sejajar=tengah>

Trigonometri- bagian mikro matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan panjang sisi segitiga, serta identitas aljabar fungsi trigonometri.
Ada banyak area di mana fungsi trigonometri dan trigonometri diterapkan. Fungsi trigonometri atau trigonometri digunakan dalam astronomi, navigasi laut dan udara, akustik, optik, elektronik, arsitektur, dan bidang lainnya.

Sejarah penciptaan trigonometri

Sejarah trigonometri, sebagai ilmu tentang hubungan antara sudut dan sisi segitiga dan bentuk geometris lainnya, mencakup lebih dari dua milenium. Sebagian besar hubungan ini tidak dapat diekspresikan menggunakan operasi aljabar biasa, dan oleh karena itu perlu untuk memperkenalkan fungsi trigonometri khusus, yang awalnya disajikan dalam bentuk tabel numerik.
Sejarawan percaya bahwa trigonometri diciptakan oleh para astronom kuno, dan beberapa saat kemudian mulai digunakan dalam arsitektur. Seiring waktu, ruang lingkup trigonometri terus berkembang, hari ini mencakup hampir semua ilmu alam, teknologi, dan sejumlah bidang kegiatan lainnya.

Abad-abad awal

Dari matematika Babilonia, kita terbiasa mengukur sudut dalam derajat, menit, dan detik (pengenalan satuan ini ke dalam matematika Yunani kuno biasanya dikaitkan dengan abad ke-2 SM).

Pencapaian utama periode ini adalah rasio kaki dan sisi miring dalam segitiga siku-siku, yang kemudian disebut teorema Pythagoras.

Yunani kuno

Sebuah presentasi umum dan logis koheren hubungan trigonometri muncul dalam geometri Yunani kuno. Matematikawan Yunani belum memilih trigonometri sebagai ilmu yang terpisah, bagi mereka itu adalah bagian dari astronomi.
Pencapaian utama teori trigonometri kuno adalah solusi dalam bentuk umum dari masalah "menyelesaikan segitiga", yaitu, menemukan elemen segitiga yang tidak diketahui, berdasarkan tiga elemen yang diberikannya (di mana setidaknya satu adalah a samping).
Masalah trigonometri yang diterapkan sangat beragam - misalnya, hasil operasi yang dapat diukur pada jumlah yang terdaftar (misalnya, jumlah sudut atau rasio panjang sisi) dapat diatur.
Sejalan dengan perkembangan trigonometri bidang, orang-orang Yunani, di bawah pengaruh astronomi, memajukan trigonometri bola jauh. Dalam "Prinsip" Euclid tentang topik ini, hanya ada teorema tentang rasio volume bola dengan diameter berbeda, tetapi kebutuhan astronomi dan kartografi menyebabkan perkembangan pesat trigonometri bola dan bidang terkait - sistem koordinat langit, teori proyeksi kartografi, dan teknologi instrumen astronomi.

Abad Pertengahan

Pada abad IV, setelah kematian ilmu pengetahuan kuno, pusat perkembangan matematika pindah ke India. Mereka mengubah beberapa konsep trigonometri, membawanya lebih dekat ke konsep modern: misalnya, mereka yang pertama kali menggunakan kosinus.

Risalah khusus pertama tentang trigonometri adalah karya ilmuwan Asia Tengah (abad X-XI) "Kitab Kunci Ilmu Astronomi" (995-996). Seluruh kursus trigonometri berisi karya utama Al-Biruni - "The Canon of Mas'ud" (Buku III). Selain tabel sinus (dengan langkah 15 "), Al-Biruni memberikan tabel garis singgung (dengan langkah 1 °).

Setelah risalah Arab diterjemahkan ke dalam bahasa Latin pada abad XII-XIII, banyak ide matematikawan India dan Persia menjadi milik sains Eropa. Rupanya, kenalan pertama orang Eropa dengan trigonometri terjadi berkat zij, dua terjemahan yang dibuat pada abad ke-12.

Karya Eropa pertama yang didedikasikan sepenuhnya untuk trigonometri sering disebut Empat Risalah tentang Akord Langsung dan Terbalik oleh astronom Inggris Richard dari Patrick (sekitar tahun 1320). Tabel trigonometri, sering diterjemahkan dari bahasa Arab, tetapi terkadang asli, terdapat dalam karya sejumlah penulis lain dari abad ke-14-15. Kemudian trigonometri mengambil tempat di antara kursus universitas.

waktu baru

Perkembangan trigonometri di zaman modern telah menjadi sangat penting tidak hanya untuk astronomi dan astrologi, tetapi juga untuk aplikasi lain, terutama artileri, optik dan navigasi selama perjalanan laut jarak jauh. Oleh karena itu, setelah abad ke-16, banyak ilmuwan terkemuka yang membahas topik ini, termasuk Nicolaus Copernicus, Johannes Kepler, Francois Viet. Copernicus mengabdikan dua bab untuk trigonometri dalam risalahnya On the Revolutions of the Celestial Spheres (1543). Segera (1551) tabel trigonometri 15 digit dari Rheticus, seorang mahasiswa Copernicus, muncul. Kepler menerbitkan Astronomi Optik (1604).

Vieta di bagian pertama "Matematika Kanon" (1579) menempatkan berbagai tabel, termasuk yang trigonometri, dan di bagian kedua ia memberikan rinci dan sistematis, meskipun tanpa bukti, presentasi bidang dan trigonometri bola. Pada tahun 1593 Vieta menyiapkan edisi yang diperluas dari pekerjaan modal ini.
Berkat karya Albrecht Dürer, sebuah sinusoid lahir.

abad ke 18

Dia memberikan tampilan modern pada trigonometri. Dalam Pengantar Analisis Tak Terbatas (1748), Euler memberikan definisi fungsi trigonometri setara dengan yang modern dan fungsi invers didefinisikan sesuai.

