Lulus ujian negara terpadu tidak hanya merupakan keharusan pada akhir pendidikan menengah umum, tetapi juga bagian dari ujian masuk ke universitas. Anak-anak sekolah yang memutuskan untuk memasuki spesialisasi dengan bias matematika atau teknis tidak hanya lulus matematika tingkat dasar, tetapi juga tingkat profil. Pertimbangkan fitur-fiturnya, waktu dan verifikasi, dan beberapa poin yang terkait dengan hasil.

Prosedur untuk melakukan ujian ditetapkan oleh Undang-Undang Federal No. 273 "Tentang Pendidikan di Federasi Rusia".

Kapan hasil ujian akan diketahui?

Jadwal resmi menentukan penyerahan GUNAKAN dalam matematika 2018 arah profil pada hari Jumat, 1 Juni. Sebagai hari cadangan tanggal disorot di loop utama 25 Juni, dan 2 Juli tetap menjadi hari senggang untuk pengiriman semua barang.

Pemisahan ujian matematika pada tingkat yang terjadi tahun lalu. Mereka berbeda dengan beberapa alasan:

• Sistem gradasi. Tingkat dasar pengetahuan subjek dinilai pada skala lima poin (3 poin ditetapkan sebagai minimum). Penilaian pada subjek profil dievaluasi pada skala 100 poin;
• Perbedaan selanjutnya adalah dalam penerimaan ujian tingkat dasar dan profil untuk masuk ke lembaga pendidikan tingkat profesional senior dan menengah. Jadi, tingkat dasar sudah cukup untuk perguruan tinggi, sekolah, universitas seni liberal. Kehadiran matematika dalam ujian masuk untuk spesialisasi teknis mengharuskan pelamar untuk lulus tingkat profil;
• Berbeda struktur ujian. Basis terdiri dari 20 masalah dengan jawaban singkat. Ujian profil jauh lebih sulit dan terdiri dari 2 bagian.

Sistem USE memungkinkan lulusan sekolah untuk mengambil bagian dasar dan profil dari subjek tanpa batasan. Ini secara signifikan meningkatkan peluang masuk ke universitas.

Memproses hasil ujian memiliki kerangka waktu dan urutan tertentu:

• Pemindaian dan pemrosesan formulir di wilayah - hingga 4 hari;
• Pemrosesan hasil di tingkat federal - hingga 7 hari;
• Mengirim hasil ke wilayah - 1 hari;
• Konfirmasi hasil oleh komite ujian negara - tidak lebih dari 1 hari;
• Pengumuman hasil - 1 hari.

Dengan demikian, jangka waktu pengecekan dan penerbitan hasil tidak lebih dari 2 minggu. Hasil USE 2018 dalam matematika pada level profile akan diketahui paling lambat tanggal 17 Juni.

Bagaimana cara mengetahui hasil Anda?

Cari tahu hasil ujian terakhir dapat dilakukan dengan beberapa cara:

• Portal resmi Unified State Examination www.ege.edu.ru;
• Pada stan informasi di sekolah atau lembaga lain tempat ujian diadakan;
• Di departemen atau komite pendidikan regional;
• Sejumlah wilayah membuat situs web atau hotline khusus.

Periksa skor Anda tersedia jika tersedia:

• Nama lengkap subjek;
• Nomor paspor atau dokumen lain yang digunakan selama pemeriksaan identitas;
• Kode identifikasi yang diberikan kepada setiap peserta ujian.

Informasi tentang hasil ujian ini gratis dan diberikan gratis kepada peserta USE dan orang tua mereka.

Ujian USE pra-waktu dalam matematika

Sejumlah anak sekolah telah lulus USE dalam matematika dalam apa yang disebut periode awal. Partisipasi di dalamnya diperbolehkan jika siswa tidak dapat mengambil bagian dalam panggung utama. Alasannya mungkin:

• Perawatan yang direncanakan;
• Beristirahat di tempat yang meningkatkan kesehatan;
• Partisipasi dalam kompetisi, olimpiade, dan acara pendidikan atau kreatif lainnya.

Pada tahun 2017, pengiriman awal matematika terjadi 31 Maret dan 14 April(hari reservasi). 4,8 ribu anak sekolah lulus tingkat dasar, dan sekitar 17 ribu anak khusus.

Menurut rencana, hasil USE awal dalam matematika 2017 seharusnya tersedia pada 11 April, tetapi diumumkan jauh lebih awal - pada tanggal 7.

Di mana untuk melihat pekerjaan Anda?

Anda dapat melihat pekerjaan Anda setelah lulus ujian dalam bentuk elektronik. Pemindaiannya tersedia di akun pribadi Anda di portal USE. Akses ke sana dikeluarkan ketika:

• adanya kode identitas peserta ujian negara kesatuan;
• Nama lengkap dan nomor paspor.

Jika, setelah pengumuman hasil, peserta tidak setuju dengan poin yang diberikan, maka ia telah 2 hari untuk mengajukan banding kepada Panitia Pemeriksa. Aplikasi ini ditulis dalam 2 salinan dan diserahkan ke komisi untuk dipertimbangkan. Pada tanggal 5 Juni, solusi untuk masalah akan ditinjau kembali dan keputusan akan dibuat untuk mengubah penilaian atau mengkonfirmasinya.

Bagaimana penilaian ujian? Sistem USE untuk mengevaluasi hasil menggunakan skor utama dan tes, serta skala khusus untuk menerjemahkannya satu sama lain. Solusi KIM (bahan kontrol dan pengukuran) dievaluasi di titik-titik utama dan kemudian ditransfer sesuai tabel ke titik-titik uji. Hasil akhir dari ujian adalah jumlah poin tes yang dicetak.

Pengembangan skala untuk mengubah nilai dasar menjadi nilai ujian dilakukan setiap tahun dan memperhitungkan tingkat persiapan umum anak sekolah.

Untuk sukses lulus profil matematika tahun 2018 Anda perlu mengetikkan minimum:

• 6 poin utama;
• 27 titik uji.

Tanggal mengulang ujian matematika tahun 2018

Ada nomor tenggat waktu tambahan untuk lulus ujian. Mereka tersedia jika, untuk alasan yang baik, siswa tidak dapat lulus mata pelajaran pada hari utama. Untuk matematika profil, ini adalah:

• 25 Juni– hari cadangan dalam kerangka panggung utama;
• 2 Juli- hari cadangan dari bagian utama ujian, ketika Anda dapat lulus mata pelajaran apa pun.

Kesempatan untuk mengambil kembali profil matematika pada bulan September memiliki beberapa syarat:

• Jika seorang siswa telah lulus matematika dasar, maka dia tidak akan diizinkan untuk mengambil kembali tingkat profil tahun ini. Kesempatan untuk mengikuti kembali ujian hanya akan muncul tahun depan;
• Jika kedua ujian matematika (dasar dan profil) gagal, siswa dapat memutuskan mana yang akan dia ulangi.

Ulangan matematika diangkat pada bulan September 7 September. 15 September terdaftar sebagai hari cadangan.

Kelas 11

Kondisi Tugas

1. Harga ketel listrik naik 14% dan berjumlah 1.596 rubel. Berapa harga ketel sebelum harga naik?
2. Grafik menunjukkan ketergantungan torsi mesin pada jumlah putaran per menit. Jumlah putaran per menit diplot pada sumbu absis, dan torsi dalam N∙m diplot pada sumbu ordinat. Kecepatan kendaraan (dalam km/jam) diperkirakan dengan rumus di mana n adalah jumlah putaran mesin per menit. Berapa kecepatan minimum mobil harus bergerak agar torsi menjadi 120 N∙m? Berikan jawaban Anda dalam kilometer per jam.
   
3. Sebuah segitiga ABC digambarkan pada kertas kotak-kotak dengan ukuran sel x. Hitunglah panjang tingginya jika jatuh ke sisi BC.
4. Konferensi ilmiah diadakan dalam 5 hari. Sebanyak 75 laporan direncanakan - tiga hari pertama, masing-masing 17 laporan, sisanya didistribusikan secara merata antara hari keempat dan kelima. Pada konferensi tersebut direncanakan laporan oleh Profesor M. Urutan laporan ditentukan dengan undian. Berapa probabilitas bahwa laporan Profesor M. akan dijadwalkan pada hari terakhir konferensi?
5. Cari akar persamaan
6. Segi empat ABCD tertulis dalam sebuah lingkaran. Sudut ABC sama dengan 105 o , sudut CAD sama dengan 35 o . Tentukan sudut ABD. Berikan jawaban Anda dalam derajat.
7. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari suatu fungsi yang didefinisikan pada interval . Temukan jumlah titik maksimum dari fungsi yang termasuk dalam segmen tersebut.
   
