Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Sistem persamaan. Metode substitusi, metode penambahan, metode pengenalan variabel baru"
Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda! Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.
Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 9
Simulator untuk buku teks Atanasyan L.S. Simulator untuk buku teks Pogorelova A.V.
Cara menyelesaikan sistem pertidaksamaan
Kawan, kita telah mempelajari sistem persamaan dan mempelajari cara menyelesaikannya menggunakan grafik. Sekarang mari kita lihat apa cara lain untuk menyelesaikan sistem yang ada?Hampir semua cara untuk menyelesaikannya tidak berbeda dengan yang kita pelajari di kelas 7. Sekarang kita perlu membuat beberapa penyesuaian sesuai dengan persamaan yang telah kita pelajari untuk dipecahkan.
Inti dari semua metode yang dijelaskan dalam pelajaran ini adalah penggantian sistem dengan sistem yang setara dengan bentuk dan metode penyelesaian yang lebih sederhana. Teman-teman, ingatlah apa itu sistem yang setara.
Metode substitusi
Cara pertama untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan dua variabel sudah kita ketahui dengan baik - ini adalah metode substitusi. Kami menggunakan metode ini untuk menyelesaikan persamaan linier. Sekarang mari kita lihat bagaimana menyelesaikan persamaan dalam kasus umum?Bagaimana seharusnya seseorang melanjutkan ketika membuat keputusan?
1. Nyatakan salah satu variabel dalam istilah yang lain. Variabel yang paling umum digunakan dalam persamaan adalah x dan y. Dalam salah satu persamaan, kami menyatakan satu variabel dalam bentuk yang lain. Tip: Perhatikan baik-baik kedua persamaan sebelum Anda mulai menyelesaikan dan pilih salah satu yang akan lebih mudah untuk mengekspresikan variabel.
2. Substitusi ekspresi yang dihasilkan ke persamaan kedua, bukan variabel yang diekspresikan.
3. Selesaikan persamaan yang kita dapatkan.
4. Substitusikan solusi yang dihasilkan ke persamaan kedua. Jika ada beberapa solusi, maka perlu untuk menggantinya secara berurutan agar tidak kehilangan beberapa solusi.
5. Hasilnya, Anda akan mendapatkan sepasang angka $(x;y)$, yang harus ditulis sebagai jawaban.
Contoh.
Memecahkan sistem dengan dua variabel menggunakan metode substitusi: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.
Keputusan.
Mari kita lihat lebih dekat persamaan kita. Jelas, menyatakan y dalam bentuk x dalam persamaan pertama jauh lebih mudah.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
Substitusikan ekspresi pertama ke persamaan kedua $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Mari selesaikan persamaan kedua secara terpisah:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Kami mendapatkan dua solusi dari persamaan kedua $x_1=2$ dan $x_2=3$.
Substitusikan secara berurutan ke persamaan kedua.
Jika $x=2$ maka $y=3$. Jika $x=3$ maka $y=2$.
Jawabannya adalah dua pasang angka.
Jawaban: $(2;3)$ dan $(3;2)$.
Metode penjumlahan aljabar
Kami juga mempelajari metode ini di kelas 7.Diketahui bahwa kita dapat mengalikan persamaan rasional dalam dua variabel dengan angka berapa pun, dengan mengingat untuk mengalikan kedua sisi persamaan. Kami mengalikan salah satu persamaan dengan angka tertentu sehingga ketika persamaan yang dihasilkan ditambahkan ke persamaan kedua dari sistem, salah satu variabel dihancurkan. Kemudian persamaan diselesaikan sehubungan dengan variabel yang tersisa.
Metode ini masih berfungsi, meskipun tidak selalu mungkin untuk menghancurkan salah satu variabel. Tetapi ini memungkinkan seseorang untuk menyederhanakan bentuk salah satu persamaan secara signifikan.
Contoh.
Memecahkan sistem: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Keputusan.
Kalikan persamaan pertama dengan 2.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Kurangi yang kedua dari persamaan pertama.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Seperti yang Anda lihat, bentuk persamaan yang dihasilkan jauh lebih sederhana daripada yang asli. Sekarang kita bisa menggunakan metode substitusi.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Mari kita nyatakan x melalui y dalam persamaan yang dihasilkan.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(kasus)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(kasus)$.
Dapat $y=-1$ dan $y=-3$.
Substitusikan nilai-nilai ini secara berurutan ke dalam persamaan pertama. Kami mendapatkan dua pasang angka: $(1;-1)$ dan $(-1;-3)$.
Jawaban: $(1;-1)$ dan $(-1;-3)$.
Metode untuk memperkenalkan variabel baru
Kami juga mempelajari metode ini, tetapi mari kita lihat lagi.Contoh.
Memecahkan sistem: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
Keputusan.
Mari kita perkenalkan pengganti $t=\frac(x)(y)$.
Mari kita tulis ulang persamaan pertama dengan variabel baru: $t+\frac(2)(t)=3$.
Mari selesaikan persamaan yang dihasilkan:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Dapat $t=2$ atau $t=1$. Mari kita perkenalkan perubahan terbalik $t=\frac(x)(y)$.
Didapat: $x=2y$ dan $x=y$.
Untuk setiap ekspresi, sistem asli harus diselesaikan secara terpisah:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$.
Kami menerima empat pasang solusi.
Jawaban: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.
Contoh.
Memecahkan sistem: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(kasus)$.
Keputusan.
Kami memperkenalkan penggantinya: $z=\frac(2)(x-3y)$ dan $t=\frac(3)(2x+y)$.
Mari kita tulis ulang persamaan asli dengan variabel baru:
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$.
