Menjawab:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 3 2 (5 3 2)=1, e), f) ekspresi tidak masuk akal.

Contoh.

Tentukan nilai: a) log 3 3 11 , b) , c) , d) log 10 (−10) 6 .

Keputusan.

Jelas, di bawah tanda-tanda logaritma ada beberapa derajat basis. Berdasarkan ini, kita memahami bahwa properti derajat alas berguna di sini: log a a p =p, di mana a>0, a≠1 dan p adalah bilangan real apa pun. Mempertimbangkan ini, kami memiliki hasil sebagai berikut: a) log 3 3 11 =11 , b) , di) . Apakah mungkin untuk menulis persamaan serupa untuk contoh di bawah huruf d) dari bentuk log 10 (−10) 6 =6? Tidak, Anda tidak bisa, karena log 10 (−10) 6 tidak masuk akal.

Menjawab:

a) log 3 3 11 =11, b) , di) d) ungkapan tidak masuk akal.

Contoh.

Nyatakan ekspresi sebagai jumlah atau selisih logaritma dengan basis yang sama: a) , b) , c) log((−5) (−12)) .

Keputusan.

a) Hasil kali berada di bawah tanda logaritma, dan kita mengetahui sifat logaritma dari hasil kali log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y> 0 . Dalam kasus kami, angka di basis logaritma dan angka dalam produk adalah positif, yaitu, mereka memenuhi kondisi properti yang dipilih, oleh karena itu, kami dapat menerapkannya dengan aman: .

b) Di sini kita menggunakan properti logaritma dari hasil bagi , di mana a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 . Dalam kasus kami, basis logaritma adalah angka positif e, pembilang dan penyebut adalah positif, yang berarti mereka memenuhi kondisi properti, jadi kami memiliki hak untuk menggunakan rumus yang dipilih: .

c) Pertama, perhatikan bahwa ekspresi lg((−5) (−12)) masuk akal. Tetapi pada saat yang sama, kami tidak memiliki hak untuk menerapkan rumus logaritma dari produk log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 , karena bilangan 5 dan 12 negatif dan tidak memenuhi kondisi x>0 , y>0 . Artinya, tidak mungkin untuk melakukan transformasi seperti itu: log((−5)(−12))=log(−5)+log(−12). Tapi apa yang harus dilakukan? Dalam kasus seperti itu, ekspresi asli perlu diubah sebelumnya untuk menghindari angka negatif. Kami akan berbicara secara rinci tentang kasus serupa dalam mengonversi ekspresi dengan angka negatif di bawah tanda logaritma di salah satu, tetapi untuk saat ini kami akan memberikan solusi untuk contoh ini, yang jelas sebelumnya dan tanpa penjelasan: lg((−5)(−12))=lg(5 12)=lg5+lg12.

Menjawab:

sebuah) , b) , c) lg((−5) (−12))=lg5+lg12 .

Contoh.

Sederhanakan ekspresi: a) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5, b) .

Keputusan.

Di sini kita akan dibantu oleh semua sifat yang sama dari logaritma produk dan logaritma hasil bagi yang kita gunakan pada contoh sebelumnya, hanya sekarang kita akan menerapkannya dari kanan ke kiri. Artinya, kita mengubah jumlah logaritma menjadi logaritma hasil kali, dan selisih logaritma menjadi logaritma hasil bagi. Kita punya
sebuah) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 (0,25 16 0,5)=log 3 2.
b) .

Menjawab:

sebuah) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, b) .

Contoh.

Singkirkan derajat di bawah tanda logaritma: a) log 0,7 5 11, b) , c) log 3 (−5) 6 .

Keputusan.

Sangat mudah untuk melihat bahwa kita berhadapan dengan ekspresi seperti log a b p . Properti yang sesuai dari logaritma adalah log a b p =p log a b , di mana a>0 , a≠1 , b>0 , p adalah bilangan real apa pun. Artinya, di bawah kondisi a>0 , a≠1 , b>0 dari logaritma dari log derajat a b p kita dapat pergi ke produk p·log a b . Mari kita lakukan transformasi ini dengan ekspresi yang diberikan.

a) Dalam hal ini a=0.7 , b=5 dan p=11 . Jadi log 0,7 5 11 =11 log 0,7 5 .

b) Di sini , kondisi a>0 , a≠1 , b>0 terpenuhi. Jadi

c) Ekspresi log 3 (−5) 6 memiliki struktur log yang sama a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Tetapi untuk b, kondisi b>0 tidak terpenuhi, yang membuat tidak mungkin untuk menerapkan rumus log a b p =p log a b . Jadi mengapa Anda tidak bisa menyelesaikan pekerjaan? Itu mungkin, tetapi transformasi awal ekspresi diperlukan, yang akan kita bahas secara rinci di bawah dalam paragraf di bawah judul . Solusinya akan seperti ini: log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

Menjawab:

a) log 0,7 5 11 =11 log 0,7 5 ,
b)
c) log 3 (−5) 6 =6 log 3 5 .

