Suatu fungsi disebut genap (ganjil) jika untuk sembarang dan persamaan

.

Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu
.

Grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal.

Contoh 6.2. Periksa fungsi genap atau ganjil

1)
; 2)
; 3)
.

Keputusan.

1) Fungsi didefinisikan dengan
. Ayo temukan
.

Itu.
. Jadi fungsi ini genap.

2) Fungsi didefinisikan untuk

Itu.
. Jadi, fungsi ini ganjil.

3) fungsi didefinisikan untuk , yaitu. untuk

,
. Oleh karena itu, fungsi tersebut bukan genap maupun ganjil. Sebut saja itu fungsi umum.

3. Investigasi fungsi untuk monotonisitas.

Fungsi
Disebut meningkat (menurun) pada beberapa interval jika dalam interval ini setiap nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar (lebih kecil).

Fungsi naik (turun) pada selang tertentu disebut monoton.

Jika fungsi
terdiferensialkan pada interval
dan memiliki turunan positif (negatif).
, maka fungsi
meningkat (menurun) dalam interval ini.

Contoh 6.3. Temukan interval kemonotonan fungsi

1)
; 3)
.

Keputusan.

1) Fungsi ini didefinisikan pada seluruh sumbu bilangan. Mari kita cari turunannya.

Turunannya adalah nol jika
dan
. Domain definisi - sumbu numerik, dibagi dengan poin
,
untuk interval. Mari kita tentukan tanda turunan di setiap interval.

Dalam interval
turunannya negatif, fungsi menurun pada interval ini.

Dalam interval
turunannya positif, oleh karena itu, fungsinya meningkat pada interval ini.

2) Fungsi ini didefinisikan jika
atau

.

Kami menentukan tanda trinomial persegi di setiap interval.

Jadi, ruang lingkup fungsi

Mari kita cari turunannya
,
, jika
, yaitu
, tetapi
. Mari kita tentukan tanda turunan dalam interval
.

Dalam interval
turunannya negatif, oleh karena itu, fungsi menurun pada interval
. Dalam interval
turunannya positif, fungsi meningkat pada interval
.

4. Investigasi fungsi untuk ekstrem.

Dot
disebut titik maksimum (minimum) dari fungsi
, jika ada lingkungan titik seperti itu itu untuk semua orang
lingkungan ini memenuhi ketidaksetaraan

.

Titik maksimum dan titik minimum suatu fungsi disebut titik ekstrem.

Jika fungsi
pada intinya memiliki ekstrem, maka turunan fungsi pada titik ini sama dengan nol atau tidak ada (kondisi yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem).

Titik di mana turunannya sama dengan nol atau tidak ada disebut kritis.

5. Kondisi yang cukup untuk keberadaan ekstrem.

Aturan 1. Jika selama transisi (dari kiri ke kanan) melalui titik kritis turunan
ubah tanda dari "+" menjadi "-", lalu di titik fungsi
memiliki maksimum; jika dari "-" ke "+", maka minimum; jika
tidak berubah tanda, maka tidak ada ekstrem.

Aturan 2. Biarkan pada intinya
turunan pertama dari fungsi
nol
, dan turunan kedua ada dan bukan nol. Jika sebuah
, kemudian adalah titik maksimum, jika
, kemudian adalah titik minimum dari fungsi.

Contoh 6.4 . Jelajahi fungsi maksimum dan minimum:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Keputusan.

1) Fungsi didefinisikan dan kontinu pada interval
.

Mari kita cari turunannya
dan selesaikan persamaannya
, yaitu
.dari sini
adalah titik kritis.

Mari kita tentukan tanda turunan dalam interval ,
.

Saat melewati titik
dan
turunannya berubah tanda dari “–” menjadi “+”, oleh karena itu, menurut aturan 1
adalah poin minimum.

Ketika melewati suatu titik
turunan mengubah tanda dari "+" menjadi "-", jadi
adalah titik maksimum.

,
.

2) Fungsi didefinisikan dan kontinu dalam interval
. Mari kita cari turunannya
.

Dengan menyelesaikan persamaan
, Temukan
dan
adalah titik kritis. Jika penyebutnya
, yaitu
, maka turunannya tidak ada. Jadi,
adalah titik kritis ketiga. Mari kita tentukan tanda turunan dalam interval.

Oleh karena itu, fungsi tersebut memiliki minimum pada titik
, maksimum pada titik
dan
.

3) Suatu fungsi didefinisikan dan kontinu jika
, yaitu pada
.