Euler menganggap sudut negatif dan sudut yang lebih besar dari 360° dapat diterima, yang memungkinkan untuk menentukan fungsi trigonometri pada seluruh garis bilangan real, dan kemudian memperluasnya ke bidang kompleks. Ketika muncul pertanyaan tentang perluasan fungsi trigonometri ke sudut tumpul, tanda-tanda fungsi ini sebelum Euler sering salah dipilih; banyak ahli matematika menganggap, misalnya, kosinus dan tangen sudut tumpul sebagai positif. Euler menentukan tanda-tanda ini untuk sudut dalam kuadran koordinat yang berbeda berdasarkan rumus reduksi.
Euler tidak mempelajari teori umum deret trigonometri dan tidak mempelajari konvergensi deret yang diperoleh, tetapi ia memperoleh beberapa hasil penting. Secara khusus, ia menurunkan ekspansi pangkat bilangan bulat sinus dan kosinus.

Penerapan trigonometri

Mereka yang mengatakan bahwa trigonometri tidak diperlukan dalam kehidupan nyata adalah benar dengan caranya sendiri. Nah, apa tugas yang biasa diterapkan? Ukur jarak antara objek yang tidak dapat diakses.
Yang sangat penting adalah teknik triangulasi, yang memungkinkan untuk mengukur jarak ke bintang-bintang terdekat dalam astronomi, antara landmark dalam geografi, dan untuk mengontrol sistem navigasi satelit. Juga perlu diperhatikan adalah penerapan trigonometri di bidang-bidang seperti teknologi navigasi, teori musik, akustik, optik, analisis pasar keuangan, elektronik, teori probabilitas, statistik, biologi, kedokteran (termasuk ultrasound dan computed tomography), farmasi, kimia, teori bilangan (dan, sebagai hasilnya, kriptografi), seismologi, meteorologi, oseanologi, kartografi, banyak cabang fisika, topografi dan geodesi, arsitektur, fonetik, ekonomi, teknik elektronik, teknik mesin, grafik komputer, kristalografi, dll.
Kesimpulan: trigonometri adalah penolong besar dalam kehidupan kita sehari-hari.

Trigonometri dalam kedokteran dan biologi

Model Borritme dapat dibangun menggunakan fungsi trigonometri. Untuk membangun model bioritme, Anda harus memasukkan tanggal lahir seseorang, tanggal referensi (hari, bulan, tahun) dan durasi ramalan (jumlah hari).

Formula jantung. Sebagai hasil dari penelitian yang dilakukan oleh mahasiswa Universitas Shiraz Iran, Wahid-Reza Abbasi, untuk pertama kalinya, para dokter mampu merampingkan informasi terkait aktivitas listrik jantung, atau dengan kata lain elektrokardiografi. Rumusnya adalah persamaan aljabar-trigonometrik yang kompleks, terdiri dari 8 ekspresi, 32 koefisien dan 33 parameter utama, termasuk beberapa tambahan untuk perhitungan dalam kasus aritmia. Menurut dokter, formula ini sangat memudahkan proses penggambaran parameter utama aktivitas jantung, sehingga mempercepat diagnosis dan memulai perawatan yang sebenarnya.

Trigonometri juga membantu otak kita menentukan jarak ke objek.

1) Trigonometri membantu otak kita untuk menentukan jarak ke objek.

Ilmuwan Amerika mengklaim bahwa otak memperkirakan jarak ke objek dengan mengukur sudut antara bidang dasar dan bidang penglihatan. Sebenarnya, gagasan "mengukur sudut" bukanlah hal baru. Bahkan seniman Tiongkok Kuno melukis objek yang jauh lebih tinggi di bidang pandang, agak mengabaikan hukum perspektif. Alhazen, seorang ilmuwan Arab abad ke-11, merumuskan teori penentuan jarak dengan memperkirakan sudut. Setelah lama terlupakan di pertengahan abad terakhir, ide itu dihidupkan kembali oleh psikolog James

2)Pergerakan ikan di air terjadi sesuai dengan hukum sinus atau kosinus, jika Anda memperbaiki titik pada ekor, dan kemudian mempertimbangkan lintasan gerakan. Saat berenang, tubuh ikan berbentuk kurva yang menyerupai grafik fungsi y=tg(x)
5. Kesimpulan

Sebagai hasil dari pekerjaan penelitian:

· Saya berkenalan dengan sejarah trigonometri.

· Metode sistematis untuk memecahkan persamaan trigonometri.

· Mempelajari aplikasi trigonometri dalam arsitektur, biologi, kedokteran.

Sekolah Menengah MBOU Tselinnaya

Laporkan Trigonometri dalam kehidupan nyata

Disiapkan dan dilakukan

guru matematika

kategori kualifikasi

Ilyina V.P.

Tselinny Maret 2014

Daftar Isi.

1. Perkenalan .

2. Sejarah terciptanya trigonometri:

Abad-abad awal.

Yunani kuno.

Abad Pertengahan.

waktu baru.

Dari sejarah perkembangan geometri bola.

3. Trigonometri dan kehidupan nyata:

Penerapan trigonometri dalam navigasi.

Trigonometri dalam aljabar.

Trigonometri dalam fisika.

Trigonometri dalam kedokteran dan biologi.

Trigonometri dalam musik.

Trigonometri dalam ilmu komputer

Trigonometri dalam konstruksi dan geodesi.

4. Kesimpulan .

5. Daftar referensi.

pengantar

Sudah lama ditetapkan dalam matematika bahwa dalam studi sistematis matematika, kita siswa harus memenuhi trigonometri tiga kali. Dengan demikian, isinya tampaknya terdiri dari tiga bagian. Selama pelatihan, bagian-bagian ini terpisah satu sama lain dalam waktu dan tidak mirip satu sama lain baik dari segi makna yang ditanamkan dalam penjelasan konsep dasar, maupun dari segi perangkat dan fungsi layanan (aplikasi) yang dikembangkan.

Dan sebenarnya materi trigonometri pertama kali kita jumpai di kelas 8 ketika mempelajari topik “Perbandingan antara sisi dan sudut segitiga siku-siku”. Jadi kita belajar apa itu sinus, cosinus dan tangen, belajar bagaimana memecahkan segitiga datar.

