BAGIAN DUA.

TRANSFORMASI IDENTITAS

(EMPAT TINDAKAN ALJABAR PERTAMA).

Bab satu.

polinomial dan monomial.

42. Polinomial dan monomial. Ekspresi aljabar yang terdiri dari beberapa ekspresi lain yang dihubungkan oleh tanda + atau - disebut polinomial. Misalnya, ini adalah ekspresi:

Ekspresi terpisah, dari kombinasi yang tanda + atau - ternyata polinomial, disebut anggotanya. Biasanya istilah polinomial dianggap bersama dengan tanda-tanda yang berdiri di depannya; misalnya, mereka mengatakan: anggota - sebuah , anggota + b 2, dst. Sebelum anggota pertama, jika tidak ada tanda yang diletakkan di depannya, berarti enak +; jadi, dalam contoh kita, anggota pertama adalah ab atau + ab .

Ekspresi yang hanya terdiri dari satu anggota disebut satu suku, dua anggota - dua suku, tiga - tiga suku, dll. Monomial adalah bilangan tunggal yang dinyatakan dengan huruf atau angka (misalnya - sebuah , + 10), atau produk (mis. ab ), atau pribadi (mis. a-b / 2 ) atau gelar (mis. b 2); tetapi monomial harus bukan jumlah atau selisihnya , karena jika tidak maka akan menjadi binomial, trinomial, polinomial secara umum.

Jika monomial adalah hasil bagi, maka itu disebut monomial pecahan; semua monomial lainnya disebut tujuan. Jadi, dalam contoh kita, monomial a-b / 2 adalah pecahan, dan semua anggota polinomial lainnya adalah bilangan bulat. Karena pada awal aljabar kita hanya akan berbicara tentang monomial bilangan bulat, untuk singkatnya kita akan menyebutnya "monomial".

Jika semua anggota polinomial adalah bilangan bulat, maka disebut juga bilangan bulat.

43. Koefisien. Misalkan kita diberikan produk:

sebuah 3ab (- 2) ,

di mana beberapa faktor dinyatakan dalam angka, yang lain dalam huruf. Produk semacam itu dapat ditransformasikan (menggunakan sifat asosiatif dan komutatif perkalian) dengan menggabungkan dalam satu kelompok semua faktor yang dinyatakan dalam angka, dalam kelompok lain - semua faktor yang dinyatakan dalam huruf sebuah, dll.:

3 (- 2) (A A) b ,

apa yang bisa ditulis secara singkat: - 6sebuah 2 b ;. Seperti ini:

-l0 axx (- 2) = + 20Oh 2 , dll.

Faktor yang dinyatakan dalam angka, ditempatkan di depan faktor abjad, disebut koefisien monomial. Jadi, secara monomial - 6sebuah 2 b nomor - 6 ada koefisien.

Perhatikan bahwa jika koefisien adalah bilangan bulat positif, maka itu berarti berapa kali diulang dengan istilah ekspresi literal yang dirujuknya; Jadi, 3 ab = 3(ab) =(ab) 3 =ab + ab + ab . Jika koefisien adalah pecahan, maka ia menyatakan pecahan mana yang diambil dari nilai numerik dari ekspresi literal. Jadi:
2 / 3 Oh = Oh 2 / 3 , dan kalikan Oh pada 2 / 3 berarti mengambil 2 / 3 dari nomor Oh .

44. Sifat-sifat polinomial. Setiap polinomial dapat dianggap sebagai jumlah aljabar dari anggotanya. Misalnya polinomial

2sebuah - b + dengan

ada jumlah: 2sebuah + (- b) + (+ dengan ) karena ekspresi + (- b) setara dengan ekspresi - b dan ekspresi + (+ dengan ) artinya sama dengan + dengan . Akibatnya, semua sifat dari jumlah bilangan relatif (Bag. 1 25) juga termasuk dalam polinomial. Mari kita ingat yang paling penting dari properti ini:

sebuah) Transfer properti: nilai numerik polinomial tidak berubah ketika memindahkan anggotanya (dengan tanda-tanda mereka).

Misalkan, misalnya, kita menemukan nilai numerik dari polinomial

2sebuah 2 - ab + b 2 - 1 / 2 sebuah

pada a = - 4 dan b = - 3. Untuk melakukannya, pertama-tama kita hitung setiap suku secara terpisah:

2sebuah 2 = 2(- 4) 2 = 2(- 4)(- 4) = 32 ; - ab = - (- 4) (- 3)= -12 ;

b 2 =(- 3) 2 = (- 3)(- 3)= +9 ; - 1 / 2 sebuah = - 1 / 2 (- 4)= +2 .

Sekarang mari kita tambahkan semua angka yang diperoleh atau dalam urutan di mana anggota polinomial ditulis:

32 - 12 + 9 + 2 = 31,

atau dalam urutan lain, kami selalu mendapatkan angka 31 yang sama.

b) sifat asosiatif: nilai numerik polinomial tidak akan berubah jika kita mengganti salah satu sukunya dengan jumlah aljabarnya.

Jadi, jika dalam polinomial yang diambil sekarang kita ganti istilahnya - ab , + b 2 dan - 1 / 2 sebuah jumlah aljabar mereka, yaitu, ambil polinomial ini dalam bentuk berikut:

2sebuah 2 + (- ab + b 2 - 1 / 2 sebuah )

lalu di sebuah = - 4 dan b = - 3 kita peroleh:

32 + (- 12 + 9 + 2) = 32 + (- 1) = 31,

yaitu kita mendapatkan nomor yang sama 31 yang kita dapatkan sebelumnya. Kami juga mencatat properti penting berikut dari polinomial:

di) Jika sebelum setiap anggota polinomial kita ubah tandanya menjadi kebalikannya, maka nilai numerik dari polinomial tersebut juga akan mengubah tandanya menjadi kebalikannya, dan nilai absolutnya tidak akan berubah.

Misalnya, nilai numerik dari polinomial 2sebuah 2 - ab + b 2 - 1 / 2 sebuah
pada sebuah = - 4 dan b = - 3 adalah, seperti yang telah kita lihat, 31, dan nilai numerik dari polinomial - 2sebuah 2 + ab- b 2 + 1 / 2 sebuah dengan nilai huruf yang sama sama dengan -31.

45. Pengurangan istilah serupa. Terkadang dalam polinomial ada istilah yang berbeda satu sama lain hanya dalam koefisien, atau tanda, atau bahkan tidak berbeda sama sekali; anggota seperti itu disebut serupa. Misalnya, dalam polinomial

suku pertama mirip dengan suku ketiga (digarisbawahi satu baris), suku kedua mirip dengan suku keempat dan keenam (digarisbawahi dua baris), dan suku kelima tidak memiliki analogi.

Jika suatu polinomial mengandung suku-suku yang serupa, maka suku-suku tersebut dapat digabungkan menjadi satu suku. Jadi, dalam contoh yang diberikan sekarang, kita dapat (berdasarkan sifat asosiatif polinomial) menggabungkan anggota ke dalam grup seperti itu:

(4sebuah + 0,5sebuah) + (- 3x + 8x - 2X) + 3 kapak .

Tetapi jelas bahwa 4 dari beberapa angka dan 0,5 dari angka yang sama adalah 4,5 dari angka yang sama. Cara, 4sebuah + 0,5sebuah = 4,5sebuah . Sama - 3x + 8x = 5X dan 5X - 2X =3X . Sehingga polinomial dapat direpresentasikan sebagai berikut:

4,5sebuah + 3X+ 3 kapak .

Perhatikan bahwa kombinasi semua anggota polinomial yang serupa menjadi satu anggota biasanya disebut pengurangan anggota polinomial yang serupa.

Komentar. Dua suku serupa dengan koefisien yang sama, tetapi dengan koefisien yang berbeda (mereka saling meniadakan dengan tanda, seperti, misalnya, suku + 2 sebuah dan 2 sebuah, atau - 1/2 X 2 dan + 1/2 X 2 .

Contoh.

Bagian dua.

penjumlahan dan pengurangan aljabar.

46. ​​Apa yang dimaksud dengan "operasi aljabar".

Dalam aritmatika, operasi dilakukan pada angka, dan hasilnya adalah satu angka baru. Dalam aljabar, tindakan dilakukan bukan pada angka, tetapi pada ekspresi aljabar, dan hasilnya adalah ekspresi aljabar baru. Misalnya, kalikan monomial 3 sebuah menjadi monomial 2 sebuah - berarti, pertama, untuk menunjukkan perkalian dengan tanda-tanda yang diterima:

(3sebuah) (2sebuah)

dan, kedua, untuk mengubah, jika mungkin, ekspresi aljabar yang dihasilkan menjadi ekspresi aljabar lain yang lebih sederhana. Dalam contoh kita, transformasi dapat dilakukan dengan alasan seperti ini: mengalikan suatu bilangan dengan hasil kali 2 sebuah , Anda dapat mengalikan angka ini terlebih dahulu dengan 2 lalu kalikan hasilnya dengan sebuah .

(3sebuah) (2sebuah) = (3sebuah) 2sebuah .

Dalam ekspresi terakhir, kita dapat membuang tanda kurung, karena ini tidak mengubah arti ekspresi; maka kita mendapatkan 3sebuah 2sebuah .. Sekarang, dengan menggunakan sifat asosiatif perkalian, kita kelompokkan faktor-faktornya sebagai berikut: (3 2) (A A) , yang jelas adalah 6a 2 .

Berapapun nomor suratnya sebuah tidak berarti nilai numerik dari ekspresi (3sebuah) (2sebuah) selalu sama dengan nilai numerik dari ekspresi 6a 2 , yaitu ekspresi ini identik.

Jadi, tindakan aljabar dalam contoh perkalian kita terdiri, pertama, dalam menunjukkan tindakan ini dengan tanda-tanda yang diterima dalam aljabar dan, kedua, dalam mengubah, jika mungkin, ekspresi aljabar yang dihasilkan menjadi ekspresi aljabar lain yang identik dengannya.

47. Penambahan monomial. Biarkan diperlukan untuk menambahkan beberapa monomial:

3sebuah, - 5b, + 0.2a, -7b dan dengan . Jumlah mereka dinyatakan sebagai berikut:

3sebuah +(- 5b) + (+ 0.2a) + (-7b ) + dengan

Tapi ekspresi: + (- 5b), + (+ 0.2a) dan + (- 7b ) setara dengan: - 5b, + 0.2a dan - 7b oleh karena itu, jumlah monomial ini dapat ditulis ulang dengan cara yang lebih sederhana:

yang, setelah mengeluarkan istilah serupa, memberikan: 3,2sebuah - 12b+ dengan. Cara, untuk menambahkan beberapa monomial, cukup menuliskannya satu demi satu dengan tanda-tandanya dan membuat pengurangan istilah yang serupa.

48. Penambahan polinomial. Biarkan itu diperlukan untuk beberapa angka atau ekspresi aljabar m tambahkan polinomial a - b + c . Jumlah yang diinginkan dapat dinyatakan sebagai berikut:

m + (a - b + c ).

Untuk mengubah ekspresi ini, kita memperhitungkan bahwa polinomial
a - b + c adalah jumlah a + (- b) + c , dan untuk menambahkan jumlah, Anda dapat menambahkan setiap istilah satu per satu; Itu sebabnya:

m + (a - b + c ) = m +a + (- b) + c

Tapi tambahkan -b tidak peduli apa yang harus dikurangi b ; Itu sebabnya:

m + (a - b + c ) = m + a - b + c

Aturan. Untuk menambahkan polinomial ke beberapa ekspresi alebra, perlu untuk menetapkan ke ekspresi ini semua istilah polinomial satu demi satu dengan tanda-tandanya (Selain itu, sebelum anggota pertama polinomial, jika tidak ada tanda di depannya, tanda + harus tersirat) dan melemparkan anggota yang serupa, jika mereka muncul.

Contoh.

3sebuah 2 - 5ab + b 2 + (4ab - b 2 + 7sebuah 2).

Istilah pertama, yang sekarang kita dilambangkan dengan satu huruf m, diberikan dalam contoh ini sebagai polinomial 3sebuah 2 - 5ab + b 2 . Menerapkan aturan ini, kami menemukan:

3sebuah 2 - 5ab + b 2 + (4ab - b 2 + 7sebuah 2) = 3sebuah 2 - 5ab + b 2 + 4ab - b 2 + 7sebuah 2 = 10sebuah 2 - ab

Jika data polinomial untuk penjumlahan mengandung anggota yang serupa (seperti dalam contoh kita), maka akan berguna untuk menulis suku satu di bawah suku lain sehingga suku-suku serupa berada di bawah suku-suku serupa:

49. Pengurangan monomial. Biarkan itu diperlukan dari monomial 10 kapak kurangi monomial - 3 kapak . Perbedaan yang diinginkan dinyatakan sebagai berikut:

10 kapak - (- 3 kapak ).

Menurut aturan pengurangan, pengurangan adalah 3 kapak dapat diganti dengan menambahkan angka yang berlawanan dengan angka - 3 kapak . Ada nomor seperti itu + 3 kapak , Itu sebabnya:

10 kapak - (- 3 kapak ) = 10 kapak + (+ 3 kapak ) = 10 kapak + 3 kapak = 13 kapak .

Cara, untuk mengurangi monomial, cukup untuk menetapkannya ke minuend dengan tanda yang berlawanan (dan untuk membuat pengurangan istilah yang serupa, jika muncul).

50. Pengurangan polinomial. Biarkan itu diperlukan dari beberapa angka atau ekspresi aljabar m kurangi polinomial a - b + c , yang dapat dinyatakan sebagai berikut:

m- (a - b + c ).

Untuk melakukan ini, menurut aturan pengurangan (Bagian 1 22), cukup dengan menambahkan m bilangan sebaliknya a - b + c . Ada nomor seperti itu - a + b - c (); cara:

m- (a - b + c ) = m+ (- a + b - c )

Menerapkan sekarang aturan penambahan polinomial, kita mendapatkan:

m- (a - b + c ) = m - a + b - c .

Cara, untuk mengurangi polinomial dari beberapa ekspresi aljabar, cukup untuk menghubungkan ke ekspresi ini semua istilah polinomial pengurangan dengan tanda yang berlawanan (dan membuat pengurangan).

Jika diperlukan untuk mengurangkan polinomial lain dari satu polinomial dan polinomial ini memiliki suku yang sama, maka akan berguna untuk menuliskan polinomial yang dikurangkan di bawah polinomial yang dikurangi, mengubah tanda-tanda dari polinomial yang dikurangkan menjadi yang berlawanan, sehingga suku-suku serupa tetap ada di bawah yang serupa. Misalnya pengurangan
(7sebuah 2 - 2ab + b 2) - (5sebuah 2 + 4ab - 2b 2) paling baik ditempatkan seperti ini:

(dalam polinomial yang akan dikurangi, tanda-tanda atas ditetapkan seperti yang diberikan, dan di bawah mereka dibalik).