Mari kita cari turunannya

.

Mari kita temukan poin-poin kritisnya:

Lingkungan poin
tidak termasuk dalam domain definisi, sehingga tidak ekstrem t. Jadi mari kita jelajahi poin-poin kritisnya
dan
.

4) Fungsi didefinisikan dan kontinu pada interval
. Kami menggunakan aturan 2. Temukan turunannya
.

Mari kita temukan poin-poin kritisnya:

Mari kita cari turunan kedua
dan tentukan tandanya pada titik-titik

Pada titik
fungsi memiliki minimum.

Pada titik
fungsi sudah maksimal.

Ketergantungan variabel y pada variabel x, di mana setiap nilai x bersesuaian dengan satu nilai y disebut fungsi. Notasinya adalah y=f(x). Setiap fungsi memiliki sejumlah sifat dasar, seperti monotonisitas, paritas, periodisitas, dan lain-lain.

Pertimbangkan properti paritas secara lebih rinci.

Suatu fungsi y=f(x) dipanggil meskipun memenuhi dua kondisi berikut:

2. Nilai fungsi pada titik x yang termasuk ruang lingkup fungsi harus sama dengan nilai fungsi pada titik -x. Artinya, untuk setiap titik x, dari domain fungsi, persamaan berikut f (x) \u003d f (-x) harus benar.

Grafik fungsi genap

Jika Anda membuat grafik fungsi genap, grafik tersebut akan simetris terhadap sumbu y.

Misalnya, fungsi y=x^2 genap. Mari kita periksa. Domain definisi adalah seluruh sumbu numerik, yang berarti simetris terhadap titik O.

Ambil sembarang x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Oleh karena itu, f(x) = f(-x). Dengan demikian, kedua kondisi dipenuhi untuk kita, yang berarti bahwa fungsinya genap. Di bawah ini adalah grafik fungsi y=x^2.

Gambar tersebut menunjukkan bahwa grafik tersebut simetris terhadap sumbu y.

Grafik fungsi ganjil

Suatu fungsi y=f(x) disebut ganjil jika memenuhi dua kondisi berikut:

1. Domain dari fungsi yang diberikan harus simetris terhadap titik O. Artinya, jika beberapa titik a termasuk dalam domain fungsi, maka titik -a yang bersesuaian juga harus termasuk dalam domain dari fungsi yang diberikan.

2. Untuk sembarang titik x, dari domain fungsi, persamaan berikut f (x) \u003d -f (x) harus dipenuhi.

Grafik fungsi ganjil adalah simetris terhadap titik O - titik asal. Misalnya, fungsi y=x^3 ganjil. Mari kita periksa. Domain definisi adalah seluruh sumbu numerik, yang berarti simetris terhadap titik O.

Ambil sembarang x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Jadi f(x) = -f(x). Jadi, kedua kondisi terpenuhi untuk kita, yang berarti bahwa fungsinya ganjil. Di bawah ini adalah grafik fungsi y=x^3.

Gambar tersebut dengan jelas menunjukkan bahwa fungsi ganjil y=x^3 simetris terhadap titik asal.

Yang untuk satu derajat atau lain yang akrab bagi Anda. Juga dicatat di sana bahwa stok properti fungsi akan diisi ulang secara bertahap. Dua properti baru akan dibahas di bagian ini.

Definisi 1.

Fungsi y \u003d f (x), x X, disebut bahkan jika untuk sembarang nilai x dari himpunan X persamaan f (-x) \u003d f (x) benar.

Definisi 2.

Fungsi y \u003d f (x), x X, disebut ganjil jika untuk sembarang nilai x dari himpunan X persamaan f (-x) \u003d -f (x) benar.

Buktikan bahwa y = x 4 adalah fungsi genap.

Keputusan. Kami memiliki: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Tapi (-x) 4 = x 4 . Oleh karena itu, untuk setiap x, persamaan f (-x) = f (x), yaitu. fungsinya genap.

Demikian pula, dapat dibuktikan bahwa fungsi y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 genap.

Buktikan bahwa y = x 3 adalah fungsi ganjil.

Keputusan. Kami memiliki: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Tapi (-x) 3 = -x 3 . Oleh karena itu, untuk setiap x, persamaan f (-x) \u003d -f (x), mis. fungsinya ganjil.

Demikian pula, dapat dibuktikan bahwa fungsi y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 ganjil.

