Konsep terpenting dalam teori ruang linier adalah ketergantungan linier vektor. Sebelum mendefinisikan konsep ini, mari kita lihat beberapa contoh.
Contoh. 1. Diketahui sistem tiga vektor berikut dari ruang Tk:
Sangat mudah untuk melihatnya juga
2. Sekarang mari kita ambil sistem vektor lain dari
Sulit untuk melihat hubungan yang mirip dengan persamaan (1) untuk sistem vektor ini. Namun, mudah untuk memeriksanya
Koefisien 4, -7,5 dari hubungan (2) dapat ditemukan sebagai berikut. Mari kita nyatakan mereka sebagai tidak diketahui, kita akan menyelesaikan persamaan vektor:
Setelah melakukan operasi perkalian dan penjumlahan yang ditunjukkan dan meneruskan ke persamaan komponen vektor dalam (2), kami memperoleh sistem persamaan linier homogen sehubungan dengan
Salah satu solusi untuk sistem ini adalah:
3. Perhatikan sistem vektor:
Persamaan
mengarah ke sistem persamaan yang memiliki solusi unik - nol. (Periksa!) Jadi, dari persamaan (3) berikut,
yang Dengan kata lain, persamaan (3) dipenuhi hanya untuk
Sistem vektor dalam contoh 1-2 bergantung linier, sistem contoh 3 bebas linier.
Definisi 3. Suatu sistem vektor dalam ruang linier di atas suatu bidang dikatakan bergantung linier jika tidak semua bilangan dari bidang R sama dengan nol sedemikian rupa sehingga
Jika untuk persamaan vektor hanya terjadi pada sistem vektor disebut bebas linier.
Perhatikan bahwa sifat ketergantungan linier dan kemerdekaan adalah sifat sistem vektor. Namun, kata sifat yang sama banyak digunakan dalam literatur ketika diterapkan langsung ke vektor itu sendiri, dan mereka mengatakan, dengan kebebasan berbicara, "sistem vektor bebas linier" dan bahkan "vektor bebas linier."
Jika hanya ada satu vektor a dalam sistem, maka untuk sifat 6 (§ 2), maka sistem yang terdiri dari satu vektor tak nol bebas linier. Sebaliknya, setiap sistem vektor yang mengandung nol vektor 0 bergantung secara linier. Misalnya, jika
Jika sistem dua vektor bergantung linier, maka persamaan berlaku untuk (atau . Maka
yaitu vektor-vektornya proporsional. Kebalikannya juga benar, karena mengikuti dari.Oleh karena itu, sistem dua vektor bergantung linier jika dan hanya jika vektor-vektornya proporsional.
Vektor proporsional dari terletak pada garis lurus yang sama; sehubungan dengan ini dan dalam kasus umum, vektor proporsional kadang-kadang disebut collinear.
Kami mencatat beberapa sifat ketergantungan linier vektor.
Sifat 1. Suatu sistem vektor yang mengandung subsistem yang bergantung linier adalah bergantung linier.
Biarkan subsistem bergantung linier
Maka tidak semua bilangan nol sedemikian rupa sehingga
Menambahkan vektor yang tersisa dari sistem yang diberikan dengan koefisien nol ke sisi kiri persamaan ini, kami memperoleh yang diperlukan.
Hal ini mengikuti dari properti 1 bahwa setiap subsistem dari sistem vektor bebas linier adalah bebas linier.
Sifat 2. Jika sistem vektor
bebas linier, dan sistem vektor
bergantung linier, maka vektor dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor-vektor sistem (4).
Karena sistem vektor (5) bergantung linier, tidak semua bilangan sama dengan nol sehingga
Jika kemudian dan kemudian koefisien bukan nol akan berada di antara yang berarti ketergantungan linier dari sistem (4). Oleh karena itu, dan
Properti 3. Sistem terurut dari vektor bukan nol
bergantung linier jika dan hanya jika beberapa vektor merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor sebelumnya.
