Fungsi Krasnov dari variabel kompleks. Fungsi dari variabel kompleks

Kutipan singkat dari awal buku(pengenalan mesin)

M.L.KRASNOV
A.I.Kiselev
G.I.MAKARENKO
FUNGSI
TERPADU
VARIABEL
PENGOPERASIAN
PERHITUNGAN
TEORI
KEBERLANJUTAN
BAB TERPILIH
MATEMATIKA TINGGI
UNTUK ENGINEER
DAN SISWA
TUGAS DAN LATIHAN
M. L. KRASNOV
A.I.Kiselev
G.I.MAKARENKO
FUNGSI
TERPADU
VARIABEL
PENGOPERASIAN
PERHITUNGAN
TEORI
KEBERLANJUTAN
EDISI KEDUA, REVISI DAN TAMBAH
Disetujui oleh Kementerian Tinggi dan Menengah
pendidikan khusus USSR
sebagai alat bantu mengajar
untuk siswa dari lembaga pendidikan teknis yang lebih tinggi
MOSKOW "NAUKA"
EDISI UTAMA
FISIKA DAN MATEMATIKA L
1981
22.161.5
K 78
UDC 517.531
Kras n o v M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I.
Fungsi dari variabel kompleks. kalkulus operasional. teo-
Theory of sustainability: Textbook, 2nd ed., Revisi. dan tambahan -M.:
Ilmu. Edisi utama literatur fisika dan matematika, 1981.
Seperti buku-buku lain yang diterbitkan dalam seri "Bab-bab terpilih dari high-
matematika yang lebih tinggi untuk insinyur dan mahasiswa universitas teknik”, buku ini
ditujukan terutama untuk mahasiswa universitas teknik, tetapi
itu juga dapat berguna bagi seorang insinyur yang ingin memulihkan
di bagian memori matematika ditunjukkan dalam judul buku.
Dalam edisi ini, dibandingkan dengan yang sebelumnya, diterbitkan di
1971, paragraf yang berkaitan dengan fungsi harmonik diperluas
fungsi, residu dan aplikasinya untuk menghitung beberapa integral
integral, pemetaan konformal. Latihan juga telah ditambahkan.
karakter teoritis.
Pada awal setiap bagian, teori yang diperlukan
informasi teoritis (definisi, teorema, rumus), serta sub-
tugas khas dan contoh dianalisis secara rinci.
Buku ini berisi lebih dari 1000 contoh dan tugas untuk pengembangan diri.
keputusan independen. Hampir semua tugas dilengkapi dengan jawaban, dan dalam jumlah
kasus, instruksi diberikan untuk solusinya.
Beras. 71. Alkitab. 19 judul
20203-107 ^ o_llll Glat:Tu.^^
K Aeo/loc Ql 23-81. 1702050000 fisik dan matematika
053 @2)-81 Sastra, 1981
DAFTAR ISI
Kata Pengantar 5
Bab I. Fungsi dari variabel kompleks 7
K Bilangan kompleks dan tindakan pada mereka 7
2. Fungsi variabel kompleks. ... # ...", delapan belas
3. Batas barisan bilangan kompleks. Membatasi
dan kontinuitas fungsi dari variabel kompleks. . 25
4. Diferensiasi fungsi variabel kompleks
variabel. Kondisi Cauchy-Riemann # . t . , 32
5. Integrasi fungsi dari variabel kompleks. .42
6. Rumus integral Cauchy 50
7. Deret dalam domain kompleks, 56
8. Nol dari suatu fungsi. Titik Singular Terisolasi 72
| 9. Residu fungsi 79
10. Teorema residu Cauchy. Penerapan pemotongan untuk Anda-
perhitungan integral tertentu. Penjumlahan non-
beberapa seri dengan bantuan residu 85
11. Residu logaritmik. prinsip argumen. Dalil
Sibuk # . , # . 106
12. Pemetaan konformal 115
13. Potensi kompleks. hidrodinamikanya
artinya 142
Bab II. Kalkulus operasional 147
14. Menemukan gambar dan aslinya 147
15. Penyelesaian masalah Cauchy untuk linier biasa
persamaan diferensial dengan koefisien konstan
peluang 173
16. Integral Duhamel 185
17. Solusi sistem persamaan diferensial linier
persamaan dengan metode operasional 188
18. Solusi persamaan integral Volterra dengan kernel
tipe khusus 192
19. Persamaan diferensial tunda
argumen. . . . a#198
20. Solusi dari beberapa masalah fisika matematika. . , 201
21. Transformasi Laplace Diskrit 204
Bab III. Teori stabilitas. , . 218
22. Konsep kestabilan solusi sistem diferensial
persamaan diferensial. Jenis titik istirahat paling sederhana 218
4 ISI
23. Metode kedua Lyapunov 225
24. Penelitian tentang stabilitas dalam pendekatan pertama
pendekatan 229
25. Stabilitas asimtotik dalam jumlah besar. Keberlanjutan
menurut Lagrange 234
26. Kriteria Routh-Hurwitz. 237
27. Kriteria stabilitas geometrik (Mi-
Mikhailov), . . , 240
28. Partisi-D 243
29. Stabilitas solusi persamaan beda 250
Jawaban 259
Lampiran 300
Sastra 303
KATA PENGANTAR
Dalam edisi ini, seluruh teks telah direvisi
dan membuat beberapa tambahan. Bagian yang diperbesar didedikasikan untuk
didedikasikan untuk teori residu dan aplikasinya (khususnya,
memperkenalkan konsep residu sehubungan dengan jarak tak terhingga
titik jarak jauh, penerapan residu pada penjumlahan beberapa
beberapa baris). Jumlah tugas untuk penggunaan operasional
kalkulus operasional untuk mempelajari beberapa hal khusus
fungsi khusus (fungsi gamma, fungsi Bessel, dll.),
serta jumlah tugas untuk gambar fungsi yang diberikan
secara grafis. Paragraf yang ditujukan untuk
didedikasikan untuk pemetaan konformal. Peningkatan kuantitas
contoh yang dibahas dalam teks. Tetap diperhatikan
ketidakakuratan dan kesalahan ketik; beberapa tugas yang telah
solusi rumit digantikan oleh yang lebih sederhana.
Dalam mempersiapkan edisi kedua buku ini, hal yang penting
bantuan dengan saran dan komentar mereka diberikan kepada kami oleh
Kepala Departemen Matematika, Institut Moskow
baja dan paduan Profesor V. A. Trenogiy dan profesor asosiasi ini
Departemen M. I. Orlov. Kami menganggapnya sebagai tugas kami yang menyenangkan
menyampaikan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada mereka.
Kami memperhitungkan komentar dan keinginan Departemen Terapan
matematikawan dari Institut Teknik Sipil Kiev
(kepala departemen, associate professor A. E. Zhuravel), serta
komentar dari kawan B. Tkachev (Krasnodar) dan
B. L. Tsavo (Sukhumi). Kepada mereka semua kami ungkapkan
rasa syukur.
0 KATA PENGANTAR
Kami berterima kasih kepada Profesor M.I. Vishik,
F.I. Karpelevich, A.F. Leontiev dan S.I. Pokhozhaev
atas perhatian dan dukungan Anda yang terus-menerus terhadap pekerjaan kami.
Semua komentar dan saran untuk perbaikan buku masalah
akan diterima dengan rasa syukur.
Para penulis
BAB I
FUNGSI TERPADU
VARIABEL
1. Bilangan kompleks dan tindakan pada mereka
Bilangan kompleks r adalah ekspresi dari bentuk
(Bentuk aljabar dari bilangan kompleks), di mana x dan y adalah tindakan apa pun
bilangan real, a i adalah satuan imajiner yang memenuhi syarat
12 \u003d -1, Angka-angka x dan y masing-masing disebut nyata dan
bagian imajiner dari bilangan kompleks
bilangan r dan dilambangkan
Bilangan kompleks z=zx - iy
disebut kompleks konjugasi
bilangan kompleks r=n: + n/.
Bilangan kompleks ch =Xj + iy%
dan r2*= #2 + 4/2 dianggap sama
jika dan hanya jika xr = x21
bilangan kompleks 2 =
digambarkan dalam bidang XOY
titik M dengan koordinat (dz, y)
atau vektor, yang awalnya Gambar* *
berada di titik O @, 0), dan ujungnya
pada titik M (x, y) (Gbr. 1). Panjang p dari vektor OM disebut modulus
bilangan kompleks dan dilambangkan dengan |r|, sehingga p = | r\=Vx"2+y2>
Sudut yang dibentuk oleh vektor OM dengan sumbu OX disebut argumen
argumen dari bilangan kompleks r dan dilambangkan