Cukup sering, rumus untuk logaritma derajat ketika melakukan transformasi harus diterapkan dari kanan ke kiri dalam bentuk p log a b \u003d log a b p (ini membutuhkan kondisi yang sama untuk a, b dan p). Misalnya, 3 ln5=ln5 3 dan lg2 log 2 3=log 2 3 lg2 .

Contoh.

a) Hitung nilai log 2 5 jika diketahui bahwa lg2≈0.3010 dan lg5≈0.6990. b) Tulis pecahan sebagai logaritma ke basis 3.

Keputusan.

a) Rumus untuk transisi ke basis logaritma baru memungkinkan kita untuk merepresentasikan logaritma ini sebagai rasio logaritma desimal, yang nilainya kita ketahui: . Tetap hanya untuk melakukan perhitungan, kami memiliki .

b) Di sini cukup menggunakan rumus untuk transisi ke basis baru, dan menerapkannya dari kanan ke kiri, yaitu dalam bentuk . Kita mendapatkan .

Menjawab:

a) log 2 5≈2.3223, b) .

Pada tahap ini, kita telah mempertimbangkan dengan hati-hati transformasi ekspresi paling sederhana menggunakan sifat dasar logaritma dan definisi logaritma. Dalam contoh ini, kami harus menggunakan satu properti dan tidak ada yang lain. Sekarang, dengan hati nurani yang bersih, Anda dapat beralih ke contoh yang transformasinya memerlukan penggunaan beberapa properti logaritma dan transformasi tambahan lainnya. Kami akan berurusan dengan mereka di paragraf berikutnya. Namun sebelum itu, mari kita bahas secara singkat contoh penerapan konsekuensi dari sifat dasar logaritma.

Contoh.

a) Singkirkan akar di bawah tanda logaritma. b) Ubah pecahan menjadi logaritma basis 5. c) Singkirkan pangkat di bawah tanda logaritma dan pada dasarnya. d) Hitung nilai ekspresi . e) Ganti ekspresi dengan kekuatan dengan basis 3.

Keputusan.

a) Jika kita mengingat akibat wajar dari sifat logaritma derajat , maka Anda bisa langsung menjawab: .

b) Di sini kita menggunakan rumus dari kanan ke kiri, kita punya .

c) Dalam hal ini, rumus mengarah ke hasil . Kita mendapatkan .

d) Dan di sini cukup untuk menerapkan akibat wajar yang sesuai dengan rumus . Jadi .

e) Sifat logaritma memungkinkan kita untuk mencapai hasil yang diinginkan: .

Menjawab:

sebuah) . b) . di) . G) . e) .

Menerapkan Beberapa Properti Secara Konsisten

Tugas nyata untuk mengubah ekspresi menggunakan properti logaritma biasanya lebih rumit daripada yang kita bahas di paragraf sebelumnya. Di dalamnya, sebagai aturan, hasilnya tidak diperoleh dalam satu langkah, tetapi solusinya sudah terdiri dari penerapan berurutan dari satu properti demi satu, bersama dengan transformasi identik tambahan, seperti kurung buka, pengurangan suku sejenis, pengurangan pecahan, dll. . Jadi mari kita lebih dekat dengan contoh-contoh seperti itu. Tidak ada yang rumit tentang ini, yang utama adalah bertindak dengan hati-hati dan konsisten, mengamati urutan tindakan yang dilakukan.

Contoh.

Hitung nilai ekspresi (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

Keputusan.

Selisih logaritma dalam kurung dengan sifat logaritma hasil bagi dapat diganti dengan logaritma log 3 (15:5), kemudian hitung nilainya log 3 (15:5)=log 3 3=1 . Dan nilai dari ekspresi 7 log 7 5 menurut definisi logaritma adalah 5 . Mengganti hasil ini ke dalam ekspresi asli, kita mendapatkan (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Berikut adalah solusi tanpa penjelasan:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
= log 3 3 5=1 5=5 .

Menjawab:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Contoh.

Berapakah nilai ekspresi numerik log 3 log 2 2 3 1 ?

Keputusan.

Mari kita ubah dulu logaritma, yang berada di bawah tanda logaritma, menurut rumus logaritma derajat: log 2 2 3 =3. Jadi log 3 log 2 2 3 =log 3 3 lalu log 3 3=1 . Jadi log 3 log 2 2 3 1=1−1=0 .

Menjawab:

log 3 log 2 2 3 1=0 .

Contoh.

Sederhanakan ekspresi.

Keputusan.

Rumus untuk mengonversi ke basis logaritma yang baru memungkinkan rasio logaritma ke satu basis direpresentasikan sebagai log 3 5 . Dalam hal ini, ekspresi aslinya akan berbentuk . Berdasarkan definisi logaritma 3 log 3 5 =5 , yaitu , dan nilai ekspresi yang dihasilkan, berdasarkan definisi logaritma yang sama, sama dengan dua.

Berikut adalah versi singkat dari solusi, yang biasanya diberikan: .

Menjawab:

.

