Tukang cukur mencukur. Paradoks Bertrand Russell

Paradoks paling terkenal yang ditemukan di abad kita ini adalah antinomi yang ditemukan oleh B. Russell. Idenya ada di udara, dan publikasinya menghasilkan kesan bom yang meledak. Paradoks ini disebabkan dalam matematika, menurut D. Hilbert, "efek dari bencana yang lengkap." Metode logis yang paling sederhana dan paling penting, konsep yang paling umum dan berguna, berada di bawah ancaman. Segera menjadi jelas bahwa baik dalam logika maupun matematika, dalam seluruh sejarah panjang keberadaan mereka, tidak ada sesuatu yang secara pasti berhasil yang dapat berfungsi sebagai dasar untuk menghilangkan antinomi. Jelas diperlukan penyimpangan dari cara berpikir yang biasa.

Paradoks Russell dalam bentuk aslinya dihubungkan dengan konsep himpunan, atau kelas. Kita dapat berbicara tentang himpunan objek yang berbeda, misalnya, tentang himpunan semua orang atau tentang himpunan bilangan asli. Elemen dari himpunan pertama adalah setiap orang, elemen kedua - setiap bilangan asli. Dimungkinkan juga untuk mempertimbangkan himpunan sendiri sebagai beberapa objek dan berbicara tentang himpunan himpunan. Seseorang bahkan dapat memperkenalkan konsep-konsep seperti himpunan semua himpunan atau himpunan semua konsep. Sehubungan dengan setiap himpunan yang diambil secara sewenang-wenang, tampaknya masuk akal untuk menanyakan apakah itu adalah unsurnya sendiri atau bukan. Himpunan yang tidak memuat dirinya sendiri sebagai suatu elemen akan disebut biasa. Misalnya, himpunan semua orang bukan orang, sama seperti himpunan atom bukan atom. Set yang merupakan elemen yang tepat akan menjadi tidak biasa. Misalnya, himpunan yang menyatukan semua himpunan adalah himpunan dan karena itu berisi dirinya sendiri sebagai elemen. Jelas, setiap set biasa atau tidak biasa.

Pertimbangkan sekarang himpunan semua himpunan biasa. Karena ini adalah himpunan, orang juga dapat menanyakannya apakah itu biasa atau tidak biasa. Jawabannya, bagaimanapun, adalah mengecilkan hati. Jika biasa, maka menurut definisi itu harus mengandung dirinya sendiri sebagai elemen, karena mengandung semua himpunan biasa. Tetapi ini berarti bahwa itu adalah himpunan yang tidak biasa. Asumsi bahwa himpunan kita adalah himpunan biasa menyebabkan kontradiksi. Jadi tidak bisa biasa saja. Di sisi lain, itu juga tidak bisa tidak biasa: himpunan yang tidak biasa berisi dirinya sendiri sebagai elemen, dan elemen dari himpunan kita hanya himpunan biasa. Akibatnya, kita sampai pada kesimpulan bahwa himpunan semua himpunan biasa tidak bisa menjadi biasa atau luar biasa.

Jadi, himpunan semua himpunan yang bukan unsur-unsur wajar adalah unsur wajar jika dan hanya jika bukan unsur tersebut. Ini adalah kontradiksi yang jelas.

Kontradiksi mengatakan bahwa himpunan seperti itu sama sekali tidak ada. Tapi kenapa itu tidak bisa ada? Bagaimanapun, itu terdiri dari objek-objek yang memenuhi kondisi yang terdefinisi dengan baik, dan kondisi itu sendiri tampaknya tidak luar biasa atau tidak jelas. Jika suatu himpunan yang begitu sederhana dan terdefinisi dengan jelas tidak dapat ada, lalu apa sebenarnya perbedaan antara himpunan yang mungkin dan yang tidak mungkin? Kesimpulan tentang tidak adanya himpunan yang dipertimbangkan terdengar tidak terduga dan menimbulkan kecemasan. Itu membuat gagasan umum kita tentang himpunan amorf dan kacau, dan tidak ada jaminan bahwa itu tidak dapat menimbulkan beberapa paradoks baru.

Paradoks Russell luar biasa karena sifatnya yang sangat umum. Untuk konstruksinya, tidak diperlukan konsep teknis yang rumit, seperti dalam kasus beberapa paradoks lain, konsep "kumpulan" dan "elemen himpunan" sudah cukup. Tetapi kesederhanaan ini hanya berbicara tentang sifat dasarnya: ia menyentuh dasar terdalam dari penalaran kita tentang himpunan, karena ia tidak berbicara tentang beberapa kasus khusus, tetapi tentang himpunan secara umum.

Paradoks Russell tidak secara khusus bersifat matematis. Ini menggunakan konsep himpunan, tetapi tidak menyentuh sifat khusus apa pun yang terkait secara khusus dengan matematika. Ini menjadi jelas ketika paradoks itu dirumuskan kembali dalam istilah-istilah yang murni logis.

Dari setiap properti, seseorang dapat, kemungkinan besar, bertanya apakah itu berlaku untuk dirinya sendiri atau tidak. Sifat menjadi panas, misalnya, tidak berlaku untuk dirinya sendiri, karena ia sendiri tidak panas; sifat yang konkret juga tidak mengacu pada dirinya sendiri, karena itu adalah sifat abstrak. Tetapi sifat menjadi abstrak, menjadi abstrak, berlaku untuk diri sendiri. Mari kita sebut properti ini tidak dapat diterapkan untuk diri mereka sendiri tidak dapat diterapkan. Apakah sifat tidak dapat diterapkan pada diri sendiri berlaku? Ternyata ketidakterapan tidak dapat diterapkan hanya jika tidak. Ini, tentu saja, paradoks.Variasi antinomi Russell yang logis dan terkait dengan properti sama paradoksnya dengan variasi matematis yang terkait dengan himpunan.

B. Russell juga mengusulkan versi populer berikut dari paradoks yang dia temukan. “ Tukang cukur mencukur semua orang dan hanya penduduk kota yang tidak mencukur diri mereka sendiri. Siapa yang mencukur tukang cukur?" Paradoks tukang cukur terletak pada kenyataan bahwa, diduga, tidak mungkin menjawab pertanyaan ini.

Untuk memahami situasinya, kami akan membagi penduduk kota menjadi tiga kelompok. Rincian ini ditunjukkan pada gambar kiri: mereka yang mencukur sendiri berada di atas; mereka yang dicukur - dari bawah; mereka yang tidak bercukur sama sekali (biksu, anak-anak, wanita...) berada di luar elips.

Pertimbangkan dulu aksi kondisi (1). Biarkan tukang cukur mencukur semua orang yang tidak mencukur diri mereka sendiri, yaitu, seluruh bagian bawah elips (menetas klien tukang cukur). Tetapi kondisi (1) memungkinkan dia untuk mencukur dan orang yang mencukur dirinya sendiri, yaitu dirinya sendiri. Kondisi (1) memungkinkan dia untuk memposisikan dirinya di bagian atas elips, di mana penduduk sendiri mencukur, dan mencukur diri di sana. Ini ditunjukkan pada gambar tengah.

Jika kondisi (2) berlaku, dan tukang cukur hanya mencukur mereka yang tidak mencukur dirinya sendiri, ini berarti bahwa ia mencukur bagian bawah elips dan tidak mencukur dirinya sendiri, yaitu tidak di bagian atas elips. . Tetapi penduduk bagian bawah mungkin tidak dicukur oleh tukang cukur, tetapi oleh orang lain. Dan seorang tukang cukur bisa menjadi salah satu dari orang-orang ini (gambar yang benar). Jadi tukang cukur dapat mencukur temannya, dan tukang cukur akan mencukur bagian bawah elips yang diarsir.

