Salah satu sub-item dari topik "Persamaan garis lurus pada bidang" adalah masalah menyusun persamaan parametrik garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang. Artikel di bawah ini membahas prinsip menyusun persamaan tersebut untuk data tertentu yang diketahui. Mari kita tunjukkan bagaimana berpindah dari persamaan parametrik ke persamaan bentuk yang berbeda; Mari kita menganalisis solusi dari masalah yang khas.

Garis tertentu dapat didefinisikan dengan menentukan titik yang termasuk dalam garis itu dan vektor arah untuk garis tersebut.

Misalkan kita diberikan sistem koordinat persegi panjang O x y . Dan juga diberikan garis lurus a, yang menunjukkan titik M 1 yang terletak di atasnya (x 1, y 1) dan vektor arah dari garis lurus yang diberikan a → = (a x , a y) . Kami memberikan deskripsi dari garis yang diberikan menggunakan persamaan.

Kami menggunakan titik sewenang-wenang M (x, y) dan mendapatkan vektor M 1 M →; hitung koordinatnya dari koordinat titik awal dan titik akhir: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . Mari kita gambarkan hasilnya: garis diberikan oleh himpunan titik M (x, y), melewati titik M 1 (x 1, y 1) dan memiliki vektor arah a → = (a x , a y) . Himpunan yang ditentukan mendefinisikan garis lurus hanya jika vektor M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) dan a → = (a x , a y) adalah collinear.

Ada syarat perlu dan cukup untuk kolinearitas vektor, yang dalam hal ini untuk vektor M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) dan a → = (a x , a y) dapat ditulis sebagai persamaan:

M 1 M → = · a → , di mana adalah suatu bilangan real.

Definisi 1

Persamaan M 1 M → = · a → disebut persamaan vektor-parametrik garis.

Dalam bentuk koordinat, terlihat seperti:

M 1 M → = a → x - x 1 = a x y - y 1 = a y ⇔ x = x 1 + a x y = y 1 + a y

Persamaan sistem yang dihasilkan x = x 1 + a x · y = y 1 + a y · disebut persamaan parametrik garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang. Inti dari namanya adalah sebagai berikut: koordinat semua titik garis dapat ditentukan dengan persamaan parametrik pada bidang berbentuk x = x 1 + a x y = y 1 + a y ketika iterasi pada semua nilai nyata​ dari parameter

Menurut persamaan di atas, persamaan parametrik garis lurus pada bidang x \u003d x 1 + a x y \u003d y 1 + a y menentukan garis lurus yang diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang, melewati titik M 1 (x 1, y 1) dan memiliki vektor pemandu a → = (a x , a y) . Oleh karena itu, jika koordinat titik tertentu dari garis lurus dan koordinat vektor pengarahnya diberikan, maka persamaan parametrik dari garis lurus tersebut dapat segera ditulis.

Contoh 1

Persamaan parametrik garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang perlu dibuat, jika titik M 1 (2, 3) miliknya dan vektor arahnya diberikan a → = (3 , 1) .

Keputusan

Berdasarkan data awal, kami mendapatkan: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1. Persamaan parametrik akan terlihat seperti:

x = x 1 + a x y = y 1 + a y x = 2 + 3 y = 3 + 1 ⇔ x = 2 + 3 y = 3 +

Mari kita ilustrasikan dengan jelas:

Jawaban: x = 2 + 3 y = 3 +

Perlu diperhatikan: jika vektor a → = (a x , a y) berfungsi sebagai vektor pengarah garis lurus a, dan titik-titik M 1 (x 1, y 1) dan M 2 (x 2, y 2) termasuk ke dalam garis ini, maka dapat ditentukan dengan menetapkan persamaan parametrik dalam bentuk : x = x 1 + a x y = y 1 + a y , serta opsi ini: x = x 2 + a x y = y 2 + a y .

Sebagai contoh, kita diberikan vektor pengarah garis lurus a → \u003d (2, - 1), serta poin M 1 (1, - 2) dan M 2 (3, - 3) milik garis ini. Kemudian garis lurus ditentukan dengan persamaan parametrik: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - atau x = 3 + 2 · y = - 3 - .

Perhatian juga harus diberikan pada fakta berikut: jika a → = (a x , a y) adalah vektor pengarah dari garis lurus a , maka salah satu vektor juga akan menjadi vektor pengarahnya a → = (μ a x , a y) , di mana ϵ R , 0 .

Dengan demikian, garis lurus a pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang dapat didefinisikan dengan persamaan parametrik: x = x 1 + a x y = y 1 + a y untuk setiap nilai yang berbeda dari nol.

Misalkan garis a diberikan oleh persamaan parametrik x = 3 + 2 y = - 2 - 5 . Kemudian a → = (2 , - 5) - vektor arah garis ini. Dan juga salah satu vektor · a → = (μ · 2 , · - 5) = 2 , - 5 , μ R , 0 akan menjadi vektor arah untuk garis lurus tersebut. Untuk kejelasan, pertimbangkan vektor spesifik - 2 · a → = (- 4 , 10) , itu sesuai dengan nilai = - 2 . Dalam hal ini, garis lurus yang diberikan juga dapat ditentukan oleh persamaan parametrik x = 3 - 4 · y = - 2 + 10 · .

