SOLUSI PERTIMBANGAN LINEAR

Sifat-sifat persamaan numerik membantu kami memecahkan persamaan, yaitu, menemukan nilai-nilai variabel yang persamaannya berubah menjadi persamaan numerik yang sebenarnya. Dengan cara yang sama, sifat-sifat pertidaksamaan numerik akan membantu kita memecahkan pertidaksamaan dengan suatu variabel, yaitu, menemukan nilai-nilai variabel yang pertidaksamaannya dengan variabel berubah menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya. Setiap nilai variabel seperti itu biasanya disebut solusi pertidaksamaan dengan variabel.

Perhatikan, misalnya, pertidaksamaan

2x + 5< 7.

Mengganti bukan X berarti 0 , kita mendapatkan 5 < 7 - ketidaksetaraan sejati; cara, x = 0 X berarti 1 , kita mendapatkan 7 < 7 - ketidaksetaraan yang salah; Itu sebabnya x = 1 bukanlah solusi untuk pertidaksamaan ini. Mengganti bukan X berarti -3 , kita mendapatkan -6 + 5 < 7 , yaitu - 1 < 7 - ketidaksetaraan sejati; karena itu, x = -3 adalah solusi untuk ketidaksetaraan ini. Mengganti bukan X berarti 2,5 , kita mendapatkan 2 - 2,5 + 5 < 7 , yaitu 10 < 7 - ketidaksetaraan yang salah. Cara, x = 2.5 bukan merupakan solusi dari pertidaksamaan.

Tetapi Anda memahami bahwa ini adalah jalan buntu: tidak ada satu pun matematikawan yang akan menyelesaikan ketidaksetaraan dengan cara ini, karena semua angka tidak dapat diurutkan! Di sinilah Anda perlu menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan numerik, dengan argumentasi sebagai berikut.

Kami tertarik dengan angka seperti itu X, di mana 2x + 5< 7 - pertidaksamaan numerik yang benar. Tapi kemudian dan 2x + 5 - 5< 7 - 5 - pertidaksamaan sejati (menurut sifat 2: bilangan yang sama ditambahkan ke kedua bagian pertidaksamaan - 5 ). Kami mendapatkan pertidaksamaan yang lebih sederhana 2x< 2 . Membagi kedua bagiannya dengan bilangan positif 2 , kami memperoleh (berdasarkan properti 3) pertidaksamaan yang benar X< 1 .

Apa artinya? Ini berarti bahwa solusi pertidaksamaan adalah bilangan apa saja X, yang lebih kecil 1 . Angka-angka ini mengisi balok terbuka (-∞, 1) . Biasanya dikatakan bahwa sinar ini adalah solusi dari pertidaksamaan 2x + 5< 7 (Akan lebih akurat untuk berbicara tentang satu set solusi, tetapi matematikawan, seperti biasa, ekonomis dalam kata-kata). Jadi, kita dapat menggunakan dua opsi untuk menulis solusi pertidaksamaan ini: X< 1 atau (-∞, 1) .

Sifat-sifat pertidaksamaan numerik memungkinkan kita untuk dipandu oleh aturan berikut saat menyelesaikan pertidaksamaan:

Aturan 1. Setiap suku pertidaksamaan dapat dipindahkan dari satu bagian pertidaksamaan ke bagian lain yang bertanda berlawanan tanpa mengubah tanda pertidaksamaan tersebut.

Aturan 2. Kedua bagian pertidaksamaan dapat dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama tanpa mengubah tanda pertidaksamaan.

Aturan 3. Kedua bagian pertidaksamaan dapat dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama, sambil mengubah tanda pertidaksamaan menjadi kebalikannya.

Kami menerapkan aturan ini untuk menyelesaikan pertidaksamaan linier, yaitu, pertidaksamaan yang direduksi menjadi bentuk kapak + b > 0(atau kapak + b< 0 ),

di mana sebuah dan b- nomor berapa pun, dengan satu pengecualian: sebuah 0.

Contoh 1

Selesaikan pertidaksamaan Zx - 5 7x - 15.

Keputusan.

Ayo pindahkan anggota 7x ke sisi kiri pertidaksamaan, dan istilah - 5 - ke sisi kanan pertidaksamaan, sambil tidak lupa mengubah tanda anggota 7x, dan anggota -5 (kita dipandu oleh aturan 1). Kemudian kita mendapatkan

Zx - 7x - 15 + 5, yaitu - 4x - 10.

Bagilah kedua bagian pertidaksamaan terakhir dengan bilangan negatif yang sama - 4 , jangan lupa untuk beralih ke ketidaksetaraan makna yang berlawanan (dipandu oleh aturan 3). Mendapatkan X< 2,5 . Ini adalah solusi dari pertidaksamaan yang diberikan.

Seperti yang kita sepakati, untuk menulis solusinya, Anda dapat menggunakan notasi interval yang sesuai dari garis bilangan: (-∞, 2,5] .

Menjawab: X< 2,5 , atau (-∞, 2,5] .

Untuk ketidaksetaraan, serta untuk persamaan, konsep kesetaraan diperkenalkan. Dua ketidaksetaraan f(x)< g(x) и r(x) < s(x) ditelepon setara jika mereka memiliki solusi yang sama (atau, khususnya, jika kedua pertidaksamaan tidak memiliki solusi).

Biasanya, ketika menyelesaikan pertidaksamaan, mereka mencoba mengganti pertidaksamaan ini dengan pertidaksamaan yang lebih sederhana, tetapi setara dengannya. Penggantian seperti itu disebut transformasi ekuivalen dari pertidaksamaan. Transformasi ini hanya ditunjukkan dalam aturan 1-3 yang dirumuskan di atas.

Contoh 2

Selesaikan pertidaksamaan

Keputusan.

Kalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan bilangan positif 15 , membiarkan tanda pertidaksamaan tidak berubah (aturan 2), Ini akan memungkinkan kita untuk menghilangkan penyebut, yaitu, pergi ke pertidaksamaan sederhana yang setara dengan yang diberikan:

Menggunakan aturan 1 untuk pertidaksamaan terakhir, kita memperoleh pertidaksamaan sederhana yang setara dengannya:

Akhirnya, dengan menerapkan aturan 3, kita mendapatkan

Jawaban: atau

Sebagai kesimpulan, kami mencatat bahwa, dengan menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan numerik, kami, tentu saja, tidak dapat menyelesaikan pertidaksamaan apa pun dengan variabel, tetapi hanya satu yang, setelah serangkaian transformasi sederhana (seperti yang dilakukan pada contoh dari paragraf ini), mengambil bentuk kapak > b(Alih-alih tanda >, tentu saja, bisa ada tanda pertidaksamaan lainnya, ketat atau tidak ketat).

1 Pertidaksamaan Linier

Dalam pelajaran ini, kami akan memperkenalkan definisi pertidaksamaan linier. Pertimbangkan sifat-sifat yang digunakan dalam menyelesaikan pertidaksamaan linier. Mari kita pelajari cara menyelesaikan pertidaksamaan linier.

Pertidaksamaan linier adalah pertidaksamaan yang berbentuk ax + b > 0 atau ax + b< 0, где переменная или искомая величина, a и b- некоторые числа, причем a ≠ 0.

Karena pertidaksamaan dapat tegas dan tidak tegas, maka pertidaksamaan linier dapat berbentuk ax+ b ≥0, ax+ b 0.

Pertidaksamaan tersebut linier, karena x termasuk dalam pertidaksamaan derajat pertama.

Penyelesaian pertidaksamaan linier adalah nilai variabel x, di mana pertidaksamaan tersebut berubah menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya.

Ambil pertidaksamaan 2x+5 > 0.

Substitusikan nol untuk x. Kami mendapatkan 5 > 0. Ini adalah pertidaksamaan yang benar. Jadi x=0 adalah solusi dari pertidaksamaan 2x+5>0.

Mengganti nilai -2,5 sebagai ganti x, kita mendapatkan 0 > 0. Ini adalah pertidaksamaan yang salah. Oleh karena itu, x= -2.5 bukan merupakan solusi dari pertidaksamaan linier 2x + 5>0. Dengan memilih nilai x, seseorang dapat menemukan beberapa solusi yang lebih khusus.

Menemukan semua solusi atau membuktikan bahwa pertidaksamaan tidak memiliki solusi berarti menyelesaikan pertidaksamaan linier.

Pertidaksamaan yang memiliki penyelesaian yang sama disebut ekuivalen.

Saat menyelesaikan pertidaksamaan, digunakan aturan yang dapat digunakan untuk memperoleh pertidaksamaan ekuivalen yang lebih mudah diselesaikan.

2 Contoh penyelesaian pertidaksamaan linier

Selesaikan pertidaksamaan 2x+5>0. Dan aturan pertama yang dapat digunakan di sini adalah: jika kita memindahkan suku pertidaksamaan dari satu bagian pertidaksamaan ke bagian lain yang berlawanan tanda, tanpa mengubah tanda pertidaksamaan, maka kita mendapatkan pertidaksamaan ekuivalen.

Bagilah kedua sisi pertidaksamaan dengan 2. Kita dapatkan x > -2.5.

Jawabannya dapat ditulis seperti ini: x > -2,5 atau sebagai interval numerik

Hasilnya adalah sinar terbuka yang diarahkan secara positif.

Buka, karena ketidaksetaraan kami ketat, yang berarti bahwa angka -2,5 tidak termasuk dalam rentang numerik.

Selesaikan pertidaksamaan linier lainnya 3x - 3 7x - 15.

Sama seperti ketika memecahkan persamaan linier, kita memindahkan suku dengan x ke kiri, dan suku ke kanan. Jangan lupa untuk mengubah tanda-tanda istilah menjadi kebalikannya saat mentransfer. Berdasarkan aturan pertama, tanda pertidaksamaan tidak berubah.

Kami mendapatkan 3x - 7x -15 + 3 atau -4x -12.

Selanjutnya, kita menggunakan aturan ketiga: jika kedua bagian pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama, sambil mengubah tanda pertidaksamaan menjadi kebalikannya, maka kita mendapatkan pertidaksamaan yang setara.

Bagilah kedua ruas pertidaksamaan dengan -4.

Kami mendapatkan x 3.

Mari kita tunjukkan solusi pada sumbu x.

Hasilnya adalah sinar tertutup berarah negatif. Ditutup, karena pertidaksamaan kami tidak ketat, yang berarti bahwa angka 3 termasuk dalam interval numerik.

Pertimbangkan solusi dari pertidaksamaan linier yang lebih kompleks

Menggunakan aturan kedua, kita mengalikan kedua bagian pertidaksamaan dengan angka 15. Angka 15 akan menjadi penyebut umum dari pecahan.

Kalikan pembilangnya dengan faktor tambahan.

Kami mendapatkan pertidaksamaan 5x + 6x - 3 > 30x.

Menggunakan aturan satu, kami mentransfer istilah dari x ke kiri, istilah numerik ke kanan, mengubah tanda saat mentransfer ke kebalikannya.

Kami mendapatkan -19x > 3.

Terapkan aturan tiga, bagi kedua sisi pertidaksamaan dengan -19. Dalam hal ini, Anda perlu mengubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda yang berlawanan.

Mari kita tunjukkan solusi pada sumbu x.

Hasilnya adalah sinar terbuka, karena pertidaksamaannya ketat, yang berarti bilangan tersebut tidak termasuk dalam rentang numerik. Ini adalah sinar yang diarahkan secara negatif.

Selesaikan pertidaksamaan berikut

Kalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan 4.

Kami mendapatkan 5 - 2x 8x. Pindahkan suku-suku dari x ke kiri, suku-suku numerik ke kanan

2x - 8x -5 atau -10x -5.

Bagilah kedua ruas pertidaksamaan dengan -10. Angka ini negatif, menurut aturan 3, tanda pertidaksamaan harus diubah menjadi kebalikannya.

Kami mendapatkan x≥0,5.

Mari kita tunjukkan solusi pada sumbu x.

Hasilnya adalah sinar tertutup, karena pertidaksamaannya tidak ketat, yang berarti bahwa angka 0,5 termasuk dalam interval numerik. Ini adalah sinar yang diarahkan secara positif.

Ketika memecahkan pertidaksamaan setelah transformasi, mungkin ternyata koefisien di x sama dengan nol, misalnya, 0∙x> b (atau 0∙x< b). Такое неравенство не имеет решений или решением является любое число.

Selesaikan pertidaksamaan 2(x + 8) -5x< 4-3х.

Mari kita buka tanda kurung 2x + 16 - 5x< 4 - 3х.

Dengan menggunakan sifat satu, kita pindahkan suku-suku dari x ke kiri, dan bilangan ke kanan, kita peroleh 0∙x< -12. При любом значении х неравенство обращается в неравенство 0 < -12. Это неверное неравенство.

Jawaban: tidak ada solusi atau himpunan kosong.

Selesaikan pertidaksamaan lain x > x - 1.

Mari kita pindahkan x dari kanan ke kiri, kita mendapatkan 0∙x > -1. Untuk setiap nilai x, pertidaksamaan berubah menjadi pertidaksamaan 0 > -1. Ini adalah ketidaksetaraan yang benar.

