Sebuah miniatur dan tugas yang agak sederhana dari jenis yang berfungsi sebagai penyelamat bagi siswa mengambang. Di alam, alam mengantuk pertengahan Juli, jadi saatnya untuk menetap dengan laptop di pantai. Pagi-pagi sekali, sinar matahari teori mulai bermain untuk segera fokus pada latihan, yang, meskipun dinyatakan ringan, mengandung pecahan kaca di pasir. Dalam hal ini, saya sarankan dengan cermat mempertimbangkan beberapa contoh halaman ini. Untuk menyelesaikan tugas-tugas praktis, Anda harus mampu temukan turunan dan pahami materi artikelnya Interval monotonisitas dan ekstrem dari suatu fungsi.

Pertama, secara singkat tentang hal utama. Dalam pelajaran tentang kontinuitas fungsi Saya memberikan definisi kontinuitas pada suatu titik dan kontinuitas pada suatu interval. Perilaku teladan dari suatu fungsi pada segmen dirumuskan dengan cara yang sama. Suatu fungsi kontinu pada segmen jika:

1) kontinu pada interval ;
2) kontinu pada suatu titik di sebelah kanan dan pada intinya kiri.

Paragraf kedua membahas apa yang disebut kontinuitas sepihak berfungsi pada suatu titik. Ada beberapa pendekatan untuk definisinya, tetapi saya akan tetap berpegang pada garis yang dimulai sebelumnya:

Fungsi kontinu di suatu titik di sebelah kanan, jika didefinisikan pada titik tertentu dan limit kanannya bertepatan dengan nilai fungsi pada titik tertentu: . Hal ini terus menerus pada titik kiri, jika didefinisikan pada suatu titik tertentu dan limit kirinya sama dengan nilai pada titik tersebut:

Bayangkan bahwa titik-titik hijau adalah paku tempat karet gelang ajaib terpasang:

Ambil garis merah di tangan Anda secara mental. Jelas, tidak peduli seberapa jauh kita meregangkan grafik ke atas dan ke bawah (sepanjang sumbu), fungsinya akan tetap ada terbatas- lindung nilai di atas, lindung nilai di bawah, dan produk kami merumput di paddock. Lewat sini, fungsi kontinu pada segmen terbatas di atasnya. Dalam proses analisis matematis, fakta yang tampaknya sederhana ini dinyatakan dan dibuktikan secara ketat teorema pertama Weierstrass.…Banyak yang kesal karena pernyataan dasar terlalu sulit dibuktikan dalam matematika, tetapi ini memiliki arti penting. Misalkan penduduk tertentu dari Abad Pertengahan terry menarik grafik ke langit di luar batas visibilitas, dan ini dimasukkan. Sebelum penemuan teleskop, fungsi terbatas di ruang angkasa sama sekali tidak jelas! Memang, bagaimana Anda tahu apa yang menanti kita di luar cakrawala? Lagi pula, dulu Bumi dianggap datar, jadi hari ini bahkan teleportasi biasa pun membutuhkan bukti =)

Berdasarkan teorema Weierstrass kedua, kontinu pada segmenfungsi mencapai tepi atas yang tepat dan miliknya tepi bawah yang tepat .

Nomor tersebut juga disebut nilai maksimum fungsi pada segmen dan dilambangkan dengan , dan bilangan - nilai minimum fungsi pada segmen dengan pemberitahuan.

Dalam kasus kami:

Catatan : secara teori, catatan adalah hal biasa .

Secara kasar, nilai terbesar terletak di mana titik tertinggi grafik, dan yang terkecil - di mana titik terendah.

Penting! Seperti yang sudah ditunjukkan dalam artikel tentang ekstrem dari fungsi, nilai terbesar dari fungsi Dan nilai fungsi terkecil – TIDAK SAMA, Apa fungsi maksimal Dan fungsi minimum. Jadi, dalam contoh ini, jumlahnya adalah fungsi minimum, tetapi bukan nilai minimum.

Omong-omong, apa yang terjadi di luar segmen? Ya, bahkan banjir, dalam konteks masalah yang sedang dibahas, ini sama sekali tidak menarik bagi kami. Tugasnya hanya melibatkan menemukan dua angka dan itu saja!

Selain itu, solusinya adalah murni analitis, oleh karena itu, tidak perlu menggambar!

Algoritma terletak di permukaan dan menunjukkan dirinya dari gambar di atas:

1) Temukan nilai fungsi dalam titik kritis, yang termasuk dalam segmen ini.

Tangkap satu hal lagi: tidak perlu memeriksa kondisi yang cukup untuk ekstrem, karena, seperti yang baru saja ditunjukkan, adanya minimum atau maksimum belum dijamin berapa nilai minimum atau maksimumnya. Fungsi demonstrasi mencapai maksimum dan, dengan kehendak takdir, jumlah yang sama adalah nilai terbesar dari fungsi pada interval . Tapi, tentu saja, kebetulan seperti itu tidak selalu terjadi.

Jadi, pada langkah pertama, lebih cepat dan lebih mudah untuk menghitung nilai fungsi pada titik-titik kritis milik segmen, tanpa peduli apakah mereka memiliki ekstrem atau tidak.

2) Kami menghitung nilai fungsi di ujung segmen.

3) Diantara nilai fungsi yang terdapat pada paragraf 1 dan 2, pilih bilangan terkecil dan terbesar, tuliskan jawabannya.

Kami duduk di tepi laut biru dan menabrak tumit di air dangkal:

Contoh 1

Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada segmen

Larutan:
1) Hitung nilai fungsi pada titik kritis milik segmen ini:

Mari kita hitung nilai fungsi pada titik kritis kedua:

2) Hitung nilai fungsi di ujung segmen:

3) Hasil "Gemuk" diperoleh dengan eksponensial dan logaritma, yang secara signifikan memperumit perbandingannya. Untuk alasan ini, kami akan mempersenjatai diri dengan kalkulator atau Excel dan menghitung nilai perkiraan, tidak lupa bahwa:

Sekarang semuanya jelas.

Menjawab:

Contoh pecahan-rasional untuk solusi independen:

Contoh 6

Temukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi pada segmen

Dari segi praktis, yang paling menarik adalah penggunaan turunan untuk mencari nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi. Apa hubungannya? Memaksimalkan keuntungan, meminimalkan biaya, menentukan beban peralatan yang optimal... Dengan kata lain, di banyak bidang kehidupan, seseorang harus memecahkan masalah pengoptimalan beberapa parameter. Dan ini adalah masalah menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi.

Perlu dicatat bahwa nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi biasanya dicari pada beberapa interval X , yang merupakan domain seluruh fungsi atau bagian dari domain. Interval X itu sendiri dapat berupa segmen garis, interval terbuka , interval tak terbatas.

Pada artikel ini, kita akan berbicara tentang menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi yang diberikan secara eksplisit dari satu variabel y=f(x) .

Navigasi halaman.

Nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi - definisi, ilustrasi.

Mari kita membahas definisi utama secara singkat.

Nilai terbesar dari fungsi , yang untuk setiap ketidaksetaraan itu benar.

Nilai terkecil dari fungsi y=f(x) pada interval X disebut nilai seperti itu , yang untuk setiap ketidaksetaraan itu benar.

Definisi ini intuitif: nilai terbesar (terkecil) dari suatu fungsi adalah nilai terbesar (terkecil) yang diterima dalam interval yang dipertimbangkan dengan absis.

Titik stasioner adalah nilai argumen di mana turunan dari fungsi tersebut hilang.

Mengapa kita membutuhkan titik stasioner saat mencari nilai terbesar dan terkecil? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema Fermat. Dari teorema ini dapat disimpulkan bahwa jika suatu fungsi terdiferensiasi memiliki suatu ekstrem (minimum lokal atau maksimum lokal) di beberapa titik, maka titik ini stasioner. Jadi, fungsi sering kali mengambil nilai terbesar (terkecil) pada interval X di salah satu titik stasioner dari interval ini.

Juga, suatu fungsi sering kali dapat mengambil nilai terbesar dan terkecil pada titik di mana turunan pertama dari fungsi ini tidak ada, dan fungsi itu sendiri didefinisikan.

Mari kita segera menjawab salah satu pertanyaan paling umum tentang topik ini: "Apakah selalu mungkin untuk menentukan nilai terbesar (terkecil) dari suatu fungsi"? Tidak tidak selalu. Kadang-kadang batas-batas interval X bertepatan dengan batas-batas domain fungsi, atau interval X tidak terbatas. Dan beberapa fungsi pada tak hingga dan pada batas-batas domain definisi dapat mengambil nilai yang sangat besar dan kecil. Dalam kasus ini, tidak ada yang bisa dikatakan tentang nilai terbesar dan terkecil dari fungsi tersebut.

Untuk kejelasan, kami memberikan ilustrasi grafis. Lihatlah gambar - dan banyak yang akan menjadi jelas.

Di segmen

Pada gambar pertama, fungsi mengambil nilai terbesar (max y ) dan terkecil (min y ) pada titik stasioner di dalam segmen [-6;6] .

Perhatikan kasus yang ditunjukkan pada gambar kedua. Ubah segmen menjadi . Dalam contoh ini, nilai fungsi terkecil dicapai pada titik stasioner, dan terbesar - pada titik dengan absis yang sesuai dengan batas kanan interval.

Pada gambar No. 3, titik-titik batas segmen [-3; 2] adalah absis dari titik-titik yang bersesuaian dengan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi tersebut.

Dalam rentang terbuka

Pada gambar keempat, fungsi mengambil nilai terbesar (max y ) dan terkecil (min y ) pada titik-titik stasioner dalam interval terbuka (-6;6) .

Pada interval , tidak ada kesimpulan yang dapat ditarik tentang nilai terbesar.

di tak terhingga

Dalam contoh yang ditunjukkan pada gambar ketujuh, fungsi mengambil nilai terbesar (max y ) pada titik stasioner dengan absis x=1 , dan nilai terkecil (min y ) dicapai pada batas kanan interval. Pada minus tak terhingga, nilai-nilai fungsi secara asimtotik mendekati y=3 .

Pada interval, fungsi tidak mencapai nilai terkecil atau terbesar. Karena x=2 cenderung ke kanan, nilai fungsi cenderung minus tak terhingga (garis lurus x=2 adalah asimtot vertikal), dan karena absis cenderung plus tak terhingga, nilai fungsi mendekati y=3 . Ilustrasi grafis dari contoh ini ditunjukkan pada Gambar 8.

Algoritma untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu pada segmen.

Kami menulis algoritma yang memungkinkan kami menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen.

1. Kami menemukan domain fungsi dan memeriksa apakah itu berisi seluruh segmen.
2. Kami menemukan semua titik di mana turunan pertama tidak ada dan yang terkandung dalam segmen (biasanya titik-titik tersebut terjadi pada fungsi dengan argumen di bawah tanda modul dan dalam fungsi pangkat dengan eksponen rasional fraksional). Jika tidak ada poin seperti itu, maka lanjutkan ke poin berikutnya.
3. Kami menentukan semua titik stasioner yang termasuk dalam segmen. Untuk melakukan ini, kami menyamakannya dengan nol, menyelesaikan persamaan yang dihasilkan dan memilih akar yang sesuai. Jika tidak ada titik stasioner atau tidak ada satupun yang masuk ke dalam segmen, maka lanjutkan ke langkah berikutnya.
4. Kami menghitung nilai fungsi pada titik stasioner yang dipilih (jika ada), pada titik di mana turunan pertama tidak ada (jika ada), dan juga pada x=a dan x=b .
5. Dari nilai fungsi yang diperoleh, kami memilih yang terbesar dan terkecil - masing-masing akan menjadi nilai fungsi maksimum dan terkecil yang diinginkan.

Mari kita menganalisis algoritma saat memecahkan contoh untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen.

Contoh.

Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi

• pada segmen;
• pada interval [-4;-1] .

Larutan.

Domain dari fungsi tersebut adalah seluruh himpunan bilangan real, kecuali nol, yaitu . Kedua segmen termasuk dalam domain definisi.

Kami menemukan turunan dari fungsi sehubungan dengan:

Jelas, turunan dari fungsi ada di semua titik segmen dan [-4;-1] .

Titik stasioner ditentukan dari persamaan . Satu-satunya akar real adalah x=2 . Titik stasioner ini jatuh ke segmen pertama.

Untuk kasus pertama, kami menghitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik stasioner, yaitu untuk x=1 , x=2 dan x=4 :

Jadi, nilai terbesar dari fungsi dicapai pada x=1 , dan nilai terkecil – pada x=2 .

Untuk kasus kedua, kami menghitung nilai fungsi hanya di ujung segmen [-4;-1] (karena tidak mengandung titik stasioner):

Larutan.

Mari kita mulai dengan ruang lingkup fungsi. Trinomial kuadrat penyebut pecahan tidak boleh hilang:

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa semua interval dari kondisi masalah termasuk dalam domain fungsi.

Mari kita bedakan fungsinya:

Jelas, turunan ada di seluruh domain fungsi.

Mari kita cari titik stasioner. Turunan menghilang di . Titik stasioner ini berada dalam interval (-3;1] dan (-3;2) .

Dan sekarang Anda dapat membandingkan hasil yang diperoleh pada setiap titik dengan grafik fungsi. Garis putus-putus biru menunjukkan asimtot.

Ini dapat diakhiri dengan mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi tersebut. Algoritme yang dibahas dalam artikel ini memungkinkan Anda mendapatkan hasil dengan tindakan minimum. Namun, akan berguna untuk terlebih dahulu menentukan interval kenaikan dan penurunan fungsi dan hanya setelah itu menarik kesimpulan tentang nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada interval apa pun. Ini memberikan gambaran yang lebih jelas dan pembenaran hasil yang ketat.

Pernyataan Masalah 2:

Diberikan suatu fungsi yang terdefinisi dan kontinu pada suatu interval . Diperlukan untuk menemukan nilai terbesar (terkecil) dari fungsi pada interval ini.

Landasan teori.
Teorema (Teorema Weierstrass Kedua):

Jika suatu fungsi didefinisikan dan kontinu dalam interval tertutup , maka ia mencapai nilai maksimum dan minimumnya dalam interval ini.

Fungsi dapat mencapai nilai maksimum dan minimumnya baik pada titik internal interval atau pada batasnya. Mari kita ilustrasikan semua opsi yang mungkin.

Penjelasan:
1) Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada batas kiri interval pada titik , dan nilai minimumnya pada batas kanan interval pada titik .
2) Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada titik (ini adalah titik maksimum), dan nilai minimumnya pada batas kanan interval pada titik tersebut.
3) Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada batas kiri interval pada titik , dan nilai minimumnya pada titik (ini adalah titik minimum).
4) Fungsinya konstan pada interval, mis. itu mencapai nilai minimum dan maksimumnya pada titik mana pun dalam interval, dan nilai minimum dan maksimumnya sama satu sama lain.
5) Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada titik , dan nilai minimumnya pada titik tersebut (terlepas dari kenyataan bahwa fungsi tersebut memiliki maksimum dan minimum pada interval ini).
6) Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada suatu titik (ini adalah titik maksimum), dan nilai minimumnya pada suatu titik (ini adalah titik minimum).
Komentar:

"Maksimum" dan "nilai maksimum" adalah hal yang berbeda. Ini mengikuti dari definisi maksimum dan pemahaman intuitif dari frasa "nilai maksimum".

Algoritma untuk memecahkan masalah 2.



4) Pilih dari nilai yang diperoleh terbesar (terkecil) dan tuliskan jawabannya.

Contoh 4:

Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada segmen.
Larutan:
1) Tentukan turunan dari fungsi tersebut.

2) Temukan titik stasioner (dan titik yang mencurigakan dari ekstrem) dengan menyelesaikan persamaan . Perhatikan titik-titik di mana tidak ada turunan hingga dua sisi.

3) Hitung nilai fungsi pada titik stasioner dan pada batas interval.

4) Pilih dari nilai yang diperoleh terbesar (terkecil) dan tuliskan jawabannya.

Fungsi pada segmen ini mencapai nilai maksimumnya pada titik dengan koordinat .

Fungsi pada segmen ini mencapai nilai minimumnya pada titik dengan koordinat .

Anda dapat memverifikasi kebenaran perhitungan dengan melihat grafik fungsi yang dipelajari.


Komentar: Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada titik maksimum, dan nilai minimum pada batas segmen.

Kasus spesial.

Misalkan Anda ingin mencari nilai maksimum dan minimum dari beberapa fungsi pada suatu segmen. Setelah eksekusi paragraf pertama dari algoritma, mis. perhitungan turunan, menjadi jelas bahwa, misalnya, hanya mengambil nilai negatif pada seluruh segmen yang dipertimbangkan. Ingat bahwa jika turunannya negatif, maka fungsinya menurun. Kami menemukan bahwa fungsi menurun pada seluruh interval. Situasi ini ditunjukkan pada grafik No. 1 di awal artikel.

Fungsi menurun pada interval, mis. tidak memiliki titik ekstrem. Dari gambar dapat dilihat bahwa fungsi akan mengambil nilai terkecil di batas kanan segmen, dan nilai terbesar di kiri. jika turunan pada interval di mana-mana positif, maka fungsinya meningkat. Nilai terkecil ada di batas kiri segmen, yang terbesar ada di kanan.

Seringkali perlu untuk memecahkan masalah di mana perlu untuk menemukan nilai terbesar atau terkecil dari himpunan nilai-nilai yang diambil suatu fungsi pada segmen.

Mari kita beralih, misalnya, ke grafik fungsi f (x) \u003d 1 + 2x 2 - x 4 pada segmen [-1; 2]. Untuk bekerja dengan suatu fungsi, kita perlu memplot grafiknya.

Dapat dilihat dari grafik yang dibangun bahwa fungsi mengambil nilai terbesar pada segmen ini, sama dengan 2, pada titik-titik: x = -1 dan x = 1; nilai terkecil sama dengan -7, fungsi mengambil di x = 2.

Titik x \u003d 0 adalah titik minimum dari fungsi f (x) \u003d 1 + 2x 2 - x 4. Ini berarti bahwa ada lingkungan dari titik x \u003d 0, misalnya, interval (-1/2; 1/2) - sedemikian rupa sehingga di lingkungan ini fungsi mengambil nilai terkecil pada x \u003d 0. Namun, pada interval yang lebih besar, misalnya, pada segmen [ -satu; 2], fungsi mengambil nilai terkecil di akhir segmen, dan bukan di titik minimum.

Jadi, untuk menemukan nilai terkecil dari suatu fungsi pada segmen tertentu, perlu membandingkan nilainya di ujung segmen dan di titik minimum.

Secara umum, misalkan fungsi f(x) kontinu pada suatu segmen dan fungsi tersebut memiliki turunan di setiap titik interior segmen ini.

Untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen, perlu:

1) temukan nilai fungsi di ujung segmen, mis. bilangan f(a) dan f(b);

2) menemukan nilai-nilai fungsi pada titik-titik stasioner yang termasuk dalam interval (a; b);

3) pilih yang terbesar dan terkecil dari nilai yang ditemukan.

Mari kita terapkan pengetahuan yang diperoleh dalam praktik dan pertimbangkan masalahnya.

Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi f (x) \u003d x 3 + x / 3 pada segmen.

Larutan.

1) f(1/2) = 6 1/8, f(2) = 9 .

2) f´(x) \u003d 3x 2 - 3 / x 2 \u003d (3x 4 - 3) / x 2, 3x 4 - 3 \u003d 0; x 1 = 1, x 2 = -1.

Interval (1/2; 2) berisi satu titik stasioner x 1 = 1, f(1) = 4.

3) Dari bilangan 6 1/8, 9 dan 4 yang terbesar adalah 9 , yang terkecil adalah 4.

Menjawab. Nilai fitur terbesar adalah 9 , nilai fitur terkecil adalah 4.

Seringkali, ketika memecahkan masalah, perlu untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi bukan pada segmen, tetapi pada interval.

Dalam masalah praktis, fungsi f(x) biasanya hanya memiliki satu titik stasioner pada interval tertentu: baik titik maksimum atau titik minimum. Dalam kasus ini, fungsi f(x) mengambil nilai terbesar dalam interval tertentu pada titik maksimum, dan pada titik minimum, nilai terkecil dalam interval ini. Mari kita beralih ke masalah.

Angka 36 ditulis sebagai produk dari dua angka positif, yang jumlahnya terkecil.

Larutan.

1) Misalkan faktor pertama adalah x, maka faktor kedua adalah 36/x.

2) Jumlah bilangan-bilangan tersebut adalah x + 36/x.

3) Menurut kondisi masalah, x adalah bilangan positif. Jadi, masalahnya direduksi menjadi mencari nilai x - sedemikian rupa sehingga fungsi f (x) \u003d x + 36 / x mengambil nilai terkecil pada interval x > 0.

4) Temukan turunannya: f´(x) \u003d 1 - 36 / x 2 \u003d ((x + 6) (x - 6)) / x 2.

5) Titik stasioner x 1 = 6, x 2 = -6. Pada interval x > 0, hanya ada satu titik stasioner x = 6. Ketika melewati titik x = 6, turunannya berubah tanda “–” menjadi “+”, dan oleh karena itu x = 6 adalah titik minimum. Akibatnya, fungsi f(x) = x + 36/x mengambil nilai terkecil pada interval x > 0 pada titik x = 6 (ini adalah nilai f(6) = 12).

Menjawab. 36 = 6 6.

Saat memecahkan beberapa masalah di mana perlu untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi, akan berguna untuk menggunakan pernyataan berikut:

jika nilai-nilai fungsi f(x) pada suatu interval non-negatif, maka fungsi ini dan fungsi (f(x)) n , di mana n adalah bilangan asli, ambil nilai terbesar (terkecil) di titik yang sama.

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.