51. Tanda kurung yang diperluas didahului dengan tanda + atau -.

Biarkan dalam ekspresi

2 sebuah + (sebuah - 3 b + c ) - (2 a - b + 2 dengan )

kurung harus dibuka. Ini harus dipahami sedemikian rupa sehingga diperlukan untuk melakukan pada polinomial di dalam tanda kurung tindakan-tindakan yang ditunjukkan oleh tanda-tanda di depan tanda kurung. Dalam contoh kita, tanda kurung pertama didahului dengan tanda +, dan tanda kurung kedua didahului dengan tanda -. Setelah menambahkan dan mengurangi sesuai dengan aturan yang telah kita berikan, kita mendapatkan ekspresi tanpa tanda kurung:

2 sebuah + sebuah - 3 b + c - 2 a + b - 2 c = a- 2 b - c

Dengan demikian, kita harus ingat bahwa, Memperluas tanda kurung didahului tanda +, kita tidak boleh mengubah tanda di dalam tanda kurung, dan memperluas tanda kurung didahului tanda -, kita harus mengubah tanda sebaliknya sebelum semua anggota di dalam tanda kurung.

Biarkan juga diperlukan untuk membuka tanda kurung dalam ekspresi:

10r - .

Untuk melakukan ini, paling mudah untuk membuka kurung dalam terlebih dahulu, dan kemudian yang luar:

10r - = 10p - 3p - 5p + 10 + 4] = 2p+14.

52. Bracketing bagian dari polinomial. Untuk mentransformasi polinomial, terkadang berguna untuk mengurung himpunan dari beberapa anggotanya, dan terkadang diinginkan untuk meletakkan + di depan kurung, yaitu, untuk menggambarkan polinomial sebagai jumlah, dan terkadang tanda -, yaitu. mewakili polinomial sebagai perbedaan. Misalkan, dalam polinomial a + b - c kami ingin mengurung dua suku terakhir dengan mengawali tanda kurung dengan tanda +. Kemudian kita tulis seperti ini:

a + b - c = a + (b - c) ,

yaitu, di dalam tanda kurung kita tinggalkan tanda yang sama dengan yang ada di polinomial ini. Bahwa transformasi seperti itu benar, kami akan memastikan jika kami membuka tanda kurung sesuai dengan aturan penjumlahan; kemudian kita mendapatkan polinomial yang diberikan lagi.

Misalkan pada polinomial yang sama dua bilangan terakhir harus dikurung dengan memberi tanda minus di depan tanda kurung.

Kemudian kita tulis seperti ini:

a + b - c = sebuah - (- b + c) = sebuah - ( dengan - b) ,

yaitu, di dalam tanda kurung di depan semua anggota, kami mengubah tanda menjadi sebaliknya. Bahwa transformasi seperti itu benar, kami akan memastikan jika kami membuka tanda kurung sesuai dengan aturan pengurangan; kemudian kita mendapatkan polinomial yang diberikan lagi.

Komentar. Anda juga dapat mengapit seluruh polinomial dalam tanda kurung dengan meletakkan tanda + atau - di depannya. Misalnya, Anda dapat menulis:

a - b + c = + (a - b + c ) dan a - b + c = - (- a + b - c ).

Bab tiga.

perkalian aljabar.

53. Perkalian pangkat dari bilangan yang sama. Mari berlipat ganda sebuah 3 on sebuah 2, yang dapat dinyatakan sebagai berikut: sebuah 3 sebuah 2 atau lebih :( ahh ) (A A ). Di sini pekerjaan ahh dikalikan dengan yang lain A A . Tetapi untuk mengalikan beberapa angka dengan produk, seseorang dapat mengalikan angka ini dengan faktor pertama, mengalikan hasilnya dengan faktor kedua, dan seterusnya; Itu sebabnya:

sebuah 3 sebuah 2 = (ahh )(A A ) = (ahh ) A A ,

yang dapat ditulis tanpa tanda kurung, karena urutan tindakan tetap sama tanpa tanda kurung seperti yang ditunjukkan oleh tanda kurung:

sebuah 3 sebuah 2 = aaaaa = sebuah 5 .

Cara, ketika mengalikan pangkat dari angka yang sama, eksponennya dijumlahkan.

Dengan demikian: X 3 X = X 4 , m 2 m 3 = m 5 , kamu 2 kamu kamu 3 = kamu 6 , dll.

54. Perkalian monomial. Kami telah mengatakan sebelumnya () bagaimana Anda dapat mengubah produk monomial (3sebuah) (2sebuah) menjadi monomial 6 sebuah 2. Sekarang mari kita ulangi apa yang dikatakan waktu itu dengan contoh lain. Mari kita kalikan:

Sejak monomial 5abx adalah produk, maka cukup untuk mengalikan perkalian dengan faktor pertama - 5 , kalikan hasilnya dengan faktor kedua sebuah , dll. Jadi:

3Oh 2 (- 5abx) = 3Oh 2 (- 5)abx .

Dalam produk ini, menggunakan sifat asosiatif perkalian, kami mengelompokkan faktor-faktor ke dalam grup berikut:

(+3)(- 5) (A A) b (X 2 X).

Setelah mengalikan di setiap kelompok, kita mendapatkan:

- 15 sebuah 2 b X 3 .

Cara, untuk mengalikan monomial dengan monomial, Anda perlu mengalikan koefisiennya, menambahkan indikator huruf yang identik, dan huruf-huruf yang hanya termasuk dalam perkalian atau hanya dalam faktornya, pindahkan ke produk dengan indikatornya.

Contoh.

1) 0,7sebuah 3 X (3sebuah 4 X 2 pada 2) = 2,1sebuah 7 X 3 pada 2

2) (1 / 2 m x 3) 2 = 1 / 2 m x 3 (1 / 2 m x 3) = 1 / 4 m 2 x 6

3) -3,5 X 2 pada (3 / 4 X 3) = - 21 / 8 X 5 pada

55. Perkalian polinomial dengan monomial.

Biarkan diberikan untuk mengalikan polinomial a + b - c menjadi monomial m , yang dapat dinyatakan sebagai berikut:

(a + b - c ) m .

polinomial a + b - c adalah jumlah dari bilangan relatif a + b + (- dengan) . Tetapi, untuk mengalikan jumlahnya, Anda dapat mengalikan setiap suku secara terpisah dan menjumlahkan hasilnya (sifat distributif); cara:

(a + b - c ) m = [ a + b + (- dengan) ] m = sebuah m +b m + (- dengan)m .

Tetapi (- dengan)m = - cm dan + (- cm ) = - cm ; Itu sebabnya

(a + b - c ) m = sebuah m +b m - denganm .

Aturan. Untuk mengalikan polinomial dengan monomial, perlu untuk mengalikan setiap suku polinomial dengan monomial ini dan menambahkan produk yang dihasilkan.

Karena hasil kali tidak berubah dari permutasi tempat faktor, aturan ini juga berlaku untuk perkalian monomial dengan polinomial; dengan demikian:

m (a + b - c ) = m sebuah + m b m - mc .

Contoh.

1) (3x 2 - 2Oh + 5sebuah 2) (-4Oh) .

Di sini, perkalian suku-suku polinomial dengan monomial tertentu harus dilakukan menurut aturan perkalian monomial, dengan memperhatikan juga aturan tanda: bila dikalikan, tanda yang sama memberi +, dan tanda yang berbeda memberi - . Kami mengalikan secara terpisah setiap suku polinomial dengan monomial:

(3x 2)(-4Oh) = - 12kapak 3 ; (- 2Oh) (-4Oh) == + 8sebuah 2 x 2 ; (+ 5sebuah 2) (-4Oh) = - 20sebuah 3 x .

Sekarang mari kita simpulkan hasilnya:

- 12kapak 3 + 8sebuah 2 x 2 - 20sebuah 3 x .

2) (sebuah 2 - ab + b 2) (3sebuah) = sebuah 2 (3sebuah) - (ab ) (3sebuah) + b 2 (3sebuah) = 3sebuah 3 - 3sebuah 2 b+ 3ab 2

3) (7x 3 + 3 / 4 Oh - 0,3) (2, aku sebuah 2 x) = (7x 3 ) (2, aku sebuah 2 x) + (3 / 4 Oh) (2, aku sebuah 2 x) - 0,3 (2, aku sebuah 2 x) =
= 14,7sebuah 2 x 4 + 1,575sebuah 3 x 2 - 0,63 sebuah 2 x .

4) 2sebuah (3sebuah - 4 Oh + 1 / 2 x 2) = 6sebuah 2 - 8sebuah 2 x + sebuahx 2

56. Perkalian polinomial dengan polinomial. Mari kita lakukan perkalian:

(a + b - c ) (M N ).

Mempertimbangkan pengganda M N sebagai angka tunggal (sebagai monomial), kami menerapkan aturan untuk mengalikan polinomial dengan monomial:

a (m - n) + b (m - n) - c (m - n).

Mengingat sekarang ekspresi M N sebagai polinomial (binomial), kami menerapkan aturan perkalian monomial dengan polinomial:

(am - an) + (bm - bn) - (cm - cn).

Akhirnya, membuka tanda kurung sesuai dengan aturan penambahan dan pengurangan, kami akhirnya menemukan:

(a + b - c) (m - n) = am - an + bm - bn - cm + cn

Aturan. Untuk mengalikan polinomial dengan polinomial, Anda harus mengalikan setiap suku dari polinomial pertama dengan setiap suku dari polinomial kedua dan menambahkan produk yang dihasilkan.

Tentu saja, ketika mengalikan suku-suku polinomial pertama dengan suku-suku polinomial kedua, seseorang harus dipandu oleh aturan-aturan tanda: tanda yang sama memberikan + tanda yang berbeda -.

Contoh, (sebuah 2 - 5ab + b 2 - 3) (sebuah 3 - 3ab 2 + b 3)

Pertama-tama kita kalikan semua suku pengali dan suku ke-1 pengali:

(sebuah 2 - 5ab + b 2 - 3) sebuah 3 = sebuah 5 - 5sebuah 4 b + sebuah 3 b 2 - 3sebuah 3

Kemudian kita kalikan semua suku pengali dengan suku ke-2 pengali:

(sebuah 2 - 5ab + b 2 - 3) (- 3ab 2) = - 3a 3 b 2 + 15a 2 b 3 - 3ab 4 + 9ab 2

(sebuah 2 - 5ab + b 2 - 3) (b 3) = sebuah 2 b 3 - 5ab 4 + b 5 - 3b 3

Akhirnya, kami menjumlahkan semua produk yang dihasilkan dan membuat pengurangan istilah serupa; hasil akhirnya akan menjadi:

sebuah 5 - 5sebuah 4 b- 2a 3 b 2 - 3sebuah 3 + 16a 2 b 3 - 8ab 4 + 9ab 2 + b 5 - 3b 3

Perkataan. 1) Agar tidak ketinggalan salah satu produk dari istilah saat mengalikan polinomial dengan polinomial, itu berguna untuk selalu mematuhi beberapa satu urutan perkalian; misalnya, seperti yang kita lakukan barusan, pertama kalikan semua suku pengali dengan suku ke-1 pengali, lalu kalikan semua suku dengan suku ke-2 pengganda, dst.

2) Ketika diterapkan pada bilangan aritmatika, aturan perkalian untuk polinomial dapat diinterpretasikan dengan jelas secara geometris. Ambil, misalnya, 4 segmen garis a, b, m dan n dan bangun dua persegi panjang: satu dengan alas a + b dan tinggi m+n , yang lain dengan basis a + b , dan tinggi M N .

Luas yang pertama adalah ( a + b ) (m+n ), dan luas kedua adalah ( a + b ) (M N ). Secara langsung terlihat dari gambar bahwa luas pertama sama dengan am + bm + an + bn , dan yang kedua adalah am + bm - an - bn .

Contoh.

1) (a - b) (m - n - p) \u003d am - bm - an + bn - ap + bp.

2) (x 2 - y 2) (x + y) \u003d x 3 - xy 2 + x 2 y - y 3

3) (3an + 2n 2 - 4a 2) (n 2 - 5an) = 3an 3 + 2n 4 - 4a 2 n 2 - 15a 2 n 2 - 10an 3 + 20a 3 n =
\u003d -7an 3 + 2n 4 - 19a 2 n 2 + 20a 3 n

4) (2a 2 - 3) 2 = (2a 2 - 3) (2a 2 - 3) = (2a 2) 2 - 3 (2a 2) - (2a 2) 3 + 9 =
= 4a 4 - 6a 2 - 6a 2 + 9 = 4a 4 - 12a 2 + 9

57. Terletak polinomial. Menyusun polinomial dalam pangkat beberapa huruf berarti, jika mungkin, menuliskan suku-sukunya dalam urutan sedemikian rupa sehingga pangkat dari huruf ini bertambah atau berkurang dari suku pertama ke suku terakhir. Ya, polinomial 1 + 2x + x 2 - x 3 terletak di kekuatan surat yang meningkat X . Polinomial yang sama akan diatur dalam pangkat huruf yang menurun X , jika kita menulis anggotanya dalam urutan terbalik: -x 3 +x2 + 2x + 1 .

Huruf di mana polinomial berada disebut huruf utamanya. Suku yang mengandung huruf kapital dengan eksponen terbesar disebut suku tertinggi dari polinomial; suku yang mengandung huruf utama dengan pangkat terkecil atau tidak mengandung sama sekali disebut suku terkecil dari polinomial.

58. Perkalian polinomial terletak paling mudah untuk memproduksi seperti yang akan ditunjukkan dalam contoh berikut.

Berkembang biak

3x - 5 + 7x 2 - x 3 pada 2 - 8x 2 + x.

Mengatur kedua polinomial dalam pengurangan kekuatan huruf X , tulis pengali di bawah pengali dan buat garis di bawahnya:

Kalikan semua suku pengali dengan suku ke-1 pengali (dengan - 8x2 ) dan produk yang dihasilkan ditulis di bawah garis. Kemudian semua suku pengali dikalikan dengan suku ke-2 pengali (dengan + x ) dan produk kedua yang dihasilkan ditulis di bawah yang pertama sehingga suku-suku serupa berada di bawah suku-suku serupa. Mereka juga terus melakukannya. Di bawah karya terakhir (pada + 2 ) menggambar garis di mana mereka menulis karya lengkap, menambahkan semua karya lainnya.

Dimungkinkan juga untuk mengatur kedua polinomial dalam pangkat menaik dari huruf utama dan kemudian mengalikan dalam urutan yang sama seperti yang baru saja ditunjukkan.

59. Anggota yang lebih tinggi dan lebih rendah dari suatu karya. Dari contoh-contoh tersebut berikut ini:

Suku tertinggi dari hasil kali sama dengan produk dari suku tertinggi dikalikan dengan suku tertinggi dari perkalian.

Suku terendah dari hasil kali sama dengan hasil kali suku terendah dari pengganda dengan suku terendah dari pengganda.

Anggota yang tersisa dari pekerjaan dapat diperoleh dengan menggabungkan beberapa anggota yang serupa menjadi satu. Bahkan dapat terjadi bahwa dalam suatu produk, setelah pengurangan suku-suku sejenis, semua suku-sukunya musnah, kecuali suku pertama dan terakhir (lebih tinggi dan lebih rendah), seperti terlihat pada contoh berikut:

60. Jumlah anggota karya. Biarkan pengali memiliki lima suku, dan pengganda memiliki tiga suku. Mengalikan setiap suku dari perkalian dan suku ke-1 dari pengganda, kita mendapatkan 5 suku hasil kali; kemudian mengalikan setiap suku dari perkalian dan dengan suku ke-2 dari pengganda, kita mendapatkan 6 suku lagi dari hasil kali, dst.; maka, semua suku dalam hasil kali adalah 5 3, yaitu 15. Secara umum, jumlah anggota produk, sebelum kombinasi anggota serupa di dalamnya, sama dengan produk dari jumlah anggota dikalikan dengan jumlah anggota pengganda.