3 Ringkasan pelajaran

Penting untuk diingat:

Pertidaksamaan linier adalah pertidaksamaan yang berbentuk ax + b > 0 (atau ax + b< 0, aх+ b ≥ 0, aх+ b≤ 0), где х - переменная, a и b- некоторые числа, причем a≠0.

Memecahkan pertidaksamaan berarti menemukan semua solusinya atau membuktikan bahwa tidak ada solusi.

Saat menyelesaikan pertidaksamaan linier, aturan digunakan yang memungkinkan penggantian pertidaksamaan ini dengan pertidaksamaan ekuivalen yang lebih mudah diselesaikan:

1) jika istilah pertidaksamaan dipindahkan dari satu bagian pertidaksamaan ke bagian lain yang berlawanan tanda, tanpa mengubah tanda pertidaksamaan, maka kita mendapatkan pertidaksamaan yang setara;

2) jika kedua bagian pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama tanpa mengubah tanda pertidaksamaan, maka diperoleh pertidaksamaan yang ekuivalen;

3) jika kedua bagian pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama, sambil mengubah tanda pertidaksamaan menjadi kebalikannya, maka kita memperoleh pertidaksamaan yang setara.

Tujuan penerapan aturan ini adalah untuk mengurangi pertidaksamaan linier menjadi bentuk x > b/a atau x< b/a.

Penyelesaian pertidaksamaan linier adalah interval numerik. Itu bisa berupa balok angka terbuka atau tertutup, yang bisa berupa

diarahkan secara positif dan diarahkan secara negatif.

Daftar literatur yang digunakan:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B., diedit oleh Telykovsky S.A. Aljabar: buku teks. untuk 8 sel. pendidikan umum institusi. - M.: Pendidikan, 2013.
2. Mordkovich A.G. Aljabar. Kelas 8: Dalam dua bagian. Bagian 1: Prok. untuk pendidikan umum institusi. - M.: Mnemosyne.
3. Rurukin A.N. Perkembangan pelajaran dalam aljabar: Kelas 8. - M.: VAKO, 2010.
4. Aljabar kelas 8: rencana pelajaran menurut buku teks oleh Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasiev, L.A. Tapilina. - Volgograd: Guru, 2005.

Apa yang perlu Anda ketahui tentang ikon ketidaksetaraan? Ketidaksetaraan ikon lagi (> ), atau lebih kecil (< ) disebut ketat. Dengan ikon lebih atau sama (≥ ), kurang atau sama (≤ ) disebut tidak ketat. ikon tidak sama (≠ ) berdiri sendiri, tetapi Anda juga harus menyelesaikan contoh dengan ikon seperti itu setiap saat. Dan kita akan.)

Ikon itu sendiri tidak banyak berpengaruh pada proses solusi. Tetapi di akhir solusi, ketika memilih jawaban akhir, arti ikon muncul dengan kekuatan penuh! Seperti yang akan kita lihat di bawah, dalam contoh. Ada beberapa lelucon ...

Pertidaksamaan, seperti persamaan, adalah setia dan tidak setia. Semuanya sederhana di sini, tanpa trik. Katakanlah 5 > 2 adalah pertidaksamaan yang benar. 5 < 2 tidak benar.

Persiapan seperti itu bekerja untuk ketidaksetaraan apapun dan sederhana hingga horor.) Anda hanya perlu melakukan dua (hanya dua!) tindakan dasar dengan benar. Tindakan ini akrab bagi semua orang. Tapi, yang khas, kusen dalam tindakan ini adalah kesalahan utama dalam menyelesaikan ketidaksetaraan, ya ... Oleh karena itu, tindakan ini harus diulang. Tindakan ini disebut seperti ini:

Transformasi identitas ketidaksetaraan.

Transformasi identitas pertidaksamaan sangat mirip dengan transformasi identitas persamaan. Sebenarnya ini adalah masalah utama. Perbedaan menyelinap melewati kepala dan ... tiba.) Oleh karena itu, saya akan menyoroti perbedaan ini secara khusus. Jadi, transformasi pertidaksamaan identik pertama:

1. Angka atau ekspresi yang sama dapat ditambahkan (dikurangi) pada kedua bagian pertidaksamaan. Setiap. Tanda pertidaksamaan tidak akan berubah.

Dalam praktiknya, aturan ini diterapkan sebagai pemindahan suku dari ruas kiri pertidaksamaan ke ruas kanan (dan sebaliknya) dengan perubahan tanda. Dengan perubahan tanda istilah, bukan pertidaksamaan! Aturan satu-satu sama dengan aturan persamaan. Tetapi transformasi identik berikut dalam pertidaksamaan berbeda secara signifikan dari transformasi dalam persamaan. Jadi saya menyorotnya dengan warna merah:

2. Kedua bagian pertidaksamaan dapat dikalikan (dibagi) dengan yang samapositifnomor. Untuk apa sajapositif Tidak akan berubah.

3. Kedua bagian pertidaksamaan dapat dikalikan (dibagi) dengan yang samanegatif nomor. Untuk apa sajanegatifnomor. Tanda pertidaksamaan dari iniakan berubah sebaliknya.

Anda ingat (berharap...) bahwa suatu persamaan dapat dikalikan/dibagi dengan apa saja. Dan untuk nomor berapa pun, dan untuk ekspresi dengan x. Selama itu tidak nol. Dia, persamaannya, tidak panas atau dingin dari ini.) Itu tidak berubah. Tetapi ketidaksetaraan lebih sensitif terhadap perkalian/pembagian.

Sebuah contoh yang baik untuk memori yang panjang. Kami menulis ketidaksetaraan yang tidak menimbulkan keraguan:

5 > 2

Kalikan kedua ruas dengan +3, kita mendapatkan:

15 > 6

Apakah ada keberatan? Tidak ada keberatan.) Dan jika kita mengalikan kedua bagian dari ketidaksetaraan asli dengan -3, kita mendapatkan:

15 > -6

Dan ini benar-benar bohong.) Benar-benar bohong! Membodohi orang! Tetapi begitu tanda pertidaksamaan dibalik, semuanya menjadi pada tempatnya:

15 < -6

Tentang kebohongan dan penipuan - saya tidak hanya bersumpah.) "Aku lupa mengganti tanda pertidaksamaan..."- Ini rumah kesalahan dalam menyelesaikan pertidaksamaan. Aturan sepele dan tidak rumit ini telah menyakiti begitu banyak orang! Siapa yang lupa ...) Jadi saya bersumpah. Mungkin ingat...)

Mereka yang sangat memperhatikan akan melihat bahwa ketidaksetaraan tidak dapat dikalikan dengan ekspresi dengan x. Hormati perhatian!) Dan mengapa tidak? Jawabannya sederhana. Kita tidak tahu tanda dari ekspresi ini dengan x. Itu bisa positif, negatif ... Oleh karena itu, kita tidak tahu tanda pertidaksamaan apa yang harus diletakkan setelah perkalian. Ubah atau tidak? Tidak dikenal. Tentu saja, batasan ini (larangan mengalikan / membagi pertidaksamaan dengan ekspresi dengan x) dapat dilewati. Jika Anda benar-benar membutuhkannya. Tapi ini adalah topik untuk pelajaran lain.

Itu semua transformasi identik dari ketidaksetaraan. Biarkan saya mengingatkan Anda lagi bahwa mereka bekerja untuk setiap ketidaksetaraan. Dan sekarang Anda dapat beralih ke tipe tertentu.

Pertidaksamaan linier. Solusi, contoh.

Pertidaksamaan linier disebut pertidaksamaan di mana x berada pada derajat pertama dan tidak ada pembagian oleh x. Jenis:

x+3 > 5x-5

Bagaimana ketidaksetaraan ini diselesaikan? Mereka sangat mudah untuk dipecahkan! Yaitu: dengan bantuan kami mengurangi ketidaksetaraan linier yang paling membingungkan langsung ke jawabannya. Itulah seluruh solusi. Saya akan menyoroti poin utama dari solusi. Untuk menghindari kesalahan bodoh.)

Kami memecahkan ketidaksetaraan ini:

x+3 > 5x-5

Kami memecahkan dengan cara yang sama seperti persamaan linier. Dengan satu-satunya perbedaan:

Perhatikan baik-baik tanda pertidaksamaan!

Langkah pertama adalah yang paling umum. Dengan x - ke kiri, tanpa x - ke kanan ... Ini adalah transformasi identik pertama, sederhana dan bebas masalah.) Hanya jangan lupa untuk mengubah tanda-tanda anggota yang ditransfer.

Tanda pertidaksamaan dipertahankan:

x-5x > -5-3

Kami menyajikan yang serupa.

Tanda pertidaksamaan dipertahankan:

4x > -8

Tetap menerapkan transformasi identik terakhir: bagi kedua bagian dengan -4.

Dibagi dengan negatif nomor.

Tanda pertidaksamaan akan dibalik:

X < 2

Ini adalah jawabannya.

Ini adalah bagaimana semua ketidaksetaraan linier diselesaikan.

Perhatian! Poin 2 digambar putih, mis. tidak dicat. Kosong di dalam. Ini berarti dia tidak termasuk dalam jawaban! Aku sengaja menggambarnya begitu sehat. Titik seperti itu (kosong, tidak sehat!)) dalam matematika disebut titik tertekuk.

Angka-angka yang tersisa pada sumbu dapat ditandai, tetapi tidak perlu. Angka-angka asing yang tidak terkait dengan pertidaksamaan kita bisa membingungkan, ya ... Anda hanya perlu ingat bahwa kenaikan angka mengikuti arah panah, yaitu. nomor 3, 4, 5, dst. adalah ke kanan dua, dan angka 1, 0, -1, dst. - ke kiri.

Ketimpangan x < 2 - ketat. X benar-benar kurang dari dua. Jika ragu, ceknya sederhana. Kami mengganti angka yang meragukan dalam ketidaksetaraan dan berpikir: "Dua kurang dari dua? Tentu saja tidak!" Tepat. Ketimpangan 2 < 2 salah. Sebuah deuce tidak baik untuk sebuah jawaban.

Apakah satu saja sudah cukup? Tentu. Kurang ... Dan nol bagus, dan -17, dan 0,34 ... Ya, semua angka yang kurang dari dua bagus! Dan bahkan 1,9999 .... Setidaknya sedikit, tapi kurang!

Jadi kami menandai semua angka ini pada sumbu angka. Bagaimana? Ada pilihan di sini. Opsi pertama adalah menetas. Kami mengarahkan mouse ke gambar (atau menyentuh gambar di tablet) dan melihat bahwa area bola x yang cocok dengan kondisi x diarsir < 2 . Itu saja.

Mari kita pertimbangkan opsi kedua dalam contoh kedua:

X ≥ -0,5

Gambarlah sumbu, tandai angka -0,5. Seperti ini:

Apakah Anda memperhatikan perbedaannya?) Ya, sulit untuk tidak menyadarinya... Titik ini berwarna hitam! Dilukis. Ini berarti bahwa -0,5 termasuk dalam jawaban. Di sini, omong-omong, memeriksa dan membingungkan seseorang. Kami mengganti:

-0,5 ≥ -0,5

Bagaimana? -0,5 tidak lebih dari -0,5! Ada lagi ikon...

Tidak apa-apa. Dalam ketidaksetaraan yang tidak ketat, semua yang cocok dengan ikon cocok. Dan sama dengan cocok dan lagi bagus. Oleh karena itu, -0,5 termasuk dalam respons.

Jadi, kami menandai -0,5 pada sumbu, tetap menandai semua angka yang lebih besar dari -0,5. Kali ini saya menandai kisaran nilai x yang sesuai belenggu(dari kata busur) daripada menetas. Arahkan kursor ke gambar dan lihat busur ini.

Tidak ada perbedaan khusus antara penetasan dan lengkungan. Lakukan seperti yang dikatakan guru. Jika tidak ada guru, gambarlah lengannya. Dalam tugas yang lebih kompleks, penetasan kurang jelas. Anda bisa bingung.

Ini adalah bagaimana ketidaksetaraan linier digambar pada sumbu. Kami lolos ke singularitas ketidaksetaraan berikutnya.

Tulis jawaban untuk pertidaksamaan.

Itu bagus dalam persamaan.) Kami menemukan x, dan menuliskan jawabannya, misalnya: x \u003d 3. Dalam pertidaksamaan, ada dua bentuk penulisan jawaban. Satu - dalam bentuk ketidaksetaraan akhir. Baik untuk kasus sederhana. Sebagai contoh:

X< 2.

Ini adalah jawaban yang lengkap.

Kadang-kadang diperlukan untuk menulis hal yang sama, tetapi dalam bentuk yang berbeda, melalui celah numerik. Kemudian entri mulai terlihat sangat ilmiah):

x (-∞; 2)

Di bawah ikon ∈ menyembunyikan kata "milik".

Entrinya berbunyi seperti ini: x termasuk dalam interval dari minus tak terhingga hingga dua tidak termasuk. Cukup logis. X dapat berupa bilangan apa saja dari semua bilangan yang mungkin dari minus tak terhingga hingga dua. Double X tidak mungkin, itulah yang dikatakan kata itu kepada kita "tidak termasuk".

