Penyebaran variabel acak kontinu X, nilai yang mungkin dimiliki oleh seluruh sumbu Ox, ditentukan oleh persamaan: 
tugas layanan. Kalkulator online dirancang untuk memecahkan masalah di mana: kepadatan distribusi f(x) , atau fungsi distribusi F(x) (lihat contoh). Biasanya dalam tugas-tugas seperti itu diperlukan untuk menemukan ekspektasi matematis, simpangan baku, plot fungsi f(x) dan F(x).
Petunjuk. Pilih jenis data input: densitas distribusi f(x) atau fungsi distribusi F(x) .
Kepadatan distribusi f(x) diberikan: 
Fungsi distribusi F(x) diberikan: 
Variabel acak kontinu didefinisikan oleh kepadatan probabilitas 
(Hukum distribusi Rayleigh - digunakan dalam teknik radio). Temukan M(x) , D(x) .
Variabel acak X disebut kontinu
, jika fungsi distribusinya F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Fungsi distribusi variabel acak kontinu digunakan untuk menghitung probabilitas variabel acak jatuh ke dalam interval tertentu:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
selain itu, untuk variabel acak kontinu, tidak masalah apakah batasnya termasuk dalam interval ini atau tidak:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Kepadatan distribusi
variabel acak kontinu disebut fungsi
f(x)=F'(x) , turunan dari fungsi distribusi.
Properti Kepadatan Distribusi
1. Kerapatan distribusi variabel acak adalah non-negatif (f(x) 0) untuk semua nilai x.2. Kondisi normalisasi:
Arti geometris dari kondisi normalisasi: area di bawah kurva densitas distribusi sama dengan satu.
3. Probabilitas memukul variabel acak X dalam interval dari ke dapat dihitung dengan rumus
Secara geometris, probabilitas bahwa variabel acak kontinu X jatuh ke dalam interval (α, ) sama dengan luas trapesium lengkung di bawah kurva kepadatan distribusi berdasarkan interval ini.
4. Fungsi distribusi dinyatakan dalam densitas sebagai berikut:
Nilai densitas distribusi pada titik x tidak sama dengan probabilitas mengambil nilai ini; untuk variabel acak kontinu, kita hanya dapat berbicara tentang probabilitas jatuh ke dalam interval tertentu. Biarkan (4)
di mana sebuah dan b belum tentu terbatas. Misalnya, untuk modulus vektor kecepatan molekul gas V terletak dalam seluruh rentang nilai yang mungkin, mis. x O [ x,x+ D x] O [ sebuah, b] (5)
Maka peluang D W(x, D x) hits x pada interval (5) sama dengan
Di Sini N adalah jumlah total pengukuran x, dan D n(x, D x) adalah jumlah hasil yang masuk ke dalam interval (5).
Probabilitas D W secara alami tergantung pada dua argumen: x– posisi interval di dalam [ sebuah, b] dan D x adalah panjangnya (diasumsikan, meskipun tidak perlu sama sekali, bahwa D x> 0). Misalnya, probabilitas mendapatkan nilai yang tepat x, dengan kata lain, kemungkinan memukul x ke dalam interval panjang nol adalah probabilitas dari suatu peristiwa yang tidak mungkin dan karena itu sama dengan nol: D W(x, 0) = 0
Di sisi lain, probabilitas mendapatkan nilai x di suatu tempat (tidak masalah di mana) dalam seluruh interval [ sebuah, b] adalah probabilitas dari suatu peristiwa tertentu (sesuatu selalu terjadi) dan oleh karena itu sama dengan satu (diasumsikan bahwa b > sebuah):D W(sebuah, b – sebuah) = 1.
Biarkan D x sedikit. Kriteria kekecilan yang cukup tergantung pada sifat-sifat khusus dari sistem yang dijelaskan oleh distribusi probabilitas D W(x, D x). Jika D x kecil, maka fungsi D W(x, D x) dapat diperluas dalam deret dalam pangkat D x:
Jika kita menggambar grafik ketergantungan D W(x, D x) dari argumen kedua D x, kemudian mengganti ketergantungan eksak dengan ekspresi perkiraan (7) berarti mengganti (dalam area kecil) kurva eksak dengan sepotong parabola (7).
Dalam (7), suku pertama tepat sama dengan nol, suku ketiga dan selanjutnya, jika D cukup kecil, x dapat dihilangkan. Pengenalan notasi
memberikan hasil penting D W(x, D x) " r( x) D x (8)
Relasi (8), yang lebih akurat, semakin kecil D x berarti bahwa untuk interval pendek, probabilitas jatuh ke dalam interval ini sebanding dengan panjangnya.