Mari kita gunakan metode penjumlahan aljabar:
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(kasus)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(kasus)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end(cases)$.
Mari kita perkenalkan substitusi terbalik:
$\begin(kasus)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(kasus)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$.
Mari kita gunakan metode substitusi:
$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$.
Jawaban: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.
Masalah pada sistem persamaan untuk solusi independen
Memecahkan sistem:1. $\begin(cases)2x-2y=6, \\xy =-2\end(cases)$.
2. $\begin(cases)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(cases)$.
3. $\begin(cases)xy+y^2=3, \\y^2-xy=5\end(cases)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ akhir (kasus)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(kasus)$.
Mari kita ingat dulu definisi solusi sistem persamaan dua variabel.
Definisi 1
Sepasang bilangan disebut penyelesaian sistem persamaan dengan dua variabel jika, ketika disubstitusikan ke dalam persamaan, diperoleh persamaan yang benar.
Berikut ini, kita akan mempertimbangkan sistem dua persamaan dengan dua variabel.
Ada empat cara dasar untuk menyelesaikan sistem persamaan: metode substitusi, metode penambahan, metode grafis, metode manajemen variabel baru. Mari kita lihat metode ini dengan contoh spesifik. Untuk menjelaskan prinsip penggunaan tiga metode pertama, kita akan mempertimbangkan sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui:
Metode substitusi
Metode substitusi adalah sebagai berikut: salah satu dari persamaan ini diambil dan $y$ dinyatakan dalam $x$, kemudian $y$ disubstitusikan ke dalam persamaan sistem, dari mana variabel $x.$ ditemukan. Setelah itu, kita dapat dengan mudah menghitung variabel $y.$
Contoh 1
Mari kita nyatakan dari persamaan kedua $y$ dalam bentuk $x$:
Substitusi ke persamaan pertama, cari $x$:
\ \ \
Temukan $y$:
Menjawab: $(-2,\ 3)$
Metode penambahan.
Pertimbangkan metode ini dengan sebuah contoh:
Contoh 2
\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]
Kalikan persamaan kedua dengan 3, kita mendapatkan:
\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]
Sekarang mari kita tambahkan kedua persamaan bersama-sama:
\ \ \
Temukan $y$ dari persamaan kedua:
\[-6-y=-9\] \
Menjawab: $(-2,\ 3)$
Catatan 1
Perhatikan bahwa dalam metode ini perlu untuk mengalikan satu atau kedua persamaan dengan angka sedemikian rupa sehingga ketika menambahkan salah satu variabel "menghilang".
cara grafis
Metode grafiknya adalah sebagai berikut: kedua persamaan sistem ditampilkan pada bidang koordinat dan titik perpotongannya ditemukan.
Contoh 3
\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]
Mari kita nyatakan $y$ dari kedua persamaan dalam bentuk $x$:
\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]
Mari kita menggambar kedua grafik pada bidang yang sama:
Gambar 1.
Menjawab: $(-2,\ 3)$
Bagaimana cara memperkenalkan variabel baru
Kami akan mempertimbangkan metode ini dalam contoh berikut:
Contoh 4
\[\left\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \kanan .\]
Keputusan.
Sistem ini setara dengan sistem
\[\left\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ Baik.\]
Misalkan $2^x=u\ (u>0)$ dan $3^y=v\ (v>0)$, kita peroleh:
\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]
Kami memecahkan sistem yang dihasilkan dengan metode penambahan. Mari kita tambahkan persamaan:
\ \
Kemudian dari persamaan kedua, kita mendapatkan bahwa
Kembali ke penggantian, kami memperoleh sistem persamaan eksponensial baru:
\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]
Kita mendapatkan:
\[\kiri\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \kanan.\]
Mari kita pertimbangkan kasus ketika jumlah persamaan sama dengan jumlah variabel, yaitu. m = n. Maka matriks sistem tersebut adalah persegi, dan determinannya disebut determinan sistem.
Metode matriks terbalik
Pertimbangkan secara umum sistem persamaan AX = B dengan matriks bujur sangkar tak tunggal A. Dalam hal ini, ada matriks invers A -1 . Mari kita kalikan kedua ruas dengan A -1 di sebelah kiri. Kami mendapatkan A -1 AX \u003d A -1 B. Dari sini EX \u003d A -1 B dan
Persamaan terakhir adalah rumus matriks untuk menemukan solusi untuk sistem persamaan tersebut. Penggunaan rumus ini disebut metode matriks terbalik
Sebagai contoh, mari kita gunakan metode ini untuk menyelesaikan sistem berikut:
;
Pada akhir penyelesaian sistem, pemeriksaan dapat dilakukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai yang ditemukan ke dalam persamaan sistem. Dalam hal ini, mereka harus berubah menjadi persamaan sejati.
Untuk contoh ini, mari kita periksa:
Metode penyelesaian sistem persamaan linier dengan matriks persegi menggunakan rumus Cramer
Misalkan n=2:
Jika kedua bagian dari persamaan pertama dikalikan dengan 22, dan kedua bagian dari persamaan kedua dengan (-a 12), dan kemudian persamaan yang dihasilkan ditambahkan, maka kami akan mengecualikan variabel x 2 dari sistem. Demikian pula, Anda dapat menghilangkan variabel x 1 (dengan mengalikan kedua ruas persamaan pertama dengan (-a 21) dan kedua ruas persamaan kedua dengan 11). Akibatnya, kami mendapatkan sistem:
Ekspresi dalam tanda kurung adalah determinan sistem
Menunjukkan
Kemudian sistem akan mengambil bentuk:
Dari sistem yang dihasilkan dapat disimpulkan bahwa jika determinan sistem adalah 0, maka sistem akan konsisten dan pasti. Solusi uniknya dapat dihitung dengan rumus:
Jika = 0, a 1 0 dan/atau 2 0, maka persamaan sistem akan berbentuk 0*х 1 = 2 dan/atau 0*х 1 = 2. Dalam hal ini, sistem akan tidak konsisten.