8. Bola itu tertulis di dalam sebuah silinder. Luas permukaan bola adalah 111. Temukan luas permukaan total silinder.
9. Temukan nilai ekspresi
10. Untuk memperoleh bayangan bola lampu yang diperbesar pada layar, digunakan lensa cembung dengan panjang fokus utama cm di laboratorium.Jarak dari lensa ke bola lampu dapat bervariasi dari 30 sampai 50 cm, dan jarak dari lensa ke layar - dari 150 hingga 180 cm layar akan jernih jika rasionya terpenuhi. Tunjukkan jarak terkecil dari lensa tempat bola lampu dapat diletakkan sehingga bayangannya di layar terlihat jelas. Nyatakan jawaban Anda dalam sentimeter.
11. Jarak antara dermaga A dan B adalah 120 km. Dari A ke B, sebuah rakit berangkat ke sungai, dan satu jam kemudian sebuah kapal pesiar berangkat setelahnya, yang, setelah tiba di titik B, segera berbalik dan kembali ke A. Pada saat itu, rakit telah menempuh 24 km . Tentukan kecepatan kapal pesiar di air yang tenang jika kecepatan sungai adalah 2 km/jam. Berikan jawaban Anda dalam km/jam.
12. Temukan titik maksimum dari fungsi tersebut.
13. a) Selesaikan persamaan ; b) Tunjukkan akar-akar persamaan ini yang termasuk dalam segmen tersebut.
14. Titik M dan N masing-masing ditandai pada tepi AB dan BC dari piramida segitiga ABCD, dengan AM:MB = CN:NB = 3:1. Titik P dan Q masing-masing adalah titik tengah sisi DA dan DC.
    a) Buktikan bahwa titik-titik P,Q,M dan N terletak pada bidang yang sama;
    b) Temukan dalam perbandingan berapa bidang ini membagi volume piramida.
15. Selesaikan pertidaksamaan
16. Titik E adalah titik tengah sisi samping CD dari trapesium ABCD. Pada sisinya, AB mengambil titik K sehingga garis SC dan AE sejajar. Segmen SK dan BE berpotongan di titik O.
    a) Buktikan bahwa CO=CO.
    b) Tentukan perbandingan alas trapesium BC: AD, jika luas segitiga BCK adalah 9/64 dari luas seluruh trapesium ABCD.
17. Pada bulan Juli, direncanakan untuk mengambil pinjaman dari bank untuk jumlah tertentu. Syarat-syarat pengembaliannya adalah sebagai berikut:
    - setiap bulan Januari utang meningkat sebesar r% dibandingkan akhir tahun sebelumnya;
    - Dari bulan Februari sampai Juni setiap tahun, sebagian dari hutang harus dilunasi.
    Tentukan r jika diketahui bahwa jika Anda membayar masing-masing 777.600 rubel, maka pinjaman akan dilunasi dalam 4 tahun, dan jika Anda membayar 1.317.600 rubel setiap tahun, maka pinjaman akan dilunasi dalam 2 tahun?
18. Temukan semua nilai parameter untuk setiap persamaan yang memiliki tepat satu akar pada interval .
19. Masing-masing dari 32 siswa menulis salah satu dari dua tes, atau menulis kedua tes. Untuk setiap pekerjaan, dimungkinkan untuk mendapatkan jumlah poin bilangan bulat dari 0 hingga 20 inklusif. Untuk masing-masing dari dua kertas ujian secara terpisah, skor rata-ratanya adalah 14. Kemudian setiap siswa menyebutkan nilai tertingginya (jika siswa menulis satu makalah, dia menyebutkan nilainya). Rata-rata aritmatika dari skor yang disebutkan adalah sama dengan S.
    a) Berikan contoh ketika S<14
    b) Bisakah nilai S sama dengan 17?
    c) Berapakah nilai terkecil yang dapat diambil S jika kedua tes tersebut ditulis oleh 12 siswa?

pendidikan umum menengah

Jalur UMK G.K. Muravina. Aljabar dan permulaan analisis matematika (10-11) (dalam)

Jalur UMK Merzlyak. Aljabar dan Awal Analisis (10-11) (U)

Matematika

Persiapan untuk ujian matematika (tingkat profil): tugas, solusi, dan penjelasan

Kami menganalisis tugas dan memecahkan contoh dengan guru

Makalah ujian tingkat profil berlangsung 3 jam 55 menit (235 menit).

Ambang Minimum- 27 poin.

Kertas ujian terdiri dari dua bagian, yang berbeda dalam isi, kompleksitas dan jumlah tugas.

Fitur yang menentukan dari setiap bagian dari pekerjaan adalah bentuk tugas:

• bagian 1 berisi 8 tugas (tugas 1-8) dengan jawaban singkat berupa bilangan bulat atau pecahan desimal akhir;
• bagian 2 berisi 4 tugas (tugas 9-12) dengan jawaban singkat berupa bilangan bulat atau pecahan desimal akhir dan 7 tugas (tugas 13-19) dengan jawaban terperinci (catatan lengkap keputusan dengan alasan untuk tindakan yang dilakukan).

Panova Svetlana Anatolievna, guru matematika kategori tertinggi sekolah, pengalaman kerja 20 tahun:

“Untuk mendapatkan ijazah sekolah, seorang lulusan harus lulus dua ujian wajib berupa UN Unified State, salah satunya matematika. Sesuai dengan Konsep Pengembangan Pendidikan Matematika di Federasi Rusia, Ujian Negara Terpadu dalam matematika dibagi menjadi dua tingkatan: dasar dan khusus. Hari ini kami akan mempertimbangkan opsi untuk tingkat profil.

Tugas nomor 1- memeriksa kemampuan peserta USE untuk menerapkan keterampilan yang diperoleh selama kelas 5-9 dalam matematika dasar dalam kegiatan praktis. Peserta harus memiliki kemampuan komputasi, dapat bekerja dengan bilangan rasional, dapat membulatkan pecahan desimal, dapat mengubah satu satuan ukuran ke satuan lainnya.

Contoh 1 Di apartemen tempat Petr tinggal, meteran air dingin (meter) dipasang. Pada 1 Mei, meter menunjukkan konsumsi 172 meter kubik. m air, dan pada tanggal 1 Juni - 177 meter kubik. m. Berapa jumlah yang harus dibayar Peter untuk air dingin bulan Mei, jika harga 1 cu. m air dingin adalah 34 rubel 17 kopecks? Berikan jawaban Anda dalam rubel.

Keputusan:

1) Temukan jumlah air yang dihabiskan per bulan:

177 - 172 = 5 (m3)

2) Temukan berapa banyak uang yang akan dibayarkan untuk air yang dihabiskan:

34,17 5 = 170,85 (gosok)

Menjawab: 170,85.

Tugas nomor 2- adalah salah satu tugas paling sederhana dari ujian. Mayoritas lulusan berhasil mengatasinya, yang menunjukkan kepemilikan definisi konsep fungsi. Jenis tugas No. 2 menurut pengkode persyaratan adalah tugas untuk menggunakan pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh dalam kegiatan praktis dan kehidupan sehari-hari. Tugas No. 2 terdiri dari mendeskripsikan, menggunakan fungsi, berbagai hubungan nyata antara besaran dan menginterpretasikan grafiknya. Tugas nomor 2 menguji kemampuan untuk mengekstrak informasi yang disajikan dalam tabel, diagram, grafik. Lulusan harus mampu menentukan nilai suatu fungsi dengan nilai argumen dengan berbagai cara menetapkan fungsi dan menggambarkan perilaku dan sifat-sifat fungsi menurut grafiknya. Selain itu juga diperlukan untuk dapat menemukan nilai terbesar atau terkecil dari grafik fungsi dan membangun grafik dari fungsi yang dipelajari. Kesalahan yang dilakukan bersifat acak dalam membaca kondisi soal, membaca diagram.

