Solusi dari masalah yang diterapkan direduksi menjadi perhitungan integral, tetapi tidak selalu mungkin untuk melakukan ini secara akurat. Terkadang kita perlu mengetahui nilai integral tertentu dengan tingkat akurasi tertentu, misalnya hingga seperseribu.

Ada tugas ketika akan diperlukan untuk menemukan nilai perkiraan integral tertentu dengan akurasi yang diperlukan, maka integrasi numerik digunakan seperti metode Simposn, trapesium, persegi panjang. Tidak semua kasus memungkinkan kita untuk menghitungnya dengan akurasi tertentu.

Artikel ini membahas penerapan rumus Newton-Leibniz. Hal ini diperlukan untuk perhitungan yang tepat dari integral tertentu. Contoh rinci akan diberikan, perubahan variabel dalam integral tertentu akan dipertimbangkan, dan kita akan menemukan nilai integral tertentu ketika diintegralkan dengan bagian.

rumus Newton-Leibniz

Definisi 1

Ketika fungsi y = y (x) kontinu dari segmen [ a ; b ], dan F (x) adalah salah satu antiturunan dari fungsi segmen ini, maka rumus Newton-Leibniz dianggap adil. Mari kita tuliskan seperti ini a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Rumus ini dianggap rumus dasar kalkulus integral.

Untuk membuktikan rumus ini, perlu digunakan konsep integral dengan batas atas variabel yang tersedia.

Ketika fungsi y = f (x) kontinu dari segmen [ a ; b ] , maka nilai argumen x a ; b , dan integralnya berbentuk a x f (t) d t dan dianggap sebagai fungsi dari batas atas. Perlu untuk menerima notasi fungsi yang berbentuk a x f (t) d t = (x) , kontinu, dan bentuk pertidaksamaan a x f (t) d t " = " (x) = f (x) berlaku untuk itu.

Kami memperbaiki bahwa kenaikan fungsi (x) sesuai dengan kenaikan argumen x , perlu untuk menggunakan properti utama kelima dari integral tertentu dan memperoleh

(x + ∆ x) - x = a x + x f (t) d t - a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + x - x = f(c) x

dimana nilai c x ; x + x .

Kami memperbaiki persamaan dalam bentuk (x + x) - (x) x = f (c) . Dengan definisi turunan dari suatu fungsi, perlu untuk melewati batas sebagai x → 0, maka kita mendapatkan formula dari bentuk yang terletak di [ a ; b ] Jika tidak, ekspresi dapat ditulis

F (x) = (x) + C = a x f (t) d t + C , dimana nilai C konstan.

Mari kita hitung F (a) menggunakan sifat pertama integral tertentu. Kemudian kita mendapatkan itu

F (a) = (a) + C = a a f (t) d t + C = 0 + C = C , maka C = F (a) . Hasilnya berlaku saat menghitung F (b) dan kita mendapatkan:

F (b) = (b) + C = a b f (t) d t + C = a b f (t) d t + F (a) , dengan kata lain, F (b) = a b f (t) d t + F ( a) . Persamaan membuktikan rumus Newton-Leibniz a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Kenaikan fungsi diambil sebagai F x a b = F (b) - F (a) . Dengan bantuan notasi, rumus Newton-Leibniz menjadi a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Untuk menerapkan rumus, perlu diketahui salah satu antiturunan y = F (x) dari integral y = f (x) dari segmen [ a ; b ] , hitung kenaikan antiturunan dari segmen ini. Perhatikan beberapa contoh perhitungan menggunakan rumus Newton-Leibniz.

Contoh 1

Hitung integral tentu 1 3 x 2 d x menggunakan rumus Newton-Leibniz.

Keputusan

Pertimbangkan bahwa integral dari bentuk y = x 2 kontinu dari interval [ 1 ; 3 ] , maka dan dapat diintegralkan pada segmen ini. Menurut tabel integral tak tentu, kita melihat bahwa fungsi y \u003d x 2 memiliki himpunan antiturunan untuk semua nilai riil x, yang berarti bahwa x 1; 3 akan ditulis sebagai F (x) = x 2 d x = x 3 3 + C . Perlu untuk mengambil antiturunan dengan C \u003d 0, maka kita mendapatkan bahwa F (x) \u003d x 3 3.

Mari kita gunakan rumus Newton-Leibniz dan dapatkan bahwa perhitungan integral tentu akan berbentuk 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .

Menjawab: 1 3 x 2 d x = 26 3

Contoh 2

Hitung integral tentu - 1 2 x · e x 2 + 1 d x menggunakan rumus Newton-Leibniz.

Keputusan

Fungsi yang diberikan adalah kontinu dari segmen [ - 1 ; 2 ], yang berarti dapat diintegrasikan di dalamnya. Perlu dicari nilai integral tak tentu x e x 2 + 1 d x menggunakan metode penjumlahan di bawah tanda diferensial, maka diperoleh x e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 d (x 2 + 1 ) = 1 2 e x 2+1+C.

Oleh karena itu kita memiliki himpunan antiturunan dari fungsi y = x · e x 2 + 1 , yang valid untuk semua x , x - 1 ; 2.

Hal ini diperlukan untuk mengambil antiturunan pada C = 0 dan menerapkan rumus Newton-Leibniz. Kemudian kita mendapatkan ekspresi bentuk

- 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Menjawab:- 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Contoh 3

Hitung integral - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x dan - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Keputusan

Segmen - 4; - 1 2 mengatakan bahwa fungsi di bawah tanda integral kontinu, yang berarti dapat diintegralkan. Dari sini kita menemukan himpunan antiturunan dari fungsi y = 4 x 3 + 2 x 2 . Kami mengerti

4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 x d x + 2 x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Perlu untuk mengambil antiturunan F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x, kemudian, dengan menerapkan rumus Newton-Leibniz, kami memperoleh integral, yang kami hitung:

- 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Kami melakukan transisi ke perhitungan integral kedua.

Dari segmen [ - 1 ; 1 ] kita memiliki bahwa integran dianggap tak terbatas, karena lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + , maka dari sini diperoleh kondisi yang diperlukan untuk keterintegralan dari segmen. Maka F (x) = 2 x 2 - 2 x bukan antiturunan untuk y = 4 x 3 + 2 x 2 dari interval [ - 1 ; 1 ] , karena titik O termasuk dalam segmen, tetapi tidak termasuk dalam domain definisi. Artinya terdapat integral tentu Riemann dan Newton-Leibniz untuk fungsi y = 4 x 3 + 2 x 2 dari interval [ - 1 ; satu ] .