Namun, beberapa waktu berlalu dan di kelas 9 kami kembali ke trigonometri lagi. Namun trigonometri ini tidak seperti yang dipelajari sebelumnya. Rasionya sekarang ditentukan dengan bantuan lingkaran (satuan setengah lingkaran), dan bukan segitiga siku-siku. Meskipun mereka masih didefinisikan sebagai fungsi sudut, sudut-sudut ini sudah besar secara sewenang-wenang.

Setelah pindah ke kelas 10, kami kembali menemukan trigonometri dan melihat bahwa itu menjadi lebih sulit, konsep ukuran radian sudut diperkenalkan, dan identitas trigonometri, dan perumusan masalah, dan interpretasi solusi mereka terlihat berbeda. Grafik fungsi trigonometri diperkenalkan. Akhirnya, persamaan trigonometri muncul. Dan semua materi ini sudah muncul di hadapan kita sebagai bagian dari aljabar, dan bukan sebagai geometri. Dan menjadi sangat menarik bagi kita untuk mempelajari sejarah trigonometri, penerapannya dalam kehidupan sehari-hari, karena penggunaan informasi sejarah oleh seorang guru matematika tidak wajib ketika menyampaikan materi pelajaran. Namun, seperti yang ditunjukkan K. A. Malygin, "... kunjungan ke masa lalu yang bersejarah menghidupkan pelajaran, memberikan relaksasi pada tekanan mental, meningkatkan minat pada materi yang dipelajari dan berkontribusi pada asimilasi yang langgeng." Selain itu, materi tentang sejarah matematika sangat luas dan menarik, karena perkembangan matematika terkait erat dengan pemecahan masalah mendesak yang muncul di semua periode keberadaan peradaban.

Setelah mempelajari tentang alasan historis munculnya trigonometri, dan setelah mempelajari bagaimana buah dari kegiatan para ilmuwan hebat memengaruhi perkembangan bidang matematika ini dan solusi masalah tertentu, kami, di antara anak sekolah, meningkatkan minat pada subjek yang dipelajari, dan kita akan melihat signifikansi praktisnya.

Tujuan proyek - pengembangan minat dalam studi topik "Trigonometri" dalam kursus aljabar dan awal analisis melalui prisma nilai yang diterapkan dari materi yang dipelajari; perluasan representasi grafis yang mengandung fungsi trigonometri; penerapan trigonometri dalam ilmu-ilmu seperti fisika, biologi, dll.

Hubungan trigonometri dengan dunia luar, pentingnya trigonometri dalam memecahkan banyak masalah praktis, kemampuan grafis fungsi trigonometri memungkinkan untuk "mewujudkan" pengetahuan anak sekolah. Ini memungkinkan Anda untuk lebih memahami kebutuhan vital akan pengetahuan yang diperoleh dalam studi trigonometri, meningkatkan minat dalam mempelajari topik ini.

Tujuan penelitian:

1. Perhatikan sejarah munculnya dan perkembangan trigonometri.

2. Tunjukkan aplikasi praktis trigonometri dalam berbagai ilmu dengan contoh-contoh nyata.

3.Jelaskan pada contoh spesifik kemungkinan penggunaan fungsi trigonometri, yang memungkinkan pengubahan fungsi "sedikit menarik" menjadi fungsi yang grafiknya memiliki tampilan yang sangat orisinal.

"Satu hal yang tetap jelas, bahwa dunia diatur dengan mengancam dan indah."

N. Rubtsov

Trigonometri - adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan panjang sisi segitiga, serta identitas aljabar fungsi trigonometri. Sulit dibayangkan, tetapi ilmu ini tidak hanya kita jumpai dalam pelajaran matematika, tetapi juga dalam kehidupan sehari-hari. Kita mungkin tidak menyadari hal ini, tetapi trigonometri ditemukan dalam ilmu-ilmu seperti fisika, biologi, memainkan peran penting dalam kedokteran, dan, yang paling menarik, bahkan musik dan arsitektur tidak dapat melakukannya tanpanya. Masalah dengan konten praktis memainkan peran penting dalam mengembangkan keterampilan untuk menerapkan dalam praktik pengetahuan teoretis yang diperoleh dalam studi matematika. Setiap siswa matematika tertarik pada bagaimana dan di mana pengetahuan yang diperoleh diterapkan. Karya ini memberikan jawaban untuk pertanyaan ini.

Sejarah penciptaan trigonometri

Abad-abad awal

Dari matematika Babilonia, kita terbiasa mengukur sudut dalam derajat, menit, dan detik (pengenalan satuan ini ke dalam matematika Yunani kuno biasanya dikaitkan dengan abad ke-2 SM).

Pencapaian utama periode ini adalah rasio kaki dan sisi miring dalam segitiga siku-siku, yang kemudian menerima nama itu.

Yunani kuno

Sebuah presentasi umum dan logis koheren hubungan trigonometri muncul dalam geometri Yunani kuno. Matematikawan Yunani belum memilih trigonometri sebagai ilmu yang terpisah, bagi mereka itu adalah bagian dari astronomi.
Pencapaian utama teori trigonometri kuno adalah solusi dalam bentuk umum dari masalah "menyelesaikan segitiga", yaitu, menemukan elemen segitiga yang tidak diketahui, berdasarkan tiga elemen yang diberikannya (di mana setidaknya satu adalah a samping).

Abad Pertengahan

Pada abad IV, setelah kematian ilmu pengetahuan kuno, pusat perkembangan matematika pindah ke India. Mereka mengubah beberapa konsep trigonometri, membawanya lebih dekat ke konsep modern: misalnya, mereka yang pertama kali menggunakan kosinus.
Risalah khusus pertama tentang trigonometri adalah karya ilmuwan Asia Tengah (abad X-XI) "Kitab Kunci Ilmu Astronomi" (995-996). Seluruh kursus trigonometri berisi karya utama Al-Biruni - "The Canon of Mas'ud" (Buku III). Selain tabel sinus (dengan langkah 15 "), Al-Biruni memberikan tabel garis singgung (dengan langkah 1 °).

Setelah risalah Arab diterjemahkan ke dalam bahasa Latin pada abad XII-XIII, banyak ide matematikawan India dan Persia menjadi milik sains Eropa. Rupanya, kenalan pertama orang Eropa dengan trigonometri terjadi berkat zij, dua terjemahan yang dibuat pada abad ke-12.