Anda masih bisa beralih dari D kecil tapi final x secara formal sangat kecil dx, dengan penggantian simultan D W(x, D x) pada dW(x). Kemudian persamaan perkiraan (8) berubah menjadi yang tepat dW(x) = r( x)· dx(9)
Koefisien proporsionalitas r( x) memiliki arti yang sederhana. Seperti dapat dilihat dari (8) dan (9), r( x) secara numerik sama dengan probabilitas memukul x ke dalam interval satuan panjang. Oleh karena itu, salah satu nama fungsi r( x) adalah densitas distribusi probabilitas untuk variabel x.
Fungsi r( x) berisi semua informasi tentang bagaimana probabilitas dW(x) hits x dalam interval panjang tertentu dx tergantung pada lokasi interval ini, mis. itu menunjukkan bagaimana probabilitas didistribusikan x. Oleh karena itu, fungsi r( x) biasa disebut fungsi distribusi untuk variabel x dan, dengan demikian, fungsi distribusi untuk sistem fisik itu, demi menggambarkan spektrum keadaan di mana variabel diperkenalkan x. Istilah "kepadatan probabilitas" dan "fungsi distribusi" digunakan secara bergantian dalam fisika statistik.
Kita dapat mempertimbangkan generalisasi definisi probabilitas (6) dan fungsi distribusi (9) untuk kasus, misalnya, tiga variabel. Generalisasi untuk kasus sejumlah besar variabel dilakukan dengan cara yang persis sama.
Biarkan keadaan sistem fisik yang bervariasi secara acak dalam waktu ditentukan oleh nilai-nilai tiga variabel x, kamu dan z dengan spektrum kontinu:
x O [ sebuah, b]
kamu O [ c, d]
z O [ e, f] (10)
di mana sebuah, b,…, f, seperti sebelumnya, tidak selalu terbatas. Variabel x, kamu dan z dapat berupa, misalnya, koordinat pusat massa molekul gas, komponen vektor kecepatannya x YU V x, kamu YU V y dan z YU Vz atau impuls, dll. Suatu peristiwa dipahami sebagai kejadian simultan dari ketiga variabel dalam interval panjang D x, D kamu dan D z masing-masing, yaitu:
x O [ x, x+ D x]
kamu O [ kamu, kamu+ D kamu]
z O [ z, z+ D z] (11)
Probabilitas suatu kejadian (11) dapat ditentukan dengan cara yang sama dengan (6)
dengan perbedaan yang sekarang D n– jumlah pengukuran x, kamu dan z, yang hasilnya secara bersamaan memenuhi hubungan (11). Menggunakan ekspansi seri yang mirip dengan (7) memberikan
dW(x, kamu, z) = r( x, kamu, z)· dx dy dz(13)
dimana r( x, kamu, z) adalah fungsi distribusi untuk tiga variabel sekaligus x, kamu dan z.
Dalam teori matematika probabilitas, istilah "fungsi distribusi" digunakan untuk menyatakan suatu besaran yang berbeda dari r( x), yaitu: misalkan x adalah suatu nilai dari variabel acak x. Fungsi (x), yang memberikan probabilitas bahwa x mengambil nilai tidak lebih besar dari x dan disebut fungsi distribusi. Fungsi r dan memiliki arti yang berbeda, tetapi mereka terkait. Menggunakan teorema penambahan probabilitas memberikan (di sini sebuah adalah ujung kiri dari kisaran nilai yang mungkin x (cm. TEORI PROBABILITAS: , (14) dari mana
Menggunakan hubungan perkiraan (8) memberikan D W(x, D x) " r( x) D x.
Perbandingan dengan ekspresi eksak (15) menunjukkan bahwa menggunakan (8) setara dengan mengganti integral pada (16) dengan produk dari integral r( x) dengan panjang interval integrasi D x:
Relasi (17) akan eksak jika r = konstan, oleh karena itu, kesalahan saat mengganti (16) dengan (17) akan kecil ketika integran berubah sedikit sepanjang interval integrasi D x.
Anda dapat memasukkan D x eff adalah panjang interval di mana fungsi distribusi r( x) berubah secara signifikan, yaitu dengan nilai orde fungsi itu sendiri, atau kuantitas Dr eff urutan modulo r. Dengan menggunakan rumus Lagrange, kita dapat menulis:
dari mana dapat disimpulkan bahwa D x eff untuk setiap fungsi r
Fungsi distribusi dapat dianggap "hampir konstan" selama interval perubahan argumen tertentu jika kenaikannya |Dr| pada interval ini, nilai absolut jauh lebih kecil daripada fungsi itu sendiri pada titik-titik interval ini. Persyaratan |Dr| eff| ~ r (fungsi distribusi r 0) memberikan
D x x eff (20)
panjang interval integrasi harus kecil dibandingkan dengan interval di mana integran berubah secara signifikan. Ilustrasinya adalah gambar. satu.