Jawaban: - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28, ada integral tertentu Riemann dan Newton-Leibniz untuk fungsi y = 4 x 3 + 2 x 2 dari interval [ - 1 ; satu ] .

Sebelum menggunakan rumus Newton-Leibniz, Anda perlu mengetahui secara pasti tentang keberadaan integral tertentu.

Perubahan variabel dalam integral tertentu

Ketika fungsi y = f (x) didefinisikan dan kontinu dari segmen [ a ; b ] , maka himpunan yang ada [ a ; b ] dianggap sebagai jangkauan fungsi x = g (z) yang didefinisikan pada interval ; dengan turunan kontinu yang ada, dimana g (α) = a dan g = b , maka diperoleh a b f (x) d x = ∫ f (g (z)) g " (z) d z .

Rumus ini digunakan jika diperlukan untuk menghitung integral a b f (x) d x , dimana integral tak tentu berbentuk f (x) d x , kita menghitung dengan menggunakan metode substitusi.

Contoh 4

Hitung integral tentu dari bentuk 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Keputusan

Integral dianggap kontinu pada interval integrasi, yang berarti bahwa integral tertentu ada. Berikan notasi bahwa 2 x - 9 = z x = g (z) = z 2 + 9 2 . Nilai x \u003d 9 berarti z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3, dan untuk x \u003d 18 kita mendapatkan z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 3, lalu g α \ u003d g (3) \u003d 9 , g = g 3 3 = 18 . Substitusikan nilai yang diperoleh ke dalam rumus a b f (x) d x = α β f (g (z)) g”(z) d z, diperoleh bahwa

9 18 1 x 2 x - 9 d x = 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z d z = 3 3 3 2 z 2 + 9 hari

Menurut tabel integral tak tentu, kita memiliki bahwa salah satu antiturunan dari fungsi 2 z 2 + 9 bernilai 2 3 a r c t g z 3 . Kemudian, dengan menerapkan rumus Newton-Leibniz, kita peroleh bahwa

3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 3 - 4 = 18

Pencarian dapat dilakukan tanpa menggunakan rumus a b f (x) d x = α f (g (z)) g " (z) d z .

Jika metode penggantian menggunakan integral bentuk 1 x 2 x - 9 d x , maka diperoleh hasil 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Dari sini kita akan melakukan perhitungan menggunakan rumus Newton-Leibniz dan menghitung integral tentu. Kami mengerti

9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 3 - 4 \u003d 18

Hasilnya cocok.

Jawaban: 9 18 2 x 2 x - 9 d x = 18

Integrasi dengan bagian dalam perhitungan integral tertentu

Jika pada segmen [ a ; b ] fungsi u (x) dan v (x) didefinisikan dan kontinu, maka turunan orde pertamanya v " (x) u (x) dapat diintegralkan, jadi dari interval ini untuk fungsi yang dapat diintegralkan u " (x) v ( x) persamaan a b v " (x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - a b u " (x) v (x) d x benar.

Rumus dapat digunakan maka, perlu untuk menghitung integral a b f (x) d x , dan f (x) d x perlu dicari menggunakan integrasi bagian.

Contoh 5

Hitung integral tentu - 2 3 2 x · sin x 3 + 6 d x .

Keputusan

Fungsi x sin x 3 + 6 dapat diintegralkan pada segmen - 2; 3 2 , jadi kontinu.

Misalkan u (x) \u003d x, lalu d (v (x)) \u003d v "(x) d x \u003d sin x 3 + π 6 d x, dan d (u (x)) \u003d u "(x) d x \u003d d x, dan v (x) = - 3 cos 3 + 6 . Dari rumus a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - a b u " (x) v (x) d x kita peroleh bahwa

- 2 3 2 x sin x 3 + 6 d x = - 3 x cos x 3 + 6 - 2 3 2 - - 2 3 2 - 3 cos x 3 + 6 d x \u003d \u003d - 3 3 2 cos 2 + 6 - - 3 - 2 cos - 6 + 6 + 9 sin x 3 + 6 - 2 3 2 \u003d 9 4 - 3 2 + 9 sin 2 + 6 - sin - 6 + 6 = 9 4 - 3 2 + 9 3 2 = 3 4 + 9 3 2

Solusi dari contoh dapat dilakukan dengan cara lain.

Temukan himpunan antiturunan dari fungsi x sin x 3 + 6 menggunakan integrasi dengan bagian menggunakan rumus Newton-Leibniz:

x sin x x 3 + 6 d x = u = x, d v = sin x 3 + 6 d x d u = d x , v = - 3 cos x 3 + 6 = = - 3 cos x 3 + 6 + 3 cos x 3 + 6 d x = = - 3 x cos x 3 + 6 + 9 sin x 3 + 6 + C ⇒ ∫ - 2 3 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + 6 + 9 sincos x 3 + 6 - - - 3 - 2 cos - 6 + 6 + 9 sin - 6 + 6 = = 9 4 + 9 3 2 - 3 2 - 0 = 3 4 + 9 3 2

Jawaban: x sin x x 3 + 6 d x = 3 4 + 9 3 2

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Teks karya ditempatkan tanpa gambar dan rumus.
Versi lengkap dari karya tersebut tersedia di tab "File Pekerjaan" dalam format PDF

"Saya juga, binomial Newton!»

dari The Master dan Margarita

“Segitiga Pascal sangat sederhana sehingga bahkan seorang anak berusia sepuluh tahun dapat menuliskannya. Pada saat yang sama, ia menyembunyikan harta yang tak habis-habisnya dan menghubungkan berbagai aspek matematika yang pada pandangan pertama tidak memiliki kesamaan satu sama lain. Sifat-sifat yang tidak biasa tersebut memungkinkan kita untuk menganggap segitiga Pascal sebagai salah satu skema paling elegan dalam semua matematika.

Martin Gardner.

Objektif: menggeneralisasikan rumus perkalian yang disingkat, menunjukkan penerapannya untuk memecahkan masalah.

Tugas:

1) mempelajari dan mensistematisasikan informasi tentang masalah ini;

2) menganalisis contoh soal penggunaan binomial Newton dan rumus jumlah dan selisih derajat.