Biarkan sistem menjadi tergantung linier. Karena vektor tersebut bebas linier. Dilambangkan dengan bilangan asli terkecil yang sistemnya bergantung linier. (Ini ada: dalam kasus ekstrim, jika sistem bebas linier, maka tidak semua bilangan sama dengan nol sedemikian rupa sehingga persamaan
Jika maka koefisien bukan nol akan berada di antara dan persamaan akan berlaku
yang berarti ketergantungan linier dari sistem, tetapi ini akan bertentangan dengan pilihan nomor
Sebaliknya, dari persamaan (7) properti 1 menyiratkan ketergantungan linier dari sistem
Sifat 3 dengan mudah mengimplikasikan bahwa sistem vektor bergantung linier jika dan hanya jika paling sedikit salah satu vektornya dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor lainnya. Dalam pengertian ini, mereka mengatakan bahwa konsep ketergantungan linier setara dengan konsep ekspresibilitas linier.
Sifat 4. Jika vektor x dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor-vektor sistem
dan vektor dinyatakan secara linier dalam vektor-vektor yang tersisa dari sistem (8), maka vektor tersebut juga dinyatakan secara linier dalam vektor-vektor sistem ini (8).
Memang,
Sekarang kita dapat membuktikan salah satu teorema terpenting tentang ketergantungan linier vektor.
Teorema 1. Jika setiap vektor dari sistem bebas linier
adalah kombinasi linear dari vektor
maka Dengan kata lain, dalam sistem vektor bebas linier yang merupakan kombinasi linier dari vektor, jumlah vektor tidak boleh lebih dari
Bukti. langkah pertama. Mari membangun sistem
Dengan asumsi, setiap vektor sistem (9), khususnya, vektor dinyatakan secara linier dalam vektor (10), dan oleh karena itu sistem (11) bergantung secara linier. Dengan sifat 3 dalam sistem (11), beberapa vektor di mana dinyatakan secara linier dalam vektor-vektor sebelumnya, dan oleh karena itu juga dalam vektor-vektor sistem
diperoleh dari (11) dengan menghapus vektor Dari sini, dengan sifat 4, kita mendapatkan: setiap vektor sistem (9) dinyatakan secara linier dalam vektor-vektor sistem (12).
langkah ke-2. Menerapkan penalaran yang sama seperti pada langkah ke sistem vektor
dan (12) dan dengan mempertimbangkan bahwa sistem vektor bebas linier, kita memperoleh sistem vektor
melalui mana semua vektor sistem (9) dinyatakan secara linier.
Jika kita berasumsi bahwa dengan melanjutkan proses ini, kita akan menghabiskan semua vektor melalui langkah-langkah dan mendapatkan sistem
sedemikian rupa sehingga setiap vektor sistem (9), khususnya, dinyatakan secara linier dalam vektor-vektor sistem (14). Kemudian sistem (9) ternyata bergantung linier, yang bertentangan dengan kondisi. Tetap menerima itu
Sekarang mari kita perhatikan apa arti ketergantungan linier dari vektor-vektor dalam ruang yang berbeda.
1. Ruang Jika sistem dua vektor bergantung linier, maka atau, yaitu, vektor-vektornya kolinear. Kebalikannya juga benar. Suatu sistem dari tiga vektor ruang adalah bergantung linier jika dan hanya jika mereka terletak pada bidang yang sama. (Buktikan!) Sistem empat vektor ruang selalu bergantung linier. Memang, jika ada subsistem dari sistem kita yang bergantung linier, maka seluruh sistem bergantung secara linier. Namun, jika tidak ada subsistem yang tepat yang bergantung secara linier, maka, menurut subsistem sebelumnya, ini berarti bahwa tidak ada tiga vektor dari sistem kita yang terletak pada bidang yang sama. Kemudian dari pertimbangan geometris bahwa ada bilangan real sedemikian rupa sehingga paralelepiped dengan vektor tepi akan memiliki diagonal, yaitu, dalam persamaan
Mari kita lanjutkan ke deskripsi sifat-sifat ruang linier. Pertama-tama, mereka memasukkan hubungan antara elemen-elemennya.
Kombinasi linear elemen di atas bidang bilangan real R disebut elemen
Definisi. Himpunan elemen , disebut bebas linier, jika dari persamaan
itu tentu mengikuti bahwa ,. Jelas bahwa setiap bagian dari elemen juga bebas linier. Jika paling sedikit satu dari, maka himpunan tersebut disebut bergantung linier.