Karena anggota tertinggi dan terendah dari sebuah karya tidak dapat memiliki anggota seperti mereka, dan semua anggota lainnya dapat dimusnahkan, maka Banyaknya suku terkecil dalam suatu produk setelah dikurangi suku-suku sejenis di dalamnya adalah 2.

61. Beberapa rumus untuk perkalian binomial. Hal ini berguna untuk mengingat rumus berikut untuk mengalikan binomial:

sebuah) (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a2 + 2ab + b 2 .

Contoh: 17 2 = (10 + 7) 2 = 10 2 + 2 10 7 + 7 2 = 100 + 140 + 49 = 289.

Dengan demikian, kuadrat jumlah dua bilangan sama dengan kuadrat bilangan pertama, ditambah dua kali hasil kali bilangan pertama dan kedua, ditambah kuadrat bilangan kedua.

b) (a - b) 2 = (a - b) (a - b) \u003d a 2 - ab - ab + b 2 = a 2 - 2ab + b 2 .

Misal: 19 2 = (20 -1) 2 = 20 2 - 2 20 1 + 1 2 = 400 - 40 + 1 = 361

Dengan demikian, kuadrat selisih dua bilangan sama dengan kuadrat bilangan pertama, dikurangi dua kali hasil kali bilangan pertama dan kedua, ditambah kuadrat bilangan kedua.

Komentar. Penting untuk dicatat bahwa menaikkan ke pangkat sehubungan dengan penambahan dan pengurangan tidak memiliki sifat distributif; Jadi, (2+3) 2 tidak sama
2 2 + 3 2 , atau (8 - 6) 2 tidak sama dengan 8 2 - 6 2 .

di) (a + b) (a - b) = a 2 + ab - ab - b 2 = a 2 - b 2

Misalnya: 25 15 = (20 + 5) (20 - 5) = 20 2 - 5 2 = 400 - 25 = 375.

Dengan demikian, hasil kali jumlah dua bilangan dan selisihnya sama dengan selisih kuadrat kedua bilangan tersebut.

G) (a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2 )(a + b) =
= a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3а 2 b + 3ab 2 + b 3

Misal: 12 3 = (10 + 2) 3 = 10 3 + 3 10 2 2 + 3 10 2 2 + 2 3 = 1000 + 600 + 120 + 8=1728.

Dengan demikian, pangkat tiga jumlah dua bilangan sama dengan pangkat tiga bilangan pertama, ditambah tiga kali hasil kali kuadrat bilangan pertama dan kedua, ditambah tiga kali hasil kali bilangan pertama dan kuadrat kedua, ditambah pangkat tiga dari bilangan kedua.

e) (a - b) 3 = (a - b) 2 (a - b) = (a 2 - 2ab + b 2 )(a - b) =
\u003d a 3 - 2a 2 b + ab 2 - a 2b + 2ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Misal: 19 3 = (20 - 1) 3 = 20 3 - 3 20 2 1 + 3 20 1 2 - 1 3 = 8000 -1200 + 60 - 1= 6869.

Dengan demikian, pangkat tiga selisih dua bilangan sama dengan pangkat tiga bilangan pertama, dikurangi tiga kali hasil kali kuadrat bilangan pertama dan kedua, ditambah tiga kali hasil kali bilangan pertama dan kuadrat kedua, dikurangi pangkat tiga bilangan kedua.

62. Interpretasi geometris dari beberapa rumus ini.

sebuah) Sisihkan ruas garis AB = sebuah dan untuk itu kami menerapkan segmen BC = b, maka kita bangun kuadrat: ACDE dan ABJK, yang luasnya akan sama (a + b) 2 dan sebuah 2 . Melanjutkan garis BJ dan KJ ke perpotongan dengan ED dan CD, kita membagi persegi yang lebih besar menjadi 4 bagian, yang luasnya adalah: sebuah 2 , b 2 , ab dan ab .

(a + b) 2 = a2 + ab + ab + b 2 = a2 + 2ab + b 2 .

b) Sisihkan AB = sebuah dan dari AB kita kurangi BC = b ; kemudian kita bangun persegi ACDE, ABFK dan KLME yang luasnya adalah (a - b) 2 , sebuah 2 dan b 2 . Melanjutkan CD ke titik N, kita mendapatkan: pl. ACDE = hal. ABFK + persegi EKLM- persegi. CBFN - hal. DNLM.

(a - b) 2 = a2 + b 2 - ab - ab = a 2 - 2ab + b 2 .

di) Penundaan (Gbr. 13) AB = sebuah , BG = b , AD = sebuah dan DE = b , buat persegi panjang ACJE dan persegi ABKD dan DEML.

Kemudian persegi ACJE = persegi ABKD + persegi. BCJN - persegi DEML - hal. LMNK. Tetapi persegi panjang BCJN dan LMNK adalah sama, dan oleh karena itu luasnya dalam persamaan yang telah kita tulis saling meniadakan: sq. ACJE = persegi ABKD - persegi. DEML, yaitu

(a + b) (a-b) \u003d a 2 - b 2.

63. Aplikasi. Dengan bantuan rumus-rumus ini, kadang-kadang dimungkinkan untuk mengalikan polinomial lebih sederhana daripada dengan cara biasa. Berikut beberapa contohnya:

1) (4a 3 - 1) 2 \u003d (4a 3) 2 - 2 (4a 3) 1 +1 2 \u003d 16a 6 - 8a 3 + 1

2) (x + y)(y - x) = (y + x)(y - x) = y 2 - x 2 .

3) (x + y + 1) (x - y + 1) = [(x + 1) + y] [(x + 1) - y] = (x + 1) 2 - y 2 = x 2 + 2x + 1 - pada 2 .

4) (a - b + c) (a + b - c) \u003d [a - (b - c)] [a + (b - c)] \u003d

\u003d a 2 - (b - c) 2 \u003d a 2 - (b 2 - 2bc + c 2) \u003d a 2 - b 2 + 2bc - c 2

Bab empat.

Pembagian aljabar.

64. Pembagian kekuasaan dengan nomor yang sama. Mari kita membagi:

a 5: a 2 .

Karena bagi hasil harus sama dengan pembagi dikalikan dengan hasil bagi, dan bila dikalikan ditambahkan indikator-indikator dari huruf yang sama, maka pada hasil bagi yang diinginkan dari huruf a harus ada angka yang ditambah dengan 2 adalah 5; bilangan tersebut sama dengan selisih 5 - 2. Jadi:

a 5: a 2 = 5-2 = sebuah 3

Seperti ini kita menemukan: x 3: x 2 \u003d x; y 4: y = y 3 dll.

Cara, ketika membagi pangkat dari angka yang sama, eksponen pembagi dikurangkan dari eksponen dividen .Kecuali bilangan yang pangkatnya habis dibagi tidak sama dengan nol. Jadi, Anda tidak dapat menulis: 0 m: 0 n = 0 m-n , karena persamaan ini berarti: 0:0 = 0, sedangkan hasil bagi 0:0 dapat sama dengan bilangan apa pun

65. Indikator nol. Jika, ketika membagi kekuatan dari angka yang sama, indikator pembagi ternyata sama dengan indikator dividen, maka hasil bagi harus sama dengan 1; misalnya: sebuah 3 : sebuah 3 = 1 karena sebuah 3 = sebuah 3 1. Mari kita setuju untuk mengurangi indikator dalam kasus ini juga; kemudian dalam hasil bagi kita mendapatkan surat dengan eksponen nol:
sebuah 3 : sebuah 3 = sebuah 3-3 = sebuah 0 . Tentu saja indikator ini tidak memiliki arti yang kita lampirkan pada indikator sebelumnya, karena tidak mungkin mengulang angka dengan faktor 0 kali. Kami akan setuju dengan kedok sebuah 0 memahami hasil bagi membagi kekuatan yang sama dari sebuah surat sebuah , dan karena hasil bagi ini sama dengan 1, kita akan mengambil sebuah 0 untuk 1.

66. Pembagian monomial. Biarkan diberikan untuk membagi:

(12a 3 b 2 x): (4a 2 b 2) .

Namun, demi singkatnya, biasanya tanda kurung dihilangkan dalam notasi tersebut. Menurut definisi pembagian, hasil bagi, ketika dikalikan dengan pembagi, pastilah dividen. Oleh karena itu, hasil bagi yang diinginkan harus memiliki 12: 4 , yaitu 3 ; indeks surat sebuah diperoleh dengan mengurangkan dari indikator surat ini dalam dividen dari indikator dari surat yang sama di pembagi, surat itu b tidak akan memasukkan hasil bagi sama sekali, atau, yang semuanya sama, akan memasukkannya dengan indikator 0 , dan surat X akan pergi ke hasil bagi dengan eksponennya.

Dengan demikian: 12a 3 b 2 x: 4a 2 b 2 = 3ah . Verifikasi: 3ah 4а 2 b 2 = 12а 3 b 2 x

Aturan. Untuk membagi monomial menjadi monomial, perlu untuk membagi koefisien dividen dengan koefisien pembagi, kurangi indikator huruf yang sama dari pembagi dari indikator huruf dividen dan transfer ke hasil bagi, tanpa mengubah indikator, huruf-huruf dividen yang tidak ada di pembagi.

Contoh.

1) 3m 3 n 4 x: 4m 2 nx = 3 / 4 m n 3

2) - kapak 4 y 3: - 5 / 6 sumbu 2 \u003d + 6 / 5 x 3 y.

3) 0,8ax n: - 0,02ax = - 40x n-1 .

67. Tanda-tanda ketidakmungkinan membagi monomial. Jika hasil bagi pembagian monomial bilangan bulat tidak dapat dinyatakan secara tepat oleh monomial bilangan bulat, maka mereka mengatakan bahwa pembagian seperti itu tidak mungkin. Pembagian monomial tidak mungkin dilakukan dalam dua sinar:

sebuah) Ketika ada huruf di pembagi yang tidak ada di dividen.

Misalnya, Anda tidak dapat memisahkan 4ab 2 pada 2 kapak , karena setiap monomial dikalikan dengan 2 kapak memberikan produk yang mengandung huruf X , dan dalam habis dibagi kami tidak ada surat seperti itu sama sekali.

b) Ketika eksponen dari setiap huruf dalam pembagi lebih besar dari eksponen dari huruf yang sama dalam dividen.

Misalnya pembagian 10a 3 b 2: 5ab 3 tidak mungkin, karena monomial apa pun dikalikan dengan 5ab 3 , memberikan produk monomial yang mengandung huruf b dengan eksponen 3 atau dengan eksponen lebih besar dari 3, sedangkan dalam habis dibagi kami surat ini adalah dengan eksponen 2.

Ketika satu monomial tidak habis dibagi monomial lain, maka hasil bagi hanya dapat ditunjukkan dengan tanda-tanda pembagian; jadi hasil bagi pembagian 4а 2 b: 2ac dapat diindikasikan

atau seperti ini: 4а 2 b: 2ac , atau seperti ini:

68. Pembagian polinomial dengan monomial.

Biarkan diperlukan untuk membagi polinomial a + b - c menjadi monomial m , yang dapat dinyatakan sebagai berikut:

(a + b - c) : m , atau ,

polinomial a + b - c ada jumlah aljabar, dan untuk membagi jumlah aljabar dengan beberapa nomor, setiap istilah dapat dibagi dengan nomor ini secara terpisah; Itu sebabnya:

Ini dapat diverifikasi dengan verifikasi: dengan mengalikan polinomial sebuah /m+ b /m - c /m ke pembagi m , kita mendapatkan dividen a + b - c

Aturan. Untuk membagi polinomial menjadi monomial, setiap suku dari polinomial harus dibagi menjadi monomial ini dan menambahkan hasil bagi yang dihasilkan.

Tentu saja, pembagian suku-suku polinomial dengan monomial dilakukan menurut aturan pembagian monomial.

Contoh.

69. Pembagian monomial dengan polinomial. Biarkan monomial diperlukan sebuah membagi dengan polinomial b+ c-d . Hasil bagi dari pembagian seperti itu tidak dapat dinyatakan baik oleh suatu monomial bilangan bulat atau oleh suatu polinomial bilangan bulat, karena jika kita menganggap bahwa hasil bagi itu sama dengan suatu monomial bilangan bulat atau polinomial bilangan bulat, maka hasil bagi ini dengan polinomial b+ c-d juga akan memberikan polinomial, dan bukan monomial, seperti yang dipersyaratkan oleh pembagian. Hasil bagi pembagian sebuah pada b+ c-d hanya dapat ditunjukkan oleh tanda-tanda pembagian:

sebuah : (b+ c-d ), atau

70. Pembagian polinomial dengan polinomial. Hasil bagi membagi polinomial dengan polinomial hanya dalam kasus yang jarang dapat dinyatakan sebagai polinomial bilangan bulat. Sebagai contoh:

(a 2 + 2ab + b 2 ) : (a + b) = a + b

sebagai (a + b) (a + b) = (a + b) 2 = a2 + 2ab + b 2 .

Secara umum, hasil bagi seperti itu hanya dapat dilambangkan dengan tanda pembagian. Misalnya, hasil bagi pembagian a - b + c pada d-e akan diungkapkan seperti ini:

Atau ( a - b + c ): (d-e).

Kadang-kadang mungkin untuk menyatakan hasil bagi sebagai polinomial bilangan bulat ketika kedua polinomial terletak di pangkat dari huruf yang sama. Mari kita tunjukkan bagaimana melakukannya dengan contoh berikut:

(5x 2 - 19x 3 + 17x + 6x 4 - 4) : (1 - 5x + 3x 2) .

Kami menulis kedua polinomial dalam penurunan pangkat huruf X dan atur pembagiannya seperti saat membagi bilangan bulat:

Misalkan hasil bagi yang diperlukan sama dengan beberapa polinomial dan suku-suku polinomial ini juga terletak di pangkat menurun dari huruf X .

Dividen harus sama dengan produk pembagi dan hasil bagi. Dari perkalian polinomial yang tersusun, diketahui bahwa suku tertinggi dari hasil kali adalah hasil kali dari bilangan tertinggi, perkalian dan suku tertinggi dari perkalian tersebut. Pada yang habis dibagi, suku tertinggi adalah yang pertama, pada pembagi dan hasil bagi, suku tertinggi juga adalah yang pertama. Jadi, suku ke-1 dari dividen ( 6x 4 ) harus merupakan hasil kali suku ke-1 dari pembagi ( 3x 2 ) dengan suku ke-1 hasil bagi. Ini mengikuti dari ini: untuk menemukan suku pertama hasil bagi, cukup membagi suku ke-1 dari dividen dengan suku ke-1 pembagi. Membagi, kami menemukan anggota pertama dari hasil bagi 2x 2 . Kami menulisnya di bawah garis secara pribadi.