Objek penelitian: Binomial Newton, rumus jumlah dan perbedaan derajat.

Metode penelitian:

Bekerja dengan literatur sains pendidikan dan populer, sumber daya Internet.

Perhitungan, perbandingan, analisis, analogi.

Relevansi. Seseorang sering harus berurusan dengan masalah di mana perlu untuk menghitung jumlah semua cara yang mungkin untuk mengatur beberapa objek atau jumlah semua cara yang mungkin untuk melakukan beberapa tindakan. Jalur atau opsi berbeda yang harus dipilih seseorang menambah beragam kombinasi. Dan seluruh cabang matematika, yang disebut kombinatorik, sibuk mencari jawaban atas pertanyaan: berapa banyak kombinasi yang ada dalam satu atau lain kasus.

Perwakilan dari banyak spesialisasi harus berurusan dengan kuantitas kombinatorial: ilmuwan-kimiawan, ahli biologi, perancang, operator, dll. Meningkatnya minat dalam kombinatorik dalam beberapa tahun terakhir disebabkan oleh pesatnya perkembangan sibernetika dan teknologi komputer.

pengantar

Ketika mereka ingin menekankan bahwa lawan bicara melebih-lebihkan kompleksitas tugas yang dia hadapi, mereka berkata: "Saya juga membutuhkan binomial Newton!" Katakanlah, inilah binomial Newton, itu sulit, tetapi masalah apa yang Anda miliki! Bahkan orang-orang yang minatnya tidak ada hubungannya dengan matematika telah mendengar tentang binomial Newton.

Kata "binomial" berarti binomial, yaitu. jumlah dua suku. Dari kursus sekolah, apa yang disebut rumus perkalian yang disingkat diketahui:

( sebuah+ b) 2 = 2 + 2ab + b 2 , (a+b) 3 = 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 .

Generalisasi dari rumus ini adalah rumus yang disebut rumus binomial Newton. Rumus untuk memfaktorkan selisih kuadrat, jumlah dan selisih kubus juga digunakan di sekolah. Apakah mereka memiliki generalisasi untuk derajat lain? Ya, ada rumus seperti itu, mereka sering digunakan dalam menyelesaikan berbagai masalah: membuktikan pembagian, pengurangan pecahan, perhitungan perkiraan.

Studi tentang formula generalisasi mengembangkan pemikiran deduktif-matematis dan kemampuan mental umum.

BAGIAN 1. FORMULA BINOMIAL NEWTON

Kombinasi dan sifatnya

Misalkan X adalah himpunan yang terdiri dari n elemen. Setiap himpunan bagian Y dari himpunan X yang memuat k elemen disebut kombinasi k elemen dari n , dan k n .

Banyaknya kombinasi yang berbeda dari k elemen dari n dinotasikan C n k . Salah satu rumus kombinatorik yang paling penting adalah rumus berikut untuk bilangan C n k:

Itu dapat ditulis setelah singkatan yang jelas sebagai berikut:

Secara khusus,

Ini cukup konsisten dengan fakta bahwa dalam himpunan X hanya ada satu himpunan bagian dari 0 elemen - himpunan bagian kosong.

Bilangan C n k memiliki sejumlah sifat yang luar biasa.

Rumus n k = n - k n valid, (3)

Arti dari rumus (3) adalah terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan semua himpunan bagian k dari X dan himpunan semua himpunan bagian (n - k)-anggota dari X: untuk membentuk korespondensi ini, itu cukup untuk setiap subset anggota k dari Y cocok dengan komplemennya di set X.

Rumus 0 n + 1 n + 2 n + ... + n n = 2 n valid (4)

Jumlah di ruas kiri menyatakan jumlah semua himpunan bagian dari himpunan X (C 0 n adalah jumlah himpunan bagian 0 anggota, C 1 n adalah jumlah himpunan bagian anggota tunggal, dll.).

Untuk setiap k, 1≤ k≤ n , persamaan

C k n \u003d C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

Persamaan ini mudah diperoleh dengan menggunakan rumus (1). Memang,

1.2. Turunan dari rumus binomial Newton

Pertimbangkan kekuatan binomial sebuah +b .

n = 0, (a +b ) 0 = 1

n = 1, (a +b ) 1 = 1a+1b

n = 2(a +b ) 2 = 1a 2 + 2ab +1 b 2

n = 3(a +b ) 3 = 1 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +1 b 3

n = 4(a +b ) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 +4ab 3 +1 b 4

n=5(a +b ) 5 = 1a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + 1 b 5

Perhatikan keteraturan berikut:

Jumlah suku dari polinomial yang dihasilkan adalah satu lebih besar dari eksponen binomial;

Eksponen suku pertama berkurang dari n ke 0, eksponen suku kedua bertambah dari 0 ke n;

Derajat semua monomial sama dengan derajat binomial dalam kondisi;

Setiap monomial adalah produk dari ekspresi pertama dan kedua dalam berbagai kekuatan dan angka tertentu - koefisien binomial;

Koefisien binomial yang berjarak sama dari awal dan akhir ekspansi adalah sama.

Sebuah generalisasi dari rumus-rumus ini adalah rumus berikut, yang disebut rumus binomial Newton:

(sebuah + b ) n = C 0 n sebuah n b 0 + C 1 n sebuah n -1 b + C 2 n sebuah n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n sebuah 0 b n . (6)

Dalam rumus ini n dapat berupa bilangan asli apa saja.

Kami menurunkan rumus (6). Pertama-tama, mari kita menulis:

(sebuah + b ) n = (sebuah + b )(sebuah + b ) ... (sebuah + b ), (7)

di mana jumlah tanda kurung yang akan dikalikan adalah n. Dari aturan biasa untuk mengalikan jumlah dengan jumlah, dapat disimpulkan bahwa ekspresi (7) sama dengan jumlah semua produk yang mungkin, yang dapat disusun sebagai berikut: suku apa pun dalam jumlah pertama a + b dikalikan dengan suku apa pun dari jumlah kedua a+b, pada setiap istilah dari jumlah ketiga, dll.

