Saat mempersiapkan ujian matematika, siswa harus mensistematisasikan pengetahuan mereka tentang aljabar dan geometri. Saya ingin menggabungkan semua informasi yang diketahui, misalnya, cara menghitung luas piramida. Apalagi mulai dari alas dan muka samping hingga seluruh luas permukaan. Jika situasinya jelas dengan sisi-sisinya, karena mereka adalah segitiga, maka alasnya selalu berbeda.
Apa yang harus dilakukan ketika menemukan luas alas piramida?
Ini bisa berupa angka apa saja: dari segitiga sembarang hingga n-gon. Dan alas ini, selain perbedaan jumlah sudut, bisa berupa bangun biasa atau salah. Dalam tugas USE yang menarik bagi anak sekolah, hanya ada tugas dengan angka yang benar di pangkalan. Karena itu, kami hanya akan berbicara tentang mereka.
segitiga siku-siku
Itu sama sisi. Satu di mana semua sisi sama dan dilambangkan dengan huruf "a". Dalam hal ini, luas dasar piramida dihitung dengan rumus:
S = (a 2 * 3) / 4.
Kotak
Rumus untuk menghitung luasnya adalah yang paling sederhana, di sini "a" adalah sisinya lagi:
n-gon biasa yang sewenang-wenang
Sisi poligon memiliki sebutan yang sama. Untuk jumlah sudut, huruf latin n digunakan.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Bagaimana cara menghitung luas permukaan lateral dan total?
Karena alasnya adalah bangun biasa, semua wajah piramida adalah sama. Selain itu, masing-masing adalah segitiga sama kaki, karena sisi-sisinya sama. Kemudian, untuk menghitung luas lateral piramida, Anda memerlukan rumus yang terdiri dari jumlah monomial yang identik. Banyaknya suku ditentukan oleh banyaknya sisi alas.
Luas segitiga sama kaki dihitung dengan rumus di mana setengah produk alas dikalikan dengan tingginya. Ketinggian piramida ini disebut apotema. Penunjukannya adalah "A". Rumus umum untuk luas permukaan lateral adalah:
S \u003d P * A, di mana P adalah keliling dasar piramida.
Ada situasi ketika sisi alasnya tidak diketahui, tetapi sisi sisi (c) dan sudut datar pada titik sudutnya (α) diberikan. Maka seharusnya menggunakan rumus seperti itu untuk menghitung luas lateral piramida:
S = n/2 * dalam 2 sin .
Tugas 1
Kondisi. Cari luas total piramida jika alasnya terletak dengan sisi 4 cm, dan nilai apotemanya 3 cm.
Keputusan. Anda harus mulai dengan menghitung keliling alas. Karena ini adalah segitiga biasa, maka P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm Karena apotema diketahui, Anda dapat segera menghitung luas seluruh permukaan lateral: * 12 * 3 = 6 3cm2
Untuk segitiga di alasnya, nilai luas berikut akan diperoleh: (4 2 * 3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.
Untuk menentukan seluruh area, Anda perlu menambahkan dua nilai yang dihasilkan: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Menjawab. 10√3 cm2.
Tugas #2
Kondisi. Ada piramida segi empat biasa. Panjang sisi alas adalah 7 mm, tepi samping adalah 16 mm. Anda perlu mengetahui luas permukaannya.
Keputusan. Karena polihedron berbentuk segi empat dan teratur, maka alasnya adalah persegi. Setelah mempelajari luas alas dan permukaan samping, akan dimungkinkan untuk menghitung luas piramida. Rumus untuk persegi diberikan di atas. Dan di sisi wajah, semua sisi segitiga diketahui. Oleh karena itu, Anda dapat menggunakan rumus Heron untuk menghitung luasnya.
Perhitungan pertama sederhana dan mengarah ke angka ini: 49 mm 2. Untuk nilai kedua, Anda perlu menghitung setengah keliling: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Sekarang Anda dapat menghitung luas segitiga sama kaki: (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = 2985,9375 = 54,644 mm 2. Hanya ada empat segitiga seperti itu, jadi saat menghitung angka terakhir, Anda harus mengalikannya dengan 4.
Ternyata: 49 + 4 * 54.644 \u003d 267.576 mm 2.
Menjawab. Nilai yang diinginkan adalah 267,576 mm 2.
Tugas #3
Kondisi. Untuk piramida segi empat biasa, Anda perlu menghitung luasnya. Diketahui sisi persegi tersebut adalah 6 cm dan tingginya 4 cm.
Keputusan. Cara termudah adalah menggunakan rumus dengan produk keliling dan apotema. Nilai pertama mudah ditemukan. Yang kedua sedikit lebih sulit.
