Untuk mencari integral tentu menggunakan metode trapesium, luas trapesium lengkung juga dibagi menjadi n trapesium persegi panjang dengan tinggi h dan alas y 1, y 2, y 3,..y n, di mana n adalah jumlah trapesium persegi panjang. Integral akan secara numerik sama dengan jumlah luas trapesium persegi panjang (Gambar 4).

Beras. 4

n - jumlah split

Kesalahan rumus trapesium diperkirakan oleh nomor

Kesalahan rumus trapesium berkurang lebih cepat dengan pertumbuhan daripada kesalahan rumus persegi panjang. Oleh karena itu, rumus trapesium memungkinkan Anda untuk mendapatkan akurasi lebih dari metode persegi panjang.

rumus simpson

Jika untuk setiap pasangan segmen kita membangun polinomial derajat kedua, kemudian mengintegrasikannya pada segmen dan menggunakan sifat aditif integral, maka kita memperoleh rumus Simpson.

Dalam metode Simpson untuk menghitung integral tentu, seluruh interval integrasi dibagi menjadi subinterval yang sama panjang h=(b-a)/n. Banyaknya segmen partisi adalah bilangan genap. Kemudian, pada setiap pasangan subinterval yang berdekatan, fungsi subintegral f(x) digantikan oleh polinomial Lagrange derajat kedua (Gambar 5).

Beras. 5 Fungsi y=f(x) pada segmen diganti dengan polinomial orde ke-2

Pertimbangkan integran pada interval. Mari kita ganti integran ini dengan polinomial interpolasi Lagrange derajat dua yang bertepatan dengan y= pada titik-titik:

Mari kita integrasikan pada interval:

Kami memperkenalkan perubahan variabel:

Mengingat formula pengganti,

Setelah diintegrasikan, kita mendapatkan rumus Simpson:

Nilai integral yang diperoleh bertepatan dengan luas trapesium lengkung yang dibatasi oleh sumbu, garis lurus, dan parabola yang melalui titik.Pada sebuah segmen, rumus Simpson akan terlihat seperti:

Dalam rumus parabola, nilai fungsi f(x) di titik-titik pisah ganjil x 1, x 3, ..., x 2n-1 memiliki koefisien 4, di titik-titik genap x 2, x 4, ... , x 2n-2 - koefisien 2 dan pada dua titik batas x 0 =a, x n =b - koefisien 1.

Arti geometris dari rumus Simpson: luas trapesium lengkung di bawah grafik fungsi f(x) pada segmen kira-kira diganti dengan jumlah luas gambar yang terletak di bawah parabola.

Jika fungsi f(x) memiliki turunan kontinu orde keempat, maka nilai absolut dari galat rumus Simpson tidak lebih dari

dimana M adalah nilai terbesar pada segmen tersebut. Karena n 4 tumbuh lebih cepat dari n 2 , kesalahan rumus Simpson berkurang dengan bertambahnya n jauh lebih cepat daripada kesalahan rumus trapesium.

Kami menghitung integralnya

Integral ini mudah dihitung:

Mari kita ambil n sama dengan 10, h=0,1, hitung nilai integran pada titik partisi, serta titik setengah bilangan bulat.

Menurut rumus persegi panjang tengah, kita mendapatkan I lurus = 0,785606 (kesalahan 0,027%), menurut rumus trapesium I perangkap = 0,784981 (kesalahan sekitar 0,054. Bila menggunakan metode persegi panjang kanan dan kiri, kesalahan lebih dari 3%.

Untuk membandingkan keakuratan rumus perkiraan, kami menghitung sekali lagi integralnya

tapi sekarang dengan rumus Simpson untuk n=4. Kami membagi segmen menjadi empat bagian yang sama dengan poin x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 dan menghitung kira-kira nilainya dari fungsi f (x) \u003d 1 / ( 1+x) pada titik-titik ini: y 0 =1.0000, y 1 =0.8000, y 2 =0.6667, y 3 =0.5714, y 4 =0.5000.