Dari apa yang telah dikatakan, jelas bahwa istilah dalam ungkapan untuk (sebuah + b ) n mencocokkan (satu-ke-satu) string dengan panjang n, terdiri dari huruf a dan b. Di antara istilah akan ada istilah serupa; jelas bahwa anggota tersebut sesuai dengan string yang berisi jumlah huruf yang sama sebuah. Tetapi jumlah baris yang mengandung tepat k kali huruf sebuah, sama dengan C n k . Jadi, jumlah semua suku yang mengandung huruf a dengan faktor tepat k kali sama dengan n k sebuah n - k b k . Karena k dapat mengambil nilai 0, 1, 2, ..., n-1, n, rumus (6) berikut dari penalaran kami. Perhatikan bahwa (6) dapat ditulis lebih pendek: (8)

Meskipun rumus (6) disebut nama Newton, pada kenyataannya ia ditemukan bahkan sebelum Newton (misalnya, Pascal mengetahuinya). Kelebihan Newton terletak pada kenyataan bahwa ia menemukan generalisasi rumus ini untuk kasus eksponen non-bilangan bulat. Saat itu I. Newton pada tahun 1664-1665. menurunkan rumus yang menyatakan derajat binomial untuk eksponen fraksional dan negatif sewenang-wenang.

Bilangan C 0 n , C 1 n , ..., C n n , yang termasuk dalam rumus (6), biasanya disebut koefisien binomial, yang didefinisikan sebagai berikut:

Dari rumus (6) seseorang dapat memperoleh sejumlah sifat dari koefisien-koefisien ini. Misalnya, dengan asumsi sebuah= 1, b = 1, kita peroleh:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n ,

itu. rumus (4). Jika kita menempatkan sebuah= 1, b = -1, maka kita akan mendapatkan:

0 \u003d C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

atau 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .

Ini berarti bahwa jumlah koefisien dari suku-suku genap dari pemuaian sama dengan jumlah dari koefisien-koefisien dari suku-suku pemuaian yang ganjil; masing-masing sama dengan 2 n -1 .

Koefisien suku-suku yang berjarak sama dari ujung-ujung pemuaian adalah sama. Properti ini mengikuti dari relasi: n k = n n - k

Kasus khusus yang menarik

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

atau lebih pendek (x +1) n = C n k x n - k .

1.3. Teorema polinomial

Dalil.

Bukti.

Untuk mendapatkan monomial setelah membuka tanda kurung, Anda harus memilih tanda kurung dari mana ia diambil, tanda kurung dari mana ia diambil, dll. dan tanda kurung dari mana itu diambil. Koefisien monomial ini setelah pengurangan suku-suku serupa adalah sama dengan banyaknya cara pilihan tersebut dapat dibuat. Langkah pertama dari urutan pilihan dapat dilakukan dengan cara, langkah kedua - , ketiga - dst, langkah -th - dengan cara. Koefisien yang diinginkan sama dengan produk

BAGIAN 2. Derivatif dari pesanan yang lebih tinggi.

Konsep turunan dari orde yang lebih tinggi.

Biarkan fungsi terdiferensiasi dalam beberapa interval. Kemudian turunannya, secara umum, tergantung pada X, yaitu merupakan fungsi dari X. Oleh karena itu, sehubungan dengan itu, kita dapat kembali mengajukan pertanyaan tentang keberadaan turunan.

Definisi . Turunan dari turunan pertama disebut turunan orde kedua atau turunan kedua dan dilambangkan dengan simbol or, mis.

Definisi . Turunan dari turunan kedua disebut turunan orde ketiga atau turunan ketiga dan dilambangkan dengan simbol atau.

Definisi . turunann urutan ke fungsi disebut turunan pertama dari turunan (n -1) orde ke-th dari fungsi ini dan dilambangkan dengan simbol atau:

Definisi . Turunan yang berorde lebih tinggi dari yang pertama disebut turunan yang lebih tinggi.

Komentar. Demikian pula, seseorang dapat memperoleh rumus n-turunan fungsi:

Turunan kedua dari fungsi yang didefinisikan secara parametrik

Jika suatu fungsi diberikan secara parametrik oleh persamaan, maka untuk menemukan turunan orde kedua, perlu untuk membedakan ekspresi turunan pertamanya sebagai fungsi kompleks dari variabel bebas.

Dari dulu

dan mengingat itu,

Kami mengerti, itu.

Demikian pula, kita dapat menemukan turunan ketiga.

Diferensial jumlah, produk dan hasil bagi.

Karena diferensial diperoleh dari turunan dengan mengalikannya dengan diferensial dari variabel independen, maka, dengan mengetahui turunan dari fungsi dasar dasar, serta aturan untuk menemukan turunan, seseorang dapat menemukan aturan serupa untuk menemukan diferensial.

1 0 . Diferensial suatu konstanta adalah nol.

2 0 . Diferensial jumlah aljabar dari sejumlah fungsi terdiferensiasi sama dengan jumlah aljabar dari diferensial fungsi-fungsi ini .

3 0 . Diferensial produk dari dua fungsi yang dapat diturunkan sama dengan jumlah produk dari fungsi pertama dan diferensial dari fungsi kedua dan kedua dan diferensial dari fungsi pertama .

Konsekuensi. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda diferensial.

2.3. Fungsi yang diberikan secara parametrik, diferensiasinya.

Definisi . Suatu fungsi dikatakan terdefinisi secara parametrik jika kedua variabel X dan y didefinisikan masing-masing secara terpisah sebagai fungsi bernilai tunggal dari variabel bantu yang sama - parametert :

di manat perubahan dalam.

Komentar . Kami menyajikan persamaan parametrik lingkaran dan elips.

a) Lingkaran berpusat di titik asal dan jari-jari r memiliki persamaan parametrik:

b) Mari kita tulis persamaan parametrik untuk elips:

Dengan mengecualikan parameter t Dari persamaan parametrik dari garis yang dipertimbangkan, seseorang dapat sampai pada persamaan kanoniknya.

Dalil . Jika fungsi y dari argumen x diberikan secara parametrik oleh persamaan, di mana dan dapat diturunkan terhadapt fungsi dan kemudian.

2.4. rumus leibniz

Untuk mencari turunan n urutan produk dari dua fungsi, rumus Leibniz sangat penting secara praktis.

Biarlah kamu dan v- beberapa fungsi dari variabel X memiliki turunan dari urutan apa pun dan kamu = UV. Cepat n-turunan ke-th melalui turunan fungsi kamu dan v .