Karya Eropa pertama yang sepenuhnya dikhususkan untuk trigonometri sering disebut Four Treatises on Direct and Reversed Chords oleh seorang astronom Inggris (sekitar tahun 1320). Tabel trigonometri, sering diterjemahkan dari bahasa Arab, tetapi terkadang asli, terdapat dalam karya sejumlah penulis lain dari abad ke-14-15. Kemudian trigonometri mengambil tempat di antara kursus universitas.

waktu baru

Kata "trigonometri" pertama kali ditemukan (1505) dalam judul buku oleh teolog dan matematikawan Jerman Pitiscus. Asal kata ini adalah Yunani: segitiga, ukuran. Dengan kata lain, trigonometri adalah ilmu mengukur segitiga. Meskipun namanya muncul relatif baru-baru ini, banyak konsep dan fakta yang sekarang terkait dengan trigonometri telah diketahui dua ribu tahun yang lalu.

Konsep sinus memiliki sejarah yang panjang. Faktanya, berbagai rasio segmen segitiga dan lingkaran (dan, pada dasarnya, fungsi trigonometri) sudah ditemukan di c. SM e dalam karya-karya hebat matematikawan Yunani Kuno - Euclid, Archimedes, Apollonius dari Perga. Pada periode Romawi, hubungan ini sudah dipelajari secara sistematis oleh Menelaus (Ӏ abad SM), meskipun mereka tidak memperoleh nama khusus. Minus modern dari sebuah sudut, misalnya, dipelajari sebagai produk setengah akord, di mana sudut pusat didukung oleh suatu nilai, atau sebagai akord dari busur berlipat ganda.

Pada periode berikutnya, matematika paling aktif dikembangkan oleh para ilmuwan India dan Arab untuk waktu yang lama. diV- Vabad Secara khusus, istilah khusus muncul dalam karya-karya astronomi ilmuwan besar India Aryabhata (476-c. 550), setelah siapa satelit India pertama di Bumi dinamai.

Kemudian, nama yang lebih pendek jiva diadopsi. Matematikawan Arab diXdi. kata jiva (atau jiba) diganti dengan kata Arab jaib (tonjolan). Saat menerjemahkan teks matematika Arab ke dalamXΙΙdi. kata ini digantikan oleh sinus Latin (sinus- tikungan, kelengkungan)

Kata kosinus jauh lebih muda. Cosinus adalah singkatan dari ekspresi Latinmelengkapisinus, yaitu "sinus tambahan" (atau sebaliknya "sinus busur tambahan"; ingatkarenasebuah= dosa(90 °- sebuah)).

Berurusan dengan fungsi trigonometri, kita pada dasarnya melampaui lingkup tugas "mengukur segitiga". Oleh karena itu, ahli matematika terkenal F. Klein (1849-1925) mengusulkan untuk menyebut teori fungsi "trigonometri" sebaliknya - goniometri (sudut). Namun, nama ini tidak melekat.

Garis singgung muncul sehubungan dengan solusi masalah penentuan panjang bayangan. Tangen (serta kotangen, secan dan cosecan) diperkenalkan diXdi. Ahli matematika Arab Abu-l-Wafa, yang juga menyusun tabel pertama untuk menemukan garis singgung dan kotangen. Namun, penemuan ini tetap tidak diketahui oleh para ilmuwan Eropa untuk waktu yang lama, dan garis singgung ditemukan kembali diXIVdi. pertama oleh ilmuwan Inggris T. Braverdin, dan kemudian oleh matematikawan Jerman, astronom Regiomontanus (1467). Nama "singgung" berasal dari bahasa Latinjeruk keprok(menyentuh), muncul pada tahun 1583garis singgungditerjemahkan sebagai "menyentuh" ​​(ingat: garis singgung bersinggungan dengan lingkaran satuan)

Sebutan modernbusur dosa dan arctgmuncul pada tahun 1772 dalam karya matematikawan Wina Sherfer dan ilmuwan Prancis terkenal J.L. Lagrange, meskipun J. Bernoulli telah mempertimbangkannya sedikit lebih awal, yang menggunakan simbolisme yang berbeda. Tetapi simbol-simbol ini menjadi diterima secara umum hanya pada akhirnyaXVΙΙΙabad. Awalan "arc" berasal dari bahasa Latinarcusx, misalnya -, ini adalah sudut (atau, bisa dikatakan, busur), yang sinusnya sama denganx.

Untuk waktu yang lama, trigonometri berkembang sebagai bagian dari geometri, yaitu fakta yang sekarang kita rumuskan dalam bentuk fungsi trigonometri dirumuskan dan dibuktikan dengan bantuan konsep dan pernyataan geometri. Mungkin insentif terbesar untuk pengembangan trigonometri muncul sehubungan dengan pemecahan masalah astronomi, yang sangat menarik secara praktis (misalnya, untuk memecahkan masalah menentukan lokasi kapal, memprediksi gerhana, dll.)

Para astronom tertarik pada hubungan antara sisi dan sudut segitiga bola yang terdiri dari lingkaran besar yang terletak di atas bola. Dan perlu dicatat bahwa ahli matematika zaman kuno berhasil mengatasi masalah yang jauh lebih sulit daripada masalah dalam memecahkan segitiga bidang.

Bagaimanapun, dalam bentuk geometris, banyak rumus trigonometri yang kita kenal ditemukan dan ditemukan kembali oleh matematikawan Yunani, India, Arab kuno (walaupun rumus untuk perbedaan fungsi trigonometri hanya diketahui diXVΙv. - mereka dibawa keluar oleh matematikawan Inggris Napier untuk menyederhanakan perhitungan dengan fungsi trigonometri. Dan gambar sinusoid pertama muncul pada tahun 1634.)

Yang paling penting adalah kompilasi oleh K. Ptolemy dari tabel pertama sinus (untuk waktu yang lama disebut tabel akord): alat praktis muncul untuk memecahkan sejumlah masalah yang diterapkan, dan pertama-tama, masalah astronomi .