Dengan rumus Simpson, kita mendapatkan

Mari kita perkirakan kesalahan dari hasil yang diperoleh. Untuk integral f(x)=1/(1+x) kita memiliki: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , maka pada segmen . Oleh karena itu, kita dapat mengambil M=24, dan kesalahan hasil tidak melebihi 24/(2880 4 4)=0,0004. Membandingkan nilai perkiraan dengan yang tepat, kami menyimpulkan bahwa kesalahan absolut dari hasil yang diperoleh dengan rumus Simpson kurang dari 0,00011. Ini sesuai dengan perkiraan kesalahan yang diberikan di atas dan, sebagai tambahan, menunjukkan bahwa rumus Simpson jauh lebih akurat daripada rumus trapesium. Oleh karena itu, rumus Simpson untuk menghitung perkiraan integral tertentu lebih sering digunakan daripada rumus trapesium.

Masalah muncul dari perhitungan numerik dari integral tertentu, yang diselesaikan dengan bantuan rumus yang disebut kuadratur.

Ingat rumus paling sederhana untuk integrasi numerik.

Mari kita hitung perkiraan nilai numerik dari . Kami membagi interval integrasi [а, b] menjadi n bagian yang sama dengan membagi titik
, yang disebut simpul dari rumus kuadratur. Biarkan nilai-nilai dalam node diketahui
:

Nilai

disebut interval atau langkah integrasi. Perhatikan bahwa dalam praktek -perhitungan, nomor i dipilih kecil, biasanya tidak lebih dari 10-20.

integran digantikan oleh polinomial interpolasi

yang kira-kira mewakili fungsi f(x) pada interval yang dipertimbangkan.

a) Pertahankan hanya satu suku pertama dalam polinomial interpolasi, maka

Rumus kuadrat yang dihasilkan

disebut rumus persegi panjang.

b) Pertahankan dua suku pertama dalam polinomial interpolasi, maka

(2)

Rumus (2) disebut rumus trapesium.

c) Interval integrasi
kita bagi menjadi bilangan genap 2n bagian yang sama, sedangkan langkah integrasi h akan sama dengan . Pada interval
dengan panjang 2h, kami mengganti integran dengan polinomial interpolasi derajat kedua, yaitu, kami menyimpan tiga suku pertama dalam polinomial:

Rumus kuadratur yang dihasilkan disebut rumus Simpson

(3)

Rumus (1), (2) dan (3) memiliki arti geometris sederhana. Dalam rumus persegi panjang, integran f(x) pada interval
digantikan oleh segmen garis lurus y \u003d uk, sejajar dengan sumbu x, dan dalam rumus trapesium - oleh segmen garis lurus
dan luas persegi panjang dan trapesium bujursangkar dihitung masing-masing, yang kemudian dijumlahkan. Dalam rumus Simpson, fungsi f(x) pada interval
panjang 2h diganti dengan trinomial persegi - parabola
luas trapesium parabola lengkung dihitung, kemudian luasnya dijumlahkan.

KESIMPULAN

Sebagai kesimpulan, saya ingin mencatat sejumlah fitur penerapan metode yang dibahas di atas. Setiap metode untuk solusi pendekatan integral tertentu memiliki kelebihan dan kekurangan, tergantung pada tugas yang dihadapi, metode tertentu harus digunakan.

Metode substitusi variabel adalah salah satu metode utama untuk menghitung integral tak tentu. Bahkan ketika kita mengintegrasikan dengan beberapa metode lain, kita sering harus menggunakan perubahan variabel dalam perhitungan perantara. Keberhasilan integrasi sebagian besar tergantung pada apakah kita dapat menemukan perubahan variabel yang baik yang akan menyederhanakan integral yang diberikan.

Intinya, studi tentang metode integrasi turun untuk mencari tahu jenis perubahan variabel apa yang harus dilakukan untuk satu atau lain bentuk integran.

Dengan demikian, integral dari setiap pecahan rasional mengurangi untuk mengintegrasikan polinomial dan beberapa pecahan sederhana.

Integral dari setiap fungsi rasional dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi dasar dalam bentuk akhir, yaitu:

melalui logaritma - dalam kasus pecahan paling sederhana dari tipe 1;

melalui fungsi rasional - dalam kasus pecahan sederhana tipe 2

melalui logaritma dan arctangents - dalam kasus pecahan sederhana tipe 3

melalui fungsi rasional dan arctangents - dalam kasus pecahan paling sederhana dari tipe 4. Substitusi trigonometri universal selalu merasionalisasi integran, tetapi sering kali mengarah ke pecahan rasional yang sangat rumit, yang, khususnya, praktis tidak mungkin untuk menemukan akar penyebutnya. Oleh karena itu, jika memungkinkan, substitusi parsial digunakan, yang juga merasionalisasi integran dan menghasilkan pecahan yang kurang kompleks.

rumus Newton–Leibniz adalah pendekatan umum untuk menemukan integral tertentu.