Integral di ruas kiri (17) sama dengan luas di bawah kurva. Hasilkali pada ruas kanan (17) adalah luas daerah yang diarsir pada Gambar. 1 kolom. Kriteria kecilnya selisih antar daerah yang bersesuaian adalah terpenuhinya ketimpangan (20). Hal ini dapat dibuktikan dengan mensubstitusikan ke integral (17) suku pertama dari perluasan fungsi r( x) dalam rangkaian pangkat
Persyaratan bahwa koreksi (suku kedua di ruas kanan (21) dibandingkan dengan yang pertama kecil memberikan pertidaksamaan (20) dengan D x eff dari (19).
Contoh sejumlah fungsi distribusi yang berperan penting dalam fisika statistika.
Distribusi Maxwell untuk proyeksi vektor kecepatan molekul ke arah tertentu (misalnya, ini adalah arah sumbu SAPI).
Di Sini m adalah massa molekul gas, T- suhunya k adalah konstanta Boltzmann.
Distribusi Maxwell untuk modulus vektor kecepatan:
Distribusi Maxwell untuk energi gerak translasi molekul e = mV 2/2
Distribusi Boltzmann, lebih tepatnya, yang disebut rumus barometrik, yang menentukan distribusi konsentrasi molekul atau tekanan udara di ketinggian h dari beberapa "tingkat nol" dengan asumsi bahwa suhu udara tidak tergantung pada ketinggian (model atmosfer isotermal). Faktanya, suhu di lapisan atmosfer yang lebih rendah turun secara nyata dengan meningkatnya ketinggian.
Untuk menemukan fungsi distribusi variabel acak dan variabelnya, perlu mempelajari semua fitur bidang pengetahuan ini. Ada beberapa metode berbeda untuk menemukan nilai yang dimaksud, termasuk mengubah variabel dan menghasilkan momen. Distribusi adalah konsep yang didasarkan pada elemen-elemen seperti dispersi, variasi. Namun, mereka hanya mencirikan tingkat jangkauan hamburan.
Fungsi yang lebih penting dari variabel acak adalah yang terkait dan independen, dan didistribusikan secara merata. Misalnya, jika X1 adalah bobot individu yang dipilih secara acak dari populasi laki-laki, X2 adalah bobot orang lain, ..., dan Xn adalah bobot orang lain dari populasi laki-laki, maka kita perlu mengetahui bagaimana fungsi acak X terdistribusi. Dalam hal ini berlaku teorema klasik yang disebut teorema limit pusat. Hal ini memungkinkan kita untuk menunjukkan bahwa untuk n besar fungsi mengikuti distribusi standar.
Fungsi dari satu variabel acak
Teorema limit pusat dirancang untuk mendekati nilai-nilai diskrit yang bersangkutan, seperti binomial dan Poisson. Fungsi distribusi variabel acak dipertimbangkan, pertama-tama, pada nilai sederhana dari satu variabel. Misalnya, jika X adalah variabel acak kontinu yang memiliki distribusi probabilitasnya sendiri. Dalam hal ini, kita sedang mengeksplorasi bagaimana mencari fungsi kerapatan dari Y menggunakan dua pendekatan yang berbeda, yaitu metode fungsi distribusi dan perubahan variabel. Pertama, hanya nilai satu-ke-satu yang dipertimbangkan. Kemudian Anda perlu memodifikasi teknik mengubah variabel untuk menemukan probabilitasnya. Terakhir, kita perlu mempelajari bagaimana distribusi kumulatif dapat membantu memodelkan bilangan acak yang mengikuti pola sekuensial tertentu.
Metode distribusi nilai yang dipertimbangkan
Metode fungsi distribusi probabilitas dari variabel acak dapat diterapkan untuk menemukan kerapatannya. Saat menggunakan metode ini, nilai kumulatif dihitung. Kemudian, dengan membedakannya, Anda bisa mendapatkan kepadatan probabilitas. Sekarang kita memiliki metode fungsi distribusi, kita dapat melihat beberapa contoh lagi. Biarkan X menjadi variabel acak kontinu dengan kerapatan probabilitas tertentu.