Transisi dari persamaan parametrik garis lurus pada bidang ke persamaan lain dari garis lurus tertentu dan sebaliknya

Dalam menyelesaikan beberapa masalah, penggunaan persamaan parametrik bukanlah pilihan yang paling optimal, maka menjadi perlu untuk menerjemahkan persamaan parametrik suatu garis lurus menjadi persamaan garis lurus yang berbeda jenisnya. Mari kita lihat bagaimana melakukannya.

Persamaan parametrik garis lurus x = x 1 + a x · y = y 1 + a y · akan sesuai dengan persamaan kanonik garis lurus pada bidang x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Kami memecahkan setiap persamaan parametrik sehubungan dengan parameter , menyamakan bagian kanan dari persamaan yang diperoleh dan memperoleh persamaan kanonik dari garis lurus yang diberikan:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y x - x 1 a x = y - y 1 a y

Dalam hal ini, seharusnya tidak memalukan jika a x atau a y akan sama dengan nol.

Contoh 2

Transisi dari persamaan parametrik garis lurus x = 3 y = - 2 - 4 · ke persamaan kanonik perlu dilakukan.

Keputusan

Kami menulis persamaan parametrik yang diberikan dalam bentuk berikut: x = 3 + 0 y = - 2 - 4

Kami menyatakan parameter dalam setiap persamaan: x = 3 + 0 y = - 2 - 4 ⇔ λ = x - 3 0 = y + 2 - 4

Kami menyamakan bagian kanan dari sistem persamaan dan memperoleh persamaan kanonik yang diperlukan dari garis lurus di pesawat:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Menjawab: x - 3 0 = y + 2 - 4

Dalam hal perlu menuliskan persamaan garis lurus berbentuk A x + B y + C = 0 , sedangkan persamaan parametrik garis lurus pada bidang diberikan, pertama-tama perlu dibuat transisi ke persamaan kanonik, dan kemudian ke persamaan umum garis lurus. Mari kita tuliskan seluruh urutan tindakan:

x = x 1 + a x y = y 1 + a y λ ⇔ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y a y (x - x 1) = a x (y - y 1) A x + B y + C = 0

Contoh 3

Persamaan umum garis lurus perlu ditulis jika persamaan parametrik yang mendefinisikannya diberikan: x = - 1 + 2 y = - 3

Keputusan

Pertama, mari kita buat transisi ke persamaan kanonik:

x = - 1 + 2 y = - 3 ⇔ λ = x + 1 2 = y - 3 x + 1 2 = y - 3

Proporsi yang dihasilkan identik dengan persamaan - 3 · (x + 1) = 2 · y. Buka kurung dan dapatkan persamaan umum garis lurus: - 3 x + 1 = 2 y 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Jawaban: 3x + 2y + 3 = 0

Mengikuti logika tindakan di atas, untuk memperoleh persamaan garis lurus dengan kemiringan, persamaan garis lurus dalam segmen atau persamaan normal garis lurus, perlu untuk memperoleh persamaan umum garis lurus , dan dari itu untuk melakukan transisi lebih lanjut.

Sekarang perhatikan tindakan sebaliknya: menulis persamaan parametrik garis lurus untuk bentuk persamaan garis lurus yang diberikan berbeda.

Transisi termudah: dari persamaan kanonik ke persamaan parametrik. Biarkan persamaan kanonik dari bentuk diberikan: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Kami mengambil masing-masing hubungan kesetaraan ini sama dengan parameter :

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ = x - x 1 a x = y - y 1 a y

Mari kita selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk variabel x dan y:

x = x 1 + a x y = y 1 + a y

Contoh 4

Persamaan parametrik garis lurus perlu ditulis jika persamaan kanonik garis lurus pada bidang diketahui: x - 2 5 = y - 2 2

Keputusan

Mari kita samakan bagian-bagian dari persamaan yang diketahui dengan parameter : x - 2 5 = y - 2 2 = . Dari persamaan yang diperoleh diperoleh persamaan parametrik garis lurus: x - 2 5 = y - 2 2 = = x - 2 5 = y - 2 5 x = 2 + 5 y = 2 + 2

Jawaban: x = 2 + 5 y = 2 + 2

Ketika perlu untuk membuat transisi ke persamaan parametrik dari persamaan umum garis lurus yang diberikan, persamaan garis lurus dengan kemiringan atau persamaan garis lurus dalam segmen, perlu untuk membawa persamaan asli ke satu kanonik, dan kemudian membuat transisi ke persamaan parametrik.

Contoh 5

Kita perlu menuliskan persamaan parametrik dari garis lurus dengan persamaan umum yang diketahui dari garis lurus ini: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

Keputusan

Kami mengubah persamaan umum yang diberikan menjadi persamaan bentuk kanonik:

4 x - 3 y - 3 = 0 4 x = 3 y + 3 4 x = 3 y + 1 3 x 3 = y + 1 3 4

Kami menyamakan kedua bagian persamaan dengan parameter dan memperoleh persamaan parametrik yang diperlukan dari garis lurus:

x 3 = y + 1 3 4 = ⇔ x 3 = y + 1 3 4 = ⇔ x = 3 y = - 1 3 + 4

Menjawab: x = 3 y = - 1 3 + 4

Contoh dan masalah dengan persamaan parametrik garis lurus pada bidang

Mari kita pertimbangkan jenis masalah yang paling umum menggunakan persamaan parametrik dari garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang.