Kami telah secara konsisten

Sangat mudah untuk melihat analogi antara ekspresi untuk turunan kedua dan ketiga dan perluasan binomial Newton di pangkat kedua dan ketiga, masing-masing, tetapi alih-alih eksponen, ada angka yang menentukan urutan turunan, dan fungsinya. sendiri dapat dianggap sebagai "derivatif orde nol". Mengingat ini, kami memperoleh rumus Leibniz:

Rumus ini dapat dibuktikan dengan induksi matematika.

BAGIAN 3. PENERAPAN FORMULA LEIBNIZ.

Untuk menghitung turunan dari sembarang urutan dari produk dua fungsi, melewati aplikasi sekuensial dari rumus untuk menghitung turunan dari produk dua fungsi, kami menggunakan rumus leibniz.

Dengan menggunakan rumus ini, perhatikan contoh penghitungan turunan ke-n dari produk dua fungsi.

Contoh 1

Tentukan turunan kedua dari suatu fungsi

Menurut definisi, turunan kedua adalah turunan pertama dari turunan pertama, yaitu.

Oleh karena itu, pertama-tama kita temukan turunan orde pertama dari fungsi yang diberikan menurut aturan diferensiasi dan menggunakan tabel turunan:

Sekarang kita cari turunan dari turunan orde pertama. Ini akan menjadi turunan orde kedua yang diinginkan:

Menjawab:

Contoh 2

Tentukan turunan orde ke-th dari suatu fungsi

Keputusan.

Kami akan secara berurutan menemukan turunan dari orde pertama, kedua, ketiga, dan seterusnya dari fungsi yang diberikan untuk membangun pola yang dapat digeneralisasikan ke turunan -th.

Kami menemukan turunan orde pertama sebagai turunan dari hasil bagi:

Di sini ekspresi disebut faktorial dari suatu bilangan. Faktorial suatu bilangan sama dengan hasil kali bilangan dari satu ke, yaitu

Turunan kedua adalah turunan pertama dari turunan pertama, yaitu

Turunan orde ketiga:

Turunan keempat:

Perhatikan keteraturannya: pembilangnya memuat faktorial dari suatu bilangan yang sama dengan orde turunannya, dan penyebutnya memuat suatu ekspresi yang dipangkatkan satu lebih besar dari orde turunannya, yaitu

Menjawab.

Contoh 3

Tentukan nilai turunan ketiga suatu fungsi di suatu titik.

Keputusan.

Berdasarkan tabel turunan orde tinggi, kita punya:

Dalam contoh ini, yaitu, kita mendapatkan

Perhatikan bahwa hasil serupa juga dapat diperoleh dengan menemukan turunan secara berurutan.

Pada titik tertentu, turunan ketiga adalah:

Menjawab:

Contoh 4

Tentukan turunan kedua dari suatu fungsi

Keputusan. Pertama, mari kita cari turunan pertama:

Untuk mencari turunan kedua, kita bedakan lagi ekspresi turunan pertama:

Menjawab:

Contoh 5

Temukan jika

Karena fungsi yang diberikan adalah produk dari dua fungsi, disarankan untuk menerapkan rumus Leibniz untuk menemukan turunan orde keempat:

Kami menemukan semua turunan dan menghitung koefisien istilah.

1) Hitung koefisien untuk istilah:

2) Temukan turunan dari fungsi:

3) Temukan turunan dari fungsi:

Menjawab:

Contoh 6

Fungsi y=x 2 cos3x diberikan. Cari turunan dari orde ketiga.

Misalkan u=cos3x , v=x 2 . Kemudian, menurut rumus Leibniz, kami menemukan:

Turunan dari ekspresi ini adalah:

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′′=0.

Oleh karena itu, turunan ketiga dari fungsi yang diberikan adalah

1 27sin3x x2+3 (−9cos3x) 2x+3 (−3sin3x) 2+1 cos3x 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

Contoh 7

Temukan turunan n -fungsi urutan ke- y=x2 cosx.

Kami menggunakan rumus Leibniz, pengaturanu=cosx, v=x 2 . Kemudian

Suku sisa deret tersebut sama dengan nol, karena(x2)(i)=0 untuk i>2.

Derivatif n -Fungsi kosinus orde ke-th:

Oleh karena itu, turunan dari fungsi kita adalah

KESIMPULAN

Sekolah mempelajari dan menggunakan apa yang disebut rumus perkalian yang disingkat: kuadrat dan pangkat tiga dari jumlah dan selisih dua ekspresi dan rumus untuk memfaktorkan selisih kuadrat, jumlah dan selisih pangkat tiga dari dua ekspresi. Generalisasi dari rumus-rumus ini adalah rumus yang disebut rumus binomial Newton dan rumus untuk memfaktorkan jumlah dan selisih pangkat. Rumus ini sering digunakan dalam memecahkan berbagai masalah: membuktikan pembagian, pengurangan pecahan, perhitungan perkiraan. Sifat menarik dari segitiga Pascal, yang terkait erat dengan binomial Newton, dipertimbangkan.

Makalah ini mensistematisasikan informasi tentang topik tersebut, memberikan contoh tugas untuk penggunaan binomial Newton dan rumus untuk jumlah dan perbedaan derajat. Karya tersebut dapat digunakan dalam pekerjaan lingkaran matematika, serta untuk studi mandiri oleh mereka yang menyukai matematika.

DAFTAR SUMBER YANG DIGUNAKAN

1. Vilenkin N.Ya. Kombinatorik - ed. "Ilmu". - M., 1969

2. Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Aljabar dan awal analisis matematika. Kelas 10: buku pelajaran. untuk pendidikan umum organisasi tingkat dasar dan lanjutan - M.: Pendidikan, 2014. - 431 hal.

3. Memecahkan masalah dalam statistik, kombinatorik dan teori probabilitas. 7-9 sel / penulis - kompiler V.N. Studenetskaya. - edisi 2, dikoreksi, - Volgograd: Guru, 2009

4. Savushkina I.A., Khugaev K.D., Tishkin S.B. Persamaan Aljabar Gelar Tinggi / Panduan Metodologi untuk Mahasiswa Departemen Persiapan Antar Universitas. - Sankt Peterburg, 2001.

5. Shargin I.F. Kursus opsional dalam matematika: Pemecahan masalah. Buku teks untuk 10 sel. sekolah Menengah. - M.: Pencerahan, 1989.