Kami mengalikan semua suku pembagi dengan suku pertama hasil bagi dan mengurangkan produk yang dihasilkan dari dividen. Untuk melakukan ini, kami menulisnya di bawah dividen sehingga suku-suku serupa berada di bawah suku-suku serupa, dan semua suku-suku pengurangan dibalik. Kita dapatkan setelah mengurangkan sisa ke-1. Jika sisa ini ternyata sama dengan nol, maka ini berarti bahwa tidak ada istilah lain dalam hasil bagi, kecuali untuk 1 yang ditemukan, yaitu bahwa hasil bagi adalah monomial. Jika, seperti dalam contoh kita, sisa pertama bukan nol, maka kita akan berdebat sebagai berikut.

Dividen adalah produk dari semua suku pembagi dan setiap suku hasil bagi. Kami mengurangi dari dividen produk dari semua anggota pembagi dengan anggota pertama dari hasil bagi; oleh karena itu, sisa ke-1 berisi produk semua suku pembagi dengan ke-2, ke-8 dan anggota hasil bagi berikut. Suku tertinggi di sisanya adalah yang ke-1; anggota tertinggi dari pembagi juga yang pertama; suku tertinggi dalam hasil bagi (tidak termasuk yang ke 1) adalah suku ke-2. Jadi suku ke-1 dari sisa (- 9x 3 ) harus sama dengan hasil kali suku pertama pembagi dengan suku ke-2 hasil bagi. Dari sini kita menyimpulkan: untuk menemukan anggota ke-2 dari hasil bagi, cukup untuk membagi anggota pertama dari sisa 1 dengan anggota pertama dari pembagi. Membagi, kami menemukan anggota ke-2 dari hasil bagi - Zx . Kami menulisnya secara pribadi.

Kami mengalikan dengan anggota ke-2 dari hasil bagi semua anggota pembagi dan mengurangi produk yang dihasilkan dari sisa 1. Kami mendapatkan sisa ke-2. Jika sisa ini adalah nol, maka pembagian selesai; jika, seperti dalam contoh kita, sisa ke-2 tidak sama dengan nol, maka kita akan berdebat sebagai berikut.

Sisa ke-2 adalah hasil kali semua suku pembagi dan suku ke-3, ke-4 dan berikutnya dari hasil bagi. Karena anggota hasil bagi ini yang tertinggi adalah yang ke-3, maka, seperti yang sebelumnya, kita akan menemukan suku ke-3 dari hasil bagi jika kita membagi suku ke-1 dari sisa ke-2 dengan suku ke-1 dari pembagi. Membagi, kita menemukan - 4 . Dikalikan dengan -4 semua persyaratan pembagi dan mengurangkan produk dari sisanya, kita mendapatkan sisa ke-3. Dalam contoh kita, sisa ini ternyata nol; ini menunjukkan bahwa pribadi tidak dapat berisi anggota lain selain yang ditemukan. Jika sisa ke-3 bukan 0, maka, seperti yang sebelumnya, suku ke-1 dari sisa ini perlu dibagi dengan suku ke-1 pembagi; ini akan memberikan suku ke-4 dari hasil bagi, dan seterusnya.

Dimungkinkan untuk mengatur dividen dan pembagi dalam kekuatan menaik dari huruf yang sama, dan kemudian melanjutkan seperti yang baru saja dikatakan; dalam hal ini, seseorang harus bergantung pada fakta bahwa suku terendah dari produk sama dengan produk dari suku terendah dari perkalian dan dengan suku terendah dari pengganda.

71. Contoh.

Kami tidak menulis di sini produk dari suku pertama pembagi dengan yang ke-1, ke-2, dst., anggota hasil bagi, karena produk ini selalu sama dengan persyaratan di mana mereka ditandatangani, dan selalu dikurangi ketika dikurangi. Mereka biasanya melakukan itu. Selain itu, saat menandatangani pengurangan, kami menulisnya langsung dengan tanda terbalik.

Dengan cara yang sama, kita dapat memverifikasi bahwa perbedaan x 5 - a 5 , x 6 - a 6 ... dan secara umum
x m - a m dibagi tanpa sisa dengan selisih x - a , yaitu bahwa perbedaan pangkat yang sama dari dua bilangan habis dibagi oleh selisih bilangan-bilangan ini tanpa sisa .

72. Tanda-tanda ketidakmungkinan membagi polinomial. Dari proses yang dijelaskan, dapat dilihat bahwa pembagian polinomial oleh polinomial tidak dapat dilakukan dalam kasus-kasus berikut:

sebuah) Jika pangkat dari huruf kapital pada suku tertinggi dari dividen lebih kecil dari pangkat dari huruf yang sama pada suku tertinggi dari pembagi, karena dengan demikian suku tertinggi dari hasil bagi tidak dapat diperoleh.

b) Jika eksponen huruf kapital di bagian terendah dari dividen kurang dari eksponen. dari huruf yang sama dalam suku terendah dari pembagi, karena dengan demikian tidak mungkin untuk mempelajari suku terendah dari hasil bagi.

c) Jika tanda-tanda dari huruf utama pada angka tertinggi dan terendah dari dividen masing-masing tidak kurang dari indikator huruf ini pada angka tertinggi dan terendah dari pembagi, maka belum dapat dikatakan bahwa pembagian itu mungkin. . Dalam hal ini, untuk menilai kemungkinan atau ketidakmungkinan pembagian, kita harus mulai melakukan tindakan itu sendiri dan melanjutkannya sampai akhirnya yakin tentang kemungkinan atau ketidakmungkinan memperoleh hasil bagi dalam bentuk polinomial.

Dalam hal ini, dua kasus harus dibedakan:

I. Ketika polinomial diurutkan dalam pangkat menurun dari huruf utama, mereka melanjutkan tindakan sampai sisanya adalah 0 (maka pembagian dimungkinkan dan lengkap), atau sampai mereka mencapai sisa seperti itu, suku pertama yang berisi utama huruf dengan indikator kurang dari indeks suku pertama pembagi (maka pembagian tidak mungkin). Sebagai contoh:

Pembagian tidak mungkin, karena kita telah mencapai sisa seperti itu, di mana suku ke-1 tidak habis dibagi oleh suku ke-1 pembagi.

II. Ketika polinomial disusun dalam kekuatan yang meningkat, maka, tidak peduli seberapa banyak kita melanjutkan pembagian, kita tidak akan pernah mendapatkan sisa seperti itu, di mana eksponen anggota pertama akan lebih kecil dari eksponen anggota pertama pembagi, karena dengan pengaturan seperti itu, indeks huruf kapital pada sisa anggota pertama meningkat. Sebagai contoh:

Melanjutkan tindakan lebih lanjut, kita akan mendapatkan istilah pribadi - 4a 3 , tetapi jika mungkin untuk mendapatkan hasil bagi bilangan bulat (tanpa sisa), maka anggota terakhirnya adalah 5a 2 (dari membagi anggota tertinggi dari dividen dengan anggota tertinggi dari pembagi); jadi pembagian tidak mungkin.

Komentar. Pembagian polinomial dijelaskan secara lebih rinci di bagian ke-2, 390 et seq.

Bab lima.

Faktorisasi.

73. Kata pengantar. Berbicara tentang pembagian aljabar, kami menunjukkan bahwa dalam beberapa kasus hasil bagi hanya dapat dilambangkan dengan tanda pembagian. Ekspresi yang dihasilkan seperti ini:

dll.,

ditelepon pecahan aljabar oleh kesamaan ekspresi ini dengan pecahan aritmatika.

Kita akan segera melihat bahwa pecahan aljabar, seperti pecahan aritmatika, terkadang dapat disederhanakan dengan mengurangi (yaitu, membagi) dividen dan membaginya dengan faktor persekutuannya, jika ada. Untuk membuat pengurangan seperti itu mungkin tanpa kesulitan, seseorang harus belajar memfaktorkan ekspresi aljabar (seperti dalam aritmatika, untuk mengurangi pecahan, seseorang harus dapat memfaktorkan bilangan bulat menjadi faktor penyusunnya).

74. Dekomposisi monomial bilangan bulat. Ambil beberapa monomial integer, misalnya. 6a2b 3 . Karena merupakan produk, maka menurut salah satu jenisnya dapat langsung diuraikan menjadi faktor-faktor penyusunnya. Jadi:

6a2b 3 =2 3 (aa) (bb) = 2 3abb.

Menggabungkan faktor-faktor ini ke dalam beberapa kelompok (menggunakan sifat asosiatif perkalian), kita dapat menunjukkan berbagai ekspansi untuk monomial ini, misalnya:

6a2b 3 =(6a) (ab 3) \u003d (2a 2 b) (3b 2) \u003d (Zab 2) (2ab) dll.

75. Dekomposisi polinomial. Mari kita tunjukkan kasus paling sederhana ketika polinomial dapat difaktorkan.

sebuah) Sebagai (a + b - c) m = am + bm - cm , dan sebaliknya:

am + bm - cm = (a + b - c) m .

Dengan demikian, jika semua suku polinomial mengandung faktor persekutuan, maka dapat dikeluarkan dari kurung.

Misalnya: 1) x 6 -2x 2 + 3x \u003d x (x 5 -2x + 3).

2) 16a 2 - 4a 3 \u003d 4a 2 (4 - a).

3) 5m(x - 1) + 3n (x - 1) = (x - 1) (5m - 3n).

b) Sebagai

(a + b) (a-b) \u003d a 2 - b 2

dan sebaliknya:

a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a-b)

Dengan demikian, binomial, yang merupakan kuadrat dari satu angka tanpa kuadrat dari angka lain, dapat diganti dengan produk dari jumlah angka-angka ini dengan perbedaannya.

di) Sebagai (a + b) 2 = a2 + 2ab + b 2 dan (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 , dan sebaliknya:

a2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = (a + b) (a + b) dan

a 2 - 2ab + b 2 = (a - b) 2 ==(a - b) (a - b) ,

Jadi trinomialnya adalah jumlah kuadrat dari dua angka apa pun, ditambah atau dikurangi dua kali produk dari angka-angka ini, dapat dilihat sebagai kuadrat dari jumlah atau perbedaan angka-angka ini.

Contoh.

1) a 2 + 2a +1 . Sebagai 1=1 2 dan 2a = 2a 1 , kemudian

a 2 + 2a +1 = (a + 1) 2 .

2) x 4 + 4 - 4x 2 . Di Sini x 4 \u003d (x 2) 2, 4 \u003d 2 2 dan 4x 2 \u003d 2x 2 2 ;

Itu sebabnya: x 4 + 4 - 4x 2 = (x 2 - 2) 2 . Seseorang juga dapat menulis itu

x 4 + 4 - 4x 2 = (2x2) 2 , karena mereka adalah binomial. x 2 - 2 dan 2x2 , dinaikkan ke bujur sangkar, berikan trinomial yang hanya berbeda dalam urutan suku-sukunya:

(x 2 - 2) 2 = x 4 + 4 - 4x 2 ; (2x2) 2 = 4 - 4x 2 + x4 .

3) -x + 25x 2 + 0,01 . Ada dua kotak di sini: 25x 2 = (5x) 2 dan 0,01 = 0,1 2 . Hasil kali ganda dari bilangan 5x dan 0,1 adalah: 2 5x 0,1 = x . Karena dalam trinomial ini kedua kuadrat memiliki tanda +, dan hasil kali ganda (mis. X ) dengan tanda -, maka

-x + 25x 2 + 0,01 = 25x 2 - X + 0,01 = (5x - 0,1) 2 = (0,1 - 5x) 2 .

4) - x 2 - y 2 + 2xy. Mari kita letakkan tanda - di luar kurung: - ( x 2 + y 2 - 2xy ). Trinomial dalam kurung jelas (x-y) 2 .

- x 2 - y 2 + 2xy = - (x 2 + y 2 - 2xy ) = - (x - y) 2 = - (y-x) 2 .

d) Kadang-kadang polinomial dapat difaktorkan dengan menggabungkan anggotanya menjadi beberapa kelompok.

Bab enam.

pecahan aljabar.

76. Perbedaan antara pecahan aljabar dan aritmatika. Seperti yang kami katakan sebelumnya, hasil bagi pembagian dua ekspresi aljabar dalam kasus ketika pembagian hanya ditunjukkan disebut pecahan aljabar. Ini adalah, misalnya, ekspresi:

Dalam ekspresi seperti itu, dividen disebut pembilang, pembagi adalah penyebut, dan keduanya adalah suku pecahan.

Ingatlah bahwa pecahan aritmatika juga merupakan hasil bagi dari pembagian pembilang dengan penyebut. Jadi, pecahan 3/5 tidak hanya berarti tiga bagian yang termasuk dalam satuan lima; pecahan ini juga berarti bagian kelima dari tiga unit, yaitu merupakan hasil bagi dari membagi 3 dengan 5. Tetapi perbedaan antara pecahan aljabar dan aritmatika adalah bahwa pecahan aritmatika adalah hasil bagi membagi satu bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif lainnya , maka seperti halnya pecahan aljabar adalah hasil bagi dari pembagian bilangan apa pun, baik bilangan bulat maupun pecahan, baik positif maupun negatif. Misalnya, ekspresi:

tidak bisa disebut pecahan aritmatika; ini akan menjadi kasus khusus pecahan aljabar. Jadi, pecahan aljabar adalah konsep yang lebih luas daripada pecahan aritmatika; itu termasuk pecahan aritmatika sebagai kasus khusus.

Namun, terlepas dari perbedaan ini, semua sifat pecahan aritmatika, seperti yang akan kita lihat dalam bab ini, termasuk dalam pecahan aljabar.

77. Sifat utama pecahan. Karena pecahan adalah hasil bagi dari pembagian pembilang dengan penyebut, dan hasil bagi tidak berubah dari mengalikan (atau membagi) dividen dan pembagi dengan angka yang sama (kecuali nol) (Bagian 1 34, e), maka properti yang sama milik pecahan, yaitu. nilai pecahan tidak berubah jika pembilang dan penyebutnya dikalikan (atau dibagi) dengan angka yang sama (kecuali nol) . Misalnya, jika kita mengalikan pembilang dan penyebut suatu pecahan

ayo pakai - 4 / 9 , maka kita akan memiliki: pecahan sebelumnya

pecahan baru:

kita melihat bahwa nilai pecahan tetap sama.

Dengan menggunakan sifat pecahan ini, kita dapat melakukan transformasi yang sama pada pecahan aljabar seperti yang ditunjukkan dalam aritmatika untuk pecahan aritmatika, yaitu, kita dapat mengurangi, jika mungkin, pecahan dan membawanya, jika perlu, ke satu penyebut. Mari kita pertimbangkan transformasi ini dan tunjukkan beberapa lagi yang tidak digunakan dalam aritmatika.

78. Pengurangan anggota pecahan menjadi bentuk bilangan bulat. Jika kebetulan anggota pecahan itu sendiri mengandung pecahan, maka dengan mengalikannya dengan angka yang dipilih dengan benar atau dengan ekspresi aljabar, kita dapat menyingkirkan pecahan ini.

Contoh.