1. Dalam masalah jenis pertama, koordinat titik diberikan, apakah mereka termasuk dalam garis lurus atau tidak yang dijelaskan oleh persamaan parametrik.

Solusi dari masalah tersebut didasarkan pada fakta berikut: angka (x, y) yang ditentukan dari persamaan parametrik x \u003d x 1 + a x y \u003d y 1 + a y untuk beberapa nilai riil adalah koordinat a titik milik garis lurus, yang dijelaskan persamaan parametrik ini.

Contoh 6

Penting untuk menentukan koordinat titik yang terletak pada garis lurus yang diberikan oleh persamaan parametrik x = 2 - 1 6 · y = - 1 + 2 · untuk = 3 .

Keputusan

Kami mengganti nilai yang diketahui = 3 ke dalam persamaan parametrik yang diberikan dan menghitung koordinat yang diinginkan: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 x = 1 1 2 y = 5

Menjawab: 1 1 2 , 5

Masalah berikut juga mungkin: biarkan beberapa titik M 0 (x 0, y 0) diberikan pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang dan perlu untuk menentukan apakah titik ini termasuk dalam garis yang dijelaskan oleh persamaan parametrik x = x 1 + a x y = y 1 + a y .

Untuk memecahkan masalah seperti itu, perlu untuk mengganti koordinat titik tertentu ke dalam persamaan parametrik garis lurus yang diketahui. Jika ditentukan bahwa nilai parameter = 0 seperti itu dimungkinkan, di mana kedua persamaan parametrik benar, maka titik yang diberikan termasuk dalam garis lurus yang diberikan.

Contoh 7

Poin M 0 (4, - 2) dan N 0 (- 2, 1) diberikan. Penting untuk menentukan apakah mereka termasuk dalam garis lurus yang ditentukan oleh persamaan parametrik x = 2 · y = - 1 - 1 2 · .

Keputusan

Kami mengganti koordinat titik M 0 (4, - 2) ke dalam persamaan parametrik yang diberikan:

4 = 2 - 2 = - 1 - 1 2 ⇔ = 2 = 2 = 2

Kami menyimpulkan bahwa titik M 0 milik garis yang diberikan, karena sesuai dengan nilai = 2 .

2 = 2 1 = - 1 - 1 2 = - 1 = - 4

Jelas bahwa tidak ada parameter yang sesuai dengan titik N 0. Dengan kata lain, garis yang diberikan tidak melalui titik N 0 (- 2 , 1) .

Menjawab: titik M 0 milik garis tertentu; titik N 0 tidak termasuk dalam garis yang diberikan.

1. Pada soal tipe kedua, diperlukan untuk menyusun persamaan parametrik garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang. Contoh paling sederhana dari masalah seperti itu (dengan koordinat titik garis dan vektor arah yang diketahui) dipertimbangkan di atas. Sekarang mari kita lihat contoh di mana Anda harus terlebih dahulu menemukan koordinat vektor arah, dan kemudian menuliskan persamaan parametriknya.

Contoh 8

Poin M 1 1 2 , 2 3 diberikan. Hal ini diperlukan untuk membuat persamaan parametrik dari garis lurus yang melewati titik ini dan garis lurus paralel x 2 \u003d y - 3 - 1.

Keputusan

Menurut kondisi masalah, garis lurus, persamaan yang harus kita lalui, sejajar dengan garis lurus x 2 \u003d y - 3 - 1. Kemudian, sebagai vektor pengarah garis lurus yang melalui suatu titik tertentu, dimungkinkan untuk menggunakan vektor pengarah garis lurus x 2 = y - 3 - 1, yang kita tulis dalam bentuk: a → = (2, - 1) . Sekarang semua data yang diperlukan diketahui untuk menyusun persamaan parametrik yang diinginkan:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ x = 1 2 + 2 y = 2 3 + (- 1) ⇔ x = 1 2 + x y = 2 3 -

Menjawab: x = 1 2 + x y = 2 3 - .

Contoh 9

Poin M 1 (0, - 7) diberikan. Kita perlu menulis persamaan parametrik dari garis lurus yang melalui titik ini tegak lurus terhadap garis lurus 3 x – 2 y – 5 = 0 .

Keputusan

Sebagai vektor pengarah garis lurus, yang persamaannya harus disusun, dimungkinkan untuk mengambil vektor normal garis lurus 3 x - 2 y - 5 = 0 . Koordinatnya adalah (3 , - 2) . Kami menulis persamaan parametrik yang diperlukan dari garis lurus:

x = x 1 + a x y = y 1 + a y x = 0 + 3 y = - 7 + (- 2) ⇔ x = 3 y = - 7 - 2

Menjawab: x = 3 y = - 7 - 2

1. Pada soal jenis ketiga, diperlukan transisi dari persamaan parametrik suatu garis lurus ke jenis persamaan lain yang menentukannya. Kami mempertimbangkan solusi dari contoh di atas, kami akan memberikan satu lagi.