Ketika berhadapan dengan tabel yang sudah jadi, atau menggunakan kalkulator, kita sering tidak memikirkan fakta bahwa ada suatu masa ketika tabel belum ditemukan. Untuk mengompilasinya, perlu untuk melakukan tidak hanya sejumlah besar perhitungan, tetapi juga untuk menemukan cara untuk menyusun tabel. Tabel Ptolemy akurat hingga lima tempat desimal, inklusif.

Bentuk modern trigonometri diberikan oleh ahli matematika terbesarXVabad L. Euler (1707-1783), seorang Swiss sejak lahir, bekerja selama bertahun-tahun di Rusia dan merupakan anggota Akademi Ilmu Pengetahuan St. Petersburg. Itu Euler yang pertama kali memperkenalkan definisi terkenal dari fungsi trigonometri, mulai mempertimbangkan fungsi sudut sewenang-wenang, dan menerima rumus pengurangan. Semua ini adalah sebagian kecil dari apa yang berhasil dilakukan Euler dalam matematika selama hidup yang panjang: ia meninggalkan lebih dari 800 makalah, membuktikan banyak teorema yang telah menjadi klasik, terkait dengan bidang matematika yang paling beragam. Tetapi jika Anda mencoba untuk mengoperasikan fungsi trigonometri dalam bentuk geometris, yaitu, seperti yang dilakukan banyak generasi matematikawan sebelum Euler, maka Anda akan dapat menghargai manfaat Euler dalam sistematisasi trigonometri. Setelah Euler, trigonometri memperoleh bentuk kalkulus baru: berbagai fakta mulai dibuktikan dengan aplikasi formal rumus trigonometri, pembuktiannya menjadi jauh lebih ringkas, lebih sederhana.

Dari sejarah perkembangan geometri bola .

Telah diketahui secara luas bahwa geometri Euclidean adalah salah satu ilmu paling kuno: sudah ada diAKU AKU AKUabad sebelum masehi Karya klasik Euclid "Beginnings" muncul. Kurang terkenal adalah bahwa geometri bola hanya sedikit lebih muda. Eksposisi sistematis pertamanya mengacu padaSaya- IIabad. Dalam buku "Sphere", yang ditulis oleh matematikawan Yunani Menelaus (Sayac.), sifat-sifat segitiga bola dipelajari; terbukti, khususnya, bahwa jumlah sudut segitiga bola lebih besar dari 180 derajat. Ahli matematika Yunani lainnya Claudius Ptolemy membuat langkah maju yang besar (IIdi.). Intinya, dia adalah orang pertama yang menyusun tabel fungsi trigonometri dan memperkenalkan proyeksi stereografik.

Sama seperti geometri Euclid, geometri bola muncul ketika memecahkan masalah yang bersifat praktis, dan terutama masalah astronomi. Tugas-tugas ini diperlukan, misalnya, untuk pelancong dan navigator yang menavigasi oleh bintang-bintang. Dan karena dalam pengamatan astronomi, mudah untuk mengasumsikan bahwa Matahari dan Bulan dan bintang-bintang bergerak di sepanjang "bola langit" yang digambarkan, wajar jika pengetahuan tentang geometri bola diperlukan untuk mempelajari pergerakannya. Oleh karena itu, bukan kebetulan bahwa karya Ptolemy yang paling terkenal disebut "Konstruksi Matematika Hebat Astronomi dalam 13 Buku".

Periode terpenting dalam sejarah trigonometri bola dikaitkan dengan aktivitas para ilmuwan di Timur Tengah. Ilmuwan India berhasil memecahkan masalah trigonometri bola. Namun, metode yang dijelaskan oleh Ptolemy dan berdasarkan teorema Menelaus dari segi empat lengkap tidak digunakan oleh mereka. Dan dalam trigonometri bola, mereka menggunakan metode proyektif yang sesuai dengan yang ada di Analemma Ptolemy. Akibatnya, mereka memperoleh seperangkat aturan komputasi khusus yang memungkinkan untuk memecahkan hampir semua masalah astronomi bola. Dengan bantuan mereka, masalah seperti itu akhirnya direduksi menjadi membandingkan segitiga siku-siku datar yang serupa satu sama lain. Saat memecahkan, teori persamaan kuadrat dan metode aproksimasi berurutan sering digunakan. Contoh masalah astronomi yang dipecahkan oleh ilmuwan India menggunakan aturan yang mereka kembangkan adalah masalah yang dibahas dalam karya Panga Siddhantika oleh Varahamihira (V- VI). Ini terdiri dalam menemukan ketinggian Matahari, jika lintang tempat diketahui, deklinasi Matahari dan sudut jamnya. Sebagai hasil dari pemecahan masalah ini, setelah serangkaian konstruksi, sebuah hubungan dibuat yang setara dengan teorema kosinus modern untuk segitiga bola. Namun, relasi ini, dan relasi lain yang setara dengan teorema sinus, belum digeneralisasikan sebagai aturan yang berlaku untuk segitiga bola mana pun.

Di antara cendekiawan Timur pertama yang beralih ke pembahasan teorema Menelaus, orang harus menyebutkan saudara-saudara Bani Mussa - Muhammad, Hasan dan Ahmad, putra Musa ibn Shakir, yang bekerja di Baghdad dan belajar matematika, astronomi, dan mekanik. Tetapi karya paling awal yang bertahan pada teorema Menelaus adalah "Risalah tentang sosok garis potong" oleh siswa mereka Tsabit ibn Korra (836-901)

Risalah Tsabit ibn Korra telah sampai kepada kita dalam bahasa Arab asli. Dan dalam terjemahan LatinXIIdi. Terjemahan oleh Gerando dari Cremona (1114-1187) ini digunakan secara luas di Eropa Abad Pertengahan.

Sejarah trigonometri, sebagai ilmu tentang hubungan antara sudut dan sisi segitiga dan bentuk geometris lainnya, mencakup lebih dari dua milenium. Sebagian besar hubungan ini tidak dapat diekspresikan menggunakan operasi aljabar biasa, dan oleh karena itu perlu untuk memperkenalkan fungsi trigonometri khusus, yang awalnya disajikan dalam bentuk tabel numerik.
Sejarawan percaya bahwa trigonometri diciptakan oleh para astronom kuno, dan beberapa saat kemudian mulai digunakan dalam arsitektur. Seiring waktu, ruang lingkup trigonometri terus berkembang, hari ini mencakup hampir semua ilmu alam, teknologi, dan sejumlah bidang kegiatan lainnya.