tidak secara unik, tetapi hingga suatu suku yang merupakan kelipatan 2n:
Arg2 = arg2 + 2bt (t = 0, ±1, ±2, ...),
di mana arg2 adalah nilai utama Arg2 yang ditentukan oleh kondisi
dan
A)
arctg - jika x *> 0,
jt -f *rctg - jika x - i Jr arctg jika x i / 2, jika x - 0, y > 0,
- i/2, jika x r» 0, y 8 FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS [CH. Saya
Hubungan berikut terjadi:
ig (Arg z) - ^~, sin (Arg z)
cos(Arg g) a
Dua bilangan kompleks r dan r2 sama jika dan hanya jika
ketika modulus mereka sama dan argumen mereka sama atau berbeda
berbeda dengan kelipatan 2n:
(л«0, ±lt ±2t .«.)
Misalkan dua bilangan kompleks zlwcl + ylt 22+y2
I. Jumlah zt + z2 bilangan kompleks r dan r% adalah kompleks
bilangan kompleks
2. Selisih z^-z% bilangan kompleks zx dan z2 disebut kom-
bilangan kompleks
3. Hasil kali ztz2 dari bilangan kompleks z1 dan z2 disebut
bilangan kompleks
Dari definisi produk bilangan kompleks, khususnya,
mengikuti itu
2
4. Privat ~ dari membagi bilangan kompleks 2i dengan kompleks
kompleks
Suatu bilangan kompleks rm > 0 adalah bilangan kompleks r sedemikian sehingga
memenuhi persamaan
Dalam hal ini, rumus r^1 digunakan
Formula B) dapat ditulis sebagai
V
Bagian nyata dari Re r dan bagian imajiner dari kompleks
bilangan z dinyatakan dalam bilangan kompleks konjugasi sebagai berikut:
dengan cara berikut:
Contoh 1. Tunjukkan bahwa zx -\~z2 == -i + 2.2.
Bukti. Menurut definisi, kita memiliki
ij bilangan kompleks dan operasinya
1. Buktikan hubungan berikut:
"/ ^1 - ^2 = ^1 - 2:2" Oj Z\Z% == ^i^2" B; [ - - J == - , D)
Contoh 2. Temukan solusi nyata untuk persamaan
Keputusan. Mari kita pilih nilai sebenarnya di sisi kiri persamaan
dan bagian imajinernya: (Ax+Sy) + iBdg-3#)= 13-+-*. Oleh karena itu, menurut
definisi persamaan dua bilangan kompleks, kita peroleh
Memecahkan sistem ini, kami menemukan
Temukan solusi nyata untuk persamaan:
2. (Zlg-1)B + 0 + (*-*Ж1+20 = 5 + 6*.
3. (x - iy) (a - ib) \u003d Ca, di mana i, b diberikan tindakan
bilangan real, \a\f\b\.
5. Mewakili bilangan kompleks (aribp + (a _ .^t
dalam bentuk aljabar.
6. Buktikan bahwa -- - ~*~iX = i (x real).
x-iY 1 -\-x~
7. Nyatakan x dan y dalam bentuk "u, jika + q fa \u003d
= 1(n:, y, u, v adalah bilangan real).
8. Temukan semua bilangan kompleks yang memuaskan
kondisi 2 = z2.
Contoh 3: Temukan modulus dan argumen dari bilangan kompleks
g * \u003d - sin - -icos-g-.
Keputusan. Kita punya
= -sin-l o o
Nilai utama dari argumen menurut A) adalah
argz-- i + arctg/ctg-^j =. - i+ arctg J^tg \~ - -£jj -
, /. 3 \ ,3 5
\u003d - i + arctg i tg d \u003d - i + - i \u003d - l.
\ OOO
10 FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS [CH. Saya
Karena itu,
Argz "-~ i + 2&1 (t = 0, ±1, ±2, ...),
9. Dalam tugas-tugas berikut, temukan modul dan nilai utamanya
nilai argumen bilangan kompleks:
a) r-4 + 3/; b) z^~2 + 2V3i",
c) r = - 7 - i\ d) r = - cos | + saya berdosa ?-;
e) d == 4 - 3/; e) g \u003d cos a - t sin a
Setiap bilangan kompleks z - x + iy (r^FO) dapat ditulis dalam tiga
bentuk trigonometri
Contoh 4. Tulis dalam bentuk trigonometri kompleks
nomor
Keputusan. Kita punya
Karena itu,
Contoh 5. Temukan akar real dari persamaan
cos; t ~ f / sin x r "- + x *
Keputusan. Persamaan ini tidak memiliki akar. Memang,
persamaan ini setara dengan berikut: cos*= 1/2, sin* = 3/4. Oleh-
Persamaan terakhir tidak konsisten, karena cos2 x + sin2 x» 13/16, yang
tidak mungkin untuk setiap nilai x.
Setiap bilangan kompleks g 0 dapat ditulis dalam eksponensial
membentuk
*Ф di mana = |г|, cp=*Argz.
Contoh 6. Temukan semua bilangan kompleks z^O yang memuaskan
memenuhi kondisi 2n"" 1,
Keputusan. Misal r =* re*F. Kemudian z "= re~(h>.
Sesuai dengan kondisi
atau
ANGKA KOMPLEKS DAN TINDAKAN PADA MEREKA II
£2l
dimana pl-2=1, yaitu, p=1, dan tf = 2&i, yaitu, 2, ..., l-1). Karena itu,
.2nk
n
(jfe "0, I, 2, ..., f-!).
10. Bilangan kompleks berikut mewakili r tiga-
bentuk trigonometri:
a) -2; b) 21; di) -
d) 1-sina + icosa
D> l + cosa-i sejak \ dan e) -2; g) saya; HF; saya) -1 -/
j) sin a - tcosa E Biarkan bilangan kompleks rx dan r2 diberikan dalam trigonometri
bentuk r2 = px (cos f! + e sin fx), r2 = p2 (cos f2 + * sin f2).
Produk mereka ditemukan dengan rumus
*i*2 ^ P1P2 Ic°s (Ф1 + 2) + i sin (Ф! + 2)],
yaitu, ketika bilangan kompleks dikalikan, modulusnya dikalikan,
dan argumen bertambah:
Arg (Z&) menjadi Arg 2j + Arg r2.
Hasil bagi dua bilangan kompleks rx u2 ^ 0 ditemukan tetapi rumusnya
rumus
m-^mm lcos (v" *~ ^*) + f*sin (f1 "~ f2I"
r3 ra
yaitu
Menaikkan bilangan kompleks
r \u003d p (cos f + i sin f)
daya alami n dihasilkan oleh rumus
Zn - p "(cos u Jf. i sjn / xf) ^
yaitu
Dari sinilah rumus De Moivre berasal.
(cos f + i sin f)l \u003d\u003d cos Lf + i sin / gf.
12 FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS [CH. satu
Sifat modulus bilangan kompleks
1. |*|H*|; 2- "-|z|";
3. |*Al-|*il!*ir." 4. \r*\^\r\"\
5.
H
6.
7.
8. H*il4*ilKI*i*f|.
Contoh 7. Hitung (-■ 1 +1 Kz) v.
Keputusan. Mari kita nyatakan angka r \u003d -1 -f - * Yb dalam trigonometri
bentuk trigonometri
-I _) - / Kz \u003d 2 (coe -§- n + | sin ~~ "V