Kita harus mengingat teorema Pythagoras dan mempertimbangkan Ini dibentuk oleh ketinggian piramida dan apotema, yang merupakan sisi miring. Kaki kedua sama dengan setengah sisi bujur sangkar, karena ketinggian polihedron jatuh ke tengahnya.
Apotema yang diinginkan (sisi miring segitiga siku-siku) adalah (3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Sekarang Anda dapat menghitung nilai yang diinginkan: * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).
Menjawab. 96 cm2.
Tugas #4
Kondisi. Sisi alasnya yang benar adalah 22 mm, rusuk sampingnya adalah 61 mm. Berapa luas permukaan samping polihedron ini?
Keputusan. Alasan di dalamnya sama seperti yang dijelaskan dalam masalah No. 2. Hanya di sana diberi piramida dengan bujur sangkar di dasarnya, dan sekarang berbentuk segi enam.
Pertama-tama, luas alas dihitung menggunakan rumus di atas: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm 2.
Sekarang Anda perlu mengetahui setengah keliling segitiga sama kaki, yang merupakan wajah lateral. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Tetap menghitung luas setiap segitiga tersebut menggunakan rumus Bangau, dan kemudian mengalikannya dengan enam dan menambahkannya ke yang ternyata untuk basis.
Perhitungan menggunakan rumus Bangau: (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d 435600 \u003d 660 cm 2. Perhitungan yang akan memberikan luas permukaan lateral: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Tetap menambahkannya untuk mengetahui seluruh permukaan: 5217.47≈5217 cm 2.
Menjawab. Alas - 726√3 cm 2, permukaan samping - 3960 cm 2, seluruh area - 5217 cm 2.
piramida segitiga Sebuah polihedron disebut polihedron yang alasnya adalah segitiga beraturan.
Dalam piramida seperti itu, wajah alas dan tepi sisinya sama satu sama lain. Dengan demikian, luas sisi-sisinya diperoleh dari jumlah luas tiga segitiga yang identik. Anda dapat menemukan luas permukaan lateral piramida biasa menggunakan rumus. Dan Anda dapat membuat perhitungan beberapa kali lebih cepat. Untuk melakukan ini, terapkan rumus untuk luas permukaan lateral piramida segitiga:
di mana p adalah keliling alas, semua sisinya sama dengan b, a adalah apotema yang diturunkan dari atas ke alas ini. Perhatikan contoh penghitungan luas piramida segitiga.
Tugas: Biarkan piramida yang benar diberikan. Sisi segitiga yang alasnya adalah b = 4 cm. Apotema limas adalah a = 7 cm. Hitunglah luas permukaan lateral limas tersebut.
Karena, sesuai dengan kondisi masalah, kita mengetahui panjang semua elemen yang diperlukan, kita akan menemukan kelilingnya. Ingatlah bahwa dalam segitiga beraturan, semua sisinya sama, dan, oleh karena itu, kelilingnya dihitung dengan rumus:
Substitusikan data tersebut dan cari nilainya:
Sekarang, mengetahui keliling, kita dapat menghitung luas permukaan lateral: 
Untuk menerapkan rumus luas piramida segitiga untuk menghitung nilai penuh, Anda perlu menemukan luas alas polihedron. Untuk ini, rumus digunakan: 
Rumus untuk luas alas piramida segitiga mungkin berbeda. Diperbolehkan untuk menggunakan perhitungan parameter apa pun untuk gambar yang diberikan, tetapi paling sering ini tidak diperlukan. Perhatikan contoh penghitungan luas alas piramida segitiga.
Soal: Pada piramida biasa, sisi segitiga yang alasnya a = 6 cm. Hitunglah luas alasnya.
Untuk menghitungnya, kita hanya membutuhkan panjang sisi segitiga biasa yang terletak di dasar piramida. Substitusikan data ke dalam rumus: 
Cukup sering diperlukan untuk menemukan luas total polihedron. Untuk melakukan ini, Anda perlu menambahkan luas permukaan samping dan alasnya. 
Perhatikan contoh penghitungan luas piramida segitiga.
Soal: Misalkan diberikan sebuah piramida segitiga beraturan. Sisi alasnya adalah b = 4 cm, apotemanya adalah a = 6 cm. Temukan luas total piramida tersebut.
Pertama, mari kita cari luas permukaan lateral menggunakan rumus yang sudah diketahui. Hitung kelilingnya:
Kami mengganti data dalam rumus: 
Sekarang cari luas alasnya: 
Mengetahui luas alas dan permukaan samping, kami menemukan luas total piramida: 
Saat menghitung luas piramida biasa, jangan lupa bahwa alasnya adalah segitiga biasa dan banyak elemen polihedron ini sama satu sama lain.
Definisi. Sisi wajah- ini adalah segitiga di mana satu sudut terletak di bagian atas piramida, dan sisi yang berlawanan bertepatan dengan sisi alas (poligon).