#ADVERTISING_INSERT#

Contoh 2 Angka tersebut menunjukkan perubahan nilai tukar satu saham perusahaan pertambangan pada semester I-April 2017. Pada 7 April, pengusaha itu membeli 1.000 saham perusahaan ini. Pada 10 April, ia menjual tiga perempat saham yang dibeli, dan pada 13 April ia menjual semua sisanya. Berapa kerugian yang dialami pengusaha sebagai akibat dari operasi ini?

Keputusan:

2) 1000 3/4 = 750 (saham) - merupakan 3/4 dari semua saham yang dibeli.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rubel) - pengusaha menerima setelah penjualan 1000 saham.

7) 340.000 - 325.000 = 15.000 (rubel) - pengusaha hilang sebagai akibat dari semua operasi.

Menjawab: 15000.

Tugas nomor 3- adalah tugas tingkat dasar bagian pertama, memeriksa kemampuan untuk melakukan tindakan dengan bentuk geometris sesuai dengan konten kursus "Planimetri". Tugas 3 menguji kemampuan menghitung luas bangun di atas kertas kotak-kotak, kemampuan menghitung ukuran derajat sudut, menghitung keliling, dll.

Contoh 3 Temukan luas persegi panjang yang digambar di atas kertas kotak-kotak dengan ukuran sel 1 cm kali 1 cm (lihat gambar). Berikan jawaban Anda dalam sentimeter persegi.

Keputusan: Untuk menghitung luas dari gambar ini, Anda dapat menggunakan rumus Puncak:

Untuk menghitung luas persegi panjang ini, kami menggunakan rumus Puncak:

S= B +	G
	2

di mana V = 10, G = 6, oleh karena itu

S = 18 +	6
	2

Menjawab: 20.

Baca juga: GUNAKAN dalam fisika: memecahkan masalah tentang getaran

Tugas nomor 4- tugas mata kuliah "Teori Probabilitas dan Statistik". Kemampuan untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa dalam situasi yang paling sederhana diuji.

Contoh 4 Ada 5 titik merah dan 1 titik biru pada lingkaran. Tentukan poligon mana yang lebih besar: poligon dengan semua simpul merah, atau poligon dengan salah satu simpul biru. Dalam jawaban Anda, tunjukkan berapa lebih banyak dari yang satu daripada yang lain.

Keputusan: 1) Kami menggunakan rumus untuk jumlah kombinasi dari n elemen oleh k:

semua simpulnya berwarna merah.

3) Satu segi lima dengan semua simpul merah.

4) 10 + 5 + 1 = 16 poligon dengan semua simpul merah.

yang simpulnya berwarna merah atau dengan satu simpul berwarna biru.

yang simpulnya berwarna merah atau dengan satu simpul berwarna biru.

8) Satu segi enam yang simpulnya berwarna merah dengan satu simpul berwarna biru.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 poligon yang memiliki semua simpul merah atau satu simpul biru.

10) 42 - 16 = 26 poligon yang menggunakan titik biru.

11) 26 - 16 = 10 poligon - berapa banyak poligon, di mana salah satu simpulnya adalah titik biru, lebih dari poligon, di mana semua simpulnya hanya berwarna merah.

Menjawab: 10.

Tugas nomor 5- tingkat dasar bagian pertama menguji kemampuan untuk memecahkan persamaan paling sederhana (irasional, eksponensial, trigonometri, logaritma).

Contoh 5 Selesaikan Persamaan 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .

Keputusan. Bagi kedua ruas persamaan ini dengan 5 3 + X 0, kita dapatkan

2 3 + x	= 0,4 atau		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

dari mana hasilnya 3 + x = 1, x = –2.

Menjawab: –2.

Tugas nomor 6 dalam planimetri untuk menemukan besaran geometris (panjang, sudut, luas), pemodelan situasi nyata dalam bahasa geometri. Studi tentang model yang dibangun menggunakan konsep dan teorema geometri. Sumber kesulitannya adalah, sebagai suatu peraturan, ketidaktahuan atau penerapan yang salah dari teorema planimetri yang diperlukan.

Luas segitiga ABC sama dengan 129. DE- garis tengah sejajar sisi AB. Cari luas trapesium TEMPAT TIDUR.

Keputusan. Segi tiga CDE mirip segitiga TAKSI di dua sudut, karena sudut di simpul C umum, sudut CDE sama dengan sudut TAKSI sebagai sudut-sudut yang bersesuaian di DE || AB garis potong AC. Sebagai DE adalah garis tengah segitiga dengan syarat, kemudian dengan sifat garis tengah | DE = (1/2)AB. Jadi koefisien kemiripannya adalah 0,5. Luas daerah dari bangun-bangun yang serupa dihubungkan sebagai kuadrat dari koefisien kesamaan, jadi

Karena itu, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Tugas nomor 7- memeriksa penerapan turunan untuk mempelajari fungsi. Untuk implementasi yang sukses, kepemilikan konsep turunan yang bermakna dan non-formal diperlukan.

Contoh 7 Ke grafik fungsi kamu = f(x) pada titik dengan absis x 0 sebuah garis singgung ditarik, yang tegak lurus terhadap garis lurus yang melalui titik-titik (4; 3) dan (3; -1) dari grafik ini. Menemukan f′( x 0).

Keputusan. 1) Mari kita gunakan persamaan garis lurus yang melalui dua titik yang diberikan dan temukan persamaan garis lurus yang melalui titik (4; 3) dan (3; -1).

(kamu – kamu 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(kamu 2 – kamu 1)

(kamu – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(kamu – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–kamu + 3 = –4x+ 16| · (-satu)

kamu – 3 = 4x – 16

kamu = 4x– 13, dimana k 1 = 4.

2) Temukan kemiringan garis singgung k 2 yang tegak lurus dengan garis kamu = 4x– 13, dimana k 1 = 4, menurut rumus:

3) Kemiringan garis singgung adalah turunan dari fungsi pada titik kontak. Cara, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Menjawab: –0,25.

Tugas nomor 8- memeriksa pengetahuan stereometri dasar di antara peserta ujian, kemampuan untuk menerapkan rumus untuk menemukan luas permukaan dan volume gambar, sudut dihedral, membandingkan volume gambar yang sama, dapat melakukan tindakan dengan angka geometris, koordinat dan vektor , dll.

Volume kubus yang dibatasi di sekitar bola adalah 216. Temukan jari-jari bola.

Keputusan. 1) V kubus = sebuah 3 (di mana sebuah adalah panjang rusuk kubus), jadi

sebuah 3 = 216

sebuah = 3 √216

2) Karena bola dimasukkan ke dalam kubus, itu berarti panjang diameter bola sama dengan panjang tepi kubus, oleh karena itu d = sebuah, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Tugas nomor 9- mengharuskan lulusan untuk mengubah dan menyederhanakan ekspresi aljabar. Tugas No. 9 tingkat kerumitan yang meningkat dengan jawaban singkat. Tugas dari bagian "Perhitungan dan transformasi" di USE dibagi menjadi beberapa jenis:

transformasi ekspresi rasional numerik;

transformasi ekspresi dan pecahan aljabar;

transformasi ekspresi irasional numerik/huruf;

tindakan dengan derajat;

transformasi ekspresi logaritmik;

1. konversi ekspresi trigonometri numerik/huruf.

Contoh 9 Hitung tgα jika diketahui cos2α = 0,6 dan

3π	< α < π.
4

Keputusan. 1) Mari kita gunakan rumus argumen ganda: cos2α = 2 cos 2 - 1 dan temukan

tan 2 =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2		0,8		8		4		4		4

Jadi, tan 2 = ± 0,5.

3) Dengan kondisi

3π	< α < π,
4

maka adalah sudut dari kuartal kedua dan tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Menjawab: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Tugas nomor 10- memeriksa kemampuan siswa untuk menggunakan pengetahuan dan keterampilan awal yang diperoleh dalam kegiatan praktis dan kehidupan sehari-hari. Kita dapat mengatakan bahwa ini adalah masalah dalam fisika, dan bukan dalam matematika, tetapi semua rumus dan jumlah yang diperlukan diberikan dalam kondisi. Tugas direduksi menjadi penyelesaian persamaan linier atau kuadrat, atau pertidaksamaan linier atau kuadrat. Oleh karena itu, diperlukan kemampuan untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan tersebut, serta menentukan jawabannya. Jawabannya harus dalam bentuk bilangan bulat atau pecahan desimal akhir.