Tetapi jika kedua kondisi (1) dan (2) berlaku, maka tukang cukur tidak memiliki tempat di elips. Dia tidak bercukur sama sekali. Dan tidak ada paradoks di sini. Oleh karena itu, dia adalah seorang biarawan, atau robot, atau seorang anak, atau seorang wanita, atau bukan penduduk kota ... Dan jika tidak ada seorang pun di kota itu kecuali pria yang bercukur, dan, oleh karena itu, penampakan elips kosong, maka tukang cukur yang memenuhi syarat (1) dan (2) sama sekali tidak ada. Tidak masuk akal untuk bertanya dalam kasus ini siapa yang mencukurnya. Banyak tukang cukur seperti itu kosong.

Dan di sini kita perhatikan bahwa pertanyaan yang diajukan, "Siapa yang mencukur tukang cukur?", tidak benar sejak awal, seperti pertanyaan klasik: "Mengapa kamu memukuli ayahmu?" Sebelum Anda bertanya siapa yang mencukur tukang cukur, Anda perlu mendapatkan persetujuan bahwa seseorang mencukurnya.

Argumen tentang penata rambut bisa disebut paradoks semu. Dalam perjalanannya, ini sangat mirip dengan paradoks Russell, dan inilah yang membuatnya menarik. Tapi itu masih bukan paradoks yang sebenarnya.

Contoh lain dari paradoks semu yang sama adalah alasan terkenal tentang katalog.

Sebuah perpustakaan tertentu memutuskan untuk menyusun katalog bibliografi yang akan mencakup semua itu dan hanya katalog bibliografi yang tidak berisi referensi untuk diri mereka sendiri. Haruskah direktori seperti itu menyertakan tautan ke dirinya sendiri? Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa ide membuat katalog seperti itu tidak mungkin; itu tidak bisa ada, karena itu harus secara bersamaan menyertakan referensi untuk dirinya sendiri dan tidak termasuk. Sangat menarik untuk dicatat bahwa membuat katalog semua direktori yang tidak mengacu pada diri mereka sendiri dapat dianggap sebagai proses tanpa akhir dan tidak pernah berakhir.

Katakanlah pada titik tertentu sebuah direktori dikompilasi, katakanlah K1, termasuk semua direktori lain yang tidak berisi referensi untuk dirinya sendiri. Dengan pembuatan K1, direktori lain muncul yang tidak berisi referensi ke dirinya sendiri. Karena tujuannya adalah untuk membuat katalog lengkap dari semua direktori yang tidak menyebutkan dirinya sendiri, jelaslah bahwa K1 bukanlah solusi. Dia tidak menyebutkan salah satu direktori itu - dirinya sendiri. Termasuk penyebutan dirinya di K1, kami mendapatkan katalog K2. Itu menyebutkan K1 tetapi bukan K2 itu sendiri. Menambahkan penyebutan seperti itu ke K2, kita mendapatkan K3, yang sekali lagi tidak lengkap karena fakta bahwa ia tidak menyebutkan dirinya sendiri. Dan seterusnya tanpa akhir.

ringkasan dan amandemen bab dari pekerjaan
"Paradoks logis. Solusi"

B. Paradoks Russell "Tentang penata rambut (pangkas rambut, tukang cukur)"

Tukang cukur yang dicukur atau lagi tentang penata rambut

Pada awal abad ke-20, Bertrand Russell menemukan paradoks logis. Dia melaporkannya dalam suratnya kepada matematikawan, filsuf, dan ahli logika terkenal Gottlob Frege - pendiri semantik logis modern - ketika dia "pada tahun 1902 telah menyerahkan jilid kedua Foundations of Arithmetic untuk dicetak." Surat itu "melaporkan kontradiksi formal dalam pembenaran yang diusulkan Frege untuk aritmatika (paradoks Russell), yang coba diselesaikan Frege dengan sia-sia sampai akhir hayatnya. Namun, Russell yang membawa Frege ketenaran luas, karena dalam presentasi Russell (tambahan khusus untuk Yayasan Matematika, 1903) konsep Frege menjadi dapat diakses oleh kalangan pembaca yang luas. Akhir kutipan http://www.krugosvet.ru/articles/92/1009213/1009213a1.htm).
Tidak hanya Frege, tetapi tidak ada orang lain selama lebih dari seratus tahun hingga hari ini yang belum mampu memecahkan paradoks logis ini. Tak seorang pun kecuali saya.

"Paradoks Russell dalam bentuk aslinya dikaitkan dengan konsep himpunan, atau kelas" (Ivin A. A. Seni berpikir dengan benar. - M.: Pendidikan. - 1998). Dalam bentuk ini, solusinya ada di artikel lain: paradoks Russell - versi asli - tentang himpunan, Tetapi seluruh dunia mengetahuinya dalam formulasi yang berbeda. Russell “menawarkan versi populer paradoks berikut yang ia temukan dalam teori himpunan matematika.
Mari kita bayangkan bahwa dewan satu desa mendefinisikan tugas tukang cukur desa itu sebagai berikut: mencukur semua pria desa yang tidak mencukur diri mereka sendiri, dan hanya pria-pria ini. Haruskah dia mencukur dirinya sendiri? (Ivin A. A. Seni berpikir dengan benar. - M .: Pendidikan. - 1990, hlm. 205 - 206, http://www.koob.ru/books/iskusstvo_pravilno_mislit.rar).

Ada banyak distorsi paradoks, serta upaya untuk menyelesaikan kontradiksi ini, tetapi pada dasarnya semua solusi bermuara pada yang berikut ini.
“Jika ya (yaitu tukang cukur harus mencukur dirinya sendiri - sisipan saya), maka dia akan merujuk pada mereka yang mencukur dirinya sendiri, dan mereka yang mencukur dirinya sendiri, dia tidak boleh mencukur. Jika tidak, maka dia akan menjadi milik mereka yang tidak mencukur dirinya sendiri, dan oleh karena itu, dia harus mencukur dirinya sendiri. Dengan demikian kami sampai pada kesimpulan bahwa tukang cukur ini mencukur dirinya sendiri jika dan hanya jika dia tidak mencukur dirinya sendiri. Yang tentu saja tidak mungkin.

Argumen tentang tukang cukur didasarkan pada asumsi bahwa tukang cukur seperti itu ada. Kontradiksi yang dihasilkan berarti bahwa asumsi ini salah dan tidak ada penduduk desa seperti itu yang akan mencukur semua orang dan hanya penduduknya yang tidak mencukur dirinya sendiri. Tugas seorang penata rambut pada pandangan pertama tidak tampak kontradiktif, jadi kesimpulan bahwa tidak mungkin ada yang terdengar agak tidak terduga. Namun, kesimpulan ini tidak paradoks. Kondisi yang harus dipenuhi oleh tukang cukur desa, pada kenyataannya, bertentangan dengan diri sendiri dan karena itu tidak mungkin. Tidak mungkin ada penata rambut seperti itu di desa karena alasan yang sama bahwa tidak ada orang di desa itu yang lebih tua dari dirinya atau yang akan lahir sebelum kelahirannya. Argumen tentang penata rambut bisa disebut paradoks semu." Akhir kutipan (ibid.).

KEPUTUSAN

Pada tahun 1992, pada tanggal 19 Desember, game TV “What? Di mana? Kapan?". Dengan skor 2:6, seperti yang sering terjadi, situasi konflik bahkan bisa diperdebatkan. Dan kemudian Vladimir Yakovlevich Voroshilov mengajukan pertanyaan yang seharusnya membawa kemenangan atau kekalahan kepada para ahli. Itu adalah pertanyaan tukang cukur, paradoks Russell. Tentu saja, para ahli kalah, meskipun mereka bisa menang. Karena dia menanyakan versi pertanyaan yang agak menyimpang: “Pertanyaannya adalah: apakah tukang cukur mencukur dirinya sendiri jika tukang cukur mencukur semua orang yang tidak mencukur dirinya sendiri?
Jawaban para ahli: tidak, dia tidak mencukur. (Kronik / "Apa? Dimana? Kapan? Pusat Produksi IGRA-TV", http://chgk.tvigra.ru/letopis/?19921219#cur). Mereka harus menjawab: “Dari informasi bahwa seorang tukang cukur mencukur semua orang yang tidak mencukur dirinya sendiri, tidak mungkin untuk menyimpulkan apakah dia mencukur dirinya sendiri, apakah orang lain yang mencukurnya, atau dia tidak mencukur sama sekali. Karena tidak ada alasan yang cukup untuk kesimpulan seperti itu.
Tapi paradoks ini menghantui saya. Sepertinya jawabannya berputar di kepala saya, Anda hanya perlu "mengambil bagian ekornya". Dan setelah beberapa saat saya berhasil.