Untuk transisi yang mulus ke informasi paragraf berikutnya, mari kita lihat ekspresi 5 2+log 5 3 , dan lg0.01 . Strukturnya tidak cocok dengan salah satu sifat logaritma. Jadi apa yang terjadi jika mereka tidak dapat dikonversi menggunakan properti logaritma? Hal ini dimungkinkan jika Anda melakukan transformasi awal yang mempersiapkan ekspresi ini untuk menerapkan sifat-sifat logaritma. Jadi 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, dan lg0,01=lg10 2 = 2 . Selanjutnya kita akan memahami secara rinci bagaimana persiapan ekspresi tersebut dilakukan.

Mempersiapkan ekspresi untuk menerapkan sifat-sifat logaritma

Logaritma dalam ekspresi yang dikonversi sangat sering berbeda dalam struktur notasi dari bagian kiri dan kanan rumus yang sesuai dengan sifat-sifat logaritma. Tetapi sama seringnya, transformasi ekspresi ini melibatkan penggunaan sifat-sifat logaritma: penggunaannya hanya memerlukan persiapan awal. Dan persiapan ini terdiri dari melakukan transformasi identik tertentu yang membawa logaritma ke bentuk yang nyaman untuk menerapkan properti.

Sejujurnya, kami mencatat bahwa hampir semua transformasi ekspresi dapat bertindak sebagai transformasi awal, dari pengurangan dangkal istilah serupa hingga penggunaan rumus trigonometri. Ini dapat dimengerti, karena ekspresi yang dikonversi dapat berisi objek matematika apa pun: tanda kurung, modul, pecahan, akar, derajat, dll. Jadi, seseorang harus siap untuk melakukan transformasi apa pun yang diperlukan untuk mendapatkan manfaat lebih lanjut dari sifat-sifat logaritma.

Katakanlah segera bahwa di bagian ini kita tidak menetapkan sendiri tugas untuk mengklasifikasikan dan menganalisis semua transformasi awal yang memungkinkan kita untuk menerapkan sifat-sifat logaritma atau definisi logaritma di masa depan. Di sini kita akan fokus hanya pada empat di antaranya, yang paling khas dan paling sering ditemui dalam praktik.

Dan sekarang secara rinci tentang masing-masing dari mereka, setelah itu, dalam kerangka topik kita, tetap hanya berurusan dengan transformasi ekspresi dengan variabel di bawah tanda-tanda logaritma.

Pemilihan pangkat di bawah tanda logaritma dan basisnya

Mari kita mulai segera dengan sebuah contoh. Mari kita memiliki logaritma. Jelas, dalam bentuk ini, strukturnya tidak kondusif untuk penggunaan sifat-sifat logaritma. Apakah mungkin untuk mengubah ekspresi ini untuk menyederhanakannya, atau bahkan menghitung nilainya dengan lebih baik? Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita lihat lebih dekat angka 81 dan 1/9 dalam konteks contoh kita. Sangat mudah untuk melihat di sini bahwa angka-angka ini dapat direpresentasikan sebagai pangkat 3 , memang, 81=3 4 dan 1/9=3 2 . Dalam hal ini, logaritma asli disajikan dalam bentuk dan menjadi mungkin untuk menerapkan rumus . Jadi, .

Analisis contoh yang dianalisis memunculkan gagasan berikut: jika memungkinkan, Anda dapat mencoba menyorot derajat di bawah tanda logaritma dan pada dasarnya untuk menerapkan properti logaritma derajat atau konsekuensinya. Tetap hanya untuk mencari tahu bagaimana memilih derajat-derajat ini. Kami akan memberikan beberapa rekomendasi tentang masalah ini.

Kadang-kadang cukup jelas bahwa angka di bawah tanda logaritma dan / atau di basisnya mewakili beberapa kekuatan bilangan bulat, seperti pada contoh yang dibahas di atas. Hampir selalu Anda harus berurusan dengan pangkat dua, yang sangat familiar: 4=2 2 , 8=2 3 , 16=2 4 , 32=2 5 , 64=2 6 , 128=2 7 , 256=2 8 , 512= 2 9 , 1024=2 10 . Hal yang sama dapat dikatakan tentang derajat rangkap tiga: 9=3 2 , 27=3 3 , 81=3 4 , 243=3 5 , ... Secara umum, tidak ada salahnya jika ada tabel pangkat bilangan asli dalam waktu sepuluh. Juga tidak sulit untuk bekerja dengan kekuatan bilangan bulat sepuluh, ratus, ribu, dll.

Contoh.

Hitung nilainya atau sederhanakan ekspresinya: a) log 6 216 , b) , c) log 0,000001 0,001 .

Keputusan.

a) Jelas, 216=6 3 , jadi log 6 216=log 6 6 3 =3 .

b) Tabel pangkat bilangan asli memungkinkan kita untuk menyatakan bilangan 343 dan 1/243 sebagai pangkat dari 7 3 dan 3 4, masing-masing. Oleh karena itu, transformasi logaritma berikut ini dimungkinkan:

c) Karena 0,000001=10 6 dan 0,001=10 3, maka log 0,000001 0,001=log 10 6 10 3 =(−3)/(−6)=1/2.