Dalam kasus ketika = 1 = 2 = 0, sistem akan konsisten dan tidak terbatas (itu akan memiliki jumlah solusi yang tak terbatas), karena akan berbentuk:
teorema Cramer(kami menghilangkan buktinya). Jika determinan matriks sistem n persamaan tidak sama dengan nol, maka sistem tersebut memiliki solusi unik, ditentukan dengan rumus:
,
dimana j adalah determinan matriks yang diperoleh dari matriks A dengan mengganti kolom ke-j dengan kolom anggota bebas.
Rumus di atas disebut rumus Cramer.
Sebagai contoh, mari kita gunakan metode ini untuk menyelesaikan sistem yang sebelumnya diselesaikan menggunakan metode matriks terbalik:
Kerugian dari metode yang dipertimbangkan:
1) kompleksitas yang signifikan (perhitungan determinan dan pencarian matriks invers);
2) ruang lingkup terbatas (untuk sistem dengan matriks persegi).
Situasi ekonomi riil sering dimodelkan dengan sistem yang jumlah persamaan dan variabelnya cukup signifikan, dan persamaannya lebih banyak daripada variabelnya, oleh karena itu metode berikut ini lebih umum dalam praktiknya.
Metode Gauss (metode penghapusan variabel secara berurutan)
Metode ini digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear m dengan n variabel secara umum. Esensinya terletak pada penerapan sistem transformasi ekuivalen ke matriks yang diperluas, dengan bantuan sistem persamaan ditransformasikan ke bentuk ketika solusinya menjadi mudah ditemukan (jika ada).
Ini adalah tampilan di mana bagian kiri atas dari matriks sistem akan menjadi matriks bertahap. Hal ini dicapai dengan menggunakan teknik yang sama yang digunakan untuk mendapatkan matriks bertahap untuk menentukan peringkat. Dalam hal ini, transformasi dasar diterapkan pada matriks yang diperluas, yang memungkinkan seseorang memperoleh sistem persamaan yang setara. Setelah itu, matriks yang diperbesar akan berbentuk:
Mendapatkan matriks seperti itu disebut dalam garis lurus metode Gauss.
Menemukan nilai variabel dari sistem persamaan yang sesuai disebut ke belakang metode Gauss. Mari kita pertimbangkan.
Perhatikan bahwa persamaan (m – r) terakhir akan berbentuk:
Jika setidaknya salah satu dari angka 
tidak sama dengan nol, maka kesetaraan yang sesuai akan salah, dan seluruh sistem akan tidak konsisten.
Oleh karena itu, untuk setiap sistem gabungan 
. Dalam hal ini, persamaan (m – r) terakhir untuk setiap nilai variabel akan menjadi identitas 0 = 0, dan mereka dapat diabaikan saat menyelesaikan sistem (buang saja baris yang sesuai).
Setelah itu, sistem akan terlihat seperti:
Pertimbangkan dulu kasus ketika r=n. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:
Dari persamaan terakhir dari sistem, seseorang dapat secara unik menemukan x r .
Mengetahui x r , seseorang dapat secara unik mengungkapkan x r -1 darinya. Kemudian dari persamaan sebelumnya, mengetahui x r dan x r -1 , kita dapat menyatakan x r -2 dan seterusnya. hingga x1.
Jadi, dalam hal ini, sistem akan bersifat kolaboratif dan pasti.
Sekarang perhatikan kasus ketika r
Dari persamaan ini, kita dapat menyatakan variabel dasar x r dalam istilah non-basis:
Persamaan kedua dari belakang akan terlihat seperti:
Mengganti ekspresi yang dihasilkan sebagai ganti x r, adalah mungkin untuk mengekspresikan variabel dasar x r -1 melalui yang non-dasar. Dll. untuk variabel x 1 . Untuk mendapatkan solusi sistem, Anda dapat menyamakan variabel non-dasar dengan nilai arbitrer dan kemudian menghitung variabel dasar menggunakan rumus yang diperoleh. Dengan demikian, dalam hal ini, sistem akan konsisten dan tak tentu (memiliki jumlah solusi tak terhingga).
Sebagai contoh, mari kita selesaikan sistem persamaan:
Himpunan variabel dasar akan disebut dasar sistem. Himpunan kolom koefisien untuk mereka juga akan disebut dasar(kolom dasar), atau kecil dasar matriks sistem. Penyelesaian sistem tersebut, di mana semua variabel non-basis sama dengan nol, akan disebut solusi dasar.
Pada contoh sebelumnya, solusi dasarnya adalah (4/5; -17/5; 0; 0) (variabel x 3 dan x 4 (c 1 dan c 2) disetel ke nol, dan variabel dasar x 1 dan x 2 dihitung melalui mereka). Untuk memberikan contoh solusi non-basis, perlu menyamakan x 3 dan x 4 (c 1 dan c 2) dengan bilangan arbitrer yang tidak sama dengan nol pada saat yang sama, dan menghitung variabel lainnya melalui mereka. Misalnya, dengan c 1 = 1 dan c 2 = 0, kita mendapatkan solusi non-basis - (4/5; -12/5; 1; 0). Dengan substitusi, mudah untuk memverifikasi bahwa kedua solusi benar.