Adapun cara-cara menghitung integral tentu, praktis tidak berbeda dengan semua cara dan metode tersebut.

Hal yang sama berlaku metode substitusi(perubahan variabel), metode integrasi dengan bagian, metode yang sama untuk menemukan antiturunan untuk fungsi trigonometri, irasional, dan transendental. Satu-satunya kekhasan adalah bahwa ketika menerapkan teknik ini, perlu untuk memperluas transformasi tidak hanya ke fungsi sub-integral, tetapi juga ke batas-batas integrasi. Saat mengubah variabel integrasi, ingatlah untuk mengubah batas integrasi yang sesuai.

Sehat dari teorema, kondisi kontinuitas fungsi adalah kondisi cukup untuk integrasi fungsi. Tetapi ini tidak berarti bahwa integral tertentu hanya ada untuk fungsi kontinu. Kelas fungsi yang dapat diintegrasikan jauh lebih luas. Jadi, misalnya, ada integral tertentu dari fungsi yang memiliki sejumlah titik diskontinuitas berhingga.

Perhitungan integral tertentu dari fungsi kontinu menggunakan rumus Newton-Leibniz direduksi untuk menemukan antiturunan, yang selalu ada, tetapi tidak selalu merupakan fungsi dasar atau fungsi yang tabelnya dikompilasi sehingga memungkinkan untuk memperoleh nilainya dari integral. Dalam banyak aplikasi, fungsi integral diberikan dalam tabel, dan rumus Newton-Leibniz tidak dapat diterapkan secara langsung.

Jika Anda menginginkan hasil yang paling akurat, ideal metode simpson.

Dari kajian di atas, dapat ditarik kesimpulan bahwa integral digunakan dalam ilmu-ilmu seperti fisika, geometri, matematika dan ilmu-ilmu lainnya. Dengan bantuan integral, pekerjaan gaya dihitung, koordinat pusat massa, jalur yang ditempuh oleh titik material ditemukan. Dalam geometri, ini digunakan untuk menghitung volume benda, menemukan panjang busur dari suatu kurva, dll.

Dalam metode ini, diusulkan untuk mendekati integran pada interval parsial dengan parabola yang melewati titik-titik
(x j , f(xj)), di mana j = saya-1; saya-0.5; saya, yaitu, kita mendekati integran dengan polinomial interpolasi Lagrange derajat kedua:

(10.14)

Setelah diintegrasikan, kita mendapatkan:

(10.15)

Itulah apa itu rumus simpson atau rumus parabola. Di segmen
[a, b] Rumus Simpson berbentuk

(10.16)

Sebuah representasi grafis dari metode Simpson ditunjukkan pada gambar. 2.4.

Beras. 10.4. Metode Simpson

Mari kita singkirkan indeks pecahan dalam ekspresi (2.16) dengan mengganti nama variabel:

(10.17)

Kemudian rumus Simpson mengambil bentuk

(10.18)

Kesalahan rumus (2.18) diperkirakan dengan ekspresi berikut:

, (10.19)

di mana h n = b-a, . Jadi, kesalahan rumus Simpson sebanding dengan HAI(jam 4).

Komentar. Perlu dicatat bahwa dalam rumus Simpson, segmen integrasi harus dibagi menjadi: bahkan jumlah interval.

10.5. Perhitungan integral tentu dengan metode
Monte Carlo

Metode yang dibahas sebelumnya disebut deterministik , yaitu, tanpa unsur kebetulan.

Metode Monte Carlo(MMK) adalah metode numerik untuk memecahkan masalah matematika dengan memodelkan variabel acak. MCM memungkinkan untuk berhasil memecahkan masalah matematika yang disebabkan oleh proses probabilistik. Selain itu, ketika memecahkan masalah yang tidak terkait dengan probabilitas apa pun, seseorang dapat secara artifisial menghasilkan model probabilistik (dan bahkan lebih dari satu) yang memungkinkan pemecahan masalah ini. Perhatikan perhitungan integral tertentu

(10.20)

Saat menghitung integral ini menggunakan rumus persegi panjang, interval [ a, b] dibagi menjadi N interval yang identik, di mana nilai integran dihitung. Dengan menghitung nilai fungsi pada node acak, Anda bisa mendapatkan hasil yang lebih akurat:

(10.21)

(10.22)

Di sini i adalah bilangan acak yang terdistribusi merata pada interval
. Kesalahan dalam menghitung integral MMK ~ , yang jauh lebih besar daripada metode deterministik yang dipelajari sebelumnya.

pada gambar. 2.5 menunjukkan implementasi grafis dari metode Monte Carlo untuk menghitung integral tunggal dengan simpul acak (2.21) dan (2.22).