Berapakah fungsi kerapatan peluang dari x2? Jika Anda melihat atau membuat grafik fungsi (atas dan kanan) y \u003d x2, Anda dapat mencatat bahwa itu adalah peningkatan X dan 0 Dalam contoh terakhir, perhatian besar digunakan untuk mengindeks fungsi kumulatif dan kepadatan probabilitas dengan X atau Y untuk menunjukkan variabel acak mana yang mereka miliki. Misalnya, ketika mencari fungsi distribusi kumulatif Y, kita mendapatkan X. Jika Anda perlu menemukan variabel acak X dan kerapatannya, Anda hanya perlu membedakannya. Misalkan X adalah variabel acak kontinu yang diberikan oleh fungsi distribusi dengan penyebut yang sama f(x). Dalam hal ini, jika Anda memasukkan nilai y ke dalam X = v (Y), maka Anda mendapatkan nilai x, misalnya v (y). Sekarang, kita perlu mendapatkan fungsi distribusi dari variabel acak kontinu Y. Dimana persamaan pertama dan kedua terjadi dari definisi kumulatif Y. Persamaan ketiga berlaku karena bagian dari fungsi yang u (X) y adalah juga benar bahwa X v (Y ). Dan yang terakhir dilakukan untuk menentukan probabilitas dalam variabel acak kontinu X. Sekarang kita perlu mengambil turunan dari FY (y), fungsi distribusi kumulatif dari Y, untuk mendapatkan kerapatan probabilitas dari Y. Biarkan X menjadi variabel acak kontinu dengan f(x) umum yang didefinisikan di atas c1 Untuk mengatasi masalah ini, data kuantitatif dapat dikumpulkan dan fungsi distribusi kumulatif empiris dapat digunakan. Dengan informasi ini dan daya tariknya, Anda perlu menggabungkan sampel sarana, simpangan baku, data media, dan sebagainya. Demikian pula, bahkan model probabilistik yang cukup sederhana dapat memiliki banyak hasil. Misalnya, jika Anda melempar koin 332 kali. Kemudian jumlah hasil yang diperoleh dari membalik lebih besar daripada google (10100) - angka, tetapi tidak kurang dari 100 triliun kali lebih tinggi dari partikel elementer di alam semesta yang dikenal. Tidak tertarik pada analisis yang memberikan jawaban untuk setiap kemungkinan hasil. Konsep yang lebih sederhana akan dibutuhkan, seperti jumlah kepala, atau guratan ekor terpanjang. Untuk fokus pada isu-isu yang menarik, hasil tertentu diterima. Definisi dalam hal ini adalah sebagai berikut: variabel acak adalah fungsi nyata dengan ruang probabilitas. Rentang S dari variabel acak kadang-kadang disebut ruang keadaan. Jadi, jika X adalah nilai yang dimaksud, maka N = X2, exp X, X2 + 1, tan2 X, bXc, dan seterusnya. Yang terakhir, membulatkan X ke bilangan bulat terdekat, disebut fungsi lantai. Setelah fungsi distribusi yang diinginkan untuk variabel acak x ditentukan, pertanyaannya biasanya menjadi: "Berapa peluang X jatuh ke dalam beberapa himpunan bagian dari nilai-nilai B?". Misalnya, B = (angka ganjil), B = (lebih besar dari 1), atau B = (antara 2 dan 7) untuk menunjukkan hasil yang memiliki X, nilai variabel acak, di subset A. Jadi di atas contoh, Anda dapat menggambarkan peristiwa sebagai berikut. (X bilangan ganjil), (X lebih besar dari 1) = (X > 1), (X antara 2 dan 7) = (2 Dengan demikian, dimungkinkan untuk menghitung probabilitas bahwa fungsi distribusi dari variabel acak x akan mengambil nilai dalam interval dengan mengurangkan. Pertimbangan perlu diberikan untuk memasukkan atau mengecualikan titik akhir. Kami akan memanggil variabel acak diskrit jika memiliki ruang keadaan terbatas atau tak terbatas. Jadi, X adalah jumlah kepala pada tiga pelemparan bebas dari sebuah koin bias yang naik dengan probabilitas p. Kita perlu menemukan fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak diskrit FX untuk X. Biarkan X menjadi jumlah puncak dalam kumpulan tiga kartu. Kemudian Y = X3 melalui FX. FX dimulai pada 0, berakhir pada 1, dan tidak berkurang saat nilai x meningkat. Fungsi distribusi FX kumulatif dari variabel acak diskrit X adalah konstan, kecuali untuk lompatan. Saat melompat, FX terus menerus. Dimungkinkan untuk membuktikan pernyataan tentang kontinuitas yang benar dari fungsi distribusi dari properti probabilitas menggunakan definisi. Kedengarannya seperti ini: variabel acak konstan memiliki FX kumulatif yang dapat dibedakan. Untuk menunjukkan bagaimana ini bisa terjadi, kita dapat memberikan contoh: target dengan