Jelas, dalam sistem solusi non-dasar yang tidak terbatas, mungkin ada jumlah solusi yang tidak terbatas. Berapa banyak solusi dasar yang dapat dibuat? Setiap baris dari matriks yang ditransformasi harus sesuai dengan satu variabel dasar. Secara total, ada n variabel dalam masalah, dan r baris dasar. Oleh karena itu, jumlah kemungkinan himpunan variabel dasar tidak dapat melebihi jumlah kombinasi dari n sampai 2 . Mungkin kurang dari 
, karena tidak selalu mungkin untuk mengubah sistem ke bentuk sedemikian rupa sehingga himpunan variabel tertentu ini adalah basisnya.
Jenis apa ini? Ini adalah bentuk seperti itu ketika matriks yang dibentuk dari kolom-kolom koefisien untuk variabel-variabel ini akan bertahap dan, dalam hal ini, akan terdiri dari baris. Itu. pangkat matriks koefisien untuk variabel-variabel ini harus sama dengan r. Tidak boleh lebih besar, karena jumlah kolom sama dengan r. Jika ternyata lebih kecil dari r, maka ini menunjukkan ketergantungan linier kolom dengan variabel. Kolom seperti itu tidak dapat membentuk dasar.
Mari kita pertimbangkan solusi dasar lainnya yang dapat ditemukan dalam contoh di atas. Untuk melakukan ini, pertimbangkan semua kemungkinan kombinasi dari empat variabel dengan dua variabel dasar. Kombinasi seperti itu akan 
, dan salah satunya (x 1 dan x 2) telah dipertimbangkan.
Mari kita ambil variabel x 1 dan x 3 . Temukan peringkat matriks koefisien untuk mereka:
Karena sama dengan dua, mereka bisa menjadi dasar. Kami menyamakan variabel non-dasar x 2 dan x 4 menjadi nol: x 2 \u003d x 4 \u003d 0. Kemudian dari rumus x 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4 maka x 1 \u003d 4/5, dan dari rumus x 2 \u003d -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 \u003d -17/5 + x 3 maka x 3 \u003d x 2 + 17/5 \u003d 17/5. Dengan demikian, kita mendapatkan solusi dasar (4/5; 0; 17/5; 0).
Demikian pula, Anda bisa mendapatkan solusi dasar untuk variabel dasar x 1 dan x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 dan x 4 - (0; -9; 0; 4); x 3 dan x 4 - (0; 0; 9; 4).
Variabel x 2 dan x 3 dalam contoh ini tidak dapat dianggap sebagai variabel dasar, karena pangkat dari matriks yang sesuai sama dengan satu, yaitu. kurang dari dua:
.
Pendekatan lain dimungkinkan untuk menentukan apakah mungkin untuk membentuk basis dari beberapa variabel. Saat memecahkan contoh, sebagai hasil dari transformasi matriks sistem ke bentuk bertahap, ia mengambil bentuk:
Dengan memilih pasangan variabel, dimungkinkan untuk menghitung minor yang sesuai dari matriks ini. Sangat mudah untuk melihat bahwa untuk semua pasangan, kecuali untuk x 2 dan x 3 , mereka tidak sama dengan nol, mis. kolom-kolomnya bebas linier. Dan hanya untuk kolom dengan variabel x 2 dan x 3 
, yang menunjukkan ketergantungan liniernya.
Mari kita pertimbangkan satu contoh lagi. Mari selesaikan sistem persamaan
Jadi, persamaan yang sesuai dengan baris ketiga dari matriks terakhir tidak konsisten - itu menyebabkan persamaan yang salah 0 = -1, oleh karena itu, sistem ini tidak konsisten.
Metode Jordan-Gauss 3 merupakan pengembangan dari metode Gaussian. Esensinya adalah bahwa matriks yang diperluas dari sistem ditransformasikan ke bentuk ketika koefisien variabel membentuk matriks identitas hingga permutasi baris atau kolom 4 (di mana adalah peringkat dari matriks sistem).
Mari kita selesaikan sistem menggunakan metode ini:
Pertimbangkan matriks yang diperbesar dari sistem:
Dalam matriks ini, kami memilih elemen identitas. Misalnya, koefisien pada x 2 dalam kendala ketiga adalah 5. Mari kita pastikan bahwa di baris yang tersisa di kolom ini ada nol, mis. membuat kolom tunggal. Dalam proses transformasi, kami akan menyebutnya kolompermisif(memimpin, kunci). Kendala ketiga (ketiga rangkaian) juga akan disebut permisif. Saya sendiri elemen, yang berdiri di persimpangan baris dan kolom yang memungkinkan (ini adalah unit), juga disebut permisif.
Baris pertama sekarang berisi koefisien (-1). Untuk mendapatkan nol sebagai gantinya, kalikan baris ketiga dengan (-1) dan kurangi hasilnya dari baris pertama (yaitu tambahkan saja baris pertama ke baris ketiga).
Baris kedua berisi koefisien 2. Untuk mendapatkan nol sebagai gantinya, kalikan baris ketiga dengan 2 dan kurangi hasilnya dari baris pertama.
Hasil transformasi akan terlihat seperti:
Matriks ini dengan jelas menunjukkan bahwa salah satu dari dua kendala pertama dapat dihapus (baris yang sesuai adalah proporsional, yaitu persamaan ini mengikuti satu sama lain). Mari kita coret yang kedua:
Jadi, ada dua persamaan dalam sistem baru. Satu kolom (kedua) diterima, dan unit di sini ada di baris kedua. Mari kita ingat bahwa variabel dasar x 2 akan sesuai dengan persamaan kedua dari sistem baru.