Fungsi dari variabel kompleks. Masalah dan contoh dengan solusi rinci. Krasnov M.I., Kiselev A.I., Makarenko G.I.

edisi ke-3, rev. - M.: 2003. - 208 hal.

Dalam tutorial ini, penulis mengajukan tugas pada bagian utama teori fungsi variabel kompleks. Pada awal setiap bagian, informasi teoretis yang diperlukan (definisi, teorema, rumus) diberikan, dan sekitar 150 masalah dan contoh khas dianalisis secara rinci.

Buku ini berisi lebih dari 500 tugas dan contoh untuk pemecahan diri. Hampir semua tugas dilengkapi dengan jawaban, dan dalam beberapa kasus, instruksi untuk penyelesaian diberikan.

Buku ini ditujukan terutama untuk mahasiswa universitas teknik dengan pelatihan matematika, tetapi juga dapat bermanfaat bagi seorang insinyur yang ingin mengingat kembali bagian matematika yang berkaitan dengan teori fungsi variabel kompleks.

Format: pdf

Ukuran: 15,2 MB

Unduh: drive.google


DAFTAR ISI
Bab 1 Fungsi Variabel Kompleks 3
1. Bilangan kompleks dan tindakan pada mereka 3
2. Fungsi variabel kompleks 14
3. Batas barisan bilangan kompleks. Batas dan kontinuitas fungsi dari variabel kompleks 22
4, Diferensiasi fungsi dari variabel kompleks. Kondisi Cauchy-Riemann 29
Bab 2. Integrasi. Baris. Karya tak berujung. 40
5. Integrasi fungsi variabel kompleks .... 40
6. Rumus integral Cauchy 48
7. Deret dalam domain kompleks 53
8. Produk tak terbatas dan penerapannya pada fungsi analitik 70
1°. Karya tanpa akhir 70
2°. Penguraian beberapa fungsi menjadi produk tak hingga 75
Bab 3. Residu fungsi. . 78
9. Nol dari suatu fungsi. Titik Singular Terisolasi 78
1°. Fungsi nol 78
2°. Titik tunggal terisolasi 80
10. Residu fungsi 85
11. Teorema residu Cauchy. Penerapan residu pada perhitungan integral tertentu. Penjumlahan beberapa rad menggunakan residu .... 92
1°. Teorema residu Cauchy 92
2°. Penerapan residu pada perhitungan integral tertentu 98
3°. Penjumlahan beberapa deret dengan bantuan residu. . 109
12. Residu logaritmik. prinsip argumen. Teorema Rouche 113
Bab 4, Pemetaan konformal. 123
13. Pemetaan konformal 123
1°. Konsep pemetaan konformal 123
1 2°. Teorema umum teori pemetaan konformal...125
3°. Pemetaan konformal diimplementasikan oleh fungsi linear w - az + b, fungsi w - \, dan fungsi linear-fraksional w = ffjj . . 127
4°. Pemetaan Konformal yang Direalisasikan oleh Fungsi Dasar Dasar 138
§empat belas. Transformasi poligon. integral Christoffel-Schwarz. 150
Lampiran 1 . . . . 159
§limabelas. Potensi yang komprehensif. Arti hidrodinamikanya. . 159
Lampiran 2 164
Jawaban.......... 186

1 Kalkulus operasional
§ satu.Menemukan gambar dan aslinya
2.Solusi dari masalah Cauchy untuk persamaan diferensial linier biasa dengan koefisien konstan
3.Integral Duhamel
4.Memecahkan sistem persamaan diferensial linier dengan metode operasional
5.Solusi persamaan integral Volterra dengan kernel dengan bentuk khusus
6.Persamaan diferensial tunda
7.Solusi dari beberapa masalah fisika matematika
§ delapan.Transformasi Laplace Diskrit
sembilan.Transformasi Fourier
1. Solusi dari masalah Cauchy untuk persamaan panas
2. Masalah Cauchy untuk persamaan gelombang satu dimensi
sepuluh.Transformasi Cosinus dan Sinus Fourier
§ sebelas.Fungsi umum. Transformasi Fourier dari fungsi umum
2 Teori keberlanjutan
12.Konsep stabilitas solusi sistem persamaan diferensial. Jenis titik istirahat yang paling sederhana
tiga belas.Metode kedua Lyapunov
§ empat belas.Studi Stabilitas Perkiraan Pertama
lima belas.Stabilitas asimtotik secara umum. Stabilitas Lagrange
enam belas.Kriteria Routh--Hurwitz
17.Kriteria stabilitas geometrik (kriteria Mikhailov)
delapan belas.D-partisi
Konsep dari D- partisi
sembilan belas.
1o.Penyelesaian persamaan beda linier homogen dengan koefisien konstan
2o.Penyelesaian persamaan beda linier tak homogen dengan koefisien konstan
3o.Stabilitas Solusi untuk Persamaan Perbedaan
jawaban
Lampiran
Krasnov Mikhail Leontievich
  • Lahir 30 November 1925
  • Pada tahun 1951-1985. Profesor Institut Teknik Tenaga Moskow, Fakultas Matematika.