radius satuan. Agaknya. panah didistribusikan secara merata di atas area yang ditentukan. Untuk beberapa > 0. Dengan demikian, fungsi distribusi variabel acak kontinu meningkat dengan lancar. FX memiliki sifat-sifat fungsi distribusi. Seorang pria menunggu di halte bus sampai bus tiba. Setelah memutuskan sendiri bahwa dia akan menolak ketika menunggu mencapai 20 menit. Di sini perlu dicari fungsi distribusi kumulatif untuk T. Waktu ketika seseorang masih berada di terminal bus atau tidak akan berangkat. Terlepas dari kenyataan bahwa fungsi distribusi kumulatif didefinisikan untuk setiap variabel acak. Meskipun demikian, karakteristik lain akan sering digunakan: massa untuk variabel diskrit dan fungsi densitas distribusi dari variabel acak. Biasanya nilai dikeluarkan melalui salah satu dari dua nilai ini. Nilai-nilai ini dipertimbangkan oleh sifat-sifat berikut, yang bersifat umum (massa). Yang pertama didasarkan pada fakta bahwa probabilitasnya tidak negatif. Yang kedua mengikuti dari pengamatan bahwa himpunan untuk semua x=2S, ruang keadaan untuk X, membentuk partisi dari kebebasan probabilistik X. Contoh: melempar koin bias yang hasilnya independen. Anda dapat terus melakukan tindakan tertentu sampai Anda mendapatkan lemparan kepala. Biarkan X menunjukkan variabel acak yang memberikan jumlah ekor di depan kepala pertama. Dan p menunjukkan probabilitas dalam setiap tindakan yang diberikan. Jadi, fungsi probabilitas massa memiliki fitur karakteristik berikut. Karena suku-suku tersebut membentuk barisan numerik, X disebut variabel acak geometrik. Skema geometri c, cr, cr2,. , crn memiliki jumlah. Dan, oleh karena itu, sn memiliki limit sebagai n 1. Dalam hal ini, jumlah tak hingga adalah limitnya. Fungsi massa di atas membentuk barisan geometri dengan rasio. Jadi, bilangan asli a dan b. Selisih nilai pada fungsi distribusi sama dengan nilai fungsi massa. Nilai kerapatan yang dipertimbangkan memiliki definisi berikut: X adalah variabel acak yang distribusinya FX memiliki turunan. FX memenuhi Z xFX (x) = fX (t) dt-1 disebut fungsi densitas probabilitas. Dan X disebut variabel acak kontinu. Dalam teorema dasar kalkulus, fungsi kerapatan adalah turunan dari distribusi. Anda dapat menghitung probabilitas dengan menghitung integral tertentu. Karena data dikumpulkan dari beberapa pengamatan, lebih dari satu variabel acak pada satu waktu harus dipertimbangkan untuk memodelkan prosedur eksperimental. Oleh karena itu, himpunan nilai-nilai ini dan distribusi gabungannya untuk dua variabel X1 dan X2 berarti melihat peristiwa. Untuk variabel acak diskrit, fungsi massa probabilistik gabungan didefinisikan. Untuk yang kontinu, fX1, X2 dipertimbangkan, di mana kepadatan probabilitas gabungan terpenuhi. Dua peubah acak X1 dan X2 adalah bebas jika ada dua kejadian yang terkait dengannya adalah sama. Dengan kata lain, peluang dua kejadian (X1 2 B1) dan (X2 2 B2) terjadi pada saat yang sama, y, sama dengan produk dari variabel-variabel di atas, yang masing-masing terjadi secara individual. Untuk variabel acak diskrit independen, ada fungsi massa probabilistik gabungan, yang merupakan produk dari volume ion yang membatasi. Untuk variabel acak kontinu yang independen, fungsi kepadatan probabilitas gabungan adalah produk dari nilai kepadatan marjinal. Akhirnya, n pengamatan independen x1, x2, dipertimbangkan. , xn yang timbul dari massa jenis atau fungsi massa yang tidak diketahui f. Misalnya, parameter yang tidak diketahui dalam fungsi untuk variabel acak eksponensial yang menggambarkan waktu tunggu bus. Tujuan utama dari bidang teoretis ini adalah untuk menyediakan alat yang diperlukan untuk mengembangkan prosedur inferensial berdasarkan prinsip-prinsip ilmu statistik. Jadi, satu kasus penggunaan yang sangat penting untuk perangkat lunak adalah kemampuan untuk menghasilkan data semu untuk meniru informasi aktual. Hal ini memungkinkan untuk menguji dan meningkatkan metode analisis sebelum harus menggunakannya dalam database nyata. Ini diperlukan untuk mengeksplorasi properti data melalui pemodelan. Untuk banyak keluarga variabel acak yang umum digunakan, R menyediakan perintah untuk menghasilkannya. Untuk keadaan