79. Perubahan tanda anggota pecahan. Membalikkan tanda di depan pembilang dan penyebut suatu pecahan seperti mengalikannya dengan -1, yang tidak mengubah nilai pecahan. Jadi:

Perhatikan bahwa jika kita mengubah tanda di depan salah satu anggota pecahan dan pada saat yang sama mengubah tanda di depan pecahan itu sendiri, maka nilai pecahan juga tidak akan berubah; misalnya:

Sifat-sifat pecahan ini terkadang dapat digunakan untuk beberapa transformasi; misalnya:

80. Pengurangan pecahan. Untuk mereduksi pecahan aljabar, jika mungkin, pertama-tama perlu menemukan ekspresi aljabar seperti itu di mana kedua suku pecahan dapat dibagi, dan kemudian membaginya dengan ekspresi ini. Pertimbangkan cara paling mudah untuk melakukan ini dalam dua kasus berikut.

sebuah) Ambil pecahan yang kedua sukunya merupakan monomi bilangan bulat; misalnya:

Kemungkinan 12 dan 20 habis dibagi 4, dan ekspresi literal habis dibagi sebuah dan terus x 2 , Jadi pecahan ini dapat dikurangi dengan 4x 2 :

(di atas pecahan kami menulis faktor-faktor umum yang dengannya kami mengurangi pecahan; alih-alih membagi 3 kapak pada 5 kami dibagi menjadi 5 koefisien saja 3 ).

b) Jika pecahan memiliki pembilang atau penyebut (atau keduanya) adalah polinomial, maka polinomial ini harus difaktorkan terlebih dahulu (seperti yang ditunjukkan dalam); jika di antara mereka adalah sama, maka fraksi dapat dikurangi pada mereka.

Contoh.

(Alih-alih membagi dengan 2, perkalian dengan 1/2 diatur, yang setara dengan membagi dengan 2).

81. Mengurangi pecahan ke penyebut yang sama,

sebuah) Membiarkan diperlukan untuk mengurangi ke pecahan penyebut yang sama dengan penyebut dinyatakan dalam angka, misalnya, seperti:

Untuk melakukan ini, kami menguraikan penyebut menjadi faktor prima:

3; 15 = 3 5; 18 = 2 3 3

dan temukan kelipatan terkecilnya; itu akan menjadi 2 3 3 5 = 90. Sekarang kita menemukan untuk setiap penyebut faktor tambahan yang dengannya kita perlu mengalikan penyebut ini untuk mendapatkan 90. Faktor tambahan ini akan menjadi:

90:3 = 30; 90:15 = 6, 90:18 = 5.

Agar pecahan tidak mengubah nilainya, perlu untuk mengalikan pembilang dengan angka yang sama dengan yang kita kalikan penyebutnya:

(Pengganda tambahan ditulis di atas pecahan).

b) Mari kita ambil pecahan yang penyebutnya adalah monomial literal; misalnya:

Untuk penyebut yang sama, seseorang jelas dapat mengambil 30ab 2 . Pengganda tambahan kemudian akan menjadi: 15ab, 10b dan 6 :

Mari kita memfaktorkan setiap penyebutnya. Dua yang pertama tidak terurai, dan yang ketiga = (a + b) (a - b) . Jadi penyebutnya adalah a 2 - b 2 , dan kita mendapatkan:

d) Mungkin saja tidak ada pasangan penyebut yang memiliki faktor persekutuan. Maka perlu dilakukan seperti yang dilakukan dalam kasus serupa dalam aritmatika, yaitu: kalikan pembilang dan penyebut setiap pecahan dengan produk signifikan dari semua pecahan lainnya. Sebagai contoh:

82. Penjumlahan dan pengurangan pecahan. Dengan aturan membagi polinomial dengan monomial, kita dapat menulis:

Membaca persamaan ini dari kanan ke kiri, kita menemukan:

1) Untuk menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama, Anda dapat menambahkan pembilangnya dan menandatangani penyebut yang sama di bawah jumlah ;

2) untuk mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama, Anda dapat mengurangi pembilangnya dan menandatangani penyebut yang sama di bawah perbedaan;

Jika data penjumlahan atau pengurangan pecahan memiliki penyebut yang berbeda, maka penyebutnya harus disamakan terlebih dahulu. Sebagai contoh:

Sebagai hasil dari pengurangan kita mendapatkan:

83. Perkalian pecahan. Untuk mengalikan pecahan dengan pecahan, Anda dapat mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut dan mengambil produk pertama sebagai pembilang dan yang kedua sebagai penyebut, yaitu

Ingat penjelasan aturan ini seperti yang diterapkan pada pecahan aritmatika. Biar berlipat ganda 2 / 3 4 / 5 Artinya menemukan 4 / 5 dari 2 / 3 (mis. untuk menemukan 4 / 5 panjang sama dengan 2 / 3 meter). Untuk melakukan ini, Anda harus terlebih dahulu menemukan 1 / 5 dari 2 / 3 lalu 4 / 5 dari 2 / 3 . Mencari 1 / 5 dari 2 / 3 diperlukan 2 / 3 kurangi 5 kali lipat; kita mendapatkan 2 / 15 . Untuk menemukan sekarang 4 / 5 dari 2 / 3 , diperlukan 2 / 15 meningkat 4 kali lipat; kita mendapatkan 8 / 15 . Dengan demikian:

Sekarang kita akan memeriksa aturan ini untuk pecahan aljabar, ketika angka a, b, c dan d akan menjadi apapun. Anggaplah pertama bahwa semua angka ini positif, tetapi tidak utuh, tetapi pecahan. Biarkan, misalnya:

Mari kita substitusikan angka-angka ini menjadi persamaan (1), hitung secara terpisah bagian kiri dan kanannya dan bandingkan hasil yang kita dapatkan (saat menghitung, kita akan dipandu oleh aturan pembagian dan perkalian pecahan aritmatika):

(kami tidak akan melakukan perhitungan akhir).

Sekarang mari kita cari sisi kanan persamaan (1):

Bandingkan hasil yang diperoleh, kita melihat bahwa mereka adalah sama, karena (menurut sifat komutatif perkalian bilangan bulat) 2 8 5 4 = 2 5 8 4 dan 3 7 6 9 = 3 6 7 9. Oleh karena itu, persamaan (1) tetap benar dan dalam hal ini.

Sekarang anggaplah beberapa bilangan a, b, c dan d menjadi negatif. misalkan a = - 2 / 3 ( b, c dan d memiliki nilai yang sama). Kemudian pecahan sebuah / b menjadi negatif, dan seluruh ruas kiri persamaan (1) juga akan menjadi bilangan negatif. Di sisi kanan pekerjaan kartu as menjadi negatif, dan karena itu seluruh ruas kanan juga akan menjadi bilangan negatif. Nilai mutlak ruas kiri dan ruas kanan akan tetap sama. Oleh karena itu, persamaan (1) tidak dilanggar. Kami juga memastikan bahwa persamaan (1) tetap benar bahkan ketika angka lain menjadi negatif.

Segala sesuatu yang baru saja kita katakan tentang contoh tertentu dapat diulang tentang contoh lainnya; maka persamaan (1) berlaku untuk semua nilai huruf a, b, c dan d .

84. Pembagian pecahan. Untuk membagi pecahan dengan pecahan, Anda dapat mengalikan pembilang pecahan pertama dengan penyebut kedua, penyebut pertama dengan pembilang kedua, dan mengambil produk pertama sebagai pembilang dan yang kedua sebagai penyebut , yaitu

Bahwa persamaan ini berlaku untuk semua bilangan a, b, c, d , Anda dapat memastikan dengan verifikasi pembagian sederhana: mengalikan hasil bagi dengan pembagi (sesuai dengan aturan untuk mengalikan pecahan yang terbukti di atas), kami mendapatkan dividen:

85. Keterangan. 1) Sejak iklan /bc=a/bd/ c , maka aturan pembagian dapat dinyatakan dengan cara lain: Untuk membagi pecahan dengan pecahan, Anda dapat mengalikan pecahan pertama dengan kebalikan pecahan kedua.

2) Ekspresi aljabar bilangan bulat apa pun dapat dianggap sebagai pecahan, di mana pembilangnya adalah ekspresi bilangan bulat ini, dan penyebutnya adalah 1; misalnya

sebuah = a/1 ; 3x 2 = 3x 2 /1 dll.

Oleh karena itu, aturan yang diberikan oleh kami untuk tindakan pada pecahan juga dapat diterapkan pada kasus seperti itu ketika salah satu ekspresi yang diberikan adalah bilangan bulat, hanya perlu untuk menggambarkan bilangan bulat ini (setidaknya secara mental) sebagai pecahan. Sebagai contoh:

86. Pelepasan persamaan dari penyebut. Biarkan persamaan diberikan:

reversibel 6 3 / 5 menjadi pecahan biasa dan bawa semua suku ke penyebut yang sama:

Sekarang kalikan semua suku dengan 10; maka penyebut 10 akan dimusnahkan, dan kita akan mendapatkan persamaan tanpa pecahan:

Untuk menghindari kesalahan, kami telah menyertakan binomial 7x-2 dalam tanda kurung untuk menunjukkan bahwa tanda - dalam persamaan ini di depan pecahan kedua tidak mengacu pada 7x , dan ke seluruh binomial 7x-2 (ke pembilang pecahan kedua). Memperluas tanda kurung ini sesuai dengan aturan pengurangan, kita mendapatkan:

Dengan demikian, untuk membebaskan persamaan dari penyebut, perlu untuk membawa semua sukunya ke penyebut yang sama dan kemudian mengalikannya dengan penyebut ini (dengan kata lain, jatuhkan ).

Bab tujuh.

rasio dan proporsi.

87. Sikap. Seringkali perlu membandingkan satu nilai dengan nilai lain, homogen dengannya, untuk mengetahui berapa kali nilai pertama berisi yang kedua.

Misalnya, untuk tujuan ini kita dapat membandingkan berat suatu benda dengan berat benda lain, harga satu produk dengan harga produk lain, dll. Dalam semua kasus seperti itu, hasil perbandingan dinyatakan sebagai angka , yang dapat berupa bilangan bulat dan bilangan bulat dengan pecahan , dan pecahan. Mari, misalnya, kita membandingkan panjangnya sebuah dengan panjang yang berbeda b , dan hasil perbandingannya ternyata bilangan bulat 3 .

Artinya panjang sebuah berisi panjang b tepat 3 kali (dengan kata lain, sebuah lagi b 3 kali).

Jika hasil perbandingan adalah bilangan bulat dengan pecahan, mis. 2 1/2 , maka ini berarti sebuah mengandung b 2 1/2 kali ( sebuah lagi b 2 1/2 kali).

Jika, akhirnya, hasil perbandingannya adalah pecahan, masukkan 3 / 4 , maka sebuah tidak mengandung b bukan sekali, tapi hanya 3/4 b .

Dalam semua kasus ini, hasil perbandingan adalah angka abstrak yang dengannya nilai kedua harus dikalikan untuk mendapatkan yang pertama. Jadi, dalam contoh kami:

a = b 3 ; a = b 2 1/2 ; a = b 3 / 4;

Hasil perbandingan besaran yang satu dengan besaran yang lain biasanya disebut perbandingan besaran pertama dengan besaran kedua. Cara, rasio satu kuantitas dengan kuantitas homogen lainnya adalah angka abstrak yang dengannya kuantitas kedua harus dikalikan untuk mendapatkan yang pertama. Karena angka ini adalah hasil bagi membagi nilai pertama dengan yang kedua, rasio ditunjukkan oleh tanda pembagian. Jadi, Anda dapat menulis:

sebuah / b (atau a:b) =3; sebuah / b = 2 1 / 2 sebuah / b = 3 / 4 . dll.

Nilai antara rasio yang diambil disebut anggota relasi, dengan nilai pertama disebut anggota sebelumnya, dan yang kedua berikutnya.

Jika kuantitas diukur dengan satuan yang sama dan dinyatakan dalam angka, maka rasionya dapat diganti dengan rasio angka-angka ini. Misalnya, perbandingan dua berat, satu pada 80 g dan yang lainnya pada 15 g, sama dengan rasio angka 80 dan 15, yaitu sama dengan hasil bagi 80:15, yaitu 5 1 / 3 ; demikian juga, rasio sudut 30° terhadap sudut siku-siku sama dengan hasil bagi 30:90, yaitu pecahan 1 / 3

Penting untuk membandingkan di antara mereka sendiri untuk sebagian besar jumlah positif; oleh karena itu, baik istilah relasi maupun relasi itu sendiri akan dianggap dinyatakan sebagai bilangan positif.

88. Ketergantungan antara relasi dan anggotanya sama seperti yang ada antara dividen, pembagi, dan hasil bagi.

sebuah) Istilah sebelumnya sama dengan yang berikutnya dikalikan dengan rasio (dividen sama dengan pembagi dikalikan dengan hasil bagi). Jika, misalnya, rasio beberapa nomor yang tidak diketahui X ke nomor 100 sama dengan 2 1 / 2 , kemudian X = 100 2 1 / 2 = 250 .

b) Suku berikutnya sama dengan suku sebelumnya dibagi rasio (pembagi sama dengan dividen dibagi hasil bagi). Jadi, jika diketahui 15 : X = 5, maka X = 15: 5 = 3.

di) Rasio tidak akan berubah jika kedua anggotanya dikalikan atau dibagi dengan angka yang sama (hasil bagi tidak akan berubah jika...).

89. Membawa anggota relasi ke seluruh bentuk. Dengan mengalikan kedua suku relasi dengan bilangan yang sama, kita dapat mengganti relasi dengan anggota pecahan dengan relasi bilangan bulat. Ya, sikap 7 / 3 : 5 dengan mengalikan anggotanya dengan 3, itu akan berubah menjadi rasio bilangan bulat 7:15; rasio 9 / 14: 10 / 21, setelah mengalikan sukunya dengan penyebut yang sama 42, juga akan berubah menjadi rasio bilangan bulat 27: 20.

90. Mengurangi hubungan. Jika kedua anggota relasi adalah bilangan bulat yang habis dibagi oleh beberapa pembagi yang sama, maka relasi tersebut dapat direduksi. Jadi, perbandingan 42:12 dengan membagi anggotanya dengan 6 adalah 7:2.

91. Hubungan terbalik. Jika kita mengatur ulang istilah relasi, yaitu membuat suku sebelumnya mengikuti, dan sebaliknya, maka kita mendapatkan relasi baru, yang disebut invers dari yang sebelumnya. Jadi, rasio meter terhadap sentimeter berbanding terbalik dengan rasio sentimeter terhadap meter; yang pertama sama dengan angka 100, yang kedua sama dengan kebalikan dari 0,01.

92. Proporsi. Perhatikan bahwa rasio kilogram terhadap gram adalah 1000 dan rasio kilometer terhadap meter juga 1000, kita dapat menulis persamaan:

atau kilogram: gram = kilometer: meter, yang berbunyi sebagai berikut: perbandingan satu kilogram dengan satu gram sama dengan perbandingan satu kilometer dengan satu meter; atau seperti ini: satu kilogram terkait dengan gram seperti satu kilometer terkait dengan satu meter (atau seperti ini: satu kilogram lebih besar dari satu gram karena satu kilometer lebih besar dari satu meter).

Persamaan dua rasio disebut proporsi. Tentu saja, kuantitas yang terlibat dalam setiap rasio harus homogen; jadi, dalam contoh kita, nilai rasio pertama adalah bobot, dan nilai rasio kedua adalah panjang.

Dari empat nilai yang membentuk proporsi, yang pertama dan keempat disebut suku ekstrim, yang kedua dan ketiga adalah suku tengah, yang pertama dan ketiga adalah yang sebelumnya, yang kedua dan keempat adalah yang berikutnya yang. Besaran terakhir disebut juga perbandingan keempat dengan tiga besaran pertama.