Dua benda bermassa m= masing-masing 2 kg, bergerak dengan kecepatan yang sama v= 10 m/s membentuk sudut 2α satu sama lain. Energi (dalam joule) yang dilepaskan selama tumbukan lenting mutlak ditentukan oleh persamaan Q = mv 2 dosa 2 . Pada sudut terkecil 2α (dalam derajat) berapakah benda harus bergerak sehingga setidaknya 50 joule dilepaskan sebagai akibat dari tumbukan?
Keputusan. Untuk menyelesaikan masalah, kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan Q 50, pada interval 2α (0 °; 180 °).

mv 2 dosa 2 50

2 10 2 dosa 2 50

200 sin2α 50

Karena (0 °; 90 °), kami hanya akan menyelesaikan

Kami mewakili solusi dari ketidaksetaraan secara grafis:

Karena dengan asumsi ∈ (0°; 90°), berarti 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Tugas nomor 11- khas, tetapi ternyata sulit bagi siswa. Sumber utama kesulitan adalah konstruksi model matematika (membuat persamaan). Tugas nomor 11 menguji kemampuan memecahkan masalah kata.

Contoh 11. Selama liburan musim semi, siswa kelas 11 Vasya harus menyelesaikan 560 soal latihan untuk mempersiapkan ujian. Pada 18 Maret, pada hari terakhir sekolah, Vasya memecahkan 5 masalah. Kemudian setiap hari dia memecahkan jumlah masalah yang sama lebih banyak dari hari sebelumnya. Tentukan berapa banyak masalah yang diselesaikan Vasya pada 2 April di hari terakhir liburan.

Keputusan: Menunjukkan sebuah 1 = 5 - jumlah tugas yang diselesaikan Vasya pada 18 Maret d– jumlah tugas harian yang diselesaikan oleh Vasya, n= 16 - jumlah hari dari 18 Maret hingga 2 April inklusif, S 16 = 560 - jumlah total tugas, sebuah 16 - jumlah tugas yang diselesaikan Vasya pada 2 April. Mengetahui bahwa setiap hari Vasya menyelesaikan jumlah tugas yang sama lebih banyak dari hari sebelumnya, maka Anda dapat menggunakan rumus untuk menemukan jumlah perkembangan aritmatika:

560 = (5 + sebuah 16) 8,

5 + sebuah 16 = 560: 8,

5 + sebuah 16 = 70,

sebuah 16 = 70 – 5

sebuah 16 = 65.

Menjawab: 65.

Tugas nomor 12- memeriksa kemampuan siswa untuk melakukan tindakan dengan fungsi, dapat menerapkan turunan untuk mempelajari fungsi.

Tentukan titik maksimum dari suatu fungsi kamu= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Keputusan: 1) Temukan domain dari fungsi: x + 9 > 0, x> –9, yaitu x (–9; ).

2) Temukan turunan dari fungsi:

4) Titik yang ditemukan termasuk dalam interval (–9; ). Kami mendefinisikan tanda-tanda turunan dari fungsi dan menggambarkan perilaku fungsi pada gambar:

Titik maksimum yang diinginkan x = –8.

Download gratis program kerja matematika jalur UMK G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Unduh manual aljabar gratis

Tugas nomor 13- peningkatan tingkat kerumitan dengan jawaban terperinci, yang menguji kemampuan untuk memecahkan persamaan, yang paling berhasil diselesaikan di antara tugas-tugas dengan jawaban terperinci dari tingkat kerumitan yang meningkat.

a) Selesaikan persamaan 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Temukan semua akar persamaan ini yang termasuk dalam segmen.

Keputusan: a) Biarkan log 3 (2cos x) = t, lalu 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	log3(2cos x) =	2	⇔		2cos x = 9	⇔		karena x =	4,5	karena | karena x| ≤ 1,
	log3(2cos x) =	1			2cos x = √3			karena x =	√3
		2							2

lalu karena x =	√3
	2

	x =	π	+ 2π k
		6
	x = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Temukan akar-akar yang terletak pada ruas tersebut.

Dapat dilihat dari gambar bahwa segmen yang diberikan memiliki akar

11	dan	13	.
6		6

Menjawab: sebuah)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11	;	13	.
	6		6		6		6

Tugas nomor 14- tingkat lanjutan mengacu pada tugas bagian kedua dengan jawaban terperinci. Tugas menguji kemampuan untuk melakukan tindakan dengan bentuk geometris. Tugas berisi dua item. Pada alinea pertama, tugas harus dibuktikan, dan pada alinea kedua harus dihitung.

Diameter keliling alas silinder adalah 20, generatrix silinder adalah 28. Bidang memotong alasnya sepanjang tali busur dengan panjang 12 dan 16. Jarak antara tali busur adalah 2√197.

a) Buktikan bahwa pusat alas silinder terletak pada sisi yang sama pada bidang ini.

b) Temukan sudut antara bidang ini dan bidang alas silinder.

Keputusan: a) Tali busur dengan panjang 12 berada pada jarak = 8 dari pusat lingkaran alas, dan tali busur dengan panjang 16, demikian pula, berada pada jarak 6. Oleh karena itu, jarak antara proyeksi mereka pada bidang yang sejajar dengan alas silinder adalah 8 + 6 = 14, atau 8 6 = 2.

Maka jarak antar akord adalah

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Menurut kondisi, kasus kedua terwujud, di mana proyeksi akord terletak di satu sisi sumbu silinder. Ini berarti bahwa sumbu tidak memotong bidang ini di dalam silinder, yaitu alasnya terletak di satu sisinya. Yang perlu dibuktikan.

b) Mari kita nyatakan pusat-pusat basa sebagai O 1 dan O 2. Mari kita menggambar dari pusat alas dengan tali dengan panjang 12 garis-bagi yang tegak lurus dengan tali busur ini (memiliki panjang 8, seperti yang telah dicatat) dan dari pusat alas lainnya ke tali busur lainnya. Mereka terletak pada bidang yang sama tegak lurus terhadap akord ini. Sebut saja titik tengah tali busur yang lebih kecil B, lebih besar dari A, dan proyeksi A ke pangkalan kedua H (H ). Maka AB,AH , dan karenanya AB,AH tegak lurus terhadap tali busur, yaitu garis perpotongan alas dengan bidang yang diberikan.

Jadi sudut yang dibutuhkan adalah

ABH = arctan	AH	= arctg	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Tugas nomor 15- tingkat kerumitan yang meningkat dengan jawaban terperinci, memeriksa kemampuan untuk memecahkan ketidaksetaraan, yang paling berhasil diselesaikan di antara tugas-tugas dengan jawaban terperinci dari tingkat kerumitan yang meningkat.

Contoh 15 Selesaikan pertidaksamaan | x 2 – 3x| log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Keputusan: Domain definisi pertidaksamaan ini adalah interval (-1; +∞). Pertimbangkan tiga kasus secara terpisah:

1) Biarkan x 2 – 3x= 0, yaitu X= 0 atau X= 3. Dalam hal ini, ketidaksamaan ini menjadi benar, oleh karena itu, nilai-nilai ini termasuk dalam solusi.

2) Biarkan sekarang x 2 – 3x> 0, yaitu x(-1; 0) (3; +∞). Dalam hal ini, pertidaksamaan ini dapat ditulis ulang dalam bentuk ( x 2 – 3x) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 dan bagi dengan ekspresi positif x 2 – 3x. Kami mendapatkan log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x 0,5 -1 atau x-0,5. Dengan mempertimbangkan domain definisi, kami memiliki x ∈ (–1; –0,5].

3) Akhirnya, pertimbangkan x 2 – 3x < 0, при этом x(0; 3). Dalam hal ini, pertidaksamaan asli akan ditulis ulang dalam bentuk (3 x – x 2) log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Setelah membagi dengan ekspresi positif 3 x – x 2 , kita mendapatkan log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x 1. Dengan mempertimbangkan area, kami memiliki x ∈ (0; 1].

