Kata kunci

STANDAR PENDIDIKAN GENERASI KETIGA / STANDAR PENDIDIKAN GENERASI KETIGA / PENDEKATAN BERBASIS KOMPETENSI DALAM PENGAJARAN / PENDEKATAN KOMPETENSI DALAM PENGAJARAN / MENGAJAR GEOMETRI ANALITIS/ PENGAJARAN GEOMETRI ANALITIK / HUBUNGAN ANTAR MATA PELAJARAN / HUBUNGAN ANTAR MATA PELAJARAN / KOMUNIKASI ANTAR DISIPLIN / MENGAJAR MATEMATIKA TINGGI/ AJARAN MATEMATIKA / KURVA DI BIDANG / PERMUKAAN ORDER PERTAMA DAN KEDUA / PERMUKAAN KURVA ORDE PERTAMA DAN KEDUA/ KOMUNIKASI INTRA

anotasi artikel ilmiah tentang ilmu pendidikan, penulis karya ilmiah - Balabaeva Natalya Petrovna, Enbom Ekaterina Aleksandrovna

Setiap tahun, masalah pelatihan untuk perusahaan di berbagai bidang spesialis berkualifikasi tinggi dengan teknologi dan metode yang sangat efisien menjadi semakin mendesak. Situasi saat ini membutuhkan revisi serius terhadap pendekatan proses pembelajaran di universitas, perubahan mendasar dalam struktur dan isi disiplin ilmu yang diajarkan. Dalam kurikulum sarjana bidang teknik, jumlah kuliah dan kelas praktik dalam disiplin siklus fisika dan matematika telah berkurang secara signifikan, asalkan isi dan kedalaman cakupan bidang studi perlu dipertahankan. Dalam situasi ini, penting untuk memilih dan menyusun isi disiplin sedemikian rupa sehingga kualitas asimilasi materi memenuhi persyaratan modern standar pendidikan. Momen ini sangat penting di tahun pertama, pada awal belajar di universitas, ketika dasar-dasar pengetahuan dasar diletakkan dan sikap siswa untuk belajar dan kegiatan profesional masa depan terbentuk. Pada artikel ini, masalah ini dipertimbangkan pada contoh pengajaran sarjana jurusan teknis bagian "Geometri analitik" dari kursus "Matematika". Penulis mengusulkan cara khusus untuk mengubah organisasi sesi pelatihan dalam geometri analitik dalam konteks pengurangan tajam dalam jumlah jam kelas dalam mata pelajaran "Matematika" secara keseluruhan. Pembenaran untuk perubahan ini bersifat interdisipliner dan, terutama, komunikasi intra-mata pelajaran geometri analitik dengan bagian lain dari matematika yang lebih tinggi dan disiplin teknis.

Topik-topik yang berkaitan makalah ilmiah tentang ilmu pendidikan, penulis karya ilmiah - Balabaeva Natalya Petrovna, Enbom Ekaterina Alexandrovna

• 2014 / Balabaeva Natalya Petrovna, Enbom Ekaterina Alexandrovna

• Pendekatan berorientasi profesional untuk mengajarkan bagian "Persamaan Diferensial" kepada siswa di bidang ekonomi

  2014 / Balabaeva Natalya Petrovna
• 2017 / Murashkina Tatyana Ivanovna, Korolev Evgeny Alekseevich, Egorov Alexander Yuryevich

• Eksperimen komputer dalam pendidikan produktif sarjana masa depan

• Hubungan Antar Mata Pelajaran Matematika dan Informatika dalam Sistem Pendidikan Teknik Berkelanjutan

  2018 / Moiseeva Natalya Alexandrovna, Polyakova Tatyana Anatolyevna

• Pengembangan dan penggunaan lokakarya dalam pengajaran disiplin matematika

  2014 / Bolotyuk Vladimir Anatolyevich, Bolotyuk Lyudmila Anatolyevna, Shved Elena Anatolyevna

• Sistem metodis tugas berorientasi profesional dalam mengajar matematika untuk manajer masa depan

  2015 / Loginova Valeria Valerievna, Plotnikova Evgenia Grigorievna

• Implementasi prinsip kontinuitas dan penggunaan pendekatan integratif pada contoh mempelajari masalah ortogonalitas keluarga kurva orde kedua dalam kerangka disiplin "Persamaan Diferensial"

  2019 / Nikolai Kirin

• Pembentukan budaya matematika siswa jurusan teknik radio pelatihan

  2013 / Kutarova Evgenia Ivanovna, Samokhin Anatoly Vasilyevich

• Riset komputer dalam pengajaran geometri untuk sarjana masa depan

  2017 / Bukusheva Aliya Vladimirovna

Setiap tahun semakin mendesak menjadi pertanyaan pelatihan bagi perusahaan di berbagai bidang personel spesialis kualifikasi tinggi yang telah menguasai teknologi dan metode efisiensi tinggi. Situasi modern membutuhkan revisi serius terhadap pendekatan proses pembelajaran di Universitas, perubahan radikal dalam struktur dan isi disiplin ilmu yang diajarkan. Dalam kurikulum sarjana di bidang teknik penurunan secara signifikan jumlah kuliah dan kelas praktis dalam disiplin fisika dan siklus matematika, tergantung pada kebutuhan untuk melestarikan isi dan kedalaman cakupan bidang studi. Dalam situasi ini, penting untuk memilih dan menyusun isi disiplin agar kualitas materi pembelajaran memenuhi persyaratan standar pendidikan modern. Terutama penting saat ini adalah pada tahun pertama, pada awal studi di Universitas, ketika kerangka pengetahuan dasar dan membentuk sikap siswa untuk belajar dan kegiatan profesional masa depan.Dalam artikel ini masalah ini dipertimbangkan pada contoh pengajaran sarjana. di bidang teknis dari bagian kursus "Geometri analitik" di Matematika.Umum.Alasan untuk perubahan ini adalah interdisipliner dan, terutama, geometri analitik komunikasi intrasubjek dengan bagian lain dari mata pelajaran matematika dan teknis yang lebih tinggi.