ContohAKU AKU AKU.6. Biarkan himpunan vektor diberikan. Jika salah satu vektor adalah, misalnya, maka sistem vektor tersebut bergantung linier. Memang, biarkan himpunan,, …,,, …, bebas linier, maka dari persamaan itu.
Menambahkan ke himpunan ini vektor dikalikan, kita masih memiliki persamaan
Oleh karena itu, himpunan vektor, serta setiap elemen lain yang mengandung elemen nol, selalu bergantung linier .
Komentar. Jika himpunan vektor kosong, maka himpunan tersebut bebas linier. Memang, jika tidak ada indeks, maka tidak mungkin untuk memilih angka bukan nol yang sesuai untuk mereka sehingga jumlah bentuknya (III.2) sama dengan 0. Interpretasi independensi linier semacam itu dapat diambil sebagai bukti, terutama karena hasil seperti itu sesuai dengan teori 11.
Sehubungan dengan hal tersebut di atas, maka definisi independensi linier dapat dirumuskan sebagai berikut: himpunan elemen-elemen bebas linier jika dan tidak ada indeks untuknya. Secara khusus, set ini juga bisa kosong.
ContohAKU AKU AKU.7. Setiap dua vektor geser bergantung linier. Ingatlah bahwa vektor geser adalah vektor yang terletak pada satu garis lurus. Mengambil vektor satuan, Anda bisa mendapatkan vektor lain dengan mengalikan dengan bilangan real yang sesuai, yaitu, atau. Oleh karena itu, sudah ada dua vektor dalam ruang satu dimensi yang bergantung secara linier.
ContohAKU AKU AKU.8. Pertimbangkan ruang polinomial, di mana ,,,. Ayo tulis
Dengan asumsi ,,, kita peroleh, identik dalam t
yaitu, himpunan bergantung linier. Perhatikan bahwa setiap himpunan berhingga dari bentuk , adalah bebas linier. Untuk pembuktian, perhatikan kasusnya, lalu dari persamaannya
dalam kasus asumsi ketergantungan liniernya, maka tidak semua bilangan sama dengan nol 1 , 2 , 3 , yang identik untuk sembarang (III.3), tetapi ini bertentangan dengan teorema dasar aljabar: sembarang polinomial n-gelar tidak lebih dari n akar nyata. Dalam kasus kami, persamaan ini hanya memiliki dua akar, dan bukan jumlah tak terhingga. Kami mendapat kontradiksi.
2. Kombinasi linier. pangkalan
Biarlah. Kami akan mengatakan itu di sana kombinasi linear elemen.
DalilAKU AKU AKU.1 (utama). Himpunan elemen bukan nol bergantung linier jika dan hanya jika beberapa elemen merupakan kombinasi linier dari elemen sebelumnya.
Bukti. Membutuhkan. Misalkan elemen ,, …, bergantung linier dan biarkan menjadi bilangan asli pertama di mana elemen ,, …, bergantung linier, maka
karena tidak semua sama dengan nol dan tentu (jika tidak, koefisien ini akan menjadi, yang akan bertentangan dengan yang dinyatakan). Oleh karena itu kami memiliki kombinasi linier
Kecukupan jelas karena setiap himpunan yang memuat himpunan bergantung linier itu sendiri bergantung linier .
Definisi. Basis (sistem koordinat) ruang linier L disebut himpunan A elemen bebas linier, sehingga setiap elemen dari L adalah kombinasi linier dari elemen-elemen dari A, 11.
Kami akan mempertimbangkan ruang linier berdimensi hingga ,.
ContohAKU AKU AKU.9. Pertimbangkan ruang vektor tiga dimensi . Ambil vektor satuan,,. Mereka membentuk dasar untuk
Mari kita tunjukkan bahwa vektor-vektor tersebut bebas linier. Memang, kami memiliki
atau . Dari sini, menurut aturan perkalian vektor dengan bilangan dan penjumlahan vektor (Contoh III.2), kita peroleh
Oleh karena itu, ,,▼.