Menggabungkan solusi yang diperoleh, kami memperoleh x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Menjawab: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Tugas nomor 16- tingkat lanjutan mengacu pada tugas bagian kedua dengan jawaban terperinci. Tugas menguji kemampuan untuk melakukan tindakan dengan bentuk geometris, koordinat dan vektor. Tugas berisi dua item. Pada alinea pertama, tugas harus dibuktikan, dan pada alinea kedua harus dihitung.

Pada segitiga ABC sama kaki dengan sudut 120° pada titik sudut A, dibuat garis bagi BD. Persegi panjang DEFH tertera pada segitiga ABC sehingga sisi FH terletak pada ruas BC dan titik sudut E terletak pada ruas AB. a) Buktikan bahwa FH = 2DH. b) Tentukan luas persegi panjang DEFH jika AB = 4.

Keputusan: sebuah)

1) BEF - persegi panjang, EF⊥BC, B = (180° - 120°) : 2 = 30°, maka EF = BE karena sifat kaki yang berhadapan dengan sudut 30°.

2) Misalkan EF = DH = x, maka BE = 2 x, BF = x 3 oleh teorema Pythagoras.

3) Karena ABC sama kaki, maka B = C = 30˚.

BD adalah garis bagi B, jadi ABD = DBC = 15˚.

4) Pertimbangkan DBH - persegi panjang, karena DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 - 3

2) S DEFH = ED EF = (3 - 3 ) 2(3 - 3 )

S DEFH = 24 - 12√3.

Menjawab: 24 – 12√3.

Tugas nomor 17- tugas dengan jawaban rinci, tugas ini menguji penerapan pengetahuan dan keterampilan dalam kegiatan praktis dan kehidupan sehari-hari, kemampuan membangun dan mengeksplorasi model matematika. Tugas ini merupakan tugas teks dengan muatan ekonomi.

Contoh 17. Setoran dalam jumlah 20 juta rubel direncanakan akan dibuka selama empat tahun. Setiap akhir tahun, bank meningkatkan simpanan sebesar 10% dibandingkan dengan besarnya di awal tahun. Selain itu, pada awal tahun ketiga dan keempat, deposan setiap tahun mengisi kembali depositnya dengan: X juta rubel, di mana X - utuh nomor. Temukan nilai tertinggi X, di mana bank akan menambahkan kurang dari 17 juta rubel ke deposit dalam empat tahun.

Keputusan: Pada akhir tahun pertama, kontribusinya akan menjadi 20 + 20 · 0,1 = 22 juta rubel, dan pada akhir tahun kedua - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 juta rubel. Pada awal tahun ketiga, kontribusi (dalam juta rubel) akan menjadi (24,2 + X), dan pada akhirnya - (24.2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Pada awal tahun keempat, kontribusinya adalah (26,62 + 2,1 .) X), dan pada akhirnya - (26,62 + 2,1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Dengan syarat, Anda perlu menemukan bilangan bulat terbesar x yang pertidaksamaannya

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Solusi bilangan bulat terbesar untuk pertidaksamaan ini adalah angka 24.

Menjawab: 24.

Tugas nomor 18- tugas dengan tingkat kerumitan yang meningkat dengan jawaban terperinci. Tugas ini ditujukan untuk seleksi kompetitif ke universitas dengan peningkatan persyaratan untuk persiapan matematika pelamar. Tugas dengan tingkat kerumitan yang tinggi bukanlah tugas untuk menerapkan satu metode solusi, tetapi untuk kombinasi metode yang berbeda. Untuk berhasil menyelesaikan tugas 18, selain pengetahuan matematika yang solid, budaya matematika tingkat tinggi juga diperlukan.

apa sebuah sistem ketidaksetaraan

	x 2 + kamu 2 ≤ 2ay – sebuah 2 + 1
	kamu + sebuah ≤ |x| – sebuah

memiliki tepat dua solusi?

Keputusan: Sistem ini dapat ditulis ulang sebagai

	x 2 + (kamu– sebuah) 2 ≤ 1
	kamu ≤ |x| – sebuah

Jika kita menggambar himpunan penyelesaian pertidaksamaan pertama pada bidang tersebut, kita mendapatkan bagian dalam lingkaran (dengan batas) berjari-jari 1 yang berpusat di titik (0, sebuah). Himpunan solusi dari pertidaksamaan kedua adalah bagian dari bidang yang terletak di bawah grafik fungsi kamu = | x| – sebuah, dan yang terakhir adalah grafik fungsi
kamu = | x| , digeser ke bawah sebesar sebuah. Penyelesaian dari sistem ini adalah perpotongan himpunan solusi dari setiap pertidaksamaan.

Akibatnya, sistem ini akan memiliki dua solusi hanya dalam kasus yang ditunjukkan pada Gambar. satu.

Titik kontak antara lingkaran dan garis akan menjadi dua solusi dari sistem. Masing-masing garis lurus miring ke sumbu dengan sudut 45°. Jadi segitiga PQR- persegi panjang sama kaki. Dot Q memiliki koordinat (0, sebuah), dan titik R– koordinat (0, – sebuah). Selain itu, pemotongan PR dan PQ sama dengan jari-jari lingkaran sama dengan 1. Oleh karena itu,

QR= 2sebuah = √2, sebuah =	√2	.
	2

Menjawab: sebuah =	√2	.
	2

Tugas nomor 19- tugas dengan tingkat kerumitan yang meningkat dengan jawaban terperinci. Tugas ini ditujukan untuk seleksi kompetitif ke universitas dengan peningkatan persyaratan untuk persiapan matematika pelamar. Tugas dengan tingkat kerumitan yang tinggi bukanlah tugas untuk menerapkan satu metode solusi, tetapi untuk kombinasi metode yang berbeda. Untuk berhasil menyelesaikan tugas 19, perlu untuk dapat mencari solusi, memilih berbagai pendekatan dari yang diketahui, memodifikasi metode yang dipelajari.

Biarlah sn jumlah P anggota barisan aritmatika ( sebuah p). Diketahui bahwa S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a.Berikan rumusnya P anggota perkembangan ini.

b) Temukan jumlah modulo terkecil S n.

c. Carilah yang terkecil P, di mana S n akan menjadi kuadrat dari bilangan bulat.

Keputusan: a) Jelas, sebuah = S n – S n- satu . Dengan menggunakan rumus ini, kita mendapatkan:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

cara, sebuah = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) karena S n = 2n 2 – 25n, kemudian perhatikan fungsinya S(x) = | 2x 2 – 25x|. Grafik nya dapat dilihat pada gambar.

Jelas bahwa nilai terkecil dicapai pada titik-titik bilangan bulat yang terletak paling dekat dengan nol dari fungsi tersebut. Jelas ini adalah poin. X= 1, X= 12 dan X= 13. Karena, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, maka nilai terkecil adalah 12.

c) Ini mengikuti dari paragraf sebelumnya bahwa sn positif sejak n= 13. Karena S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), maka kasus nyata ketika ekspresi ini adalah kuadrat sempurna terwujud ketika n = 2n- 25, yaitu dengan P= 25.

Tetap memeriksa nilai dari 13 hingga 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Ternyata untuk nilai yang lebih kecil P persegi penuh tidak tercapai.

Menjawab: sebuah) sebuah = 4n- 27; b) 12; c) 25.

________________

*Sejak Mei 2017, grup penerbitan bersama DROFA-VENTANA telah menjadi bagian dari Perusahaan Buku Teks Rusia. Korporasi juga termasuk penerbit Astrel dan platform pendidikan digital LECTA. Alexander Brychkin, lulusan Akademi Keuangan di bawah Pemerintah Federasi Rusia, kandidat ilmu ekonomi, kepala proyek inovatif penerbit DROFA di bidang pendidikan digital (buku teks elektronik, Sekolah Elektronik Rusia, pendidikan digital LECTA platform) telah diangkat sebagai Direktur Jenderal. Sebelum bergabung dengan penerbit DROFA, ia menjabat sebagai Wakil Presiden untuk Pengembangan Strategis dan Investasi dari induk penerbitan EKSMO-AST. Saat ini, Perusahaan Penerbitan Buku Teks Rusia memiliki portofolio buku teks terbesar yang termasuk dalam Daftar Federal - 485 judul (sekitar 40%, tidak termasuk buku teks untuk sekolah pemasyarakatan). Penerbitan perusahaan memiliki set buku teks fisika, menggambar, biologi, kimia, teknologi, geografi, astronomi, yang paling diminati oleh sekolah-sekolah Rusia - bidang pengetahuan yang diperlukan untuk mengembangkan potensi produksi negara. Portofolio perusahaan termasuk buku pelajaran dan alat bantu pengajaran untuk sekolah dasar yang telah dianugerahi Penghargaan Presiden di bidang Pendidikan. Ini adalah buku teks dan manual tentang bidang studi yang diperlukan untuk pengembangan potensi ilmiah, teknis, dan industri Rusia.