Teks karya ilmiah pada topik "Aspek utama pengajaran geometri analitik di universitas teknik, dengan mempertimbangkan persyaratan standar pendidikan federal generasi ketiga"

ASPEK UTAMA PENGAJARAN GEOMETRI ANALITIS PADA UNIVERSITAS TEKNIS DENGAN PERSYARATAN STANDAR PENDIDIKAN FEDERAL GENERASI KETIGA

Balabaeva Natalya Petrovna, Kandidat Ilmu Fisika dan Matematika, Associate Professor, Associate Professor dari Departemen Matematika Tinggi Ekaterina Alexandrovna Enbom, Kandidat Ilmu Fisika dan Matematika, Associate Professor,

Associate Professor, Departemen Matematika Tinggi, Universitas Telekomunikasi dan Informatika Volga State, Samara (Rusia) Abstrak. Setiap tahun, masalah pelatihan personel berkualifikasi tinggi untuk perusahaan di berbagai bidang - spesialis yang memiliki teknologi dan metode yang sangat efisien - menjadi semakin mendesak. Situasi saat ini membutuhkan revisi serius terhadap pendekatan proses pembelajaran di universitas, perubahan mendasar dalam struktur dan isi disiplin ilmu yang diajarkan. Dalam kurikulum sarjana bidang teknik, jumlah kuliah dan kelas praktik dalam disiplin siklus fisika dan matematika telah berkurang secara signifikan, asalkan isi dan kedalaman cakupan bidang studi perlu dipertahankan. Dalam situasi ini, penting untuk memilih dan menyusun isi disiplin sedemikian rupa sehingga kualitas asimilasi materi memenuhi persyaratan modern standar pendidikan. Momen ini sangat penting di tahun pertama, pada awal belajar di universitas, ketika dasar-dasar pengetahuan dasar diletakkan dan sikap siswa untuk belajar dan kegiatan profesional masa depan terbentuk. Pada artikel ini, masalah ini dipertimbangkan pada contoh pengajaran sarjana jurusan teknis bagian "Geometri analitik" dari kursus "Matematika". Penulis mengusulkan cara khusus untuk mengubah organisasi sesi pelatihan dalam geometri analitik dalam konteks pengurangan tajam dalam jumlah jam kelas dalam mata pelajaran "Matematika" secara keseluruhan. Pembenaran untuk perubahan ini adalah interdisipliner dan, terutama, koneksi intradisiplin geometri analitik dengan bagian lain dari matematika dan disiplin teknis yang lebih tinggi.

Kata kunci: standar pendidikan generasi ketiga, pendekatan pengajaran berbasis kompetensi, pengajaran geometri analitik, komunikasi intra-mata pelajaran, komunikasi antar-mata pelajaran, pengajaran matematika tingkat tinggi, kurva pada bidang, permukaan orde pertama dan kedua.

ASPEK UTAMA PEMBELAJARAN GEOMETRI ANALITIS PADA UNIVERSITAS TEKNIK PERSYARATAN STANDAR PENDIDIKAN FEDERAL GENERASI KETIGA

Balabaeva Natalia Petrovna, kandidat ilmu fisika dan matematika, profesor

dari Departemen matematika yang lebih tinggi Enbom Ekaterina Aleksandrovna, kandidat Ilmu fisika dan matematika, profesor dari Departemen matematika yang lebih tinggi Universitas Telekomunikasi dan Informatika Povolzhskiy, Samara (Rusia) Abstrak. Setiap tahun semakin mendesak menjadi pertanyaan pelatihan bagi perusahaan di berbagai bidang personel spesialis kualifikasi tinggi yang telah menguasai teknologi dan metode efisiensi tinggi. Situasi modern membutuhkan revisi serius terhadap pendekatan proses pembelajaran di Universitas, perubahan radikal dalam struktur dan isi disiplin ilmu yang diajarkan. Dalam kurikulum sarjana di bidang teknik penurunan secara signifikan jumlah kuliah dan kelas praktis dalam disiplin fisika dan siklus matematika, tergantung pada kebutuhan untuk melestarikan isi dan kedalaman cakupan bidang studi. Dalam situasi ini, penting untuk memilih dan menyusun isi disiplin agar kualitas materi pembelajaran memenuhi persyaratan standar pendidikan modern. Terutama penting saat ini adalah pada tahun pertama, pada awal studi di Universitas, ketika kerangka pengetahuan dasar dan membentuk sikap siswa untuk belajar dan kegiatan profesional masa depan.Dalam artikel ini masalah ini dipertimbangkan pada contoh pengajaran sarjana. di bidang teknis dari bagian kursus "Geometri analitik" di Matematika.Umum.Alasan untuk perubahan ini adalah interdisipliner dan, terutama, geometri analitik komunikasi intrasubjek dengan bagian lain dari mata pelajaran matematika dan teknis yang lebih tinggi.

Kata kunci: standar pendidikan generasi ketiga, pendekatan kompetensi dalam pengajaran, pengajaran geometri analitik, intra-komunikasi, komunikasi interdisipliner, pengajaran matematika, kurva permukaan orde pertama dan kedua.

Pesatnya perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi modern, sarana dan teknologi mempengaruhi setiap bidang kegiatan manusia. Kementerian Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Federasi Rusia menanggapi hal ini dengan mengeluarkan Standar Pendidikan Negara Federal baru untuk Pendidikan Tinggi. Analisis kompetensi profesional yang dinyatakan dalam Standar Pendidikan Negara Federal pendidikan tinggi untuk bidang teknik pelatihan sarjana mengungkapkan adanya kompetensi yang dekat dengan fungsinya. Kompetensi profesional insinyur masa depan ini sesuai dengan keterampilan praktis modern yang diperlukan dalam kegiatan teknik dan mampu memenuhi kebutuhan akan profesional berkualifikasi tinggi untuk melanjutkan kemajuan ilmiah dan teknologi lebih lanjut.

Dengan mekanisme yang tepat untuk pembentukan yang dideklarasikan

kompetensi tinggi, insinyur masa depan harus dapat dengan cepat dan efisien melakukan tugasnya, sekaligus memiliki potensi kreatif yang tinggi dan pengetahuan modern yang berkualitas tinggi.