Anda dan saya telah berulang kali meyakinkan diri kita sendiri bahwa istilah baru dalam matematika paling sering memiliki asal "duniawi", yaitu. mereka dapat dijelaskan dalam beberapa cara. Ini berlaku untuk fungsi genap dan ganjil. Lihat: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 adalah fungsi ganjil, sedangkan y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 adalah fungsi genap. Dan secara umum, untuk fungsi apa pun dalam bentuk y \u003d x "(di bawah ini kita akan secara khusus mempelajari fungsi-fungsi ini), di mana n adalah bilangan asli, kita dapat menyimpulkan: jika n adalah bilangan ganjil, maka fungsi y \u003d x " aneh; jika n bilangan genap, maka fungsi y = xn genap.

Ada juga fungsi yang tidak genap maupun ganjil. Seperti, misalnya, adalah fungsi y \u003d 2x + 3. Memang, f (1) \u003d 5, dan f (-1) \u003d 1. Seperti yang Anda lihat, di sini Oleh karena itu, tidak ada identitas f (-x ) \u003d f ( x), atau identitas f(-x) = -f(x).

Jadi, suatu fungsi bisa genap, ganjil, atau tidak keduanya.

Studi tentang pertanyaan apakah suatu fungsi genap atau ganjil biasanya disebut studi fungsi paritas.

Definisi 1 dan 2 berhubungan dengan nilai fungsi pada titik x dan -x. Ini mengasumsikan bahwa fungsi didefinisikan baik pada titik x dan pada titik -x. Ini berarti bahwa titik -x termasuk dalam domain fungsi pada saat yang sama dengan titik x. Jika suatu himpunan numerik X beserta setiap elemennya x memuat elemen lawannya -x, maka X disebut himpunan simetris. Misalkan (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) adalah himpunan simetris, sedangkan ; (∞;∞) adalah himpunan simetris, dan , [–5;4] adalah nonsimetris.

- Apakah fungsi genap memiliki domain definisi - himpunan simetris? Yang aneh?
- Jika D( f) adalah himpunan asimetris, lalu apa fungsinya?
– Jadi, jika fungsi pada = f(X) genap atau ganjil, maka domain definisinya adalah D( f) adalah himpunan simetris. Tetapi apakah pernyataan kebalikannya benar, jika domain suatu fungsi adalah himpunan simetris, maka fungsi tersebut genap atau ganjil?
- Jadi keberadaan himpunan simetris dari domain definisi adalah kondisi yang diperlukan, tetapi tidak cukup.
– Jadi bagaimana kita bisa menyelidiki fungsi paritas? Mari kita coba menulis sebuah algoritma.

Menggeser

Algoritma untuk memeriksa fungsi untuk paritas

1. Tentukan apakah domain fungsi tersebut simetris. Jika tidak, maka fungsi tersebut bukan genap maupun ganjil. Jika ya, lanjutkan ke langkah 2 dari algoritma.

2. Tulislah ekspresi untuk f(–X).

3. Bandingkan f(–X).dan f(X):

• jika f(–X).= f(X), maka fungsinya genap;
• jika f(–X).= – f(X), maka fungsinya ganjil;
• jika f(–X) ≠ f(X) dan f(–X) ≠ –f(X), maka fungsi tersebut bukan genap maupun ganjil.

Contoh:

Selidiki fungsi paritas a) pada= x 5 +; b) pada= ; di) pada= .

Keputusan.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), himpunan simetris.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) fungsi h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e h(x)= x 5 + ganjil.

b) y =,

pada = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), himpunan asimetris, jadi fungsinya bukan genap maupun ganjil.

di) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

pilihan 2

1. Apakah himpunan yang diberikan simetris: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

sebuah); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Periksa fungsi untuk paritas:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Dalam gambar. diplot pada = f(X), untuk semua X, memenuhi syarat X? 0.
Gambarkan Fungsinya pada = f(X), jika pada = f(X) adalah fungsi genap.

3. Dalam gambar. diplot pada = f(X), untuk semua x yang memenuhi x? 0.
Gambarkan Fungsinya pada = f(X), jika pada = f(X) adalah fungsi ganjil.

Saling memeriksa menggeser.

6. Pekerjaan rumah: №11.11, 11.21,11.22;

Bukti makna geometris dari properti paritas.

*** (Penugasan opsi USE).

1. Fungsi ganjil y \u003d f (x) didefinisikan pada seluruh garis nyata. Untuk setiap nilai non-negatif dari variabel x, nilai fungsi ini bertepatan dengan nilai fungsi g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Tentukan nilai fungsi h( X) = pada X = 3.

7. Menyimpulkan