Contoh 10

Diberikan garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjang, ditentukan oleh persamaan parametrik x = 1 - 3 4 · y = - 1 + . Penting untuk menemukan koordinat dari beberapa vektor normal dari garis ini.

Keputusan

Untuk menentukan koordinat vektor normal yang diinginkan, kita akan melakukan transisi dari persamaan parametrik ke persamaan umum:

x = 1 - 3 4 y = - 1 + λ ⇔ = x - 1 - 3 4 = y + 1 1 x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 x + 3 4 y - 1 4 = 0

Koefisien variabel x dan y memberi kita koordinat yang diperlukan dari vektor normal. Jadi, vektor normal dari garis x = 1 - 3 4 · y = - 1 + memiliki koordinat 1 , 3 4 .

Menjawab: 1 , 3 4 .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Sejauh ini, kita telah mempertimbangkan persamaan permukaan dalam ruang dengan sumbu koordinat X, Y, Z dalam bentuk eksplisit atau dalam bentuk implisit

Seseorang dapat menulis persamaan permukaan dalam bentuk parametrik, menyatakan koordinat titik-titiknya sebagai fungsi dari dua parameter variabel independen dan

Kami akan mengasumsikan bahwa fungsi-fungsi ini bernilai tunggal, kontinu, dan memiliki turunan kontinu hingga orde kedua dalam rentang parameter tertentu

Jika kita substitusikan ekspresi koordinat ini dalam bentuk u dan v ke dalam ruas kiri persamaan (37), maka kita harus memperoleh identitas terhadap u dan V. Dengan membedakan identitas ini terhadap variabel bebas u dan v, kita memiliki

Mempertimbangkan persamaan ini sebagai dua persamaan homogen sehubungan dengan dan menerapkan lemma aljabar yang disebutkan dalam , kita memperoleh

di mana k adalah beberapa koefisien proporsionalitas.

Kami berasumsi bahwa faktor k dan setidaknya salah satu perbedaan di ruas kanan dari rumus terakhir adalah bukan nol.

Mari kita nyatakan untuk singkatnya tiga perbedaan tertulis sebagai berikut:

Seperti yang Anda ketahui, persamaan bidang singgung ke permukaan kita di beberapa titik (x, y, z) dapat ditulis sebagai

atau, menggantikan dengan besaran proporsional, kita dapat menulis ulang persamaan bidang singgung sebagai berikut:

Koefisien dalam persamaan ini diketahui sebanding dengan arah cosinus dari normal ke permukaan.

Posisi titik variabel M di permukaan ditandai dengan nilai parameter u dan v, dan parameter ini biasanya disebut koordinat titik permukaan atau parameter koordinat.

Dengan memberikan nilai konstanta parameter u dan v, kita memperoleh dua famili garis pada permukaan, yang akan kita sebut garis koordinat permukaan: garis koordinat yang hanya v berubah, dan garis koordinat yang hanya u yang berubah. Kedua keluarga garis koordinat ini memberikan kisi koordinat di permukaan.

Sebagai contoh, perhatikan sebuah bola yang berpusat di titik asal dan jari-jari R. Persamaan parametrik dari bola tersebut dapat ditulis sebagai

Garis koordinat dalam kasus ini, jelas, paralel dan meridian bola kita.

Dengan mengabstraksi dari sumbu koordinat, kita dapat mengkarakterisasi permukaan dengan variabel radius-vektor dari titik konstan O ke titik variabel M dari permukaan kita. Turunan parsial dari vektor-jari ini terhadap parameter jelas akan memberikan vektor yang diarahkan sepanjang garis singgung ke garis koordinat. Komponen vektor-vektor ini di sepanjang sumbu

akan, menurut dan karenanya, bahwa koefisien dalam persamaan bidang singgung (39) adalah komponen dari produk vektor Produk vektor ini adalah vektor yang tegak lurus terhadap garis singgung, yaitu, vektor yang diarahkan sepanjang garis normal dari permukaan. Kuadrat dari panjang vektor ini jelas dinyatakan oleh produk skalar dari vektor dan dirinya sendiri, yaitu, dengan kata lain, dengan kuadrat dari vektor ini 1). Berikut ini, peran penting akan dimainkan oleh vektor normal satuan ke permukaan, yang jelas dapat kita tulis dalam bentuk

Dengan mengubah urutan faktor-faktor dalam produk vektor tertulis, kita mendapatkan arah yang berlawanan untuk vektor (40). Berikut ini, kami akan memperbaiki urutan faktor dengan cara tertentu, yaitu, kami akan memperbaiki arah normal ke permukaan dengan cara tertentu.

Mari kita ambil beberapa titik M di permukaan dan melalui titik ini menggambar beberapa kurva (L) yang terletak di permukaan. Kurva ini, secara umum, bukan garis koordinat, dan baik H dan v akan bervariasi sepanjang itu. Arah garis singgung kurva ini akan ditentukan oleh vektor jika kita asumsikan bahwa sepanjang (L) di sekitar titik, parameter v adalah fungsi yang memiliki turunan. Dari sini dapat dilihat bahwa arah garis singgung kurva yang ditarik pada permukaan di beberapa titik M dari kurva ini sepenuhnya dicirikan oleh nilai pada titik itu. Ketika mendefinisikan Bidang Singgung dan menurunkan persamaannya (39), kami mengasumsikan bahwa fungsi (38) pada titik yang dipertimbangkan dan lingkungannya memiliki turunan parsial kontinu dan bahwa setidaknya satu dari koefisien persamaan (39) berbeda dari nol pada dianggap titik.