Masalah trigonometri yang diterapkan sangat beragam - misalnya, hasil operasi yang dapat diukur pada jumlah yang terdaftar (misalnya, jumlah sudut atau rasio panjang sisi) dapat diatur.

Sejalan dengan perkembangan trigonometri bidang, orang-orang Yunani, di bawah pengaruh astronomi, memajukan trigonometri bola jauh. Dalam "Prinsip" Euclid tentang topik ini, hanya ada teorema tentang rasio volume bola dengan diameter berbeda, tetapi kebutuhan astronomi dan kartografi menyebabkan perkembangan pesat trigonometri bola dan bidang terkait - sistem koordinat langit, teori proyeksi kartografi, dan teknologi instrumen astronomi.

kursus.

Trigonometri dan kehidupan nyata

Fungsi trigonometri telah menemukan aplikasi dalam analisis matematika, fisika, ilmu komputer, geodesi, kedokteran, musik, geofisika, dan navigasi.

Penerapan trigonometri dalam navigasi

Navigasi (kata ini berasal dari bahasa Latinnavigasi- berlayar di atas kapal) - salah satu ilmu paling kuno. Tugas navigasi yang paling sederhana, seperti, misalnya, menentukan rute terpendek, memilih arah pergerakan, dihadapi oleh para navigator pertama. Saat ini, tugas-tugas ini dan lainnya harus diselesaikan tidak hanya oleh pelaut, tetapi juga oleh pilot dan astronot. Mari kita pertimbangkan beberapa konsep dan tugas navigasi secara lebih rinci.

Tugas. Koordinat geografis diketahui - lintang dan bujur titik A dan B permukaan bumi:, dan, . Diperlukan untuk menemukan jarak terpendek antara titik A dan B di sepanjang permukaan bumi (jari-jari bumi dianggap diketahui:R= 6371 km)

Keputusan. Ingat dulu bahwa garis lintang titik M permukaan bumi adalah nilai sudut yang dibentuk oleh jari-jari OM, di mana O adalah pusat Bumi, dengan bidang ekuator: , dan ke utara khatulistiwa , lintang dianggap positif, dan ke selatan - negatif

Bujur titik M adalah nilai sudut dihedral antara bidang COM dan SON, di mana C adalah Kutub Utara Bumi, dan H adalah titik yang sesuai dengan observatorium Greenwich: (di sebelah timur meridian Greenwich , bujur dianggap positif, ke barat - negatif).

Seperti yang telah diketahui, jarak terpendek antara titik A dan B di permukaan bumi adalah panjang busur yang lebih kecil dari lingkaran besar yang menghubungkan A dan B (busur semacam itu disebut ortodrom - diterjemahkan dari bahasa Yunani berarti "jalan lurus" ). Oleh karena itu, tugas kita dikurangi menjadi menentukan panjang sisi AB dari segitiga bola ABC (C adalah kutub utara).

Menerapkan notasi standar untuk elemen segitiga ABC dan sudut trihedral yang sesuai OABS, dari kondisi masalah kita menemukan: = = - , = (Gbr. 2).

Sudut C juga tidak sulit untuk dinyatakan dalam koordinat titik A dan B. Menurut definisi, , oleh karena itu, sudut C = jika , atau - jika. Mengetahui = menggunakan teorema kosinus: = + (-). Mengetahui dan, oleh karena itu, sudut, kami menemukan jarak yang diperlukan: =.

Trigonometri dalam navigasi2.

Untuk memplot haluan kapal pada peta yang dibuat dalam proyeksi Gerhard Mercator (1569), perlu untuk menentukan garis lintang. Saat berlayar di Laut Mediterania dalam arah berlayar hinggaXVIIdi. lintang tidak ditentukan. Untuk pertama kalinya, Edmond Gunther (1623) menerapkan perhitungan trigonometri dalam navigasi.

Trigonometri membantu menghitung pengaruh angin pada penerbangan pesawat. Segitiga kecepatan adalah segitiga yang dibentuk oleh vektor kecepatan udara (V), vektor angin (W), vektor kecepatan tanah (V P ). PU - sudut lintasan, SW - sudut angin, KUV - sudut angin pos.

Hubungan antar elemen segitiga kecepatan navigasi berbentuk:

V P = V karena AS + W karena UV; dosa AS = * dosa UV, tg SW =

Segitiga navigasi kecepatan diselesaikan dengan bantuan perangkat penghitung, pada penggaris navigasi dan kira-kira dalam pikiran.

Trigonometri dalam aljabar.

Berikut adalah contoh penyelesaian persamaan kompleks menggunakan substitusi trigonometri.

Diberikan persamaan

Biarlah , kita mendapatkan

;

di mana: atau

tunduk pada pembatasan, kita mendapatkan:

Trigonometri dalam fisika

Dimanapun kita harus berurusan dengan proses periodik dan osilasi - baik itu akustik, optik atau ayunan pendulum - kita berurusan dengan fungsi trigonometri. Rumus osilasi:

di mana A- amplitudo osilasi, - frekuensi sudut osilasi, - fase awal osilasi

Fase osilasi.

Ketika benda dicelupkan ke dalam air, mereka tidak berubah bentuk atau ukurannya. Seluruh rahasianya adalah efek optik yang membuat penglihatan kita melihat objek dengan cara yang berbeda. Rumus trigonometri paling sederhana dan nilai sinus sudut datang dan bias sinar memungkinkan untuk menghitung indeks bias konstan selama transisi berkas cahaya dari medium ke medium. Misalnya, pelangi terjadi karena fakta bahwa sinar matahari dibiaskan dalam tetesan air yang tersuspensi di udara sesuai dengan hukum pembiasan:

dosa α / dosa β =n 1 /n 2

di mana:

n 1 - indeks bias medium pertama
n 2 - indeks bias medium kedua

α -sudut datang, β adalah sudut bias cahaya.