lain, metode untuk memodelkan urutan variabel acak independen yang memiliki distribusi umum akan diperlukan. Variabel Acak Diskrit dan Perintah Sampel. Perintah sampel digunakan untuk membuat sampel acak sederhana dan bertingkat. Akibatnya, jika urutan x dimasukkan, sampel (x, 40) memilih 40 catatan dari x sedemikian rupa sehingga semua pilihan ukuran 40 memiliki probabilitas yang sama. Ini menggunakan perintah R default untuk mengambil tanpa penggantian. Dapat juga digunakan untuk memodelkan variabel acak diskrit. Untuk melakukan ini, Anda perlu menyediakan ruang keadaan dalam vektor x dan fungsi massa f. Panggilan untuk mengganti = TRUE menunjukkan bahwa pengambilan sampel terjadi dengan penggantian. Kemudian, untuk memberikan sampel n variabel acak independen yang memiliki fungsi massa yang sama f, sampel (x, n, replace = TRUE, prob = f) digunakan. Ditentukan bahwa 1 adalah nilai terkecil yang diwakili, dan 4 adalah yang terbesar dari semuanya. Jika perintah prob = f dihilangkan, maka sampel akan mengambil sampel secara seragam dari nilai-nilai dalam vektor x. Anda dapat menguji simulasi terhadap fungsi massa yang menghasilkan data dengan melihat tanda sama dengan ganda, ==. Dan menghitung ulang pengamatan yang mengambil setiap nilai yang mungkin untuk x. Anda bisa membuat tabel. Ulangi ini untuk 1000 dan bandingkan simulasi dengan fungsi massa yang sesuai. Pertama, simulasikan fungsi distribusi homogen dari variabel acak u1, u2,. , un pada interval . Sekitar 10% dari angka harus berada di dalam . Ini sesuai dengan simulasi 10% pada interval untuk variabel acak dengan fungsi distribusi FX yang ditampilkan. Demikian pula, sekitar 10% dari angka acak harus berada dalam interval . Ini sesuai dengan simulasi 10% pada interval variabel acak dengan fungsi distribusi FX. Nilai-nilai pada sumbu x ini dapat diperoleh dengan mengambil kebalikan dari FX. Jika X adalah variabel acak kontinu dengan kerapatan fX positif di mana-mana dalam domainnya, maka fungsi distribusi meningkat secara ketat. Dalam hal ini, FX memiliki fungsi invers FX-1 yang dikenal sebagai fungsi kuantil. FX (x) u hanya jika x FX-1 (u). Transformasi probabilitas mengikuti dari analisis variabel acak U = FX(X). FX memiliki range 0 sampai 1. Tidak dapat mengambil nilai di bawah 0 atau di atas 1. Untuk nilai u antara 0 dan 1. Jika U dapat dimodelkan, maka perlu dilakukan simulasi variabel acak dengan distribusi FX melalui fungsi kuantil. Ambil turunannya untuk melihat bahwa kerapatan u bervariasi dalam 1. Karena variabel acak U memiliki kerapatan konstan selama interval nilai yang mungkin, variabel ini disebut seragam pada interval. Itu dimodelkan dalam R dengan perintah runif. Identitas tersebut disebut transformasi probabilistik. Anda dapat melihat cara kerjanya dalam contoh papan dart. X antara 0 dan 1, fungsi distribusi u = FX(x) = x2, dan karenanya fungsi kuantil x = FX-1(u). Dimungkinkan untuk memodelkan pengamatan independen dari jarak dari pusat panel panah, sambil menghasilkan variabel acak seragam U1, U2,. , Un. Fungsi distribusi dan fungsi empiris didasarkan pada 100 simulasi distribusi papan dart. Untuk variabel acak eksponensial, mungkin u = FX (x) = 1 - exp (- x), dan karenanya x = - 1 ln (1 - u). Terkadang logika terdiri dari pernyataan yang setara. Dalam hal ini, Anda perlu menggabungkan dua bagian argumen. Identitas persimpangan serupa untuk semua 2 (S i i) S, bukan beberapa nilai. Persatuan Ci sama dengan ruang keadaan S dan setiap pasangan saling lepas. Sejak Bi - dibagi menjadi tiga aksioma. Setiap pemeriksaan didasarkan pada probabilitas yang sesuai P. Untuk setiap subset. Menggunakan identitas untuk memastikan jawabannya tidak bergantung pada apakah titik akhir interval disertakan. Untuk setiap hasil di semua peristiwa, properti kedua dari kontinuitas probabilitas akhirnya digunakan, yang dianggap aksiomatik. Hukum distribusi fungsi variabel acak di sini menunjukkan bahwa masing-masing memiliki solusi dan jawabannya sendiri. Pertimbangkan fungsinya F(x), didefinisikan pada seluruh sumbu numerik sebagai berikut: untuk setiap X berarti F(x) sama dengan probabilitas bahwa variabel acak diskrit akan mengambil