Membiarkan menjadi vektor ruang sewenang-wenang; kemudian, berdasarkan aksioma ruang linier, kami memperoleh
Penalaran serupa berlaku untuk ruang dengan basis, . Ini mengikuti dari teorema utama bahwa dalam ruang linier berdimensi terbatas yang sewenang-wenang L elemen apa pun dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari elemen dasarnya,, ...,, yaitu.
Selain itu, dekomposisi seperti itu unik. Memang, mari kita memiliki
maka setelah dikurangi kita peroleh
Oleh karena itu, karena independensi elemen ,,
Itu adalah .
DalilAKU AKU AKU.2 (sebagai tambahan atas dasar). Membiarkan menjadi ruang linier berdimensi hingga dan menjadi beberapa himpunan elemen bebas linier. Jika mereka tidak membentuk basis, maka dimungkinkan untuk menemukan elemen-elemen seperti itu,, ...,, di mana himpunan elemen membentuk basis. Artinya, setiap himpunan bebas linier dari elemen-elemen ruang linier dapat diselesaikan menjadi suatu basis.
Bukti. Karena ruang berdimensi-hingga, ia memiliki basis yang terdiri, misalnya, dari n elemen, biarkan ini menjadi elemen. Pertimbangkan satu set elemen.
Mari kita terapkan teorema utama. Dalam urutan elemen, pertimbangkan himpunan A. Hal ini jelas bergantung linier, karena salah satu elemen adalah kombinasi linier,,. Karena elemen,, ..., bebas linier, maka penambahan elemen secara berurutan sampai elemen pertama muncul, misalnya, sehingga merupakan kombinasi linier dari vektor sebelumnya dari himpunan ini, yaitu. Menghapus elemen ini dari set A, kita mendapatkan . Kami melanjutkan prosedur ini sampai set ini berisi n elemen bebas linier, di antaranya semua elemen ,, …, dan n-m dari elemen. Himpunan yang dihasilkan akan menjadi basis .
ContohAKU AKU AKU.10. Buktikan bahwa vektor-vektor , , dan membentuk himpunan bergantung linier, dan ketiganya bebas linier.
Mari kita tunjukkan bahwa tidak semua bilangan nol yang
Memang, untuk , kita memiliki
Ketergantungan linier terbukti. Mari kita tunjukkan bahwa tiga vektor, misalnya ,,, membentuk basis. Mari kita buat kesetaraan
Melakukan tindakan dengan vektor, kita mendapatkan
Menyamakan koordinat yang sesuai di bagian kanan dan kiri dari persamaan terakhir, kita mendapatkan sistem persamaan ,,, menyelesaikannya, kita dapatkan.
Alasan yang sama berlaku untuk tiga kali lipat yang tersisa dari vektor ,, atau ,,.
DalilAKU AKU AKU.3 (pada dimensi ruang). Semua basis ruang linier berdimensi-hingga L terdiri dari sejumlah elemen dasar yang sama.
Bukti. Biarkan dua set diberikan, di mana ;,. Kami menetapkan masing-masing dari mereka satu dari dua properti yang menentukan basis: 1) melalui elemen himpunan A elemen apa pun dari L, 2) elemen himpunan B mewakili himpunan bebas linier, tetapi tidak harus semuanya. L. Kami akan menganggap bahwa elemen A dan B dipesan.
Pertimbangkan himpunan A dan berlaku untuk elemen-elemennya m kali metode dari teorema utama. Karena elemen dari B bebas linier, maka kita memperoleh, seperti sebelumnya, himpunan bergantung linier
Memang, jika , maka kita akan mendapatkan himpunan bebas linier, dan sisanya n mengatur elemen B akan diekspresikan secara linier melalui mereka, yang tidak mungkin, yang berarti . Tetapi ini juga tidak mungkin, karena menurut konstruksi himpunan (III.4) memiliki sifat basis dari himpunan A. Karena ruang L berdimensi terbatas, maka hanya , yaitu, dua basis ruang yang berbeda L terdiri dari jumlah elemen yang sama .
Konsekuensi. di mana saja n-dimensi ruang linier () Anda dapat menemukan basis tak terhingga banyak.