6.Sains dan kehidupan, binomial Newton dan segitiga Pascal[Sumber daya elektronik]. - Modus akses: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Turunan dari pesanan yang lebih tinggi

Dalam pelajaran ini, kita akan belajar bagaimana menemukan turunan orde tinggi, serta menulis rumus umum untuk turunan “n”. Selain itu, rumus Leibniz untuk turunan semacam itu akan dipertimbangkan dan, berdasarkan permintaan populer, turunan tingkat tinggi dari fungsi implisit. Saya sarankan Anda segera mengikuti mini-test:

Berikut adalah fungsinya: dan inilah turunan pertamanya:

Jika Anda mengalami kesulitan/kesalahpahaman tentang contoh ini, silakan mulai dengan dua artikel dasar kursus saya: Bagaimana cara mencari turunannya? dan Turunan dari fungsi majemuk. Setelah menguasai turunan dasar, saya sarankan Anda membaca pelajaran Masalah paling sederhana dengan turunan, yang telah kita tangani, khususnya dengan turunan kedua.

Bahkan tidak sulit untuk menebak bahwa turunan kedua adalah turunan dari turunan ke-1:

Pada prinsipnya, turunan kedua sudah dianggap turunan dari orde yang lebih tinggi.

Demikian pula: turunan ketiga adalah turunan dari turunan ke-2:

Turunan keempat adalah turunan dari turunan ketiga:

Turunan kelima: , dan jelas bahwa semua turunan dari orde yang lebih tinggi juga akan sama dengan nol:

Selain penomoran Romawi, sebutan berikut sering digunakan dalam praktik:
, sedangkan turunan dari orde “n” dilambangkan dengan . Dalam hal ini, indeks superskrip harus diapit dalam tanda kurung.- untuk membedakan turunan dari "y" dalam derajat.

Terkadang ada entri seperti ini: - turunan ketiga, keempat, kelima, ..., "n", berturut-turut.

Maju tanpa rasa takut dan ragu:

Contoh 1

Diberikan sebuah fungsi. Mencari .

Keputusan: apa yang bisa Anda katakan ... - maju untuk turunan keempat :)

Bukan lagi kebiasaan untuk menempatkan empat pukulan, jadi kami beralih ke indeks numerik:

Menjawab:

Oke, sekarang mari kita pikirkan pertanyaan ini: apa yang harus dilakukan jika, menurut kondisinya, diperlukan bukan untuk menemukan ke-4, tetapi, misalnya, turunan ke-20? Jika untuk turunan dari 3-4-5th (maksimal, 6-7) order, solusinya dibuat cukup cepat, maka kita akan "mendapatkan" ke turunan dari order yang lebih tinggi, oh, bagaimana tidak segera. Jangan tulis, sebenarnya, 20 baris! Dalam situasi seperti itu, Anda perlu menganalisis beberapa turunan yang ditemukan, melihat polanya, dan menyusun rumus untuk turunan "n". Jadi, dalam Contoh No. 1, mudah dipahami bahwa dengan setiap diferensiasi berikutnya, "tiga" tambahan akan "melompat" sebelum eksponen, dan pada setiap langkah derajat "tiga" sama dengan jumlah turunannya, maka:

Dimana adalah bilangan asli arbitrer.

Dan memang, jika , maka tepat turunan pertama diperoleh: , jika - maka ke-2: dst. Dengan demikian, turunan kedua puluh ditentukan secara instan: - dan tidak ada "lembar kilometer"!

Pemanasan sendiri:

Contoh 2

Temukan fitur. Tulis turunan orde

Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Setelah pemanasan yang menyegarkan, kami akan mempertimbangkan contoh yang lebih kompleks di mana kami akan mengerjakan algoritme solusi di atas. Bagi yang sudah membaca pelajaran Batas urutan, ini akan menjadi sedikit lebih mudah:

Contoh 3

Cari untuk fungsi .

Keputusan: untuk memperjelas situasi, kami menemukan beberapa turunan:

Kami tidak terburu-buru untuk mengalikan angka yang dihasilkan! ;-)


Mungkin cukup. ... Aku bahkan sedikit berlebihan.

Pada langkah berikutnya, yang terbaik adalah menulis rumus untuk turunan "n" (segera setelah kondisinya tidak memerlukan ini, maka Anda bisa bertahan dengan konsep). Untuk melakukan ini, kami melihat hasil yang diperoleh dan mengidentifikasi pola yang dengannya setiap turunan berikutnya diperoleh.

Pertama, mereka menandatangani. Interleaving menyediakan "flasher", dan karena turunan pertama positif, faktor berikut akan masuk ke rumus umum: . Opsi yang setara akan dilakukan, tetapi secara pribadi, sebagai seorang yang optimis, saya suka tanda plus =)

Kedua, di pembilang "angin" faktorial, dan "tertinggal" jumlah turunannya dengan satu unit:

Dan ketiga, kekuatan "dua" tumbuh di pembilang, yang sama dengan jumlah turunannya. Hal yang sama dapat dikatakan tentang derajat penyebut. Akhirnya:

Untuk tujuan verifikasi, mari kita gantikan beberapa nilai "en", misalnya, dan:

Hebat, sekarang membuat kesalahan hanyalah dosa:

Menjawab:

Fungsi yang lebih sederhana untuk solusi do-it-yourself:

Contoh 4

Temukan fitur.

Dan masalah yang lebih rumit:

Contoh 5

Temukan fitur.

Mari kita ulangi prosedurnya sekali lagi:

1) Pertama kita temukan beberapa turunan. Tiga atau empat biasanya cukup untuk menangkap pola.

2) Maka saya sangat menyarankan kompilasi (setidaknya pada draf) turunan "n" - dijamin untuk melindungi dari kesalahan. Tetapi Anda dapat melakukannya tanpa, mis. memperkirakan secara mental dan segera menuliskan, misalnya, turunan kedua puluh atau kedelapan. Selain itu, beberapa orang umumnya mampu memecahkan masalah yang sedang dipertimbangkan secara lisan. Namun, harus diingat bahwa metode "cepat" itu penuh, dan lebih baik bermain aman.

3) Pada tahap akhir, kami memeriksa turunan "n" - kami mengambil sepasang nilai "en" (lebih baik dari yang tetangga) dan melakukan substitusi. Dan yang lebih dapat diandalkan adalah memeriksa semua turunan yang ditemukan sebelumnya. Kemudian kami mengganti nilai yang diinginkan, misalnya, atau, dan dengan hati-hati menyisir hasilnya.