Persamaan vektor dan parametrik bidang. Misalkan r 0 dan r masing-masing adalah vektor jari-jari dari titik M 0 dan M. Maka M 0 M = r - r 0 , dan syarat (5.1) bahwa titik M termasuk bidang yang melalui titik M 0 tegak lurus vektor bukan nol n (Gbr. 5.2, a), dapat ditulis menggunakan produk titik sebagai rasio

n(r - r 0) = 0, (5.4)

yang disebut persamaan vektor bidang.

Sebuah bidang tetap dalam ruang sesuai dengan satu set vektor sejajar dengan itu, yaitu. ruang angkasa V2. Ayo pilih di ruang ini dasar e 1 , e 2 , yaitu sepasang vektor non-kolinier sejajar dengan bidang yang dipertimbangkan, dan sebuah titik M 0 pada bidang tersebut. Jika titik M termasuk dalam bidang, maka ini setara dengan fakta bahwa vektor M 0 M sejajar dengannya (Gbr. 5.2, b), mis. itu milik ruang yang ditunjukkan V 2 . Artinya ada dekomposisi vektor M 0 M dalam basis e 1 , e 2 , yaitu ada bilangan t 1 dan t 2 dimana M 0 M = t 1 e 1 + t 2 e 2 . Menuliskan ruas kiri persamaan ini dalam bentuk vektor jari-jari r 0 dan r masing-masing titik M 0 dan M, kita peroleh persamaan parametrik vektor bidang

r = r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 , t 1 , t 1 R. (5.5)

Untuk beralih dari persamaan vektor di (5.5) ke persamaannya koordinat, dilambangkan dengan (x 0 ; y 0 ; z 0), (x; y; z) koordinat titik M 0 , M dan melalui (e 1x ; e 1y ; e 1z ), (e 2x ; e 2y ; e 2z ) koordinat vektor e 1 , e 2 . Menyamakan koordinat dengan nama yang sama dari vektor r dan r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 , kita memperoleh persamaan bidang parametrik

Sebuah pesawat melewati tiga titik. Mari kita asumsikan bahwa tiga titik M 1 , M 2 dan M 3 tidak terletak pada satu garis lurus. Lalu ada bidang unik yang menjadi milik titik-titik ini. Mari kita cari persamaan bidang ini dengan merumuskan kriteria untuk titik sembarang M yang termasuk dalam bidang yang diberikan. Kemudian kami menulis kriteria ini dalam bentuk koordinat titik. Kriteria yang ditunjukkan adalah deskripsi bidang sebagai himpunan titik-titik M yang vektornya M 1 M 2 , M 1 M 3 dan M 1 M sebidang. Kriteria kesepadanan tiga vektor adalah persamaan dengan nol dari produk campuran(lihat 3.2). Produk campuran dihitung menggunakan penentu urutan ketiga, yang string-nya adalah koordinat vektor-vektor dalam dasar ortonormal. Oleh karena itu, jika (x i; yx i; Zx i) adalah koordinat titik Mx i, i = 1, 2, 3, dan (x; y; z) adalah koordinat titik M, maka M 1 M = (x-x 1; y-y 1 ; z-z 1 ), M 1 M 2 = (x 2 -x 1 ; y 2 ​​-y 1 ; z 2 -z 1 ), M 1 M 3 = (x 3 -x 1 ; y 3 -y 1 ; z 3 -z 1 ) dan syarat persamaan dengan nol dari hasil kali campuran vektor-vektor ini berbentuk

Menghitung determinan, kita mendapatkan linier relatif terhadap x, y, z persamaan, yang mana persamaan umum bidang yang diinginkan. Misalnya, jika Perluas determinan di sepanjang baris pertama, maka kita dapatkan

Persamaan ini, setelah menghitung determinan dan membuka tanda kurung, diubah menjadi persamaan umum bidang.

Perhatikan bahwa koefisien variabel dalam persamaan terakhir bertepatan dengan koordinat produk vektor M 1 M 2 × M 1 M 3 . Produk vektor ini, yang merupakan produk dari dua vektor non-kolinier yang sejajar dengan bidang , memberikan vektor bukan-nol yang tegak lurus terhadap , yaitu. dia vektor normal. Jadi kemunculan koordinat produk vektor sebagai koefisien persamaan umum bidang cukup alami.

Pertimbangkan kasus khusus berikut dari sebuah pesawat yang melewati tiga titik. Titik M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; c), abc 0, tidak terletak pada satu garis lurus dan menentukan bidang yang memotong segmen pada sumbu koordinat yang panjangnya bukan nol (Gbr. 5.3). Di sini, "panjang segmen" berarti nilai koordinat bukan nol dari vektor jari-jari titik M i , i = 1,2,3.

Karena M 1 M 2 = (-a; b; 0), M 1 M 3 = (-a; 0; c), M 1 M = (x-a; y; z), maka persamaan (5.7) berbentuk

Setelah menghitung determinannya, kita temukan bc(x - a) + acy + abz = 0, bagi persamaan yang dihasilkan dengan abc dan pindahkan suku bebas ke ruas kanan,

x/a + y/b + z/c = 1.