Geometri analitik memainkan peran utama dalam pengembangan pemikiran spasial mahasiswa universitas teknik dan, yang paling penting, dalam pembentukan pengetahuan yang stabil tentang teori kurva dan permukaan orde pertama dan kedua. Studi geometri berkontribusi pada pengembangan representasi spasial dan imajinasi spasial siswa - kualitas yang diperlukan untuk memecahkan masalah teknis terapan dan mencirikan pemikiran teknik tingkat tinggi.

Pengurangan jam kelas mau tidak mau mengarah pada pengurangan materi tentang geometri analitik yang dipelajari oleh mahasiswa dalam perkuliahan dan

latihan praktik di bawah bimbingan guru. Siswa didorong untuk menguasai bagian penting dari topik mereka sendiri, yang mengandaikan kemampuan mereka yang terbentuk sebelumnya untuk bekerja dengan literatur matematika ilmiah, menganalisis dan mensistematisasikan materi teoretis. Karena bagian matematika tinggi ini dipelajari pada semester pertama tahun pertama studi, sangat sulit bagi siswa, pada kenyataannya, anak sekolah kemarin, untuk berurusan dengan teks ilmiah. Selain itu, tingkat persiapan matematis dan pengembangan pemikiran spasial banyak lulusan sekolah tidak cukup untuk keberhasilan penguasaan materi. Guru harus menyajikan teori dan masalah dasar geometri analitik dalam jam kelas yang lebih sedikit sedemikian rupa sehingga mereka dapat berhasil dikuasai oleh siswa dengan latar belakang matematika yang berbeda. Mempertahankan kualitas pendidikan yang tinggi dalam menghadapi pengurangan jam kelas membuat banyak guru dari berbagai institusi pendidikan tinggi khawatir.

Dalam hal ini, ada masalah serius dalam memilih isu-isu yang harus mendapat perhatian yang cukup besar di dalam kelas; isu-isu yang cukup untuk memberikan gambaran singkat saja; dan pertanyaan yang dapat ditinggalkan untuk studi independen.

Pilihan topik yang memerlukan perhatian khusus harus dilakukan, menurut pendapat kami, berdasarkan koneksi intra-mata pelajaran dan antar-mata pelajaran geometri analitik dengan berbagai cabang matematika dan disiplin ilmu lainnya. Ini adalah pertimbangan hubungan intra-mata pelajaran yang memungkinkan untuk mengatur studi konsep yang saling terkait pada berbagai tahap pendidikan. Pembangunan yang konsisten dari hubungan intra-subjek berturut-turut dan rekursif antara bagian matematika memungkinkan menghindari formalisme dalam pengetahuan siswa, berkontribusi pada pengembangan pemikiran logis dan refleksif.

Dalam studi lebih lanjut dari bagian matematika yang lebih tinggi, kebutuhan terus-menerus muncul untuk menerapkan berbagai fakta geometri analitik, dan guru, tentu saja, tidak punya waktu untuk menjelaskannya kembali secara rinci. Misalnya, persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu digunakan dalam studi bagian "Teori Medan" ketika menghitung sirkulasi medan vektor secara langsung menggunakan integral lengkung. Oleh karena itu, keterampilan menyusun persamaan seperti itu harus dikerjakan dengan sangat baik, sementara tugas menyusun persamaan vektor garis lurus dapat ditawarkan kepada siswa untuk dibongkar sendiri.

Ketika mempelajari aplikasi integral tertentu, integral kelipatan dan lengkung, ada kebutuhan untuk representasi geometrik dari model yang dipelajari. Dalam hal ini, di kelas tentang geometri analitik

perhatian khusus harus diberikan untuk mengenali persamaan kurva orde kedua dan membangun kurva ini sesuai dengan persamaan yang diberikan. Pada saat yang sama, menurut pendapat kami, seseorang tidak boleh mengecualikan dari pertimbangan analisis persamaan umum garis lurus, persamaan umum bidang, dan persamaan umum kurva orde kedua dari sudut pandang arti geometris dari koefisien.

Sebagai contoh, pertimbangkan masalah yang menggambarkan hubungan antara persamaan kurva, gambar geometrisnya, dan perhitungan luas suatu gambar menggunakan kalkulus integral (Gambar 1).

Tugas 1. Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis: y2 - 6y + x2 = 0, y2 - 10y + x2 = 0,

Keputusan. Gambar yang luasnya perlu dicari adalah bagian dari bidang yang tertutup di antara lingkaran x2 + (y _ 3) 2 = 9 dan

x2 + (y _ 5)2 = 25 dengan pusat masing-masing di titik

(0; 3) dan (0; 5), dan jari-jari R = 3 dan R = 5 , sumbu Oy dan

garis-bagi dari kuartal pertama (Gbr. 1).

Kami menghitung luasnya menggunakan integral ganda, di mana disarankan untuk beralih ke koordinat kutub x = p cos f, y = p sin f:

S = dxdy = dрdф = | df | pdp = 4(n + 2).

D D l/ 4 6sin f

Anda dapat menganggap luas ini sebagai selisih antara luas dua sektor lengkung dan menghitungnya menggunakan integral tertentu menggunakan rumus 1 di

S = 2 |p2 (f)d f.

Untuk pekerjaan mandiri, siswa dapat ditawari tugas yang lebih kompleks, sehingga penyelesaiannya memerlukan pengenalan bukan standar, tetapi sistem koordinat kutub umum. Teori masalah ini tidak mungkin untuk dipertimbangkan di kelas karena kurangnya waktu, siswa perlu mempelajarinya sendiri, menggunakan literatur yang direkomendasikan. Faktanya, sudah pada tahap pendidikan ini, siswa terlibat dalam pekerjaan penelitian, yang, omong-omong, juga merupakan persyaratan Standar Pendidikan Negara Federal.

Soal 2. Pelat B diberikan oleh pertidaksamaan

1 < х 716 + у2 /4 < 4, х >0, y\u003e x / 2, q \u003d x / y - kerapatan permukaan. Cari massa pelat.