Keputusan, seperti yang sering terjadi, benar-benar gila. Seluruh diskusi secara rinci dan dengan pertimbangan opsi terdistorsi membutuhkan beberapa halaman. Saya hanya akan memberikan versi argumen yang disingkat.

Jawaban atas pertanyaan paradoks Russell adalah mungkin jika kita mengaitkan tukang cukur dengan kelas pria mana pun: "mereka mencukur sendiri" atau "mereka tidak mencukur dirinya sendiri". Tetapi setelah analisis logis dari alasan yang mungkin untuk merujuk pada kelas-kelas kelompok manusia ini, satu-satunya kesimpulan berikut adalah bahwa ini tidak mungkin, karena dasar yang dibenarkan secara logis seperti itu tidak ada. Berdasarkan kesimpulan ini, banyak orang, termasuk A. A. Ivin, sampai pada kesimpulan bahwa paradoks itu tidak dapat dipecahkan, menyebutnya sebagai paradoks semu. Tapi kemudian semua paradoks lainnya harus "diselesaikan" dengan cara ini sekali dan untuk selamanya. Lagi pula, tidak ada yang mengira bahwa pada kenyataannya bisa ada situasi percakapan antara ibu dan buaya, misionaris dan kanibal, dan lainnya. Oleh karena itu, negasi dari asumsi logis bukanlah solusi. Dan solusinya adalah:

Jika tidak mungkin untuk menghubungkan seorang penata rambut ke salah satu kelas "mencukur sendiri" dan "tidak mencukur sendiri", maka ia harus dimasukkan dalam kelas ketiga - "JANGAN Cukur". Dan kemudian penata rambut tidak melanggar salah satu kondisi logis, karena mereka tidak berlaku untuk kelas pria ini.

Semua pria desa

A. Cukur 1 - sendiri, 2- bukan sendiri B. JANGAN Cukur

Dan sekarang tukang cukur ditakdirkan untuk mati berjanggut.

Untuk pemahaman yang benar tentang tugas ini, hanya perlu mengatur ulang secara mental partikel "tidak" sebelum kata kerja "mencukur" ke tempat setelahnya. Dan kemudian makna dari kondisi paradoks masalah akan muncul, seperti pada kertas foto selama pencetakan. Lagi pula, frasa "jangan mencukur diri sendiri" segera mengambil bentuk yang sangat sederhana, tidak membingungkan dan dapat dimengerti oleh siapa pun. Yaitu - "JANGAN mencukur diri mereka sendiri" berarti "JANGAN mencukur diri mereka sendiri", yaitu, mereka masih mencukur, meskipun tidak dengan tangan mereka sendiri. Dan dengan demikian, kesalahan yang jelas dan besar dalam penalaran logis semua orang yang mencoba memecahkan paradoks ini segera muncul. Saya menyebut jenis kesalahan ini "kesimpulan salah", ketika kesimpulan yang benar-benar salah dan bahkan berlawanan dibuat dari kesimpulan yang diperlukan secara logis ("Paradoks logis. Solusi", bab "Kesalahan penalaran - kesimpulan salah",). Dalam masalah ini, "kesimpulan salah" adalah bahwa frasa dalam penalaran logis seharusnya tidak terdengar seperti: "jika tukang cukur tidak mencukur dirinya sendiri, maka dia akan merujuk pada mereka yang tidak mencukur dirinya sendiri", yang tidak benar, tetapi dalam bentuk: "jika seorang tukang cukur tidak seharusnya mencukur dirinya sendiri, maka dia akan merujuk pada mereka yang tidak mencukur dirinya sendiri atau TIDAK BERCukur."

Setelah memecahkan "paradoks Russell", saya juga memecahkan paradoks terkenal lainnya dengan menerapkan dua postulat umum kepada mereka: 1. ketika mendekati solusi dari masalah apa pun, pemahaman yang jelas tentang masalah itu sendiri dalam semua detail diperlukan; 2. pengetahuan adalah konsep relatif ("Paradoks logis. Cara penyelesaian", bab "Pada prinsip-prinsip pemecahan paradoks",

Paradoks paling terkenal yang ditemukan pada abad terakhir adalah antinomi yang ditemukan oleh Bertrand Russell dan dikomunikasikan olehnya dalam sebuah surat kepada G. Ferge. Russell menemukan paradoksnya terkait bidang logika dan matematika pada tahun 1902. Antinomi yang sama dibahas secara bersamaan di Göttingen oleh matematikawan Jerman Z. Zermelo (1871-1953) dan D. Hilbert. Idenya ada di udara, dan publikasinya memberi kesan bom yang meledak Miroshnichenko P.N. Apa yang menghancurkan paradoks Russell dalam sistem Frege? // Logika modern: masalah teori, sejarah, dan aplikasi dalam sains. - SPb., 2000. - S. 512-514. . Paradoks ini menyebabkan dalam matematika, menurut Hilbert, efek dari bencana total. Metode logis yang paling sederhana dan paling penting, konsep yang paling umum dan berguna, berada di bawah ancaman. Ternyata dalam teori himpunan Cantor, yang diterima dengan antusias oleh sebagian besar matematikawan, terdapat kontradiksi aneh yang tidak mungkin, atau setidaknya sangat sulit, untuk dihilangkan. Paradoks Russell mengungkap kontradiksi-kontradiksi ini dengan sangat jelas. Matematikawan paling menonjol pada tahun-tahun itu bekerja pada resolusinya, serta pada resolusi paradoks lain yang ditemukan dari teori himpunan Cantor. Segera menjadi jelas bahwa baik dalam logika maupun matematika, dalam seluruh sejarah panjang keberadaan mereka, tidak ada sesuatu yang secara pasti berhasil yang dapat berfungsi sebagai dasar untuk menghilangkan antinomi. Jelas diperlukan penyimpangan dari cara berpikir yang biasa. Tapi dari mana dan ke arah mana? Courant R., Robbins G. Apa itu matematika? - Bab II, 4.5.

Seberapa radikal penolakan terhadap cara berteori yang sudah mapan? Dengan studi lebih lanjut tentang antinomi, keyakinan akan perlunya pendekatan baru yang fundamental terus tumbuh. Setengah abad setelah penemuannya, para ahli dasar logika dan matematika L. Frenkel dan I. Bar-Hillel telah menyatakan tanpa keraguan: , sejauh ini selalu gagal, jelas tidak cukup untuk tujuan ini. Ahli logika Amerika modern H. Curry menulis sedikit kemudian tentang paradoks ini: “Dalam hal logika yang dikenal pada abad ke-19, situasinya tidak dapat dijelaskan, meskipun, tentu saja, di zaman kita yang berpendidikan mungkin ada orang yang melihat (atau pikir mereka melihat ), apa kesalahannya” Miroshnichenko P.N. Apa yang menghancurkan paradoks Russell dalam sistem Frege? // Logika modern: masalah teori, sejarah, dan aplikasi dalam sains. - SPb., 2000. - S. 512-514 ..