Bukti mengikuti dari aturan perkalian elemen ruang linier (vektor) dengan angka.
Definisi. Dimensi ruang linier L adalah jumlah elemen yang membentuk basisnya.
Ini mengikuti dari definisi bahwa himpunan elemen kosong - ruang linier sepele - memiliki dimensi 0, yang, sebagaimana harus dicatat, membenarkan terminologi ketergantungan linier dan memungkinkan kita untuk menyatakan: n-ruang dimensi memiliki dimensi n, .
Jadi, meringkas apa yang telah dikatakan, kita memperoleh bahwa setiap himpunan n+1 item n-ruang linier berdimensi bergantung linier; set dari n elemen-elemen ruang linier adalah suatu basis jika dan hanya jika elemen tersebut bebas linier (atau setiap elemen ruang tersebut merupakan kombinasi linier dari elemen-elemen basisnya); dalam setiap ruang linier, jumlah basa tidak terbatas.
ContohAKU AKU AKU.11 (Teorema Kronecker-Cappelli).
Mari kita memiliki sistem persamaan aljabar linier
di mana A – matriks koefisien sistem, matriks diperpanjang koefisien sistem
Dimana , (III.6)
notasi ini setara dengan sistem persamaan (III.5).
DalilAKU AKU AKU.4 (Kronecker - Capelli). Sistem persamaan aljabar linier (III.5) konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks A sama dengan pangkat matriks , yaitu.
Bukti.Membutuhkan. Biarkan sistem (III.5) konsisten, maka memiliki solusi: ,,. Mengingat (III.6), , , tetapi dalam hal ini ada kombinasi linier dari vektor,, …,. Oleh karena itu, melalui himpunan vektor,,, ..., seseorang dapat mengekspresikan vektor apa pun dari. Ini berarti bahwa.
Kecukupan. Biarlah. Kami memilih basis apa pun dari ,, …,, kemudian diekspresikan secara linier melalui basis (dapat berupa semua vektor, dan bagiannya) dan dengan demikian, melalui semua vektor,. Ini berarti sistem persamaan tersebut konsisten .
Mempertimbangkan n-ruang linier dimensi L. Setiap vektor dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier , di mana himpunan terdiri dari vektor basis. Kami menulis ulang kombinasi linier dalam bentuk dan membuat korespondensi satu-satu antara elemen dan koordinatnya
Artinya antara n-dimensi ruang vektor linier atas n-bidang dimensi bilangan real membentuk korespondensi satu-satu.
Definisi. Dua ruang linier dan di atas medan skalar yang sama isomorfis jika mungkin untuk membuat korespondensi satu-satu antara elemen-elemennya f, maka
yaitu, isomorfisme dipahami sebagai korespondensi satu-satu yang mempertahankan semua hubungan linier. Jelas bahwa ruang isomorfik memiliki dimensi yang sama.
Dari contoh dan definisi isomorfisme, dari sudut pandang mempelajari masalah linieritas, ruang isomorfik adalah sama, oleh karena itu, secara formal alih-alihn-ruang linier dimensiLdi atas bidang, hanya bidang yang dapat dipelajari.
Tugas 1. Cari tahu apakah sistem vektor bebas linier. Sistem vektor akan ditentukan oleh matriks sistem, yang kolom-kolomnya terdiri dari koordinat vektor.
Keputusan. Biarkan kombinasi linier sama dengan nol. Setelah menulis persamaan ini dalam koordinat, kita memperoleh sistem persamaan berikut:
Sistem persamaan seperti itu disebut segitiga. Ini hanya memiliki satu solusi. Oleh karena itu, vektor-vektornya bebas linier.
Tugas 2. Cari tahu apakah sistem vektor bebas linier.
Keputusan. Vektor-vektornya bebas linier (lihat Soal 1). Mari kita buktikan bahwa vektor adalah kombinasi linier dari vektor . Koefisien ekspansi dalam vektor ditentukan dari sistem persamaan
Sistem ini, seperti sistem segitiga, memiliki solusi yang unik.
Oleh karena itu, sistem vektor bergantung linier.