Di mana jawabannya "tidak termasuk"? Fakta ini dicatat dalam jawabannya. bulat kurung segera setelah deuce. Jika deuce disertakan, tanda kurungnya adalah kotak. Ini dia: ]. Contoh berikut menggunakan tanda kurung seperti itu.

Ayo tuliskan jawabannya: x ≥ -0,5 melalui interval:

x [-0,5; +∞)

Membaca: x termasuk dalam interval dari minus 0,5, termasuk, hingga plus tak terhingga.

Infinity tidak pernah bisa menyala. Itu bukan angka, itu simbol. Oleh karena itu, dalam entri seperti itu, infinity selalu berdampingan dengan tanda kurung.

Bentuk pencatatan ini cocok untuk jawaban kompleks yang terdiri dari beberapa celah. Tapi - hanya untuk jawaban akhir. Dalam hasil antara, di mana solusi lebih lanjut diharapkan, lebih baik menggunakan bentuk biasa, dalam bentuk pertidaksamaan sederhana. Kami akan menangani ini dalam topik yang relevan.

Tugas populer dengan ketidaksetaraan.

Pertidaksamaan linier itu sendiri sederhana. Oleh karena itu, tugas sering menjadi lebih sulit. Jadi, untuk berpikir itu perlu. Ini, jika karena kebiasaan, sangat tidak menyenangkan.) Tetapi ini berguna. Saya akan menunjukkan contoh tugas seperti itu. Bukan untuk Anda pelajari, itu berlebihan. Dan agar tidak takut jika bertemu dengan contoh serupa. Sedikit pemikiran - dan semuanya sederhana!)

1. Temukan dua solusi dari pertidaksamaan 3x - 3< 0

Jika tidak terlalu jelas apa yang harus dilakukan, ingat aturan utama matematika:

Jika Anda tidak tahu apa yang harus dilakukan, lakukan apa yang Anda bisa!

X < 1

Terus? Tidak ada yang spesial. Apa yang kita tanyakan? Kita diminta untuk menemukan dua bilangan spesifik yang merupakan solusi dari pertidaksamaan. Itu. cocok dengan jawabannya. Dua setiap angka. Sebenarnya, ini memalukan.) Beberapa 0 dan 0,5 cocok. Pasangan -3 dan -8. Ya, ada jumlah tak terbatas dari pasangan ini! Apa jawaban yang benar?!

Saya menjawab: semuanya! Setiap pasangan bilangan, yang masing-masing kurang dari satu, akan menjadi jawaban yang benar. Tulis apa yang Anda inginkan. Mari kita pergi lebih jauh.

2. Selesaikan pertidaksamaan:

4x - 3 ≠ 0

Pekerjaan seperti ini jarang terjadi. Tetapi, sebagai pertidaksamaan bantu, ketika menemukan ODZ, misalnya, atau ketika menemukan domain suatu fungsi, mereka ditemui sepanjang waktu. Pertidaksamaan linier seperti itu dapat diselesaikan sebagai persamaan linier biasa. Hanya di mana-mana, kecuali tanda "=" ( sama dengan) beri tanda " ≠ " (tidak sama). Jadi Anda akan sampai pada jawabannya, dengan tanda ketidaksetaraan:

X ≠ 0,75

Dalam contoh yang lebih kompleks, lebih baik melakukan sesuatu secara berbeda. Jadikan ketidaksetaraan sama. Seperti ini:

4x - 3 = 0

Selesaikan dengan tenang seperti yang diajarkan, dan dapatkan jawabannya:

x = 0,75

Hal utama, di bagian paling akhir, saat menuliskan jawaban akhir, jangan lupa bahwa kami telah menemukan x, yang memberikan persamaan. Dan kita perlu - ketidaksamaan. Oleh karena itu, kita tidak memerlukan X ini.) Dan kita perlu menuliskannya dengan ikon yang benar:

X ≠ 0,75

Pendekatan ini menghasilkan lebih sedikit kesalahan. Mereka yang memecahkan persamaan pada mesin. Dan bagi mereka yang tidak menyelesaikan persamaan, ketidaksetaraan, pada kenyataannya, tidak berguna ...) Contoh lain dari tugas populer:

3. Temukan solusi bilangan bulat terkecil dari pertidaksamaan:

3(x - 1) < 5x + 9

Pertama, kita selesaikan pertidaksamaan. Kami membuka tanda kurung, mentransfer, memberikan yang serupa ... Kami mendapatkan:

X > - 6

Bukankah itu terjadi!? Apakah Anda mengikuti tanda-tandanya? Dan di balik tanda-tanda anggota, dan di balik tanda ketidaksetaraan ...

Mari kita bayangkan lagi. Kita perlu menemukan nomor tertentu yang cocok dengan jawaban dan kondisinya "bilangan bulat terkecil". Jika Anda tidak segera menyadarinya, Anda dapat mengambil nomor apa saja dan mencari tahu. Dua lebih besar dari minus enam? Tentu! Apakah ada nomor yang lebih kecil yang cocok? Tentu saja. Misalnya, nol lebih besar dari -6. Dan bahkan lebih sedikit? Kami membutuhkan sekecil mungkin! Minus tiga lebih dari minus enam! Anda sudah dapat menangkap polanya dan berhenti dengan bodohnya memilah angka, kan?)

Kami mengambil nomor lebih dekat ke -6. Misalnya, -5. Respons dieksekusi, -5 > - 6. Dapatkah kamu menemukan bilangan lain yang kurang dari -5 tetapi lebih besar dari -6? Anda dapat, misalnya, -5.5 ... Berhenti! Kami telah diberitahu utuh keputusan! Tidak menggulung -5.5! Bagaimana dengan minus enam? Eee! Ketimpangannya ketat, minus 6 tidak kurang dari minus 6!

Jadi jawaban yang benar adalah -5.

Saya harap semuanya jelas dengan pilihan nilai dari solusi umum. Contoh lain:

4. Selesaikan pertidaksamaan:

7 < 3x+1 < 13

Bagaimana! Ungkapan seperti itu disebut ketidaksetaraan tiga kali lipat. Sebenarnya, ini adalah notasi singkat dari sistem ketidaksetaraan. Tetapi Anda masih harus menyelesaikan ketidaksetaraan rangkap tiga dalam beberapa tugas ... Ini diselesaikan tanpa sistem apa pun. Dengan transformasi identik yang sama.

Perlu disederhanakan, bawa pertidaksamaan ini ke X murni. Tapi... Apa yang harus dipindahkan kemana!? Inilah saatnya untuk mengingat bahwa menggeser kiri-kanan adalah bentuk singkat transformasi identik pertama.

Dan bentuk lengkapnya seperti ini: Anda dapat menambah / mengurangi angka atau ekspresi apa pun ke kedua bagian persamaan (pertidaksamaan).

Ada tiga bagian di sini. Jadi kita akan menerapkan transformasi identik untuk ketiga bagian!

Jadi, mari kita singkirkan yang ada di bagian tengah ketidaksetaraan. Kurangi satu dari seluruh bagian tengah. Agar pertidaksamaan tidak berubah, kita kurangi satu dari dua bagian yang tersisa. Seperti ini:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Sudah lebih baik, kan?) Tetap membagi ketiga bagian menjadi tiga:

2 < X < 4

Itu saja. Ini adalah jawabannya. X dapat berupa angka dari dua (tidak termasuk) hingga empat (tidak termasuk). Jawaban ini juga ditulis pada interval, entri tersebut akan berada dalam ketidaksetaraan persegi. Di sana mereka adalah hal yang paling umum.

Di akhir pelajaran, saya akan mengulangi hal yang paling penting. Keberhasilan dalam memecahkan pertidaksamaan linier tergantung pada kemampuan untuk mengubah dan menyederhanakan persamaan linier. Jika pada saat yang sama mengikuti tanda pertidaksamaan, tidak akan ada masalah. Apa yang saya berharap Anda. tidak masalah.)

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Setelah menerima informasi awal tentang pertidaksamaan dengan variabel, kita beralih ke pertanyaan tentang solusi mereka. Mari kita menganalisis solusi pertidaksamaan linier dengan satu variabel dan semua metode untuk penyelesaiannya dengan algoritme dan contoh. Hanya persamaan linier dengan satu variabel yang akan dipertimbangkan.

Apa itu pertidaksamaan linier?

Pertama, Anda perlu mendefinisikan persamaan linier dan mencari tahu bentuk standarnya dan perbedaannya dari yang lain. Dari pelajaran sekolah kita mengetahui bahwa pertidaksamaan tidak memiliki perbedaan yang mendasar, sehingga harus digunakan beberapa definisi.

Definisi 1

Pertidaksamaan linier dengan satu variabel x adalah pertidaksamaan berbentuk a x + b > 0 jika tanda pertidaksamaan digunakan sebagai ganti >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definisi 2

Pertidaksamaan a x< c или a · x >c , dengan x menjadi variabel dan a dan c beberapa angka, disebut pertidaksamaan linier dengan satu variabel.

Karena tidak ada yang dikatakan tentang apakah koefisien dapat sama dengan 0 , maka ketidaksetaraan ketat dalam bentuk 0 x > c dan 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Perbedaan mereka adalah:

• notasi a · x + b > 0 pada notasi pertama, dan a · x > c – pada notasi kedua;
• penerimaan koefisien nol a , a 0 - di yang pertama, dan a = 0 - di yang kedua.

Pertidaksamaan a x + b > 0 dan a x > c diyakini ekuivalen, karena diperoleh dengan memindahkan suku dari satu bagian ke bagian lain. Memecahkan pertidaksamaan 0 · x + 5 > 0 akan mengarah pada fakta bahwa itu perlu diselesaikan, dan kasus a = 0 tidak akan berhasil.

Definisi 3

Pertidaksamaan linier dalam satu variabel x dianggap sebagai pertidaksamaan berbentuk a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b 0 dan ax + b 0, dimana a dan b adalah bilangan real. Alih-alih x, bisa ada bilangan biasa.

Berdasarkan aturan, kita mendapatkan bahwa 4 x 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , 0 , 5 · y 1 , 2 disebut linier.

Bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan linier

Cara utama untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut adalah dengan menggunakan transformasi ekuivalen untuk menemukan pertidaksamaan elementer x< p (≤ , >, ) , p adalah suatu bilangan, untuk a 0 , dan berbentuk a< p (≤ , >, ) untuk a = 0 .

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan satu variabel, Anda dapat menerapkan metode interval atau merepresentasikannya secara grafis. Salah satu dari mereka dapat digunakan secara terpisah.

Menggunakan transformasi setara

Menyelesaikan pertidaksamaan linier berbentuk a x + b< 0 (≤ , >, ) , perlu diterapkan transformasi ekuivalen pertidaksamaan. Koefisien mungkin atau mungkin tidak nol. Mari kita pertimbangkan kedua kasus tersebut. Untuk memperjelas, perlu untuk mematuhi skema yang terdiri dari 3 poin: esensi dari proses, algoritme, solusi itu sendiri.

Definisi 4

Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan linier a x + b< 0 (≤ , >, ) untuk 0

• nomor b akan dipindahkan ke sisi kanan pertidaksamaan dengan tanda yang berlawanan, yang akan memungkinkan kita untuk sampai pada persamaan a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• kedua bagian pertidaksamaan akan dibagi dengan angka yang tidak sama dengan 0. Selain itu, ketika a positif, tandanya tetap, ketika a negatif, itu berubah menjadi sebaliknya.

Pertimbangkan penerapan algoritma ini untuk memecahkan contoh.

Contoh 1

Selesaikan pertidaksamaan berbentuk 3 · x + 12 0 .

Keputusan

Pertidaksamaan linier ini memiliki a = 3 dan b = 12 . Oleh karena itu, koefisien a dari x tidak sama dengan nol. Mari kita terapkan algoritma di atas dan selesaikan.

Perlu untuk memindahkan suku 12 ke bagian lain dari pertidaksamaan dengan perubahan tanda di depannya. Kemudian kita memperoleh pertidaksamaan dalam bentuk 3 · x 12 . Kedua bagian harus dibagi 3. Tanda tidak akan berubah karena 3 adalah bilangan positif. Didapatkan (3 x) : 3 (− 12) : 3 , yang akan memberikan hasil x − 4 .

Pertidaksamaan bentuk x 4 adalah ekuivalen. Artinya, solusi untuk 3 x + 12 0 adalah sembarang bilangan real yang lebih kecil atau sama dengan 4 . Jawabannya ditulis sebagai pertidaksamaan x 4 , atau interval numerik dalam bentuk (− , 4 ] .

Seluruh algoritma yang dijelaskan di atas ditulis sebagai berikut:

3 x + 12 0; 3 x 12 ; x 4 .

Menjawab: x 4 atau (− , 4 ] .

Contoh 2

Tunjukkan semua solusi yang tersedia dari pertidaksamaan 2 , 7 · z > 0 .

Keputusan

Dari kondisi tersebut terlihat bahwa koefisien a pada z sama dengan - 2, 7, dan b secara eksplisit tidak ada atau sama dengan nol. Anda tidak dapat menggunakan langkah pertama dari algoritma, tetapi segera lanjutkan ke langkah kedua.

Kami membagi kedua bagian persamaan dengan angka - 2, 7. Karena bilangan tersebut negatif, maka tanda pertidaksamaan harus diubah menjadi kebalikannya. Artinya, kita peroleh bahwa (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Kami menulis seluruh algoritma dalam bentuk singkat:

2 , 7 z > 0 ; z< 0 .