Solusi singkat dari contoh ke-4 dan ke-5 di akhir pelajaran.

Dalam beberapa tugas, untuk menghindari masalah, Anda perlu melakukan sedikit keajaiban pada fungsi:

Contoh 6

Keputusan: Saya tidak ingin membedakan fungsi yang diusulkan sama sekali, karena itu akan menjadi pecahan "buruk", yang akan membuat sangat sulit untuk menemukan turunan berikutnya.

Dalam hal ini, disarankan untuk melakukan transformasi awal: kami menggunakan rumus selisih kuadrat dan sifat logaritma :

Masalah yang sangat berbeda:

Dan teman lama:

Saya pikir semuanya sedang dilihat. Perhatikan bahwa pecahan ke-2 ditandatangani, tetapi pecahan ke-1 tidak. Kami membangun turunan pesanan:

Kontrol:

Nah, untuk kecantikan, kami mengeluarkan faktorial dari tanda kurung:

Menjawab:

Tugas yang menarik untuk solusi independen:

Contoh 7

Tulislah rumus turunan orde dari fungsi tersebut

Dan sekarang tentang tanggung jawab bersama yang tak tergoyahkan, yang bahkan akan membuat iri mafia Italia:

Contoh 8

Diberikan sebuah fungsi. Mencari

Turunan kedelapan belas pada titik . Hanya.

Keputusan: pertama, jelas, Anda perlu menemukan . Pergi:

Mereka mulai dari sinus, dan mereka datang ke sinus. Jelas bahwa dengan diferensiasi lebih lanjut, siklus ini akan berlanjut hingga tak terhingga, dan muncul pertanyaan berikut: bagaimana cara terbaik untuk "mencapai" turunan kedelapan belas?

Metode "amatir": kami dengan cepat menuliskan jumlah turunan berikutnya di sebelah kanan di kolom:

Dengan demikian:

Tetapi berhasil jika urutan turunannya tidak terlalu besar. Jika Anda perlu menemukan, katakanlah, turunan keseratus, maka Anda harus menggunakan pembagian dengan 4. Seratus habis dibagi 4 tanpa sisa, dan mudah untuk melihat bahwa angka-angka tersebut terletak di garis bawah, oleh karena itu: .

Omong-omong, turunan ke-18 juga dapat ditentukan dari pertimbangan serupa:
Baris kedua berisi angka-angka yang habis dibagi 4 dengan sisa 2.

Metode lain yang lebih akademis didasarkan pada periodisitas sinus dan rumus pengurangan. Kami menggunakan rumus turunan "n" yang sudah jadi dari sinus , di mana nomor yang diinginkan hanya diganti. Sebagai contoh:
(rumus pengurangan ) ;
(rumus pengurangan )

Dalam kasus kami:

(1) Karena sinus adalah fungsi periodik dengan periode, maka argumen dapat "dibuka" tanpa rasa sakit 4 periode (yaitu).

Turunan orde dari produk dua fungsi dapat ditemukan dengan rumus:

Secara khusus:

Anda tidak perlu mengingat sesuatu secara khusus, karena semakin banyak rumus yang Anda ketahui, semakin sedikit yang Anda pahami. Jauh lebih baik untuk tahu binomial Newton, karena rumus Leibniz sangat, sangat mirip dengannya. Nah, mereka yang beruntung mendapatkan turunan dari urutan ke-7 atau lebih tinggi (yang sangat tidak mungkin) akan terpaksa melakukannya. Namun, ketika saatnya tiba untuk kombinatorika- kamu masih harus =)

Mari kita cari turunan ketiga dari fungsi . Kami menggunakan rumus Leibniz:

Pada kasus ini: . Derivatif mudah diklik secara verbal:

Sekarang kita dengan hati-hati dan HATI-HATI melakukan substitusi dan menyederhanakan hasilnya:

Menjawab:

Tugas serupa untuk solusi independen:

Contoh 11

Temukan fitur

Jika pada contoh sebelumnya solusi "di dahi" masih bersaing dengan formula Leibniz, maka di sini sudah sangat tidak menyenangkan. Dan yang lebih tidak menyenangkan - dalam kasus turunan yang lebih tinggi:

Contoh 12

Temukan turunan dari ordo yang ditentukan

Keputusan: komentar pertama dan penting - untuk memutuskan seperti ini, mungkin, tidak perlu =) =)

Mari kita tuliskan fungsi-fungsi tersebut dan cari turunannya hingga inklusif orde ke-5. Saya berasumsi bahwa turunan dari kolom kanan telah menjadi lisan untuk Anda:

Di kolom kiri, turunan "langsung" dengan cepat "berakhir" dan ini sangat bagus - dalam rumus Leibniz, tiga suku akan dinolkan:

Saya akan membahas lagi dilema yang muncul di artikel tentang turunan kompleks: untuk menyederhanakan hasilnya? Pada prinsipnya, Anda dapat membiarkannya seperti itu - akan lebih mudah bagi guru untuk memeriksanya. Tetapi dia mungkin perlu mengingat keputusan itu. Di sisi lain, penyederhanaan atas inisiatif sendiri penuh dengan kesalahan aljabar. Namun, kami memiliki jawaban yang diperoleh dengan cara "primal" =) (lihat tautan di awal) dan saya harap itu benar:

Bagus, semuanya berhasil.

Menjawab:

Selamat tugas untuk pemecahan diri:

Contoh 13

Untuk fungsi:
a) temukan dengan diferensiasi langsung;
b) temukan dengan rumus Leibniz;
c) menghitung.

Tidak, saya sama sekali tidak sadis - poin "a" di sini cukup sederhana =)

Tapi serius, solusi "langsung" dengan diferensiasi berturut-turut juga memiliki "hak untuk hidup" - dalam beberapa kasus kompleksitasnya sebanding dengan kompleksitas penerapan formula Leibniz. Gunakan sesuai keinginan Anda - ini tidak mungkin menjadi alasan untuk tidak menghitung tugas.

Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran.

Untuk menaikkan paragraf terakhir Anda harus bisa membedakan fungsi implisit:

Turunan orde lebih tinggi dari fungsi implisit

Banyak dari kita telah menghabiskan berjam-jam, berhari-hari, dan berminggu-minggu dalam hidup kita untuk belajar lingkaran, parabola, hiperbola– dan terkadang itu bahkan tampak seperti hukuman yang nyata. Jadi mari kita balas dendam dan membedakan mereka dengan benar!