Latihan 1

Jika \(74\) orang adalah \(40\%\) , maka \(74:2=37\) orang adalah \(20\%\) . Oleh karena itu, \(100\%\) adalah \(37\cdot 5=185\) orang.

Jawaban: 185

Tugas 2

Grafik menunjukkan ketergantungan suhu air, dinyatakan dalam derajat Celcius, pada waktu yang dihitung dari awal pemanasannya. Waktu dalam menit diplot pada sumbu absis, suhu diplot pada sumbu ordinat. Tentukan dari grafik berapa derajat perubahan suhu air dari \(3\) menit menjadi \(8\) menit. Berikan jawaban Anda dalam derajat Celcius.

Grafik menunjukkan bahwa setelah \(3\) menit setelah dimulainya pemanasan, suhu air sama dengan \(40^\circ C\) , setelah \(8\) menit suhu sama dengan \(90^\ circ C\) , oleh karena itu , dari \(3\) ke \(8\) menit suhu berubah menjadi \(90-40=50^\circ C\) .

Jawaban: 50

Tugas 3

Segitiga \(ABC\) digambarkan pada kertas kotak-kotak. Cari garis tengah segitiga ini sejajar dengan sisi \(AB\) .

Karena garis tengah sebuah segitiga sama dengan setengah dari sisi yang sejajar, maka garis tengah yang sejajar dengan \(AB\) adalah \(0.5 AB\) . Karena \(AB=5\) , maka garis tengahnya adalah \(2,5\) .

Jawaban: 2.5

Tugas 4

\(500\) anak sekolah datang ke Olimpiade matematika. Mereka ditempatkan di empat ruang kelas: di tiga ruang kelas untuk \(150\) orang, di kelas keempat -\(50\) orang. Temukan probabilitas bahwa seorang siswa yang dipilih secara acak akan menulis Olimpiade di antara sedikit penonton.

Kami akan mencari probabilitas sebagai rasio jumlah hasil yang sesuai dengan jumlah semua hasil. Karena ada \(50\) kursi di auditorium kecil, jumlah kursi yang sesuai adalah \(50\) . Jumlah kursi \(500\) . Oleh karena itu, probabilitasnya adalah \[\dfrac(50)(500)=0.1.\]

Jawaban: 0.1

Tugas 5

Tugas 6

Diberikan jajar genjang dengan sisi \(21\) dan \(28\) . Sebuah tinggi ditarik ke sisi yang lebih kecil, yang panjangnya adalah \(20\) . Cari panjang tinggi yang ditarik ke sisi yang lebih panjang.

Pertimbangkan gambarnya. Karena luas jajar genjang sama dengan produk sisi dan tinggi yang ditarik ke sisi ini, luas jajaran genjang ini adalah \(21\cdot 20\) atau \(28\cdot h\) . Karena itu, \

Jawaban: 15

Tugas 7

Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi \(y = f(x)\) . Tujuh titik ditandai pada sumbu x: \(x_1\) , \(x_2\) , \(x_3\) , \(x_4\) , \(x_5\) , \(x_6\) , \(x_7\ ) . Pada berapa banyak dari titik-titik ini fungsi \(f(x)\) meningkat?

Fungsi meningkat pada titik-titik di mana nilai turunannya positif. Oleh karena itu, karena grafik turunan ditunjukkan pada gambar, titik-titik tersebut cocok untuk kita di mana grafik turunannya DI ATAS sumbu x. Ini adalah titik \(x_3, x_4, x_5, x_6, x_7\) . Ada 5 poin seperti itu secara total.

Jawaban: 5

Tugas 8

Air dituangkan ke dalam bejana silindris setinggi \(32\) cm. Berapakah ketinggian yang akan dicapai air jika dituangkan ke dalam bejana silindris lain yang jari-jari alasnya 4 kali jari-jari alas bejana pertama? Berikan jawaban Anda dalam cm.

Biarkan jari-jari alas bejana pertama sama dengan \(R_1\) , dan jari-jari alas bejana kedua sama dengan \(R_2\) . Kemudian \(R_2=4R_1\) . Perhatikan bahwa ketika menuangkan air dari satu bejana ke bejana lain, volume air tetap konstan. Ketika air berada di bejana pertama, volumenya sama dengan volume tabung dengan tinggi \(32\) dan jari-jari alas \(R_1\) : \(V=\pi R_1^2\cdot 32\) . Ketika dituangkan ke dalam bejana kedua, volumenya sama dengan volume silinder dengan tinggi \(h\) (nilai ini harus ditemukan) dan jari-jari alas \(R_2\) , yaitu \(V =\pi R_2^2\cdot h\ ) . Tapi kemudian: \[\pi R_1^2\cdot 32=\pi R_2^2\cdot h \quad\Rightarrow\quad h=\left(\dfrac(R_1)(R_2)\right)^2\cdot 32=\left( \dfrac14\kanan)^2\cdot 32=2.\]

Jawaban: 2

Tugas 9

Temukan nilai ekspresi \

Mari kita tulis ulang ekspresi dalam bentuk \ Menurut rumus kosinus sudut ganda \(2\cos^2x-1=\cos 2x\), ekspresi akan ditulis ulang sebagai \

Jawaban: -3

Tugas 10

Ketika mendekati sumber dan penerima sinyal suara yang bergerak dalam medium tertentu dalam garis lurus satu sama lain, frekuensi sinyal suara yang direkam oleh penerima tidak sesuai dengan frekuensi sinyal aslinya \(f_0=140\) Hz dan ditentukan oleh ekspresi berikut: \ di mana \(c\) adalah kecepatan rambat sinyal dalam medium (dalam m/s), dan \(u=15\) m/s dan \(v=14\) m/s adalah kecepatan penerima dan sumber relatif terhadap media, masing-masing. Pada kecepatan maksimum \(c\) (dalam m/s) perambatan sinyal dalam medium berapa frekuensi sinyal \(f\) di penerima paling sedikit \(145\) Hz?

Karena kita perlu mencari \(c\) sedemikian rupa sehingga \(f\geqslant 145\) , kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan \ Memecahkan ketidaksetaraan ini dengan metode interval, kita mendapatkan \(c\in \) . Oleh karena itu, untuk nilai tersebut \(c\) nilainya \(f\) paling tidak \(145\) . Maka nilai terbesar dari \(c\) adalah \(826\) .

Jawaban: 826

Tugas 11

Kapal, yang kecepatannya di air tenang \(27\) km/jam, bergerak ke hilir dari titik A ke titik B. Setibanya di titik B, kapal berhenti selama \(5\) jam, kemudian kembali ke titik A. Diketahui kapal kembali ke titik A melalui \(32\) jam setelah berangkat dari A. Berapa kilometer yang ditempuh kapal jika kecepatan sungai \(1\) km/jam?

Misalkan jarak antara titik A dan B adalah \(S\) . Kemudian kapal menghabiskan perjalanan dari A ke B \[\dfrac(S)(27+1)\quad (\small(\text(jam)))\] Kemudian dia berhenti di titik B selama 5 jam, dan dalam perjalanan dari B ke A dia menghabiskan waktu \[\dfrac(S)(27-1)\quad (\small(\text(jam)))\] Secara total, ia menghabiskan 32 jam, oleh karena itu, \[\dfrac S(27+1)+5+\dfrac S(27-1)=32 \quad\Rightarrow\quad 54S=26\cdot 27\cdot 28\quad\Rightarrow\quad S=13\cdot 28 \] Maka total kapal menempuh \(2S\) kilometer, atau \

Jawaban: 728

Tugas 12

Tentukan titik minimum dari fungsi \

fungsi odz: \((x+10)^7> 0 \quad\Leftrightarrow\quad x>-10.\)

Titik minimum suatu fungsi adalah titik-titik di mana turunannya mengubah tandanya dari “\(-\)” menjadi “\(+\)” (bila dilihat dari kiri ke kanan). Kami menemukan turunannya, nol dan titik di mana ia tidak ada, dan menghitung tanda-tanda pada interval yang dihasilkan. \ Nol turunan: \ Tanda-tanda turunan pada ODZ:

Oleh karena itu, \(x=-9\) adalah titik minimum.