nilai kurang dari X, yaitu Fungsi ini disebut fungsi distribusi probabilitas, atau secara singkat, fungsi distribusi. Contoh 1 Temukan fungsi distribusi dari variabel acak yang diberikan dalam contoh 1, item 1. Keputusan: Jelas bahwa jika , maka F(x)=0, karena tidak mengambil nilai kurang dari satu. Jika kemudian ; jika kemudian . Tapi acaranya<3 в данном случае является суммой двух несовместных событий: =1 и =2. Следовательно, Jadi karena kita punya F(x)=1/3. Nilai-nilai fungsi dalam interval , dan dihitung dengan cara yang sama. Akhirnya, jika x>6 kemudian F(x)=1, karena dalam hal ini setiap nilai yang mungkin (1, 2, 3, 4, 5, 6)
kurang dari x. Grafik Fungsi F(x) ditunjukkan pada gambar. 4. Contoh 2 Temukan fungsi distribusi dari variabel acak yang diberikan dalam contoh 2, item 1. Keputusan: Jelas bahwa Jadwal F(x) ditunjukkan pada gambar. 5. Mengetahui fungsi distribusi F(x), mudah untuk menemukan probabilitas bahwa variabel acak memenuhi pertidaksamaan . Tetapi menurut definisi fungsi distribusi F(x)[cm. rumus (18)], kita memiliki Dengan demikian, probabilitas variabel acak diskrit jatuh ke dalam suatu interval sama dengan kenaikan fungsi distribusi pada interval ini. Pertimbangkan sifat-sifat utama dari fungsi distribusi. 2°. Nilai fungsi distribusi memenuhi pertidaksamaan . 3°. Probabilitas bahwa variabel acak diskrit mengambil salah satu nilai yang mungkin xi sama dengan lompatan dalam fungsi distribusi di titik xi. Itu. berarti p(xi) sama dengan lompatan fungsi ** xi. Properti ini dengan jelas diilustrasikan pada Gambar. 4 dan gambar. 5. *Di sini dan selanjutnya, notasi berikut diperkenalkan: 3. Variabel acak kontinu. Selain variabel acak diskrit, yang nilainya mungkin membentuk barisan bilangan berhingga atau tak hingga yang tidak sepenuhnya mengisi interval apa pun, seringkali ada variabel acak yang nilainya mungkin membentuk interval tertentu. Contoh variabel acak semacam itu adalah penyimpangan dari nominal ukuran tertentu bagian dengan proses teknologi yang ditetapkan dengan benar. Variabel acak semacam ini tidak dapat ditentukan menggunakan hukum distribusi probabilitas p(x). Namun, mereka dapat ditentukan menggunakan fungsi distribusi probabilitas F(x). Fungsi ini didefinisikan dengan cara yang persis sama seperti dalam kasus variabel acak diskrit: Jadi, di sini juga fungsinya F(x) didefinisikan pada sumbu bilangan bulat, dan nilainya di titik X sama dengan probabilitas bahwa variabel acak akan mengambil nilai kurang dari X. Berdasarkan makna geometris integral sebagai luas, kita dapat mengatakan bahwa peluang memenuhi pertidaksamaan sama dengan luas trapesium lengkung dengan alas
dibatasi di atas oleh kurva (Gbr. 6). Sejak , dan berdasarkan rumus (22) Perhatikan bahwa untuk variabel acak kontinu, fungsi distribusi F(x) terus menerus di setiap titik X, dimana fungsi kontinu. Ini mengikuti dari fakta bahwa F(x) terdiferensiasi pada titik-titik tersebut. Karena kontinuitas fungsi F(x) kita mengerti itu Karena itu Dengan demikian, probabilitas bahwa variabel acak kontinu dapat mengambil nilai tunggal x apa pun adalah nol. Mereka memiliki kemungkinan yang sama, yaitu Memang, misalnya, Sebagai Komentar. Seperti yang kita ketahui, jika suatu peristiwa tidak mungkin terjadi, maka peluang terjadinya adalah nol. Dalam definisi klasik probabilitas, ketika jumlah hasil tes terbatas, proposisi sebaliknya juga terjadi: jika probabilitas suatu peristiwa adalah nol, maka peristiwa itu tidak mungkin, karena dalam kasus ini tidak ada hasil tes yang mendukungnya. Dalam kasus variabel acak kontinu, jumlah kemungkinan nilainya tidak terbatas. Probabilitas bahwa nilai ini akan mengambil nilai tertentu x 1 seperti yang telah kita lihat, sama dengan nol. Namun, tidak berarti bahwa peristiwa ini tidak mungkin, karena sebagai hasil pengujian, variabel acak dapat, khususnya, mengambil nilai x 1. Oleh karena itu, dalam kasus variabel acak kontinu, masuk akal untuk berbicara tentang probabilitas bahwa variabel acak jatuh ke dalam interval, dan bukan tentang probabilitas bahwa itu akan mengambil nilai tertentu. Fungsi distribusi variabel acak X adalah fungsi F(x), menyatakan untuk setiap x probabilitas bahwa variabel acak X mengambil nilai, lebih kecil x