Mari kita pilih variabel dasar untuk baris pertama. Ini dapat berupa variabel apa pun kecuali x 3 (karena pada x 3 kendala pertama memiliki koefisien nol, yaitu himpunan variabel x 2 dan x 3 tidak dapat menjadi dasar di sini). Anda dapat mengambil variabel pertama atau keempat.
Mari kita pilih x 1. Kemudian elemen penyelesaiannya adalah 5, dan kedua sisi persamaan penyelesaian harus dibagi lima untuk mendapatkan satu di kolom pertama dari baris pertama.
Mari kita pastikan bahwa sisa baris (yaitu, baris kedua) memiliki nol di kolom pertama. Karena sekarang baris kedua bukan nol, tetapi 3, elemen dari baris pertama yang dikonversi harus dikurangi dari baris kedua, dikalikan dengan 3:
Satu solusi dasar dapat langsung diekstraksi dari matriks yang dihasilkan dengan menyamakan variabel non-basis menjadi nol, dan variabel dasar dengan suku bebas dalam persamaan yang sesuai: (0.8; -3.4; 0; 0). Anda juga dapat memperoleh rumus umum yang menyatakan variabel dasar hingga variabel non-dasar: x 1 \u003d 0,8 - 1,2 x 4; x 2 \u003d -3,4 + x 3 + 1,6x 4. Rumus ini menjelaskan seluruh rangkaian solusi tak terbatas untuk sistem (dengan menyamakan x 3 dan x 4 dengan bilangan arbitrer, Anda dapat menghitung x 1 dan x 2).
Perhatikan bahwa inti dari transformasi pada setiap tahap metode Jordan-Gauss adalah sebagai berikut:
1) string permisif dibagi dengan elemen permisif untuk mendapatkan unit di tempatnya,
2) dari semua baris lainnya, daya pisah yang diubah dikalikan dengan elemen yang ada di baris yang diberikan di kolom pisah dikurangkan untuk mendapatkan nol di tempat elemen ini.
Pertimbangkan sekali lagi transformasi matriks augmented dari sistem:
Dapat dilihat dari entri ini bahwa rank dari matriks sistem A adalah r.
Dalam penalaran di atas, kami telah menetapkan bahwa sistem tersebut konsisten jika dan hanya jika 
. Ini berarti bahwa matriks yang diperbesar dari sistem akan terlihat seperti:
Membuang nol baris, kita mendapatkan bahwa peringkat matriks diperpanjang dari sistem juga sama dengan r.
Teorema Kronecker-Capelli. Suatu sistem persamaan linier dikatakan konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks sistem tersebut sama dengan pangkat matriks yang diperluas dari sistem ini.
Ingatlah bahwa pangkat suatu matriks sama dengan jumlah maksimum baris bebas liniernya. Dari sini dapat disimpulkan bahwa jika pangkat matriks yang diperluas kurang dari jumlah persamaan, maka persamaan sistem tersebut bergantung linier, dan satu atau lebih dari persamaan tersebut dapat dikeluarkan dari sistem (karena persamaan tersebut linier kombinasi dari yang lain). Sistem persamaan akan bebas linier hanya jika pangkat matriks yang diperluas sama dengan jumlah persamaan.
Selain itu, untuk sistem persamaan linier yang konsisten, dapat dikatakan bahwa jika pangkat matriks sama dengan jumlah variabel, maka sistem memiliki solusi unik, dan jika lebih kecil dari jumlah variabel, maka sistem tidak terbatas dan memiliki banyak solusi.
1Misalnya, ada lima baris dalam matriks (urutan baris awal adalah 12345). Kita perlu mengubah baris kedua dan kelima. Agar baris kedua jatuh ke tempat yang kelima, untuk "bergerak" ke bawah, kami secara berurutan mengubah garis yang berdekatan tiga kali: yang kedua dan ketiga (13245), yang kedua dan keempat (13425) dan yang kedua dan kelima (13452). Kemudian, agar baris kelima menggantikan yang kedua dalam matriks asli, baris kelima perlu "menggeser" ke atas hanya dengan dua perubahan berturut-turut: baris kelima dan keempat (13542) dan baris kelima dan ketiga (15342).
2Jumlah kombinasi dari n ke r 
jumlah semua himpunan bagian r-elemen yang berbeda dari himpunan n-elemen disebut (kumpulan yang berbeda adalah himpunan yang memiliki komposisi elemen yang berbeda, urutan pemilihannya tidak penting). Itu dihitung dengan rumus: 
. Ingat arti dari tanda “!" (faktorial): 
0!=1.)
3Karena metode ini lebih umum daripada metode Gaussian yang dibahas sebelumnya, dan pada dasarnya adalah kombinasi dari metode Gaussian maju dan mundur, metode ini juga kadang-kadang disebut metode Gaussian, dengan menghilangkan bagian pertama dari namanya.
4Misalnya, 
.
5Jika tidak ada satuan dalam matriks sistem, maka dimungkinkan, misalnya, untuk membagi kedua bagian persamaan pertama dengan dua, dan kemudian koefisien pertama akan menjadi satu; atau sejenisnya.
Dengan program matematika ini, Anda dapat menyelesaikan sistem dua persamaan linier dengan dua variabel menggunakan metode substitusi dan metode penambahan.
Program tidak hanya memberikan jawaban atas masalah, tetapi juga memberikan solusi rinci dengan penjelasan langkah-langkah solusi dalam dua cara: metode substitusi dan metode penambahan.
Program ini dapat bermanfaat bagi siswa sekolah menengah atas dalam persiapan menghadapi ujian dan ujian, saat menguji pengetahuan sebelum Ujian Negara Bersatu, bagi orang tua untuk mengontrol penyelesaian banyak masalah dalam matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikan pekerjaan rumah matematika atau aljabar Anda secepat mungkin? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.