Karena ini adalah himpunan, orang juga dapat menanyakannya apakah itu biasa atau tidak biasa. Jawabannya, bagaimanapun, adalah mengecilkan hati. Jika biasa, maka menurut definisi itu harus mengandung dirinya sendiri sebagai elemen, karena mengandung semua himpunan biasa. Tetapi ini berarti bahwa itu adalah himpunan yang tidak biasa. Asumsi bahwa himpunan kita adalah himpunan biasa menyebabkan kontradiksi. Jadi tidak bisa biasa saja. Di sisi lain, itu juga tidak bisa tidak biasa: himpunan yang tidak biasa berisi dirinya sendiri sebagai elemen, dan elemen dari himpunan kita hanya himpunan biasa. Akibatnya, kita sampai pada kesimpulan bahwa himpunan semua himpunan biasa tidak bisa menjadi biasa atau luar biasa.

Jadi, himpunan semua himpunan yang bukan unsur-unsur wajar adalah unsur wajar jika dan hanya jika bukan unsur tersebut. Ini adalah kontradiksi yang jelas. Dan itu diperoleh berdasarkan asumsi yang paling masuk akal dan dengan bantuan langkah-langkah yang tampaknya tak terbantahkan. Kontradiksi mengatakan bahwa himpunan seperti itu sama sekali tidak ada. Tapi kenapa itu tidak bisa ada? Bagaimanapun, itu terdiri dari objek-objek yang memenuhi kondisi yang terdefinisi dengan baik, dan kondisi itu sendiri tampaknya tidak luar biasa atau tidak jelas. Jika suatu himpunan yang begitu sederhana dan terdefinisi dengan jelas tidak dapat ada, lalu apa sebenarnya perbedaan antara himpunan yang mungkin dan yang tidak mungkin? Kesimpulan bahwa set yang dipertimbangkan tidak ada terdengar tidak terduga dan mengkhawatirkan. Itu membuat gagasan umum kita tentang himpunan amorf dan kacau, dan tidak ada jaminan bahwa itu tidak dapat menimbulkan beberapa paradoks baru.

Paradoks Russell luar biasa karena keumumannya yang ekstrem Courant R., Robbins G. Apa itu matematika? - Bab II, 4.5. . Untuk konstruksinya, tidak diperlukan konsep teknis yang rumit, seperti dalam kasus beberapa paradoks lain, konsep "kumpulan" dan "elemen himpunan" sudah cukup. Tetapi kesederhanaan ini hanya berbicara tentang sifat dasarnya: ia menyentuh dasar terdalam dari penalaran kita tentang himpunan, karena ia tidak berbicara tentang beberapa kasus khusus, tetapi tentang himpunan secara umum.

Varian lain dari paradoks paradoks Russell tidak secara khusus bersifat matematis. Ini menggunakan konsep himpunan, tetapi tidak menyentuh sifat khusus apa pun yang terkait secara khusus dengan matematika.

Ini menjadi jelas ketika paradoks itu dirumuskan kembali dalam istilah-istilah yang murni logis. Dari setiap properti, seseorang dapat, kemungkinan besar, bertanya apakah itu berlaku untuk dirinya sendiri atau tidak. Sifat menjadi panas, misalnya, tidak berlaku untuk dirinya sendiri, karena ia sendiri tidak panas; sifat yang konkret juga tidak mengacu pada dirinya sendiri, karena itu adalah sifat abstrak. Tetapi sifat menjadi abstrak, menjadi abstrak, berlaku untuk diri sendiri.

Mari kita sebut properti ini tidak dapat diterapkan untuk diri mereka sendiri tidak dapat diterapkan. Apakah sifat tidak dapat diterapkan pada diri sendiri berlaku? Ternyata ketidakterapan tidak dapat diterapkan hanya jika tidak. Ini, tentu saja, paradoks. Ragam antinomi Russell yang logis dan berkaitan dengan properti sama paradoksnya dengan ragam matematis yang berkaitan dengan himpunan.

Russell juga mengusulkan versi populer berikut dari paradoks yang ditemukan olehnya Katrechko S.L. Russell's Barber's Paradox dan Plato-Aristoteles's Dialektika // Logika Modern: Masalah Teori, Sejarah dan Aplikasi dalam Sains. - SPb., 2002. - S. 239-242 .. Mari kita bayangkan bahwa dewan satu desa mendefinisikan tugas tukang cukur dengan cara ini: mencukur semua pria desa yang tidak mencukur sendiri, dan hanya pria-pria ini. Haruskah dia mencukur dirinya sendiri? Jika demikian, itu akan mengacu pada mereka yang mencukur sendiri, dan mereka yang mencukur sendiri, dia tidak boleh mencukur. Jika tidak, dia akan menjadi milik mereka yang tidak mencukur dirinya sendiri, dan karena itu dia harus mencukur dirinya sendiri. Dengan demikian kami sampai pada kesimpulan bahwa tukang cukur ini mencukur dirinya sendiri jika dan hanya jika dia tidak mencukur dirinya sendiri. Ini, tentu saja, tidak mungkin.

Argumen tentang tukang cukur didasarkan pada asumsi bahwa tukang cukur seperti itu ada. Kontradiksi yang dihasilkan berarti bahwa asumsi ini salah, dan tidak ada penduduk desa yang akan mencukur semua itu dan hanya penduduk desa yang tidak mencukur dirinya sendiri. Tugas seorang tukang cukur sekilas tidak tampak kontradiktif, sehingga kesimpulan bahwa tidak ada seorang pun terdengar agak tidak terduga. Namun, kesimpulan ini tidak paradoks. Kondisi yang harus dipenuhi oleh tukang cukur desa, pada kenyataannya, bertentangan dengan diri sendiri dan karena itu tidak mungkin. Tidak mungkin ada penata rambut seperti itu di desa karena alasan yang sama bahwa tidak ada orang di dalamnya yang lebih tua dari dirinya atau yang akan lahir sebelum kelahirannya Miroshnichenko P.N. Apa yang menghancurkan paradoks Russell dalam sistem Frege? // Logika modern: masalah teori, sejarah, dan aplikasi dalam sains. - SPb., 2000. - S. 512-514 ..

Argumen tentang tukang cukur bisa disebut paradoks semu. Dalam perjalanannya, ini sangat mirip dengan paradoks Russell, dan inilah yang membuatnya menarik. Tapi itu masih bukan paradoks yang sebenarnya.

Contoh lain dari paradoks semu yang sama adalah alasan terkenal tentang katalog. Sebuah perpustakaan tertentu memutuskan untuk menyusun katalog bibliografi yang akan mencakup semua itu dan hanya katalog bibliografi yang tidak berisi referensi untuk diri mereka sendiri. Haruskah direktori seperti itu menyertakan tautan ke dirinya sendiri? Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa ide membuat katalog seperti itu tidak mungkin; itu tidak bisa ada, karena itu harus secara bersamaan menyertakan referensi untuk dirinya sendiri dan tidak termasuk.

Sangat menarik untuk dicatat bahwa membuat katalog semua direktori yang tidak mengacu pada diri mereka sendiri dapat dianggap sebagai proses tanpa akhir dan tidak pernah berakhir. Katakanlah pada titik tertentu sebuah direktori, katakanlah K1, telah dikompilasi, termasuk semua direktori lain yang tidak berisi referensi untuk dirinya sendiri. Dengan pembuatan K1, direktori lain muncul yang tidak berisi tautan ke dirinya sendiri. Karena tujuannya adalah untuk membuat katalog lengkap dari semua direktori yang tidak menyebutkan dirinya sendiri, jelaslah bahwa K1 bukanlah solusi. Dia tidak menyebutkan salah satu direktori itu -- dirinya sendiri. Termasuk penyebutan dirinya di K1, kami mendapatkan katalog K2. Itu menyebutkan K1, tetapi bukan K2 itu sendiri. Menambahkan penyebutan seperti itu ke K2, kami mendapatkan KZ, yang sekali lagi tidak lengkap karena fakta bahwa ia tidak menyebutkan dirinya sendiri. Dan terus tanpa akhir.

Satu lagi paradoks logis dapat disebutkan - paradoks walikota Belanda, mirip dengan paradoks tukang cukur. Setiap kotamadya di Belanda harus memiliki walikota dan dua kotamadya yang berbeda tidak dapat memiliki walikota yang sama. Terkadang ternyata walikota tidak tinggal di kotamadyanya. Mari kita anggap bahwa undang-undang yang disahkan oleh beberapa wilayah S dialokasikan secara eksklusif untuk walikota tersebut yang tidak tinggal di kotamadya mereka, dan mengarahkan semua walikota ini untuk menetap di wilayah ini. Misalkan lebih lanjut bahwa ada begitu banyak walikota sehingga wilayah S sendiri membentuk kotamadya yang terpisah. Di mana seharusnya walikota S Kotamadya Khusus ini tinggal? Alasan sederhana menunjukkan bahwa jika walikota suatu Kotamadya Khusus tinggal di wilayah S, maka dia tidak boleh tinggal di sana, dan sebaliknya, jika dia tidak tinggal di wilayah itu, maka dia harus tinggal di wilayah ini. Bahwa paradoks ini analog dengan paradoks tukang cukur cukup jelas.

Russell adalah salah satu yang pertama mengusulkan solusi untuk paradoks "nya". Solusi yang dia usulkan disebut "teori tipe": himpunan (kelas) dan elemen-elemennya termasuk dalam tipe logika yang berbeda, tipe himpunan lebih tinggi dari tipe elemennya, yang menghilangkan paradoks Russell (teori tipe juga digunakan oleh Russell untuk memecahkan paradoks "Pembohong" yang terkenal). Banyak matematikawan, bagaimanapun, tidak menerima solusi Russell, percaya bahwa itu memaksakan pembatasan yang terlalu berat pada pernyataan matematika Katrechko S.L. Russell's Barber's Paradox dan Plato-Aristoteles's Dialektika // Logika Modern: Masalah Teori, Sejarah dan Aplikasi dalam Sains. - St. Petersburg, 2002. - S. 239-242 ..

Situasinya mirip dengan paradoks logis lainnya. “Antinomi logika,” tulis von Wright, “telah membingungkan kita sejak penemuan mereka dan mungkin akan selalu membingungkan kita. Kita harus, saya pikir, menganggapnya bukan sebagai masalah yang menunggu untuk dipecahkan, tetapi sebagai bahan mentah yang tak habis-habisnya untuk dipikirkan. Mereka penting karena memikirkannya menyentuh pertanyaan paling mendasar dari semua logika, dan karena itu semua pemikiran” Wrigt G.Kh. Latar Belakang. Logika dan filsafat di abad XX // Vopr. filsafat. 1992. Nomor 8..

paradoks Russell (Antinomi Russell, juga Paradoks Russell-Zermelo) - paradoks teori himpunan (antinomi) yang ditemukan pada tahun 1901 oleh Bertrand Russell, yang menunjukkan ketidakkonsistenan sistem logika Frege, yang merupakan upaya awal untuk memformalkan teori himpunan naif Georg Cantor. Sebelumnya ditemukan tetapi tidak diterbitkan oleh Ernst Zermelo.

Dalam bahasa informal, paradoks tersebut dapat digambarkan sebagai berikut. Mari kita setuju untuk menyebut himpunan "biasa" jika bukan elemennya sendiri. Misalnya, himpunan semua orang adalah "biasa", karena himpunan itu sendiri bukan orang. Contoh dari himpunan "tidak biasa" adalah himpunan semua himpunan, karena himpunan itu sendiri merupakan himpunan, dan karena itu dirinya sendiri merupakan elemen yang tepat.

Satu dapat mempertimbangkan satu set yang hanya terdiri dari semua set "biasa", set seperti itu disebut Russel set . Sebuah paradoks muncul ketika mencoba untuk menentukan apakah himpunan ini "biasa" atau tidak, yaitu apakah ia berisi dirinya sendiri sebagai sebuah elemen. Ada dua kemungkinan.

Di satu sisi, jika "biasa", maka ia harus memasukkan dirinya sendiri sebagai elemen, karena menurut definisi terdiri dari semua set "biasa". Tapi kemudian itu tidak bisa "biasa", karena himpunan "biasa" adalah yang tidak menyertakan diri mereka sendiri.
Masih diasumsikan bahwa set ini "tidak biasa". Namun, itu tidak dapat memasukkan dirinya sendiri sebagai elemen, karena menurut definisi itu hanya harus terdiri dari set "biasa". Tetapi jika tidak termasuk dirinya sebagai elemen, maka itu adalah himpunan "biasa".

Bagaimanapun, hasil kontradiksi.

YouTube ensiklopedis

1 / 5

Kuliah 1. Definisi himpunan. hukum De Morgan. paradoks Russel. Teorema Weierstrass

3 Paradoks Russell

Nasihat Bertrand Russell untuk generasi mendatang

Kuliah 21: Teori himpunan naif dan logika fuzzy

Paradoks Monty Hall - Numberphile

Subtitle

Perumusan paradoks

Paradoks Russell dapat dirumuskan dalam teori himpunan naif. Oleh karena itu, teori himpunan naif tidak konsisten. Sebuah fragmen kontradiktif dari teori himpunan naif, yang dapat didefinisikan sebagai teori orde pertama dengan hubungan keanggotaan biner (\displaystyle \in ) dan skema seleksi: untuk setiap rumus logika dengan satu variabel bebas dalam teori himpunan naif terdapat aksioma

y x (x y P (x)) (\displaystyle \exists y\forall x(x\in y\iff P(x))).

Skema aksioma ini mengatakan bahwa untuk kondisi apapun P (x) (\gaya tampilan P(x)) ada banyak y , (\gaya tampilan y,) terdiri dari mereka x , (\gaya tampilan x,) yang memenuhi syarat P (x) (\gaya tampilan P(x)) .

Ini cukup untuk merumuskan paradoks Russell sebagai berikut. Biarlah P (x) (\gaya tampilan P(x)) ada rumusnya x x . (\displaystyle x\notin x.)(Yaitu P (x) (\gaya tampilan P(x)) berarti banyak x (\gaya tampilan x) tidak mengandung dirinya sebagai elemen, atau, dalam terminologi kami, adalah himpunan "biasa".) Kemudian, dengan aksioma seleksi, ada himpunan y (\gaya tampilan y)(Set Russell) sedemikian rupa sehingga

x (x y x x) (\displaystyle \forall x(x\in y\iff x\notin x)).

Karena ini berlaku untuk semua x , (\gaya tampilan x,) itu juga berlaku untuk x = y. (\gaya tampilan x=y.) Yaitu

y y y y . (\displaystyle y\in y\iff y\notin y.)

Dari sini dapat disimpulkan bahwa kontradiksi dideduksi dalam teori himpunan naif.

Paradoks tidak akan muncul jika kita berasumsi bahwa himpunan Russell tidak ada. Namun, asumsi ini sendiri bersifat paradoks: dalam teori himpunan Cantor, diyakini bahwa setiap properti menentukan himpunan elemen yang memenuhi properti ini. Karena sifat dari suatu himpunan menjadi "biasa" tampaknya terdefinisi dengan baik, harus ada himpunan dari semua himpunan "biasa". Teori ini sekarang disebut teori himpunan naif .

Versi populer dari paradoks

Ada beberapa versi paradoks Russell. Berbeda dengan paradoks itu sendiri, mereka, sebagai suatu peraturan, tidak dapat diungkapkan dalam bahasa formal.

Paradoks pembohong

Paradoks Russell terkait dengan paradoks pembohong yang dikenal sejak zaman kuno, yaitu pertanyaan berikut. Diberikan sebuah pernyataan:

Pernyataan ini salah.

Apakah pernyataan ini benar atau tidak? Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa pernyataan ini tidak bisa benar atau salah.