Kami akan berasumsi bahwa keempat istilah proporsi dinyatakan dalam angka; kita akan menyebut proporsi seperti itu numerik.

93. Properti utama dari proporsi numerik. Misalkan kita memiliki proporsi numerik berikut:

21/7 = 15/5 (setiap rasio = 3)

Mari kita ambil dalam setiap proporsi produk dari suku-suku ekstrim dan produk dari suku-suku tengah dan bandingkan satu sama lain. Pada proporsi pertama, produk dari ekstrem adalah

21 5=105 dan hasil kali rata-ratanya adalah 7 15=105; dalam proporsi kedua, produk dari ekstrem \u003d 2 1 / 2 3 = 7 1/2 dan hasil kali rata-rata = 3/4 10 = 7 1/2

Jadi, dalam setiap perbandingan yang diambil, hasil kali suku-suku ekstrem sama dengan hasil kali suku-suku tengah.

Untuk menunjukkan bahwa properti ini milik proporsi numerik apa pun, mari kita ambil proporsi dalam bentuk literal:

sebuah / b = dengan / d

Karena masing-masing dari dua perbandingan yang membentuk perbandingan adalah hasil bagi dari pembagian suku sebelumnya dengan suku berikutnya, kita dapat mengatakan bahwa perbandingan adalah persamaan dua pecahan. Mari kita bawa pecahan ini ke penyebut yang sama bd .

Sekarang kita kalikan kedua ruas persamaan dengan bd (dari mana kesetaraan tidak akan dilanggar); maka penyebutnya akan berkurang, dan kita mendapatkan persamaan:

iklan = cb ,

menyatakan bahwa dalam proporsi numerik apa pun, produk dari suku-suku ekstrem adalah sama dengan produk dari suku-suku tengah.

Dari sini dapat disimpulkan bahwa setiap anggota ekstrem dari proporsi sama dengan produk rata-rata dibagi dengan ekstrem lainnya, dan setiap anggota rata-rata dari proporsi sama dengan produk ekstrem dibagi dengan rata-rata lainnya. Ini memberi kita kemampuan untuk dengan cepat menyelesaikan persamaan yang diberikan sebagai proporsi; misalnya dari persamaan

10 / x = 45 / 20

keluaran langsung: X = 10 20 / 45 = 4 4 / 9 .

94. Usulan terbalik. Misalkan kita memiliki 4 angka sedemikian rupa sehingga produk dari dua di antaranya sama dengan produk dari dua lainnya, misalnya:

Kita dapat mengubah kesetaraan tersebut menjadi serangkaian proporsi. Untuk melakukan ini, kami membagi kedua bagian menjadi masing-masing karya ini:

5 30; 5 2; 12 30; 12 2,

di mana satu faktor diambil dari satu produk tertentu, dan yang lainnya dari yang lain. Kemudian kita mendapatkan 4 persamaan lainnya (jika kita membagi angka yang sama menjadi sama, maka kita mendapatkan yang sama), yaitu:

Mengurangi semua pecahan ini, kami menemukan:

Dengan demikian kita akan memperoleh 4 proporsi, di mana suku-suku ekstrim adalah faktor-faktor dari salah satu produk yang diberikan, dan suku-suku tengah adalah faktor-faktor dari produk tertentu lainnya.

Demikian pula, kita dapat mengubah persamaan 0,3 4 = 6 0,2 menjadi proporsi berikut:

atau kesetaraan: 5x=3y kita dapat mengubah ke proporsi:

5:3=y:x ; x:y=3:5 , dll.

Jadi, jika hasil kali dua bilangan sama dengan perkalian dua bilangan lain, maka perbandingan dapat dibuat dari 4 bilangan ini, dengan mengambil faktor dari satu hasil kali sebagai suku ekstrem, dan faktor dari produk lainnya sebagai anggota tengah dari proporsi.

95. Konsekuensi. Dalam proporsi numerik berapa pun, seseorang dapat mengatur ulang suku-suku tengah di antara mereka sendiri, suku-suku ekstrem di antara mereka sendiri, atau menempatkan rata-rata di tempat ekstrem, dan sebaliknya, karena permutasi semacam itu tidak akan melanggar kesetaraan antara produk ekstrem dan produk dari rata-rata dan, oleh karena itu, proporsionalitas angka tidak akan dilanggar.

96. Rata-rata geometris. Mari kita ambil proporsi di mana suku-suku tengahnya sama; Sebagai contoh:

Suku yang berulang dari suatu proporsi disebut rata-rata geometris jumlah dua anggota proporsi lainnya: 12 adalah rata-rata geometrik dari 36 dan 4. Jadi, jika Anda ingin menemukan rata-rata geometrik dari dua angka sebuah dan b , kemudian, yang menunjukkannya dengan huruf X , kita dapat menulis proporsi:

a:x=x:b

x 2 = ab

Oleh karena itu, rata-rata geometrik dari dua angka yang diberikan adalah angka ketiga, yang kuadratnya sama dengan produk dari angka-angka yang diberikan. Misalnya, rata-rata geometrik dari 25 dan 4 adalah 10 karena 10 2 = 25 4 .

97. Rata-rata aritmatika. Rata-rata aritmatika dari beberapa angka yang diberikan adalah hasil bagi membagi jumlah angka-angka ini dengan jumlah mereka. Misalnya, rata-rata aritmatika dari 4 angka: 10, -2, -8 dan 12 adalah:

Rata-rata aritmatika memiliki sifat bahwa jika, ketika menambahkan angka-angka ini, kita mengganti masing-masing dengan rata-rata aritmatika, maka jumlahnya tidak akan berubah dari penggantian ini. Jadi, jumlah bilangan 10, -2, -8 dan 12 sama dengan 12, dan jumlah 3+3+3+3 juga sama dengan 12. Misalkan, misalnya, produktivitas pabrik selama empat bulan pertama tahun ini, dibandingkan dengan produktivitasnya pada bulan Desember tahun sebelumnya, meningkat: pada bulan Januari sebesar 10 ° / o, pada bulan Februari sebesar -2%, pada bulan Maret sebesar - 8% (yang berarti bahwa produktivitas telah menurun dalam 2 bulan terakhir) dan pada bulan April sebesar + 12%. Maka kita dapat mengatakan bahwa peningkatan produktivitas rata-rata selama 4 bulan ini adalah 3% per bulan. Ini harus dipahami sedemikian rupa sehingga produktivitas pabrik selama 4 bulan ternyata sama dengan jika setiap bulan meningkat dengan cara yang sama, yaitu sebesar 3% (dibandingkan dengan produktivitas Desember). Dalam pengertian yang sama, seseorang sering berbicara tentang pendapatan rata-rata, kecepatan rata-rata pergerakan, kepadatan penduduk rata-rata, dll. Dalam semua ekspresi seperti itu, tersirat bahwa kita berbicara tentang rata-rata aritmatika.

98. Proporsi turunan. Dari proporsi mana pun, selain mengubah sukunya, Anda bisa mendapatkan beberapa proporsi lain, yang disebut turunan. Mari kita tunjukkan dua di antaranya.

Jika setiap perbandingan yang sama yang membentuk perbandingan itu ditambah atau dikurangi 1, maka persamaan antara perbandingan itu jelas tidak akan dilanggar. Oleh karena itu, jika

Membawa 1 ke penyebut yang sama dengan pecahan yang diterapkan atau dari mana ia dikurangkan, kita mendapatkan:

Kita dapat menyatakan dua proporsi turunan yang telah kita peroleh sebagai berikut: dalam perbandingan berapa pun, jumlah atau selisih syarat-syarat hubungan pertama dihubungkan dengan suku-suku berikutnya dari hubungan ini dengan cara yang sama seperti jumlah atau selisih syarat-syarat hubungan kedua dihubungkan dengan suku-suku berikutnya dari hubungan ini.

Kami membagi persamaan (1) dan (2) dengan persamaan ini sebuah /b=c/ d maka penyebutnya b dan d menurun, dan kami mendapatkan dua proporsi turunan lagi:

yang dapat diungkapkan seperti ini: jumlah atau selisih anggota relasi pertama terkait dengan anggota sebelumnya dari relasi ini dengan cara yang sama seperti jumlah atau selisih anggota relasi kedua terkait dengan anggota sebelumnya dari relasi ini.

Membagi suku dengan persamaan persamaan (1) dengan persamaan (2), kita juga menemukan proporsi turunan berikut:

yang dapat diungkapkan seperti ini: jumlah suku-suku relasi pertama dihubungkan dengan selisihnya dengan cara yang sama seperti jumlah suku-suku relasi kedua dihubungkan dengan selisihnya.

Menata ulang suku-suku tengah dalam dua proporsi turunan, kita memperoleh proporsi turunan lain yang berguna untuk dicatat:

99. Properti hubungan yang setara. Mari kita ambil beberapa hubungan yang setara, misalnya, seperti:

30/10 = 6/2 = 15/5 (setiap rasio = 3).

Mari kita tambahkan semua suku sebelumnya satu sama lain dan semua suku berikutnya satu sama lain dan lihat berapa rasio dari kedua jumlah ini. Jumlah dari yang sebelumnya adalah: 30 + 6 + 15 = 51; jumlah dari berikut ini: 10 + 2 + 5 = 17. Kita melihat bahwa perbandingan jumlah pertama dengan yang kedua sama dengan angka yang sama 3, yang sama dengan rasio ini, sehingga kita dapat menulis:

Untuk menunjukkan bahwa sifat ini umum, mari kita ambil beberapa hubungan setara dalam bentuk literal:

Karena suku sebelumnya sama dengan suku berikutnya dikalikan rasio, maka

a = bq, c = dq, e = fq , . . .

dan karenanya a + c + e + . . . = bq + dq + fq + . . .

yaitu a + c + e. . . =q(b + d + f + . .)

Bagilah kedua sisi persamaan ini dengan jumlah b + d + f + . . .

karena itu:

Dengan demikian, jika beberapa rasio sama satu sama lain, maka jumlah semua istilah sebelumnya terkait dengan jumlah semua yang berikutnya, karena salah satu yang sebelumnya terkait dengan yang berikutnya.

Karena setiap proporsi terdiri dari dua rasio yang sama, properti ini juga termasuk dalam proporsi.

100. Aplikasi aritmatika.(Pembagian proporsional.) Biarkan angka 60 dibagi menjadi tiga bagian sebanding dengan angka b, 7 dan 8. Ini harus dipahami sedemikian rupa sehingga diperlukan untuk membagi 60 menjadi tiga bagian tersebut x, y dan z , ke X jadi diperlakukan 5 sebagai pada mengacu pada 7 dan bagaimana z mengacu pada 8, yaitu ke

x / 5 = kamu / 7 = z / 8

Menerapkan sifat-sifat rasio yang sama, kami menemukan:

Tetapi x + y + z = 60

Dari sini kita menemukan:

101. Aplikasi geometris. Biarkan dua poligon sebangun dan sisi satu menjadi a, b, c, d, ..., dan serupa, sisi yang lain a", b", c", d", ... Kemudian

sebuah / sebuah" = b / b" = c / c" = d / d" = ...

yaitu Keliling poligon sebangun berhubungan sebagai sisi-sisi yang sebangun .

Komentar. Proporsi turunan dan sifat rasio yang sama terkadang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang diberikan sebagai proporsi dengan cepat. Mari kita beri contoh.

Mari kita buat proporsi turunan: jumlah anggota relasi pertama berhubungan dengan anggota berikutnya dari relasi yang sama dengan cara yang sama. . .

Kemudian kita mendapatkan:

3 /x=47/ 7

di mana

x = 21 / 47

Mari kita buat proporsi turunan: jumlah anggota relasi pertama berhubungan dengan selisihnya dengan cara yang sama seperti. . . Kemudian kita mendapatkan:

Mari kita buat proporsi baru: jumlah dari yang sebelumnya berhubungan dengan jumlah dari yang berikutnya dengan cara yang sama seperti. . . :

Sekarang mari kita membuat proporsi turunan: jumlah suku-suku dari relasi pertama berhubungan dengan suku-suku berikutnya dari relasi ini dengan cara yang sama seperti. . . :

Bab delapan.

Ketergantungan proporsional (langsung dan terbalik).

102. Ketergantungan proporsional. Semua orang tahu dari pengalaman bahwa jika volume air bertambah (atau berkurang) dalam perbandingan berapa pun, maka beratnya akan bertambah (atau berkurang) dalam perbandingan yang sama. Misalnya, 1 liter air beratnya 1 kg, 2 liter air beratnya 2 kg, 2 1/2 liter air beratnya 2 1/2 kg, dll (tentu saja dengan asumsi bahwa semua kondisi lain yang mempengaruhi berat air tetap tidak berubah; misalnya, air diambil sama bersihnya, pada suhu yang sama, dll.). Hubungan antara volume air dan beratnya disebut sebanding kecanduan. Secara umum, jika kita mengatakan bahwa dua besaran sebanding satu sama lain (atau sebanding satu sama lain), maka ini berarti bahwa dengan peningkatan (atau penurunan) salah satu dari mereka dalam beberapa hal, yang lain juga meningkat (atau menurun) di jalan yang sama . Jadi, nilai suatu barang dagangan yang dijual menurut beratnya sebanding dengan beratnya; upah kepada pekerja sebanding dengan jumlah mereka (dalam kondisi lain yang sama); nilai pecahan sebanding dengan pembilangnya (dengan penyebut tetap); luas persegi panjang sebanding dengan alasnya dengan tinggi konstan dan sebanding dengan tingginya dengan alas konstan, dll.

103. Ekspresi ketergantungan proporsional dengan rumus. Misalkan kita memecahkan masalah berikut:

Sebuah kereta api, bergerak dengan laju seragam, menempuh perjalanan 30 km setiap jam. Di ruang apa kereta ini akan lewat? sebuah jam ( sebuah bisa bilangan bulat atau pecahan)?

Biarkan masuk sebuah jam kereta akan lewat X km.

Susunlah data dan pertanyaan dari masalah sebagai berikut:

30 km ditempuh dalam 1 jam;

di sebuah jam " X km.

Dengan gerak seragam, ruang yang dilalui selama beberapa waktu sebanding dengan waktu ini. Jadi x harus lebih atau kurang dari 30 dan sebanyak sebuah lebih atau kurang dari 1. Jadi, kita dapat menulis proporsi:

X : 30 = sebuah : 1 ,

x = 30sebuah .

Dengan demikian kami telah memperoleh formula yang dengannya kami dapat menghitung ruang yang dilalui dalam nomor berapa pun sebuah jam. Misalnya, pada jam 2 jarak 30 km 2 akan ditempuh, pada jam 3 1/2 jam 30 km 3 1/2. dalam 3/4 jam 30 km 3/4. Jadi, dalam rumus turunan, angka X dan sebuah akan ada variabel (sesuai satu sama lain), sedangkan angka 30 adalah konstan (artinya ruang yang dilalui kereta api dalam 1 jam, yaitu kecepatan gerakan).

Dari masalah seperti yang diberikan sekarang, kita melihat bahwa jika dua kuantitas sebanding, maka nilai numerik dari salah satu dari mereka sama dengan beberapa bilangan konstan dikalikan dengan nilai numerik yang sesuai dari kuantitas lainnya.