Contoh 2.5. Diberikan serangkaian distribusi variabel acak Temukan dan gambarkan secara grafis fungsi distribusinya. Keputusan. Menurut definisinya F(jc) = 0 untuk X X F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 pada 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 pada X > 5. Jadi (lihat Gambar 2.1): Properti fungsi distribusi: 1. Fungsi distribusi variabel acak adalah fungsi non-negatif yang diapit antara nol dan satu: 2. Fungsi distribusi peubah acak adalah fungsi tak turun pada sumbu bilangan bulat, mis. pada X 2
>x 3. Pada minus tak terhingga, fungsi distribusi sama dengan nol, pada plus tak terhingga, sama dengan satu, yaitu. 4. Probabilitas memukul variabel acak X dalam interval sama dengan integral tertentu dari kerapatan peluangnya yang berkisar dari sebuah sebelum b(lihat Gambar 2.2), yaitu Beras. 2.2 3. Fungsi distribusi variabel acak kontinu (lihat Gambar 2.3) dapat dinyatakan dalam kerapatan peluang menggunakan rumus: F(x)= Jp(*)*. (2.10) 4. Integral tak wajar dalam batas tak hingga dari kerapatan probabilitas variabel acak kontinu sama dengan satu: Sifat geometris / dan 4
kepadatan probabilitas berarti plotnya adalah kurva distribusi - terletak tidak di bawah sumbu x, dan luas total gambar, kurva distribusi terbatas dan sumbu x, adalah sama dengan satu. Untuk variabel acak kontinu X nilai yang diharapkan M(X) dan varians D(X) ditentukan dengan rumus: (jika integral tersebut konvergen mutlak); atau (jika integral tereduksi konvergen). Seiring dengan karakteristik numerik yang disebutkan di atas, konsep kuantil dan poin persentase digunakan untuk menggambarkan variabel acak. kuantil tingkat q(atau q-quantile) adalah nilai seperti itux qvariabel acak, di mana fungsi distribusinya mengambil nilai, sama dengan q, yaitu Menurut contoh 2.6 temukan kuantil xqj dan 30% titik variabel acak x.
Keputusan. Menurut definisi (2,16) F(xo t3)= 0,3, mis. ~Y~ = 0,3, dari mana kuantil x 0 3 = 0,6. 30% titik variabel acak X, atau kuantil )_о,з = xojo» ditemukan dengan cara yang sama dari persamaan ^ = 0,7. dari mana *,= 1.4. ? Di antara karakteristik numerik dari variabel acak, ada: awal v* dan pusat R* momen orde ke-k, ditentukan untuk variabel acak diskrit dan kontinu dengan rumus:Teknik Mengubah Variabel
Generalisasi untuk fungsi pengurangan
Fungsi distribusi
Variabel acak dan fungsi distribusi
Fungsi Massal
Variabel acak independen
Simulasi variabel acak
Mengilustrasikan Transformasi Probabilitas
Fungsi eksponensial dan variabelnya
Fungsi distribusi probabilitas dari variabel acak dan sifat-sifatnya.
(18)
Pertimbangkan acara bahwa variabel acak mengambil nilai kurang dari . Peristiwa ini dipecah menjadi jumlah dari dua peristiwa yang tidak kompatibel: 1) variabel acak mengambil nilai kurang dari , yaitu. ; 2) variabel acak mengambil nilai yang memenuhi pertidaksamaan. Dengan menggunakan aksioma penjumlahan, kita peroleh
, 
; karena itu,
(19)
1°. Fungsi distribusi tidak menurun.
Memang, mari< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то 
. Oleh karena itu, dari rumus (19) berikut bahwa 
, yaitu 
.
Properti ini berasal dari fakta bahwa F(x) didefinisikan sebagai probabilitas [lih. rumus (18)]. Jelas bahwa * dan .
Memang, mari xi- nilai yang diambil oleh variabel acak diskrit, dan . Asumsikan dalam rumus (19) , , kita peroleh
, 
.
** Dapat ditunjukkan bahwa F(xi)=F(xi-0), yaitu apa fungsinya? F(x) dibiarkan terus menerus pada suatu titik xi.
Rumus (19) dan sifat 1° dan 2° valid untuk fungsi distribusi dari sembarang variabel acak. Pembuktian dilakukan serupa dengan kasus besaran diskrit.
Variabel acak disebut kontinu, jika untuk itu terdapat fungsi tak-negatif sepotong-sepotong-kontinyu* yang memenuhi untuk nilai apa pun x persamaan
Berdasarkan rumus (23), dengan asumsi x 1 = x, , kita punya 
Dari sini dapat disimpulkan bahwa peristiwa-peristiwa yang terdiri dari pemenuhan masing-masing ketidaksetaraan
Jadi, misalnya, dalam pembuatan roller, kami tidak tertarik pada probabilitas bahwa diameternya akan sama dengan nilai nominal. Bagi kami, probabilitas bahwa diameter roller tidak keluar dari toleransi adalah penting.