Menjawab:

a) log 6 216=3, b) , c) log 0,000001 0,001=1/2 .

Dalam kasus yang lebih kompleks, untuk menyoroti kekuatan angka, Anda harus menggunakan.

Contoh.

Ubah ekspresi ke bentuk yang lebih sederhana log 3 648 log 2 3 .

Keputusan.

Mari kita lihat apa penguraian bilangan 648 menjadi faktor prima:

Yaitu, 648=2 3 3 4 . Dengan demikian, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Sekarang kita mengubah logaritma produk menjadi jumlah logaritma, setelah itu kita menerapkan sifat-sifat logaritma derajat:
log 3 (2 3 3 4) log 2 3=(log 3 2 3 + log 3 3 4) log 2 3=
=(3 log 3 2+4) log 2 3 .

Berdasarkan akibat wajar dari properti logaritma derajat, yang sesuai dengan rumus , produk log32 log23 adalah produk , dan diketahui sama dengan satu. Mempertimbangkan ini, kita mendapatkan 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.

Menjawab:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Cukup sering, ekspresi di bawah tanda logaritma dan basisnya adalah produk atau rasio dari akar dan / atau kekuatan dari beberapa angka, misalnya, , . Ekspresi serupa dapat direpresentasikan sebagai gelar. Untuk melakukan ini, transisi dari akar ke derajat dilakukan, dan dan diterapkan. Transformasi ini memungkinkan Anda untuk memilih derajat di bawah tanda logaritma dan di dasarnya, dan kemudian menerapkan sifat-sifat logaritma.

Contoh.

Hitung: a) , b).

Keputusan.

a) Ekspresi dalam basis logaritma adalah produk dari kekuatan dengan basis yang sama, dengan properti yang sesuai dari kekuatan yang kita miliki 5 2 5 0,5 5 1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Sekarang mari kita ubah pecahan di bawah tanda logaritma: mari kita pindah dari akar ke derajat, setelah itu kita akan menggunakan properti rasio derajat dengan basis yang sama: .

Tetap mengganti hasil yang diperoleh ke dalam ekspresi asli, gunakan rumus dan selesaikan transformasi:

b) Sejak 729=3 6 , dan 1/9=3 2 , ekspresi aslinya dapat ditulis ulang sebagai .

Selanjutnya, terapkan sifat akar pangkat, pindah dari akar ke pangkat, dan gunakan sifat rasio pangkat untuk mengubah basis logaritma menjadi pangkat: .

Mempertimbangkan hasil terakhir, kami memiliki .

Menjawab:

sebuah) , b).

Jelas bahwa dalam kasus umum, untuk mendapatkan kekuatan di bawah tanda logaritma dan di basisnya, berbagai transformasi dari berbagai ekspresi mungkin diperlukan. Mari kita berikan beberapa contoh.

Contoh.

Berapakah nilai dari ekspresi: a) , b) .

Keputusan.

Selanjutnya, kita perhatikan bahwa ekspresi yang diberikan memiliki bentuk log A B p , di mana A=2 , B=x+1 dan p=4 . Kami mengubah ekspresi numerik semacam ini sesuai dengan properti logaritma dari log derajat a b p \u003d p log a b, oleh karena itu, dengan ekspresi yang diberikan, saya ingin melakukan hal yang sama, dan beralih dari log 2 (x + 1) 4 ke 4 log 2 (x + 1) . Dan sekarang mari kita hitung nilai ekspresi asli dan ekspresi yang diperoleh setelah transformasi, misalnya dengan x=−2 . Kami memiliki log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , dan 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- ekspresi yang tidak berarti. Ini menimbulkan pertanyaan yang sah: "Apa yang kita lakukan salah"?

Dan alasannya adalah sebagai berikut: kami melakukan transformasi log 2 (x+1) 4 =4 log 2 (x+1) , berdasarkan rumus log a b p =p log a b , tetapi kami hanya berhak menerapkan rumus ini jika kondisi a >0 , a≠1 , b>0 , p - sembarang bilangan real. Artinya, transformasi yang telah kita lakukan terjadi jika x+1>0 , yang sama dengan x>−1 (untuk A dan p, kondisi terpenuhi). Namun, dalam kasus kami, ODZ dari variabel x untuk ekspresi asli tidak hanya terdiri dari interval x> 1 , tetapi juga interval x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Kebutuhan untuk mempertimbangkan ODZ

Mari kita lanjutkan untuk menganalisis transformasi dari ekspresi log 2 (x+1) 4 yang telah kita pilih, dan sekarang mari kita lihat apa yang terjadi pada ODZ ketika meneruskan ke ekspresi 4 log 2 (x+1) . Di paragraf sebelumnya, kami menemukan ODZ dari ekspresi asli - ini adalah himpunan (−∞, 1)∪(−1, +∞) . Sekarang mari kita cari luas nilai yang dapat diterima dari variabel x untuk ekspresi 4 log 2 (x+1) . Ini ditentukan oleh kondisi x+1>0 , yang sesuai dengan himpunan (−1, +∞) . Jelas bahwa ketika beralih dari log 2 (x+1) 4 ke 4·log 2 (x+1), kisaran nilai yang dapat diterima menyempit. Dan kami sepakat untuk menghindari reformasi yang mengarah pada penyempitan ODZ, karena dapat menimbulkan berbagai konsekuensi negatif.