    Bidang minat: persamaan diferensial. Kiselev Alexander Ivanovich

  • Lahir 26 Agustus 1917
  • Lulus dari Fakultas Mekanika dan Matematika Universitas Negeri Moskow pada tahun 1951.
  • Pada tahun 1951-1962. bekerja di Institut Masalah Fisik dari Akademi Ilmu Pengetahuan Uni Soviet.
  • Pada tahun 1962-1996, profesor di Institut Teknik Tenaga Moskow, Fakultas Matematika.

    Bidang minat: teori fungsi. Makarenko Grigory Ivanovich

  • Lahir 23 April 1922
  • Lulus dari Fakultas Mekanika dan Matematika Universitas Negeri Moskow pada tahun 1951.
  • Pada tahun 1951-1960 profesor di Institut Teknik Tenaga Moskow, Fakultas Matematika.
  • Pada tahun 1960-1978. peneliti senior di Joint Institute for Nuclear Research di Dubna.
  • Pada tahun 1978-1989 Profesor Institut Komunikasi Negeri Moskow, Fakultas Matematika.

    Bidang minat: persamaan diferensial. Shikin Evgeny Viktorovich

  • Lahir 10 Desember 1942
  • Lulus dari Fakultas Mekanika dan Matematika Universitas Negeri Moskow pada tahun 1964.
  • Kandidat Ilmu Fisika dan Matematika (1970), Doktor Ilmu Fisika dan Matematika (1977). Guru Besar Departemen Matematika Umum, Fakultas Matematika Komputasi dan Sibernetika.

    Minat penelitian: metode geometri untuk mempelajari persamaan diferensial, geometri komputasi, grafik komputer.

    Ia membaca mata kuliah kuliah “Aljabar Linier dan Geometri Analitik”, “Teori Fungsi Variabel Kompleks”, “Masalah Perendaman Isometrik dan Persamaan Monge-Ampere”, “Spline Geometrik”, “Metode Geometrik dalam Masalah Pencarian”, “ Grafik Komputer".

    Krasnov Michael Leontievich

  • Lahir pada 30 November 1925 di Rusia.
  • 1951-1985: Profesor Institut Tenaga Moskow. Departemen Matematika.

    Kiselyov Alexander Ivanovich

  • Lahir pada 26 Agustus 1917 di Rusia.
  • Lulus dari Universitas Negeri Moskow (Departemen Mekanika dan Matematika) pada tahun 1951.
  • 1951-1962: Berafiliasi dengan Institut Masalah Fisik Akademi Ilmu Pengetahuan Uni Soviet.
  • 1962-1996: Profesor Asosiasi Institut Tenaga Moskow. Departemen Matematika.

    Bidang minat: Teori Fungsi.

    Makarenko Grigorij Ivanovich

  • Lahir pada 23 April 1922 di Ukraina.
  • Lulus dari Universitas Negeri Moskow (Departemen Mekanika dan Matematika) pada tahun 1951.
  • 1951-1960: Asisten Profesor Institut Tenaga Moskow. Departemen Matematika.
  • 1960-1978: Peneliti Senior dari Joint Institute of Nuclear Research. dubna.
  • 1978-1989: Profesor Institut Insinyur Transportasi. Departemen Matematika.

    Bidang minat: Persamaan Diferensial.

    Shikin Evgenij Viktorovich

  • Lahir pada 10 Desember 1942 di Rusia.
  • Lulus dari Universitas Negeri Moskow (Departemen Mekanika dan Matematika) pada tahun 1964.
  • Sejak 1964: Profesor Universitas Negeri Moskow. Departemen Matematika Komputasi dan Sibernetika.

    Bidang minat: Geometri Diferensial.

    • Fungsi dari variabel kompleks. Bilangan kompleks dan tindakan Bagian: Masalah dan solusi untuk TViMS. Panduan belajar untuk. Bagian M dari teori fungsi kompleks-variabel. dari vektor OM disebut modulus bilangan kompleks dan dilambangkan dengan . variabel w dan y. Pustaka > Buku tentang matematika > Fungsi variabel kompleks M.: IL, 1963 (djvu); Krasnov M.L. Kiselev A.I. Makarenko G.I. Fungsi. Judul: Fungsi variabel kompleks: Masalah dan contoh dengan solusi terperinci.

    Krasnov M.L., Kiselev A.I., Makarenko G.I. Fungsi dari variabel kompleks. Limit dan kontinuitas fungsi dari variabel kompleks. Jawaban. Untuk mengunduh file ini, daftar dan / atau. Krasnov M.L., Kiselev A.I., Makarenko G.I. Fungsi dari variabel kompleks. kalkulus operasional. Teori stabilitas.

    Fungsi dari variabel kompleks. Diferensiasi fungsi variabel kompleks. Kondisi Cauchy-Riemann. Artikel ini membuka serangkaian pelajaran di mana saya akan mempertimbangkan masalah umum yang terkait dengan teori fungsi variabel kompleks. Untuk berhasil menguasai contoh, Anda harus memiliki pengetahuan dasar tentang bilangan kompleks. Untuk mengkonsolidasikan dan mengulangi materi, cukup mengunjungi halaman Nomor kompleks untuk boneka.

    Solusi Fungsi Variabel Kompleks Krasnov Kiselev Makarenko

    Anda juga akan membutuhkan keterampilan dalam menemukan turunan parsial orde kedua. Ini dia, turunan parsial ini ... bahkan sekarang saya sedikit terkejut betapa seringnya mereka muncul .... Topik yang mulai kami analisis tidak terlalu sulit, dan dalam fungsi variabel kompleks, pada prinsipnya, semuanya jelas dan dapat diakses. Hal utama adalah untuk mematuhi aturan dasar, yang diturunkan oleh saya secara empiris. Baca terus.