Menjawab: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Contoh 3

Selesaikan pertidaksamaan - 5 · x - 15 22 0 .

Keputusan

Berdasarkan kondisi tersebut, kita melihat bahwa perlu untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan koefisien a untuk variabel x, yang sama dengan - 5, dengan koefisien b, yang sesuai dengan pecahan - 15 22 . Hal ini diperlukan untuk menyelesaikan pertidaksamaan mengikuti algoritma, yaitu: pindahkan - 15 22 ke bagian lain dengan tanda yang berlawanan, bagi kedua bagian dengan - 5, ubah tanda pertidaksamaan:

5 x 15 22 ; - 5 x: - 5 15 22: - 5 x - 3 22

Pada transisi terakhir, untuk sisi kanan, aturan untuk membagi angka dengan tanda yang berbeda digunakan 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, setelah itu kita membagi pecahan biasa dengan bilangan asli - 15 22: 5 \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 .

Menjawab: x - 3 22 dan [ - 3 22 + ) .

Pertimbangkan kasus ketika a = 0. Ekspresi linier dari bentuk a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Semuanya didasarkan pada definisi solusi pertidaksamaan. Untuk setiap nilai x, kita memperoleh pertidaksamaan numerik dalam bentuk b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Kami mempertimbangkan semua penilaian dalam bentuk algoritme untuk menyelesaikan pertidaksamaan linier 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definisi 5

Pertidaksamaan numerik dalam bentuk b< 0 (≤ , >, ) benar, maka pertidaksamaan asal memiliki solusi untuk sembarang nilai, dan salah jika pertidaksamaan asal tidak memiliki solusi.

Contoh 4

Selesaikan pertidaksamaan 0 · x + 7 > 0 .

Keputusan

Pertidaksamaan linier 0 · x + 7 > 0 ini dapat mengambil nilai apa pun x . Kemudian kita mendapatkan pertidaksamaan dalam bentuk 7 > 0 . Pertidaksamaan terakhir dianggap benar, jadi bilangan apa pun bisa menjadi solusinya.

Menjawab: interval (− , + ) .

Contoh 5

Temukan solusi dari pertidaksamaan 0 · x 12 , 7 0 .

Keputusan

Mengganti variabel x untuk sembarang angka, kita mendapatkan bahwa pertidaksamaan akan berbentuk 12 , 7 0 . Ini tidak benar. Artinya, 0 · x 12 , 7 0 tidak memiliki solusi.

Menjawab: tidak ada solusi.

Pertimbangkan solusi pertidaksamaan linier, di mana kedua koefisien sama dengan nol.

Contoh 6

Tentukan pertidaksamaan yang tidak dapat diselesaikan dari 0 · x + 0 > 0 dan 0 · x + 0 0 .

Keputusan

Saat mengganti angka apa pun alih-alih x, kami mendapatkan dua ketidaksetaraan dalam bentuk 0 > 0 dan 0 0 . Yang pertama tidak benar. Ini berarti bahwa 0 x + 0 > 0 tidak memiliki solusi, dan 0 x + 0 0 memiliki banyak solusi, yaitu, bilangan berapa pun.

Menjawab: pertidaksamaan 0 x + 0 > 0 tidak memiliki solusi, dan 0 x + 0 0 memiliki solusi.

Metode ini dipertimbangkan dalam kursus matematika sekolah. Metode interval mampu menyelesaikan berbagai macam pertidaksamaan, termasuk pertidaksamaan linier.

Metode interval digunakan untuk pertidaksamaan linier ketika nilai koefisien x tidak sama dengan 0 . Jika tidak, Anda harus menghitung menggunakan metode lain.

Definisi 6

Metode jaraknya adalah:

• pengenalan fungsi y = a x + b ;
• mencari nol untuk membagi domain definisi menjadi interval;
• penentuan tanda-tanda untuk konsep mereka pada interval.

Mari kita susun algoritma untuk menyelesaikan persamaan linear a x + b< 0 (≤ , >, ) untuk 0 menggunakan metode interval:

• mencari nol dari fungsi y = a · x + b untuk menyelesaikan persamaan berbentuk a · x + b = 0 . Jika a 0, maka solusi akan menjadi satu-satunya akar yang akan mengambil penunjukan x 0;
• konstruksi garis koordinat dengan gambar titik dengan koordinat x 0, dengan pertidaksamaan ketat, titik itu ditunjukkan dengan meninju, dengan pertidaksamaan tidak tegas, diarsir;
• penentuan tanda-tanda fungsi y = a x + b pada interval, untuk ini perlu mencari nilai fungsi pada titik-titik pada interval;
• solusi pertidaksamaan dengan tanda > atau pada garis koordinat, penetasan ditambahkan di atas celah positif,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Perhatikan beberapa contoh penyelesaian pertidaksamaan linier menggunakan metode interval.

Contoh 6

Selesaikan pertidaksamaan 3 · x + 12 > 0 .

Keputusan

Ini mengikuti dari algoritma yang pertama Anda perlu mencari akar persamaan 3 · x + 12 = 0 . Kita peroleh bahwa 3 · x = 12 , x = 4 . Kita perlu menggambarkan garis koordinat, tempat kita menandai titik 4. Itu akan tertusuk karena ketidaksetaraan yang ketat. Perhatikan gambar di bawah ini.

Penting untuk menentukan tanda-tanda pada interval. Untuk menentukannya pada interval (− ∞ , 4) , perlu menghitung fungsi y = 3 · x + 12 untuk x = 3 . Dari sini kita peroleh bahwa 3 3 + 12 = 3 > 0 . Tanda pada interval adalah positif.

Kami menentukan tanda dari interval (4, + ), lalu kami mengganti nilainya dengan x \u003d 5. Kami memiliki 3 5 + 12 = 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Kami melakukan solusi pertidaksamaan dengan tanda > , dan penetasan dilakukan di atas celah positif. Perhatikan gambar di bawah ini.

Dari gambar terlihat bahwa solusi yang diinginkan berbentuk (− , 4) atau x< 4 .

Menjawab: (− , 4) atau x< 4 .

Untuk memahami bagaimana merepresentasikan secara grafis, perlu untuk mempertimbangkan 4 pertidaksamaan linier sebagai contoh: 0, 5 x 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 dan 0, 5 x 1 0 . Solusinya adalah x< 2 , x ≤ 2 , x >2 dan x 2 . Untuk melakukannya, gambarkan grafik fungsi linier y = 0, 5 · x 1 di bawah ini.

Sudah jelas itu

Definisi 7

• solusi dari pertidaksamaan 0, 5 x 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• solusi 0 , 5 x 1 0 adalah interval di mana fungsi y = 0, 5 x 1 di bawah 0 x atau bertepatan;
• solusi 0 , 5 x 1 > 0 dianggap sebagai interval, di mana fungsi tersebut terletak di atas O x;
• solusi 0 , 5 x 1 0 adalah interval di mana grafik lebih tinggi dari O x atau bertepatan.

Arti dari solusi grafis pertidaksamaan adalah menemukan celah, yang harus digambarkan pada grafik. Dalam hal ini, kita mendapatkan bahwa sisi kiri memiliki y \u003d a x + b, dan sisi kanan memiliki y \u003d 0, dan itu bertepatan dengan Tentang x.

Definisi 8

Plotting fungsi y = a x + b dilakukan:

• menyelesaikan pertidaksamaan a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• saat menyelesaikan pertidaksamaan a x + b 0, interval ditentukan di mana grafik ditampilkan di bawah sumbu O x atau bertepatan;
• saat menyelesaikan pertidaksamaan a x + b > 0, interval ditentukan, di mana grafik ditampilkan di atas O x;
• saat menyelesaikan pertidaksamaan a x + b 0, interval ditentukan di mana grafik di atas O x atau bertepatan.

Contoh 7

Selesaikan pertidaksamaan - 5 · x - 3 > 0 menggunakan grafik.

Keputusan

Hal ini diperlukan untuk membangun grafik fungsi linier - 5 · x - 3 > 0 . Garis ini menurun karena koefisien x negatif. Untuk menentukan koordinat titik potongnya dengan O x - 5 · x - 3 > 0, kita peroleh nilai - 3 5 . Mari kita buat grafiknya.

Penyelesaian pertidaksamaan bertanda >, maka perlu diperhatikan interval di atas O x. Kami menyorot bagian yang diperlukan dari pesawat dengan warna merah dan mendapatkannya

Celah yang diperlukan adalah bagian O x dari warna merah. Oleh karena itu, sinar bilangan terbuka - , - 3 5 akan menjadi solusi pertidaksamaan. Jika, dengan syarat, mereka memiliki pertidaksamaan yang tidak ketat, maka nilai titik - 3 5 juga akan menjadi solusi pertidaksamaan tersebut. Dan akan bertepatan dengan O x.

Menjawab: - , - 3 5 atau x< - 3 5 .

Solusi grafis digunakan ketika ruas kiri akan sesuai dengan fungsi y = 0 x + b , yaitu, y = b . Maka garis akan sejajar dengan O x atau bertepatan di b \u003d 0. Kasus-kasus ini menunjukkan bahwa pertidaksamaan mungkin tidak memiliki solusi, atau bilangan apa pun dapat menjadi solusi.

Contoh 8

Tentukan dari pertidaksamaan 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Keputusan

Representasi y = 0 x + 7 adalah y = 7 , maka akan diberikan bidang koordinat dengan garis lurus sejajar dengan O x dan di atas O x. Jadi 0x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Grafik fungsi y \u003d 0 x + 0 dianggap y \u003d 0, yaitu, garis bertepatan dengan O x. Oleh karena itu, pertidaksamaan 0 · x + 0 0 memiliki banyak solusi.

Menjawab: pertidaksamaan kedua memiliki solusi untuk setiap nilai x .

Pertidaksamaan linier

Solusi pertidaksamaan dapat direduksi menjadi solusi persamaan linier, yang disebut pertidaksamaan linier.

Ketidaksetaraan ini dipertimbangkan dalam kursus sekolah, karena merupakan kasus khusus untuk memecahkan ketidaksetaraan, yang menyebabkan pembukaan tanda kurung dan pengurangan istilah serupa. Misalnya, perhatikan bahwa 5 2 x > 0 , 7 (x 1) + 3 4 x 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

Pertidaksamaan yang diberikan di atas selalu direduksi menjadi bentuk persamaan linier. Setelah itu, tanda kurung dibuka dan istilah serupa diberikan, dipindahkan dari bagian yang berbeda, mengubah tanda menjadi sebaliknya.

Saat mengurangi pertidaksamaan 5 2 x > 0 menjadi linier, kami menyatakannya sedemikian rupa sehingga memiliki bentuk 2 x + 5 > 0 , dan untuk mengurangi yang kedua, kami mendapatkan bahwa 7 (x 1 ) + 3 4 x 2 + x . Hal ini diperlukan untuk membuka tanda kurung, membawa suku-suku serupa, memindahkan semua suku-suku ke sisi kiri dan membawa suku-suku serupa. Ini terlihat seperti ini:

7 x 7 + 3 4 x 2 + x 7 x 4 5 x 2 7 x 4 5 x + 2 0 2 x 2 0

Ini membawa solusi ke ketidaksetaraan linier.

Pertidaksamaan ini dianggap linier, karena memiliki prinsip penyelesaian yang sama, setelah itu dimungkinkan untuk mereduksinya menjadi pertidaksamaan dasar.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan semacam ini, perlu direduksi menjadi pertidaksamaan linier. Itu harus dilakukan seperti ini:

Definisi 9

• kurung terbuka;
• kumpulkan variabel di sebelah kiri, dan angka di sebelah kanan;
• membawa istilah seperti;
• membagi kedua bagian dengan koefisien x .

Contoh 9

Selesaikan pertidaksamaan 5 · (x + 3) + x 6 · (x 3) + 1 .

Keputusan

Kami memperluas tanda kurung, maka kami mendapatkan pertidaksamaan dalam bentuk 5 · x + 15 + x 6 · x 18 + 1 . Setelah mengurangi suku-suku serupa, kita mendapatkan bahwa 6 · x + 15 6 · x 17 . Setelah memindahkan suku dari kiri ke kanan, kita mendapatkan bahwa 6 x + 15 6 x + 17 0 . Oleh karena itu, ia memiliki pertidaksamaan dalam bentuk 32 0 dari hasil yang diperoleh dalam perhitungan 0 · x + 32 0 . Dapat dilihat bahwa pertidaksamaan salah, yang berarti pertidaksamaan yang diberikan oleh kondisi tersebut tidak memiliki solusi.

Menjawab: tidak ada solusi.

Perlu dicatat bahwa ada banyak pertidaksamaan jenis lain, yang dapat direduksi menjadi pertidaksamaan linier atau pertidaksamaan jenis yang ditunjukkan di atas. Misalnya, 5 2 x 1 1 adalah persamaan eksponensial yang direduksi menjadi solusi linier 2 · x 1 0 . Kasus-kasus ini akan dipertimbangkan ketika memecahkan ketidaksetaraan jenis ini.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Isi pelajaran

Definisi dan Properti

Kita akan menyebut pertidaksamaan dua ekspresi numerik atau literal yang dihubungkan oleh tanda >,<, ≥, ≤ или ≠.