Persamaan ini disebut persamaan bidang dalam segmen.

Contoh 5.2. Mari kita cari persamaan umum bidang yang melalui sebuah titik dengan koordinat (1; 1; 2) dan memotong segmen dengan panjang yang sama dari sumbu koordinat.

Persamaan bidang dalam segmen, asalkan memotong segmen dengan panjang yang sama dari sumbu koordinat, katakanlah a 0, memiliki bentuk x/a + y/b + z/c = 1. Persamaan ini harus memenuhi koordinat (1; 1; 2) titik yang diketahui pada bidang, mis. persamaan 4/a = 1. Jadi, a = 4 dan persamaan yang diinginkan adalah x + y + z - 4 = 0.

Persamaan normal bidang. Pertimbangkan beberapa pesawat di ruang angkasa. Kami memperbaiki untuknya satuan normal vektor n diarahkan dari asal"menuju bidang", dan dilambangkan dengan p jarak dari titik asal O dari sistem koordinat ke bidang (Gbr. 5.4). Jika bidang melewati titik asal sistem koordinat, maka p = 0, dan salah satu dari dua arah yang mungkin dapat dipilih sebagai arah untuk vektor normal n.

Jika titik M milik bidang , maka ini setara dengan fakta bahwa proyeksi ortogonal vektor om ke arah vektor n sama dengan p, yaitu kondisi nOM = pr n OM = p terpenuhi, karena panjang vektor n sama dengan satu.

Nyatakan koordinat titik M dengan (x; y; z) dan misalkan n = (cosα; cosβ; cosγ) (ingat bahwa untuk vektor satuan n arah cosinus cosα, cosβ, cosγ juga koordinatnya). Menulis produk skalar dalam persamaan nOM = p dalam bentuk koordinat, kita memperoleh persamaan normal bidang

xcosα + ycosbeta; + zcosγ - p = 0.

Sama halnya dengan kasus garis lurus pada bidang, persamaan umum bidang dalam ruang dapat diubah menjadi persamaan normalnya dengan membaginya dengan faktor normalisasi.

Untuk persamaan bidang Ax + By + Cz + D = 0, faktor normalisasinya adalah bilangan ±√(A 2 + B 2 + C 2), yang dipilih tandanya berlawanan dengan tanda D. Dalam nilai absolut, faktor normalisasi adalah panjang vektor normal (A; B ; C) bidang, dan tandanya sesuai dengan arah yang diinginkan dari vektor normal satuan bidang. Jika pesawat melewati titik asal sistem koordinat, mis. D = 0, maka tanda dari faktor normalisasi dapat dipilih oleh sembarang tanda.

Setiap persamaan derajat pertama terhadap koordinat x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

mendefinisikan sebuah bidang, dan sebaliknya: setiap bidang dapat diwakili oleh persamaan (3.1), yang disebut persamaan bidang.

vektor n(A, B, C) yang tegak lurus bidang disebut vektor normal pesawat. Dalam persamaan (3.1), koefisien A, B, C tidak sama dengan 0 pada waktu yang sama.

Kasus khusus persamaan (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - pesawat melewati titik asal.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - bidang sejajar dengan sumbu Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - pesawat melewati sumbu Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - bidang sejajar dengan bidang Oyz.

Persamaan bidang koordinat: x = 0, y = 0, z = 0.

Garis lurus dalam ruang dapat diberikan:

1) sebagai garis perpotongan dua bidang, yaitu sistem persamaan:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) dua titiknya M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2), maka garis lurus yang melaluinya diberikan oleh persamaan:

3) titik M 1 (x 1 , y 1 , z 1) miliknya, dan vektornya sebuah(m, n, p), s collinear. Kemudian garis lurus ditentukan oleh persamaan:

Persamaan (3.4) disebut persamaan kanonik garis.

vektor sebuah ditelepon panduan vektor lurus.

Persamaan parametrik garis lurus diperoleh dengan menyamakan setiap relasi (3.4) dengan parameter t:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + p t. (3.5)

Memecahkan sistem (3.2) sebagai sistem persamaan linear yang tidak diketahui x dan kamu, kita sampai pada persamaan garis lurus di proyeksi atau untuk persamaan garis lurus tereduksi :

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Dari persamaan (3.6) dapat diteruskan ke persamaan kanonik, dengan menemukan z dari setiap persamaan dan menyamakan nilai yang dihasilkan:

Seseorang dapat beralih dari persamaan umum (3.2) ke persamaan kanonik dengan cara lain, jika seseorang menemukan titik mana pun dari garis ini dan vektor arahnya n= [n 1 , n 2], dimana n 1 (A 1 , B 1 , C 1) dan n 2 (A 2 , B 2 , C 2) - vektor normal dari bidang yang diberikan. Jika salah satu penyebutnya M N atau R dalam persamaan (3.4) ternyata sama dengan nol, maka pembilang dari pecahan yang sesuai harus ditetapkan sama dengan nol, yaitu. sistem

setara dengan sistem; garis seperti itu tegak lurus terhadap sumbu x.

Sistem ekuivalen dengan sistem x = x 1 , y = y 1 ; garis lurus sejajar dengan sumbu Oz.