Sebaliknya, jika hubungan antara dua variabel, yang kita nyatakan pada dan X , dinyatakan dengan rumus berbentuk y = kx , di mana k ada beberapa bilangan konstan untuk besaran-besaran tersebut, maka besaran-besaran tersebut sebanding, karena dari rumus ini dapat dilihat bahwa dengan bertambah (atau berkurang) nilainya X beberapa nilai lain pada juga meningkat (atau menurun) dan, terlebih lagi, dalam rasio yang sama. Misalnya, seperti yang diketahui dari geometri, panjang Dengan radius lingkaran R dinyatakan dengan rumus:

C = 6,28R (C = 2πR),

di mana R dan C- variabel, dan 6,28 - nomor konstan; maka kita dapat menyimpulkan bahwa keliling lingkaran sebanding dengan jari-jarinya.

Bilangan konstan yang dimasukkan sebagai faktor dalam rumus tersebut disebut koefisien proporsionalitas variabel-variabel yang dirujuk oleh rumus tersebut.

104. Proporsi terbalik. Kadang-kadang terjadi bahwa dua variabel bergantung satu sama lain sehingga dengan peningkatan salah satunya, yang lain berkurang dan, terlebih lagi, menurun dalam rasio yang sama di mana yang pertama meningkat. Besaran yang demikian disebut berbanding terbalik(dan besaran yang hanya proporsional kadang-kadang disebut berbanding lurus). Misalnya, jumlah jam selama perjalanan kereta api dari Moskow ke Leningrad berbanding terbalik dengan kecepatan rata-rata kereta ini, karena dengan peningkatan kecepatan 1 1/2 kali, 2 kali ... , secara umum, untuk beberapa rasio, jumlah jam di mana kereta akan menempuh jarak dari Moskow ke Leningrad akan berkurang 1 1/2 kali, 2 kali ..., secara umum, dalam rasio yang sama di mana kecepatan meningkat. Demikian pula, berat suatu barang dagangan yang dapat dibeli dengan sejumlah uang tertentu, misalnya, untuk 100 rubel, berbanding terbalik dengan harga satu kilogram barang-dagangan ini; waktu selama pekerja melakukan pekerjaan yang ditugaskan kepada mereka berbanding terbalik dengan jumlah pekerja ini (tentu saja, asalkan semua pekerja berhasil bekerja sama); nilai pecahan berbanding terbalik dengan penyebutnya (dengan pembilang konstan), dll.

Komentar. Agar dua besaran yang bergantung satu sama lain sebanding (langsung atau terbalik), tidak cukup hanya memiliki tanda bahwa dengan peningkatan satu kuantitas, yang lain juga meningkat (untuk proporsionalitas langsung), atau bahwa dengan peningkatan dalam satu kuantitas yang lain berkurang (untuk proporsionalitas terbalik). ). Misalnya, jika ada suku yang bertambah, maka jumlahnya juga bertambah; tetapi akan keliru untuk mengatakan bahwa jumlah sebanding dengan istilah, karena jika kita meningkatkan istilah, misalkan 3 kali, maka jumlahnya, meskipun akan meningkat, tetapi tidak 3 kali. Demikian pula, tidak mungkin, misalnya, untuk mengatakan bahwa perbedaannya berbanding terbalik dengan pengurangan, karena jika pengurangan itu meningkat, mari kita tambahkan 2 kali, maka perbedaannya, meskipun berkurang, tetapi tidak 2 kali. Perlu bahwa kenaikan atau penurunan kedua nilai terjadi dalam jumlah yang sama (dalam rasio yang sama).

105. Ekspresi proporsionalitas terbalik dengan rumus. Misalkan kita sedang memecahkan masalah: satu pekerja dapat melakukan beberapa pekerjaan dalam 12 hari; dalam berapa hari mereka akan melakukan pekerjaan yang sama? sebuah pekerja?

Tunjukkan nomor yang diinginkan dengan huruf X dan menyusun kejelasan data dan pertanyaan masalah sebagai berikut:

1 pekerja melakukan pekerjaan dalam 12 hari

sebuah pekerja melakukan X hari.

Jelas, jumlah hari yang diperlukan untuk melakukan pekerjaan yang sama berbanding terbalik dengan jumlah pekerja. Jadi ( x harus kurang dari 12 dan sebanyak sebuah lebih besar dari 1 (dengan kata lain, jam berapa 1 kurang dari sebuah ). Jadi hubungannya x :12 harus sama bukan rasio sebuah:1 , seperti halnya dengan hubungan proporsional langsung, dan rasio terbalik adalah 1: sebuah . Jadi kita bisa menulis proporsinya:

x :12 = 1: sebuah

X = 12 / sebuah .

Dengan rumus ini kita dapat menemukan jumlah hari X diperlukan untuk pelaksanaan pekerjaan ini, untuk nomor berapa pun sebuah pekerja; misalnya, 2 pekerja akan menyelesaikan pekerjaan dalam 12/2 hari, 3 pekerja dalam 12/3 hari, dll. Jadi, angkanya X dan sebuah dalam rumus ini adalah variabel, dan angka 12 adalah konstan, artinya berapa hari pekerjaan dilakukan oleh satu pekerja.

Dari masalah seperti yang baru saja diselesaikan, kita bisa melihatnya jika ada dua besaran (yang akan dilambangkan dengan huruf x dan y) berbanding terbalik, maka nilai numerik salah satunya sama dengan beberapa bilangan konstan (sebutkan k) dibagi dengan nilai yang sesuai dari besaran lainnya , yaitu y= k / x , jika pada dan X mewakili nilai yang sesuai dari jumlah ini.

Sejak rumus y= k / x dapat direpresentasikan seperti ini: xy = k , maka hubungan antara besaran yang berbanding terbalik dapat dinyatakan dengan cara lain: jika dua kuantitas berbanding terbalik, maka produk dari dua nilai numerik yang sesuai dari kuantitas ini sama dengan angka konstan.

Sebaliknya, jika hubungan antara dua variabel dinyatakan dengan rumus:

y= k / x atau xy = k .

di mana k adalah bilangan konstan, maka besaran-besaran tersebut berbanding terbalik, karena dapat dilihat dari rumus bahwa jika besaran X meningkat beberapa kali, maka pada berkurang dengan jumlah yang sama.

Misalnya, diketahui dari fisika bahwa pada suhu konstan, produk volume V dari massa gas tertentu dan elastisitasnya h adalah nilai konstan; ini, dengan kata lain, berarti bahwa elastisitas suatu massa gas tertentu berbanding terbalik dengan volumenya (pada suhu yang sama).

Komentar. Persamaan y= k / x dapat ditulis berbeda, seperti ini:

y = k 1 / x

Dalam bentuk ini, itu menyatakan bahwa kuantitas pada berbanding lurus dengan pecahan 1 / x . Jadi jika nomor pada berbanding terbalik dengan bilangan X , maka orang juga dapat mengatakan bahwa nomor pada berbanding lurus dengan kebalikan bilangan x , yaitu 1 / x .

Di antara berbagai ekspresi yang dipertimbangkan dalam aljabar, jumlah monomial menempati tempat yang penting. Berikut adalah contoh ekspresi seperti itu:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Jumlah monomial disebut polinomial. Suku-suku dalam polinomial disebut anggota polinomial. Monomial juga disebut sebagai polinomial, mengingat monomial sebagai polinomial yang terdiri dari satu anggota.

Misalnya polinomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
dapat disederhanakan.

Kami mewakili semua istilah sebagai monomial dari bentuk standar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Kami memberikan istilah serupa dalam polinomial yang dihasilkan:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Hasilnya adalah polinomial, yang semua anggotanya adalah monomial dari bentuk standar, dan di antara mereka tidak ada yang serupa. Polinomial semacam itu disebut polinomial bentuk standar.

Di belakang derajat polinomial bentuk standar mengambil kekuatan terbesar dari anggotanya. Jadi, binomial \(12a^2b - 7b \) memiliki derajat ketiga, dan trinomial \(2b^2 -7b + 6 \) memiliki derajat kedua.

Biasanya, anggota polinomial bentuk standar yang mengandung satu variabel diatur dalam urutan eksponennya. Sebagai contoh:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Jumlah beberapa polinomial dapat diubah (disederhanakan) menjadi polinomial bentuk standar.

Kadang-kadang anggota polinomial perlu dibagi menjadi beberapa kelompok, dengan menyertakan setiap kelompok dalam tanda kurung. Karena tanda kurung adalah kebalikan dari tanda kurung, maka mudah untuk merumuskannya aturan pembukaan tanda kurung:

Jika tanda + diletakkan di depan tanda kurung, maka suku-suku yang berada di dalam tanda kurung ditulis dengan tanda yang sama.

Jika tanda "-" diletakkan di depan tanda kurung, maka istilah yang diapit tanda kurung ditulis dengan tanda yang berlawanan.

Transformasi (penyederhanaan) dari produk monomial dan polinomial

Menggunakan sifat distributif perkalian, seseorang dapat mengubah (menyederhanakan) produk dari monomial dan polinomial menjadi polinomial. Sebagai contoh:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Hasil kali suatu monomial dan suatu polinomial identik sama dengan jumlah hasil kali monomial ini dan setiap suku-suku polinomial tersebut.

Hasil ini biasanya dirumuskan sebagai suatu aturan.

Untuk mengalikan monomial dengan polinomial, seseorang harus mengalikan monomial ini dengan masing-masing suku polinomial.

Kami telah berulang kali menggunakan aturan ini untuk mengalikan dengan jumlah.

Produk dari polinomial. Transformasi (penyederhanaan) dari produk dua polinomial

Secara umum, hasil kali dua polinomial identik sama dengan jumlah produk dari setiap suku dari satu polinomial dan setiap suku yang lain.

Biasanya menggunakan aturan berikut.

Untuk mengalikan polinomial dengan polinomial, Anda perlu mengalikan setiap suku dari satu polinomial dengan setiap suku lainnya dan menambahkan produk yang dihasilkan.

Rumus perkalian yang disingkat. Jumlah, Selisih, dan Kuadrat Selisih

Beberapa ekspresi dalam transformasi aljabar harus ditangani lebih sering daripada yang lain. Mungkin ekspresi yang paling umum adalah \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dan \(a^2 - b^2 \), yaitu, kuadrat dari jumlah, kuadrat selisih, dan selisih kuadrat. Anda memperhatikan bahwa nama-nama ekspresi yang ditunjukkan tampaknya tidak lengkap, jadi, misalnya, \((a + b)^2 \) tentu saja, bukan hanya kuadrat dari jumlah, tetapi kuadrat dari jumlah a dan b. Namun, kuadrat jumlah a dan b tidak begitu umum, sebagai aturan, alih-alih huruf a dan b, itu berisi berbagai ekspresi yang terkadang cukup kompleks.

Ekspresi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) mudah diubah (disederhanakan) menjadi polinomial dari bentuk standar, pada kenyataannya, Anda telah menemukan tugas seperti itu saat mengalikan polinomial :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Identitas yang dihasilkan berguna untuk diingat dan diterapkan tanpa perhitungan perantara. Formulasi verbal pendek membantu ini.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kuadrat dari jumlah sama dengan jumlah dari kuadrat dan hasil ganda.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kuadrat selisihnya adalah jumlah kuadrat tanpa menggandakan hasil kali.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - selisih kuadrat sama dengan hasil kali selisih dan jumlah.

Ketiga identitas ini memungkinkan dalam transformasi untuk mengganti bagian kiri dengan bagian kanan dan sebaliknya - bagian kanan dengan bagian kiri. Hal yang paling sulit dalam hal ini adalah melihat ekspresi yang sesuai dan memahami variabel a dan b apa yang diganti di dalamnya. Mari kita lihat beberapa contoh penggunaan rumus perkalian yang disingkat.

Tingkat pertama

konversi ekspresi. Teori Detil (2019)

konversi ekspresi

Seringkali kita mendengar ungkapan yang tidak menyenangkan ini: "sederhanakan ekspresi". Biasanya, dalam hal ini, kami memiliki beberapa jenis monster seperti ini:

"Ya, jauh lebih mudah," kata kami, tetapi jawaban seperti itu biasanya tidak berhasil.

Sekarang saya akan mengajari Anda untuk tidak takut dengan tugas seperti itu. Selain itu, di akhir pelajaran, Anda sendiri akan menyederhanakan contoh ini menjadi angka biasa (hanya!) (ya, persetan dengan huruf-huruf ini).

Tetapi sebelum Anda memulai pelajaran ini, Anda harus mampu menangani pecahan dan polinomial faktor. Karena itu, pertama-tama, jika Anda belum pernah melakukan ini sebelumnya, pastikan untuk menguasai topik "" dan "".

Membaca? Jika ya, maka Anda siap.

Operasi penyederhanaan dasar

Sekarang kita akan menganalisis teknik utama yang digunakan untuk menyederhanakan ekspresi.

Yang paling sederhana adalah

1. Membawa yang serupa

Apa yang mirip? Anda mengalami ini di kelas 7, ketika huruf pertama kali muncul dalam matematika, bukan angka. Serupa adalah istilah (monomial) dengan bagian huruf yang sama. Misalnya, dalam penjumlahan, suku-suku sejenis adalah dan.

Ingat?

Membawa istilah yang sama berarti menambahkan beberapa istilah yang mirip satu sama lain dan mendapatkan satu istilah.

Tapi bagaimana kita bisa menyatukan huruf? - Anda bertanya.

Ini sangat mudah dipahami jika Anda membayangkan bahwa huruf-huruf itu adalah semacam benda. Misalnya, surat itu adalah kursi. Lalu apa ekspresinya? Dua kursi ditambah tiga kursi, berapa harganya? Betul, kursi: .

Sekarang coba ekspresi ini:

Agar tidak bingung, biarkan huruf yang berbeda menunjukkan objek yang berbeda. Misalnya, - ini (seperti biasa) kursi, dan - ini meja. Kemudian:

kursi meja kursi meja kursi kursi meja

Angka-angka dengan mana huruf-huruf dalam istilah tersebut dikalikan disebut koefisien. Misalnya, dalam monomial koefisiennya sama. Dan dia setara.

Jadi, aturan untuk membawa yang serupa:

Contoh:

Bawa yang serupa:

Jawaban:

2. (dan serupa, karena, oleh karena itu, istilah-istilah ini memiliki bagian huruf yang sama).

2. Faktorisasi

Ini biasanya merupakan bagian terpenting dalam menyederhanakan ekspresi. Setelah Anda memberikan yang serupa, paling sering ekspresi yang dihasilkan harus difaktorkan, yaitu, disajikan sebagai produk. Ini sangat penting dalam pecahan: lagi pula, untuk mengurangi pecahan, pembilang dan penyebutnya harus direpresentasikan sebagai produk.

Anda telah mempelajari metode terperinci dari ekspresi pemfaktoran dalam topik "", jadi di sini Anda hanya perlu mengingat apa yang telah Anda pelajari. Untuk melakukan ini, selesaikan beberapa contoh(untuk difaktorkan):

Solusi:

3. Pengurangan pecahan.

Nah, apa yang bisa lebih baik daripada mencoret bagian dari pembilang dan penyebut, dan membuangnya dari hidup Anda?

Itulah indahnya singkatan.