Contoh: 5 > 3

Pertidaksamaan ini mengatakan bahwa angka 5 lebih besar dari angka 3. Sudut lancip dari tanda pertidaksamaan harus diarahkan ke angka yang lebih kecil. Pertidaksamaan ini benar karena 5 lebih besar dari 3.

Jika sebuah semangka seberat 5 kg diletakkan di atas timbangan sebelah kiri, dan semangka dengan berat 3 kg diletakkan di atas panci sebelah kanan, maka panci sebelah kiri akan lebih berat daripada yang kanan, dan layar timbangan akan menunjukkan bahwa panci sebelah kiri adalah lebih berat dari yang kanan:

Jika 5 > 3 maka 3< 5 . То есть левую и правую часть неравенства можно поменять местами, изменив знак неравенства на противоположный. В ситуации с весами: большой арбуз можно положить на правую чашу, а маленький арбуз на левую. Тогда правая чаша перевесит левую, и экран покажет знак <

Jika pada pertidaksamaan 5 > 3 , tanpa menyentuh bagian kiri dan kanan, ubah tandanya menjadi< , то получится неравенство 5 < 3 . Это неравенство не является верным, поскольку число 3 не может быть больше числа 5.

Bilangan yang terletak di ruas kiri dan kanan pertidaksamaan disebut anggota ketidaksetaraan ini. Misalnya, pada pertidaksamaan 5 > 3, anggotanya adalah angka 5 dan 3.

Pertimbangkan beberapa sifat penting untuk pertidaksamaan 5 > 3 .
Di masa depan, sifat-sifat ini akan bekerja untuk ketidaksetaraan lainnya juga.

Properti 1.

Jika bilangan yang sama ditambahkan atau dikurangi pada bagian kiri dan kanan pertidaksamaan 5 > 3, maka tanda pertidaksamaan tidak akan berubah.

Sebagai contoh, kita tambahkan angka 4 pada kedua bagian pertidaksamaan, maka kita peroleh:

Sekarang mari kita coba mengurangkan suatu bilangan dari kedua ruas pertidaksamaan 5 > 3, katakanlah bilangan 2

Kita melihat bahwa sisi kiri masih lebih besar dari sisi kanan.

Dari sifat ini dapat disimpulkan bahwa setiap suku pertidaksamaan dapat dipindahkan dari satu bagian ke bagian lain dengan mengubah tanda suku ini. Tanda pertidaksamaan tidak akan berubah.

Misalnya, pada pertidaksamaan 5 > 3, pindahkan suku 5 dari ruas kiri ke ruas kanan dengan mengubah tanda suku tersebut. Setelah memindahkan suku 5 ke ruas kanan, tidak ada yang tersisa di ruas kiri, jadi kita tulis 0 di sana

0 > 3 − 5

0 > −2

Kita melihat bahwa sisi kiri masih lebih besar dari sisi kanan.

Properti 2.

Jika kedua bagian pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tidak berubah.

Misalnya, kalikan kedua ruas pertidaksamaan 5 > 3 dengan suatu bilangan positif, katakanlah dengan bilangan 2. Maka kita peroleh:

Kita melihat bahwa sisi kiri masih lebih besar dari sisi kanan.

Sekarang mari kita coba membagi kedua bagian pertidaksamaan 5 > 3 dengan suatu bilangan. Bagilah dengan 2

Kita melihat bahwa sisi kiri masih lebih besar dari sisi kanan.

Properti 3.

Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan atau dibagi sama bilangan negatif, maka tanda pertidaksamaan akan dibalik.

Misalnya, kalikan kedua ruas pertidaksamaan 5 > 3 dengan beberapa bilangan negatif, katakanlah -2. Kemudian kita mendapatkan:

Sekarang mari kita coba membagi kedua bagian pertidaksamaan 5 > 3 dengan suatu bilangan negatif. Mari kita bagi dengan -1

Kita melihat bahwa sisi kiri telah menjadi lebih kecil dari kanan. Artinya, tanda ketimpangan telah berubah menjadi sebaliknya.

Dengan sendirinya, ketimpangan dapat dipahami sebagai suatu kondisi tertentu. Jika kondisi terpenuhi, maka pertidaksamaan benar. Sebaliknya, jika kondisi tidak terpenuhi, maka pertidaksamaan salah.

Misalnya, untuk menjawab pertanyaan apakah pertidaksamaan 7 > 3 benar, Anda perlu memeriksa apakah kondisinya terpenuhi "adalah 7 lebih dari 3" . Kita tahu bahwa angka 7 lebih besar dari angka 3. Artinya, kondisinya terpenuhi, dan karenanya pertidaksamaan 7 > 3 benar.

Ketimpangan 8< 6 не является верным, поскольку не выполняется условие "8 kurang dari 6".

Cara lain untuk menentukan apakah suatu pertidaksamaan benar adalah dengan mengambil selisih dari ruas kiri dan kanan pertidaksamaan tersebut. Jika selisihnya positif, maka ruas kiri lebih besar dari ruas kanan. Sebaliknya, jika selisihnya negatif, maka ruas kiri lebih kecil dari ruas kanan. Lebih tepatnya, aturan ini terlihat seperti ini:

Nomor sebuah lebih banyak nomor b jika perbedaan a-b positif. Nomor sebuah kurang dari angka b jika perbedaan a-b negatif.

Misalnya, kita menemukan bahwa pertidaksamaan 7 > 3 benar karena angka 7 lebih besar dari angka 3. Mari kita buktikan dengan aturan di atas.

Tulis selisih dari suku 7 dan 3. Kemudian kita peroleh 7 3 = 4 . Menurut aturan, angka 7 akan lebih besar dari angka 3 jika selisih 7 3 positif. Kami memilikinya sama dengan 4, yaitu perbedaannya positif. Jadi angka 7 lebih besar dari angka 3.

Mari kita periksa dengan bantuan perbedaan apakah pertidaksamaan 3< 4 . Составим разность, получим 3 − 4 = −1 . Согласно правилу, число 3 будет меньше числа 4, если разность 3 − 4 окажется отрицательной. У нас она равна −1, то есть разность отрицательна. А значит число 3 меньше числа 4.

Mari kita periksa apakah pertidaksamaan 5 > 8 benar. Tulis selisihnya, kita dapatkan 5 8 = 3. Menurut aturan, angka 5 akan lebih besar dari angka 8 jika selisihnya 5 8 positif. Perbedaan kami adalah 3, yaitu, itu tidak positif. jadi angka 5 tidak lebih angka 3. Dengan kata lain, pertidaksamaan 5 > 8 tidak benar.

Ketimpangan ketat dan tidak ketat

Pertidaksamaan yang mengandung tanda >,< называют ketat. Dan pertidaksamaan yang mengandung tanda , disebut tidak ketat.

Kami mempertimbangkan contoh ketidaksetaraan yang ketat sebelumnya. Ini adalah pertidaksamaan 5 > 3 , 7< 9 .

Non-ketat, misalnya, adalah pertidaksamaan 2 5 . Ketimpangan ini dibaca sebagai berikut: "2 kurang dari atau sama dengan 5" .

Entri 2 5 tidak lengkap. Catatan lengkap dari ketimpangan ini adalah sebagai berikut:

2 < 5 atau 2 = 5

Maka menjadi jelas bahwa pertidaksamaan 2 5 terdiri dari dua kondisi: "dua kurang dari lima" dan "dua sama dengan lima" .

Pertidaksamaan tidak ketat adalah benar jika setidaknya salah satu syaratnya terpenuhi. Dalam contoh kita, kondisinya benar "2 kurang dari 5". Ini berarti pertidaksamaan 2 5 juga benar.

Contoh 2. Pertidaksamaan 2 2 benar karena salah satu syaratnya terpenuhi, yaitu 2 = 2.

Contoh 3. Pertidaksamaan 5 2 tidak benar karena tidak ada kondisi yang terpenuhi: baik 5< 2 ни 5 = 2 .

ketimpangan ganda

Angka 3 lebih besar dari angka 2 dan lebih kecil dari angka 4 . Dalam bentuk pertidaksamaan, pernyataan ini dapat ditulis sebagai berikut: 2< 3 < 4 . Такое неравенство называют двойным.

Sebuah ketidaksetaraan ganda mungkin mengandung tanda-tanda ketidaksetaraan non-ketat. Misalnya, jika angka 5 lebih besar atau sama dengan angka 2 dan kurang dari atau sama dengan angka 7 , maka kita dapat menulis bahwa 2 5 7

Untuk menulis pertidaksamaan ganda dengan benar, pertama tulis suku di tengah, lalu suku di kiri, lalu suku di kanan.

Sebagai contoh, mari kita tuliskan bahwa angka 6 lebih besar dari angka 4 dan lebih kecil dari angka 9.

Pertama tulis 6

Di sebelah kiri, kami menulis bahwa angka ini lebih besar dari angka 4

Di sebelah kanan, kami menulis bahwa angka 6 lebih kecil dari angka 9

Pertidaksamaan Variabel

Ketimpangan, seperti kesetaraan, dapat berisi variabel.

Misalnya, ketidaksetaraan x> 2 berisi variabel x. Biasanya ketidaksetaraan seperti itu perlu dipecahkan, yaitu untuk mencari tahu berapa nilainya x ketidaksetaraan ini menjadi benar.

Menyelesaikan pertidaksamaan berarti menemukan nilai variabel seperti itu x, di mana ketidaksetaraan ini menjadi benar.

Nilai peubah yang membuat pertidaksamaan menjadi benar disebut menyelesaikan pertidaksamaan.

Ketidaksamaan x> 2 menjadi benar ketika x=3, x=4, x=5, x=6 dan seterusnya sampai tak terhingga. Kami melihat bahwa ketidaksetaraan ini tidak memiliki satu solusi, tetapi banyak solusi.

Dengan kata lain, dengan menyelesaikan pertidaksamaan x> 2 adalah himpunan semua bilangan yang lebih besar dari 2. Untuk bilangan-bilangan ini, pertidaksamaan akan benar. Contoh:

3 > 2

4 > 2

5 > 2

Angka 2, terletak di sisi kanan pertidaksamaan x> 2 , kami akan memanggil berbatasan ketidaksetaraan ini. Bergantung pada tanda pertidaksamaan, batas mungkin atau mungkin tidak termasuk dalam himpunan solusi pertidaksamaan.

Dalam contoh kita, batas pertidaksamaan tidak termasuk dalam himpunan penyelesaian, karena ketika mensubstitusikan angka 2 ke dalam pertidaksamaan x> 2 ternyata tidak benar pertidaksamaan 2 > 2 . Angka 2 tidak bisa lebih besar dari dirinya sendiri, karena sama dengan dirinya sendiri (2 = 2) .

Ketidaksamaan x> 2 ketat. Bisa dibaca seperti ini: x benar-benar lebih besar dari 2″ . Artinya, semua nilai diterima oleh variabel x harus benar-benar lebih besar dari 2. Jika tidak, pertidaksamaan tidak akan benar.

Jika kita diberi pertidaksamaan tidak ketat x 2 , maka solusi dari pertidaksamaan ini adalah semua bilangan yang lebih besar dari 2, termasuk bilangan 2 itu sendiri. Dalam pertidaksamaan ini, batas 2 termasuk dalam himpunan solusi pertidaksamaan, karena ketika mensubstitusikan angka 2 ke ketidaksamaan x 2 kita mendapatkan pertidaksamaan yang benar 2 2 . Dikatakan sebelumnya bahwa ketidaksetaraan tidak ketat benar jika setidaknya salah satu kondisinya terpenuhi. Pertidaksamaan 2 2 memenuhi syarat 2 = 2 , maka pertidaksamaan 2 2 juga benar.

Bagaimana mengatasi ketidaksetaraan

Proses penyelesaian pertidaksamaan dalam banyak hal mirip dengan proses penyelesaian persamaan. Saat menyelesaikan pertidaksamaan, kita akan menerapkan sifat-sifat yang telah kita pelajari di awal pelajaran ini, seperti: memindahkan suku dari satu bagian pertidaksamaan ke bagian lain, mengubah tanda; mengalikan (atau membagi) kedua ruas pertidaksamaan dengan bilangan yang sama.

Sifat-sifat ini memungkinkan kita untuk memperoleh pertidaksamaan yang ekuivalen dengan pertidaksamaan aslinya. Pertidaksamaan yang ekuivalen disebut pertidaksamaan yang penyelesaiannya sama.

Saat menyelesaikan persamaan, kami melakukan transformasi identik hingga variabel tetap berada di sisi kiri persamaan, dan nilai variabel ini tetap berada di sisi kanan (misalnya: x=2, x=5). Dengan kata lain, persamaan semula diganti dengan persamaan setara sampai persamaan bentuk x =, di mana sebuah nilai variabel x. Bergantung pada persamaan, mungkin ada satu, dua, jumlah akar yang tak terbatas, atau tidak sama sekali.

Dan ketika menyelesaikan pertidaksamaan, kami akan mengganti pertidaksamaan asli dengan pertidaksamaan yang setara dengannya sampai variabel pertidaksamaan ini tetap di sisi kiri, dan batasnya di sisi kanan.