Komentar. Matriks seperti pada soal 1 disebut segitiga , dan dalam masalah 2 – segitiga melangkah . Pertanyaan tentang ketergantungan linier sistem vektor mudah diselesaikan jika matriks yang terdiri dari koordinat vektor-vektor ini berbentuk segitiga bertahap. Jika matriks tidak memiliki bentuk khusus, maka gunakan transformasi string dasar , melestarikan hubungan linier antara kolom, dapat direduksi menjadi bentuk segitiga melangkah.
Transformasi string dasar matriks (EPS) disebut operasi berikut pada matriks:
1) permutasi garis;
2) mengalikan string dengan angka bukan nol;
3) menambahkan ke string string lain, dikalikan dengan angka arbitrer.
Tugas 3. Temukan subsistem bebas linier maksimum dan hitung pangkat sistem vektor
Keputusan. Mari kita kurangi matriks sistem dengan bantuan EPS menjadi bentuk segitiga melangkah. Untuk menjelaskan prosedurnya, garis dengan banyaknya matriks yang akan ditransformasi akan dilambangkan dengan simbol . Kolom setelah panah menunjukkan tindakan yang harus dilakukan pada baris matriks yang dikonversi untuk mendapatkan baris matriks baru.
Jelas, dua kolom pertama dari matriks yang dihasilkan bebas linier, kolom ketiga adalah kombinasi liniernya, dan kolom keempat tidak bergantung pada dua yang pertama. Vektor disebut dasar. Mereka membentuk subsistem independen linier maksimum dari sistem , dan peringkat sistem adalah tiga.
Dasar, koordinat
Tugas 4. Temukan basis dan koordinat vektor dalam basis ini pada himpunan vektor geometris yang koordinatnya memenuhi kondisi .
Keputusan. Himpunan adalah bidang yang melalui titik asal. Sebuah basis arbitrer pada bidang terdiri dari dua vektor non-kolinier. Koordinat vektor dalam basis yang dipilih ditentukan dengan memecahkan sistem persamaan linier yang sesuai.
Ada cara lain untuk menyelesaikan masalah ini, ketika Anda dapat menemukan basis dengan koordinat.
Koordinat ruang bukanlah koordinat pada bidang, karena terkait dengan relasi, yaitu tidak independen. Variabel bebas dan (disebut bebas) secara unik menentukan vektor pada bidang dan, oleh karena itu, mereka dapat dipilih sebagai koordinat dalam . Kemudian basisnya terdiri dari vektor-vektor yang terletak di dan bersesuaian dengan himpunan variabel bebas dan , yaitu .
Tugas 5. Temukan basis dan koordinat vektor dalam basis ini pada himpunan semua vektor dalam ruang , yang koordinat ganjilnya sama satu sama lain.
Keputusan. Kami memilih, seperti pada masalah sebelumnya, koordinat dalam ruang .
Karena , variabel bebas secara unik menentukan vektor dari dan, oleh karena itu, adalah koordinat. Dasar yang sesuai terdiri dari vektor .
Tugas 6. Temukan basis dan koordinat vektor dalam basis ini pada himpunan semua matriks dalam bentuk , di mana adalah bilangan arbitrer.
Keputusan. Setiap matriks dari dapat secara unik direpresentasikan sebagai:
Relasi ini merupakan perluasan dari vektor dalam bentuk basis dengan koordinat .
Tugas 7. Temukan dimensi dan basis rentang linier dari sistem vektor
Keputusan. Menggunakan EPS, kami mengubah matriks dari koordinat vektor sistem ke bentuk segitiga melangkah.
Kolom-kolom dari matriks terakhir bebas linier, dan kolom-kolom diekspresikan secara linier melaluinya. Oleh karena itu, vektor membentuk basis , dan .
Komentar. Dasar di dipilih secara ambigu. Misalnya, vektor juga membentuk basis.
Membiarkan menjadi bidang skalar dan F menjadi himpunan basisnya. Biarkan - -ruang aritmatika dimensi di atas - sistem vektor ruang arbitrer
DEFINISI. Kombinasi linier dari sistem vektor adalah jumlah dari bentuk di mana . Skalar disebut koefisien kombinasi linier. Kombinasi linier disebut nontrivial jika setidaknya salah satu koefisiennya bukan nol. Kombinasi linier disebut trivial jika semua koefisiennya sama dengan nol.