Russell menulis tentang paradoks ini:

Russell sendiri menjelaskan paradoks pembohong dengan cara ini. Untuk mengatakan sesuatu tentang ujaran, pertama-tama kita harus mendefinisikan konsep "ucapan", sementara tidak menggunakan konsep yang belum didefinisikan. Dengan demikian, pernyataan tipe pertama dapat didefinisikan yang tidak mengatakan apa-apa tentang pernyataan. Kemudian seseorang dapat mendefinisikan pernyataan tipe kedua yang berbicara tentang pernyataan tipe pertama, dan seterusnya. Pernyataan "pernyataan ini salah" tidak termasuk dalam salah satu definisi ini, dan dengan demikian tidak masuk akal.

Paradoks Tukang Cukur

Russell menyebutkan versi paradoks berikut, yang dirumuskan sebagai teka-teki yang disarankan seseorang kepadanya.

Biarkan tukang cukur tinggal di desa tertentu, yang mencukur semua penduduk desa yang tidak mencukur sendiri, dan hanya mereka. Apakah tukang cukur mencukur dirinya sendiri?

Setiap jawaban mengarah pada kontradiksi. Russell mencatat bahwa paradoks ini tidak setara dengan paradoksnya dan mudah dipecahkan. Memang, seperti paradoks Russell yang menunjukkan bahwa tidak ada himpunan Russell, paradoks tukang cukur menunjukkan bahwa tidak ada tukang cukur seperti itu. Perbedaannya adalah bahwa tidak ada yang mengejutkan dengan tidak adanya tukang cukur seperti itu: tidak untuk properti apa pun ada tukang cukur yang mencukur orang dengan properti ini. Namun, fakta bahwa tidak ada himpunan elemen yang diberikan oleh beberapa properti yang terdefinisi dengan baik bertentangan dengan gagasan naif tentang himpunan dan memerlukan penjelasan.

Opsi tentang direktori

Kata-kata yang paling dekat dengan paradoks Russell adalah versi presentasinya berikut:

Katalog bibliografi adalah buku-buku yang menggambarkan buku-buku lain. Beberapa direktori mungkin menjelaskan direktori lain. Beberapa direktori bahkan dapat menggambarkan diri mereka sendiri. Apakah mungkin untuk membuat katalog semua katalog yang tidak menggambarkan diri mereka sendiri?

Sebuah paradoks muncul ketika mencoba memutuskan apakah direktori ini harus menggambarkan dirinya sendiri. Terlepas dari kedekatan formulasi (ini sebenarnya adalah paradoks Russell, di mana katalog digunakan alih-alih set), paradoks ini, seperti paradoks tukang cukur, diselesaikan dengan sederhana: katalog semacam itu tidak dapat dikompilasi.

Paradoks Grelling-Nelson

Paradoks ini dirumuskan oleh matematikawan Jerman Kurt Grelling dan Leonard Nelson pada tahun 1908. Ini sebenarnya adalah terjemahan dari paradoks versi asli Russell, yang dinyatakan olehnya dalam istilah logika predikat (lihat surat kepada Frege), ke dalam bahasa non-matematis.

Mari kita sebut kata sifat reflektif jika kata sifat ini memiliki properti yang ditentukan oleh kata sifat ini. Misalnya, kata sifat "Rusia", "bersuku banyak" - memiliki sifat yang mereka definisikan (kata sifat "Rusia" adalah Rusia, dan kata sifat "bersuku banyak" adalah bersuku banyak), jadi mereka refleksif, dan kata sifat "Jerman", "bersuku kata satu" - adalah non-reflektif. Akankah kata sifat "non-reflektif" menjadi refleksif atau tidak?

Setiap jawaban mengarah pada kontradiksi. Berbeda dengan paradoks tukang cukur, solusi untuk paradoks ini tidak sesederhana itu. Seseorang tidak bisa begitu saja mengatakan bahwa kata sifat ("non-reflektif") seperti itu tidak ada, karena kita baru saja mendefinisikannya. Paradoks muncul dari fakta bahwa definisi istilah "non-reflektif" itu sendiri tidak benar. Definisi istilah ini tergantung pada nilai-nilai kata sifat yang diterapkannya. Dan karena kata "non-reflektif" itu sendiri merupakan kata sifat dalam definisi, lingkaran setan pun terjadi.

Cerita

Russell mungkin menemukan paradoksnya pada Mei atau Juni 1901. Menurut Russell sendiri, dia mencoba menemukan kesalahan dalam pembuktian Cantor tentang fakta paradoks (dikenal sebagai Paradoks Cantor) bahwa tidak ada bilangan kardinal maksimum (atau himpunan semua himpunan). Akibatnya, Russell mendapat paradoks yang lebih sederhana. Russell mengomunikasikan paradoksnya kepada ahli logika lain, terutama Whitehead dan Peano. Dalam suratnya kepada Frege pada 16 Juni 1902, ia menulis bahwa ia menemukan kontradiksi dalam " Kalkulus Konsep” - sebuah buku karya Frege, diterbitkan pada tahun 1879. Dia meletakkan paradoksnya dalam hal logika dan kemudian dalam teori himpunan, menggunakan definisi fungsi Frege:

Saya mengalami kesulitan hanya di satu tempat. Anda mengklaim (hal. 17) bahwa suatu fungsi itu sendiri dapat bertindak sebagai yang tidak diketahui. Dulu saya juga berpikir begitu. Tetapi sekarang pandangan ini tampak meragukan bagi saya karena kontradiksi berikut. Biarlah w predikat: "menjadi predikat yang tidak dapat diterapkan pada dirinya sendiri." Bisa w berlaku untuk dirinya sendiri? Setiap jawaban menyiratkan sebaliknya. Oleh karena itu, kita harus menyimpulkan bahwa w bukanlah predikat. Demikian pula, tidak ada kelas (secara keseluruhan) dari kelas-kelas yang, secara keseluruhan, bukan milik mereka sendiri. Dari sini saya menyimpulkan bahwa terkadang himpunan tertentu tidak membentuk formasi holistik.

Teks asli (Jerman)
Nur di einem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begegnet. Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Elemen bilden. Dies habe ich früher geglaubt, jedoch jetzt scheint mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs: Sei w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht prädicirt werden kann. Kann man w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Antwort folgt das Gegentheil. Deshalb muss man schließen dass w kein Prädicat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet .

Frege menerima surat itu tepat pada saat ia menyelesaikan pekerjaannya pada jilid kedua The Fundamental Laws of Arithmetic (Jerman: Grundgesetze der Arithmetik). Frege tidak punya waktu untuk mengoreksi teori himpunannya. Dia hanya menambahkan lampiran ke volume kedua dengan eksposisi dan analisisnya tentang paradoks, yang dimulai dengan komentar terkenal:

Tidak mungkin sesuatu yang lebih buruk dapat terjadi pada seorang ilmuwan daripada jika tanah ditarik keluar dari bawah kakinya pada saat dia menyelesaikan pekerjaannya. Dalam posisi inilah saya menemukan diri saya ketika saya menerima surat dari Bertrand Russell, ketika pekerjaan saya sudah selesai.

Teks asli (Jerman)
Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. Dalam diese Lage wurde ich durch einen Singkat des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte .

z ( x: P (x) ) P (z) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\)\iff P(z)),

yang mengatakan bahwa adalah mungkin untuk membangun satu set elemen yang memenuhi properti P (x) , (\gaya tampilan P(x),) dia menyarankan menggunakan aksioma berikut:

z ( x: P (x) ) P (z) & z ( x: P (x) ) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\)\iff P(z)\ \&\ z\neq \(x\colon P(x)\)),

sehingga menghilangkan kemungkinan suatu himpunan menjadi anggota dari dirinya sendiri. Namun, sedikit [ yang?] modifikasi paradoks Russell membuktikan bahwa aksioma ini juga mengarah pada kontradiksi.

Russell menerbitkan paradoksnya dalam bukunya " Prinsip Matematika" pada tahun 1903 .

Di bawah ini adalah beberapa pendekatan yang mungkin untuk membangun sistem aksioma yang bebas dari paradoks Russell.

teori tipe Russell

Russell sendiri adalah orang pertama yang mengajukan teori yang bebas dari paradoks Russell. Dia mengembangkan teori tipe, versi pertama yang muncul dalam buku Russell and Whitehead Prinsip Matematika" pada tahun 1903 . Teori ini didasarkan pada gagasan berikut: objek sederhana dalam teori ini memiliki tipe 0, himpunan objek sederhana memiliki tipe 1, himpunan himpunan objek sederhana memiliki tipe 2, dan seterusnya. Dengan demikian, tidak ada himpunan yang dapat memiliki dirinya sendiri sebagai elemen. Baik himpunan semua himpunan maupun himpunan Russell tidak dapat didefinisikan dalam teori ini. Hirarki serupa diperkenalkan untuk pernyataan dan properti. Proposisi tentang objek sederhana termasuk tipe 1, proposisi tentang sifat-sifat proposisi tipe 1 termasuk tipe 2, dan seterusnya. Secara umum, suatu fungsi, menurut definisi, memiliki tipe yang lebih tinggi daripada variabel yang menjadi sandarannya. Pendekatan ini memungkinkan Anda untuk menyingkirkan tidak hanya paradoks Russell, tetapi juga banyak paradoks lainnya, termasuk paradoks pembohong (), paradoks Grelling-Nelson, paradoks Burali-Forti. Russell dan Whitehead menunjukkan bagaimana mereduksi semua matematika menjadi aksioma teori tipe dalam Principia Mathematica tiga jilid mereka, yang diterbitkan pada tahun 1910-1913.

Namun, pendekatan ini menemui kesulitan. Secara khusus, masalah muncul dalam mendefinisikan konsep seperti batas atas terbaik untuk himpunan bilangan real. Menurut definisi, batas atas terkecil adalah yang terkecil dari semua batas atas. Oleh karena itu, ketika menentukan batas atas terkecil, himpunan bilangan real digunakan. Oleh karena itu, batas atas terkecil adalah objek dari jenis yang lebih tinggi dari bilangan real. Ini berarti bahwa itu sendiri bukan bilangan real. Untuk menghindari ini, perlu untuk memperkenalkan apa yang disebut aksioma reducibility. Karena kesewenang-wenangannya, banyak matematikawan menolak untuk menerima aksioma reducibility, dan Russell sendiri menyebutnya sebagai cacat dalam teorinya. Selain itu, teorinya ternyata sangat kompleks. Akibatnya, itu belum menerima aplikasi luas.

Teori himpunan Zermelo-Fraenkel

Pendekatan paling terkenal untuk aksiomatisasi matematika adalah teori himpunan Zermelo-Fraenkel (ZF), yang berasal sebagai perpanjangan dari Teori Zermelo(1908). Tidak seperti Russell, Zermelo mempertahankan prinsip-prinsip logis dan hanya mengubah aksioma teori himpunan. Ide dari pendekatan ini adalah diperbolehkan untuk menggunakan hanya set yang dibangun dari set yang sudah dibangun menggunakan set aksioma tertentu. Sebagai contoh, salah satu aksioma Zermelo mengatakan bahwa adalah mungkin untuk membangun himpunan dari semua himpunan bagian dari himpunan yang diberikan (aksioma Boolean). Aksioma lain ( skema seleksi) mengatakan bahwa dari setiap himpunan dimungkinkan untuk memilih subset elemen yang memiliki properti tertentu. Inilah perbedaan utama antara teori himpunan Zermelo dan teori himpunan naif: dalam teori himpunan naif, Anda dapat mempertimbangkan himpunan semua elemen yang memiliki properti tertentu, dan dalam teori himpunan Zermelo, Anda hanya dapat memilih subset dari himpunan yang sudah dibangun . Dalam teori himpunan Zermelo, tidak mungkin membangun himpunan semua himpunan. Jadi, himpunan Russell juga tidak dapat dibangun di sana.

Kelas

Kadang-kadang dalam matematika berguna untuk mempertimbangkan semua himpunan secara keseluruhan, misalnya, untuk mempertimbangkan totalitas semua kelompok. Untuk melakukan ini, teori himpunan dapat diperluas dengan gagasan kelas , seperti, misalnya, dalam sistem Neumann- Bernays- Gödel (NBG). Dalam teori ini, himpunan semua himpunan adalah kelas. Namun, kelas ini bukan himpunan dan bukan anggota kelas mana pun, sehingga menghindari paradoks Russell.

Sistem yang lebih kuat yang memungkinkan seseorang untuk mengambil quantifier di atas kelas, dan bukan hanya di atas set, adalah, misalnya, Teori himpunan Morse - Kelly(MK). Dalam teori ini, konsep utama adalah konsep kelas, tapi tidak set. Himpunan dalam teori ini dianggap sebagai kelas yang merupakan elemen dari beberapa kelas. Dalam teori ini, rumus z ( x: P (x) ) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\)) dianggap setara dengan rumus

P (z) & y . z y (\displaystyle P(z)\ \&\ \ada y.z\di y).

Sebagai y . z y (\displaystyle \ada y.z\di y) dalam teori ini berarti bahwa kelas z (\gaya tampilan z) adalah banyak, rumus ini harus dipahami sebagai ( x: P (x) ) (\displaystyle \(x\colon P(x)\)) adalah kelas dari semua set(bukan kelas) z (\gaya tampilan z), seperti yang P (z) (\gaya tampilan P(z)). Paradoks Russell dalam teori ini diselesaikan dengan fakta bahwa tidak setiap kelas adalah himpunan.

Seseorang dapat melangkah lebih jauh dan mempertimbangkan koleksi kelas - konglomerat, kumpulan konglomerat, dan sebagainya.

Dampak pada matematika

Aksiomatisasi matematika

Paradoks Russell, bersama dengan antinomi matematika lainnya yang ditemukan pada awal abad ke-20, mendorong revisi fondasi matematika, yang menghasilkan konstruksi teori aksiomatik untuk membenarkan matematika, beberapa di antaranya disebutkan di atas.

Dalam semua teori aksiomatik baru yang dibangun, paradoks yang dikenal pada pertengahan abad ke-20 (termasuk paradoks Russell) dihilangkan. Namun, untuk membuktikan bahwa paradoks baru yang serupa tidak dapat ditemukan di masa depan (ini adalah masalah konsistensi teori aksiomatik yang dibangun), ternyata, dalam pemahaman modern masalah ini, tidak mungkin (lihat teorema Gödel tentang ketidaklengkapan) .

Intuisionisme

Secara paralel, tren baru dalam matematika muncul, yang disebut intuisionisme, yang pendirinya adalah L. E. Ya. Brouwer. Intuisionisme muncul secara independen dari paradoks Russell dan antinomi lainnya. Namun, penemuan antinomi dalam teori himpunan meningkatkan ketidakpercayaan para intuisionis terhadap prinsip-prinsip logis dan mempercepat pembentukan intuisionisme. Tesis utama intuisionisme mengatakan bahwa untuk membuktikan keberadaan beberapa objek, perlu untuk menyajikan metode untuk konstruksinya. Intuisionis menolak konsep abstrak seperti himpunan semua himpunan. Intuitionisme menyangkal hukum tengah yang dikecualikan, namun, harus dicatat bahwa hukum tengah yang dikecualikan tidak diperlukan untuk menurunkan kontradiksi dari antinomi Russell atau lainnya (dalam antinomi mana pun terbukti bahwa A (\gaya tampilan A) mengandung negasi A (\gaya tampilan A) dan penolakan A (\gaya tampilan A) memerlukan A , (\gaya tampilan A,) namun, dari (A A) & (¬ A A) (\displaystyle (A\Panah Kanan \neg A)\&(\neg A\Panah Kanan A)) bahkan dalam logika intuisionistik sebuah kontradiksi mengikuti). Perlu juga dicatat bahwa dalam aksiomatisasi matematika intuisionistik selanjutnya, ditemukan paradoks yang mirip dengan paradoks Russell, seperti, misalnya, Paradoks Girard dalam kata aslinya Martin Loef.

Argumen diagonal (penerapan diri)

Terlepas dari kenyataan bahwa penalaran Russell mengarah ke paradoks, ide utama dari penalaran ini sering digunakan dalam pembuktian teorema matematika. Seperti disebutkan di atas, Russell mendapatkan paradoksnya dengan menganalisis bukti Cantor tentang tidak adanya bilangan kardinal terbesar. Fakta ini bertentangan dengan keberadaan himpunan semua himpunan, karena kardinalitasnya harus maksimum. Namun, menurut teorema Cantor, himpunan semua himpunan bagian dari suatu himpunan tertentu memiliki kardinalitas yang lebih besar daripada himpunan itu sendiri. Bukti dari fakta ini didasarkan pada hal berikut: diagonalargumen?!:

Biarkan ada korespondensi satu-satu , yang untuk setiap elemen x (\gaya tampilan x) set X (\gaya tampilan X) cocok dengan subset s x (\gaya tampilan s_(x)) set x. (\gaya tampilan X.) Biarlah d (\gaya tampilan d) akan menjadi satu set elemen x (\gaya tampilan x) seperti yang x s x (\displaystyle x\in s_(x)) (himpunan diagonal). Maka komplemen dari himpunan ini s = d (\displaystyle s=(\overline (d))) tidak bisa menjadi salah satu sx. (\gaya tampilan s_(x).) Oleh karena itu, korespondensi tidak satu-ke-satu.

Cantor menggunakan argumen diagonal untuk membuktikan tak terhitungnya bilangan real pada tahun 1891. (Ini bukan bukti pertamanya tentang tak terhitungnya bilangan real, tetapi yang paling sederhana).

Paradoks terkait

Penerapan diri digunakan dalam banyak paradoks selain yang dibahas di atas:

Paradoks kemahakuasaan adalah pertanyaan abad pertengahan: "Dapatkah dewa yang maha kuasa menciptakan batu yang tidak dapat diangkatnya sendiri?"
Paradoks Burali-Forti (1897) adalah analog dari paradoks Cantor untuk bilangan urut.
Paradoks Mirimanov (1917) adalah generalisasi dari paradoks Burali-Forti untuk kelas dari semua kelas yang beralasan.
Paradoks Richard (1905) adalah paradoks semantik yang menunjukkan pentingnya memisahkan bahasa matematika dan metamatematika.
Paradoks Berry (1906) adalah versi sederhana dari paradoks Richard yang diterbitkan oleh Russell.
Paradoks Kleene-Rosser(1935) - perumusan paradoks Richard dalam hal -kalkulus.
Paradoks Curry (1941) adalah penyederhanaan dari paradoks Kleene-Rosser.
Paradoks Girard(1972) - perumusan paradoks Burali-Forti dalam hal teori tipe intuisionistik .
adalah paradoks semi-bercanda yang mengingatkan pada paradoks Berry.

Catatan

Tautan Godhard (2004) Satu seratus tahun paradoks Russell, dengan. 350, ISBN 9783110174380 , .
Antinomi Russell // Kamus Logika. Ivin A.A., Nikiforov A.L.- M.: Tumanit, VLADOS, 1997. - 384 hal. - ISBN 5-691-00099-3.
Andrew David Irvine, Harry Deutsch. Russell "s Paradox // Ensiklopedia Filsafat Stanford / Edward N. Zalta. - 01-01-2014.
Antinomi- artikel dari Ensiklopedia Matematika. A.G. Dragalin
A.S. Gerasimov. Kursus, matematika, logika, dan teori, kemampuan komputasi. - Edisi ketiga, direvisi dan diperbesar. - St. Petersburg: LEMA, 2011. - S. 124-126. - 284 hal.

paling banyak umum bentuk paradoks Bertrand Russell terlihat seperti itu:

Misalkan M adalah himpunan semua himpunan yang tidak memuat dirinya sendiri sebagai elemennya. Pertanyaan: Apakah M mengandung dirinya sendiri sebagai elemen?

Jika jawabannya "ya", maka, menurut definisi M, itu tidak boleh menjadi elemen M, dan kita memiliki kontradiksi.

Jika jawabannya "tidak" - maka, menurut definisi M, itu harus menjadi elemen M - lagi-lagi kontradiksi ...

“Apa inti dari kontradiksi itu? Sebuah kelas kadang-kadang dan kadang-kadang bukan anggota dari dirinya sendiri. " Kelas sendok teh, misalnya, bukanlah sendok teh yang lain, tetapi kelas hal-hal yang bukan sendok teh adalah beberapa hal yang bukan sendok teh."

Paradoks Russell terkait dengan penggunaan gagasan kelas dari semua kelas yang tepat. "Own" adalah kelas yang tidak memuat dirinya sendiri sebagai anggotanya. "Improper" adalah kelas yang seharusnya berisi dirinya sendiri sebagai anggotanya. Diasumsikan bahwa ini adalah kelas dari semua kelas. Berkenaan dengan kelas dari semua kelas yang tepat ("kelas Russell"), muncul pertanyaan: apa itu - pantas atau tidak pantas? Jika kita berasumsi bahwa itu milik sendiri, maka itu harus ditugaskan ke kelas yang bukan milik sendiri, dan sebaliknya.

Dengan cara yang setengah bercanda, Russell menyajikan paradoks ini melalui apa yang disebut paradoks "Barber" dalam An Introduction to the Philosophy of Mathematics (1919). Tukang cukur desa harus mencukur semua orang dan hanya penduduk desanya yang tidak mencukur dirinya sendiri. Haruskah dia mencukur dirinya sendiri? Jika dia mencukur dirinya sendiri, maka dia mencukur dirinya sendiri dan tidak berhak mencukur dirinya sendiri. Tetapi jika dia tidak mencukur dirinya sendiri, dia berhak mencukur dirinya sendiri. Dengan cara ini, seseorang juga dapat menunjukkan paradoksalitas "kumpulan semua himpunan yang bukan elemen yang tepat." Perlu dicatat bahwa "Barber" bukanlah "paradoks murni", karena hanya mengikuti bahwa penata rambut seperti itu tidak dapat ada sama sekali, yaitu "pada prinsipnya, tidak ada kepastian yang jelas dan konsisten yang dapat ditemukan untuk set yang mengandung elemen ini. didefinisikan hanya dalam hal totalitas ini, serta unsur-unsur yang mencakup atau menyiratkan totalitas ini. Paradoks dihilangkan dengan kesimpulan bahwa jika beberapa premis menimbulkan kontradiksi, maka mereka salah.

Antinomi Russell memainkan peran penting dalam pengembangan dasar-dasar matematika. Ini merusak fondasi teori himpunan, logika yang sangat baru, menjadi bencana nyata dan runtuhnya harapan mereka yang berurusan dengan masalah pembuktian matematika dan logika pada pergantian abad 19-20.

Russell pada tahun 1903 tidak secara terbuka mengakui bahwa dia telah menemukan solusi dari paradoks tersebut. Dalam "Pengantar" untuk "Prinsip-prinsip Matematika", ia mencatat bahwa satu-satunya pembenaran untuk menerbitkan sebuah karya yang memiliki sejumlah pertanyaan yang belum terselesaikan adalah bahwa penelitian ini memungkinkan untuk menembus lebih dalam ke sifat kelas. Russell mengusulkan teori tipe sederhana sebagai solusi yang mungkin dalam "Lampiran B" untuk makalah ini. Di masa depan, dia sampai pada kesimpulan bahwa teori inilah, yang dikembangkan menjadi sebuah sistem, yang memungkinkan untuk menghilangkan paradoks.

Kolesnikov A.S., Filsafat Bertrand Russell, L., Leningrad University Press, 1991, hlm. 84-85.

Portal untuk siswa. Latihan mandiri