Jawaban: -9

Tugas 13

a) Selesaikan persamaan \[\log_4(2^(2x)-\sqrt3\cos x-\sin2x)=x\]

b) Tunjukkan semua akar persamaan ini yang termasuk dalam segmen \(\left[-\dfrac(\pi)2;\dfrac(3\pi)2\kanan].\)

a) persamaan ODZ: \(2^(2x)-\sqrt3\cos x-\sin2x>0\). Mari kita selesaikan persamaan untuk ODZ. Itu dapat dikonversi: \[\begin(aligned) &2^(2x)-\sqrt3\cos x-\sin2x=4^x \ (*)\quad\Rightarrow\quad -\sqrt3\cos x-\sin2x=0 \quad\Rightarrow \\ &\Rightarrow\quad 2\sin x\cos x+\sqrt3\cos x=0\quad\Rightarrow\quad \cos x(2\sin x+\sqrt3)=0\end(aligned)\] Solusi dari persamaan ini adalah \(\cos x=0\) dan \(\sin x=-\dfrac(\sqrt3)2\) : \[\left[\begin(berkumpul)\begin(aligned) &x=\dfrac(\pi)2+\pi n, n\in\mathbb(Z)\\ &x=-\dfrac(\pi)3+ 2\pi m, m\in\mathbb(Z)\\ &x=-\dfrac(2\pi)3+2\pi k, k\in\mathbb(Z) \end(aligned)\end(berkumpul) \Baik.\] Mari kita periksa apakah akar ini cocok dengan ODZ. Karena akar-akar ini diperoleh dari persamaan \((*)\) , dan \(4^x>0\) untuk semua \(x\) , maka ketika akar-akar ini disubstitusikan ke dalam persamaan, ruas kiri \(( *)\) juga akan selalu \(>0\) . Dan ini adalah ODZ-nya. Oleh karena itu, semua akar memenuhi ODZ.

b) Mari kita ambil akarnya. \[\begin(aligned) &-\dfrac(\pi)2\leqslant \dfrac(\pi)2+\pi n\leqslant \dfrac(3\pi)2 \quad\Leftrightarrow\quad -1\leqslant n \leqslant 1\quad\Rightarrow \quad n=-1; 0; 1\quad\Panah kanan\quad x=-\dfrac(\pi)2; \dfrac(\pi)2; \dfrac(3\pi)2\\ & -\dfrac(\pi)2\leqslant -\dfrac(\pi)3+2\pi m\leqslant \dfrac(3\pi)2 \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac1(12)\leqslant m\leqslant \dfrac(11)(12)\quad\Rightarrow\quad m=0\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac(\pi)3\\ &-\dfrac (\pi)2\leqslant -\dfrac(2\pi)3+2\pi k\leqslant \dfrac(3\pi)2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac1(12)\leqslant k\leqslant \dfrac( 13)(12)\quad\Rightarrow\quad k=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac(4\pi)3 \end(aligned)\]

Menjawab:

sebuah) \(x=\dfrac(\pi)2+\pi n, -\dfrac(\pi)3+2\pi m, -\dfrac(2\pi)3+2\pi k, n,m,k \in\mathbb(Z)\)

b) \(-\dfrac(\pi)2; -\dfrac(\pi)3; \dfrac(\pi)2; \dfrac(4\pi)3; \dfrac(3\pi)2\)

Tugas 14

Dasar piramida segi empat \(SABCD\) adalah persegi panjang \(ABCD\) , di mana \(AB=3\sqrt2\) , \(BC=6\) . Dasar tinggi piramida adalah pusat persegi panjang. Dari simpul \(A\) dan \(C\) tegak lurus \(AP\) dan \(CQ\) dijatuhkan ke tepi \(SB\) .

a) Buktikan bahwa \(P\) adalah titik tengah dari \(BQ\) .

b) Tentukan sudut antara wajah \(SBA\) dan \(SBC\) jika \(SD=9\) .

a) Misalkan \(O\) adalah titik potong diagonal-diagonal persegi panjang \(ABCD\) . Maka \(SO\) adalah tinggi piramida. Karena diagonal-diagonal persegi panjang sama dan titik potongnya dibagi dua, maka \(AO=BO=CO=DO\) . Karena itu, \(\triangle AOS=\triangle BOS=\triangle COS=\triangle DOS\), dari mana \(AS=BS=CS=DS\) . Menunjukkan \(AS=x\) .
Pertimbangkan wajah \(ASB\) . Mari kita menggambar \(SK\perp AB\) . Kemudian \(KB=0.5 AB=1.5\sqrt2\) . Kemudian \[\dfrac(KB)(SB)=\cos \angle SBA=\dfrac(BP)(BA) \quad\Rightarrow\quad BP=\dfrac 9x\] Pertimbangkan wajah \(CSB\) . Ayo lakukan \(SH\perp CB\) . Kemudian \(HB=0,5 CB=3\) . Kemudian \[\dfrac(HB)(SB)=\cos \angle SBC=\dfrac(BQ)(BC) \quad\Rightarrow\quad BQ=\dfrac (18)x\] Oleh karena itu, \ Thd.

b) Dengan syarat \(x=9\) . Perhatikan bahwa di muka \(CSB\) \(PH\parallel CQ\) (karena \(PH\) adalah garis tengah di \(\triangle CQB\) ) Oleh karena itu, \(PH\perp SB\) . Oleh karena itu, menurut definisi, \(\angle APH\) adalah sudut dihedral linier antara wajah \(SBC\) dan \(SBA\) . Mari kita cari menggunakan teorema kosinus dari \(\triangle APH\) .

\(BP=\frac9(x)=1\) . Oleh karena itu, dengan teorema Pythagoras dari \(\triangle ABP\) : \(AP^2=18-1=17\) .
Dengan teorema Pythagoras dari \(\triangle HBP\) : \(HP^2=9-1=8\) .
Dengan teorema Pythagoras dari \(\segitiga ABH\) : \(AH^2=18+9=27\) .
Oleh karena itu, dengan teorema kosinus dari \(\triangle APH\) : \[\cos \angle APH=\dfrac(AP^2+HP^2-AH^2)(2\cdot AP\cdot HP)= -\dfrac1(2\sqrt(34))\] Oleh karena itu, sudut antara wajah \(SAB\) dan \(SCB\) sama dengan \[\angle APH=\arccos\left(-\dfrac1(2\sqrt(34))\right)\]

Menjawab:

b) \(\arccos\left(-\frac1(2\sqrt(34))\right)\)

Tugas 15

Selesaikan pertidaksamaan \[\dfrac(2^x)(2^x-8)+\dfrac(2^x+8)(2^x-4) +\dfrac(66)(4^x-12\cdot 2^x +32)\leqslant 0\]

Mari kita buat perubahan \(2^x=t\) , maka pertidaksamaan berbentuk \[\begin(aligned) &\dfrac(t)(t-8)+\dfrac(t+8)(t-4)+\dfrac(66)(t^2-12t+32)\leqslant 0 \ quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(t(t-4)+(t^2-8^2)+66)((t-8)(t-4))\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\\ &\ Leftrightarrow\quad \dfrac(2t^2-4t+2)((t-8)(t-4))\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(2(t-1)^2)((t -8)(t-4))\leqslant 0 \end(selaras)\] Kami memecahkan ketidaksetaraan ini dengan metode interval:

Maka solusinya adalah \[\left[\begin(berkumpul)\begin(aligned) &t=1\\ &4 Maka jawabannya adalah: \

Menjawab:

\(\(0\)\cup(2;3)\)