Contoh 1. Memecahkan pertidaksamaan 2 x> 6

Jadi, Anda perlu menemukan nilai seperti itu x , dengan mensubstitusinya menjadi 2 x> 6 kita mendapatkan pertidaksamaan yang benar.

Pada awal pelajaran ini, dikatakan bahwa jika kedua bagian pertidaksamaan dibagi dengan suatu bilangan positif, maka tanda pertidaksamaan tidak akan berubah. Jika kita menerapkan sifat ini pada pertidaksamaan yang mengandung variabel, maka kita mendapatkan pertidaksamaan yang ekuivalen dengan pertidaksamaan aslinya.

Dalam kasus kami, jika kami memisahkan kedua bagian dari pertidaksamaan 2 x> 6 dengan suatu bilangan positif, maka diperoleh pertidaksamaan yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula 2 x> 6.

Jadi mari kita bagi kedua sisi pertidaksamaan dengan 2.

Di sisi kiri ada variabel x, dan ruas kanan menjadi sama dengan 3. Kami mendapatkan pertidaksamaan yang ekuivalen x> 3. Ini melengkapi solusi, karena variabel tetap di sisi kiri, dan batas pertidaksamaan di sisi kanan.

Sekarang kita dapat menyimpulkan bahwa solusi dari pertidaksamaan x> 3 adalah semua bilangan yang lebih besar dari 3. Ini adalah bilangan 4, 5, 6, 7 dan seterusnya ad infinitum. Untuk nilai-nilai ini, pertidaksamaan x> 3 akan benar.

4 > 3

5 > 3

6 > 3

7 > 3

Perhatikan bahwa pertidaksamaan x> 3 ketat. " Variabel x benar-benar lebih besar dari tiga."

Dan karena ketidaksetaraan x> 3 setara dengan pertidaksamaan asli 2 x> 6 , maka solusi mereka akan bertepatan. Dengan kata lain, nilai-nilai yang sesuai dengan pertidaksamaan x> 3 juga akan sesuai dengan pertidaksamaan 2 x> 6. Mari kita tunjukkan.

Ambil, misalnya, angka 5 dan substitusikan terlebih dahulu ke dalam pertidaksamaan ekuivalen yang telah kita peroleh x> 3 , dan kemudian ke yang asli 2 x> 6 .

Kami melihat bahwa dalam kedua kasus, ketidaksetaraan yang benar diperoleh.

Setelah pertidaksamaan diselesaikan, jawabannya harus ditulis dalam bentuk yang disebut rentang angka dengan cara berikut:

Ungkapan ini mengatakan bahwa nilai yang diambil oleh variabel x, termasuk dalam interval numerik dari tiga hingga plus tak terhingga.

Dengan kata lain, semua bilangan dari tiga hingga plus tak terhingga adalah solusi dari pertidaksamaan x> 3 . Tanda ∞ dalam matematika berarti tak terhingga.

Mengingat bahwa konsep interval numerik sangat penting, mari kita membahasnya secara lebih rinci.

Rentang numerik

Kesenjangan numerik memanggil himpunan bilangan pada garis koordinat, yang dapat digambarkan menggunakan pertidaksamaan.

Misalkan kita ingin menggambar satu set angka dari 2 hingga 8. Untuk melakukan ini, pertama-tama tandai titik-titik dengan koordinat 2 dan 8 pada garis koordinat, lalu pilih dengan sapuan area yang terletak di antara koordinat 2 dan 8. Pukulan ini akan memainkan peran angka, terletak di antara angka 2 dan 8

Mari kita panggil nomor 2 dan 8 perbatasan kesenjangan angka. Saat menggambar interval numerik, titik-titik untuk batasnya digambarkan bukan sebagai titik seperti itu, tetapi sebagai lingkaran yang dapat dilihat.

Batas mungkin atau mungkin tidak termasuk dalam rentang numerik.

Jika batas bukan milik interval numerik, maka mereka digambarkan pada garis koordinat dalam bentuk lingkaran kosong.

Jika batas milik interval numerik, maka lingkaran harus cat di atas.

Dalam gambar kami, lingkaran dibiarkan kosong. Ini berarti bahwa batas 2 dan 8 tidak termasuk dalam celah numerik. Ini berarti bahwa rentang numerik kami akan mencakup semua angka dari 2 hingga 8, kecuali angka 2 dan 8.

Jika kita ingin memasukkan batas 2 dan 8 dalam rentang numerik, maka lingkaran harus diisi:

Dalam hal ini, rentang angka akan mencakup semua angka dari 2 hingga 8, termasuk angka 2 dan 8.

Secara tertulis, interval numerik ditunjukkan dengan menunjukkan batas-batasnya menggunakan tanda kurung bulat atau persegi.

Jika batas bukan milik tanda kurung.

Jika batas milik celah numerik, maka perbatasan dibingkai tanda kurung siku.

Gambar menunjukkan dua interval numerik dari 2 hingga 8 dengan penunjukan yang sesuai:

Pada gambar pertama, kesenjangan numerik ditunjukkan oleh tanda kurung, karena batas 2 dan 8 bukan milik interval angka ini.

Pada gambar kedua, kesenjangan numerik ditunjukkan oleh tanda kurung siku, karena batas 2 dan 8 milik interval angka ini.

Menggunakan interval numerik, Anda dapat menulis jawaban atas ketidaksetaraan. Misalnya, jawaban pertidaksamaan ganda 2 x 8 ditulis seperti ini:

x ∈ [ 2 ; 8 ]

Artinya, pertama-tama variabel yang termasuk dalam pertidaksamaan ditulis, kemudian, dengan menggunakan tanda keanggotaan , mereka menunjukkan pada interval numerik mana nilai-nilai variabel ini berada. Dalam hal ini, ekspresi x[ 2 ; 8 ] menunjukkan bahwa variabel x, termasuk dalam pertidaksamaan 2 x 8, mengambil semua nilai antara 2 dan 8 inklusif. Untuk nilai-nilai ini, ketidaksetaraan akan benar.

Perhatikan fakta bahwa jawabannya ditulis menggunakan tanda kurung siku, karena batas pertidaksamaan 2 x 8 , yaitu, angka 2 dan 8 termasuk dalam himpunan solusi pertidaksamaan ini.

Himpunan solusi pertidaksamaan 2 x 8 juga dapat direpresentasikan menggunakan garis koordinat:

Di sini batas-batas interval numerik 2 dan 8 sesuai dengan batas-batas pertidaksamaan 2 x x 2 ≤ x≤ 8 .

Dalam beberapa sumber, batas-batas yang tidak termasuk dalam celah numerik disebut membuka .

Mereka disebut terbuka karena interval numerik tetap terbuka karena fakta bahwa batas-batasnya tidak termasuk dalam interval numerik ini. Lingkaran kosong pada garis koordinat matematika disebut titik tertekuk . Mencolek suatu titik berarti mengeluarkannya dari interval numerik atau dari himpunan solusi pertidaksamaan.

Dan dalam kasus ketika batas-batas milik interval numerik, mereka disebut tertutup(atau tertutup), karena batas-batas tersebut menutup (menutup) celah numerik. Lingkaran yang terisi pada garis koordinat juga menunjukkan bahwa perbatasan ditutup.

Ada berbagai macam interval numerik. Mari kita pertimbangkan masing-masing.

balok nomor

balok nomor x a, di mana sebuah x- menyelesaikan ketidaksetaraan.

Biarlah sebuah= 3 . Maka pertidaksamaan x a akan mengambil bentuk x 3 . Penyelesaian pertidaksamaan ini adalah semua bilangan yang lebih besar dari 3, termasuk bilangan 3 itu sendiri.

Gambarlah sinar bilangan yang diberikan oleh pertidaksamaan x 3, pada garis koordinat. Untuk melakukan ini, tandai di atasnya sebuah titik dengan koordinat 3, dan sisanya daerah di sebelah kanannya sorot dengan tanda hubung. Ini adalah sisi kanan yang menonjol, karena solusi dari pertidaksamaan x 3 adalah angka yang lebih besar dari 3. Dan angka yang lebih besar pada garis koordinat terletak di sebelah kanan

x 3 , dan area yang ditandai dengan goresan sesuai dengan kumpulan nilai x, yang merupakan solusi dari pertidaksamaan x≥ 3 .

Titik 3 yang merupakan batas sinar bilangan ditunjukkan sebagai lingkaran terisi, karena batas pertidaksamaan x 3 termasuk dalam himpunan penyelesaiannya.

Secara tertulis, garis bilangan yang diberikan oleh pertidaksamaan x a,

[ sebuah; +∞)

Dapat dilihat bahwa di satu sisi perbatasan dibingkai oleh braket persegi, dan di sisi lain oleh braket bundar. Ini disebabkan oleh fakta bahwa satu batas sinar numerik adalah miliknya, dan yang lainnya tidak, karena infinity itu sendiri tidak memiliki batas dan dipahami bahwa di sisi lain tidak ada angka yang menutup sinar numerik ini.

Mengingat salah satu batas garis bilangan tertutup, celah ini sering disebut balok bilangan tertutup.

Ayo tulis jawaban pertidaksamaannya x 3 menggunakan notasi bilangan ray. Kami memiliki variabel sebuah adalah 3

x ∈ [ 3 ; +∞)

Ungkapan ini mengatakan bahwa variabel x termasuk dalam pertidaksamaan x 3, mengambil semua nilai dari 3 hingga plus tak terhingga.

Dengan kata lain, semua bilangan dari 3 hingga plus tak terhingga adalah solusi dari pertidaksamaan x 3 . Batas 3 termasuk dalam himpunan solusi karena pertidaksamaan x 3 tidak ketat.

Sinar bilangan tertutup juga disebut interval bilangan, yang diberikan oleh pertidaksamaan x a . Solusi ketidaksetaraan x a sebuah , termasuk nomor itu sendiri sebuah.

Misalnya, jika sebuah x 2 . Pada garis koordinat, batas 2 akan digambarkan sebagai lingkaran yang terisi, dan seluruh area berada kiri, akan disorot dengan tanda hubung. Kali ini, sisi kiri disorot, karena solusi dari pertidaksamaan x 2 adalah angka yang kurang dari 2. Dan angka yang lebih kecil pada garis koordinat terletak di sebelah kiri

x 2 , dan area putus-putus sesuai dengan himpunan nilai x, yang merupakan solusi dari pertidaksamaan x≤ 2 .

Titik 2 yang merupakan batas dari sinar bilangan ditunjukkan sebagai lingkaran yang terisi, karena merupakan batas pertidaksamaan x 2 termasuk dalam himpunan penyelesaiannya.

Ayo tulis jawaban pertidaksamaannya x 2 menggunakan notasi sinar bilangan:

x ∈ (−∞ ; 2 ]

x 2. Batas 2 termasuk dalam himpunan solusi, karena pertidaksamaan x 2 tidak ketat.

Buka balok nomor

Buka balok nomor disebut interval numerik, yang diberikan oleh pertidaksamaan x > a, di mana sebuah adalah batas ketidaksetaraan ini, x- solusi ketidaksetaraan.

Garis bilangan terbuka mirip dalam banyak hal dengan garis bilangan tertutup. Perbedaannya adalah bahwa perbatasan sebuah bukan milik interval, serta batas pertidaksamaan x > a tidak termasuk dalam himpunan penyelesaiannya.

Biarlah sebuah= 3 . Maka pertidaksamaan berbentuk x> 3 . Penyelesaian pertidaksamaan ini adalah semua bilangan yang lebih besar dari 3, kecuali bilangan 3

Pada garis koordinat, batas sinar bilangan terbuka diberikan oleh pertidaksamaan x> 3 akan ditampilkan sebagai lingkaran kosong. Seluruh area di sebelah kanan akan disorot dengan goresan:

Di sini titik 3 sesuai dengan batas pertidaksamaan x > 3 , dan area yang disorot dengan goresan sesuai dengan kumpulan nilai x, yang merupakan solusi dari pertidaksamaan x > 3 . Titik 3, yang merupakan batas sinar numerik terbuka, ditampilkan sebagai lingkaran kosong, karena batas pertidaksamaan x > 3 tidak termasuk dalam himpunan penyelesaiannya.

x > a , dilambangkan sebagai berikut:

(sebuah; +∞)

Tanda kurung menunjukkan bahwa batas-batas sinar bilangan terbuka bukan miliknya.

Ayo tulis jawaban pertidaksamaannya x> 3 menggunakan notasi balok numerik terbuka:

x ∈ (3 ; +∞)

Ungkapan ini mengatakan bahwa semua angka dari 3 hingga plus tak terhingga adalah solusi dari pertidaksamaan x> 3 . Batas 3 bukan milik himpunan solusi karena pertidaksamaan x> 3 ketat.

Sinar bilangan terbuka juga disebut interval bilangan, yang diberikan oleh pertidaksamaan x< a , di mana sebuah adalah batas ketidaksetaraan ini, x— penyelesaian pertidaksamaan . Solusi ketidaksetaraan x< a semuanya bilangan kurang dari sebuah , tidak termasuk nomor sebuah.