DEFINISI. Himpunan semua kombinasi linier dari vektor-vektor suatu sistem disebut rentang linier dari sistem ini dan dilambangkan dengan . Rentang linier dari sistem kosong dianggap sebagai himpunan yang terdiri dari vektor nol.
Jadi, menurut definisi,
Sangat mudah untuk melihat bahwa rentang linier dari sistem vektor ini ditutup di bawah operasi penjumlahan vektor, pengurangan vektor, dan perkalian vektor dengan skalar.
DEFINISI. Suatu sistem vektor disebut bebas linier jika, untuk setiap skalar, persamaan mengikuti dari persamaan. Sistem vektor kosong
dianggap bebas linier.
Dengan kata lain, sistem vektor berhingga adalah bebas linier jika dan hanya jika kombinasi linear tak-sepele dari vektor-vektor dalam sistem tersebut tidak sama dengan vektor nol.
DEFINISI. Suatu sistem vektor dikatakan bergantung linier jika ada skalar yang tidak semuanya sama dengan nol sehingga
Dengan kata lain, sistem vektor berhingga disebut bergantung linier jika terdapat kombinasi linear tak-sepele dari vektor sistem yang sama dengan vektor nol.
Sistem vektor
disebut sistem vektor satuan dari ruang vektor Sistem vektor ini bebas linier. Memang, untuk setiap skalar kesetaraan menyiratkan kesetaraan, dan karenanya kesetaraan
Pertimbangkan sifat ketergantungan linier dan kemandirian sistem vektor.
PROPERTI 1.1. Sistem vektor yang memuat vektor nol bergantung linier.
Bukti. Jika dalam sistem vektor salah satu vektor, misalnya, vektornya adalah nol, maka kombinasi linier dari vektor-vektor sistem, semua koefisiennya adalah nol, kecuali koefisien di, sama dengan vektor nol. Oleh karena itu, sistem vektor semacam itu bergantung secara linier.
PROPERTI 1.2. Suatu sistem vektor bergantung linier jika salah satu subsistemnya bergantung linier.
Bukti. Membiarkan menjadi subsistem linier tergantung dari sistem, dan biarkan setidaknya salah satu koefisien menjadi bukan nol. Maka Akibatnya, sistem vektor bergantung linier.
KONSEKUENSI. Setiap subsistem dari sistem yang bebas linier adalah bebas linier.
PROPERTI 1.3. Sistem vektor
di mana bergantung linier jika dan hanya jika paling sedikit salah satu vektor merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor sebelumnya.
Bukti. Biarkan sistem (1) bergantung linier dan Maka ada skalar yang tidak semuanya sama dengan nol sedemikian rupa sehingga
Dilambangkan dengan k bilangan terbesar yang memenuhi syarat, maka persamaan (2) dapat ditulis sebagai
Perhatikan bahwa untuk sebaliknya, oleh karena itu, karena . Dari (3) mengikuti persamaan
Mari kita asumsikan bahwa vektor tersebut adalah kombinasi linier dari vektor-vektor yang mendahuluinya, yaitu Kemudian , yaitu, subsistem dari sistem (1) bergantung secara linier. Oleh karena itu, dengan sifat 1.2, sistem asli (1) juga bergantung linier.
PROPERTI 1.4. Jika sistem vektor bebas linier, dan sistem vektor
bergantung linier, maka vektor v dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor
dan dengan cara yang unik.
Bukti. Dengan asumsi, sistem (2) bergantung linier, yaitu, ada skalar yang tidak semuanya sama dengan nol, sehingga
Selain itu, karena di mana bertentangan dengan independensi linier sistem (1). Dari (3) mengikuti persamaan
Berdasarkan independensi linier sistem (1), ini menyiratkan bahwa
PROPERTI 1.5. Jika
Bukti. Kondisi tersebut berarti bahwa ada skalar sedemikian rupa sehingga
Kondisi tersebut berarti bahwa ada skalar sedemikian rupa sehingga
Berdasarkan (1) dan (2) kita peroleh
TEOREMA 1.2. Jika sebuah
maka sistem vektor bergantung linier. Pembuktian (dilakukan dengan induksi pada ).