Penetrasi partikel bermuatan angin matahari ke atmosfer atas planet ditentukan oleh interaksi medan magnet planet dengan angin matahari.

Gaya yang bekerja pada partikel bermuatan yang bergerak dalam medan magnet disebut gaya Lorentz. Ini sebanding dengan muatan partikel dan produk vektor medan dan kecepatan partikel.

Sebagai contoh praktis, pertimbangkan masalah fisik yang diselesaikan menggunakan trigonometri.

Tugas. Pada bidang miring yang membentuk sudut 24,5 dengan cakrawala tentang , sebuah benda bermassa 90 kg. Temukan gaya yang dengannya benda ini menekan bidang miring (yaitu, tekanan apa yang diberikan benda pada bidang ini).

Keputusan:

Setelah menentukan sumbu X dan Y, kita akan mulai membuat proyeksi gaya pada sumbu, pertama menggunakan rumus ini:

ibu = N + mg , lalu lihat gambarnya,

X : ma = 0 + mg sin24.5 0

Y: 0 = N - mg cos24.5 0

N = mg karena 24,5 0

kita mengganti massa, kita menemukan bahwa gayanya adalah 819 N.

Jawaban: 819 N

Trigonometri dalam kedokteran dan biologi

Satu dari sifat dasaralam yang hidup adalah siklus dari sebagian besar proses yang terjadi di dalamnya.

Ritme biologis, bioritmeadalah perubahan yang kurang lebih teratur dalam sifat dan intensitas proses biologis.

Irama bumi dasar- sehari-hari.

Model bioritme dapat dibangun menggunakan fungsi trigonometri.

Untuk membangun model bioritme, Anda harus memasukkan tanggal lahir seseorang, tanggal referensi (hari, bulan, tahun) dan durasi ramalan (jumlah hari).

Bahkan beberapa bagian otak disebut sinus.

Dinding sinus dibentuk oleh dura mater yang dilapisi dengan endotelium. Lumen sinus menganga, katup dan membran otot, tidak seperti vena lainnya, tidak ada. Di dalam rongga sinus terdapat septa fibrosa yang dilapisi oleh endotel. Dari sinus, darah memasuki vena jugularis interna, selain itu, ada hubungan antara sinus dan vena permukaan luar tengkorak melalui lulusan vena cadangan.

Pergerakan ikan di dalam air terjadi sesuai dengan hukum sinus atau kosinus, jika Anda memperbaiki sebuah titik di ekor, dan kemudian mempertimbangkan lintasan pergerakannya.

Saat berenang, tubuh ikan berbentuk kurva yang menyerupai grafik.

fungsi kamu= tgx.

Trigonometri dalam musik

Kami mendengar musikmp3.

Sinyal audio adalah gelombang, ini "grafiknya".

Seperti yang Anda lihat, meskipun sangat kompleks, ini adalah sinusoidal yang mematuhi hukum trigonometri.

Di Teater Seni Moskow pada musim semi 2003, presentasi album "Trigonometry" oleh grup "Night Snipers", solois Diana Arbenina berlangsung. Isi album mengungkapkan arti asli dari kata "trigonometri" - pengukuran Bumi.

Trigonometri dalam ilmu komputer

Fungsi trigonometri dapat digunakan untuk perhitungan yang tepat.

Dengan menggunakan fungsi trigonometri, Anda dapat memperkirakan apa saja

(dalam arti, "baik") berfungsi dengan mengembangkannya menjadi deret Fourier:

sebuah 0 +a 1 cos x + b 1 dosa x + a 2 cos 2x + b 2 dosa 2x + a 3 cos 3x + b 3 dosa 3x + ...

Memilih nomor yang tepat a 0, a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., adalah mungkin untuk mewakili hampir semua fungsi di komputer dengan akurasi yang diperlukan dalam bentuk jumlah (tak terbatas).

Fungsi trigonometri berguna saat bekerja dengan informasi grafis. Hal ini diperlukan untuk mensimulasikan (menggambarkan di komputer) rotasi beberapa objek di sekitar beberapa sumbu. Ada rotasi melalui sudut tertentu. Untuk menentukan koordinat titik, Anda harus mengalikannya dengan sinus dan cosinus.

Justin Windell, programmer dan desainer dariGoogle grafis Laboratorium , menerbitkan demo yang menunjukkan contoh penggunaan fungsi trigonometri untuk membuat animasi dinamis.

Trigonometri dalam konstruksi dan geodesi

Panjang sisi dan sudut segitiga sembarang pada bidang saling berhubungan oleh hubungan tertentu, yang paling penting disebut teorema kosinus dan sinus.

2ab

= =

Dalam rumus-rumus ini,b, c- panjang sisi segitiga ABC, masing-masing terletak di seberang sudut A, B, C. Rumus ini memungkinkan kita untuk mengembalikan tiga elemen yang tersisa dari tiga elemen segitiga - panjang sisi dan sudut. Mereka digunakan dalam memecahkan masalah praktis, misalnya, dalam geodesi.

Semua geodesi "klasik" didasarkan pada trigonometri. Sejak, pada kenyataannya, sejak zaman kuno, surveyor telah terlibat dalam "memecahkan" segitiga.

Proses pembangunan gedung, jalan, jembatan dan struktur lainnya dimulai dengan pekerjaan survey dan desain. Semua pengukuran di lokasi konstruksi dilakukan dengan menggunakan instrumen survei seperti theodolite dan level trigonometri. Dengan perataan trigonometri, perbedaan ketinggian antara beberapa titik di permukaan bumi ditentukan.

Kesimpulan

Trigonometri dihidupkan oleh kebutuhan untuk mengukur sudut, tetapi akhirnya berkembang menjadi ilmu fungsi trigonometri.

Trigonometri berkaitan erat dengan fisika, ditemukan di alam, musik, arsitektur, kedokteran dan teknologi.

Trigonometri tercermin dalam kehidupan kita, dan area di mana ia memainkan peran penting akan berkembang, sehingga pengetahuan tentang hukumnya diperlukan untuk semua orang.