Di sini perlu dicatat sendiri bahwa berguna untuk mengontrol ODZ pada setiap langkah transformasi dan tidak membiarkannya menyempit. Dan jika tiba-tiba pada suatu tahap transformasi terjadi penyempitan ODZ, maka ada baiknya melihat dengan sangat hati-hati apakah transformasi ini diperbolehkan dan apakah kita berhak untuk melakukannya.

Sejujurnya, kami mengatakan bahwa dalam praktiknya kami biasanya harus bekerja dengan ekspresi di mana ODZ variabel sedemikian rupa sehingga memungkinkan kami untuk menggunakan properti logaritma tanpa batasan dalam bentuk yang sudah kami ketahui, baik dari kiri ke kanan maupun dari kanan ke kiri, saat melakukan transformasi. Anda dengan cepat terbiasa dengan ini, dan Anda mulai melakukan transformasi secara mekanis, tanpa memikirkan apakah mungkin untuk melakukannya. Dan pada saat-saat seperti itu, seperti yang diharapkan, contoh yang lebih kompleks lolos, di mana penerapan properti logaritma yang tidak akurat menyebabkan kesalahan. Jadi Anda harus selalu waspada, dan pastikan tidak ada penyempitan ODZ.

Tidak ada salahnya untuk secara terpisah menyoroti transformasi utama berdasarkan sifat-sifat logaritma, yang harus dilakukan dengan sangat hati-hati, yang dapat menyebabkan penyempitan DPV, dan akibatnya, kesalahan:

Beberapa transformasi ekspresi sesuai dengan sifat logaritma juga dapat menyebabkan kebalikannya - perluasan ODZ. Misalnya, dari 4 log 2 (x+1) ke log 2 (x+1) 4 memperluas ODZ dari himpunan (−1, +∞) ke (−∞, 1)∪(−1, +∞ ) . Transformasi seperti itu terjadi jika Anda tetap berada di dalam ODZ untuk ekspresi aslinya. Jadi transformasi yang baru saja disebutkan 4 log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 terjadi pada variabel ODZ x untuk ekspresi asli 4 log 2 (x+1) , yaitu ketika x+1> 0 , yang sama dengan (−1, +∞) .

Sekarang kita telah membahas nuansa yang perlu Anda perhatikan saat mengonversi ekspresi dengan variabel menggunakan properti logaritma, masih mencari tahu bagaimana konversi ini harus dilakukan dengan benar.

X+2>0 . Apakah itu berhasil dalam kasus kami? Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita lihat DPV variabel x. Itu ditentukan oleh sistem ketidaksetaraan , yang setara dengan kondisi x+2>0 (jika perlu, lihat artikel solusi sistem pertidaksamaan). Dengan demikian, kita dapat dengan aman menerapkan properti logaritma derajat.

Kita punya
3 log(x+2) 7 log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3 7 log(x+2)−log(x+2)−5 4 log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)lg(x+2)=0 .

Anda dapat bertindak secara berbeda, karena ODZ memungkinkan Anda melakukan ini, misalnya seperti ini:

Menjawab:

3 log(x+2) 7 log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Dan apa yang harus dilakukan ketika kondisi yang terkait dengan properti logaritma tidak terpenuhi di ODZ? Kami akan menangani ini dengan contoh.

Mari kita diminta untuk menyederhanakan ekspresi lg(x+2) 4 lg(x+2) 2 . Transformasi ekspresi ini, tidak seperti ekspresi dari contoh sebelumnya, tidak memungkinkan penggunaan gratis properti logaritma derajat. Mengapa? ODZ dari variabel x dalam hal ini adalah gabungan dari dua interval x>−2 dan x<−2 . При x>2 kita dapat dengan aman menerapkan properti logaritma derajat dan melanjutkan seperti pada contoh di atas: log(x+2) 4 log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Tetapi ODZ berisi interval lain x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 log(−|x+2|) 2 dan selanjutnya, karena sifat daya lg|x+2| 4−lg|x+2| 2. Ekspresi yang dihasilkan dapat diubah sesuai dengan properti logaritma derajat, karena |x+2|>0 untuk setiap nilai variabel. Kita punya log|x+2| 4−lg|x+2| 2 =4 log|x+2|−2 log|x+2|=2 log|x+2|. Sekarang Anda dapat menyingkirkan modul, karena modul tersebut telah melakukan tugasnya. Karena kita mentransformasikannya di x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Mari kita pertimbangkan satu contoh lagi untuk membuat bekerja dengan modul menjadi familiar. Mari kita bayangkan dari ekspresi lulus ke jumlah dan perbedaan logaritma dari binomial linier x−1 , x−2 dan x−3 . Pertama kita temukan ODZnya:

Pada interval (3, +∞), nilai ekspresi x−1 , x−2 dan x−3 adalah positif, sehingga kita dapat dengan aman menerapkan sifat-sifat logaritma dari jumlah dan selisih:

Dan pada interval (1, 2), nilai ekspresi x−1 positif, dan nilai ekspresi x−2 dan x−3 negatif. Oleh karena itu, pada interval yang ditinjau, kami menyatakan x−2 dan x−3 menggunakan modulo sebagai |x−2| dan |x−3| masing-masing. Di mana

Sekarang kita dapat menerapkan sifat-sifat logaritma produk dan hasil bagi, karena pada interval yang dipertimbangkan (1, 2) nilai-nilai ekspresi x−1 , |x−2| dan |x−3| - positif.

Kita punya

Hasil yang diperoleh dapat digabungkan:

Secara umum, penalaran serupa memungkinkan, berdasarkan rumus untuk logaritma produk, rasio, dan derajat, untuk memperoleh tiga hasil praktis yang berguna yang cukup nyaman untuk digunakan:

• Logaritma produk dari dua ekspresi arbitrer X dan Y dari bentuk log a (X·Y) dapat diganti dengan jumlah logaritma log a |X|+log a |Y| , a>0 , a≠1 .
• Log logaritma khusus a (X:Y) dapat diganti dengan selisih logaritma a |X|−log a |Y| , a>0 , a≠1 , X dan Y adalah ekspresi arbitrer.
• Dari logaritma dari beberapa ekspresi B ke pangkat genap p dari bentuk log a B p, seseorang dapat meneruskan ke ekspresi p log a |B| , di mana a>0 , a≠1 , p adalah bilangan genap dan B adalah ekspresi arbitrer.

Hasil serupa diberikan, misalnya, dalam instruksi untuk memecahkan persamaan eksponensial dan logaritmik dalam kumpulan masalah matematika untuk pelamar ke universitas, diedit oleh M. I. Skanavi.

Contoh.

Sederhanakan ekspresi .

Keputusan.

Akan lebih baik untuk menerapkan sifat-sifat logaritma derajat, jumlah dan perbedaan. Tapi bisakah kita melakukannya di sini? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita perlu mengetahui ODZ.

Mari kita definisikan:

Sangat jelas bahwa ekspresi x+4 , x−2 dan (x+4) 13 pada kisaran nilai yang mungkin dari variabel x dapat mengambil nilai positif dan negatif. Oleh karena itu, kita harus bekerja melalui modul.

Properti modul memungkinkan Anda untuk menulis ulang sebagai , jadi

Juga, tidak ada yang mencegah Anda menggunakan properti logaritma derajat, dan kemudian membawa suku-suku serupa:

Urutan transformasi lain mengarah ke hasil yang sama:

dan karena ekspresi x−2 dapat mengambil nilai positif dan negatif pada ODZ, saat mengambil eksponen genap 14

Jenis pelajaran: pelajaran generalisasi dan sistematisasi pengetahuan

Sasaran:

• untuk memperbarui pengetahuan siswa tentang logaritma dan sifat-sifatnya sebagai bagian dari pengulangan generalisasi dan persiapan untuk ujian;
• untuk mempromosikan pengembangan aktivitas mental siswa, keterampilan menerapkan pengetahuan teoretis saat melakukan latihan;
• untuk mempromosikan pengembangan kualitas pribadi siswa, keterampilan pengendalian diri dan penilaian diri dari kegiatan mereka; menumbuhkan ketekunan, kesabaran, ketekunan, kemandirian.

Peralatan: komputer, proyektor, presentasi (Lampiran 1), kartu dengan pekerjaan rumah (Anda dapat melampirkan file dengan tugas di buku harian elektronik).

Selama kelas

I. Momen organisasi. Halo, bersiaplah untuk pelajaran.

II. Diskusi pekerjaan rumah.

AKU AKU AKU. Pesan tentang topik dan tujuan pelajaran. Motivasi.(Slide 1) Presentasi.

Kami melanjutkan pengulangan umum kursus matematika dalam persiapan untuk ujian. Dan hari ini dalam pelajaran kita akan berbicara tentang logaritma dan propertinya.

Tugas untuk perhitungan logaritma dan transformasi ekspresi logaritma selalu ada dalam bahan kontrol dan pengukuran tingkat dasar dan profil. Oleh karena itu, tujuan pelajaran kita adalah untuk mengembalikan ide tentang arti dari konsep "logaritma" dan memperbarui keterampilan mengonversi ekspresi logaritma. Tuliskan topik pelajaran di buku catatan Anda.

IV. Pembaruan pengetahuan.

1. /secara lisan/ Pertama, mari kita ingat apa yang disebut logaritma. (Slide 2)

(Logaritma dari angka positif b ke basis a (di mana a > 0, a? 1) adalah eksponen yang Anda perlukan untuk menaikkan angka a untuk mendapatkan angka b)

Log a b = n<->a n \u003d b, (a> 0, a 1, b> 0)

Jadi, "LOGARIFM" adalah "EKSPONEN"!