Mari kita mulai dengan parabola "sekolah" di dalamnya posisi kanonik:

Contoh 14

Sebuah persamaan diberikan. Mencari .

Keputusan: langkah pertama sudah familiar:

Fakta bahwa fungsi dan turunannya dinyatakan secara implisit tidak mengubah esensi masalah, turunan kedua adalah turunan dari turunan pertama:

Namun, ada aturan mainnya: turunan dari urutan ke-2 dan lebih tinggi biasanya dinyatakan hanya melalui "x" dan "y". Oleh karena itu, kami mensubstitusikan ke turunan ke-2 yang dihasilkan:

Turunan ketiga adalah turunan dari turunan ke-2:

Demikian pula, mari kita substitusikan:

Menjawab:

Hiperbola "Sekolah" di posisi kanonik- untuk pekerjaan mandiri:

Contoh 15

Sebuah persamaan diberikan. Mencari .

Saya ulangi bahwa turunan ke-2 dan hasilnya harus dinyatakan hanya melalui "x" / "y"!

Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran.

Setelah lelucon anak-anak, mari kita lihat pornografi Jerman @ fia, mari kita lihat lebih banyak contoh dewasa, dari mana kita belajar solusi penting lainnya:

Contoh 16

Elips diri.

Keputusan: cari turunan pertama:

Dan sekarang mari kita berhenti dan menganalisis momen berikutnya: sekarang kita harus membedakan pecahan, yang sama sekali tidak menggembirakan. Dalam hal ini, tentu saja, itu sederhana, tetapi dalam masalah kehidupan nyata hanya ada beberapa hadiah seperti itu. Apakah ada cara untuk menghindari menemukan turunan yang rumit? Ada! Kami mengambil persamaan dan menggunakan teknik yang sama seperti ketika menemukan turunan pertama - kami "menggantung" goresan di kedua bagian:

Turunan kedua harus dinyatakan hanya melalui dan , jadi sekarang (sekarang) lebih mudah untuk menyingkirkan turunan pertama. Untuk melakukan ini, kita substitusikan ke persamaan yang dihasilkan:

Untuk menghindari kesulitan teknis yang tidak perlu, kami mengalikan kedua bagian dengan:

Dan hanya pada tahap akhir kami menyusun pecahan:

Sekarang kita lihat persamaan aslinya dan perhatikan bahwa hasil yang diperoleh dapat disederhanakan:

Menjawab:

Bagaimana menemukan nilai turunan ke-2 di beberapa titik (yang, tentu saja, milik elips), misalnya, pada titik ? Sangat mudah! Motif ini sudah ditemukan dalam pelajaran tentang persamaan normal: dalam ekspresi turunan ke-2 Anda perlu mengganti :

Tentu saja, dalam ketiga kasus, Anda bisa mendapatkan fungsi yang diberikan secara eksplisit dan membedakannya, tetapi kemudian bersiaplah secara mental untuk bekerja dengan dua fungsi yang mengandung akar. Menurut pendapat saya, solusinya lebih nyaman untuk dilakukan "secara implisit".

Contoh terakhir untuk solusi mandiri:

Contoh 17

Temukan fungsi implisit

Rumus Leibniz untuk menghitung turunan ke-n dari produk dua fungsi diberikan. Buktinya diberikan dalam dua cara. Contoh penghitungan turunan dari orde ke-n dipertimbangkan.

Isi

Lihat juga: Turunan dari produk dua fungsi

rumus leibniz

Dengan menggunakan rumus Leibniz, Anda dapat menghitung turunan ke-n dari produk dua fungsi. Ini terlihat seperti ini:
(1) ,
di mana
adalah koefisien binomial.

Koefisien binomial adalah koefisien ekspansi binomial dalam pangkat dari dan :
.
Juga nomor adalah jumlah kombinasi dari n ke k .

Bukti rumus Leibniz

Berlaku rumus turunan produk dua fungsi :
(2) .
Mari kita tulis ulang rumus (2) dalam bentuk berikut:
.
Artinya, kita menganggap bahwa satu fungsi bergantung pada variabel x, dan fungsi lainnya bergantung pada variabel y. Pada akhir perhitungan, kita asumsikan . Maka rumus sebelumnya dapat ditulis sebagai:
(3) .
Karena turunan sama dengan jumlah suku, dan setiap suku merupakan hasil kali dua fungsi, maka untuk menghitung turunan dari orde yang lebih tinggi, Anda dapat menerapkan aturan (3) secara konsisten.

Kemudian untuk turunan orde ke-n kita memiliki:

.
Mengingat dan , kita mendapatkan rumus Leibniz:
(1) .

Buktikan dengan induksi

Kami menyajikan bukti rumus Leibniz dengan metode induksi matematika.

Mari kita tulis ulang rumus Leibniz:
(4) .
Untuk n = 1 kita memiliki:
.
Ini adalah rumus turunan dari produk dua fungsi. Dia adil.

Mari kita asumsikan bahwa rumus (4) valid untuk turunan orde ke-n. Mari kita buktikan bahwa itu valid untuk turunan n + 1 -urutan.

Bedakan (4):
;



.
Jadi kami menemukan:
(5) .

Substitusi ke (5) dan perhatikan bahwa:

.
Hal ini menunjukkan bahwa rumus (4) memiliki bentuk yang sama untuk turunan n + 1 -urutan.

Jadi, rumus (4) berlaku untuk n = 1 . Dari asumsi benar untuk beberapa bilangan n = m, maka benar untuk n = m + 1 .
Rumus Leibniz telah terbukti.

Contoh

Hitung turunan ke-n dari suatu fungsi
.

Kami menerapkan rumus Leibniz
(2) .
Dalam kasus kami
;
.

Oleh tabel turunan kita punya:
.
Menerapkan sifat-sifat fungsi trigonometri :
.
Kemudian
.
Ini menunjukkan bahwa diferensiasi fungsi sinus menyebabkan pergeserannya sebesar . Kemudian
.

Kami menemukan turunan dari fungsi .
;
;
;
, .

Karena untuk , hanya tiga suku pertama dalam rumus Leibniz yang bukan nol. Menemukan koefisien binomial.
;
.

Menurut rumus Leibniz, kita memiliki:

.

Lihat juga: