Pada artikel ini, kami mencantumkan sifat-sifat utama integral tertentu. Sebagian besar sifat-sifat ini dibuktikan berdasarkan konsep integral tertentu Riemann dan Darboux.

Perhitungan integral tertentu sangat sering dilakukan dengan menggunakan lima sifat pertama, jadi kami akan merujuknya jika perlu. Sifat-sifat yang tersisa dari integral tertentu terutama digunakan untuk mengevaluasi berbagai ekspresi.

Sebelum melanjutkan ke sifat dasar integral tertentu, kita setuju bahwa a tidak melebihi b .

Untuk fungsi y = f(x) , didefinisikan untuk x = a , persamaannya benar.

Artinya, nilai integral tertentu dengan batas integrasi yang sama adalah nol. Properti ini merupakan konsekuensi dari definisi integral Riemann, karena dalam hal ini setiap jumlah integral untuk setiap partisi interval dan setiap pilihan titik sama dengan nol, karena, oleh karena itu, batas jumlah integral adalah nol.

Untuk suatu fungsi yang dapat diintegralkan pada suatu segmen, kita memiliki .

Dengan kata lain, ketika batas atas dan bawah integrasi dibalik, nilai integral tertentu dibalik. Sifat integral tertentu ini juga mengikuti konsep integral Riemann, hanya saja penomoran partisi suatu ruas harus dimulai dari titik x = b.

untuk fungsi y = f(x) dan y = g(x) dapat diintegralkan pada suatu interval.

Bukti.

Kami menulis jumlah integral dari fungsi untuk partisi segmen tertentu dan pilihan titik yang diberikan:

di mana dan adalah jumlah integral dari fungsi y = f(x) dan y = g(x) untuk partisi segmen tertentu.

Melewati batas di kita peroleh bahwa, menurut definisi integral Riemann, ekuivalen dengan penegasan sifat yang dibuktikan.

Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda integral tertentu. Yaitu, untuk suatu fungsi yang dapat diintegralkan pada segmen y = f(x) dan bilangan arbitrer k, persamaan .

Bukti dari sifat integral tertentu ini benar-benar mirip dengan yang sebelumnya:


Misalkan fungsi y = f(x) dapat diintegralkan pada interval X , dan lalu .

Properti ini berlaku untuk keduanya dan untuk atau .

Pembuktian dapat dilakukan berdasarkan sifat-sifat integral tertentu sebelumnya.

Jika suatu fungsi dapat diintegralkan pada suatu segmen, maka fungsi tersebut juga dapat diintegralkan pada setiap segmen internal.

Buktinya didasarkan pada properti jumlah Darboux: jika poin baru ditambahkan ke partisi segmen yang ada, maka jumlah Darboux yang lebih rendah tidak akan berkurang, dan yang atas tidak akan bertambah.

Jika fungsi y = f(x) dapat diintegralkan pada interval dan untuk sembarang nilai argumen , maka .

Sifat ini dibuktikan melalui definisi integral Riemann: setiap jumlah integral untuk setiap pilihan titik pemisah segmen dan titik di akan menjadi non-negatif (tidak positif).

Konsekuensi.

Untuk fungsi y = f(x) dan y = g(x) yang dapat diintegralkan pada suatu interval, pertidaksamaan berikut berlaku:


Pernyataan ini berarti bahwa integrasi pertidaksamaan dapat diterima. Kita akan menggunakan akibat wajar ini untuk membuktikan sifat-sifat berikut.

Biarkan fungsi y = f(x) integral pada segmen , maka pertidaksamaan .

Bukti.

Jelas bahwa . Dalam properti sebelumnya, kami menemukan bahwa pertidaksamaan dapat diintegrasikan istilah demi istilah, oleh karena itu, itu benar . Pertidaksamaan ganda ini dapat ditulis sebagai .

Misalkan fungsi y = f(x) dan y = g(x) dapat diintegralkan pada interval dan untuk sembarang nilai argumen , maka , di mana dan .

Pembuktian dilakukan dengan cara yang sama. Karena m dan M adalah nilai terkecil dan terbesar dari fungsi y = f(x) pada ruas , maka . Mengalikan pertidaksamaan ganda dengan fungsi non-negatif y = g(x) membawa kita ke pertidaksamaan ganda berikut. Mengintegrasikannya pada segmen , kita sampai pada pernyataan yang harus dibuktikan.

Konsekuensi.

Jika kita ambil g(x) = 1 , maka pertidaksamaan berbentuk .

Rumus pertama untuk rata-rata.

Biarkan fungsi y = f(x) dapat diintegralkan pada segmen , dan , maka ada bilangan sehingga .

Konsekuensi.

Jika fungsi y = f(x) kontinu pada ruas , maka ada bilangan sedemikian sehingga .

Rumus pertama dari nilai rata-rata dalam bentuk umum.

Biarkan fungsi y = f(x) dan y = g(x) dapat diintegralkan pada interval , dan , dan g(x) > 0 untuk setiap nilai argumen . Kemudian ada bilangan sedemikian rupa sehingga .

Rumus kedua untuk rata-rata.

Jika pada suatu ruas fungsi y = f(x) dapat diintegralkan dan y = g(x) monoton, maka terdapat bilangan sedemikian rupa sehingga persamaan .

Sifat-sifat ini digunakan untuk melakukan transformasi integral untuk membawanya ke salah satu integral dasar dan perhitungan lebih lanjut.

1. Turunan integral tak tentu sama dengan integral:

2. Diferensial integral tak tentu sama dengan integran:

3. Integral tak tentu dari diferensial beberapa fungsi sama dengan jumlah fungsi ini dan konstanta arbitrer:

4. Faktor konstanta dapat diambil dari tanda integral:

Selain itu, 0

5. Integral jumlah (selisih) sama dengan jumlah (selisih) integral:

6. Properti adalah kombinasi dari properti 4 dan 5:

Selain itu, a 0 b 0

7. Sifat invarian dari integral tak tentu:

Jika kemudian

8. Properti:

Jika kemudian

Sebenarnya, properti ini adalah kasus khusus integrasi menggunakan metode perubahan variabel, yang akan dibahas lebih rinci di bagian berikutnya.

Pertimbangkan sebuah contoh:

Pertama kita menerapkan properti 5, kemudian properti 4, kemudian kita menggunakan tabel antiturunan dan mendapatkan hasilnya.

Algoritme kalkulator integral online kami mendukung semua properti yang tercantum di atas dan akan dengan mudah menemukan solusi terperinci untuk integral Anda.

Dalam kalkulus diferensial, masalahnya diselesaikan: di bawah fungsi yang diberikan (x) temukan turunannya(atau diferensial). Kalkulus integral memecahkan masalah invers: untuk menemukan fungsi F (x), mengetahui turunannya F "(x) \u003d (x) (atau diferensial). Fungsi yang diinginkan F (x) disebut antiturunan dari fungsi (x).

Fungsi F(x) disebut primitif fungsi (x) pada interval (a; b), jika untuk sembarang x (a; b) persamaan

F " (x)=ƒ(x) (atau dF(x)=ƒ(x)dx).

Misalnya, fungsi antiturunan y \u003d x 2, x R, adalah suatu fungsi, karena

Jelas, antiturunan juga akan menjadi fungsi apa pun

di mana C adalah konstanta, karena

Teorema 29. 1. Jika fungsi F(x) adalah antiturunan dari fungsi (x) pada (a;b), maka himpunan semua antiturunan untuk (x) diberikan oleh rumus F(x)+ C, di mana C adalah bilangan konstan.

Fungsi F(x)+C adalah antiturunan dari (x).

Memang, (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x).

Misalkan F(x) adalah suatu yang lain, berbeda dari F(x), antiturunan dari fungsi (x), yaitu, "(x)=ƒ(x). Maka untuk sembarang x (a; b) kita miliki

Dan ini berarti (lihat Akibat wajar 25.1) bahwa

dimana C adalah bilangan konstan. Oleh karena itu, (х)=F(x)+.▼

Himpunan semua fungsi primitif F(x)+C untuk (x) disebut integral tak tentu dari fungsi (x) dan dilambangkan dengan simbol (x) dx.

Jadi menurut definisi

(x)dx= F(x)+C.

Di sini (x) disebut integral, (x)dx — integral, X - variabel integrasi, ∫ -tanda integral tak tentu.

Operasi mencari integral tak tentu dari suatu fungsi disebut integrasi dari fungsi ini.

Integral tak tentu geometris adalah keluarga kurva "paralel" y \u003d F (x) + C (setiap nilai numerik C sesuai dengan kurva keluarga tertentu) (lihat Gambar 166). Grafik setiap antiturunan (kurva) disebut kurva integral.

Apakah setiap fungsi memiliki integral tak tentu?

Ada teorema yang menyatakan bahwa "setiap fungsi kontinu pada (a; b) memiliki antiturunan pada interval ini", dan, akibatnya, integral tak tentu.

Kami mencatat sejumlah sifat integral tak tentu yang mengikuti dari definisinya.

1. Diferensial integral tak tentu sama dengan integran, dan turunan integral tak tentu sama dengan integran:

d(∫ (x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ (x)dx) "=ƒ(x).

Memang, d (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (F (x) + C) \u003d dF (x) + d (C) \u003d F "(x) dx \u003d (x) dx

(∫ (x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x).

Berkat properti ini, kebenaran integrasi diverifikasi oleh diferensiasi. Misalnya persamaan

(3x 2 + 4) dx=x t + 4x+C

benar, karena (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4.

2. Integral tak tentu dari diferensial beberapa fungsi sama dengan jumlah fungsi ini dan konstanta arbitrer:

dF(x)=F(x)+C.

Betulkah,

3. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda integral:

0 adalah konstanta.

Betulkah,

(letakkan C 1 / a \u003d C.)

4. Integral tak tentu dari jumlah aljabar dari sejumlah fungsi kontinu adalah sama dengan jumlah aljabar integral dari suku-suku fungsi:

Misalkan F"(x)=ƒ(x) dan G"(x)=g(x). Kemudian

di mana C 1 ±C 2 \u003d C.

5. (Invarians dari rumus integrasi).

Jika sebuah , di mana u=φ(x) adalah fungsi arbitrer yang memiliki turunan kontinu.

Misalkan x adalah variabel bebas, (x) fungsi kontinu dan F(x) antiturunannya. Kemudian

Mari kita tentukan u=φ(x), di mana (x) adalah fungsi terdiferensiasi kontinu. Pertimbangkan fungsi kompleks F(u)=F(φ(x)). Karena invarian dari bentuk diferensial pertama dari fungsi tersebut (lihat hal. 160), kita mendapatkan

Dari sini▼

Dengan demikian, rumus integral tak tentu tetap berlaku terlepas dari apakah variabel integrasi merupakan variabel bebas atau fungsi apa pun yang memiliki turunan kontinu.

Jadi, dari rumus dengan mengganti x dengan u (u=φ(x)) kita mendapatkan

Secara khusus,

Contoh 29.1. Temukan integralnya

di mana C \u003d C1 + C 2 + C 3 + C 4.

Contoh 29.2. Temukan Solusi integral:

• 29.3. Tabel integral tak tentu dasar

Mengambil keuntungan dari fakta bahwa integrasi adalah kebalikan dari diferensiasi, seseorang dapat memperoleh tabel integral dasar dengan membalik rumus yang sesuai dari kalkulus diferensial (tabel diferensial) dan menggunakan sifat-sifat integral tak tentu.

Misalnya, sebagai

d(sin u)=cos u . du,

Turunan dari sejumlah rumus tabel akan diberikan ketika mempertimbangkan metode utama integrasi.

Integral dalam tabel di bawah ini disebut integral tabular. Mereka harus diketahui dengan hati. Dalam kalkulus integral tidak ada aturan sederhana dan universal untuk menemukan antiturunan dari fungsi dasar, seperti dalam kalkulus diferensial. Metode untuk menemukan antiturunan (yaitu, mengintegrasikan fungsi) direduksi menjadi metode indikasi yang membawa integral tertentu (diinginkan) ke tabel. Oleh karena itu, perlu mengetahui integral tabular dan mampu mengenalinya.

Perhatikan bahwa dalam tabel integral dasar, variabel integrasi dan dapat menyatakan variabel bebas dan fungsi dari variabel bebas (menurut sifat invarian dari rumus integrasi).

Validitas rumus di bawah ini dapat dibuktikan dengan mengambil diferensial di ruas kanan, yang akan sama dengan integral di ruas kiri rumus.

Mari kita buktikan, misalnya, validitas rumus 2. Fungsi 1/u didefinisikan dan kontinu untuk semua nilai u bukan nol.

Jika u > 0, maka ln|u|=lnu, maka Jadi

Jika kamu<0, то ln|u|=ln(-u). НоCara

Jadi rumus 2 benar. Demikian pula, mari kita periksa rumus 15:

Tabel integral dasar

Teman-teman! Kami mengundang Anda untuk berdiskusi. Jika Anda memiliki pendapat, tulis kepada kami di komentar.

Artikel ini membahas secara rinci tentang sifat-sifat utama integral tertentu. Mereka dibuktikan dengan menggunakan konsep integral Riemann dan Darboux. Perhitungan integral tertentu lolos, berkat 5 properti. Sisanya digunakan untuk mengevaluasi berbagai ekspresi.

Sebelum beralih ke sifat-sifat utama integral tertentu, perlu dipastikan bahwa a tidak melebihi b .

Sifat-sifat dasar integral tertentu

Definisi 1

Fungsi y \u003d f (x) , yang ditentukan untuk x \u003d a, mirip dengan persamaan yang adil a a f (x) d x \u003d 0.

Bukti 1

Dari sini kita melihat bahwa nilai integral dengan batas bertepatan sama dengan nol. Ini adalah konsekuensi dari integral Riemann, karena setiap integral menjumlahkan untuk setiap partisi pada interval [ a ; a ] dan setiap pilihan titik i sama dengan nol, karena x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , sehingga diperoleh limit fungsi integral adalah nol.

Definisi 2

Untuk suatu fungsi yang dapat diintegralkan pada interval [ a ; b ] , kondisi a b f (x) d x = - b a f (x) d x terpenuhi.

Bukti 2

Dengan kata lain, jika Anda mengubah batas atas dan bawah integrasi di tempat, maka nilai integral akan mengubah nilai sebaliknya. Properti ini diambil dari integral Riemann. Namun, penomoran pembagian segmen dimulai dari titik x = b.

Definisi 3

a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± a b g (x) d x digunakan untuk fungsi integral bertipe y = f (x) dan y = g (x) yang didefinisikan pada interval [ a ; b] .

Bukti 3

Tulis jumlah integral dari fungsi y = f (x) ± g (x) untuk partisi menjadi segmen dengan pilihan titik yang diberikan i: = i = 1 n f i ± g ζ i x i - x i - 1 = = i = 1 n f (ζ i) x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i x i - x i - 1 = f ± σ g

di mana f dan g adalah jumlah integral dari fungsi y = f (x) dan y = g (x) untuk pemisahan segmen. Setelah melewati limit di = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 kita peroleh bahwa lim → 0 σ = lim → 0 f ± g = lim → 0 g ± lim → 0 g .

Dari definisi Riemann, ekspresi ini setara.

Definisi 4

Mengambil faktor konstan dari tanda integral tertentu. Fungsi yang dapat diintegralkan dari interval [ a ; b ] dengan nilai k sembarang memiliki pertidaksamaan valid berbentuk a b k · f (x) d x = k · a b f (x) d x .

Bukti 4

Pembuktian sifat integral tertentu mirip dengan pembuktian sebelumnya:

= i = 1 n k f i (x i - x i - 1) = = k ∑ i = 1 n f ζ i (x i - x i - 1) = k σ f lim → 0 = lim λ → 0 (k f) = k lim → 0 f ⇒ a b k f (x) d x = k a b f (x) d x

Definisi 5

Jika suatu fungsi berbentuk y = f (x) dapat diintegralkan pada interval x dengan a x , b x , kita peroleh a b f (x) d x = a c f (x) d x + c b f (x) d x .

Bukti 5

Properti dianggap sah untuk c a ; b , untuk c a dan c b . Pembuktian dilakukan dengan cara yang sama dengan sifat-sifat sebelumnya.

Definisi 6

Ketika suatu fungsi memiliki kemampuan untuk diintegralkan dari segmen [ a ; b ] , maka ini layak untuk setiap segmen internal c ; d a; b.

Bukti 6

Buktinya didasarkan pada properti Darboux: jika poin ditambahkan ke partisi segmen yang ada, maka jumlah Darboux yang lebih rendah tidak akan berkurang, dan yang atas tidak akan bertambah.

Definisi 7

Ketika suatu fungsi dapat diintegralkan pada [ a ; b ] dari f (x) 0 f (x) 0 untuk setiap nilai x a ; b , maka diperoleh a b f (x) d x 0 a b f (x) 0 .

Properti dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi integral Riemann: setiap jumlah integral untuk setiap pilihan titik partisi segmen dan titik i dengan kondisi bahwa f (x) 0 f (x) 0 non-negatif.

Bukti 7

Jika fungsi y = f (x) dan y = g (x) dapat diintegralkan pada segmen [ a ; b ] , maka pertidaksamaan berikut dianggap sah:

a b f (x) d x a b g (x) d x , f (x) g (x) x a ; b a b f (x) d x a b g (x) d x , f (x) g (x) x a ; b

Berkat pernyataan tersebut, kita tahu bahwa integrasi dapat diterima. Akibat wajar ini akan digunakan dalam pembuktian properti lainnya.

Definisi 8

Untuk fungsi yang dapat diintegralkan y = f (x) dari segmen [ a ; b ] kita memiliki pertidaksamaan yang valid dalam bentuk a b f (x) d x a b f (x) d x .

Bukti 8

Kami memiliki bahwa - f (x) f (x) f (x) . Dari sifat sebelumnya, diperoleh bahwa pertidaksamaan dapat diintegralkan suku demi suku dan sesuai dengan pertidaksamaan berbentuk - a b f (x) d x a b f (x) d x a b f (x) d x . Pertidaksamaan ganda ini dapat ditulis dalam bentuk lain: a b f (x) d x a b f (x) d x .

Definisi 9

Ketika fungsi y = f (x) dan y = g (x) diintegrasikan dari segmen [ a ; b ] untuk g (x) 0 untuk setiap x a ; b , kita memperoleh pertidaksamaan dalam bentuk m ∫ a b g (x) d x ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M a b g (x) d x , di mana m = m i n x ∈ a ; b f (x) dan M = m a x x a ; bf(x) .

Bukti 9

Pembuktian dilakukan dengan cara yang sama. M dan m dianggap sebagai nilai terbesar dan terkecil dari fungsi y = f (x) yang didefinisikan dari segmen [ a ; b ] , maka m f (x) M . Pertidaksamaan rangkap harus dikalikan dengan fungsi y = g (x) , yang akan memberikan nilai pertidaksamaan rangkap dalam bentuk m g (x) f (x) g (x) M g (x) . Hal ini diperlukan untuk mengintegrasikannya pada segmen [ a ; b ] , maka diperoleh asersi yang akan dibuktikan.

Konsekuensi: Untuk g (x) = 1, pertidaksamaan menjadi m b - a a b f (x) d x M (b - a) .

Rumus rata-rata pertama

Definisi 10

Untuk y = f (x) integral pada interval [ a ; b ] dengan m = m i n x a ; b f (x) dan M = m a x x a ; b f(x) ada bilangan ∈ m ; M , yang sesuai dengan a b f (x) d x = · b - a .

Konsekuensi: Ketika fungsi y = f (x) kontinu dari segmen [ a ; b] , maka ada bilangan seperti itu c a ; b , yang memenuhi persamaan a b f (x) d x = f (c) b - a .

Rumus pertama dari nilai rata-rata dalam bentuk umum

Definisi 11

Ketika fungsi y = f (x) dan y = g (x) dapat diintegralkan dari segmen [ a ; b ] dengan m = m i n x a ; b f (x) dan M = m a x x a ; b f (x) , dan g (x) > 0 untuk setiap nilai x a ; b. Oleh karena itu kita memiliki bahwa ada nomor m ; M , yang memenuhi persamaan a b f (x) g (x) d x = · a b g (x) d x .

Rumus nilai rata-rata kedua

Definisi 12

Ketika fungsi y = f (x) dapat diintegralkan dari segmen [ a ; b ] , dan y = g (x) monoton, maka ada bilangan yang c a ; b , di mana kita memperoleh persamaan bentuk yang adil a b f (x) g (x) d x = g (a) a c f (x) d x + g (b) c b f (x) d x

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Memecahkan integral adalah tugas yang mudah, tetapi hanya untuk elit. Artikel ini ditujukan bagi mereka yang ingin belajar memahami integral, tetapi hanya tahu sedikit atau tidak sama sekali tentangnya. Integral... Mengapa dibutuhkan? Bagaimana cara menghitungnya? Apa itu integral tak tentu dan integral tak tentu?

Jika satu-satunya penggunaan integral yang Anda tahu adalah untuk mendapatkan sesuatu yang berguna dari tempat-tempat yang sulit dijangkau dengan pengait berbentuk ikon integral, maka selamat datang! Pelajari cara memecahkan integral sederhana dan integral lainnya dan mengapa Anda tidak dapat melakukannya tanpanya dalam matematika.

Kami mempelajari konsepnya « integral »

Integrasi dikenal di Mesir kuno. Tentu saja, tidak dalam bentuk modern, tapi tetap saja. Sejak itu, matematikawan telah menulis banyak buku tentang masalah ini. Terutama dibedakan newton dan Leibniz tetapi esensi dari segala sesuatunya tidak berubah.

Bagaimana memahami integral dari awal? Tidak mungkin! Untuk memahami topik ini, Anda masih memerlukan pengetahuan dasar tentang dasar-dasar analisis matematika. Informasi tentang limit dan turunan, yang juga diperlukan untuk memahami integral, sudah ada di blog kami.

integral tak tentu

Mari kita memiliki beberapa fungsi f(x) .

Integral tak tentu dari fungsi f(x) fungsi seperti itu disebut F(x) , yang turunannya sama dengan fungsi f(x) .

Dengan kata lain, integral adalah turunan terbalik atau antiturunan. Omong-omong, baca artikel kami tentang cara menghitung turunan.

Ada antiturunan untuk semua fungsi kontinu. Juga, tanda konstanta sering ditambahkan ke antiturunan, karena turunan dari fungsi yang berbeda oleh konstanta bertepatan. Proses mencari integral disebut integrasi.

Contoh sederhana:

Agar tidak terus-menerus menghitung antiturunan dari fungsi dasar, akan lebih mudah untuk membawanya ke dalam tabel dan menggunakan nilai yang sudah jadi.

Tabel integral lengkap untuk siswa

integral tentu

Ketika berhadapan dengan konsep integral, kita berurusan dengan jumlah yang sangat kecil. Integral akan membantu menghitung luas gambar, massa benda yang tidak homogen, jalur yang ditempuh selama gerakan yang tidak rata, dan banyak lagi. Harus diingat bahwa integral adalah jumlah dari sejumlah besar tak hingga dari suku-suku kecil tak terhingga.

Sebagai contoh, bayangkan grafik dari beberapa fungsi.

Bagaimana cara menemukan luas bangun yang dibatasi oleh grafik fungsi? Dengan bantuan integral! Mari kita pecahkan trapesium lengkung, yang dibatasi oleh sumbu koordinat dan grafik fungsi, menjadi segmen-segmen yang sangat kecil. Dengan demikian, gambar akan dibagi menjadi kolom tipis. Jumlah luas kolom akan menjadi luas trapesium. Tetapi ingat bahwa perhitungan seperti itu akan memberikan hasil perkiraan. Namun, semakin kecil dan sempit segmennya, semakin akurat perhitungannya. Jika kita menguranginya sedemikian rupa sehingga panjangnya cenderung nol, maka jumlah luas segmen akan cenderung ke luas gambar. Ini adalah integral tertentu, yang ditulis sebagai berikut:

Titik a dan b disebut limit integrasi.

« Integral »

Omong-omong! Untuk pembaca kami sekarang ada diskon 10% untuk pekerjaan apapun

Aturan untuk Menghitung Integral untuk Dummies

Sifat-sifat integral tak tentu

Bagaimana cara menyelesaikan integral tak tentu? Di sini kita akan mempertimbangkan sifat-sifat integral tak tentu, yang akan berguna dalam memecahkan contoh.

• Turunan integral sama dengan integral:

• Konstanta dapat diambil dari bawah tanda integral:

• Integral jumlah sama dengan jumlah integral. Juga berlaku untuk perbedaan:

Sifat-sifat Integral Pasti

• Linearitas:

• Tanda integral berubah jika batas integrasi dibalik:

• Pada setiap poin sebuah, b dan dengan:

Kita telah mengetahui bahwa integral tertentu adalah limit dari jumlah tersebut. Tetapi bagaimana cara mendapatkan nilai tertentu saat memecahkan contoh? Untuk ini, ada rumus Newton-Leibniz:

Contoh penyelesaian integral

Di bawah ini kami mempertimbangkan integral tak tentu dan contoh dengan solusi. Kami menawarkan Anda untuk secara mandiri memahami seluk-beluk solusi, dan jika ada sesuatu yang tidak jelas, ajukan pertanyaan di komentar.

Untuk mengkonsolidasikan materi, tonton video tentang bagaimana integral diselesaikan dalam praktik. Jangan putus asa jika integral tidak segera diberikan. Beralih ke layanan siswa profesional, dan integral tiga atau lengkung apa pun di atas permukaan tertutup akan berada dalam kekuasaan Anda.