Misalnya, jika sebuah= 2 , maka pertidaksamaan berbentuk x< 2. Pada garis koordinat, batas 2 akan ditampilkan sebagai lingkaran kosong, dan seluruh area di sebelah kiri akan disorot dengan goresan:

Di sini titik 2 sesuai dengan batas pertidaksamaan x< 2 , dan area yang ditandai dengan guratan sesuai dengan kumpulan nilai x, yang merupakan solusi dari pertidaksamaan x< 2. Titik 2, yang merupakan batas sinar numerik terbuka, ditampilkan sebagai lingkaran kosong, karena batas pertidaksamaan x< 2 tidak termasuk dalam himpunan penyelesaiannya.

Secara tertulis, balok bilangan terbuka diberikan oleh pertidaksamaan x< a , dilambangkan sebagai berikut:

(−∞ ; sebuah)

Ayo tulis jawaban pertidaksamaannya x< 2 menggunakan notasi balok numerik terbuka:

x ∈ (−∞ ; 2)

Ungkapan ini mengatakan bahwa semua angka dari minus tak terhingga hingga 2 adalah solusi dari pertidaksamaan x< 2. Batas 2 tidak termasuk dalam himpunan solusi karena pertidaksamaan x< 2 ketat.

Segmen garis

segmen a x b, di mana sebuah dan b x- solusi ketidaksetaraan.

Biarlah sebuah = 2 , b= 8 . Maka pertidaksamaan a x b mengambil bentuk 2 x 8 . Solusi pertidaksamaan 2 x 8 adalah semua bilangan yang lebih besar dari 2 dan lebih kecil dari 8. Selain itu, batas-batas pertidaksamaan 2 dan 8 termasuk dalam himpunan penyelesaiannya, karena pertidaksamaan 2 x 8 tidak ketat.

Gambarlah segmen yang diberikan oleh pertidaksamaan ganda 2 x 8 pada garis koordinat. Untuk melakukan ini, tandai titik-titik di atasnya dengan koordinat 2 dan 8, dan tandai area di antara mereka dengan goresan:

≤ x 8 , dan area putus-putus sesuai dengan himpunan nilai x x 8 . Titik 2 dan 8 yang merupakan batas-batas ruas ditunjukkan sebagai lingkaran terisi, karena batas-batas pertidaksamaan 2 x 8 termasuk dalam himpunan penyelesaiannya.

Pada surat itu, segmen yang diberikan oleh pertidaksamaan a x b dilambangkan sebagai berikut:

[ sebuah; b ]

Tanda kurung siku di kedua sisi menunjukkan bahwa batas-batas segmen milik dia. Mari kita tulis jawaban pertidaksamaan 2 x

x ∈ [ 2 ; 8 ]

Ungkapan ini mengatakan bahwa semua bilangan dari 2 sampai 8 inklusif adalah solusi dari pertidaksamaan 2 x≤ 8 .

Selang

selang disebut interval numerik, yang diberikan oleh pertidaksamaan ganda sebuah< x < b , di mana sebuah dan b adalah batas-batas ketidaksetaraan ini, x- solusi ketidaksetaraan.

Biarlah a = 2, b = 8. Maka pertidaksamaan sebuah< x < b akan mengambil bentuk 2< x< 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

Mari kita gambarkan interval pada garis koordinat:

Di sini poin 2 dan 8 sesuai dengan batas pertidaksamaan 2< x< 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x < x< 8 . Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < x< 8 не принадлежат множеству его решений.

Secara tertulis, interval yang diberikan oleh pertidaksamaan sebuah< x < b, dilambangkan sebagai berikut:

(sebuah; b)

Tanda kurung di kedua sisi menunjukkan bahwa batas interval bukan milik dia. Mari kita tuliskan jawaban pertidaksamaan 2< x< 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ (2 ; 8)

Ungkapan ini menyatakan bahwa semua bilangan dari 2 sampai 8, kecuali bilangan 2 dan 8, adalah solusi dari pertidaksamaan 2< x< 8 .

Setengah interval

Setengah interval disebut interval numerik, yang diberikan oleh pertidaksamaan sebuah x< b , di mana sebuah dan b adalah batas-batas ketidaksetaraan ini, x- solusi ketidaksetaraan.

Setengah interval juga disebut interval numerik, yang diberikan oleh pertidaksamaan sebuah< x ≤ b .

Salah satu batas setengah interval miliknya. Oleh karena itu nama interval numerik ini.

Dalam situasi dengan setengah interval sebuah x< b itu (setengah interval) milik batas kiri.

Dan dalam situasi dengan setengah interval sebuah< x ≤ b itu memiliki batas kanan.

Biarlah sebuah= 2 , b= 8 . Maka pertidaksamaan sebuah x< b mengambil bentuk 2 x < 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

Gambarlah intervalnya 2 x < 8 на координатной прямой:

x < 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, yang merupakan solusi dari pertidaksamaan 2 x < 8 .

Poin 2, yaitu batas kiri setengah interval, ditampilkan sebagai lingkaran penuh, karena batas kiri pertidaksamaan 2 x < 8 milik banyak solusi nya.

Dan poin 8, yaitu batas kanan setengah interval ditampilkan sebagai lingkaran kosong, karena batas kanan pertidaksamaan 2 x < 8 bukan milik banyak solusi nya.

sebuah x< b, dilambangkan sebagai berikut:

[ sebuah; b)

Dapat dilihat bahwa di satu sisi perbatasan dibingkai oleh braket persegi, dan di sisi lain oleh braket bundar. Ini disebabkan oleh fakta bahwa satu batas dari setengah interval miliknya, sedangkan yang lain tidak. Mari kita tulis jawaban pertidaksamaan 2 x < 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ [ 2 ; 8)

Ungkapan ini menyatakan bahwa semua bilangan dari 2 sampai 8, termasuk bilangan 2 tetapi tidak termasuk bilangan 8, adalah penyelesaian dari pertidaksamaan 2 x < 8 .

Demikian pula, pada garis koordinat, seseorang dapat menggambarkan setengah interval yang diberikan oleh pertidaksamaan sebuah< x ≤ b . Biarlah sebuah= 2 , b= 8 . Maka pertidaksamaan sebuah< x ≤ b akan mengambil bentuk 2< x 8 . Penyelesaian dari pertidaksamaan ganda ini adalah semua bilangan yang lebih besar dari 2 dan kurang dari 8, tidak termasuk bilangan 2, tetapi termasuk bilangan 8.

Gambar setengah interval 2< x 8 pada garis koordinat:

Di sini poin 2 dan 8 sesuai dengan batas pertidaksamaan 2< x 8 , dan area putus-putus sesuai dengan himpunan nilai x, yang merupakan solusi dari pertidaksamaan 2< x≤ 8 .

Poin 2, yaitu batas kiri setengah interval, ditampilkan sebagai lingkaran kosong, karena batas kiri pertidaksamaan 2< x≤ 8 bukan milik banyak solusi nya.

Dan poin 8, yaitu batas kanan setengah interval, ditampilkan sebagai lingkaran penuh, karena batas kanan pertidaksamaan 2< x≤ 8 milik banyak solusi nya.

Secara tertulis, setengah interval yang diberikan oleh pertidaksamaan sebuah< x ≤ b, dilambangkan seperti ini: sebuah; b] . Mari kita tuliskan jawaban pertidaksamaan 2< x 8 menggunakan notasi ini:

x ∈ (2 ; 8 ]

Ungkapan ini menyatakan bahwa semua bilangan dari 2 sampai 8, kecuali bilangan 2, tetapi termasuk bilangan 8, adalah penyelesaian pertidaksamaan 2< x≤ 8 .

Gambar interval numerik pada garis koordinat

Rentang numerik dapat ditentukan menggunakan pertidaksamaan, atau menggunakan notasi (tanda kurung atau kurung siku). Dalam kedua kasus, seseorang harus dapat mewakili interval numerik ini pada garis koordinat. Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh 1. Gambarkan interval numerik yang diberikan oleh pertidaksamaan x> 5

Kita ingat bahwa ketidaksetaraan bentuk x> sebuah sinar numerik terbuka ditentukan. Dalam hal ini, variabel sebuah sama dengan 5. Ketimpangan x> 5 ketat, sehingga batas 5 akan ditampilkan sebagai lingkaran kosong. Kami tertarik pada semua nilai x, yang lebih besar dari 5, sehingga seluruh area di sebelah kanan akan disorot dengan goresan:

Contoh 2. Gambarlah interval bilangan (5; +∞) pada garis koordinat

Ini adalah rentang angka yang sama yang kami gambarkan dalam contoh sebelumnya. Tapi kali ini diatur bukan dengan bantuan ketidaksetaraan, tetapi dengan bantuan notasi interval numerik.

Batas 5 dikelilingi oleh tanda kurung, yang berarti tidak termasuk dalam celah. Dengan demikian, lingkaran tetap kosong.

Simbol +∞ menunjukkan bahwa kami tertarik pada semua angka yang lebih besar dari 5. Dengan demikian, seluruh area di sebelah kanan batas 5 disorot dengan goresan:

Contoh 3. Gambarlah interval bilangan (−5; 1) pada garis koordinat.

Tanda kurung bulat di kedua sisi menunjukkan interval. Batas-batas interval bukan miliknya, sehingga batas 5 dan 1 akan ditampilkan pada garis koordinat sebagai lingkaran kosong. Seluruh area di antara mereka akan disorot dengan goresan:

Contoh 4. Gambarlah interval numerik yang diberikan oleh pertidaksamaan 5< x< 1

Ini adalah rentang angka yang sama yang kami gambarkan dalam contoh sebelumnya. Tapi kali ini ditentukan bukan dengan bantuan notasi interval, tetapi dengan bantuan pertidaksamaan ganda.

Pertidaksamaan bentuk sebuah< x < b , interval diatur. Dalam hal ini, variabel sebuah sama dengan 5 , dan variabel b adalah sama dengan satu. Ketimpangan 5< x< 1 ketat, sehingga batas 5 dan 1 akan digambar sebagai lingkaran kosong. Kami tertarik pada semua nilai x, yang lebih besar dari 5 tetapi kurang dari satu, sehingga seluruh area antara titik 5 dan 1 akan disorot dengan goresan:

Contoh 5. Gambarlah interval numerik [-1; 2] dan

Kali ini kita akan menggambar dua celah pada garis koordinat sekaligus.

Tanda kurung siku di kedua sisi menunjukkan segmen. Batas-batas segmen miliknya, jadi batas-batas segmen [-1; 2] dan akan digambarkan pada garis koordinat sebagai lingkaran penuh. Seluruh area di antara mereka akan disorot dengan goresan.

Untuk melihat dengan jelas celah [−1; 2] dan , yang pertama dapat digambarkan di area atas, dan yang kedua di bawah. Jadi mari kita lakukan:

Contoh 6. Gambarlah interval numerik [-1; 2) dan (2; 5]

Tanda kurung siku di satu sisi dan tanda kurung bulat di sisi lain menunjukkan setengah interval. Salah satu batas setengah interval miliknya, dan yang lainnya tidak.

Dalam kasus setengah interval [-1; 2) perbatasan kiri akan menjadi miliknya, tetapi yang kanan tidak. Ini berarti bahwa batas kiri akan ditampilkan sebagai lingkaran penuh. Batas kanan akan ditampilkan sebagai lingkaran kosong.

Dan dalam kasus setengah interval (2; 5] hanya batas kanan yang akan menjadi miliknya, tetapi yang kiri tidak. Ini berarti bahwa batas kiri akan ditampilkan sebagai lingkaran yang terisi. Batas kanan akan ditampilkan sebagai lingkaran kosong.

Gambarlah interval [-1; 2) di wilayah atas garis koordinat, dan interval (2; 5] — di bawah:

Contoh penyelesaian pertidaksamaan

Pertidaksamaan yang, dengan transformasi identik, dapat direduksi menjadi bentuk kapak > b(atau ke tampilan kapak< b ), kami akan memanggil pertidaksamaan linier dengan satu variabel.

Dalam pertidaksamaan linier kapak > b , x adalah variabel yang nilainya akan ditemukan, sebuah adalah koefisien variabel ini, b adalah batas pertidaksamaan, yang bergantung pada tanda pertidaksamaan, mungkin termasuk dalam himpunan penyelesaiannya atau tidak termasuk di dalamnya.

Misal pertidaksamaan 2 x> 4 adalah pertidaksamaan bentuk kapak > b. Di dalamnya, peran variabel sebuah memainkan nomor 2, peran variabel b(ketidaksamaan batas) memainkan angka 4.

Ketimpangan 2 x> 4 dapat dibuat lebih sederhana. Jika kita membagi kedua bagiannya dengan 2, maka kita mendapatkan pertidaksamaan x> 2

Ketimpangan yang dihasilkan x> 2 juga merupakan pertidaksamaan bentuk kapak > b, yaitu pertidaksamaan linier dengan satu variabel. Dalam pertidaksamaan ini, peran variabel sebuah unit bermain. Sebelumnya kami mengatakan bahwa koefisien 1 tidak dicatat. Peran variabel b memainkan nomor 2.