Koneksi matematika dengan dunia luar memungkinkan Anda untuk "mewujudkan" pengetahuan anak sekolah. Ini membantu kita untuk lebih memahami kebutuhan vital akan pengetahuan yang diperoleh di sekolah.

Dengan masalah matematika dengan konten praktis (tugas yang bersifat terapan), yang kami maksud adalah masalah yang plotnya mengungkapkan aplikasi matematika dalam disiplin akademis, teknologi, dan kehidupan sehari-hari yang terkait.

Kisah tentang alasan historis munculnya trigonometri, perkembangannya, dan penerapan praktisnya mendorong anak-anak sekolah kita untuk tertarik pada subjek yang dipelajari, membentuk pandangan dunia kita dan meningkatkan budaya umum kita.

Karya ini akan bermanfaat bagi siswa sekolah menengah yang belum melihat keindahan trigonometri dan tidak terbiasa dengan bidang penerapannya dalam kehidupan sekitar.

Bibliografi:

1. Ulangi rumus dasar trigonometri dan konsolidasikan pengetahuan mereka selama latihan;
2. Kembangkan keterampilan pengendalian diri, kemampuan untuk bekerja dengan presentasi komputer.
3. Pendidikan sikap bertanggung jawab terhadap pekerjaan pendidikan, kemauan dan ketekunan untuk mencapai hasil akhir.

Peralatan: Komputer, presentasi komputer.

Hasil yang diharapkan:

1. Setiap siswa harus mengetahui rumus trigonometri dan dapat menerapkannya untuk mengubah ekspresi trigonometri pada tingkat hasil yang diperlukan.
2. Ketahui turunan dari rumus-rumus ini dan dapat menerapkannya untuk mengubah ekspresi trigonometri.
3. Mengetahui rumus-rumus trigonometri, dapat memperoleh rumus-rumus ini dan menerapkannya pada ekspresi trigonometri yang lebih kompleks.

Tahapan utama pelajaran:

1. Pesan topik, tujuan, tujuan pelajaran dan motivasi kegiatan pendidikan.
2. Menghitung lisan
3. Pesan dari sejarah matematika
4. Pengulangan (dari kelas 9) rumus trigonometri menggunakan presentasi komputer
5. Menerapkan rumus trigonometri untuk mengonversi ekspresi
6. Eksekusi tes
7. Menyimpulkan pelajaran
8. Mengatur tugas di rumah

Selama kelas

SAYA. Mengatur waktu.

Melaporkan topik, tujuan, tujuan pembelajaran dan motivasi kegiatan pembelajaran

II. Pekerjaan lisan (tugas sudah dicetak untuk setiap siswa):

Ukuran radian dari dua sudut segitiga adalah dan . Hitunglah besar masing-masing sudut segitiga tersebut. Menjawab: 60, 30, 90

Hitunglah radian sudut-sudut suatu segitiga jika perbandingannya 2:3:4. Menjawab: , ,

Bisakah kosinus sama dengan: a), b), c), d), e) -2? Menjawab: a) ya; b) tidak; c) tidak; d) ya; mata.

Dapatkah sinus sama dengan: a) -3, 7 b), c)? Menjawab: a) tidak; b) ya; c) tidak.

Untuk berapa nilai a dan b persamaan berikut ini benar: a) cos x = ; b) sin x=; c) cos = ; d)tgx= ; e) sin x = a? Menjawab: a) /a/ 7; b) /a/ ; c) 0 d) b – bilangan apa saja; e) -

AKU AKU AKU. Pesan dari sejarah trigonometri (latar belakang sejarah singkat):

Trigonometri muncul dan berkembang pada zaman kuno sebagai salah satu bagian dari astronomi, sebagai perangkat komputasi yang memenuhi kebutuhan praktis manusia.

Beberapa informasi trigonometri diketahui oleh orang Babilonia dan Mesir kuno, tetapi dasar-dasar ilmu ini diletakkan di Yunani Kuno.

Astronom Yunani Hipparchus pada abad ke-2. SM e. menyusun tabel nilai numerik akord, tergantung pada besarnya busur yang dikontrak oleh mereka. Informasi lebih lengkap dari trigonometri terdapat dalam "Almagest" yang terkenal dari Ptolemy. Perhitungan yang dibuat memungkinkan Ptolemy untuk menyusun tabel yang berisi akord dari 0 hingga 180.

Nama-nama garis sinus dan kosinus pertama kali diperkenalkan oleh para ilmuwan India. Mereka juga menyusun tabel sinus pertama, meskipun kurang akurat dibandingkan tabel Ptolemeus.

Di India, pada dasarnya, doktrin kuantitas trigonometri dimulai, yang kemudian disebut goniometri (dari "gonia" - sudut dan "metrio" - saya mengukur).

Di ambang abad ke-17 dalam pengembangan trigonometri, arah baru dimulai - analitis.

Trigonometri menyediakan metode yang diperlukan untuk pengembangan banyak konsep dan metode untuk memecahkan masalah nyata yang muncul dalam fisika, mekanika, astronomi, geodosi, kartografi, dan ilmu-ilmu lainnya. Selain itu, trigonometri sangat membantu dalam memecahkan masalah stereometrik.

IV. Bekerja di komputer dengan presentasi:

“Rumus dasar trigonometri” (Lampiran 1)

Pra-ingatkan Tindakan pengamanan di kelas ilmu komputer.

• Identitas trigonometri dasar.
• Rumus tambahan.
• Cast formula
• Rumus jumlah dan selisih sinus (cosinus).
• Rumus argumen ganda.
• Rumus setengah argumen.

V. Penerapan rumus trigonometri untuk transformasi ekspresi.

a) Satu siswa menyelesaikan tugas di bagian belakang papan, sisanya dari tempat memeriksa dan mengangkat kartu sinyal (benar - “+”, salah - “-“) dari tempatnya.

Pilih jawaban.

Sederhanakan ekspresi 7 cos - 5.

a) 1+cos; b) 2; pukul 12; d) 12

Sederhanakan ekspresi 5 – 4 si n

a) 1; b) 9; c) 1+8sin; d) 1+cos.