Ke tentukan fungsi distribusi peubah acak diskrit Anda perlu menggunakan kalkulator ini. Latihan 1. Kerapatan distribusi variabel acak kontinu X memiliki bentuk:
Mencari:
a) parameter A ;
b) fungsi distribusi F(x) ;
c) peluang mengenai variabel acak X dalam interval ;
d) ekspektasi matematis MX dan varians DX .
Gambarkan fungsi f(x) dan F(x) .

Tugas 2. Temukan varians dari variabel acak X yang diberikan oleh fungsi integral.

Tugas 3. Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak X yang diberikan fungsi distribusi.

Tugas 4. Kepadatan probabilitas beberapa variabel acak diberikan sebagai berikut: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Temukan koefisien A , fungsi distribusi F(x) , ekspektasi matematis dan varians, serta probabilitas bahwa variabel acak mengambil nilai dalam interval . Plot grafik f(x) dan F(x).

Tugas. Fungsi distribusi dari beberapa variabel acak kontinu diberikan sebagai berikut:

Tentukan parameter a dan b , temukan ekspresi untuk kerapatan probabilitas f(x) , ekspektasi matematis dan varians, serta probabilitas bahwa variabel acak akan mengambil nilai dalam interval . Plot grafik f(x) dan F(x).

Mari kita cari fungsi kerapatan distribusi sebagai turunan dari fungsi distribusi.

Mengetahui bahwa

cari parameternya:


atau 3a=1, dimana a = 1/3
Kami menemukan parameter b dari properti berikut:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 dari mana b = -1/3
Oleh karena itu, fungsi distribusinya adalah: F(x) = (x-1)/3

Nilai yang diharapkan.


Penyebaran.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Temukan probabilitas bahwa variabel acak mengambil nilai dalam interval
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Contoh 1. Kerapatan distribusi probabilitas f(x) dari variabel acak kontinu X diberikan. Diperlukan:

1. Tentukan koefisien A .
2. tentukan fungsi distribusi F(x) .
3. secara skematis plot F(x) dan f(x) .
4. tentukan ekspektasi matematis dan varians dari X .
5. temukan probabilitas bahwa X mengambil nilai dari interval (2;3).

f(x) = A*kuadrat(x), 1 x 4.
Keputusan:

Variabel acak X diberikan oleh densitas distribusi f(x):

Temukan parameter A dari kondisi:



atau
14/3*A-1=0
Di mana,
A = 3 / 14

Fungsi distribusi dapat ditemukan dengan rumus.

Variabel acak sebuah variabel disebut yang, sebagai hasil dari setiap pengujian, mengambil satu nilai yang sebelumnya tidak diketahui, tergantung pada penyebab acak. Variabel acak dilambangkan dengan huruf latin kapital: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Berdasarkan jenisnya, variabel acak dapat diskrit dan kontinu.

Variabel acak diskrit- ini adalah variabel acak, nilainya tidak lebih dari dapat dihitung, yaitu terbatas atau dapat dihitung. Hitungan berarti bahwa nilai-nilai variabel acak dapat dihitung.

Contoh 1 . Mari kita berikan contoh variabel acak diskrit:

a) jumlah hit pada target dengan $n$ tembakan, di sini nilai yang mungkin adalah $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) banyaknya lambang yang terlepas pada saat pelemparan uang logam, disini nilai yang mungkin adalah $0,\ 1,\ \titik ,\ n$.

c) jumlah kapal yang tiba di kapal (satu set nilai yang dapat dihitung).

d) jumlah panggilan yang tiba di bursa (satu set nilai yang dapat dihitung).

1. Hukum distribusi probabilitas variabel acak diskrit.

Variabel acak diskrit $X$ dapat mengambil nilai $x_1,\dots ,\ x_n$ dengan probabilitas $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Korespondensi antara nilai-nilai ini dan probabilitasnya disebut hukum distribusi variabel acak diskrit. Sebagai aturan, korespondensi ini ditentukan menggunakan tabel, di baris pertama yang menunjukkan nilai $x_1,\dots ,\ x_n$, dan di baris kedua probabilitas yang sesuai dengan nilai-nilai ini adalah $ p_1,\titik ,\ p_n$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \titik & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \titik & p_n \\
\hline
\end(array)$

Contoh 2 . Biarkan variabel acak $X$ menjadi jumlah poin yang dilempar ketika sebuah dadu dilempar. Variabel acak $X$ dapat mengambil nilai berikut $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Probabilitas semua nilai ini sama dengan $1/6$. Maka hukum distribusi probabilitas untuk variabel acak $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Komentar. Karena kejadian $1,\ 2,\ \titik ,\ 6$ membentuk grup lengkap kejadian dalam hukum distribusi variabel acak diskrit $X$, jumlah probabilitas harus sama dengan satu, yaitu $\sum( p_i)=1$.

2. Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit.