Keputusan. Pelat D adalah bagian

bidang tertutup antara elips x716 + y 74 = 1, x2/64 + y 716 = 1, sumbu Oy, garis lurus y = x/2, terletak di kuartal pertama (Gbr.

2). Sistem koordinat kutub umum memiliki bentuk: x = 4 p cos f, y = 2 p sin f. Dalam sistem koordinat ini, elips memiliki persamaan: p \u003d 1,_ p \u003d 2, dan garis lurus -

= n/4 dan = n/2. Determinan Jacobi dihitung

cukup sederhana:

dx/ df dx/dr dn/df dn/dr

4p sin f 4cos f 2p cos f 2sin f

Dengan perubahan variabel seperti itu, integral ganda dihitung lebih rasional, dalam sistem koordinat:

Dengan pendekatan pengajaran geometri analitik ini, memecahkan masalah 3 dalam kursus analisis matematika: Temukan luas bangun yang dibatasi oleh garis

x \u003d 6 - l / 36 - y2, x + ^6 - y2 \u003d 0,

perhatian siswa harus

difokuskan pada perhitungan integral yang agak kompleks yang sesuai, dan definisi tipe data kurva (lingkaran, parabola, elips) dan konstruksinya seharusnya tidak lagi menimbulkan kesulitan.

Karena dalam perjalanan geometri analitik pada bidang, sejumlah besar kurva dipelajari, ditentukan secara eksplisit dan parametrik dalam sistem koordinat Cartesian dan

diberikan oleh persamaan eksplisit dan implisit dalam sistem koordinat kutub, yang sangat penting dalam matematika, fisika, teknologi, disarankan untuk merekomendasikan siswa untuk menyelesaikan "Album kurva" sebagai pekerjaan independen.

Ini menggambar kurva yang diusulkan oleh guru, yang diperlukan untuk studi matematika lebih lanjut, dengan indikasi persamaan mereka.

Seperti yang ditunjukkan oleh pengalaman, siswa tertarik pada jenis tugas ini. Banyak mahasiswa tahun pertama menampilkan grafik dalam paket matematika terapan di komputer, yang tidak diragukan lagi diterima di universitas teknik.

Beberapa siswa memberikan informasi di album tentang di mana kurva ini digunakan dalam teknologi. Hal ini juga disambut baik oleh guru, karena sebenarnya pencarian informasi tersebut merupakan salah satu unsur kegiatan penelitian. Misalnya, lemniscate Bernoulli (Gbr. 3) digunakan dalam desain jalan dan rel kereta api sebagai kurva transisi - garis yang kelengkungannya secara bertahap meningkat dari nilai awal, berbeda dengan lingkaran, ketika bergerak di mana gaya sentrifugal meningkat tajam, yang tidak aman.

Dengan studi matematika lebih lanjut, "Album kurva" seperti itu sangat berguna. Ketika topik “Integral Tak Wajar dengan Batas Tak Hingga dan Integral Tak Wajar dari Fungsi Tak Terbatas” dipertimbangkan dalam pelajaran tentang analisis matematika, disarankan tidak hanya untuk menyelidiki kekonvergenan integral tak wajar, tetapi juga untuk mempertimbangkan beberapa aplikasi geometris dan fisikanya; Misalnya, selesaikan tugas-tugas berikut:

Tugas 4. Temukan luas gambar yang dibatasi oleh garis y \u003d 1 / x, x \u003d 1, y \u003d 0. Temukan volume yang diperoleh

dari rotasi gambar ini di sekitar sumbu Ox (Gbr. 4).

Dalam penyelesaian, terbukti bahwa bangun datar ini tidak memiliki luas, karena integral tak wajar yang menyatakan luas ini divergen. Tetapi benda tak terbatas yang diperoleh dari rotasi area yang ditentukan di sekitar sumbu Ox memiliki

volume sama dengan: V \u003d n G -- \u003d n unit kubik.

Soal 5. Temukan luas bangun yang dibatasi oleh kurva Agnesi y \u003d 1 (1 + x2) dan asimetri horizontalnya

ptota. Luas yang diinginkan dari gambar yang memanjang tanpa batas ke kanan dan ke kiri sama dengan: ^ = ex

Untuk pekerjaan mandiri siswa di bawah bimbingan seorang guru tentang topik ini, tugas dapat diusulkan yang tidak hanya membutuhkan pengetahuan tentang geometri analitik, keterampilan dalam mempelajari integral yang tidak tepat dari jenis pertama dan kedua untuk konvergensi, tetapi juga kemampuan untuk mempelajari fungsi menggunakan turunan pertama dan kedua untuk monotonisitas, ekstrem, cembung, cekung, titik belok, dan asimtot.

Soal 6. Tentukan luas bangun yang terletak di antara kurva y = 1 (x2 + 2 x) dan asimtot horizontalnya untuk x > 1.

Tugas 7. Temukan volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu Ox dari bangun datar yang dibatasi oleh sebuah

kurva y \u003d 1Y4 - x, asimtot vertikalnya dan sumbu Ox pada segmen .

Ketika mempelajari geometri analitik dalam ruang, perlu untuk mempertimbangkan secara rinci permukaan orde pertama dan kedua. Seperti yang Anda ketahui, permukaan membentuk berbagai macam objek dalam ruang tiga dimensi, dan aktivitas rekayasa manusia secara langsung berkaitan dengan desain dan pembuatan berbagai permukaan. Karena, sekali lagi, waktu kita sangat terbatas, muncul masalah metodologis: bagaimana mendistribusikan materi antara kuliah di kelas dan latihan praktik dan kerja mandiri. Disarankan menurut pendapat kami untuk memperhatikan pembelajaran persamaan permukaan, karena kedepannya siswa harus segera mengenali silinder, paraboloid, kerucut, hiperboloid, dll dengan bentuk persamaan tersebut, dan selain itu, menentukan posisi sumbu simetri permukaan yang ditinjau. Pengurangan jam kelas seharusnya tidak mengarah pada fakta bahwa siswa memiliki ruang kelas

permukaan dapat dianggap hanya sebagai permukaan silinder melingkar kanan (permukaan silinder revolusi), permukaan kerucut - sebagai permukaan kerucut revolusi. Menurut pendapat kami, seseorang tidak boleh mengabaikan permukaan yang kompleks saat mempelajari kursus dan tidak mempertimbangkannya sama sekali. Ini dapat menyebabkan penurunan kualitas pendidikan lulusan insinyur, karena sebagian besar tugas geometri terapan direduksi menjadi desain, perhitungan, dan reproduksi permukaan teknis yang kompleks. Desain permukaan dalam kondisi modern sangat menarik dalam sains, tujuan utama dari studi ini adalah membangun model geometris permukaan fisik dalam implementasi proyek rekayasa inovatif. Contohnya adalah: pengembangan dan produksi badan mobil, lambung kapal, badan pesawat dan sayap, dll. Juga sangat penting adalah pengembangan metode dan teknik untuk pemodelan permukaan medan untuk memecahkan masalah navigasi darat yang diterapkan (misalnya, meletakkan rute yang dapat dilewati untuk kendaraan di atas medan yang kasar). Penggunaan berbagai permukaan dalam arsitektur dikenal luas. Metode untuk membentuk dan menampilkan permukaan membentuk dasar pemodelan tiga dimensi editor grafis modern. Saat ini, sistem perangkat lunak telah dikembangkan yang memungkinkan pemodelan permukaan halus melengkung dari bentuk yang diinginkan. Tetapi penggunaannya memaksakan persyaratan serius pada persiapan pengguna, kehadiran budaya geometris yang sesuai dan pengetahuan matematika. Artinya, pengguna harus memahami permukaan yang kompleks dan tahu bagaimana membentuknya.

Soal 8. Hitung volume benda yang dibatasi oleh permukaan x2 + y 2 + 2y12 y \u003d 0, r \u003d x2 + y 2 - 4,

r = 0 (r > 0).

Keputusan. Benda adalah bagian dari ruang yang dibatasi oleh silinder melingkar dengan sumbu simetri sejajar dengan sumbu aplikasi, paraboloid elips dengan titik di titik (0, 0, -4) dan bidang koordinat . Mari kita hitung volume menggunakan integral rangkap tiga, di mana, dilihat dari bentuk bendanya, adalah bijaksana untuk beralih ke koordinat cylx 2 + y 2 - 4: V = [[[ dxdydz = |Г dxdy [ dz =

7 p / 4 - 2l / 2w f r 2 - 4

| df | pdr | dz = 4 | bsh2 2fdf = n.

Soal 9. Hitung volume benda yang dibatasi oleh permukaan y = 17^2 x, y = 2^2 x, x + r = 12,

Keputusan. Ketika menganalisis persamaan ini, siswa harus memahami bahwa benda tiga dimensi sedang dipertimbangkan dalam ruang, oleh karena itu, persamaan yang diberikan bukan untuk parabola pada bidang, tetapi untuk silinder parabola (Gbr. 5).

1/2 17 .DG 1/2- x 12

V = | dx | dy | dz = 15 |(1/2 - x2 xdx = 1.

Sebagai tugas untuk pekerjaan penelitian independen, siswa dapat ditawari tugas yang lebih kompleks berikut ini:

Soal 10. Tentukan volume benda yang dibatasi oleh permukaan y + r = 0, x2 - y + r2 = 0,

Y2 + (r - R)2< R2.

Soal 11. Temukan volume benda yang dibatasi oleh permukaan 2 2 + xz k sepanjang garis b diperoleh dengan

perpotongan paraboloid r = 1 - x2 - y2 dengan bidang koordinat pada oktan pertama.

Keputusan. Baris b terdiri dari tiga bagian AB, BC, CA. Oleh karena itu, sirkulasi medan vektor yang diberikan

didefinisikan sebagai berikut:

O=| xy dx + yzdy + xzdz =| +| +| .

L AB BC CA

Pada bagian AB: r = 0, x2 + y2 =1; kita tulis persamaan lingkaran ini dalam bentuk parametrik:

x = cos t, y = sin t, z = 0, 0< t < 2 п, следовательно,

J F dr = J costint(- sint)dt = -

Pada petak BC: x=0, z=1-y2,1< y < 0, тогда

J F-dr = Jy(l - y2)dy = (y72 - y2/4)|0

Pada bagian CA: y = 0, z = 1 - x2, 0< х < 1, следо-

vg - a 1 / e l dan. o4,

J F dr \u003d -2 Jx2 (1-x2) dx \u003d -2 (x3 / 3 -x75) | o \u003d - -.

\u003d - 13 - 14 - 15/4 \u003d - 5160.

Pendekatan berbasis kompetensi yang diterapkan oleh standar pendidikan tinggi negara bagian federal membuat tuntutan serius pada semua komponen proses pendidikan - konten, teknologi pedagogis, sarana kontrol dan evaluasi. Geometri analitik, sebagai salah satu bagian terpenting dari matematika tingkat tinggi, berfungsi sebagai dasar bagi ilmu-ilmu alam lainnya, teknik umum dan disiplin ilmu khusus. Pencarian metode pengajaran geometri analitik yang efektif, memberikan tingkat asimilasi tinggi dari konsep dan metode paling signifikan untuk pembelajaran lebih lanjut, dalam kondisi pengurangan jam kelas, adalah salah satu tujuan terpenting seorang guru matematika yang lebih tinggi.

BIBLIOGRAFI:

1. Standar pendidikan negara bagian federal untuk pendidikan tinggi di bidang studi sarjana [Sumber daya elektronik]. - Mode akses: http://fgosvo.ru/fgosvo/92/91/4.

2. Kaygorodtseva N.V. Penentuan konten dan teknologi pelatihan geometris-grafis insinyur masa depan berdasarkan integrasi lingkungan informasi. Disertasi untuk gelar Doctor of Pedagogical Sciences. Omsk. 2015.

3. Rusinova L.P. Pengembangan pemikiran spasial di kalangan siswa pada awal studi kursus "Geometri Deskriptif" // Ilmuwan muda. 2012. 3. hal.391-394.

4. Podolko E.A., Skabelkina I.A. Disiplin "Matematika Tinggi": masalah dan solusinya. Inisiatif profesional: Jurnal elektronik.

5. Manova N. V., Nikolaev V. G. Masalah pengajaran kursus "Matematika Tingkat Tinggi" di fakultas ilmu alam // Keberhasilan ilmu alam modern. 2007. Nomor 10.

6. Erilova E. N. Masalah pengajaran matematika yang lebih tinggi kepada siswa spesialisasi ekonomi // Arahan prioritas untuk pengembangan sains dan pendidikan: materi konferensi ilmiah dan praktis Internasional VII - Cheboksary: ​​​​CNS Interactive Plus. 2015. Nomor 4 (7). hal.91-92.

7. Seilova R.D. Beberapa aspek pengajaran matematika tingkat tinggi di universitas // Buletin Universitas Aktobe. S.Baisheva, 2014.

8. Aksenov A.A. Komunikasi intra-mata pelajaran sebagai sumber untuk proses menemukan solusi untuk masalah matematika sekolah Izvestiya RGPU im. A.I. Herzen. 2008. Edisi 81.

9. Sechkina I.V. Komunikasi intra-mata pelajaran dalam kursus "Matematika Tinggi". Masalah sebenarnya dalam mengajar matematika di universitas teknik: materi yang kedua

segerombolan konferensi ilmiah dan metodologis antar universitas. Omsk: Pusat Poligrafi KAN. 2012. Hal.151-154.

10. Balabaeva N.P., Enbom E.A. Pembentukan pemikiran kritis-reflektif profil sarjana teknik dalam proses mempelajari program studi matematika yang lebih tinggi. Kumpulan karya ilmiah Sworld. 2013. V. 18. No. 3. S. 49-53.

11. Balabaeva N.P. Pendekatan berorientasi profesional untuk mengajar bagian "Persamaan Diferensial" kepada siswa di bidang ekonomi. Buletin Ilmiah Samara. 2014. Nomor 4(9). hal.22-25.

12. Balabaeva N. P. Contoh tandingan dalam mata pelajaran matematika yang lebih tinggi sebagai sarana untuk mengembangkan pemikiran kritis siswa jurusan IT. Buletin Ilmiah Samara. 2014. Nomor 4(9). hal.30-33.

13. Enbom E.A., Ivanova V.A. Fitur pembentukan dan pengembangan kompetensi penelitian siswa dalam proses mempelajari disiplin "Matematika Tinggi" di universitas teknik. Buletin Ilmiah Samara. 2015. Nomor 1 (10). hal 140-144.

14. Balabaeva N. P., Enbom E. A. Aspek pembentukan kompetensi penelitian mahasiswa gelar sarjana akademik dalam profil teknik dalam proses penguasaan mata kuliah analisis matematis. Buletin Ilmiah Samara. 2014. Nomor 4 (9). hal.25-30.

15. Enbom E.A., Ivanova V.A. Kegiatan penelitian mandiri mahasiswa junior sebagai bagian integral dari proses pendidikan, yang bertujuan untuk meningkatkan kualitas pelatihan sarjana teknik. Buletin Ilmiah Samara. 2013. Nomor 3 (4). hal.79-82.

16. Balabaeva N.P., Enbom E.A. Penelitian karya siswa sebagai jenis kegiatan pendidikan yang penting dan menjanjikan yang bertujuan untuk meningkatkan kualitas pelatihan sarjana. Kumpulan karya ilmiah Sworld. 2013. V. 18. No. 3. S. 53-59.

17. Workshop matematika tingkat tinggi untuk para ekonom. Buku teks untuk universitas / Kremer N.Sh., Trishin I.M., Putko B.A. dan sebagainya.; Ed. prof. N.S. Kremer. M.: UNITY-DANA. 2005. 423 hal.

18. O. M. Komartsov, V. V. Korotkov, dan Sakharov

B.V. Masalah pengajaran di universitas teknik // Masalah sains dan pendidikan modern: Jurnal elektronik. 2014. Edisi 6.

19. Kuznetsov L.A. Kumpulan tugas dalam matematika yang lebih tinggi (perhitungan standar). St. Petersburg: Rumah penerbitan "Lan". 2005. 175 hal.

20. Kudryavtsev L.D., Kutasov A.D., Chekhlov V.I., Shabunin M.I. Kumpulan masalah dalam analisis matematis. Jilid 2. Integral. Baris: Buku Teks / Ed. L.D. Kudryavtsev. M.: FIZMATLIT, 2003. 504 hal.

21. Putilova A.V. Pendekatan berbasis kompetensi dalam merancang proses pendidikan sebagai mekanisme peningkatan kualitas pendidikan // Azimut penelitian ilmiah: pedagogi dan psikologi. 2013. Nomor 4.

22. Gavrilova M.I., Odarich I.N. Pendekatan berbasis kompetensi dalam pendidikan kejuruan // Jurnal Kemanusiaan Baltik. 2014. Nomor 3. Hal.19-21.

23. Gushchina O.M. Pendekatan berbasis kompetensi dalam menciptakan lingkungan informasi dan pendidikan untuk memperoleh pengetahuan menggunakan sumber daya elektronik // Jurnal Kemanusiaan Baltik. 2015. Nomor 2 (11). hal.49-52.

24. Tarantseva K.R., Moiseev V.B., Pyatirublevy L.G. Pembagian tugas sesuai dengan tingkat kerumitan dan tujuan pendidikan dalam pengembangan pendekatan berbasis kompetensi untuk penilaian pengetahuan // abad XXI: hasil masa lalu dan masalah masa kini plus. 2015. V. 3. No. 6 (28). hal.161-165.

25. Mitin A.N. Pendekatan berbasis kompetensi dalam pengajaran teknologi informasi menggunakan sumber daya pendidikan elektronik // Baltic Humanitarian Journal. 2014. No. 4. Hal. 93-96._

26. Rybakov M.V. Implementasi pendekatan berbasis kompetensi dalam proses seleksi staf pengajar lembaga pendidikan // Azimut penelitian ilmiah: pedagogi dan psikologi. 2014. No. 1. S. 61-66.

27. Aniskin V.N., Kulikova E.V., Yarygin A.N. Integrasi sistem penilaian modul dan metode proyek dalam pengajaran kurikulum "Sejarah Matematika" // Jurnal Kemanusiaan Baltik. 2015. Nomor 4 (13). hal.78-82.

28. Kulikova E.V. Pengalaman dalam mengumpulkan dana untuk alat evaluasi dalam disiplin "Sejarah Matematika" // Azimut Penelitian Ilmiah: Pedagogi dan Psikologi. 2015. Nomor 4 (13). hal.53-57.

29. Enbom E.A., Ivanova V.A. Fitur pembentukan dan pengembangan kompetensi penelitian siswa dalam proses belajar disiplin "Matematika Tinggi" di universitas teknik // Buletin Ilmiah Samara. 2015. Nomor 1 (10). hal 140-144.

30. Kondaurova I.K., Guseva M.A. Pembentukan keterampilan dan kemampuan seorang guru-peneliti di masa depan guru-matematikawan dalam konteks pengembangan biografi profesional // Azimut Penelitian Ilmiah: Pedagogi dan Psikologi. 2014. No. 4. S. 69-72.

31. Merlina N.I., Seliverstova L.V., Yardukhina S.A. Sistem penilaian skor untuk menilai kualitas kemajuan siswa // Jurnal Kemanusiaan Baltik. 2015. Nomor 3 (12). hal.58-61.

sebuah)

Keputusan.

Momen pertama dan terpenting dari keputusan adalah konstruksi gambar.

Mari kita membuat gambar:

persamaan y=0 mengatur sumbu x;

- x=-2 dan x=1 - lurus, sejajar dengan sumbu OU;

- y \u003d x 2 +2 - sebuah parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas, dengan titik di titik (0;2).

Komentar. Untuk membuat parabola, cukup menemukan titik potongnya dengan sumbu koordinat, mis. menempatkan x=0 tentukan perpotongan dengan sumbu OU dan menyelesaikan persamaan kuadrat yang sesuai, temukan persimpangan dengan sumbu Oh .

Titik puncak parabola dapat ditemukan dengan menggunakan rumus:

Anda dapat menggambar garis dan titik demi titik.

Pada interval [-2;1] grafik fungsi y=x2 +2 terletak di atas sumbu Sapi , Itu sebabnya:

Menjawab: S \u003d 9 unit persegi

Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambar dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. Dalam hal ini, "dengan mata" kami menghitung jumlah sel dalam gambar - yah, sekitar 9 akan diketik, sepertinya itu benar. Cukup jelas bahwa jika kita memiliki, katakanlah, jawabannya: 20 unit persegi, maka, jelas, kesalahan dibuat di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan gambar yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya ternyata negatif, maka tugas itu juga diselesaikan dengan tidak benar.

Apa yang harus dilakukan jika trapesium lengkung terletak di bawah as Oh?

b) Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y=-e x , x=1 dan sumbu koordinat.

Keputusan.

Mari kita menggambar.

Jika trapesium lengkung sepenuhnya di bawah poros Oh , maka luasnya dapat dicari dengan rumus :

Menjawab: S=(e-1) satuan persegi" 1,72 satuan persegi

Perhatian! Jangan bingung antara dua jenis tugas:

1) Jika Anda diminta untuk menyelesaikan integral tertentu saja tanpa makna geometris, maka itu bisa negatif.

2) Jika Anda diminta untuk mencari luas bangun menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul dalam rumus yang baru saja dipertimbangkan.

Dalam praktiknya, paling sering sosok itu terletak di setengah bidang atas dan bawah.

dengan) Temukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Keputusan.

Pertama, Anda perlu membuat gambar. Secara umum, ketika membuat gambar dalam masalah luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Mencari titik potong parabola dan garis dapat dilakukan dengan dua cara. Cara pertama adalah analitis.

Kami memecahkan persamaan:

Jadi batas bawah integrasi a=0 , batas atas integrasi b=3 .

Kami membangun garis yang diberikan: 1. Parabola - titik di titik (1;1); persimpangan sumbu Oh - poin (0;0) dan (0;2). 2. Garis lurus - garis bagi sudut koordinat ke-2 dan ke-4. Dan sekarang Perhatian! Jika pada selang [ a;b] beberapa fungsi kontinu f(x) lebih besar dari atau sama dengan beberapa fungsi kontinu g(x), maka luas gambar yang sesuai dapat ditemukan dengan rumus: . Dan tidak masalah di mana gambar itu berada - di atas sumbu atau di bawah sumbu, tetapi penting bagan mana yang LEBIH TINGGI (relatif terhadap bagan lain), dan mana yang BAWAH. Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, jelas bahwa pada segmen parabola terletak di atas garis lurus, dan oleh karena itu perlu untuk mengurangi dari

Hal ini dimungkinkan untuk membangun garis titik demi titik, sedangkan batas-batas integrasi ditemukan seolah-olah "sendiri". Namun demikian, metode analitik untuk menemukan batas terkadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi berulir tidak mengungkapkan batas integrasi (dapat berupa pecahan atau irasional).

Angka yang diinginkan dibatasi oleh parabola dari atas dan garis lurus dari bawah.

Pada segmen , sesuai dengan rumus yang sesuai:

Menjawab: S \u003d 4,5 unit persegi

Menghitung luas suatu bangun Ini mungkin salah satu masalah yang paling sulit dalam teori area. Dalam geometri sekolah, mereka diajarkan untuk mencari luas bangun-bangun geometri dasar seperti misalnya segitiga, belah ketupat, persegi panjang, trapesium, lingkaran, dan lain-lain. Namun, kita sering kali harus berurusan dengan perhitungan luas bangun-bangun yang lebih kompleks. Dalam memecahkan masalah seperti itu sangat mudah untuk menggunakan kalkulus integral.

Definisi.

Trapesium lengkung beberapa gambar G disebut, dibatasi oleh garis y = f(x), y = 0, x = a dan x = b, dan fungsi f(x) kontinu pada ruas [a; b] dan tidak mengubah tandanya di atasnya (Gbr. 1). Luas trapesium lengkung dapat dilambangkan dengan S(G).

Integral tentu a b f(x)dx untuk fungsi f(x), yang kontinu dan tak-negatif pada ruas [a; b], dan merupakan luas trapesium lengkung yang sesuai.

Artinya, untuk menemukan luas gambar G, dibatasi oleh garis y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a dan x \u003d b, perlu untuk menghitung integral tertentu a b f (x) dx.

Dengan demikian, S(G) = a b f(x)dx.

Jika fungsi y = f(x) tidak positif pada [a; b], maka luas trapesium lengkung dapat dicari dengan rumus S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Contoh 1

Hitung luas gambar yang dibatasi oleh garis y \u003d x 3; y = 1; x = 2.

Keputusan.

Garis-garis yang diberikan membentuk gambar ABC, yang ditunjukkan dengan menetas pada Nasi. 2.

Luas yang diinginkan sama dengan selisih antara luas trapesium lengkung DACE dan bujur sangkar DABE.

Dengan menggunakan rumus S = a b f(x)dx = S(b) – S(a), kita cari limit integrasinya. Untuk melakukan ini, kami memecahkan sistem dua persamaan:

(y \u003d x 3,
(y = 1.

Jadi, kami memiliki x 1 \u003d 1 - batas bawah dan x \u003d 2 - batas atas.

Jadi, S = S DACE - S DABE = 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (satuan persegi).

Jawaban: 11/4 meter persegi. unit

Contoh 2

Hitung luas gambar yang dibatasi oleh garis y \u003d x; y = 2; x = 9.

Keputusan.

Garis-garis yang diberikan membentuk gambar ABC, yang dibatasi dari atas oleh grafik fungsi

y \u003d x, dan dari bawah grafik fungsi y \u003d 2. Gambar yang dihasilkan ditunjukkan dengan menetas pada Nasi. 3.

Luas yang diinginkan sama dengan S = a b (√x - 2). Mari kita cari batas integrasi: b = 9, untuk menemukan a, kita selesaikan sistem dua persamaan:

(y = x,
(y = 2.

Jadi, kita memiliki bahwa x = 4 = a adalah batas bawah.

Jadi, S = 4 9 (√x – 2)dx = 4 9 x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (satuan persegi).

Jawaban: S = 2 2/3 m². unit

Contoh 3

Hitung luas gambar yang dibatasi oleh garis y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x 0.

Keputusan.

Mari kita plot fungsi y \u003d x 3 - 4x untuk x 0. Untuk melakukan ini, kita cari turunan y ':

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 pada = ±2/√3 1.1 adalah titik kritis.

Jika kita menggambar titik-titik kritis pada sumbu nyata dan menempatkan tanda-tanda turunannya, kita mendapatkan bahwa fungsi menurun dari nol menjadi 2/√3 dan meningkat dari 2/√3 hingga plus tak hingga. Maka x = 2/√3 adalah titik minimum, nilai minimum dari fungsi y adalah min = -16/(3√3) -3.

Mari kita tentukan titik potong grafik dengan sumbu koordinat:

jika x \u003d 0, maka y \u003d 0, yang berarti bahwa A (0; 0) adalah titik perpotongan dengan sumbu Oy;

jika y \u003d 0, maka x 3 - 4x \u003d 0 atau x (x 2 - 4) \u003d 0, atau x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, dari mana x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (tidak cocok, karena x 0).

Titik A(0; 0) dan B(2; 0) adalah titik potong grafik dengan sumbu Ox.

Garis-garis yang diberikan membentuk gambar OAB, yang ditunjukkan dengan menetas pada Nasi. 4.

Karena fungsi y \u003d x 3 - 4x mengambil (0; 2) nilai negatif, maka

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Kami memiliki: 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, dari mana S \u003d 4 meter persegi. unit

Jawaban: S = 4 persegi. unit

Contoh 4

Temukan luas gambar yang dibatasi oleh parabola y \u003d 2x 2 - 2x + 1, garis lurus x \u003d 0, y \u003d 0 dan garis singgung parabola ini pada titik dengan absis x 0 \u003d 2.

Keputusan.

Pertama, kita buat persamaan garis singgung parabola y \u003d 2x 2 - 2x + 1 pada titik dengan absis x₀ \u003d 2.

Karena turunan y' = 4x - 2, maka untuk x 0 = 2 diperoleh k = y'(2) = 6.

Tentukan ordinat titik sentuh: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Oleh karena itu, persamaan tangen memiliki bentuk: y - 5 \u003d 6 (x - 2) atau y \u003d 6x - 7.

Mari kita membangun sosok yang dibatasi oleh garis:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabola. Titik perpotongan dengan sumbu koordinat: A(0; 1) - dengan sumbu Oy; dengan sumbu Ox - tidak ada titik potong, karena persamaan 2x 2 - 2x + 1 = 0 tidak memiliki solusi (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, yaitu, titik parabola titik B memiliki koordinat B (1/2; 1/2).

Jadi, sosok yang luasnya akan ditentukan ditunjukkan dengan menetaskan Nasi. 5.

Kami memiliki: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.

Tentukan koordinat titik D dari kondisi:

6x - 7 = 0, mis. x \u003d 7/6, lalu DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

Kami mencari luas segitiga DBC menggunakan rumus S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC. Dengan demikian,

S ADBC ​​= 1/2 5/6 5 = 25/12 persegi. unit

S OABC = 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (satuan persegi).

Akhirnya kita mendapatkan: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC ​​\u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (satuan persegi).

Jawaban: S = 1 1/4 sq. unit

Kami telah meninjau contoh mencari luas bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis yang diberikan. Untuk berhasil memecahkan masalah seperti itu, Anda harus dapat membangun garis dan grafik fungsi pada bidang, menemukan titik persimpangan garis, menerapkan rumus untuk menemukan area, yang menyiratkan kemampuan dan keterampilan untuk menghitung integral tertentu.

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.