    Solusi Fungsi Variabel Kompleks Krasnov Kiselev Makarenko 1981

    Konsep fungsi dari variabel kompleks. Pertama, mari kita segarkan kembali pengetahuan kita tentang fungsi sekolah dari satu variabel: Fungsi dari satu variabel adalah aturan yang menurutnya setiap nilai variabel independen (dari domain definisi) sesuai dengan satu dan hanya satu nilai fungsi. Secara alami, "x" dan "y" adalah bilangan real. Dalam kasus kompleks, ketergantungan fungsional diberikan dengan cara yang sama: Fungsi yang tidak ambigu dari variabel kompleks adalah aturan yang menurutnya setiap nilai kompleks dari variabel independen (dari domain definisi) sesuai dengan satu dan hanya satu nilai kompleks dari fungsi tersebut.

    Secara teori, multinilai dan beberapa jenis fungsi lainnya juga dipertimbangkan, tetapi untuk kesederhanaan, saya akan fokus pada satu definisi. Apa fungsi dari variabel kompleks.

    Perbedaan utamanya adalah bilangan itu kompleks. Aku tidak sedang ironis. Dari pertanyaan seperti itu mereka sering jatuh pingsan, di akhir artikel saya akan menceritakan sebuah kisah yang keren. Dalam pelajaran Nomor kompleks untuk boneka, kami mempertimbangkan bilangan kompleks dalam bentuk. Karena sekarang huruf "Z" sudah menjadi variabel. maka kita akan menyatakannya sebagai berikut: , sedangkan "x" dan "y" dapat mengambil nilai riil yang berbeda.

    Secara kasar, fungsi variabel kompleks bergantung pada variabel dan, yang mengambil nilai "biasa". Poin berikut secara logis mengikuti dari fakta ini: Bagian nyata dan imajiner dari fungsi variabel kompleks. Fungsi variabel kompleks dapat dituliskan sebagai berikut:

    Dimana dan adalah dua fungsi dari dua variabel nyata. Fungsi tersebut disebut bagian real dari fungsi tersebut. Fungsi disebut bagian imajiner dari fungsi. Artinya, fungsi variabel kompleks tergantung pada dua fungsi nyata dan.

    Untuk akhirnya memperjelas semuanya, mari kita lihat contoh praktis: Temukan bagian nyata dan imajiner dari fungsi tersebut. Solusi: Variabel independen "z", seperti yang Anda ingat, ditulis dalam bentuk, oleh karena itu:. (1) Disubstitusikan ke dalam fungsi aslinya. (2) Untuk suku pertama, digunakan rumus perkalian yang disingkat.

    Dalam istilah, kurung dibuka. (3) Kuadratkan dengan hati-hati, jangan lupakan itu. (4) Penataan kembali suku-suku: pertama, kita tulis ulang suku-suku yang tidak memiliki satuan imajiner (kelompok pertama), kemudian suku-suku yang ada (kelompok kedua). Perlu dicatat bahwa tidak perlu mengacak istilah, dan langkah ini dapat dilewati (sebenarnya, dengan melakukannya secara lisan). (5) Kelompok kedua dikeluarkan dari kurung.

    Akibatnya, fungsi kami disajikan dalam bentuk. adalah bagian nyata dari fungsi. adalah bagian imajiner dari fungsi.

    Apa saja fungsi-fungsi ini? Fungsi paling biasa dari dua variabel dari mana turunan parsial populer tersebut dapat ditemukan. Tanpa belas kasihan - kita akan menemukan. Tapi sedikit kemudian.

    Secara singkat, algoritme dari masalah yang diselesaikan dapat ditulis sebagai berikut: kami mengganti ke fungsi aslinya, melakukan penyederhanaan dan membagi semua istilah menjadi dua kelompok - tanpa unit imajiner (bagian nyata) dan dengan unit imajiner (bagian imajiner). Temukan bagian nyata dan imajiner dari fungsi tersebut. Ini adalah contoh do-it-yourself.

    Sebelum Anda terjun ke pertempuran di pesawat yang kompleks dengan kotak-kotak telanjang, izinkan saya memberi Anda nasihat terpenting tentang topik ini: HATI-HATI! Anda harus berhati-hati, tentu saja, di mana-mana, tetapi dalam bilangan kompleks Anda harus lebih berhati-hati dari sebelumnya! Ingatlah bahwa, perluas tanda kurung dengan hati-hati, jangan sampai ada yang hilang. Menurut pengamatan saya, kesalahan yang paling umum adalah hilangnya tanda. Jangan terburu-buru.

    Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran. Untuk membuat hidup lebih mudah, mari kita perhatikan beberapa formula yang berguna. Dalam Contoh 1, ditemukan bahwa. Sekarang kubus. Dengan menggunakan rumus perkalian yang disingkat, kita peroleh:

    Kondisi Cauchy-Riemann. Saya punya dua berita: baik dan buruk. Saya akan mulai dengan yang bagus. Untuk fungsi dari variabel kompleks, aturan diferensiasi dan tabel turunan dari fungsi dasar adalah valid.

    Jadi, turunan diambil dengan cara yang persis sama seperti dalam kasus fungsi variabel nyata. Kabar buruknya adalah bahwa untuk banyak fungsi dari suatu variabel kompleks tidak ada turunan sama sekali, dan kita harus mencari tahu apakah suatu fungsi tertentu dapat diturunkan.

    Dan "mencari tahu" bagaimana perasaan hati Anda dikaitkan dengan masalah tambahan. Pertimbangkan fungsi dari variabel kompleks. Agar fungsi ini dapat diturunkan, perlu dan cukup bahwa: 1) Bahwa ada turunan parsial dari orde pertama.

    Lupakan notasi ini segera, karena dalam teori fungsi variabel kompleks, versi lain dari notasi secara tradisional digunakan:. 2) Untuk memenuhi apa yang disebut kondisi Cauchy-Riemann :. Hanya dalam kasus ini turunannya akan ada. Tentukan bagian nyata dan imajiner dari fungsi tersebut. Periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann.

    Jika kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi, tentukan turunan dari fungsi tersebut. Solusinya didekomposisi menjadi tiga langkah berturut-turut: 1) Tentukan bagian nyata dan imajiner dari fungsi tersebut. Tugas ini dianalisis dalam contoh sebelumnya, jadi saya akan menuliskannya tanpa komentar:

    Dengan demikian:. adalah bagian nyata dari fungsi; adalah bagian imajiner dari fungsi. Saya akan membahas satu hal teknis lagi: dalam urutan apa istilah-istilah itu harus ditulis dalam bagian nyata dan imajiner? Ya, pada dasarnya tidak masalah. Misalnya, bagian nyata dapat ditulis seperti ini: , dan bagian imajiner seperti ini:. 3) Mari kita periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann. Ada dua dari mereka.

    Mari kita mulai dengan memeriksa kondisinya. Kami menemukan turunan parsial:. Dengan demikian, kondisi terpenuhi. Tidak diragukan lagi, kabar baiknya adalah turunan parsial hampir selalu sangat sederhana. Kami memeriksa pemenuhan kondisi kedua: Ternyata hal yang sama, tetapi dengan tanda yang berlawanan, yaitu syaratnya juga terpenuhi.

    Kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi, oleh karena itu, fungsinya terdiferensialkan. 3) Tentukan turunan dari fungsi tersebut. Turunannya juga sangat sederhana dan ditemukan menurut aturan biasa: Satuan imajiner dalam diferensiasi dianggap konstan. Jawaban: - bagian nyata, - bagian imajiner. Kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi. Ada dua cara lagi untuk menemukan turunan, tentu saja, lebih jarang digunakan, tetapi informasinya akan berguna untuk memahami pelajaran kedua - Bagaimana menemukan fungsi variabel kompleks.

    Turunannya dapat dicari dengan menggunakan rumus: Pada kasus ini:. Hal ini diperlukan untuk memecahkan masalah terbalik - dalam ekspresi yang dihasilkan perlu untuk mengisolasi.

    Untuk melakukan ini, perlu dalam persyaratan dan untuk mengambil dari tanda kurung :. Tindakan sebaliknya, seperti yang telah diperhatikan banyak orang, agak lebih sulit untuk dilakukan; untuk verifikasi, selalu lebih baik untuk mengambil ekspresi dan pada draf, atau membuka kembali tanda kurung secara lisan, memastikan bahwa itu akan menjadi tepat. Rumus cermin untuk mencari turunan:. Dalam hal ini: , jadi:. Tentukan bagian nyata dan imajiner dari fungsi tersebut.

    Periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann. Jika kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi, tentukan turunan dari fungsi tersebut. Solusi singkat dan contoh perkiraan penyelesaian di akhir pelajaran. Apakah kondisi Cauchy-Riemann selalu terpenuhi? Secara teoritis, mereka lebih sering tidak terpenuhi daripada mereka. Tetapi dalam contoh praktis, saya tidak ingat kasus di mana mereka tidak dieksekusi =) Jadi, jika turunan parsial Anda "tidak konvergen", maka dengan probabilitas yang sangat tinggi kami dapat mengatakan bahwa Anda membuat kesalahan di suatu tempat. Mari kita memperumit fungsi kita: Tentukan bagian nyata dan imajiner dari fungsi tersebut.

    Periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann. Menghitung. Solusi: Algoritme solusi dipertahankan sepenuhnya, tetapi mode baru ditambahkan di akhir: menemukan turunan pada suatu titik. Untuk kubus, rumus yang diperlukan telah diturunkan: Mari kita tentukan bagian nyata dan imajiner dari fungsi ini: Perhatian dan perhatian lagi. Dengan demikian:.

    adalah bagian nyata dari fungsi; adalah bagian imajiner dari fungsi. Mari kita periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann :. Memeriksa kondisi kedua:. Ternyata hal yang sama, tetapi dengan tanda yang berlawanan, yaitu syaratnya juga terpenuhi. Kondisi Cauchy-Riemann dipenuhi, oleh karena itu, fungsinya terdiferensiasi:.

    Hitung nilai turunan pada titik yang diperlukan :. Jawaban: , kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi. Fungsi dengan kubus yang umum, jadi contoh untuk memperbaiki:. Tentukan bagian nyata dan imajiner dari fungsi tersebut.

    Periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann. Menghitung.

    Keputusan dan penyelesaian sampel di akhir pelajaran. Dalam teori analisis kompleks, fungsi lain dari argumen kompleks juga didefinisikan: eksponensial, sinus, kosinus, dll. Fungsi-fungsi ini memiliki sifat yang tidak biasa dan bahkan aneh - dan ini sangat menarik! Saya benar-benar ingin memberi tahu Anda, tetapi di sini, kebetulan, bukan buku referensi atau buku teks, tetapi solusi, jadi saya akan mempertimbangkan tugas yang sama dengan beberapa fungsi umum. Pertama, tentang apa yang disebut rumus Euler:

    rumus Euler. Untuk setiap bilangan real, rumus berikut ini benar: Anda juga dapat menyalinnya ke dalam buku catatan Anda sebagai referensi.

    Sebenarnya, hanya ada satu formula, tetapi biasanya, untuk kenyamanan, mereka juga menulis kasus khusus dengan minus di indikator. Parameter tidak harus berupa satu huruf, dapat berupa ekspresi kompleks, fungsi, yang penting hanya mengambil nilai nyata. Sebenarnya, kita akan melihatnya sekarang: Tentukan bagian nyata dan imajiner dari fungsi tersebut. Periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann. Cari turunan.

    Solusi: Garis umum partai tetap tak tergoyahkan - perlu untuk memisahkan bagian nyata dan imajiner dari fungsi tersebut. Saya akan memberikan solusi terperinci, dan mengomentari setiap langkah di bawah ini: Dari dulu: (1) Pengganti untuk "z". (2) Setelah substitusi, bagian nyata dan imajiner harus dipisahkan terlebih dahulu dalam eksponen. Untuk melakukan ini, buka tanda kurung. (3) Kami mengelompokkan bagian imajiner dari indikator, menempatkan unit imajiner di luar tanda kurung.

    (4) Gunakan tindakan sekolah dengan kekuatan. (5) Untuk pengali, kami menggunakan rumus Euler, sedangkan. (6) Perluas tanda kurung, sebagai hasilnya:. adalah bagian nyata dari fungsi; adalah bagian imajiner dari fungsi. Tindakan selanjutnya adalah standar, mari kita periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann :. Turunan parsial sekali lagi tidak terlalu rumit, tetapi untuk setiap petugas pemadam kebakaran ia melukisnya sedetail mungkin.

    Mari kita periksa kondisi kedua: Kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi, kami menemukan turunannya :. Jawaban: , kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi. Untuk rumus Euler kedua, tugas untuk solusi independen: Tentukan bagian nyata dan imajiner dari fungsi tersebut. Periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann, temukan turunannya.

    Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran. ! Perhatian! Tanda minus dalam rumus Euler mengacu pada bagian imajiner, yaitu. Anda tidak bisa kehilangan minus. Langsung dari rumus Euler, seseorang dapat menurunkan rumus untuk ekspansi sinus dan kosinus menjadi bagian nyata dan imajiner. Kesimpulannya sendiri agak membosankan, omong-omong, di buku teks saya di depan mata saya (Bohan, Kalkulus, Volume 2). Oleh karena itu, saya akan segera memberikan hasil akhirnya, yang lagi-lagi berguna untuk ditulis ulang di buku referensi saya:

    Parameter "alpha" dan "beta" hanya mengambil nilai nyata, termasuk mereka dapat menjadi ekspresi kompleks, fungsi dari variabel nyata. Selain itu, fungsi hiperbolik digambar dalam rumus, ketika dibedakan, mereka berubah menjadi satu sama lain, bukan kebetulan saya memasukkannya ke dalam tabel turunan. Tentukan bagian nyata dan imajiner dari fungsi tersebut. Periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann. Jadi biarlah, kita tidak akan menemukan turunannya.