Ekspektasi matematis dari variabel acak menentukan nilai "pusat" nya. Untuk variabel acak diskrit, ekspektasi matematis dihitung sebagai jumlah produk dari nilai $x_1,\dots ,\ x_n$ dan probabilitas $p_1,\dots ,\ p_n$ yang sesuai dengan nilai-nilai ini, yaitu: $M\kiri(X\kanan)=\jumlah ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Dalam literatur bahasa Inggris, notasi lain $E\left(X\right)$ digunakan.

Properti Harapan$M\kiri(X\kanan)$:

1. $M\left(X\right)$ berada di antara nilai terkecil dan terbesar dari variabel acak $X$.
2. Ekspektasi matematis dari suatu konstanta sama dengan konstanta itu sendiri, yaitu $M\kiri(C\kanan)=C$.
3. Faktor konstanta dapat diambil dari tanda harapan: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Ekspektasi matematis dari jumlah variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematisnya: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Ekspektasi matematis produk variabel acak independen sama dengan produk ekspektasi matematisnya: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Contoh 3 . Mari kita cari ekspektasi matematis dari variabel acak $X$ dari contoh $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\over (6))=3.5.$$

Kita dapat melihat bahwa $M\left(X\right)$ berada di antara nilai terkecil ($1$) dan terbesar ($6$) dari variabel acak $X$.

Contoh 4 . Diketahui bahwa ekspektasi matematis dari variabel acak $X$ sama dengan $M\left(X\right)=2$. Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak $3X+5$.

Menggunakan properti di atas, kita mendapatkan $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Contoh 5 . Diketahui bahwa ekspektasi matematis dari variabel acak $X$ sama dengan $M\left(X\right)=4$. Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak $2X-9$.

Menggunakan properti di atas, kita mendapatkan $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Dispersi variabel acak diskrit.

Kemungkinan nilai variabel acak dengan ekspektasi matematis yang sama dapat tersebar secara berbeda di sekitar nilai rata-ratanya. Misalnya, dalam dua kelompok siswa, nilai rata-rata untuk ujian teori probabilitas ternyata 4, tetapi dalam satu kelompok semua orang menjadi siswa yang baik, dan di kelompok lain, hanya siswa C dan siswa yang sangat baik. Oleh karena itu, diperlukan karakteristik numerik dari variabel acak, yang akan menunjukkan penyebaran nilai variabel acak di sekitar ekspektasi matematisnya. Karakteristik ini adalah dispersi.

Dispersi variabel acak diskrit$X$ adalah:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

Dalam literatur bahasa Inggris, notasi $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ digunakan. Sangat sering varians $D\left(X\right)$ dihitung dengan rumus $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ kiri(X \kanan)\kanan))^2$.

Sifat Dispersi$D\kiri(X\kanan)$:

1. Dispersi selalu lebih besar dari atau sama dengan nol, yaitu $D\kiri(X\kanan)\ge 0$.
2. Dispersi dari konstanta sama dengan nol, yaitu $D\kiri(C\kanan)=0$.
3. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda dispersi, asalkan dikuadratkan, mis. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Varians dari jumlah variabel acak independen sama dengan jumlah varians mereka, yaitu. $D\kiri(X+Y\kanan)=D\kiri(X\kanan)+D\kiri(Y\kanan)$.
5. Varians dari selisih peubah acak bebas sama dengan jumlah variansnya, yaitu $D\kiri(X-Y\kanan)=D\kiri(X\kanan)+D\kiri(Y\kanan)$.

Contoh 6 . Mari kita hitung varians dari variabel acak $X$ dari contoh $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\kira-kira 2.92.$$

Contoh 7 . Diketahui bahwa varians dari variabel acak $X$ sama dengan $D\left(X\right)=2$. Temukan varians dari variabel acak $4X+1$.

Menggunakan properti di atas, kita menemukan $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ kiri(X\kanan)=16\cdot 2=32$.

Contoh 8 . Diketahui bahwa varians dari $X$ sama dengan $D\left(X\right)=3$. Temukan varians dari variabel acak $3-2X$.

Menggunakan properti di atas, kita menemukan $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ kiri(X\kanan)=4\cdot 3=12$.

4. Fungsi distribusi variabel acak diskrit.

Metode merepresentasikan variabel acak diskrit dalam bentuk deret distribusi bukan satu-satunya, dan yang terpenting, tidak universal, karena variabel acak kontinu tidak dapat ditentukan menggunakan deret distribusi. Ada cara lain untuk mewakili variabel acak - fungsi distribusi.

fungsi distribusi variabel acak $X$ adalah fungsi $F\left(x\right)$, yang menentukan probabilitas bahwa variabel acak $X$ mengambil nilai kurang dari beberapa nilai tetap $x$, yaitu $F\left(x\ kanan)$ )=P\kiri(X< x\right)$

Properti fungsi distribusi:

1. $0\le F\kiri(x\kanan)\le 1$.
2. Probabilitas variabel acak $X$ mengambil nilai dari interval $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ sama dengan perbedaan antara nilai-nilai fungsi distribusi di ujung interval ini : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - tidak berkurang.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \kanan)=1\ )$.