(Slide 3) Maka a n = b dapat ditulis ulang sebagai = b adalah identitas logaritma utama.

Jika basis a \u003d 10, maka logaritma disebut desimal dan dilambangkan lgb.

Jika a \u003d e, maka logaritmanya disebut natural dan dilambangkan dengan lnb.

2. /Tertulis/ (Slide 4) Isi celah untuk mendapatkan persamaan yang benar:

catatan? x + Log a ? = Log? (?y)

log a? - Catatan ? y = Log ? (x/?)

Masuk x ? = pLog ? (?)

Penyelidikan:

satu; satu; a,y,x; x,a,a,y; p, a, x.

Ini adalah sifat-sifat logaritma. Dan grup properti lainnya: (Slide 5)

Penyelidikan:

a,1,n,x; n,x,p,a; x,b,a,y; a,x,b; a,1,b.

V. Karya lisan

(Slide 6) nomor 1. Menghitung:

a B C D); e) .

jawaban : a) 4; b) - 2; dalam 2; d) 7; e) 27.

(Slide 7) 2. Temukan X:

sebuah) ; b) (Jawaban: a) 1/4; b)9).

Nomor 3. Apakah masuk akal untuk mempertimbangkan logaritma seperti itu:

sebuah) ; b) ; di) ? (Bukan)

VI. Bekerja mandiri dalam kelompok, siswa yang kuat - konsultan. (Slide 8)

#1 Hitung: .

#2 Sederhanakan:

No. 3. Temukan nilai ekspresi jika

#4 Sederhanakan ekspresi:

#5 Hitung:

#6 Hitung:

#7 Hitung:

#8 Hitung:

Setelah selesai - verifikasi dan diskusi tentang solusi yang disiapkan atau dengan bantuan kamera dokumen.

VII. Memecahkan tugas dengan kompleksitas yang meningkat(seorang siswa yang kuat ada di papan tulis, sisanya ada di buku catatan) (Slide 9)

Temukan nilai ekspresi:

VIII. Pekerjaan rumah (di atas kartu) dibedakan.(Slide 10)

nomor 1. Menghitung:

Petunjuk

Tuliskan ekspresi logaritma yang diberikan. Jika ekspresi menggunakan logaritma 10, maka notasinya dipersingkat dan terlihat seperti ini: lg b adalah logaritma desimal. Jika logaritma memiliki angka e sebagai basis, maka ekspresinya ditulis: ln b adalah logaritma natural. Dapat dipahami bahwa hasil dari sembarang adalah pangkat yang harus dipangkatkan bilangan dasarnya untuk mendapatkan bilangan b.

Saat menemukan dua fungsi dari jumlah, Anda hanya perlu membedakannya satu per satu, dan menambahkan hasilnya: (u+v)" = u"+v";

Ketika menemukan turunan dari produk dua fungsi, turunan dari fungsi pertama harus dikalikan dengan fungsi kedua dan turunan dari fungsi kedua dikalikan dengan fungsi pertama: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Untuk menemukan turunan dari hasil bagi dua fungsi, dari hasil kali turunan dikalikan dengan fungsi pembagi, perlu untuk mengurangkan produk turunan dari pembagi dikalikan dengan fungsi pembagi, dan membagi semua ini dengan fungsi pembagi kuadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jika suatu fungsi kompleks diberikan, maka turunan dari fungsi dalam dan turunan luar harus dikalikan. Misalkan y=u(v(x)), lalu y"(x)=y"(u)*v"(x).

Dengan menggunakan yang diperoleh di atas, Anda dapat membedakan hampir semua fungsi. Jadi mari kita lihat beberapa contoh:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Ada juga tugas untuk menghitung turunan pada suatu titik. Biarkan fungsi y=e^(x^2+6x+5) diberikan, Anda perlu mencari nilai fungsi di titik x=1.
1) Temukan turunan dari fungsi: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Hitung nilai fungsi pada titik yang diberikan y"(1)=8*e^0=8

Video Terkait

Saran yang bermanfaat

Pelajari tabel turunan dasar. Ini akan menghemat banyak waktu.

Sumber:

• turunan konstan

Jadi apa perbedaan antara persamaan irasional dan persamaan rasional? Jika variabel yang tidak diketahui berada di bawah tanda akar kuadrat, maka persamaan tersebut dianggap irasional.

Petunjuk

Metode utama untuk menyelesaikan persamaan tersebut adalah metode menaikkan kedua sisi persamaan menjadi persegi. Namun. ini wajar, langkah pertama adalah menyingkirkan tanda itu. Secara teknis, metode ini tidak sulit, tetapi terkadang dapat menyebabkan masalah. Misalnya, persamaan v(2x-5)=v(4x-7). Dengan mengkuadratkan kedua sisi, Anda mendapatkan 2x-5=4x-7. Persamaan seperti itu tidak sulit untuk dipecahkan; x=1. Tapi nomor 1 tidak akan diberikan persamaan. Mengapa? Substitusikan satuan dalam persamaan sebagai ganti nilai x. Dan ruas kanan dan kiri akan berisi ekspresi yang tidak masuk akal, yaitu. Nilai seperti itu tidak valid untuk akar kuadrat. Oleh karena itu, 1 adalah akar asing, dan oleh karena itu persamaan ini tidak memiliki akar.