Definisi. Iga samping adalah sisi umum dari sisi wajah. Piramida memiliki tepi sebanyak sudut dalam poligon.
Definisi. tinggi piramida adalah tegak lurus yang dijatuhkan dari atas ke dasar piramida.
Definisi. Apotema- ini adalah tegak lurus dari sisi sisi piramida, diturunkan dari puncak piramida ke sisi alas.
Definisi. Bagian diagonal- ini adalah bagian piramida dengan bidang yang melewati bagian atas piramida dan diagonal alasnya.
Definisi. Piramida yang benar- Ini adalah piramida di mana alasnya adalah poligon beraturan, dan tingginya turun ke tengah alas.
Volume dan luas permukaan piramida
Rumus. volume piramida melalui luas alas dan tinggi:
sifat piramida
Jika semua sisi sisinya sama, maka sebuah lingkaran dapat dibatasi di sekitar pangkal piramida, dan pusat alasnya berimpit dengan pusat lingkaran. Juga, tegak lurus yang dijatuhkan dari atas melewati pusat alas (lingkaran).
Jika semua rusuk sisinya sama besar, maka mereka miring ke bidang alas dengan sudut yang sama.
Tulang rusuk lateral adalah sama ketika mereka membentuk sudut yang sama dengan bidang dasar, atau jika lingkaran dapat digambarkan di sekitar dasar piramida.
Jika sisi-sisinya miring ke bidang alas pada satu sudut, maka sebuah lingkaran dapat ditulis di dasar piramida, dan bagian atas piramida diproyeksikan ke pusatnya.
Jika sisi-sisinya miring ke bidang alas pada satu sudut, maka apotema dari sisi-sisinya adalah sama.
Sifat-sifat piramida biasa
1. Bagian atas piramida berjarak sama dari semua sudut alasnya.
2. Semua sisi sisinya sama.
3. Semua rusuk sisi miring pada sudut yang sama ke alas.
4. Apotema semua sisi sisinya sama.
5. Luas semua sisi sisinya sama.
6. Semua wajah memiliki sudut dihedral (datar) yang sama.
7. Sebuah bola dapat digambarkan di sekitar piramida. Pusat bola yang dijelaskan akan menjadi titik persimpangan tegak lurus yang melewati tengah tepi.
8. Sebuah bola dapat ditulisi dalam sebuah piramida. Pusat bola tertulis akan menjadi titik persimpangan garis-bagi yang berasal dari sudut antara tepi dan alas.
9. Jika pusat bola bertulisan bertepatan dengan pusat bola yang dibatasi, maka jumlah sudut datar di puncak sama dengan atau sebaliknya, satu sudut sama dengan / n, di mana n adalah angka sudut di dasar piramida.
Hubungan piramida dengan bola
Sebuah bola dapat digambarkan di sekitar piramida ketika di dasar piramida terletak polihedron di mana lingkaran dapat digambarkan (kondisi yang diperlukan dan cukup). Pusat bola akan menjadi titik perpotongan bidang-bidang yang lewat secara tegak lurus melalui titik-titik tengah tepi samping piramida.
Sebuah bola selalu dapat digambarkan di sekitar piramida segitiga atau biasa.
Sebuah bola dapat ditulisi dalam piramida jika bidang-bidang bagi dari sudut dihedral internal piramida berpotongan pada satu titik (kondisi yang diperlukan dan cukup). Titik ini akan menjadi pusat bola.
Hubungan piramida dengan kerucut
Sebuah kerucut disebut bertulisan dalam sebuah piramida jika simpul-simpulnya berhimpitan dan alas kerucut tersebut tertulis di dasar piramida.
Sebuah kerucut dapat ditulisi dalam piramida jika apotema piramida sama.
Kerucut disebut dibatasi di sekitar piramida jika simpulnya bertepatan dan pangkal kerucut dibatasi di sekitar dasar piramida.
Kerucut dapat digambarkan mengelilingi piramida jika semua sisi sisi piramida sama satu sama lain.
Koneksi piramida dengan silinder
Sebuah piramida dikatakan bertulisan dalam sebuah silinder jika bagian atas piramida terletak di salah satu dasar silinder, dan dasar piramida tertulis di dasar silinder yang lain.
Sebuah silinder dapat dibatasi di sekitar piramida jika lingkaran dapat dibatasi di sekitar dasar piramida.
Sebuah tetrahedron memiliki empat wajah dan empat simpul dan enam tepi, di mana setiap dua tepi tidak memiliki simpul yang sama tetapi tidak bersentuhan.
Setiap simpul terdiri dari tiga sisi dan sisi yang membentuk sudut segitiga.