Contoh 9 . Mari kita cari fungsi distribusi $F\left(x\right)$ untuk hukum distribusi variabel acak diskrit $X$ dari contoh $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Jika $x\le 1$, maka jelas $F\left(x\right)=0$ (termasuk $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Jika $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Jika $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Jika $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Jika $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Jika $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Jika $x > 6$ maka $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) + P\kiri(X=4\kanan)+P\kiri(X=5\kanan)+P\kiri(X=6\kanan)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Jadi $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ di\ x\le 1,\\
1/6, di \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ pada\ 2< x\le 3,\\
1/2, di \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ pada\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ pada \ 4< x\le 5,\\
1,\ untuk \ x > 6.
\end(matriks)\kanan.$

Contoh pemecahan masalah pada topik "Variabel acak".

Tugas 1 . Ada 100 tiket yang dikeluarkan dalam lotere. Satu kemenangan sebesar 50 USD dimainkan. dan sepuluh kemenangan masing-masing $10. Temukan hukum distribusi nilai X - biaya perolehan yang mungkin.

Keputusan. Kemungkinan nilai X: x 1 = 0; x 2 = 10 dan x 3 = 50. Karena ada 89 tiket “kosong”, maka p 1 = 0,89, peluang menang adalah 10 c.u. (10 tiket) – p 2 = 0,10 dan untuk kemenangan 50 c.u. -p 3 = 0,01. Dengan demikian:

	0,89	0,10	0,01

Mudah dikendalikan: .

Tugas 2. Probabilitas bahwa pembeli telah membiasakan diri dengan iklan produk sebelumnya adalah 0,6 (p = 0,6). Pengendalian kualitas iklan secara selektif dilakukan dengan polling kepada pembeli sebelum pembeli pertama yang mempelajari iklan tersebut terlebih dahulu. Buatlah rangkaian distribusi jumlah pembeli yang diwawancarai.

Keputusan. Menurut kondisi masalah p = 0,6. Dari: q=1 -p = 0,4. Mengganti nilai-nilai ini, kita mendapatkan: dan buat deret distribusi:

pi		0,24

Tugas 3. Komputer terdiri dari tiga elemen yang beroperasi secara independen: unit sistem, monitor, dan keyboard. Dengan peningkatan tegangan tunggal yang tajam, kemungkinan kegagalan setiap elemen adalah 0,1. Berdasarkan distribusi Bernoulli, buatlah hukum distribusi untuk jumlah elemen yang gagal selama lonjakan daya dalam jaringan.

Keputusan. Mempertimbangkan Distribusi Bernoulli(atau binomial): probabilitas bahwa dalam n tes, acara A akan muncul dengan tepat k sekali: , atau:

	q n					p n

PADA mari kembali ke tugas.

Kemungkinan nilai X (jumlah kegagalan):

x 0 =0 - tidak ada elemen yang gagal;

x 1 =1 - kegagalan satu elemen;

x 2 =2 - kegagalan dua elemen;

x 3 =3 - kegagalan semua elemen.

Karena, dengan syarat, p = 0,1, maka q = 1 – p = 0,9. Dengan menggunakan rumus Bernoulli, kita peroleh

, ,

, .

Kontrol: .

Oleh karena itu, hukum distribusi yang diinginkan:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Tugas 4. Diproduksi 5000 putaran. Probabilitas bahwa satu kartrid rusak . Berapa probabilitas bahwa akan ada tepat 3 kartrid yang rusak di seluruh batch?

Keputusan. Berlaku distribusi racun: distribusi ini digunakan untuk menentukan probabilitas bahwa, diberikan sangat besar

banyaknya percobaan (percobaan masal), dimana peluang kejadian A sangat kecil, kejadian A akan terjadi k kali : , di mana .

Di sini n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Kami menemukan , maka probabilitas yang diinginkan: .

Tugas 5. Saat menembak sebelum pukulan pertama dengan kemungkinan mengenai p = 0,6 untuk satu tembakan, Anda perlu mencari probabilitas bahwa pukulan akan terjadi pada tembakan ketiga.

Keputusan. Mari kita terapkan distribusi geometrik: biarkan percobaan independen dilakukan, di mana setiap kejadian A memiliki probabilitas kemunculan p (dan non-kejadian q = 1 - p). Percobaan berakhir segera setelah peristiwa A terjadi.

Dalam kondisi seperti itu, peluang kejadian A akan terjadi pada uji ke-k ditentukan oleh rumus: . Di sini p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Oleh karena itu, .

Tugas 6. Biarkan hukum distribusi variabel acak X diberikan:

Temukan harapan matematisnya.

Keputusan. .

Perhatikan bahwa makna probabilistik dari ekspektasi matematis adalah nilai rata-rata dari variabel acak.

Tugas 7. Temukan varians dari variabel acak X dengan hukum distribusi berikut:

Keputusan. Di Sini .

Hukum distribusi kuadrat X 2 :

X 2

Varians yang diperlukan: .

Dispersi mencirikan derajat deviasi (hamburan) variabel acak dari ekspektasi matematisnya.

Tugas 8. Biarkan variabel acak diberikan oleh distribusi:

			10m

Temukan karakteristik numeriknya.

Solusi: m, m 2 ,

M 2 , m.

Tentang variabel acak X, dapat dikatakan salah satu - harapan matematisnya adalah 6,4 m dengan varians 13,04 m 2 , atau - ekspektasi matematisnya adalah 6,4 m dengan deviasi m Formulasi kedua jelas lebih jelas.

Tugas 9. Nilai acak X diberikan oleh fungsi distribusi:
.

Temukan probabilitas bahwa, sebagai hasil dari pengujian, nilai X akan mengambil nilai yang terkandung dalam interval .

Keputusan. Probabilitas bahwa X akan mengambil nilai dari interval yang diberikan sama dengan kenaikan fungsi integral dalam interval ini, yaitu . Dalam kasus kami dan , oleh karena itu

.

Tugas 10. Variabel acak diskrit X diberikan oleh hukum distribusi:

Temukan fungsi distribusi F(x ) dan buat grafiknya.

Keputusan. Karena fungsi distribusi

untuk , kemudian

pada ;

pada ;

pada ;

pada ;

Bagan yang relevan:

Tugas 11. Variabel acak kontinu X diberikan oleh fungsi distribusi diferensial: .

Cari peluang memukul X ke interval

Keputusan. Perhatikan bahwa ini adalah kasus khusus dari hukum distribusi eksponensial.

Mari kita gunakan rumus: .

Tugas 12. Temukan karakteristik numerik dari variabel acak diskrit X yang diberikan oleh hukum distribusi:

	–5
	X2 : x2 . , di mana adalah fungsi Laplace. Nilai fungsi ini ditemukan menggunakan tabel. Dalam kasus kami: . Menurut tabel kami menemukan:, oleh karena itu:

4. Kepadatan distribusi probabilitas variabel acak kontinu

Variabel acak kontinu dapat ditentukan menggunakan fungsi distribusi F(x) . Cara pengaturan ini bukan satu-satunya. Variabel acak kontinu juga dapat ditentukan menggunakan fungsi lain yang disebut densitas distribusi atau densitas probabilitas (kadang-kadang disebut fungsi diferensial).

Definisi 4.1: Kerapatan distribusi variabel acak kontinu X panggil fungsinya f (x) - turunan pertama dari fungsi distribusi F(x) :

f ( x ) = F "( x ) .

Dari definisi ini dapat disimpulkan bahwa fungsi distribusi adalah antiturunan dari densitas distribusi. Perhatikan bahwa untuk menggambarkan distribusi probabilitas dari variabel acak diskrit, kepadatan distribusi tidak berlaku.

Probabilitas memukul variabel acak kontinu dalam interval tertentu

Mengetahui densitas distribusi, kita dapat menghitung probabilitas bahwa variabel acak kontinu akan mengambil nilai yang termasuk dalam interval tertentu.

Dalil: Probabilitas bahwa variabel acak kontinu X akan mengambil nilai yang termasuk dalam interval (sebuah, b), sama dengan integral tertentu dari kerapatan distribusi, diambil dalam kisaran darisebuahsebelumb :

Bukti: Kami menggunakan rasio

P(sebuah ≤ Xb) = F(b) – F(sebuah).

Menurut rumus Newton-Leibniz,

Dengan demikian,

.

Sebagai P(sebuah ≤ X b)= P(sebuah X b) , maka kita akhirnya mendapatkan

.

Secara geometris, hasilnya dapat diartikan sebagai berikut: probabilitas bahwa variabel acak kontinu mengambil nilai yang termasuk dalam interval (sebuah, b), sama dengan luas trapesium lengkung yang dibatasi oleh sumbuSapi, kurva distribusif(x) dan langsungx = sebuahdanx = b.

Komentar: Secara khusus, jika f(x) adalah fungsi genap dan ujung-ujung intervalnya simetris terhadap titik asal, maka

.

Contoh. Mengingat kepadatan probabilitas dari variabel acak X

Tentukan peluang bahwa sebagai hasil dari tes X akan mengambil nilai yang termasuk dalam interval (0,5; 1).

Keputusan: Probabilitas yang diinginkan

.

Menemukan fungsi distribusi dari kepadatan distribusi yang diketahui

Mengetahui densitas distribusi f(x) , kita dapat menemukan fungsi distribusi F(x) sesuai rumus

.

Betulkah, F(x) = P(X x) = P(-∞ X x) .

Karena itu,

.

Dengan demikian, mengetahui kepadatan distribusi, Anda dapat menemukan fungsi distribusi. Tentu saja, dari fungsi distribusi yang diketahui, seseorang dapat menemukan kerapatan distribusi, yaitu:

f(x) = F"(x).

Contoh. Temukan fungsi distribusi untuk kepadatan distribusi yang diberikan:

Keputusan: Mari kita gunakan rumus

Jika sebuah x ≤ sebuah, kemudian f(x) = 0 , karena itu, F(x) = 0 . Jika sebuah sebuah , maka f(x) = 1/(b-a),

karena itu,

.

Jika sebuah x > b, kemudian

.

Jadi, fungsi distribusi yang diinginkan

Komentar: Kami telah memperoleh fungsi distribusi dari variabel acak terdistribusi seragam (lihat distribusi seragam).

Properti Kepadatan Distribusi

Properti 1: Kepadatan distribusi adalah fungsi non-negatif:

f ( x ) ≥ 0 .

Properti 2: Integral tak wajar dari kerapatan distribusi dalam rentang dari -∞ hingga sama dengan satu:

.

Komentar: Plot densitas distribusi disebut kurva distribusi.

Komentar: Kerapatan distribusi variabel acak kontinu juga disebut hukum distribusi.

Contoh. Kerapatan distribusi variabel acak memiliki bentuk sebagai berikut:

Temukan parameter konstan sebuah.

Keputusan: Kepadatan distribusi harus memenuhi kondisi , jadi kita mensyaratkan bahwa persamaan

.

Dari sini
. Mari kita cari integral tak tentu:

.

Kami menghitung integral tak wajar:

Jadi, parameter yang diperlukan

.

Kemungkinan arti dari kepadatan distribusi

Biarlah F(x) adalah fungsi distribusi dari variabel acak kontinu X. Dengan definisi kepadatan distribusi, f(x) = F"(x) , atau

Perbedaan F(x+∆х) -F(x) menentukan peluang bahwa X akan mengambil nilai milik interval (x, x+∆х). Jadi, batas rasio probabilitas bahwa variabel acak kontinu mengambil nilai yang termasuk dalam interval (x, x+∆х), dengan panjang interval ini (di →0) sama dengan nilai densitas distribusi di titik X.

Jadi fungsinya f(x) menentukan kepadatan distribusi probabilitas untuk setiap titik X. Diketahui dari kalkulus diferensial bahwa kenaikan suatu fungsi kira-kira sama dengan diferensial fungsi, yaitu

Sebagai F"(x) = f(x) dan dx = ∆ x, kemudian F(x+∆ x) - F(x) ≈ f(x)∆ x.

Arti probabilistik dari persamaan ini adalah sebagai berikut: probabilitas bahwa variabel acak mengambil nilai milik interval (x, x+∆ x) , kira-kira sama dengan hasil kali kerapatan peluang di titik x dan panjang interval.

Secara geometris, hasil ini dapat diartikan sebagai: probabilitas bahwa variabel acak mengambil nilai milik interval (x, x+∆ x), kira-kira sama dengan luas persegi panjang dengan alas dan tinggif(x).

5. Distribusi khas dari variabel acak diskrit

5.1. Distribusi Bernoulli

Definisi 5.1: Nilai acak X, yang mengambil dua nilai 1 dan 0 dengan probabilitas ("sukses") p dan (“kegagalan”) q, disebut Bernoulli:

, di mana k=0,1.

5.2. Distribusi binomial

Biarkan itu diproduksi n percobaan independen, di mana masing-masing peristiwa A mungkin atau mungkin tidak muncul. Probabilitas suatu peristiwa yang terjadi di semua percobaan adalah konstan dan sama dengan p(maka probabilitas non-penampilan q = 1 - p).

Pertimbangkan variabel acak X– jumlah kemunculan acara A dalam tes ini. Nilai acak X mengambil nilai 0,1,2,… n dengan probabilitas yang dihitung dengan rumus Bernoulli: , di mana k = 0,1,2,… n.

Definisi 5.2: Binomium disebut distribusi probabilitas yang ditentukan oleh rumus Bernoulli.

Contoh. Tiga tembakan dilepaskan ke sasaran, dan peluang mengenai setiap tembakan adalah 0,8. Kami menganggap variabel acak X- jumlah hit pada target. Temukan seri distribusinya.

Keputusan: Nilai acak X mengambil nilai 0,1,2,3 dengan probabilitas yang dihitung dengan rumus Bernoulli, di mana n = 3, p = 0,8 (kemungkinan pukulan), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (kemungkinan hilang).

Dengan demikian, deret distribusi memiliki bentuk sebagai berikut:

Gunakan rumus Bernoulli untuk nilai besar n agak sulit, oleh karena itu, untuk menghitung probabilitas yang sesuai, teorema Laplace lokal digunakan, yang memungkinkan seseorang untuk secara mendekati menemukan probabilitas suatu peristiwa yang terjadi secara tepat k sekali n percobaan jika jumlah percobaan cukup besar.

Teorema Laplace Lokal: Jika peluang p terjadinya suatu peristiwa A
bahwa acara A akan muncul di n tes dengan tepat k kali, kira-kira sama (semakin akurat, semakin banyak n) nilai fungsi
, di mana
, .

Catatan 1: Tabel yang berisi nilai fungsi
, diberikan dalam Lampiran 1, dan
. Fungsi adalah densitas dari distribusi normal standar (lihat distribusi normal).

Contoh: Tentukan peluang kejadian tersebut A datang tepat 80 sekali 400 percobaan jika probabilitas terjadinya peristiwa ini di setiap percobaan sama dengan 0,2.

Keputusan: Dengan kondisi n = 400, k = 80, p = 0,2 , q = 0,8 . Mari kita hitung nilai yang ditentukan oleh data masalah x:
. Menurut tabel di Lampiran 1, kami menemukan
. Maka probabilitas yang diinginkan adalah:

Jika Anda ingin menghitung peluang suatu kejadian A akan muncul di n tes setidaknya k 1 sekali dan tidak lebih k 2 kali, maka Anda perlu menggunakan teorema integral Laplace:

Teorema integral Laplace: Jika peluang p terjadinya suatu peristiwa A dalam setiap pengujian adalah konstan dan berbeda dari nol dan satu, maka probabilitas bahwa acara A akan muncul di n tes dari k 1 sebelum k 2 kali, kira-kira sama dengan integral tertentu

, di mana
dan
.

Dengan kata lain, peluang suatu kejadian A akan muncul di n tes dari k 1 sebelum k 2 kali, kira-kira sama dengan

di mana
, dan .

Catatan2: Fungsi
disebut fungsi Laplace (lihat distribusi normal). Tabel yang berisi nilai fungsi , diberikan dalam Lampiran 2, dan
.

Contoh: Tentukan peluang bahwa di antara 400 bagian yang dipilih secara acak tidak akan dicentang dari 70 hingga 100 bagian, jika probabilitas bahwa bagian tersebut tidak lulus pemeriksaan QCD sama dengan 0,2.

Keputusan: Dengan kondisi n = 400, p = 0,2 , q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . Mari kita hitung batas bawah dan batas atas integrasi:

;
.

Dengan demikian, kami memiliki:

Menurut tabel di Lampiran 2, kami menemukan bahwa
dan
. Maka peluang yang diperlukan adalah:

Catatan3: Dalam serangkaian percobaan independen (ketika n besar, p kecil), rumus Poisson digunakan tepat k kali untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa terjadi (lihat distribusi Poisson).

5.3. distribusi racun

Definisi 5.3: Variabel acak diskrit disebut racun, jika hukum distribusinya memiliki bentuk sebagai berikut:

, di mana
dan
(nilai konstan).

Contoh variabel acak Poisson:

Jumlah panggilan ke stasiun otomatis dalam interval waktu T.

Jumlah partikel peluruhan beberapa zat radioaktif selama periode waktu T.

Jumlah TV yang masuk bengkel dalam jangka waktu tertentu T di kota besar .

Banyaknya mobil yang akan tiba di garis berhenti suatu persimpangan di kota besar .

Catatan 1: Tabel khusus untuk menghitung probabilitas ini diberikan dalam Lampiran 3.

Catatan2: Dalam serangkaian percobaan independen (ketika n Bagus, p kecil) untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa terjadi secara tepat k setelah rumus Poisson digunakan:
, di mana
, yaitu, jumlah rata-rata kemunculan peristiwa tetap konstan.

Catatan3: Jika ada variabel acak yang didistribusikan menurut hukum Poisson, maka pasti ada variabel acak yang didistribusikan menurut hukum eksponensial dan sebaliknya (lihat distribusi eksponensial).

Contoh. Pabrik dikirim ke pangkalan 5000 produk berkualitas baik. Probabilitas bahwa produk akan rusak dalam perjalanan sama dengan 0,0002 . Temukan probabilitas bahwa tepat tiga item yang tidak dapat digunakan akan tiba di pangkalan.

Keputusan: Dengan kondisi n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Ayo temukan λ: λ = np= 5000 0,0002 = 1.

Menurut rumus Poisson, probabilitas yang diinginkan sama dengan:

, di mana variabel acak X- jumlah produk cacat.

5.4. Distribusi geometris

Biarkan percobaan independen dibuat, di mana masing-masing probabilitas terjadinya suatu peristiwa TETAPI adalah sama dengan p(0p

q = 1 - p. Uji coba berakhir segera setelah acara muncul TETAPI. Jadi, jika suatu peristiwa TETAPI muncul di k-tes, lalu di sebelumnya k – 1 Itu tidak muncul dalam tes.

Dilambangkan dengan X variabel acak diskrit - jumlah percobaan yang harus dilakukan sebelum kejadian pertama terjadi TETAPI. Jelas, nilai-nilai yang mungkin X adalah bilangan asli x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ...

Biarkan yang pertama k-1 acara tes TETAPI tidak datang, tapi k tes th muncul. Peluang "peristiwa kompleks" ini, menurut teorema perkalian peluang peristiwa independen, P (X = k) = q k -1 p.

Definisi 5.4: Sebuah variabel acak diskrit memiliki distribusi geometris jika hukum distribusinya memiliki bentuk sebagai berikut:

P ( X = k ) = q k -1 p , di mana
.

Catatan 1: Asumsi k = 1,2,… , kita mendapatkan deret geometri dengan suku pertama p dan penyebut q (0q. Untuk alasan ini, distribusi disebut geometris.

Catatan2: Baris
konvergen dan jumlahnya sama dengan satu. Memang, jumlah deretnya adalah
.

Contoh. Pistol menembak sasaran sampai pukulan pertama. Peluang mengenai sasaran p = 0,6 . Temukan probabilitas bahwa pukulan akan terjadi pada tembakan ketiga.

Keputusan: Dengan kondisi p = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Probabilitas yang diinginkan sama dengan:

P (X = 3) = 0,4 2 0,6 = 0,096.

5.5. Distribusi hipergeometrik

Pertimbangkan masalah berikut. Biarkan pesta keluar N produk yang tersedia M standar (MN). dipilih secara acak dari pesta n produk (setiap produk dapat dihapus dengan probabilitas yang sama), dan produk yang dipilih tidak dikembalikan ke batch sebelum pemilihan berikutnya (oleh karena itu, rumus Bernoulli tidak berlaku di sini).

Dilambangkan dengan X variabel acak - angka m produk standar di antara n terpilih. Maka nilai yang mungkin X akan menjadi 0, 1, 2,…, menit ; Mari kita beri label dan... pada nilai variabel independen (Fonds), gunakan tombol ( bab ...

Kompleks pendidikan dan metodologis untuk disiplin "Lokakarya psikologi umum"

Kompleks pelatihan dan metodologi

... metodis instruksi pada melakukan kerja praktek 5.1 metodis rekomendasi pada implementasi proyek pelatihan 5.2 metodis rekomendasi pada... sensitivitas), satu dimensi dan multidimensi... acak komponen dalam ukuran... dengan bagian"Pertunjukan...

Kompleks pendidikan dan metodologis dalam disiplin fisika (nama)

Kompleks pelatihan dan metodologi

... bagian dalam buku pelajaran. Penyelesaian masalah pada setiap topik. elaborasi metodis instruksi untuk pekerjaan laboratorium pada ... acak dan kesalahan pengukuran instrumental 1.8 Subyek kontrol bekerja dan metodis instruksi pada... Partikel dalam satu dimensi lubang potensial. ...

Pedoman kerja laboratorium dalam disiplin ilmu informatika

Pedoman

... metodis instruksi untuk PEKERJAAN LABORATORIUM pada ... besarnya, dan jumlah terbesar kuantitas... Himpunan acak angka... 3.0 4.0 3.0 -2.5 14.3 16.2 18.0 1.0 a) satu dimensi larik b) larik dua dimensi Gambar. 2– File... dijelaskan dalam bagian pelaksanaan setelah...

Kepadatan distribusi kemungkinan X panggil fungsinya f(x) adalah turunan pertama dari fungsi distribusi F(x):

Konsep kepadatan distribusi probabilitas dari variabel acak X untuk kuantitas diskrit tidak berlaku.

Kepadatan probabilitas f(x) disebut fungsi distribusi diferensial:

Properti 1. Kepadatan distribusi adalah nilai non-negatif:

Properti 2. Integral tak wajar dari kerapatan distribusi dalam rentang dari sampai sama dengan satu:

Contoh 1.25. Mengingat fungsi distribusi dari variabel acak kontinu X:

f(x).

Keputusan: Kepadatan distribusi sama dengan turunan pertama dari fungsi distribusi:

1. Mengingat fungsi distribusi dari variabel acak kontinu X:

Cari kepadatan distribusi.

2. Fungsi distribusi dari variabel acak kontinu diberikan X:

Temukan kerapatan distribusi f(x).

1.3. Karakteristik numerik dari acak kontinu

kuantitas

Nilai yang diharapkan variabel acak kontinu X, nilai yang mungkin dimiliki oleh seluruh sumbu Oh, ditentukan oleh persamaan:

Integral diasumsikan konvergen mutlak.

a, b), kemudian:

f(x) adalah densitas distribusi variabel acak.

Penyebaran variabel acak kontinu X, nilai yang mungkin dimiliki oleh seluruh sumbu, ditentukan oleh persamaan:

Kasus spesial. Jika nilai variabel acak termasuk dalam interval ( a, b), kemudian:

Kemungkinan bahwa X akan mengambil nilai-nilai milik interval ( a, b), ditentukan oleh persamaan:

.

Contoh 1.26. Variabel acak kontinu X

Temukan ekspektasi matematis, varians, dan probabilitas memukul variabel acak X dalam interval (0; 0.7).

Keputusan: Variabel acak didistribusikan selama interval (0,1). Mari kita definisikan kerapatan distribusi dari variabel acak kontinu X:

a) Harapan matematis :

b) Dispersi

di)

Tugas untuk pekerjaan mandiri:

1. Variabel acak X diberikan oleh fungsi distribusi:

M(x);

b) dispersi D(x);

X ke dalam interval (2,3).

2. Variabel acak X

Temukan: a) ekspektasi matematis M(x);

b) dispersi D(x);

c) tentukan peluang memukul variabel acak X dalam interval (1; 1.5).

3. Nilai acak X diberikan oleh fungsi distribusi integral:

Temukan: a) ekspektasi matematis M(x);

b) dispersi D(x);

c) tentukan peluang memukul variabel acak X dalam interval.

1.4. Hukum distribusi variabel acak kontinu

1.4.1. Distribusi seragam

Variabel acak kontinu X memiliki distribusi seragam pada interval [ a, b], jika pada segmen ini kerapatan distribusi probabilitas variabel acak konstan, dan di luarnya sama dengan nol, yaitu:

Beras. 4.

; ; .

Contoh 1.27. Sebuah bus dengan rute tertentu bergerak beraturan dengan selang waktu 5 menit. Tentukan peluang munculnya variabel acak terdistribusi seragam X– waktu tunggu bus kurang dari 3 menit.

Keputusan: Nilai acak X- terdistribusi secara merata selama interval .

Kepadatan Probabilitas: .

Agar waktu tunggu tidak lebih dari 3 menit, penumpang harus tiba di halte dalam waktu 2 hingga 5 menit setelah keberangkatan bus sebelumnya, yaitu. nilai acak X harus berada dalam interval (2;5). Itu. probabilitas yang diinginkan:

Tugas untuk pekerjaan mandiri:

1. a) temukan ekspektasi matematis dari variabel acak X terdistribusi merata dalam interval (2; 8);

b) menemukan varians dan standar deviasi dari variabel acak X, terdistribusi seragam dalam interval (2;8).

2. Jarum menit dari jam listrik melompat di akhir setiap menit. Temukan peluang bahwa pada saat tertentu jam akan menunjukkan waktu yang berbeda dari waktu sebenarnya tidak lebih dari 20 detik.

1.4.2. Distribusi eksponensial (eksponensial)

Variabel acak kontinu X terdistribusi secara eksponensial jika kerapatan peluangnya berbentuk:

di mana adalah parameter dari distribusi eksponensial.

Dengan demikian

Beras. 5.

Karakteristik numerik:

Contoh 1.28. Nilai acak X- waktu pengoperasian bola lampu - memiliki distribusi eksponensial. Tentukan probabilitas bahwa lampu akan bertahan setidaknya 600 jam jika umur lampu rata-rata adalah 400 jam.

Keputusan: Menurut kondisi masalah, harapan matematis dari variabel acak X sama dengan 400 jam, jadi:

;

Probabilitas yang diinginkan , dimana

Akhirnya:

Tugas untuk pekerjaan mandiri:

1. Tulis fungsi densitas dan distribusi dari hukum eksponensial, jika parameter .

2. Variabel acak X

Temukan harapan matematis dan varians dari suatu kuantitas X.

3. Nilai acak X diberikan oleh fungsi distribusi probabilitas:

Temukan ekspektasi matematis dan simpangan baku dari variabel acak.

1.4.3. Distribusi normal

Normal disebut distribusi probabilitas dari variabel acak kontinu X, yang kerapatannya berbentuk:

di mana sebuah– harapan matematis, – simpangan baku X.

Kemungkinan bahwa X akan mengambil nilai milik interval:

, di mana

adalah fungsi Laplace.

Distribusi yang memiliki ; , yaitu dengan kerapatan peluang disebut standar.

Beras. 6.

Probabilitas bahwa nilai absolut deviasi kurang dari angka positif:

.

Khususnya, ketika a = 0 persamaan benar:

Contoh 1.29. Nilai acak X didistribusikan secara normal. Standar deviasi. Temukan probabilitas bahwa penyimpangan variabel acak dari ekspektasi matematisnya dalam nilai absolut akan kurang dari 0,3.

Keputusan: .

Tugas untuk pekerjaan mandiri:

1. Tulislah kerapatan peluang dari distribusi normal suatu peubah acak X, mengetahui bahwa M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Ekspektasi matematis dan simpangan baku dari variabel acak terdistribusi normal X berturut-turut adalah 20 dan 5. Tentukan peluang bahwa sebagai hasil dari tes X akan mengambil nilai yang terdapat pada interval (15;20).

3. Kesalahan pengukuran acak tunduk pada hukum normal dengan standar deviasi mm dan ekspektasi matematis a = 0. Temukan probabilitas bahwa kesalahan dari setidaknya satu dari 3 pengukuran independen tidak melebihi 4 mm dalam nilai absolut.

4. Beberapa zat ditimbang tanpa kesalahan sistematis. Kesalahan penimbangan acak tunduk pada hukum normal dengan standar deviasi r. Temukan probabilitas bahwa penimbangan akan dilakukan dengan kesalahan tidak melebihi 10 g dalam nilai absolut.