Jadi, persamaan irasional diselesaikan menggunakan metode kuadratkan kedua bagiannya. Dan setelah menyelesaikan persamaan, perlu untuk memotong akar asing. Untuk melakukan ini, substitusikan akar yang ditemukan dalam persamaan asli.

Pertimbangkan satu lagi.
2x+vx-3=0
Tentu saja, persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan yang sama seperti sebelumnya. senyawa transfer persamaan, yang tidak memiliki akar kuadrat, ke sisi kanan dan kemudian menggunakan metode kuadrat. selesaikan persamaan dan akar rasional yang dihasilkan. Tapi satu lagi, yang lebih elegan. Masukkan variabel baru; vx=y. Dengan demikian, Anda akan mendapatkan persamaan seperti 2y2+y-3=0. Itu adalah persamaan kuadrat biasa. Temukan akarnya; y1=1 dan y2=-3/2. Selanjutnya, selesaikan dua persamaan vx=1; vx \u003d -3/2. Persamaan kedua tidak memiliki akar, dari persamaan pertama kita temukan bahwa x=1. Jangan lupa tentang perlunya memeriksa akarnya.

Memecahkan identitas cukup mudah. Ini membutuhkan membuat transformasi identik sampai tujuan tercapai. Jadi, dengan bantuan operasi aritmatika paling sederhana, tugas akan diselesaikan.

Anda akan perlu

• - kertas;
• - pena.

Petunjuk

Transformasi yang paling sederhana adalah perkalian singkatan aljabar (seperti kuadrat jumlah (selisih), selisih kuadrat, jumlah (selisih), pangkat tiga jumlah (selisih)). Selain itu, ada banyak rumus trigonometri yang pada dasarnya adalah identitas yang sama.

Memang, kuadrat dari jumlah dua istilah sama dengan kuadrat dari yang pertama ditambah dua kali produk yang pertama dan yang kedua ditambah kuadrat dari yang kedua, yaitu, (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Sederhanakan Keduanya

Prinsip umum solusi

Ulangi dari buku teks tentang analisis matematika atau matematika yang lebih tinggi, yang merupakan integral tertentu. Seperti yang Anda ketahui, solusi integral tertentu adalah fungsi yang turunannya akan menghasilkan integran. Fungsi ini disebut antiturunan. Menurut prinsip ini, integral dasar dibangun.
Tentukan dengan bentuk integran dan integral tabel mana yang cocok dalam kasus ini. Tidak selalu mungkin untuk menentukan ini segera. Seringkali, bentuk tabel menjadi terlihat hanya setelah beberapa transformasi untuk menyederhanakan integran.

Metode substitusi variabel

Jika integran adalah fungsi trigonometri yang argumennya polinomial, maka coba gunakan metode perubahan variabel. Untuk melakukannya, ganti polinomial dalam argumen integran dengan beberapa variabel baru. Berdasarkan rasio antara variabel baru dan lama, tentukan batas-batas integrasi yang baru. Dengan mendiferensiasikan ekspresi ini, temukan diferensial baru di . Dengan demikian, Anda akan mendapatkan bentuk baru dari integral lama, dekat atau bahkan sesuai dengan salah satu tabel.

Solusi integral jenis kedua

Jika integral tersebut merupakan integral jenis kedua, bentuk vektor dari integral tersebut, maka Anda perlu menggunakan aturan untuk berpindah dari integral ini ke integral skalar. Salah satu aturan tersebut adalah rasio Ostrogradsky-Gauss. Hukum ini memungkinkan untuk berpindah dari aliran rotor dari beberapa fungsi vektor ke integral rangkap tiga melalui divergensi dari medan vektor yang diberikan.

Substitusi limit integrasi

Setelah menemukan antiturunan, perlu untuk mensubstitusikan batas-batas integrasi. Pertama, substitusikan nilai batas atas ke dalam ekspresi antiturunan. Anda akan menerima beberapa nomor. Selanjutnya, kurangi dari angka yang dihasilkan angka lain, batas bawah yang dihasilkan untuk antiturunan. Jika salah satu batas integrasi adalah tak hingga, maka ketika mensubstitusikannya ke dalam fungsi antiturunan, perlu untuk pergi ke batas dan menemukan apa ekspresi cenderung.
Jika integralnya dua dimensi atau tiga dimensi, maka Anda harus menyatakan batas geometrik integrasi untuk memahami cara menghitung integral tersebut. Lagi pula, dalam kasus, katakanlah, integral tiga dimensi, batas-batas integrasi dapat berupa seluruh bidang yang membatasi volume yang akan diintegrasikan.