Sistem vektor disebut bergantung linier, jika ada angka seperti itu , di antaranya setidaknya satu berbeda dari nol, bahwa persamaan https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.
Jika persamaan ini hanya berlaku jika semua , maka sistem vektor disebut bebas linier.
Dalil. Sistem vektor akan bergantung linier jika dan hanya jika paling sedikit salah satu vektornya merupakan kombinasi linier dari vektor lainnya.
Contoh 1 Polinomial adalah kombinasi linier dari polinomial https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomial merupakan sistem independen linier, sejak polinomial https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.
Contoh 2 Sistem matriks , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> bebas linier, karena kombinasi linier sama dengan nol matriks hanya ketika https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> bergantung linier.
Keputusan.
Buat kombinasi linier dari vektor-vektor ini https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height ="22">.
Menyamakan koordinat dengan nama yang sama dari vektor yang sama, kami mendapatkan https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">
Akhirnya kita mendapatkan
Sistem memiliki solusi trivial yang unik, sehingga kombinasi linier dari vektor-vektor ini adalah nol hanya jika semua koefisiennya nol. Oleh karena itu, sistem vektor ini bebas linier.
Contoh 4 Vektor-vektor tersebut bebas linier. Apa yang akan menjadi sistem vektor
Keputusan.
sebuah). Buatlah kombinasi linear dan samakan dengan nol
Menggunakan sifat-sifat operasi dengan vektor dalam ruang linier, kami menulis ulang persamaan terakhir dalam bentuk
Karena vektor-vektornya bebas linier, koefisien untuk harus sama dengan nol, mis..gif" width="12" height="23 src=">
Sistem persamaan yang dihasilkan memiliki solusi sepele yang unik .
Sejak kesetaraan (*) dieksekusi hanya di https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – independen linier;
b). Tulis persamaan https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)
Menerapkan alasan yang sama, kita mendapatkan
Memecahkan sistem persamaan dengan metode Gauss, kita memperoleh
Sistem terakhir memiliki jumlah solusi tak terbatas https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Jadi, ada non- himpunan nol koefisien yang persamaannya (**) . Oleh karena itu, sistem vektor bergantung linier.
Contoh 5 Sistem vektor bebas linier, dan sistem vektor bebas linier..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)
Dalam kesetaraan (***) . Memang, untuk , sistem akan tergantung linier.
Dari relasi (***) kita dapatkan atau Dinotasikan .
Tugas untuk solusi mandiri (di dalam kelas)
1. Sebuah sistem yang mengandung vektor nol adalah bergantung linier.
2. Sistem vektor tunggal sebuah, bergantung linier jika dan hanya jika, a=0.
3. Suatu sistem yang terdiri dari dua vektor adalah bergantung linier jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut sebanding (yaitu, salah satunya diperoleh dari yang lain dengan mengalikan dengan angka).
4. Jika sebuah vektor ditambahkan ke sistem yang bergantung linier, maka sistem yang bergantung linier diperoleh.
5. Jika sebuah vektor dihilangkan dari sistem bebas linier, maka sistem vektor yang dihasilkan bebas linier.
6. Jika sistem S bebas linier, tetapi menjadi tergantung linier ketika sebuah vektor ditambahkan b, maka vektor b dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor-vektor sistem S.
c). Sistem matriks , , Dalam ruang matriks orde kedua.
10. Misalkan sistem vektor sebuah,b,c ruang vektor bebas linier. Buktikan independensi linier dari sistem vektor berikut:
sebuah).a+b, b, c.
b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– nomor arbitrer
c).a+b, a+c, b+c.
11. Biarlah sebuah,b,c adalah tiga vektor pada bidang yang dapat digunakan untuk membentuk segitiga. Akankah vektor-vektor ini bergantung secara linier?
12. Diberikan dua vektor a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Ambil dua vektor 4D lagi a3 dana4 sehingga sistem a1,a2,a3,a4 bebas linier .