Berdasarkan informasi ini, mari kita coba memecahkan beberapa pertidaksamaan sederhana. Selama penyelesaian, kami akan melakukan transformasi identitas dasar untuk mendapatkan pertidaksamaan bentuk kapak > b

Contoh 1. Selesaikan pertidaksamaan x− 7 < 0

Tambahkan ke kedua sisi pertidaksamaan angka 7

x− 7 + 7 < 0 + 7

Di sisi kiri akan tetap x, dan ruas kanan menjadi sama dengan 7

x< 7

Dengan transformasi dasar, kami telah mengurangi ketidaksetaraan x− 7 < 0 к равносильному неравенству x< 7 . Решениями неравенства x< 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Ketika ketidaksetaraan dibawa ke bentuk x< a (atau x > a), dapat dianggap sudah terpecahkan. Ketidaksetaraan kita x− 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду x< 7 . Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

Mari kita tulis jawabannya menggunakan interval numerik. Dalam hal ini, jawabannya adalah sinar bilangan terbuka (ingat bahwa sinar bilangan diberikan oleh pertidaksamaan x< a dan dilambangkan sebagai (−∞ ; sebuah)

x ∈ (−∞ ; 7)

Pada garis koordinat, batas 7 akan ditampilkan sebagai lingkaran kosong, dan seluruh area di sebelah kiri batas akan disorot dengan goresan:

Untuk mengeceknya, kita ambil sembarang bilangan dari selang (−∞ ; 7) dan substitusikan ke dalam pertidaksamaan x< 7 вместо переменной x. Ambil, misalnya, nomor 2

2 < 7

Ternyata pertidaksamaan numerik yang benar, yang berarti bahwa penyelesaiannya benar. Mari kita ambil beberapa nomor lain, misalnya, nomor 4

4 < 7

Ternyata pertidaksamaan numerik yang benar. Jadi keputusannya benar.

Dan karena ketidaksetaraan x< 7 равносильно исходному неравенству x - 7 < 0 , то решения неравенства x< 7 будут совпадать с решениями неравенства x - 7 < 0 . Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x - 7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство

Contoh 2. Selesaikan pertidaksamaan 4 x < −16

Bagilah kedua ruas pertidaksamaan dengan 4. Jangan lupa bahwa ketika membagi kedua bagian pertidaksamaan ke bilangan negatif, tanda pertidaksamaan perubahan sebaliknya:

Kami telah mengurangi ketidaksetaraan 4 x < −16 к равносильному неравенству x> 4 . Solusi ketidaksetaraan x> 4 akan menjadi semua bilangan yang lebih besar dari 4. Batas 4 tidak termasuk dalam himpunan solusi, karena pertidaksamaannya tegas.

x> 4 pada garis koordinat dan tuliskan jawabannya sebagai interval numerik:

Contoh 3. Selesaikan pertidaksamaan 3y + 1 > 1 + 6kamu

Jadwalkan ulang 6 kamu dari sisi kanan ke sisi kiri dengan mengubah tanda. Dan kami akan mentransfer 1 dari sisi kiri ke sisi kanan, sekali lagi mengubah tanda:

3kamu− 6kamu> 1 − 1

Berikut adalah istilah serupa:

−3kamu > 0

Bagilah kedua ruas dengan 3. Jangan lupa bahwa ketika membagi kedua bagian pertidaksamaan dengan angka negatif, tanda pertidaksamaan dibalik:

Solusi ketidaksetaraan kamu< 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства kamu< 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Contoh 4. Selesaikan pertidaksamaan 5(x− 1) + 7 ≤ 1 − 3(x+ 2)

Mari kita perluas tanda kurung di kedua bagian pertidaksamaan:

Pindahkan -3 x dari sisi kanan ke sisi kiri dengan mengubah tanda. Kami akan memindahkan istilah 5 dan 7 dari sisi kiri ke sisi kanan, sekali lagi mengubah tanda:

Berikut adalah istilah serupa:

Bagilah kedua ruas pertidaksamaan yang dihasilkan dengan 8

Penyelesaian pertidaksamaan adalah semua bilangan yang lebih kecil dari . Batas tersebut termasuk dalam himpunan solusi karena pertidaksamaannya tidak tegas.

Contoh 5. Selesaikan pertidaksamaan

Kalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan 2. Ini akan menghilangkan pecahan di ruas kiri:

Sekarang kita pindah 5 dari sisi kiri ke sisi kanan dengan mengubah tanda:

Setelah mengurangi suku-suku serupa, kita memperoleh pertidaksamaan 6 x> 1 . Bagilah kedua bagian pertidaksamaan ini dengan 6. Kemudian kita peroleh:

Penyelesaian pertidaksamaan adalah semua bilangan yang lebih besar dari . Batas tidak termasuk dalam himpunan solusi karena pertidaksamaannya ketat.

Gambarkan himpunan penyelesaian pertidaksamaan pada garis koordinat dan tuliskan jawabannya sebagai interval numerik:

Contoh 6. Selesaikan pertidaksamaan

Kalikan kedua ruas dengan 6

Setelah mengurangi suku-suku serupa, kita memperoleh pertidaksamaan 5 x< 30 . Разделим обе части этого неравенства на 5

Solusi ketidaksetaraan x< 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x< 6 строгим.

Gambarkan himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut x< 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Contoh 7. Selesaikan pertidaksamaan

Kalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan 10

Dalam ketidaksetaraan yang dihasilkan, buka tanda kurung di sisi kiri:

Transfer anggota tanpa x samping kanan

Kami menyajikan istilah serupa di kedua bagian:

Bagilah kedua bagian dari pertidaksamaan yang dihasilkan dengan 10

Solusi ketidaksetaraan x 3,5 adalah semua bilangan yang kurang dari 3,5. Batas 3,5 termasuk dalam himpunan solusi karena pertidaksamaannya adalah x 3.5 tidak ketat.

Gambarkan himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut x 3.5 pada garis koordinat dan tulis jawabannya sebagai interval numerik:

Contoh 8. Memecahkan ketidaksetaraan 4< 4x< 20

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan seperti itu, kita membutuhkan variabel x bebas dari koefisien 4. Kemudian kita dapat mengatakan dalam interval berapa solusi dari pertidaksamaan ini.

Untuk melepaskan variabel x dari koefisien, Anda dapat membagi suku 4 x dengan 4. Tetapi aturan dalam pertidaksamaan adalah jika kita membagi anggota pertidaksamaan dengan suatu bilangan, maka hal yang sama harus dilakukan dengan sisa suku yang termasuk dalam pertidaksamaan ini. Dalam kasus kita, kita perlu membagi dengan 4 ketiga suku pertidaksamaan 4< 4x< 20

Solusi pertidaksamaan 1< x< 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < x< 5 является строгим.

Gambarkan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1< x< 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Contoh 9. Selesaikan pertidaksamaan 1 2 x≤ 0

Bagilah semua suku pertidaksamaan dengan 2

Kami mendapatkan pertidaksamaan 0,5 x 0 . Pertidaksamaan ganda sebaiknya ditulis sehingga suku yang lebih kecil terletak di sebelah kiri dan yang lebih besar di sebelah kanan. Oleh karena itu, kami menulis ulang ketidaksetaraan kami sebagai berikut:

0 ≤ x≤ 0,5

Solusi pertidaksamaan 0 x 0,5 adalah semua bilangan yang lebih besar dari 0 dan kurang dari 0,5. Batas 0 dan 0,5 termasuk dalam himpunan solusi, karena pertidaksamaan 0 x 0,5 tidak ketat.

Gambarkan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 0 x 0,5 pada garis koordinat dan tulis jawabannya sebagai interval numerik:

Contoh 10. Selesaikan pertidaksamaan

Kalikan kedua pertidaksamaan dengan 12

Mari kita buka tanda kurung pada ketidaksetaraan yang dihasilkan dan menyajikan suku-suku serupa:

Bagilah kedua ruas pertidaksamaan yang dihasilkan dengan 2

Solusi ketidaksetaraan x 0,5 adalah semua bilangan yang kurang dari 0,5. Batas 0,5 termasuk dalam himpunan solusi karena pertidaksamaan x 0,5 tidak ketat.

Gambarkan himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut x 0,5 pada garis koordinat dan tulis jawabannya sebagai interval numerik:

Contoh 11. Selesaikan pertidaksamaan

Kalikan semua bagian pertidaksamaan dengan 3

Sekarang kurangi 6 dari setiap bagian dari pertidaksamaan yang dihasilkan

Kami membagi setiap bagian dari ketidaksetaraan yang dihasilkan dengan 1. Jangan lupa bahwa ketika membagi semua bagian pertidaksamaan dengan angka negatif, tanda pertidaksamaan dibalik:

Solusi pertidaksamaan 3 a 9 adalah semua bilangan yang lebih besar dari 3 dan lebih kecil dari 9. Batas 3 dan 9 termasuk dalam himpunan solusi, karena pertidaksamaan 3 a 9 tidak ketat.

Gambarkan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3 a 9 pada garis koordinat dan tulis jawabannya sebagai interval numerik:

Ketika tidak ada solusi

Ada ketidaksetaraan yang tidak memiliki solusi. Seperti, misalnya, adalah pertidaksamaan 6 x> 2(3x+ 1). Dalam proses penyelesaian pertidaksamaan ini, kita akan sampai pada fakta bahwa tanda pertidaksamaan > tidak membenarkan lokasinya. Mari kita lihat seperti apa.

Memperluas tanda kurung di sisi kanan pertidaksamaan ini, kita mendapatkan 6 x> 6x+ 2 . Jadwalkan ulang 6 x dari sisi kanan ke sisi kiri, mengubah tanda, kita mendapatkan 6 x− 6x> 2 . Kami membawa suku-suku serupa dan memperoleh pertidaksamaan 0 > 2, yang tidak benar.

Untuk pemahaman yang lebih baik, kami menulis ulang pengurangan suku serupa di sisi kiri sebagai berikut:

Kami mendapatkan ketidaksetaraan 0 x> 2 . Di sisi kiri adalah produk, yang akan sama dengan nol untuk setiap x. Dan nol tidak bisa lebih besar dari angka 2. Oleh karena itu pertidaksamaan 0 x> 2 tidak memiliki solusi.

x> 2 , maka tidak memiliki solusi dan pertidaksamaan asli 6 x> 2(3x+ 1) .

Contoh 2. Selesaikan pertidaksamaan

Kalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan 3

Dalam ketidaksetaraan yang dihasilkan, kami mentransfer istilah 12 x dari sisi kanan ke sisi kiri dengan mengubah tanda. Kemudian kami memberikan istilah seperti:

Ruas kanan pertidaksamaan yang dihasilkan untuk sembarang x akan sama dengan nol. Dan nol tidak kurang dari -8. Jadi pertidaksamaan 0 x< −8 не имеет решений.

Dan jika pertidaksamaan ekuivalen dikurangi 0 x< −8 , то не имеет решений и исходное неравенство .

Menjawab: tidak ada solusi.

Ketika ada solusi tak terbatas

Ada pertidaksamaan yang memiliki jumlah solusi tak terbatas. Ketidaksetaraan seperti itu menjadi kenyataan bagi siapa pun x .

Contoh 1. Selesaikan pertidaksamaan 5(3x− 9) < 15x

Mari kita perluas tanda kurung di sisi kanan pertidaksamaan:

Jadwal ulang 15 x dari sisi kanan ke sisi kiri, mengubah tanda:

Berikut adalah istilah serupa di sisi kiri:

Kami mendapatkan ketidaksetaraan 0 x< 45 . Di sisi kiri adalah produk, yang akan sama dengan nol untuk setiap x. Dan nol kurang dari 45. Jadi solusi dari pertidaksamaan 0 x< 45 adalah angka berapa pun.

x< 45 memiliki jumlah solusi yang tak terbatas, maka pertidaksamaan asli 5(3x− 9) < 15x memiliki solusi yang sama.

Jawabannya dapat ditulis sebagai interval numerik:

x ∈ (−∞; +∞)

Ungkapan ini mengatakan bahwa solusi dari pertidaksamaan 5(3x− 9) < 15x adalah semua angka dari minus tak terhingga hingga plus tak terhingga.

Contoh 2. Selesaikan pertidaksamaan: 31(2x+ 1) − 12x> 50x

Mari kita perluas tanda kurung di sisi kiri pertidaksamaan:

Ayo atur ulang jadwal 50 x dari sisi kanan ke sisi kiri dengan mengubah tanda. Dan kami akan mentransfer istilah 31 dari sisi kiri ke sisi kanan, sekali lagi mengubah tanda:

Berikut adalah istilah serupa:

Kami mendapatkan ketidaksetaraan 0 x >-31 . Di sisi kiri adalah produk, yang akan sama dengan nol untuk setiap x. Dan nol lebih besar dari 31 . Jadi solusi pertidaksamaan 0 x< 31 adalah angka berapa pun.

Dan jika pertidaksamaan ekuivalen dikurangi 0 x > 31 memiliki jumlah solusi yang tak terbatas, maka pertidaksamaan asli 31(2x+ 1) − 12x> 50x memiliki solusi yang sama.

Mari kita tulis jawabannya sebagai interval numerik:

x ∈ (−∞; +∞)

Tugas untuk solusi independen

Apakah Anda menyukai pelajarannya?
Bergabunglah dengan grup Vkontakte baru kami dan mulai menerima pemberitahuan tentang pelajaran baru