(2.23)

Beras. 10.6. Integrasi Monte Carlo (kasus ke-2)

Seperti yang terlihat pada gambar. 2.6, kurva integral terletak pada kuadrat satuan, dan jika kita dapat memperoleh pasangan bilangan acak yang terdistribusi merata pada interval, maka nilai yang diperoleh (γ 1, 2) dapat diartikan sebagai koordinat titik dalam persegi satuan. Kemudian, jika jumlah pasangan angka ini cukup, kita dapat mengasumsikan bahwa
. Di Sini S adalah jumlah pasang titik yang berada di bawah kurva, dan N adalah jumlah pasangan bilangan.

Contoh 2.1. Hitung integral berikut:

Masalah itu diselesaikan dengan berbagai metode. Hasil yang diperoleh dirangkum dalam tabel. 2.1.

Tabel 2.1

Komentar. Pilihan integral tabel memungkinkan kami untuk membandingkan kesalahan setiap metode dan mengetahui pengaruh jumlah partisi pada keakuratan perhitungan.

11 PERKIRAAN SOLUSI NONLINEAR
DAN PERSAMAAN TRANSENDEN

Perhitungan integral menggunakan rumus persegi panjang, trapesium dan rumus Simpson. Estimasi kesalahan.

Pedoman topik 4.1:

Perhitungan integral dengan rumus persegi panjang. Estimasi kesalahan:

Solusi dari banyak masalah teknis direduksi menjadi perhitungan integral tertentu, ekspresi yang tepat yang sulit, membutuhkan perhitungan yang panjang dan tidak selalu dibenarkan dalam praktik. Di sini, nilai perkiraan mereka cukup memadai. Misalnya, Anda perlu menghitung area yang dibatasi oleh garis yang persamaannya tidak diketahui, sumbu X dan dua ordinat. Dalam hal ini, Anda dapat mengganti baris ini dengan yang lebih sederhana, yang persamaannya diketahui. Luas trapesium lengkung yang diperoleh diambil sebagai nilai perkiraan integral yang diinginkan. Secara geometris, ide di balik metode menghitung integral pasti menggunakan rumus persegi panjang adalah bahwa luas trapesium lengkung A 1 ABB 1 diganti dengan luas persegi panjang yang sama luasnya A 1 A 2 B 1 B 2, yang menurut teorema nilai rata-rata sama dengan

Di mana f(c)--- tinggi persegi panjang A 1 A 2 B 1 B 2, yang merupakan nilai integran di beberapa titik perantara c(a< c

Praktis sulit untuk menemukan nilai seperti itu dengan, di mana (b-a)f(c) akan sama persis dengan . Untuk mendapatkan nilai yang lebih akurat, luas trapesium lengkung dibagi menjadi n persegi panjang yang tingginya sama y 0 , y 1 , y 2 , …,y n -1 dan yayasan.

Jika kita meringkas area persegi panjang yang menutupi area trapesium lengkung dengan kerugian, fungsinya tidak berkurang, maka alih-alih rumus, rumus yang digunakan

Jika berlebihan, maka

Nilai ditemukan dari persamaan. Rumus ini disebut rumus persegi panjang dan memberikan hasil perkiraan. Dengan bertambahnya n hasilnya menjadi lebih akurat.

Contoh 1 . Hitung dari rumus persegi panjang

Kami membagi interval integrasi menjadi 5 bagian. Kemudian . Menggunakan kalkulator atau tabel, kami menemukan nilai integran (dengan akurasi 4 tempat desimal):

Menurut rumus persegi panjang (dengan kerugian)

Di sisi lain, menurut rumus Newton-Leibniz

Mari kita cari kesalahan perhitungan relatif menggunakan rumus persegi panjang:

Perhitungan integral dengan rumus trapesium. Estimasi kesalahan:

Arti geometris dari metode berikut untuk perhitungan perkiraan integral adalah menemukan luas trapesium "persegi panjang" yang kira-kira sama.