Ruas yang menghubungkan puncak segi empat dengan pusat sisi yang berhadapan disebut median dari tetrahedron(GM).
bimedian disebut ruas yang menghubungkan titik tengah sisi berlawanan yang tidak bersentuhan (KL).
Semua bimedian dan median tetrahedron berpotongan di satu titik (S). Dalam hal ini, bimedian dibagi dua, dan median dalam perbandingan 3: 1 mulai dari atas.
Definisi. Piramida Miring Akut adalah piramida di mana apotema lebih dari setengah panjang sisi alasnya.
Definisi. piramida tumpul adalah piramida di mana apotema kurang dari setengah panjang sisi alasnya.
Definisi. tetrahedron biasa Sebuah tetrahedron yang empat wajahnya adalah segitiga sama sisi. Ini adalah salah satu dari lima poligon beraturan. Dalam tetrahedron beraturan, semua sudut dihedral (antara wajah) dan sudut trihedral (pada titik sudut) adalah sama.
Definisi. Tetrahedron persegi panjang disebut tetrahedron yang memiliki sudut siku-siku antara tiga sisi pada titik tersebut (sisi-sisinya tegak lurus). Bentuk tiga wajah sudut segitiga siku-siku dan wajah-wajahnya adalah segitiga siku-siku, dan alasnya adalah segitiga sembarang. Apotema wajah apa pun sama dengan setengah sisi alas tempat apotema itu jatuh.
Definisi. Tetrahedron isohedral Disebut tetrahedron di mana sisi-sisinya sama satu sama lain, dan alasnya adalah segitiga biasa. Wajah tetrahedron seperti itu adalah segitiga sama kaki.
Definisi. Tetrahedron ortosentrik sebuah tetrahedron disebut di mana semua ketinggian (tegak lurus) yang diturunkan dari atas ke wajah yang berlawanan berpotongan di satu titik.
Definisi. piramida bintang Polihedron yang alasnya berupa bintang disebut.
Piramida yang alasnya segi enam beraturan, dan sisi-sisinya dibentuk oleh segitiga beraturan, disebut heksagonal.
Polihedron ini memiliki banyak sifat:
- Semua sisi dan sudut alasnya sama satu sama lain;
- Semua tepi dan piramida batubara dihedral juga sama satu sama lain;
- Segitiga-segitiga yang membentuk sisi-sisinya sama, masing-masing memiliki luas, sisi, dan tinggi yang sama.
Untuk menghitung luas piramida heksagonal biasa, rumus standar untuk luas permukaan lateral piramida heksagonal digunakan:
di mana P adalah keliling alas, a adalah panjang apotema piramida. Dalam kebanyakan kasus, Anda dapat menghitung luas sisi menggunakan rumus ini, tetapi terkadang Anda dapat menggunakan metode lain. Karena sisi sisi piramida dibentuk oleh segitiga yang sama, Anda dapat menemukan luas satu segitiga, dan kemudian mengalikannya dengan jumlah sisi. Ada 6 di antaranya dalam piramida heksagonal. Tetapi metode ini juga dapat digunakan dalam perhitungan. Mari kita perhatikan contoh menghitung luas permukaan lateral piramida heksagonal.
Biarkan piramida heksagonal biasa diberikan, di mana apotema adalah a = 7 cm, sisi alasnya adalah b = 3 cm. Hitung luas permukaan lateral polihedron.
Pertama, cari keliling alasnya. Karena piramida itu teratur, ia memiliki segi enam biasa di dasarnya. Jadi, semua sisinya sama, dan kelilingnya dihitung dengan rumus:
Kami mengganti data dalam rumus:
Sekarang kita dapat dengan mudah menemukan luas permukaan lateral dengan mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus utama: 
Poin penting juga adalah pencarian area pangkalan. Rumus luas alas piramida heksagonal diturunkan dari sifat-sifat segi enam beraturan: 
Mari kita perhatikan contoh menghitung luas alas piramida heksagonal, berdasarkan kondisi dari contoh sebelumnya.Dari mereka kita tahu bahwa sisi alasnya adalah b = 3 cm. Mari kita substitusikan data ke rumusnya: 
Rumus luas piramida heksagonal adalah jumlah luas alas dan sisi scan: 
Perhatikan contoh penghitungan luas piramida heksagonal.
Diberikan sebuah piramida, yang alasnya terletak segi enam beraturan dengan sisi b = 4 cm. Apotema suatu polihedron adalah a = 6 cm. Tentukan luas totalnya.
Kita tahu bahwa luas total terdiri dari luas alas dan sapuan samping. Jadi mari kita temukan mereka dulu. Hitung kelilingnya:
Sekarang cari luas permukaan lateral: 
Selanjutnya, kami menghitung luas alas tempat segi enam biasa berada: 
Sekarang kita dapat menjumlahkan hasilnya:
