Ada formula luar biasa yang memungkinkan Anda menghitung daerah poligon di grid koordinat hampir tanpa kesalahan. Itu bahkan bukan formula, itu nyata dalil. Sekilas mungkin terlihat rumit. Tetapi itu cukup untuk menyelesaikan beberapa tugas - dan Anda akan memahami betapa kerennya fitur ini. Jadi silakan!

Mari kita mulai dengan definisi baru:

Sebuah node tumpukan koordinat adalah setiap titik yang terletak di persimpangan garis vertikal dan horizontal dari grid ini.

Penamaan:

Pada gambar pertama, node tidak ditandai sama sekali. Yang kedua memiliki 4 node. Akhirnya, pada gambar ketiga, semua 16 node ditandai.

Apa hubungannya dengan masalah B5? Faktanya adalah bahwa simpul poligon dalam masalah seperti itu selalu terletak di node dari grid. Akibatnya, teorema berikut bekerja untuk mereka:

Dalil. Pertimbangkan poligon pada kisi koordinat yang simpulnya terletak pada simpul dari kisi ini. Maka luas poligon tersebut adalah :

dimana n adalah jumlah node di dalam poligon yang diberikan, k adalah jumlah node yang terletak pada batasnya (boundary node).

Sebagai contoh, pertimbangkan segitiga biasa pada kisi koordinat dan coba tandai simpul internal dan batas.

Gambar pertama menunjukkan segitiga biasa. Pada gambar kedua, node internalnya ditandai, yang jumlahnya n = 10. Pada gambar ketiga, node yang terletak di perbatasan ditandai, totalnya ada k = 6.

Mungkin banyak pembaca yang belum paham cara menghitung angka n dan k. Mulailah dengan node internal. Semuanya jelas di sini: kami melukis segitiga dengan pensil dan melihat berapa banyak simpul yang diarsir.

Dengan node batas, ini sedikit lebih rumit. perbatasan poligon - garis putus-putus tertutup, yang memotong grid koordinat di banyak titik. Cara termudah adalah dengan menandai beberapa titik "awal", dan kemudian mengelilingi sisanya.

Node batas hanya akan menjadi titik-titik pada polyline di mana mereka berpotongan secara bersamaan tiga baris:

1. Sebenarnya, garis putus-putus;
2. Garis kisi horizontal;
3. garis vertikal.

Mari kita lihat bagaimana semuanya bekerja dalam masalah nyata.

Tugas. Cari luas segitiga jika ukuran sel 1 x 1 cm:

Pertama, mari kita tandai simpul yang terletak di dalam segitiga, serta di perbatasannya:

Ternyata hanya ada satu simpul internal: n = 1. Ada enam simpul batas: tiga bertepatan dengan simpul segitiga, dan tiga lagi terletak di samping. Jumlah k = 6.

Sekarang kita hitung luasnya menggunakan rumus:

Itu saja! Masalah terpecahkan.

Tugas. Cari luas segi empat yang digambar di atas kertas kotak-kotak dengan ukuran sel 1 cm kali 1 cm Berikan jawaban Anda dalam sentimeter persegi.

Sekali lagi, kami menandai simpul internal dan batas. Ada n = 2 simpul internal, simpul batas: k = 7, 4 di antaranya adalah titik sudut segi empat, dan 3 lagi terletak di sisi.

Tetap mengganti angka n dan k dalam rumus luas:

Perhatikan contoh terakhir. Masalah ini sebenarnya diusulkan pada pekerjaan diagnostik pada tahun 2012. Jika Anda bekerja sesuai dengan skema standar, Anda harus melakukan banyak konstruksi tambahan. Dan dengan metode simpul, semuanya diselesaikan hampir secara lisan.

Catatan penting tentang area

Tapi formula bukanlah segalanya. Mari kita tulis ulang rumusnya sedikit, bawa istilahnya ke sisi kanan ke penyebut yang sama. Kita mendapatkan:

Angka n dan k adalah jumlah node, mereka selalu bilangan bulat. Jadi pembilangnya juga bilangan bulat. Kami membaginya dengan 2, yang menyiratkan fakta penting:

Daerah selalu dinyatakan bilangan bulat atau pecahan. Apalagi di akhir pecahan selalu ada "lima persepuluh": 10.5; 17,5 dll.

Jadi, luas dalam soal B5 selalu dinyatakan sebagai bilangan bulat atau pecahan dalam bentuk ***.5. Jika jawabannya berbeda, berarti telah terjadi kesalahan di suatu tempat. Ingatlah hal ini ketika Anda mengikuti ujian matematika yang sebenarnya!

Mereka ringan, kerawang, dengan pola simpul jala yang jelas hanya jika terbuat dari benang yang rata dan halus (tanpa serat): ini adalah tali pancing, benang linen, dan wol yang sangat bengkok. Dengan mengurangi atau menambah jarak antara simpul, jaring dikepang dengan objek tiga dimensi, persis mengulangi bentuknya. Tapi yang terpenting, tekstur grid yang monoton dan tidak mencolok digunakan sebagai latar belakang untuk pola utama.

Ada aturan tertentu untuk menenun jaring:

• semakin besar celah di antara utas yang digantung di alas, semakin halus jaringnya;
• jumlah benang yang digantung pada lilitan harus kelipatan dari jumlah benang dalam satu simpul;
• benang simpul dan simpul kerja yang ditenun dalam pola kotak-kotak berubah tempat setelah setiap baris, oleh karena itu dikonsumsi secara merata;
• jumlah baris dihitung dari tepi sisi kisi (dari atas ke bawah) di sepanjang simpul ekstrem, mengingat simpul baris ganjil terletak di paling tepi, dan baris genap dipindahkan lebih dalam;
• jumlah benang gantung tergantung pada motif pola (motifnya adalah sejumlah simpul yang berulang secara berirama dalam pola).

Kotak simpul sederhana (Gbr. 164, a).

Ujung benang gantung untuk menenun jaring harus 2 kali lebih panjang dari ketinggian produk dalam bentuk jadi. Anda dapat bekerja dari kanan ke kiri dan dari kiri ke kanan.

Kencangkan 4 utas sepanjang 1 m di alas pada jarak 2-3 cm dari satu sama lain, lipat menjadi dua (8 utas ternyata).

Baris pertama - mundur 1 cm dari alas, ikat satu simpul sederhana kiri pada setiap pasang utas (Gbr. 164, b) dan sematkan dengan pin ke setengahnya - ternyata 4 simpul (Gbr. 164, c ).

Baris ke-2 - sisihkan utas paling kiri dan pada 2 berikutnya (1 utas dari simpul baris 1) ikat simpul sederhana kiri, mundur 2-3 cm dari baris pertama, kemudian pada masing-masing 2 utas berikutnya buat simpul , menempatkan mereka pada tingkat yang sama dengan simpul pertama. Utas paling kanan terakhir tetap bebas. 3 node terbentuk, yang terhuyung-huyung sehubungan dengan node dari baris ke-1.

Simpul ini juga disematkan ke bantal.

Baris ke-3 - kerjakan 1 utas bebas ekstrem dan 2-3 cm di bawah baris ke-2, ikat simpul sederhana pada setiap pasang utas. 4 simpul terbentuk (seperti pada baris 1).

Baris ke-4 - menenun sebagai baris ke-2, mencoba menjaga jarak yang sama antar baris.

Gambar 164, 165 dan 166:

Agar jala tidak tergelincir di bantal, jangan lupa untuk menyematkan simpul dengan pin - ini akan membantu menghindari baris miring. Pastikan benang lepas di sepanjang tepi jaring memiliki ukuran yang sama di semua baris.

Jaring dapat ditenun dalam lingkaran jika Anda mengikat ujung lusi. Dalam hal ini, tidak ada utas bebas, karena semua utas terlibat dalam menenun setiap baris.

Kotak simpul sederhana yang saling terkait (Gbr. 165, a).

Dalam pola ini, 2 simpul sederhana diikat pada setiap 2 utas, jalin satu sama lain: pertama, simpul sederhana kanan diikat (tidak kencang) pada utas kiri, kemudian utas kanan ditarik ke dalam loop dari simpul longgar (Gbr. 165, b) dan simpul sederhana kiri diikat sambil mengencangkan yang kanan. Kedua simpul harus terjalin secara simetris (Gbr. 165, c) - jalinan semacam itu disebut "simpul cinta".

Sebuah kisi simpul dasi (Gbr. 166).

Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 2. Panjangnya harus 2 kali tinggi jaring.

Kisi-kisi dari simpul Armenia.

Perhitungan untuk satu set utas sama seperti di kisi sebelumnya, jika simpul diikat pada 2 utas (Gbr. 167, a). Versi lain dari pola (Gbr. 167, b): simpul dalam baris ganjil dibuat pada 3 utas, di genap - pada 2. Jumlah ujung utas gantung dalam pola ini harus dibagi dengan 3. Panjangnya adalah tidak sama (Gbr. 168): utas pendek memiliki tinggi kisi yang sama, yang panjang harus 2 kali lebih besar.

Skema 167-168:

Jaring simpul lingkaran.

Mereka kerawang atau lebih padat tergantung pada jumlah node di setiap link: semakin sedikit node, semakin padat mesh.

Kisi dari Simpul Kanan Tunggal

(padat - Gambar 169). Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 2, panjangnya harus 2 kali tinggi kisi.

Skema 169-172:

Untuk jaring dengan simpul satu sisi rangkap tiga

(semua 3 kanan) - gbr. 170, jumlah ujung utas gantung adalah kelipatan 4. Panjang utas ganjil harus sama dengan tinggi kisi, yang genap - 2,5 kali lebih panjang.

Jaring kerawang dari kombinasi simpul loop kanan dan kiri

(Gbr. 171) terbuat dari ulir yang 2,5 kali lebih panjang dari tingginya, jumlahnya harus habis dibagi 2.

Kisi kerawang dengan sel persegi

(Gbr. 172) ditenun dari rantai "ular", yang masing-masing terdiri dari 4-6 simpul lingkaran. "Ular" terhubung berpasangan dengan simpul datar ganda. Jumlah ujung benang gantung untuk jaring adalah kelipatan 4, panjangnya harus 3 kali tinggi jaring.

Kisi-kisi dari simpul "tatting".

Simpul di dalamnya diikat dengan satu utas (Gbr. 173, a) dan utas ganda (Gbr. 173, b). Panjang benang gantung pada kedua jaring tersebut harus 3 kali tinggi jaring. Jumlah ujung untuk jaring pertama harus dibagi 2, untuk yang kedua - dengan 4.

Skema 173-176:

Grid-meshka dari simpul "tatting" (gbr. 174).

Ini ditenun dengan bergantian simpul tatting kanan dan kiri: pada baris ganjil, setiap 2 benang diikat dengan simpul kiri, pada baris genap, simpul kanan diikat pada simpul yang sama, menggunakan benang yang bekerja dari simpul yang berlawanan dari baris sebelumnya . Dalam hal ini, simpul tidak diatur dalam pola kotak-kotak, tetapi dalam baris vertikal satu di bawah yang lain. Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 2 ditambah 1 untuk simetri, benang yang diikat harus sama dengan panjang mata jaring, benang yang bekerja harus 2,5 kali lebih panjang.

Kisi-kisi dari simpul repetisi.

Mereka ditenun menggunakan simpul rep diagonal dan vertikal.

Saat menenun kotak dengan sel besar (Gbr. 175, a), baris ganjil dilakukan pada setiap 2 utas, mengikatnya dengan simpul diagonal dari kiri ke kanan (utas kanan di tangan kiri diikat, utas kiri di kanan tangan bekerja). Di baris genap, fungsi utas berubah: simpul baris sebelumnya berfungsi. Simpul dilakukan dari kanan ke kiri.

Jika simpul mata jaring ditempatkan berdekatan satu sama lain, maka permukaan anyaman direkatkan dengan halus (Gbr. 175, b). Jala ini disebut tweed dan boucle. Jumlah ujung benang gantung harus habis dibagi 2, panjangnya harus 4 kali tinggi jaring.

Menenun kisi dengan sel segitiga dari simpul rep vertikal

(Gbr. 176) mirip dengan menenun pengantin horizontal dari vertikal simpul rep(lihat Gambar 38, c).

Ujung-ujung benang gantung harus sama panjangnya dengan jala, jumlahnya harus dibagi 2. Sebelum bekerja, semua utas dibagi menjadi 2 - nodular, dan di baris pertama, utas tambahan sebagai utas kerja adalah dimasukkan ke dalam setiap pasang utas, satu simpul pengulangan vertikal (kanan ke kiri). Di baris berikutnya, benang yang diikat didistribusikan kembali dalam pola kotak-kotak dan setiap pasang benang yang diikat dikepang dari kiri ke kanan. Benang kerja untuk menenun dapat dipotong sesuai kebutuhan.

Kisi-kisi simpul datar.

Mereka sangat populer dalam menenun. Beberapa dari mereka menyerupai renda, yang lain, sangat padat, datang dengan tenunan benang yang rumit.

Jala padat dari simpul datar tunggal ditenun, mengikat simpul dekat satu sama lain. Kisi-kisi dapat dibuat lebih jarang dan timbul timbul (Gbr. 177) jika setiap mata rantai dijalin dari beberapa simpul (harus ada cukup simpul agar warbler dapat berputar di tepinya).

Jumlah ujung benang gantung untuk kedua jaring adalah kelipatan 4. Panjang ujung jaring pertama harus 3 kali, dan untuk jaring kedua 5 kali tingginya.

Skema 177-180:

Kisi-kisi simpul datar ganda - "papan catur" (Gbr. 178)

Ini memiliki tekstur yang lebih jelas jika palang dari semua node terletak di satu sisi. Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 4. Panjangnya harus 4 kali tinggi jaring.

Struktur simpul datar ganda memungkinkan Anda untuk menenun jaring tanpa menggantung benang pada lungsin. Sebagai gantinya, pin digunakan: benang dilipat menjadi dua, disematkan dengan loop ke bantal, dan setiap 4 simpul datar diikat pada setiap 4 (Gbr. 179).

Teknik ini digunakan saat menenun pakaian, selendang, mis. ketika tepi elastis diperlukan.

Untuk menenun jala dari simpul datar ganda berpasangan pada 6 utas

(Gbr. 180) ujung utas gantung harus 3 kali lebih panjang dari tinggi kisi, dan jumlahnya harus habis dibagi 6. Pertama, simpul datar ganda diikat di tengah 4 utas (2, 3, 4 dan 5) dan para pekerja disingkirkan benang (ke-2 dan ke-5), kemudian mengikat simpul ke-2 pada benang bebas yang diikat (ke-3 dan ke-4) yang sama (ke-1 dan ke-6). Memulai dan mengakhiri baris berikutnya, 3 utas pertama dan terakhir dibawa ke samping, utas tengah didistribusikan kembali menjadi enam.

Dengan prinsip yang sama, kisi-kisi simpul datar ganda yang dihubungkan oleh 3 ditenun (Gbr. 181). Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 8, panjangnya harus 2-3 kali tinggi jaring.

Jaring pengukur kerawang (Gbr. 182) dilakukan pada jumlah utas yang sama dengan yang sebelumnya, tetapi utas didistribusikan kembali setelah 2 kelompok 3 simpul diikat pada simpul yang sama dengan interval antara kelompok 0,5 cm.

Skema 181-184:

Dalam kisi-kisi simpul datar ganda - "polotnyanka"

(Gbr. 183) - node tidak terhuyung-huyung, tetapi satu di bawah yang lain. Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 4, panjangnya harus 3 kali tinggi jaring.

Grid-merezhka

(Gbr. 184) dilakukan dengan menyilangkan ulir kerja di setiap baris. Panjang benang kerja 4-6 kali lebih panjang dari benang nodular, panjang benang nodular sama dengan tinggi mesh. Jumlah ujung benang yang digantung di alas harus habis dibagi 4. Pastikan bahwa anyaman benang yang bekerja sama di mana-mana: kanan ke kiri.

Untuk mesh dengan sel besar dengan simpul datar ganda

(Gbr. 185) jumlah ujung utas gantung adalah kelipatan 6 ditambah 4 utas untuk simetri pola, panjang utas yang diikat (2, 3, 5 dan 6) harus sama dengan tinggi grid, utas kerja (1 dan 4) dalam 2 kali lebih lama.

Skema 185-188

Untuk mesh dari triple flat knot

(Gbr. 186) jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 4, panjangnya harus 4 kali tinggi kisi.

Untuk kisi-kisi simpul kompleks datar

(Gbr. 187) jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 6, panjangnya harus 4 kali tinggi kisi.

Untuk jala dengan "lalat"

(Gbr. 188) jumlah ujung benang gantung harus dibagi 4, panjangnya harus 3,5-4 kali tinggi jaring. "Lalat" ditenun dari 4 utas (pekerja ke-1 dan ke-4, ke-2 dan ke-3 - diikat): pertama, simpul datar tunggal kiri diikat, kemudian simpul sederhana kanan diikat ke 2 simpul yang diikat (Gbr. 189, a ) dan di bawahnya - simpul datar ganda dengan palang kiri (Gbr. 189, b). Jika "lalat" dilakukan pada utas tebal, maka alih-alih simpul datar ganda, simpul datar tunggal kanan diikat (Gbr. 189, c).

Skema 189-191

Kisi-kisi simpul Cina (Gbr. 190).

Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 2, panjangnya harus 3 kali tinggi mata jaring (lihat teknik mengikat simpul pada Gambar 139, a, b). Jika Anda menggantung utas, menggantinya dengan warna, maka baris ganjil dari kisi akan menjadi simpul dua warna, dan baris genap akan memiliki satu warna (Gbr. 191).

Kisi-kisi simpul "Josephine" (Gbr. 192).

Lebih baik melakukannya dari kumpulan utas atau utas tunggal, tetapi tebal. Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 2, panjangnya harus 4 kali tinggi jaring.

Skema 192-193:

Kisi kepang (Gbr. 193).

Agak rumit dalam pelaksanaannya, karena saat menenun sulit untuk menjaga jarak yang sama antara kepang. Jumlah ujung benang gantung adalah kelipatan 2, panjangnya harus 4-5 kali tinggi jaring.

Fragmen mesh geometris.

Irama node grid mudah dibangun kembali menjadi bentuk geometris: segi enam (Gbr. 194, a), segitiga (Gbr. 194, b), belah ketupat (Gbr. 194, c).

Teknik menenunnya sangat sederhana. Misalnya, jika segitiga ditenun, maka di awal dan akhir setiap baris baru, 2 utas ekstrem tidak dirajut, dan kemudian akan ada 1 simpul lebih sedikit di baris daripada yang sebelumnya. Jadi menenun sampai hanya tersisa 1 simpul. Untuk menenun segitiga, distribusi simpul dalam baris ditunjukkan dengan angka, misalnya, 3, 2, 1. Jika belah ketupat dilakukan, maka mereka mulai dengan 1 simpul: 1 simpul datar ganda diikat pada 4 utas tengah, utas didistribusikan di bawahnya dengan 2 dan, menambahkan 2 lebih bebas dari tepi, ikat di bawah simpul pertama 2 yang datar ganda dalam pola kotak-kotak. Di baris berikut, mereka juga melampirkan

2 utas ke kiri dan ke kanan, dan sebagai hasilnya, kanvas mengembang setelah setiap baris sebesar 1 simpul. Setelah menyelesaikan bagian atas belah ketupat, menenun yang lebih rendah. Jumlah simpul dalam baris: 1.2, 3.2, 1.

Contoh distribusi simpul lain di baris 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 - menurut akun ini, belah ketupat ditenun dari Armenia (Gbr. 195, a), rep diagonal (Gbr. 195, b) dan simpul pionir (Gbr. 195, c) dan dari rantai datar (Gbr. 195, d).

Skema 194 - 195

Node kisi berbaris secara harmonis secara horizontal

(Gbr. 196, a) dan vertikal (Gbr. 196, b) garis zigzag. Lebih mudah untuk menenun yang horizontal dengan sudut yang terpisah, dan kemudian menghubungkannya dengan simpul menggunakan utas dari fragmen yang berdekatan. Sudut-sudutnya dianyam seperti ini: pertama, simpul tengah atas diikat, kemudian benang di bawahnya dibagi rata (misalnya, masing-masing 2) dan dikirim 2 ke kiri, 2 ke kanan. Di bawah simpul pertama di sebelah kiri, simpul baru diikat menggunakan 2 utas kiri dari simpul pertama dan 2 yang bebas di kiri. Ikat simpul di sebelah kanan dengan cara yang sama. Selanjutnya, ikat 1 simpul lagi di kanan dan kiri, menggunakan 2 utas bebas dan 2 utas dari simpul sebelumnya. Jadi menenun secara diagonal ke ukuran sudut yang diinginkan dengan bagian atas di bagian atas. Dengan menghubungkan 2 sudut dengan simpul yang diarahkan ke arah yang berlawanan, diperoleh belah ketupat, yang bagian tengahnya diisi dengan utas bebas (Gbr. 197, a). Menurut prinsip yang sama, segi enam ditenun (Gbr. 197, b).

Skema 196-199

Garis simpul diagonal yang lebih padat

(Gbr. 198) diperoleh jika untuk setiap node baru menggunakan 3 utas dari node sebelumnya (1 nodular, 2 pekerja) dan 1 gratis.

Penerimaan menghubungkan grid dengan fragmen pola lain.

Jaring jaring monoton digunakan untuk membuat pola baru. Pada kisi-kisi, berbagai fragmen anyaman tampak lebih timbul, cembung, dan ekspresif. Bagaimana kombinasi rantai, simpul, dan elemen lain dijalin ke dalam kisi? Kenali teknik-teknik ini menggunakan contoh kotak "kotak-kotak" di tengah dengan simpul datar ganda yang umum (Gbr. 199, a).

Pertama, sketsa pola baru digambar dan ukuran serta lokasi simpul ditentukan. Sebagai aturan, itu dimasukkan ke dalam belah ketupat dari utas yang berfungsi bebas (Gbr. 199, b). Kisi-kisi dijalin ke bagian atas belah ketupat, kemudian simpul tidak diikat di mana belah ketupat ditandai: pertama 1 simpul (bagian atas belah ketupat), di baris berikutnya, 2 simpul lagi dalam pola kotak-kotak, lalu 3 simpul dan begitu seterusnya sampai diperoleh lebar belah ketupat yang diinginkan. Setelah itu, simpul umum diikat. Semakin banyak benang yang tersisa untuk simpul, semakin efektif (saat mengikat, jangan miring: pusat simpul harus bertepatan dengan pusat belah ketupat). Luruskan benang di bawah simpul dan ikat bagian bawah belah ketupat, secara bertahap memasukkan 2 benang ekstrem dari simpul umum ke dalam pekerjaan.