Contoh 1.15. Tulis persamaan bidang, ketahui bahwa titik A (1, -1,3) berfungsi sebagai alas tegak lurus yang ditarik dari titik asal ke bidang ini.

Keputusan. Dengan kondisi masalah, vektor OA(1,-1,3) adalah vektor normal bidang, maka persamaannya dapat ditulis sebagai
x-y+3z+D=0. Mengganti koordinat titik A(1,-1,3) milik pesawat, kami menemukan D: 1-(-1)+3 × 3+D = 0 D = -11. Jadi x-y+3z-11=0.

Contoh 1.16. Tulis persamaan untuk bidang yang melalui sumbu Oz dan membentuk sudut 60 derajat dengan bidang 2x+y-z-7=0.

Keputusan. Bidang yang melalui sumbu Oz diberikan oleh persamaan Ax+By=0, di mana A dan B tidak lenyap secara bersamaan. Biarkan B tidak
adalah 0, A/Bx+y=0. Menurut rumus kosinus sudut antara dua bidang

Memecahkan persamaan kuadrat 3m 2 + 8m - 3 = 0, kita temukan akar-akarnya
m 1 = 1/3, m 2 = -3, dari mana kita mendapatkan dua bidang 1/3x+y = 0 dan -3x+y = 0.

Contoh 1.17. Tulis persamaan kanonik dari garis lurus:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Keputusan. Persamaan kanonik garis lurus memiliki bentuk:

di mana m, n, p- koordinat vektor pengarah garis lurus, x1, y1, z1- koordinat titik mana pun yang termasuk dalam garis. Garis lurus didefinisikan sebagai garis perpotongan dua bidang. Untuk menemukan titik yang termasuk dalam garis lurus, salah satu koordinat ditetapkan (cara termudah adalah dengan menempatkan, misalnya, x=0) dan sistem yang dihasilkan diselesaikan sebagai sistem persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui. Jadi, misalkan x=0, maka y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, dimana y=-1, z=1. Kami menemukan koordinat titik M (x 1, y 1, z 1) milik garis ini: M (0,-1,1). Vektor pengarah garis lurus mudah ditemukan, dengan mengetahui vektor normal dari bidang aslinya n 1 (5,1,1) dan n 2(2,3,-2). Kemudian

Persamaan kanonik garis tersebut adalah: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

adalah persamaan umum bidang dalam ruang

Vektor bidang normal

Vektor normal suatu bidang adalah vektor tak nol yang ortogonal terhadap setiap vektor yang terletak pada bidang tersebut.

Persamaan bidang yang melalui suatu titik dengan vektor normal yang diberikan

adalah persamaan bidang yang melalui titik M0 dengan vektor normal yang diberikan

Vektor arah pesawat

Dua buah vektor tak segaris yang sejajar bidang disebut vektor arah bidang

Persamaan bidang parametrik

– persamaan parametrik bidang dalam bentuk vektor

adalah persamaan parametrik bidang dalam koordinat

Persamaan bidang melalui suatu titik tertentu dan vektor dua arah

-titik pasti

hanya sebuah titik lol

koplanar, jadi hasil kali campurannya adalah 0.

Persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu

– persamaan bidang melalui tiga titik

Persamaan bidang dalam segmen

- persamaan bidang dalam segmen

Bukti

Untuk membuktikannya, kami menggunakan fakta bahwa pesawat kami melewati A, B, C, dan vektor normal

Mari kita substitusikan koordinat titik dan vektor n ke dalam persamaan bidang dengan vektor normal

Bagi semuanya dengan dan dapatkan

Begitu seterusnya.

Persamaan bidang normal

adalah sudut antara sapi dan vektor normal terhadap bidang, yang keluar dari O.

adalah sudut antara oy dan vektor normal terhadap bidang, keluar dari O.

adalah sudut antara oz dan vektor normal ke bidang, keluar dari O.

adalah jarak dari titik asal koordinat ke bidang.

Bukti atau omong kosong semacam itu

Tandanya berlawanan D.

Demikian pula untuk cosinus lainnya. Akhir.

Jarak dari titik ke bidang

Titik S, bidang

adalah jarak orientasi dari titik S ke bidang

Jika , maka S dan O terletak pada sisi bidang yang berlawanan

Jika , maka S dan O terletak pada sisi yang sama

Kalikan dengan n

Susunan bersama dua garis dalam ruang

Sudut antar bidang

Pada perpotongan tersebut terbentuk dua pasang sudut dihedral vertikal, yang terkecil disebut sudut antar bidang

Garis lurus dalam ruang

Sebuah garis dalam ruang dapat diberikan sebagai

Persimpangan dua pesawat:

Persamaan parametrik garis lurus

- persamaan parametrik garis lurus dalam bentuk vektor

adalah persamaan parametrik garis lurus dalam koordinat

Persamaan Kanonik

adalah persamaan kanonik garis lurus.

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu

– persamaan kanonik garis lurus dalam bentuk vektor;

Susunan bersama dua garis dalam ruang

Susunan timbal balik antara garis lurus dan bidang dalam ruang

Sudut antara garis dan bidang

Jarak titik ke garis dalam ruang

a adalah vektor arah garis lurus kita.

adalah titik sewenang-wenang milik garis yang diberikan

- titik yang kita cari jaraknya.

Jarak antara dua garis yang berpotongan

Jarak antara dua garis sejajar

M1 - titik milik baris pertama

M2 adalah titik milik garis kedua

Kurva dan permukaan orde kedua

Elips adalah himpunan titik-titik pada bidang datar, jumlah jarak dari dua titik tertentu (fokus) adalah nilai konstan.

Persamaan kanonik elips

Mari kita ganti dengan

Dibagi dengan

Properti Elips

Persimpangan dengan sumbu koordinat

Simetri tentang

1. Asal usul

Elips adalah kurva yang terletak di bagian terbatas dari sebuah pesawat

Elips dapat diperoleh dari lingkaran dengan meregangkan atau meremasnya

Persamaan parametrik elips:

- direktur

Hiperbola

Hiperbola adalah himpunan titik-titik pada bidang yang modulus perbedaan jaraknya ke 2 titik tertentu (fokus) adalah nilai konstan (2a)

Kami melakukan semuanya sama seperti dengan elips, kami dapatkan

Ubah dengan

Dibagi dengan

Sifat-sifat hiperbola

;

- direktur

asimtot

Asimtot adalah garis lurus yang mendekati kurva tanpa batas, surut hingga tak terhingga.

Parabola

properti parabot

Hubungan antara elips, hiperbola dan parabola.

Hubungan antara kurva ini memiliki penjelasan aljabar: semuanya diberikan oleh persamaan derajat kedua. Dalam sistem koordinat apa pun, persamaan kurva ini memiliki bentuk: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, di mana a, b, c, d, e, f adalah bilangan

Mengubah Sistem Koordinat Kartesius Persegi Panjang

Terjemahan paralel dari sistem koordinat

–O’ dalam sistem koordinat lama

– koordinat titik dalam sistem koordinat lama

– koordinat titik dalam sistem koordinat baru

Koordinat titik dalam sistem koordinat baru.

Putar dalam Sistem Koordinat Cartesian

– sistem koordinat baru

Matriks transisi dari basis lama ke basis baru

- (di bawah kolom pertama Saya’ , di bawah detik j’ ) matriks transisi dari basis Saya,j menjadi dasar Saya’ ,j’

Kasus umum

1 pilihan

1. Rotasi sistem koordinat

pilihan 2

1. Rotasi sistem koordinat

   Terjemahan paralel dari asalnya

Persamaan umum garis orde kedua dan reduksinya ke bentuk kanonik

adalah bentuk umum dari persamaan kurva orde kedua

Klasifikasi kurva orde kedua

Elipsoida

Penampang melintang dari ellipsoid

- elips

- elips

Elipsoid revolusi

Ellipsoid revolusi adalah spheroid oblate atau prolate, tergantung pada apa yang kita putar.

Hiperboloid satu pita

Bagian dari hiperboloid satu jalur

– hiperbola dengan sumbu nyata oy

adalah hiperbola dengan sumbu x nyata

Ternyata elips untuk setiap h. Begitu seterusnya.

Hiperboloid revolusi jalur tunggal

Sebuah hiperboloid satu-lembar revolusi dapat diperoleh dengan memutar hiperbola di sekitar sumbu imajinernya.

Hiperboloid dua lembar

Bagian dari hiperboloid dua-lembar

- hiperbola dengan tindakan. sumbuoz

adalah hiperbola dengan sumbu nyata oz

Kerucut

- sepasang garis berpotongan

- sepasang garis berpotongan

Parabola berbentuk elips

- parabola

- parabola

Rotasi

Jika , maka paraboloid elips adalah permukaan revolusi yang dibentuk oleh rotasi parabola terhadap sumbu simetrinya.

Paraboloid hiperbolik

Parabola

- parabola

h>0 hiperbola dengan sumbu nyata sejajar dengan x

h<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

Di bawah silinder yang kami maksud adalah permukaan yang akan diperoleh ketika garis lurus bergerak dalam ruang, yang tidak berubah arahnya, jika garis lurus bergerak relatif terhadap oz, maka persamaan silinder adalah persamaan penampang bidang senang.

Silinder elips

silinder hiperbolik

silinder parabola

Generator bujursangkar dari permukaan orde kedua

Garis-garis yang terletak sepenuhnya di permukaan disebut generator bujursangkar dari permukaan.

Permukaan revolusi

Persetan kamu lol

Menampilkan

dengan menampilkan Sebut saja aturan yang menurutnya setiap elemen himpunan A dikaitkan dengan satu atau lebih elemen himpunan B. Jika masing-masing diberi satu elemen dari himpunan B, maka pemetaannya disebut jelas, sebaliknya ambigu.

Transformasi himpunan disebut pemetaan satu-satu dari himpunan ke dirinya sendiri

Injeksi

Injeksi atau pemetaan satu-ke-satu dari himpunan A ke himpunan B

(elemen yang berbeda dari a sesuai dengan elemen yang berbeda dari B) misalnya y=x^2

surjeksi

Surjeksi atau pemetaan himpunan A ke himpunan B

Untuk setiap B, setidaknya ada satu A (misalnya, sinus)

Setiap elemen himpunan B hanya sesuai dengan satu elemen himpunan A. (misalnya, y=x)