Biarkan perlu untuk menghitung luas A 1 AmBB 1 trapesium lengkung, dinyatakan dengan rumus .

Mari kita ganti busur AmB akord AB dan bukannya luas trapesium lengkung A 1 AmBB 1 hitung luas trapesium A 1 ABB 1: , di mana AA 1 dan BB 1 - alas trapesium, dan A 1 B 1 adalah tingginya.

Menunjukkan f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B. tinggi trapesium A 1 B 1 \u003d b-a, kotak . Karena itu, atau

Ini disebut rumus trapesium kecil.

Untuk menyusun rumus Simpson, pertama-tama kita pertimbangkan masalah berikut: hitung luas S trapesium lengkung yang dibatasi dari atas oleh grafik parabola y \u003d Ax 2 + Bx + C, dari kiri oleh garis lurus x \u003d - h, dari kanan oleh garis lurus x \u003d h dan dari bawah oleh segmen [-h; h]. Biarkan parabola melalui tiga titik (Gbr. 8): D (-h; y 0) E (0; y 1) dan F (h; y 2), dan x 2 - x 1 = x 1 - x 0 = h. Karena itu,

x 1 \u003d x 0 + j \u003d 0; x 2 = x 0 + 2 jam.

Maka luas S sama dengan integral:

Kami menyatakan daerah ini dalam hal h, y 0 , y 1 dan y 2 . Untuk melakukan ini, kita menghitung koefisien parabola A, B, C. Dari syarat parabola melewati titik D, E dan F, kita memiliki:

Memecahkan sistem ini, kita mendapatkan: C = y 1 ; A =

Mengganti nilai-nilai ini A dan C menjadi (3), kami memperoleh area yang diinginkan

Mari kita beralih ke turunan rumus Simpson untuk menghitung integral

Untuk melakukan ini, kami membagi segmen integrasi menjadi 2n bagian yang sama panjang

Pada titik-titik pembagian (Gbr. 4) a \u003d x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n \u003d b,

Kami menghitung nilai integral f: y 0 , y 1 , y 2 , ...,y 2n-2 , y 2n-1 , y 2n , de y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2,...,2n).

Pada segmen, kami mengganti integran dengan parabola yang melalui titik (x 0; y 0), (x 1; y 1) dan (x 2; y 2), dan untuk menghitung nilai perkiraan integral dari x 0 sampai x 2, kita menggunakan rumus (4). Kemudian (area yang diarsir pada Gambar 4):

Demikian pula, kami menemukan:

................................................

Menambahkan persamaan yang dihasilkan, kami memiliki:

Rumus (5) disebut rumus umum Simpson atau rumus parabola, karena ketika diturunkan, grafik integran pada segmen parsial dengan panjang 2h digantikan oleh busur parabola.

tugas pekerjaan:

1. Seperti yang diarahkan oleh guru atau sesuai dengan pilihan dari meja 4 tugas (lihat Lampiran) untuk mengambil kondisi - integran, batas-batas integrasi.

2. Buatlah flowchart program dan program yang harus:

Meminta ketelitian menghitung integral tertentu, batas bawah dan batas atas integral;

Hitung integral yang diberikan dengan metode: untuk opsi 1,4,7, 10… - benar, untuk opsi 2,5,8,… - rata-rata; untuk opsi 2,5,8,… - persegi panjang kiri. Keluarkan jumlah partisi dari rentang integrasi di mana akurasi perhitungan yang ditentukan tercapai;

Hitung integral yang diberikan menggunakan metode trapesium (untuk opsi genap) dan metode Simpson (untuk opsi ganjil).

Keluarkan jumlah partisi dari rentang integrasi di mana akurasi perhitungan yang ditentukan tercapai;

Keluarkan nilai fungsi kontrol untuk nilai argumen yang diberikan dan bandingkan dengan nilai integral yang dihitung. Menarik kesimpulan.

pertanyaan tes

1. Apa yang dimaksud dengan integral tertentu?

2. Mengapa, bersama dengan metode analitik, digunakan metode numerik untuk menghitung integral tertentu.

3. Apa inti dari metode numerik utama untuk menghitung integral tertentu.

4. Pengaruh jumlah partisi terhadap ketepatan menghitung integral tentu dengan metode numerik.

5. Bagaimana cara menghitung integral dengan metode apa pun dengan akurasi tertentu?