Dengan cara ini, Anda dapat melakukan pelatihan Anda sendiri dan/atau pelatihan adik-adik Anda, sementara tingkat pendidikan di bidang tugas yang harus diselesaikan meningkat.
Aturan untuk Memasukkan Persamaan
Setiap huruf Latin dapat bertindak sebagai variabel.
Misalnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) dll.
Saat memasukkan persamaan Anda dapat menggunakan tanda kurung. Dalam hal ini, persamaan disederhanakan terlebih dahulu. Persamaan setelah penyederhanaan harus linier, mis. dari bentuk ax+by+c=0 dengan akurasi urutan elemen.
Misalnya: 6x+1 = 5(x+y)+2
Dalam persamaan, Anda tidak hanya dapat menggunakan bilangan bulat, tetapi juga bilangan pecahan dalam bentuk desimal dan pecahan biasa.
Aturan untuk memasukkan pecahan desimal.
Bagian bilangan bulat dan pecahan dalam pecahan desimal dapat dipisahkan dengan titik atau koma.
Misalnya: 2,1n + 3,5m = 55
Aturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya bilangan bulat yang dapat berperan sebagai pembilang, penyebut, dan bagian bilangan bulat dari suatu pecahan.
Penyebutnya tidak boleh negatif.
Saat memasukkan pecahan numerik, pembilang dipisahkan dari penyebut dengan tanda pembagian: /
Bagian bilangan bulat dipisahkan dari pecahan dengan tanda ampersand: &
Contoh.
-1&2/3th + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)
Memecahkan sistem persamaan
Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.
JavaScript harus diaktifkan agar solusi muncul.
Berikut adalah petunjuk tentang cara mengaktifkan JavaScript di browser Anda.
Karena Ada banyak orang yang ingin menyelesaikan masalah, permintaan Anda diantrekan.
Setelah beberapa detik, solusi akan muncul di bawah ini.
Mohon tunggu detik...
Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, maka Anda dapat menulisnya di Formulir Umpan Balik.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke lapangan.
Game, teka-teki, emulator kami:
Sedikit teori.
Memecahkan sistem persamaan linier. Metode substitusi
Urutan tindakan saat menyelesaikan sistem persamaan linier dengan metode substitusi:
1) nyatakan satu variabel dari beberapa persamaan sistem dalam hal yang lain;
2) mengganti ekspresi yang dihasilkan dalam persamaan lain dari sistem, bukan variabel ini;
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$
Mari kita nyatakan dari persamaan pertama y melalui x: y = 7-3x. Mensubstitusikan ekspresi 7-3x alih-alih y ke dalam persamaan kedua, kita mendapatkan sistemnya:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$
Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa sistem pertama dan kedua memiliki solusi yang sama. Dalam sistem kedua, persamaan kedua hanya berisi satu variabel. Mari selesaikan persamaan ini:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$
Mensubstitusikan angka 1 sebagai ganti x ke dalam persamaan y=7-3x, kita menemukan nilai y yang sesuai:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Panah kanan y=4 $$
Pair (1;4) - solusi sistem
Sistem persamaan dua variabel yang penyelesaiannya sama disebut setara. Sistem yang tidak memiliki solusi juga dianggap setara.
Memecahkan sistem persamaan linier dengan menambahkan
Pertimbangkan cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier - metode penambahan. Saat memecahkan sistem dengan cara ini, serta saat menyelesaikan dengan metode substitusi, kita berpindah dari sistem yang diberikan ke sistem lain yang setara dengannya, di mana salah satu persamaan hanya berisi satu variabel.
Urutan tindakan saat menyelesaikan sistem persamaan linier dengan metode penambahan:
1) kalikan persamaan suku dengan suku, pilih faktor sehingga koefisien untuk salah satu variabel menjadi bilangan yang berlawanan;
2) menambahkan suku demi suku ke bagian kiri dan kanan persamaan sistem;
3) menyelesaikan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel;
4) temukan nilai yang sesuai dari variabel kedua.
Contoh. Mari kita selesaikan sistem persamaan:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$
Dalam persamaan sistem ini, koefisien y adalah bilangan yang berlawanan. Menambahkan suku demi suku bagian kiri dan kanan persamaan, kita memperoleh persamaan dengan satu variabel 3x=33. Mari kita ganti salah satu persamaan sistem, misalnya yang pertama, dengan persamaan 3x=33. Ayo dapatkan sistemnya
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \kanan. $$
Dari persamaan 3x=33 kita dapatkan bahwa x=11. Substitusikan nilai x ini ke dalam persamaan \(x-3y=38 \) kita mendapatkan persamaan dengan variabel y: \(11-3y=38 \). Mari selesaikan persamaan ini:
\(-3y=27 \Panah kanan y=-9 \)
Jadi, kami menemukan solusi untuk sistem persamaan dengan menambahkan: \(x=11; y=-9 \) atau \((11; -9) \)
Mengambil keuntungan dari fakta bahwa dalam persamaan sistem koefisien y adalah angka yang berlawanan, kami mengurangi solusinya menjadi solusi sistem yang setara (dengan menjumlahkan kedua bagian dari masing-masing persamaan simetri asli), di mana satu persamaan hanya berisi satu variabel.
Buku (buku teks) Abstrak Unified State Examination dan tes OGE online Game, teka-teki Grafik fungsi Kamus ejaan bahasa Rusia Kamus gaul pemuda Katalog sekolah Rusia Katalog sekolah menengah di Rusia Katalog universitas Rusia Daftar tugasLebih dapat diandalkan daripada metode grafis yang dibahas dalam paragraf sebelumnya.
Metode Pergantian
Kami menggunakan metode ini di kelas 7 untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Algoritma yang dikembangkan di kelas 7 ini cukup cocok untuk menyelesaikan sistem dua persamaan (tidak harus linier) dengan dua variabel x dan y (tentu saja, variabel dapat dilambangkan dengan huruf lain, yang tidak masalah). Sebenarnya, kami menggunakan algoritma ini di paragraf sebelumnya, ketika masalah angka dua digit mengarah ke model matematika, yang merupakan sistem persamaan. Kami memecahkan sistem persamaan di atas dengan metode substitusi (lihat contoh 1 dari 4).
Algoritma untuk menggunakan metode substitusi ketika menyelesaikan sistem dua persamaan dengan dua variabel x, y.
1. Nyatakan y dalam bentuk x dari satu persamaan sistem.
2. Substitusikan ekspresi yang dihasilkan alih-alih y ke dalam persamaan lain dari sistem.
3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk x.
4. Substitusikan secara bergantian masing-masing akar persamaan yang ditemukan pada langkah ketiga alih-alih x ke dalam ekspresi y melalui x yang diperoleh pada langkah pertama.
5. Tuliskan jawaban dalam bentuk pasangan nilai (x;y) yang ditemukan berturut-turut pada langkah ketiga dan keempat.
4) Substitusikan secara bergantian setiap nilai y yang ditemukan ke dalam rumus x \u003d 5 - Zy. Jika kemudian 
5) Pasangan (2; 1) dan solusi dari sistem persamaan yang diberikan.
Jawaban: (2; 1);
Metode penjumlahan aljabar
Metode ini, seperti metode substitusi, sudah tidak asing lagi bagi Anda dari kursus aljabar kelas 7, di mana metode ini digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Kami mengingat esensi metode dalam contoh berikut.
Contoh 2 Memecahkan sistem persamaan
Kami mengalikan semua suku persamaan pertama sistem dengan 3, dan membiarkan persamaan kedua tidak berubah: 
Kurangi persamaan kedua sistem dari persamaan pertama:
Sebagai hasil penjumlahan aljabar dari dua persamaan sistem asal, diperoleh persamaan yang lebih sederhana dari persamaan pertama dan kedua dari sistem yang diberikan. Dengan persamaan yang lebih sederhana ini, kita berhak mengganti persamaan apa pun dari sistem yang diberikan, misalnya, yang kedua. Kemudian sistem persamaan yang diberikan akan digantikan oleh sistem yang lebih sederhana:
Sistem ini dapat diselesaikan dengan metode substitusi. Dari persamaan kedua kita menemukan Substitusi ekspresi ini alih-alih y ke dalam persamaan pertama sistem, kita peroleh
Tetap mengganti nilai x yang ditemukan ke dalam rumus
Jika x = 2 maka
Jadi, kami telah menemukan dua solusi untuk sistem: 
Metode untuk memperkenalkan variabel baru
Anda berkenalan dengan metode memperkenalkan variabel baru ketika memecahkan persamaan rasional dengan satu variabel dalam kursus aljabar kelas 8. Inti dari metode ini untuk menyelesaikan sistem persamaan adalah sama, tetapi dari sudut pandang teknis ada beberapa fitur yang akan kita bahas dalam contoh berikut.
Contoh 3 Memecahkan sistem persamaan
Mari kita perkenalkan variabel baru Kemudian persamaan pertama dari sistem dapat ditulis ulang dalam bentuk yang lebih sederhana: Mari selesaikan persamaan ini terhadap variabel t:
Kedua nilai ini memenuhi kondisi , dan karena itu merupakan akar dari persamaan rasional dengan variabel t. Tapi itu berarti baik dari mana kita menemukan bahwa x = 2y, atau
Jadi, dengan menggunakan metode pengenalan variabel baru, kami berhasil, seolah-olah, untuk "meratakan" persamaan pertama dari sistem, yang penampilannya cukup kompleks, menjadi dua persamaan yang lebih sederhana:
x = 2 tahun; y - 2x.
Apa berikutnya? Dan kemudian masing-masing dari dua persamaan sederhana yang diperoleh harus dipertimbangkan secara bergantian dalam sistem dengan persamaan x 2 - y 2 \u003d 3, yang belum kita ingat. Dengan kata lain, masalahnya direduksi menjadi penyelesaian dua sistem persamaan:
Penting untuk menemukan solusi untuk sistem pertama, sistem kedua, dan memasukkan semua pasangan nilai yang dihasilkan dalam jawaban. Selesaikan sistem persamaan pertama:
Mari kita gunakan metode substitusi, terutama karena semuanya sudah siap di sini: kita substitusikan ekspresi 2y alih-alih x ke dalam persamaan kedua sistem. Mendapatkan
Karena x \u003d 2y, kami menemukan masing-masing x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. Dengan demikian, dua solusi untuk sistem yang diberikan diperoleh: (2; 1) dan (-2; -1). Selesaikan sistem persamaan kedua:
Mari kita gunakan metode substitusi lagi: kita substitusikan ekspresi 2x sebagai ganti y dalam persamaan kedua sistem. Mendapatkan
Persamaan ini tidak memiliki akar, yang berarti bahwa sistem persamaan tidak memiliki solusi. Jadi, hanya solusi dari sistem pertama yang harus dimasukkan dalam jawaban.
Jawaban: (2; 1); (-2;-1).
Metode pengenalan variabel baru dalam penyelesaian sistem dua persamaan dengan dua variabel digunakan dalam dua versi. Opsi pertama: satu variabel baru diperkenalkan dan digunakan hanya dalam satu persamaan sistem. Inilah yang terjadi pada contoh 3. Opsi kedua: dua variabel baru diperkenalkan dan digunakan secara bersamaan di kedua persamaan sistem. Ini akan menjadi kasus dalam contoh 4.
Contoh 4 Memecahkan sistem persamaan
Mari kita perkenalkan dua variabel baru:
Kami belajar itu kemudian
Ini akan memungkinkan kita untuk menulis ulang sistem yang diberikan dalam bentuk yang lebih sederhana, tetapi sehubungan dengan variabel baru a dan b:
Karena a \u003d 1, maka dari persamaan a + 6 \u003d 2 kita menemukan: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Jadi, untuk variabel a dan b, kami mendapat satu solusi:
Kembali ke variabel x dan y, kita memperoleh sistem persamaan
Kami menerapkan metode penambahan aljabar untuk menyelesaikan sistem ini:
Sejak itu dari persamaan 2x + y = 3 kita menemukan:
Jadi, untuk variabel x dan y, kami mendapat satu solusi:
Mari kita akhiri bagian ini dengan diskusi teoretis yang singkat namun cukup serius. Anda telah memperoleh beberapa pengalaman dalam memecahkan berbagai persamaan: linier, kuadrat, rasional, irasional. Anda tahu bahwa ide utama untuk memecahkan persamaan adalah untuk secara bertahap berpindah dari satu persamaan ke persamaan lainnya, lebih sederhana tetapi setara dengan yang diberikan. Pada bagian sebelumnya, kami memperkenalkan gagasan kesetaraan untuk persamaan dengan dua variabel. Konsep ini juga digunakan untuk sistem persamaan.
Definisi.
Dua sistem persamaan dengan variabel x dan y disebut ekuivalen jika memiliki solusi yang sama atau jika kedua sistem tidak memiliki solusi.
Ketiga metode (substitusi, penambahan aljabar, dan pengenalan variabel baru) yang telah kita bahas di bagian ini sepenuhnya benar dari sudut pandang ekivalensi. Dengan kata lain, dengan menggunakan metode ini, kami mengganti satu sistem persamaan dengan yang lain, lebih sederhana, tetapi setara dengan sistem aslinya.
Metode grafis untuk memecahkan sistem persamaan
Kita telah mempelajari bagaimana menyelesaikan sistem persamaan dengan cara yang umum dan dapat diandalkan seperti metode substitusi, penjumlahan aljabar, dan pengenalan variabel baru. Dan sekarang mari kita ingat metode yang telah Anda pelajari di pelajaran sebelumnya. Artinya, mari kita ulangi apa yang Anda ketahui tentang metode solusi grafis.
Metode penyelesaian sistem persamaan secara grafis adalah konstruksi grafik untuk setiap persamaan tertentu yang termasuk dalam sistem ini dan berada pada bidang koordinat yang sama, dan juga di mana diperlukan untuk menemukan titik potong dari grafik tersebut. . Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini adalah koordinat titik ini (x; y).
Harus diingat bahwa adalah umum untuk sistem persamaan grafis untuk memiliki satu solusi yang benar, atau jumlah solusi yang tak terbatas, atau tidak memiliki solusi sama sekali.
Sekarang mari kita lihat lebih dekat masing-masing solusi ini. Jadi, sistem persamaan dapat memiliki solusi unik jika garis, yang merupakan grafik persamaan sistem, berpotongan. Jika garis-garis ini sejajar, maka sistem persamaan seperti itu sama sekali tidak memiliki solusi. Dalam kasus kebetulan grafik langsung dari persamaan sistem, maka sistem seperti itu memungkinkan Anda untuk menemukan banyak solusi.
Nah, sekarang mari kita lihat algoritma untuk menyelesaikan sistem dua persamaan dengan 2 tidak diketahui menggunakan metode grafis:
Pertama, pertama-tama kita buat grafik persamaan ke-1;
Langkah kedua adalah memplot grafik yang berhubungan dengan persamaan kedua;
Ketiga, kita perlu menemukan titik potong grafik.
Dan sebagai hasilnya, kami mendapatkan koordinat setiap titik persimpangan, yang akan menjadi solusi untuk sistem persamaan.
Mari kita lihat metode ini secara lebih rinci dengan sebuah contoh. Kami diberikan sistem persamaan yang harus diselesaikan:
Menyelesaikan Persamaan
1. Pertama, kita akan membuat grafik dari persamaan ini: x2+y2=9.
Tetapi perlu dicatat bahwa grafik persamaan ini akan menjadi lingkaran yang berpusat di titik asal, dan jari-jarinya akan sama dengan tiga.
2. Langkah selanjutnya adalah memplot persamaan seperti: y = x - 3.
Dalam hal ini, kita harus membuat garis dan mencari titik (0;−3) dan (3;0).
3. Mari kita lihat apa yang kita dapatkan. Kita lihat bahwa garis memotong lingkaran di dua titik A dan B.
Sekarang kita sedang mencari koordinat titik-titik tersebut. Kita lihat bahwa koordinat (3;0) berhubungan dengan titik A, dan koordinat (0;−3) berhubungan dengan titik B.
Dan apa yang kita dapatkan sebagai hasilnya?
Bilangan (3;0) dan (0;−3) yang diperoleh pada perpotongan garis lurus dengan lingkaran tepat merupakan solusi dari kedua persamaan sistem tersebut. Dan dari sini dapat disimpulkan bahwa angka-angka ini juga merupakan solusi dari sistem persamaan ini.
Artinya, jawaban dari solusi ini adalah bilangan: (3;0) dan (0;−3).