Tugas 16

Titik \(E\) adalah titik tengah sisi lateral \(CD\) trapesium \(ABCD\) . Sebuah titik \(K\) diambil pada sisinya \(AB\) sehingga garis \(CK\) dan \(AE\) sejajar. Segmen \(CK\) dan \(BE\) berpotongan di titik \(O\) .

a) Buktikan bahwa \(CO=OK\) .

b) Tentukan perbandingan alas trapesium \(BC:AD\) jika luas segitiga \(BCK\) adalah \(\dfrac9(64)\) dari luas keseluruhan trapesium \(ABCD\) .

a) Perpanjang \(AE\) dan \(BC\) hingga perpotongan di titik \(P\) :

Kemudian \(\angle AED=\angle CEP\) sebagai vertikal, \(\angle ADE=\angle PCE\) sebagai melintang di \(AD\parallel BP\) dan \(CD\) secant. Oleh karena itu, sepanjang sisi dan dua sudut yang berdekatan \(\segitiga AED=\segitiga CEP\). Kemudian \(AD=CP\) , \(AE=EP\) .
Karena \(CK\parallel AP\) , maka \(\triangle BKO\sim \triangle ABE\) dan \(CBO\sim \triangle PBE\) , maka \[\dfrac(KO)(AE)=\dfrac(BO)(BE)=\dfrac(OC)(EP) \quad\Rightarrow\quad \dfrac(KO)(OC)=\dfrac(AE)(EP )=1\] Jadi \(KO=OC\) , chtd.

b) Karena \(\segitiga AED=\segitiga CEP\), lalu \(S_(ABCD)=S_(ABP)\) . Jadi \ Sejak \(\triangle BCK\sim \triangle ABP\), maka daerah mereka terkait sebagai kuadrat dari koefisien kesamaan, oleh karena itu, \ Oleh karena itu, \(BC:BP=3:8\) , yang berarti \(BC:AD=BC:CP=3:5\) .

Menjawab:

b) \(3:5\)

Tugas 17

Pada Juli 2020 direncanakan akan mengambil pinjaman dari bank dengan jumlah tertentu. Syarat-syarat pengembaliannya adalah sebagai berikut:
- setiap Januari utang meningkat \(30\%\) dibandingkan dengan akhir tahun sebelumnya;
- dari Februari hingga Juni setiap tahun, perlu membayar sebagian dari hutang dalam satu pembayaran.
Berapa rubel yang diambil dari bank jika diketahui bahwa pinjaman telah dilunasi dalam tiga pembayaran yang sama (yaitu, selama 3 tahun) dan jumlah pembayaran melebihi jumlah yang diambil dari bank oleh \(156\,060\ ) rubel?

Biarkan \(A\) rubel menjadi jumlah yang dipinjam. Perhatikan bahwa pinjaman akan dilunasi dalam pembayaran anuitas. Mari kita tunjukkan \(t=1,3\) dan buat tabel: \[\begin(array)(|l|l|l|c|) \hline \text(Nomor tahun) & \text(Hutang sebelum akrual )\% & \text(Hutang setelah akrual )\% & \text( Pembayaran)\\ \hline 1 & A & tA & x\\ \hline 2 & tA-x & t(tA-x) &x\\ \hline 3 & t(tA-x)-x& t(t(tA- x)-x) &x\\ \hline \end(array)\] Kemudian setelah pembayaran terakhir hutang akan sama dengan \ Dengan syarat \(3x-A=156\,060\) , oleh karena itu, \[\dfrac(3At^3)(t^2+t+1)-A=156\.060 \quad\Rightarrow\quad 3\cdot 2.197A-3.99A=156060\cdot 3.99 \quad\ Rightarrow\quad A=\dfrac(156060\cdot 3990)(2601)=60\cdot 3990=239\,400\]\(x_3\) memenuhi \((2)\) . Perhatikan juga bahwa root \(x_1\) milik segmen \(\) .
Pertimbangkan tiga kasus:

1) \(a>0\) . Kemudian \(x_2>3\) , \(x_3<3\) , следовательно, \(x_2\notin .\) Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\) в одном из двух случаях:
- \(x_1\) memenuhi \((2)\) , \(x_3\) tidak memenuhi \((1)\) , atau cocok \(x_1\) , atau memenuhi \((1)\) , tetapi tidak termasuk dalam segmen \(\) (yaitu, kurang dari \(0\) );
- \(x_1\) tidak memenuhi \((2)\) , \(x_3\) memenuhi \((1)\) dan tidak sama dengan \(x_1\) .
Perhatikan bahwa \(x_3\) tidak boleh kurang dari nol dan memenuhi \((1)\) (yaitu lebih besar dari \(\frac35\) ). Mengingat pernyataan ini, kasus dicatat dalam set berikut: \[\left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a> Memecahkan koleksi ini dan dengan mempertimbangkan bahwa \(a>0\) , kami mendapatkan: \

2) \(a=0\) . Kemudian \(x_2=x_3=3\in .\) Perhatikan bahwa dalam kasus ini \(x_1\) memenuhi \((2)\) dan \(x_2=3\) memenuhi \((1)\) , lalu ada adalah persamaan yang memiliki dua akar di \(\) . Nilai ini \(a\) tidak cocok untuk kita.

3) \(a<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) dan \(x_3\notin \) . Berdebat mirip dengan paragraf 1), Anda perlu menyelesaikan himpunan: \[\left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\ end(cases)\\ &\begin(cases) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end(cases) \end(aligned) \end(berkumpul)\benar.\] Memecahkan populasi yang diberikan dan diketahui bahwa \(1, 2, 3, \dots, 99\) . Maka jumlah semua ratus angka adalah jumlah terkecil yang mungkin jika ada \(230\) di antara angka-angka tersebut. Mari kita hitung: \[\dfrac(1+99)2\cdot 99+230=5180>5120\] Kami mendapat kontradiksi dengan kondisi, oleh karena itu, jawabannya adalah: tidak.

b) Misalkan tidak ada nomor \(14\) di papan tulis. Mari kita mengurutkan angka-angka dalam urutan menaik lagi dan mempertimbangkan angka-angkanya: \(1, 2, \titik, 13, 15, \titik, 101\). Kami mengambil nilai terkecil yang mungkin untuk angka pertama, untuk yang kedua, dan seterusnya. Maka jumlah semua bilangan ini adalah jumlah terkecil yang mungkin di antara jumlah ratusan bilangan asli yang berubah-ubah. Ini sama dengan: \[\dfrac(1+101)2\cdot 101-14=5137>5120\] Kami mendapat kontradiksi lagi dengan kondisi, oleh karena itu, jawabannya adalah: tidak.

c) Mari kita beri contoh ketika di antara angka-angka ada empat angka yang merupakan kelipatan dari \(14\) (ini adalah angka \(14, 28, 42, 56\) ): \ Mari kita buktikan bahwa tidak mungkin ada kurang dari empat bilangan yang merupakan kelipatan dari \(14\) .
Mari kita ambil satu set angka dari \(1\) ke \(100\) . Jumlah bilangan dalam himpunan ini adalah \(5050\) . Ini adalah jumlah terkecil yang mungkin dari 100 bilangan asli yang berbeda. Sebut saja nomor yang kelipatan \(14\) aneh. Ada 7 angka aneh di set ini. Kami akan mengurangi jumlah angka aneh di set kami, menjaga jumlah angka di set minimal.
Jadi, agar jumlah angka menjadi minimal, kita harus menghapus angka aneh terbesar - ini adalah \(98\) . Kemudian sebagai gantinya dia harus menambahkan nomor lain (tidak aneh!). Angka terkecil adalah \(101\) . Setelah itu, kita akan mendapatkan jumlah minimum yang sama dengan \(5053\) . Ini kurang dari \(5120\) , jadi kami akan terus berjalan.
Melakukan hal yang sama, hapus angka aneh \(98, 84, 70\) . Sebagai gantinya, tambahkan \(101, 102, 103\) . Dalam hal ini, kami mendapatkan jumlah minimum yang sama dengan \(5104\) . Melakukan operasi ini lagi, yaitu menghapus \(56\) dan menambahkan \(104\) , kita mendapatkan jumlah minimum \(5152\) , yang lebih besar dari \(5120\) . Karena jumlah bilangan dalam himpunan kita minimal, kita memperoleh kontradiksi.