Itu mudah:

Jika pembilang dan penyebutnya memiliki faktor yang sama, mereka dapat direduksi, yaitu dikeluarkan dari pecahan.

Aturan ini mengikuti dari sifat dasar pecahan:

Artinya, inti dari operasi reduksi adalah bahwa Kami membagi pembilang dan penyebut pecahan dengan angka yang sama (atau dengan ekspresi yang sama).

Untuk mengurangi pecahan, Anda perlu:

1) pembilang dan penyebut menguraikan pd pengali

2) jika pembilang dan penyebutnya mengandung faktor umum, mereka dapat dihapus.

Prinsipnya, saya pikir, sudah jelas?

Saya ingin menarik perhatian Anda pada satu kesalahan tipikal dalam singkatan. Meskipun topik ini sederhana, tetapi banyak orang melakukan kesalahan, tidak menyadarinya memotong- itu berarti membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama.

Tidak ada singkatan jika pembilang atau penyebutnya adalah jumlah.

Misalnya: Anda perlu menyederhanakan.

Beberapa melakukan ini: yang benar-benar salah.

Contoh lain: mengurangi.

"Yang paling pintar" akan melakukan ini:.

Katakan apa yang salah di sini? Tampaknya: - ini adalah pengganda, sehingga Anda dapat mengurangi.

Tapi tidak: - ini adalah faktor dari hanya satu istilah dalam pembilang, tetapi pembilang itu sendiri secara keseluruhan tidak didekomposisi menjadi faktor.

Ini contoh lain: .

Ekspresi ini diuraikan menjadi faktor-faktor, yang berarti Anda dapat mengurangi, yaitu, membagi pembilang dan penyebut dengan, dan kemudian dengan:

Anda dapat langsung membagi dengan:

Untuk menghindari kesalahan seperti itu, ingatlah cara mudah untuk menentukan apakah suatu ekspresi difaktorkan:

Operasi aritmatika yang dilakukan terakhir saat menghitung nilai ekspresi adalah "utama". Artinya, jika Anda mengganti beberapa (apa saja) angka alih-alih huruf, dan mencoba menghitung nilai ekspresi, maka jika tindakan terakhir adalah perkalian, maka kami memiliki produk (ekspresi didekomposisi menjadi faktor). Jika tindakan terakhir adalah penambahan atau pengurangan, ini berarti bahwa ekspresi tidak difaktorkan (dan karena itu tidak dapat direduksi).

Untuk memperbaikinya, selesaikan sendiri beberapa contoh:

Jawaban:

1. Saya harap Anda tidak segera buru-buru memotong dan? Itu masih belum cukup untuk "mengurangi" unit seperti ini:

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah memfaktorkan:

4. Penjumlahan dan pengurangan pecahan. Membawa pecahan ke penyebut yang sama.

Penjumlahan dan pengurangan pecahan biasa adalah operasi yang terkenal: kami mencari penyebut yang sama, mengalikan setiap pecahan dengan faktor yang hilang dan menambah / mengurangi pembilangnya. Mari kita ingat:

Jawaban:

1. Penyebut dan koprima, yaitu tidak memiliki faktor persekutuan. Oleh karena itu, KPK dari angka-angka ini sama dengan produk mereka. Ini akan menjadi penyebut umum:

2. Di sini penyebutnya adalah:

3. Di sini, pertama-tama, kami mengubah pecahan campuran menjadi pecahan yang tidak tepat, dan kemudian - sesuai dengan skema yang biasa:

Lain halnya jika pecahan mengandung huruf, misalnya:

Mari kita mulai dengan sederhana:

a) Penyebut tidak mengandung huruf

Di sini semuanya sama dengan pecahan numerik biasa: kami menemukan penyebut yang sama, mengalikan setiap pecahan dengan faktor yang hilang dan menambahkan / mengurangi pembilangnya:

sekarang di pembilang Anda dapat membawa yang serupa, jika ada, dan memfaktorkannya:

Cobalah sendiri:

b) Penyebutnya mengandung huruf

Mari kita ingat prinsip menemukan penyebut yang sama tanpa huruf:

Pertama-tama, kita tentukan faktor persekutuannya;

Kemudian kami menulis semua faktor umum satu kali;

dan kalikan dengan semua faktor lain, bukan faktor umum.

Untuk menentukan faktor persekutuan penyebut, pertama-tama kita uraikan menjadi faktor-faktor sederhana:

Kami menekankan faktor umum:

Sekarang kami menulis faktor umum satu kali dan menambahkan semua faktor non-umum (tidak digarisbawahi):

Ini adalah penyebut umum.

Mari kita kembali ke surat-surat. Penyebut diberikan dengan cara yang persis sama:

Kami menguraikan penyebut menjadi faktor;

menentukan pengganda umum (identik);

tuliskan semua faktor persekutuan satu kali;

Kami mengalikannya dengan semua faktor lain, bukan yang umum.

Jadi, secara berurutan:

1) uraikan penyebutnya menjadi faktor-faktor:

2) menentukan faktor-faktor umum (identik):

3) tuliskan semua faktor persekutuan satu kali dan kalikan dengan semua faktor lainnya (tidak digarisbawahi):

Jadi penyebut umum ada di sini. Pecahan pertama harus dikalikan dengan, yang kedua - dengan:

Omong-omong, ada satu trik:

Sebagai contoh: .

Kami melihat faktor yang sama dalam penyebut, hanya semua dengan indikator yang berbeda. Penyebut yang sama akan menjadi:

sejauh

sejauh

sejauh

dalam derajat.

Mari kita memperumit tugas:

Bagaimana cara membuat pecahan memiliki penyebut yang sama?

Mari kita ingat sifat dasar pecahan:

Tidak ada tempat yang mengatakan bahwa bilangan yang sama dapat dikurangkan (atau dijumlahkan) dari pembilang dan penyebut suatu pecahan. Karena itu tidak benar!

Lihat sendiri: ambil pecahan apa saja, misalnya, dan tambahkan beberapa angka ke pembilang dan penyebut, misalnya, . Apa yang telah dipelajari?

Jadi, aturan lain yang tak tergoyahkan:

Ketika Anda membawa pecahan ke penyebut yang sama, gunakan hanya operasi perkalian!

Tapi apa yang perlu Anda perbanyak untuk mendapatkan?

Di sini dan berkembang biak. Dan kalikan dengan:

Ekspresi yang tidak dapat difaktorkan akan disebut "faktor elementer". Misalnya, adalah faktor dasar. - juga. Tapi - tidak: itu didekomposisi menjadi faktor-faktor.

Bagaimana dengan ekspresi? Apakah itu dasar?

Tidak, karena dapat difaktorkan:

(Anda sudah membaca tentang faktorisasi di topik "").

Jadi, faktor dasar di mana Anda menguraikan ekspresi dengan huruf adalah analog dari faktor sederhana yang menjadi tempat Anda menguraikan angka. Dan kami akan melakukan hal yang sama dengan mereka.

Kita melihat bahwa kedua penyebut memiliki faktor. Ini akan menjadi penyebut yang sama dalam kekuasaan (ingat mengapa?).

Penggandanya bersifat elementer, dan mereka tidak memiliki kesamaan, yang berarti bahwa pecahan pertama harus dikalikan dengannya:

Contoh lain:

Keputusan:

Sebelum mengalikan penyebut ini dengan panik, Anda perlu memikirkan cara memfaktorkannya? Keduanya mewakili:

Bagus! Kemudian:

Contoh lain:

Keputusan:

Seperti biasa, kita memfaktorkan penyebutnya. Pada penyebut pertama, kita cukup mengeluarkannya dari tanda kurung; di kedua - perbedaan kotak:

Tampaknya tidak ada faktor umum. Tetapi jika Anda melihat lebih dekat, mereka sudah sangat mirip ... Dan kenyataannya adalah:

Jadi mari kita menulis:

Artinya, ternyata seperti ini: di dalam tanda kurung, kami menukar istilah, dan pada saat yang sama, tanda di depan pecahan berubah menjadi kebalikannya. Perhatikan, Anda harus sering melakukan ini.

Sekarang kita bawa ke penyebut yang sama:

Mengerti? Sekarang mari kita periksa.

Tugas untuk solusi independen:

Jawaban:

Di sini kita harus mengingat satu hal lagi - perbedaan kubus:

Harap dicatat bahwa penyebut pecahan kedua tidak mengandung rumus "kuadrat jumlah"! Kuadrat jumlah akan terlihat seperti ini:

A adalah apa yang disebut kuadrat tidak lengkap dari jumlah: suku kedua di dalamnya adalah produk dari yang pertama dan terakhir, dan bukan produk ganda mereka. Kuadrat tidak lengkap dari jumlah adalah salah satu faktor dalam perluasan selisih kubus:

Bagaimana jika sudah ada tiga pecahan?

Ya sama! Pertama-tama, kami akan memastikan bahwa jumlah maksimum faktor dalam penyebut adalah sama:

Perhatikan: jika Anda mengubah tanda di dalam satu kurung, tanda di depan pecahan berubah menjadi sebaliknya. Ketika kita mengubah tanda di kurung kedua, tanda di depan pecahan dibalik lagi. Akibatnya, dia (tanda di depan pecahan) tidak berubah.

Kami menulis penyebut pertama secara lengkap dalam penyebut yang sama, dan kemudian kami menambahkan semua faktor yang belum ditulis, dari yang kedua, dan kemudian dari yang ketiga (dan seterusnya, jika ada lebih banyak pecahan). Artinya, berjalan seperti ini:

Hmm... Dengan pecahan, jelas apa yang harus dilakukan. Tapi bagaimana dengan keduanya?

Sederhana saja: Anda tahu cara menjumlahkan pecahan, bukan? Jadi, Anda perlu memastikan bahwa deuce menjadi pecahan! Ingat: pecahan adalah operasi pembagian (pembilang dibagi dengan penyebut, jika Anda tiba-tiba lupa). Dan tidak ada yang lebih mudah daripada membagi angka dengan. Dalam hal ini, angka itu sendiri tidak akan berubah, tetapi akan berubah menjadi pecahan:

Persis apa yang dibutuhkan!

5. Perkalian dan pembagian pecahan.

Nah, bagian tersulit sekarang sudah berakhir. Dan di depan kita adalah yang paling sederhana, tetapi pada saat yang sama yang paling penting:

Prosedur

Bagaimana prosedur untuk menghitung ekspresi numerik? Ingat, dengan mempertimbangkan nilai ekspresi seperti itu:

Apakah Anda menghitung?

Ini harus bekerja.

Jadi, saya mengingatkan Anda.

Langkah pertama adalah menghitung derajat.

Yang kedua adalah perkalian dan pembagian. Jika ada beberapa perkalian dan pembagian sekaligus, Anda dapat melakukannya dalam urutan apa pun.

Dan akhirnya, kami melakukan penambahan dan pengurangan. Sekali lagi, dalam urutan apa pun.

Tapi: ekspresi dalam kurung dievaluasi rusak!

Jika beberapa tanda kurung dikalikan atau dibagi satu sama lain, pertama-tama kita mengevaluasi ekspresi di setiap tanda kurung, lalu mengalikan atau membaginya.

Bagaimana jika ada tanda kurung lain di dalam tanda kurung? Nah, mari kita pikirkan: beberapa ekspresi ditulis di dalam tanda kurung. Apa hal pertama yang harus dilakukan ketika mengevaluasi ekspresi? Itu benar, hitung kurung. Yah, kami menemukan jawabannya: pertama kami menghitung tanda kurung dalam, lalu yang lainnya.

Jadi, urutan tindakan untuk ekspresi di atas adalah sebagai berikut (tindakan saat ini disorot dengan warna merah, yaitu tindakan yang saya lakukan sekarang):

Oke, semuanya sederhana.

Tapi itu tidak sama dengan ekspresi dengan huruf, bukan?

Tidak, itu sama! Hanya alih-alih operasi aritmatika yang perlu dilakukan operasi aljabar, yaitu operasi yang dijelaskan di bagian sebelumnya: membawa serupa, menjumlahkan pecahan, mengurangi pecahan, dan sebagainya. Satu-satunya perbedaan adalah tindakan memfaktorkan polinomial (kita sering menggunakannya saat bekerja dengan pecahan). Paling sering, untuk faktorisasi, Anda perlu menggunakan i atau cukup keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

Biasanya tujuan kami adalah untuk mewakili ekspresi sebagai produk atau hasil bagi.

Sebagai contoh:

Mari kita sederhanakan ekspresinya.

1) Pertama kita sederhanakan ekspresi dalam tanda kurung. Di sana kami memiliki perbedaan pecahan, dan tujuan kami adalah untuk mewakilinya sebagai produk atau hasil bagi. Jadi, kami membawa pecahan ke penyebut yang sama dan menambahkan:

Tidak mungkin untuk menyederhanakan ungkapan ini lebih lanjut, semua faktor di sini adalah dasar (apakah Anda masih ingat apa artinya ini?).

2) Kami mendapatkan:

Perkalian pecahan: apa yang bisa lebih mudah.

3) Sekarang Anda dapat mempersingkat:

Itu dia. Tidak ada yang rumit, kan?

Contoh lain:

Sederhanakan ekspresi.

Pertama, coba selesaikan sendiri, dan baru kemudian lihat solusinya.

Pertama-tama, mari kita tentukan prosedurnya. Pertama, mari kita tambahkan pecahan dalam tanda kurung, alih-alih dua pecahan, satu akan menjadi. Kemudian kita akan melakukan pembagian pecahan. Nah, kita tambahkan hasilnya dengan pecahan terakhir. Saya akan memberi nomor skema langkah-langkahnya:

Sekarang saya akan menunjukkan seluruh proses, mewarnai tindakan saat ini dengan warna merah:

Akhirnya, saya akan memberi Anda dua tips berguna:

1. Jika ada yang serupa harus segera dibawa. Pada saat apa pun kita memiliki yang serupa, disarankan untuk segera membawanya.

2. Hal yang sama berlaku untuk pengurangan pecahan: segera setelah ada peluang untuk mengurangi, itu harus digunakan. Pengecualian adalah pecahan yang Anda tambahkan atau kurangi: jika mereka sekarang memiliki penyebut yang sama, maka pengurangannya harus dibiarkan nanti.

Berikut adalah beberapa tugas untuk Anda selesaikan sendiri:

Dan berjanji di awal:

Solusi (singkat):

Jika Anda mengatasi setidaknya tiga contoh pertama, maka Anda, pertimbangkan, telah menguasai topik tersebut.

Sekarang untuk belajar!

KONVERSI EKSPRESI. RINGKASAN DAN FORMULA DASAR

Operasi penyederhanaan dasar:

• Membawa serupa: untuk menambah (mengurangi) suku-suku sejenis, Anda perlu menambahkan koefisiennya dan menetapkan bagian hurufnya.
• Faktorisasi: mengambil faktor persekutuan dari tanda kurung, menerapkan, dll.
• Pengurangan pecahan: pembilang dan penyebut suatu pecahan dapat dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, yang nilai pecahannya tidak berubah.
  1) pembilang dan penyebut menguraikan pd pengali
  2) jika ada faktor persekutuan dalam pembilang dan penyebut, dapat dicoret.

  PENTING: hanya pengganda yang dapat dikurangi!

• Penjumlahan dan pengurangan pecahan:
  ;
• Perkalian dan pembagian pecahan:
  ;