    Solusi: Algoritma solusi sangat mirip dengan dua contoh sebelumnya, tetapi ada poin yang sangat penting, jadi saya akan mengomentari tahap awal langkah demi langkah: Dari dulu: 1) Kami mengganti bukan "z". (2) Pertama, pilih bagian nyata dan imajiner di dalam sinus. Untuk tujuan ini, buka kurung. (3) Kami menggunakan rumus, dalam hal ini.

    (4) Kami menggunakan paritas kosinus hiperbolik. dan keanehan sinus hiperbolik.

    Hiperbolik, meskipun bukan dari dunia ini, tetapi dalam banyak hal mirip dengan fungsi trigonometri. adalah bagian nyata dari fungsi; adalah bagian imajiner dari fungsi.

    Perhatian! Tanda minus mengacu pada bagian imajiner, dan kita tidak boleh kehilangannya! Untuk ilustrasi visual, hasil yang diperoleh di atas dapat ditulis ulang sebagai berikut: Mari kita periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann :. Kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi. Jawaban: , kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi.

    Dengan cosinus, tuan dan nyonya, kami menanganinya sendiri: Tentukan bagian nyata dan imajiner dari fungsi tersebut. Periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann. Saya sengaja mengambil contoh yang lebih rumit, karena semua orang dapat menangani sesuatu seperti kacang kupas. Pada saat yang sama, latih perhatian Anda! Pemecah kacang di akhir pelajaran.

    Nah, sebagai kesimpulan, saya akan mempertimbangkan contoh menarik lainnya ketika argumen kompleks ada di penyebutnya. Kami bertemu beberapa kali dalam latihan, mari kita menganalisis sesuatu yang sederhana. Ah, aku semakin tua... Tentukan bagian nyata dan imajiner dari fungsi tersebut.

    Periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann. Solusi: Sekali lagi, perlu untuk memisahkan bagian nyata dan imajiner dari fungsi. Timbul pertanyaan, apa yang harus dilakukan ketika "Z" ada di penyebut. Semuanya sederhana - metode standar untuk mengalikan pembilang dan penyebut dengan ekspresi konjugat akan membantu. itu telah digunakan dalam contoh pelajaran Bilangan Kompleks untuk Boneka. Mari kita ingat rumus sekolah. Kami sudah memiliki penyebutnya, jadi itu akan menjadi ekspresi konjugasi.

    Jadi, Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebut dengan:. Itu saja, dan Anda takut: adalah bagian nyata dari fungsi; adalah bagian imajiner dari fungsi. Saya ulangi untuk ketiga kalinya - jangan kehilangan minus dari bagian imajiner. Mari kita periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann.

    Saya harus mengatakan, turunan parsial di sini bukan yang oh-hoo, tetapi bukan dari yang paling sederhana :. Kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi. Jawaban: , kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi. Sebagai epilog, cerita pendek tentang pingsan, atau tentang pertanyaan guru apa yang paling sulit. Pertanyaan yang paling sulit, anehnya, adalah pertanyaan dengan jawaban yang jelas.

    Dan ceritanya begini: seseorang mengikuti ujian aljabar, subjek tiketnya adalah "Sesuai dengan teorema dasar aljabar." Pemeriksa mendengarkan, mendengarkan, dan kemudian tiba-tiba bertanya: "Dari mana asalnya?". Ini dia pingsan, jadi pingsan. Seluruh penonton sudah panik, tetapi siswa tidak mengatakan jawaban yang benar: "dari teorema dasar aljabar."

    Saya ingat sejarah dari pengalaman pribadi, saya lulus fisika, sesuatu tentang tekanan cairan, yang saya tidak ingat lagi, tetapi gambar itu tetap dalam ingatan saya selamanya - pipa melengkung tempat cairan mengalir. Saya menjawab tiket itu “sangat baik”, dan bahkan saya sendiri mengerti apa yang telah saya jawab. Dan akhirnya, guru bertanya: “Di mana tabung arus di sini?”.

    Saya memutar dan memutar gambar ini dengan pipa melengkung selama sekitar lima menit, mengekspresikan versi terliar, menggergaji pipa, menggambar beberapa proyeksi. Dan jawabannya sederhana, tabung saat ini adalah seluruh pipa. Kami membongkar dengan baik, sampai jumpa di pelajaran Bagaimana menemukan fungsi dari variabel kompleks? Ada masalah terbalik.

    Terkadang yang jelas adalah yang paling sulit, saya berharap semua orang tidak melambat. Solusi dan jawaban:.

    Contoh 2: Solusi: karena, maka:. Jawaban: - bagian nyata, - bagian imajiner. Contoh 4: Solusi: Sejak, maka:. Dengan demikian:. adalah bagian nyata dari fungsi;

    adalah bagian imajiner dari fungsi. Mari kita periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann :. Kondisi terpenuhi. Syaratnya juga terpenuhi. Kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi, kami menemukan turunannya :. Jawaban: - bagian nyata, - bagian imajiner. Kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi.

    Contoh 6: Solusi: Tentukan bagian nyata dan imajiner dari fungsi ini. Dengan demikian:. adalah bagian nyata dari fungsi; adalah bagian imajiner dari fungsi. Mari kita periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann :. Kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi. Jawaban: , kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi.

    Contoh 8: Solusi: Sejak, maka:. Dengan demikian:. adalah bagian nyata dari fungsi;

    adalah bagian imajiner dari fungsi. Mari kita periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann :. Kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi, kami menemukan turunannya :. Jawaban: , kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi. Contoh 10: Solusi: Sejak, maka:. Dengan demikian:. adalah bagian nyata dari fungsi;

    adalah bagian imajiner dari fungsi. Mari kita periksa pemenuhan kondisi Cauchy-Riemann :. Kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi. Jawaban: , kondisi Cauchy-Riemann terpenuhi.

    Matras Perpustakaan forum

    Perpustakaan > Buku Matematika > Fungsi Variabel Kompleks

    Cari di perpustakaan menurut penulis dan kata kunci dari judul buku:

    Fungsi Variabel Kompleks

    • Aizenberg L.A., Yuzhakov A.P. Representasi integral dan residu dalam analisis kompleks multidimensi. Nsb.: Nauka, 1979 (djvu)
    • Alfopc L. Kuliah tentang pemetaan kuasikonformal. M.: Mir, 1969 (djvu)
    • Alfors L., Bers L. Ruang permukaan Riemann dan pemetaan kuasikonformal. M.: IL, 1961 (djvu)
    • Angileyko I.M., Kozlova R.V. Masalah dalam teori fungsi variabel kompleks. Mn.: Vysh. sekolah, 1976 (djvu)
    • Aramanovich I.G., Lunts G.L., Elsgolts L.E. Fungsi dari variabel kompleks. kalkulus operasional. Teori Stabilitas (edisi ke-2). Moskow: Nauka, 1968 (djvu)
    • Avdeev N.Ya. Taskbook-workshop pada kursus teori fungsi dari variabel yang kompleks. M.: Uchpedgiz, 1959 (djvu)
    • Belinsky P.P. Sifat umum pemetaan kuasikonformal. Nsb.: Nauka, 1974 (djvu)
    • Biberbach L. Kelanjutan analitis. Moskow: Nauka, 1967 (djvu)
    • Bitsadze A.V. Dasar-dasar teori fungsi analitik dari variabel kompleks. Moskow: Nauka, 1969 (djvu)
    • Bochner S., Martin W.T. Fungsi dari beberapa variabel kompleks. M.: IL, 1951 (djvu)
    • Bremerman G. Distribusi, variabel kompleks dan transformasi Fourier M.: Mir, 1968 (djvu)
    • Valiron J. Fungsi analitik. M.: GITTL, 1957 (djvu)
    • Wiener N., Paley R. Fourier transformasi dalam domain kompleks. Moskow: Nauka, 1964 (djvu)
    • Wittich G. Penelitian terbaru tentang fungsi analitik bernilai tunggal. Moskow: Fizmatlit, 1960 (djvu)
    • Vladimirov V.S. Metode teori fungsi beberapa variabel kompleks. Moskow: Nauka, 1964 (djvu)
    • Volkovysky L.I. Pemetaan kuasikonformal. Lvov: Lvov. universitas, 1954 (djvu)
    • Wu H. Teori ekuipartisi untuk kurva holomorfik. M.: Mir, 1973 (djvu)
    • Jenkins J. Fungsi univalen dan pemetaan konformal. M.: IL, 1962 (djvu)
    • Gunning R., Rossi H. Fungsi analitik dari banyak variabel kompleks. M.: Mir, 1969 (djvu)
    • Gakhov F.D. tugas batas. M.: GIFML, 1958 (djvu)
    • Gakhov F.D. Masalah Batas (edisi ke-2). M.: GIFML, 1963 (djvu)
    • Gakhov F.D. Masalah Batas (edisi ke-3.). Moskow: Nauka, 1977 (djvu)
    • Golubev V.V. Fungsi analitik bernilai tunggal adalah fungsi automorfik. Moskow: Fizmatlit, 1961 (djvu)
    • Goluzin G.M. Teori Geometris Fungsi dari Variabel Kompleks (Edisi ke-2). Moskow: Nauka, 1966 (djvu)
    • Goncharov V.L. Teori fungsi variabel kompleks. M.: Uchpedgiz, 1955 (djvu)
    • Gurvits A., Courant R. Teori fungsi. Moskow: Nauka, 1968 (djvu)
    • Demidov A.S. Metode Helmholtz-Kirchhoff (metode GK). EqWorld, 19.09.2007 (pdf)
    • Evgrafov M.A. (ed.) Kumpulan Soal dalam Teori Fungsi Analitik (edisi ke-2). M.: Nauka, 1972 (djvu)
    • Siegel K. Fungsi automorfik dari beberapa variabel kompleks. M.: IL, 1954 (djvu)
    • Carathéodory K. Pemetaan konformal. M.-L.: ONTI, 1934 (djvu)
    • Kartan A. Dasar teori fungsi variabel kompleks. M.: IL, 1963 (djvu)
    • Koppepfels V., Shtalman F. Praktek pemetaan konformal. M.: IL, 1963 (djvu)
    • Krasnov M.L. Kiselev A.I. Makarenko G.I. Fungsi dari variabel kompleks. kalkulus operasional. Teori stabilitas. Moskow: Nauka, 1971 (djvu)
    • Krushkal S.L., Apanasov B.N., Gusevsky N.A. Uniformization dan kelompok Kleinian. Koleksi: NGU, 1979 (djvu)
    • Courant R. Geometris teori fungsi dari variabel kompleks. L.-M.: ONTI, 1934 (djvu)
    • Prinsip Courant R. Dirichlet, pemetaan konformal dan permukaan minimal. M.: IL, 1953 (djvu)
    • Lavrentiev M.A. Pemetaan konformal dengan aplikasi untuk beberapa pertanyaan dalam mekanika. M.-L.: OGIZ, 1946 (djvu)
    • Lavrentiev M.A., Shabat B.V. Metode teori fungsi variabel kompleks. Moskow: Nauka, 1965 (djvu)
    • Levin B.Ya. Distribusi akar dari seluruh fungsi. M.: GITTL, 1956 (djvu)
    • Leontiev A.F. Barisan peserta pameran. M.: Nauka, 1976 (djvu)
    • Malgrange B. Kuliah tentang teori fungsi beberapa variabel kompleks. Moskow: Nauka, 1969 (djvu)
    • Kelas fungsi Mandelbroit S. Quasianalytic. L.-M.: ONTI, 1937 (djvu)
    • Markushevich A.I. Esai tentang sejarah teori fungsi analitik. M.-L.: GITTL, 1951 (djvu)
    • Milin I.M. Fungsi univalen dan sistem ortonormal. Moskow: Nauka, 1971 (djvu)
    • Milnor J. Titik singular hypersurfaces kompleks. M.: Mir, 1971 (djvu)
    • Monakhov V.N., Semenko E.V. Masalah nilai batas dan operator pseudodiferensial pada permukaan Riemann. Moskow: Fizmatlit, 2003 (djvu)
    • Montel P. Keluarga normal fungsi analitik. M.-L.: ONTI, 1936 (djvu)
    • Mors M. Metode topologi teori fungsi variabel kompleks. M.: IL, 1951 (djvu)
    • Narasimhan R. Analisis pada lipatan nyata dan kompleks. M.: Mir, 1971 (djvu)
    • Nevanlinna R. Fungsi analitik bernilai tunggal. M.-L.: GITTL, 1941 (djvu)
    • Petrenko V.P. Pertumbuhan fungsi meromorfik. Kharkiv: KhSU, sekolah Vishcha, 1978 (djvu)
    • Privalov I.I. Sifat Batas dari Fungsi Analitik (edisi ke-2). M.-L.: GITTL, 1950 (djvu)
    • Privalov I.I. fungsi subharmonik. M.-L.: GRTTL, 1937 (djvu)
    • Rudin W. Teori fungsi dalam polycircle. M.: Mir, 1974 (djvu)
    • Sveshnikov A.G., Tikhonov A.N. Teori fungsi variabel kompleks. Moskow: Nauka, 1967 (djvu)
    • Springer J. Pengantar teori permukaan Riemann. M.: IL, 1960

    ARTIKEL TERKAIT